mối quan hệ giữa đạo hàm cấp 1, đạo hàm cấp 2

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 1
MỐI QUAN HỆ GIỮA CỰC TRỊ VÀ ĐẠO HÀM CẤP 1 ĐẠO HÀM CẤP 2 (ĐỀ 01)
*Biên soạn: Thầy Đặng Thành Nam – website: www.vted.vn
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại website: www.vted.vn
(1) Mối quan hệ giữa cực trị và đạo hàm của hàm số
Định lí. Nếu hàm số y = f (x) đạt cực trị tại điểm x0 . Khi đó, nếu f (x) có đạo hàm tại x0 thì
f ′(x0 ) = 0.
•

Điều ngược lại có thể không đúng, tức có thể f ′(x0 ) = 0 nhưng hàm số f (x) không đạt cực trị
tại x0 .

Chẳng hạn như hàm số y = x 3 , y = x 5 .
• Hàm số có thể đạt cực trị tại điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.
Chẳng hạn như hàm số y = x , y = x (x + 2).
Như vậy, một hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0, hoặc tại
đó hàm số không có đạo hàm.
• Điều kiện cần để hàm số f đạt cực trị tại x0 là hàm số có đạo hàm triệt tiêu tại x0 hoặc hàm số
không có đạo hàm tại x0 .
• Điều kiện đủ:
Định lí. Giả sử hàm số y = f (x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các
khoảng (a; x0 ) và (x0 ;b). Khi đó
• Nếu f ′(x) < 0,∀x ∈ (a; x0 ) và f ′(x) > 0,∀x ∈ (x0 ;b) thì hàm số f (x) đạt cực tiểu tại điểm x0 .
• Nếu f ′(x) > 0,∀x ∈ (a; x0 ) và f ′(x) < 0,∀x ∈ (x0 ;b) thì hàm số f (x) đạt cực đại tại điểm x0 .
Nói một cách khác:
(2) Mối quan hệ giữa điểm cực trị và đạo hàm cấp hai của hàm số
Định lí. Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm đến cấp hai tại x0 và f ′(x0 ) = 0, f ′′(x0 ) ≠ 0 thì x0 là một
điểm cực trị của hàm số. Hơn nữa,
• Nếu f ′′(x0 ) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu.
• Nếu f ′′(x0 ) < 0 thì x0 là điểm cực đại.

Trong trường hợp f ′′(x0 ) = 0 thì chưa thể khẳng định được x0 là điểm cực trị của hàm số hay không.
Chứng minh. Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a;b) chứa điểm x0 , f ′(x0 ) = 0 và f ′′(x0 ) < 0.
Khi đó, theo định nghĩa đạo hàm cấp hai, ta có
f ′(x)− f ′(x0 )
f ′(x)
f ′′(x0 ) = lim
= lim
< 0.
x→x0
x→x0 x − x
x − x0
0
Do đó tồn tại số h > 0 sao cho [x0 − h; x0 + h] ⊂ (a;b) và

f ′(x)
< 0 với mọi x ∈ (x0 − h; x0 + h) \{x0 }.
x − x0

• Vì x − x0 < 0,∀x ∈ (x0 − h; x0 ) nên f ′(x) > 0,∀x ∈ (x0 − h; x0 ).
• Vì x − x0 > 0,∀x ∈ (x0 ; x0 + h) nên f ′(x) < 0,∀x ∈ (x0 ; x0 + h).
BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM 1
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN


2

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN

Vậy f ′(x) đổi dấu từ dương qua âm khi qua x0 . Do đó hàm số f đạt cực tiểu tại x0 .

