tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị tại một điểm

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 1
TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ ĐẠT CỰC TRỊ TẠI MỘT
ĐIỂM
*Biên soạn: Thầy Đặng Thành Nam – website:
www.vted.vn
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại www.vted.vn

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề)
Mã đề thi
132

Họ, tên thí sinh:..................................................................... Trường: ...........................................
Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm tại x0 . Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị tại x0 .
Phương pháp 1: Xét dấu của đạo hàm cấp một tại x0 .
• Tính f ′(x).
• Giải phương trình f ′(x0 ) = 0.
•
•

Thử lại bằng cách xét sự đổi dấu của f ′(x) khi qua điểm x0 .
Nếu f ′(x) đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm x0 ⇒ x0 là điểm cực tiểu của hàm số;

•

Nếu f ′(x) đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm x0 ⇒ x0 là điểm cực đại của hàm số;

Phương pháp 2: Xét dấu của đạo hàm cấp hai tại x0 .
Áp dụng với hàm số có đạo hàm cấp 2 tại x0 (thường áp dụng phương pháp này với hàm số chứa lượng
giác hoặc chứa căn thức)
• Tính f ′(x).

• Giải phương trình f ′(x0 ) = 0.
• Đối với các hàm lượng giác nên xét dấu của f ′′(x0 ).
•

Nếu f ′′(x0 ) > 0 ⇒ x0 là điểm cực tiểu của hàm số;

•

Nếu f ′′(x0 ) < 0 ⇒ x0 là điểm cực đại của hàm số;
Nhận xét: Phương pháp này có một hạn chế là nếu f ′′(x0 ) = 0 thì chưa khẳng định được x0 có là điểm
cực trị của hàm số hay không, lúc này phải quay lại phương pháp 1.
⎪⎧ f (x ) = y0
.
Điểm ( x0 ; y0 ) là điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f (x) khi đó ⎪⎨ 0
⎪⎪ f ′(x0 ) = 0
⎩
⎡ a = 0,b > 0
⎢
*Chú ý. Để hàm số y = ax + bx + c đạt cực tiểu tại x = 0 điều kiện là ⎢⎢ a > 0,b ≥ 0 .
⎢ a < 0,b > 0
⎢⎣
⎡ a = 0,b < 0
⎢
4
2
*Chú ý. Để hàm số y = ax + bx + c đạt cực đại tại x = 0 điều kiện là ⎢⎢ a > 0,b < 0 .
⎢ a < 0,b ≤ 0
⎢⎣
4

2

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM 1
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN


2

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN

1
Câu 1. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số y = x 3 − mx 2 + (m2 − 4)x + 3 đạt cực đại tại x = 3.
3
A. m = −7.
B. m = 1.
C. m = −1.
D. m = 5.
1
Câu 2. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số y = x 3 − mx 2 + (m2 − 4)x + 3 đạt cực tiểu tại x = 3.
3
A. m = −7.
B. m = 1.
C. m = −1.
D. m = 5.

Câu 3. Cho hàm số y = 2x 3 +

(

)

(

)

m−1−8 x 2 + 2 m3 −3m2 + 4m x −3 đạt cực đại tại x = 1. Mệnh đề

nào sau đây đúng ?
A. 1≤ m < 2.

B. 2 ≤ m < 