Tương tự, hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a;b) chứa điểm x0 , f ′(x0 ) = 0 và f ′′(x0 ) > 0. Hàm số f
đạt cực đại tại x0 .
Chú ý. Định lí này thường được sử dụng để nhận biết điểm cực đại, điểm cực tiểu của hàm số cho các
hàm số có chứa lượng giác và hàm có chứa căn thức (khi việc xét dấu của đạo hàm khó khăn).
Câu 1. Cho hàm số y = f (x). Đồ thị của hàm số y = f ′(x) như hình vẽ bên. Hỏi hàm số y = f (x) có
tất cả bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 1.
Câu 2. Cho hàm số y = f (x). Đồ thị của hàm số y = f ′(x) như hình vẽ bên.

Hỏi hàm số y = f (x) có tất cả bao nhiêu điểm cực trị ?
A. 2.
B. 3.
C. 4.

Câu 3. Cho hàm số y = f (x). Đồ thị của hàm số y = f ′(x) như hình vẽ bên.

2

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN

D. 1.


BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 3

Hỏi hàm số y = f (x)− x có bao nhiêu điểm cực trị ?
A. 2.
B. 3.
C. 1.
D. 5.
Câu 4. Cho hàm số y = f (x). Đồ thị của hàm số y = f ′(x) như hình vẽ bên.

Hỏi hàm số y = f (x) có bao nhiêu điểm cực trị ?
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 5.
Câu 5. Cho hàm số y = f (x). Đồ thị của hàm số y = f ′(x) như hình vẽ bên.

Hỏi điểm cực đại của hàm số y = f (x)− x là ?
A. x = 1.
B. x = 0.
C. x = 2.
D. x = −1.
Câu 6. Cho hàm số y = f (x). Đồ thị của hàm số y = f ′(x) như hình vẽ bên.

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM 3
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN


4

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN

Đồ thị của hàm số y = 2 f (x) + (x +1)2 có bao nhiêu điểm cực trị ?
A. 4.
B. 2.
C. 3.
D. 0.
′
Câu 7. Cho hàm số y = f (x). Đồ thị của hàm số y = f (x) như hình vẽ bên.

Hỏi đồ thị của hàm số y = f (x) có bao nhiêu điểm cực trị ?
A. 2.
B. 3.
C. 0.
D. 1.
′
Câu 8. Cho hàm số y = f (x). Đồ thị của hàm số y = f (x) như hình vẽ bên.

Đồ thị của hàm số y = 3 f (x)−7x có bao nhiêu điểm cực trị ?
A. 2.
B. 0.
C. 1.
D. 3.
Câu 9. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. Nếu x0 là nghiệm của phương trình f ′(x) = 0 thì x0 là điểm cực trị của hàm số.
B. Nếu hàm số f (x) đạt cực trị tại x0 thì hàm số có đạo hàm tại x0 .
C. Hàm số có thể đạt cực trị tại điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.
D. Nếu hàm số f (x) đạt cực trị tại x0 thì f ′(x0 ) = 0.
Câu 10. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′(x) xác định trên !. Đồ thị của hàm số y = f ′(x) như
hình vẽ bên.
4

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN


BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 5

Hỏi hàm số y = f (x 2 ) có bao nhiêu điểm cực đại và điểm cực tiểu ?
A. 2 điểm cực đại, 1 điểm cực tiểu.
B. 2 điểm cực tiểu, 1 điểm cực đại.
C. 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.
D. 2 điểm cực tiểu, 3 điểm cực đại.
Câu 11. Cho hàm số y = f (x). Đồ thị của hàm số y = f ′(x) như hình vẽ bên.

Hỏi điểm cực tiểu của hàm số y = f (x)− x là ?
A. x = 1.
B. x = 0.
C. x = 2.
D. x = −1.
3
Câu 12. Cho hàm số y = x −3x. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. Cực đại của hàm số là 2.
B. Cực đại của hàm số là −1.
C. Cực đại của hàm số là −2.
D. Cực đại của hàm số là −2.
Câu 13. Cho hàm số y = f (x) có f ′(x) = x 2 (x + 2). Hỏi số điểm cực trị của hàm số y = f (x) là ?
A. 2.
B. 3.
C. 1.

D. 0.
2
Câu 14. Cho hàm số y = f (x) có f ′(x) = x (x −1)(x + 2). Hỏi số điểm cực trị của hàm số y = f (x) là
?
A. 2.
B. 3.
C. 1.
D. 4.
2
2
Câu 15. Cho hàm số y = f (x) có f ′(x) = x (x + 3) . Hỏi số điểm cực trị của hàm số y = f (x) là ?
A. 2.
B. 3.
C. 1.
D. 0.
3
Câu 16. Hỏi cực đại của hàm số y = x −3x + 2 là ?
A. 1.
B. −1.
C. 4.
D. 0.
BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM 5
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN


6

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN

Câu 17. Hỏi điểm nào dưới đây là điểm cực đại của hàm số y = 2sin 2x ?
π
π
3π
π
A. x = + k .
B. x = + kπ.
C. x = + kπ.
4
2
4
4
Câu 18. Hỏi điểm nào dưới đây là điểm cực tiểu của hàm số y = 2sin 2x ?
3π
π
C. x = + kπ.
+ kπ.
4
4
1
4
Câu 19. Cho hàm số y = x 3 − x 2 −3x + . Mệnh đề nào sau đây đúng ?
3
3
A. Cực tiểu của hàm số 3.
B. Cực tiểu của hàm số là −1.
23
C. Cực tiểu của hàm số là − .
3
D. Cực tiểu của hàm số là −9.

A. x =

π
π
+k .
4
2

B. x =

D. x =

3π
π
+k .
4
2

D. x =

3π
π
+k .
4
2

Câu 20. Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên khoảng (a;b) và điểm x0 thuộc khoảng (a;b).
Xét các mệnh đề sau:
I. Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số f (x) thì f ′(x0 ) = 0.

II. Nếu f (x) ≥ f (x0 ),∀x ∈ (a;b) thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số f (x).
III. Nếu f (x) < f (x0 ),∀x ∈ (a;b) \{x0 } thì x0 là điểm cực đại của hàm số f (x).
IV. Nếu x0 là điểm cực đại của hàm số f (x) thì f ′′(x0 ) < 0.
Số mệnh đề đúng là ?
A. 4.
B. 2.
C. 1.
D. 0.
Câu 21. Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên khoảng (a;b) và điểm x0 thuộc khoảng (a;b).
Xét các mệnh đề sau:
(1) Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số f (x) thì f ′(x0 ) = 0.
(2) Nếu f ′(x0 ) = 0 thì x0 là điểm cực trị của hàm số f (x).
(3) Nếu f ′(x) > 0,∀x ∈ (a; x0 ) và f ′(x) < 0,∀x ∈ (x0 ;b) thì x0 là điểm cực đại của hàm số f (x).
(4) Nếu f ′(x) < 0,∀x ∈ (a; x0 ) và f ′(x) > 0,∀x ∈ (x0 ;b) thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số f (x).
(5) Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số f (x) thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số f (x) tại điểm (x0 ; f (x0 ))
song song hoặc trùng với trục hoành.
Số mệnh đề đúng là ?
A. 5.
B. 3.
C. 4.
D. 2.
Câu 22. Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên khoảng (a;b) và điểm x0 thuộc khoảng (a;b).
Xét các mệnh đề sau:
(1) Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số f (x) thì f ′(x0 ) = 0.
(2) Nếu f ′(x0 ) = 0 thì x0 là điểm cực trị của hàm số f (x).
(3) Nếu f ′(x) > 0,∀x ∈ (a; x0 ) và f ′(x) < 0,∀x ∈ (x0 ;b) thì f (x0 ) là cực đại của hàm số f (x).
6

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 7
(4) Nếu f ′(x) < 0,∀x ∈ (a; x0 ) và f ′(x) > 0,∀x ∈ (x0 ;b) thì f (x0 ) là cực tiểu của hàm số f (x).
(5) Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số f (x) thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số f (x) tại điểm (x0 ; f (x0 ))
song song hoặc trùng với trục hoành.
Số mệnh đề đúng là ?
A. 5.
B. 3.
C. 4.
D. 2.
Câu 23. Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên khoảng (a;b) chứa điểm x0 , f ′(x0 ) = 0 và hàm số f (x) có
đạo hàm cấp hai tại điểm x0 .
Xét các mệnh đề sau:
(1) Nếu f ′′(x0 ) < 0 thì x0 là điểm cực đại của hàm số f (x).
(2) Nếu f ′′(x0 ) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số f (x).
(3) Nếu f ′′(x0 ) = 0 thì x0 không là điểm cực trị của hàm số f (x).
(4) Nếu f ′′(x0 ) = 0 thì x0 là điểm cực trị của hàm số f (x).
(5) Nếu f ′′(x0 ) < 0 thì f (x0 ) là cực đại của hàm số f (x).
(6) Nếu f ′′(x0 ) > 0 thì f (x0 ) là cực tiểu của hàm số f (x).
Số mệnh đề đúng là ?
A. 6.
B. 4.
C. 5.
D. 2.
Câu 24. Cho hàm số f (x) xác định trên khoảng (a;b) và x0 thuộc khoảng (a;b).
(1) Nếu f (x0 ) ≥ f (x),∀x ∈ (a;b) thì f (x0 ) là giá trị lớn nhất của hàm số f (x) trên khoảng (a;b).
(2) Nếu f (x0 ) ≤ f (x),∀x ∈ (a;b) thì f (x0 ) là giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) trên khoảng (a;b).
(3) Nếu f (x0 ) > f (x),∀x ∈ (a;b) \{x0 } thì f (x0 ) là cực đại của hàm số f (x).

(4) Nếu f (x0 ) < f (x),∀x ∈ (a;b) \{x0 } thì f (x0 ) là cực tiểu của hàm số f (x).
Số mệnh đề đúng là ?
A. 0.
B. 2.
C. 1.
D. 4.
Câu 25. Cho hàm số y = f (x). Đồ thị của hàm số y = f ′(x) như hình vẽ bên.

Đồ thị của hàm số y = 2 f (x)− x 2 có bao nhiêu điểm cực trị ?
A. 4.
B. 2.
C. 3.

D. 5.

Câu 26. Cho hàm số y = f ( x ) xác định và có đạo hàm f ' ( x ) . Đồ thị của hàm số f ' ( x ) như hình
dưới đây. Khẳng định nào sau đây là đúng?
BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM 7
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN


8

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN
y

2

x

-3

-2

-1

1

2

3

-2

A. Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng ( −∞ ;2 ) .

B. Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng ( −∞ ; − 1) .
C. Hàm số y = f ( x ) có ba điểm cực trị.

D. Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( 0;1) .
Câu 27. Đồ thị hàm số y = x 3 −3x 2 −9x +1 có hai điểm cực trị A và B. Điểm nào dưới đây thuộc
đường thẳng AB?
A. P(1;0).
B. M (0;−1).
C. N (1;−10).
D. Q(−1;10).
Câu 28. Đồ thị hàm số y = −x 3 + 3x 2 + 5 có hai điểm cực trị A và B. Tính diện tích S của tam giác
OAB với O là gốc toạ độ.
10
A. S = 9.

C. S = 5.
D. S = 10.
B. S = .
3
Câu 29. Đồ thị hàm số y = x3 − 3x − 2 có 2 điểm cực trị A, B. Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn
thẳng AB .
A. M (0; −2)

B. M (2;0)

C. M (−1;0)

D. M ( −2; 4)

Câu 30. Đồ thị hàm số y = x3 - 6 x 2 + 9 x - 1 có 2 điểm cực trị A, B. Tính độ dài đoạn thẳng AB .
B. AB = 4 2
C. AB = 2 2
D. AB = 2 5
2
x +5
Câu 31. Đồ thị hàm số y =
có hai điểm cực trị A và B. Hỏi đường thẳng đi qua hai điểm A, B
x+2
là ?
A. y = 2x.
B. y = −2x.
C. 2 y = x.
D. 2 y = −x.
A. AB = 5

x 2 + x +1
Câu 32. Đồ thị hàm số y =
có hai điểm cực trị A và B. Tính độ dài đoạn thẳng AB.
x+2
A. AB = 5.
B. AB = 2 5.
C. AB = 2 15.
D. AB = 2 13.
4
2
Câu 33. Đồ thị hàm số y = x −8x + 2 có ba điểm cực trị A, B,C. Gọi S là diện tích tam giác ABC.
Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
B. S = 16.
D. S = 32.
A. S = 4 2.
C. S = 8 2.

Câu 34. Đồ thị hàm số y = −2x 4 + 4x 2 + 3 có ba điểm cực trị A, B,C. Gọi R là bán kính ngoại tiếp
tam giác ABC. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
8

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN


BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 9
5
5
5

5
A. R = .
B. R = .
.
.
C. R =
D. R =
2
4
2
4
Câu 35. Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên ! có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

Hỏi hàm số y = f (x) có bao nhiêu điểm cực trị ?
A. 2.
B. 4.
C. 3.
3
2
Câu 36. Cực đại của hàm số y = x −5x − x −1 là ?

D. 1.

5
148
C. 4.
B. .
D. −
.
3

27
Câu 37. Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên ! có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

A. −1.

Hỏi hàm số y = f (x) có bao nhiêu điểm cực đại ?
A. 2.
B. 4.
C. 3.
D. 1.
Câu 38. Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên ! có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

Hỏi hàm số y = f (x) có bao nhiêu điểm cực tiểu ?
A. 2.
B. 4.
C. 3.
D. 1.
′
Câu 39. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f (x) trên !. Đường cong ở hình vẽ bên là đồ thị của hàm
2

số y = f (x). Đặt g(x) = ( f (x)) . Hỏi số điểm cực trị của hàm số g(x) là ?

A. 4.

B. 7.

C. 5.

D. 9.

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM 9
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN


BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
10 PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN
Câu 40. Cho ba đường cong (C1 ),(C2 ),(C3 ) là đồ thị của các hàm số y = f (x), y = f ′(x), y = f ′′(x). Hỏi
đồ thị của các hàm số y = f (x), y = f ′(x), y = f ′′(x) theo thứ tự, lần lượt tương ứng với đường cong
nào ?

A. (C3 ),(C2 ),(C1 ).

B. (C2 ),(C1 ),(C3 ).

C. (C2 ),(C3 ),(C1 ).

D. (C1 ),(C3 ),(C2 ).

Câu 41. Cho hàm số y = x 3 −5x − x 2 −1 . Cực đại và cực tiểu của hàm số lần lượt là ?
5
A. −1 và .
3

B. 4 và −4.

C. −1 và 1.

D. 4 và −

148
.
27

1
1
Câu 42. Cho hàm số y = x 4 − x 2 − . Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
4
2
A. Cực tiểu của hàm số là − 2 và 2.
B. Cực tiểu của hàm số là 0.
1
C. Cực tiểu của hàm số là − .
2
3
D. Cực tiểu của hàm số là − .
2
2
x +5
. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
Câu 43. Cho hàm số y =
x+2
A. Cực đại của hàm số là −5.
B. Cực đại của hàm số là 1.
C. Cực đại của hàm số là −10.
D. Cực đại của hàm số là 2.
Câu 44. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′(x) = (x −1)(x 2 − 2)(x 4 − 4). Số điểm cực trị của hàm số
y = f (x) là ?
A. 3.
B. 2.

C. 4.
D. 1.
1
1
Câu 45. Cho hàm số y = x 4 − x 2 − . Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
4
2
1
A. Cực đại của hàm số là − .
2
B. Cực đại của hàm số là 0.
C. Cực đại của hàm số là − 2 và 2.

10

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN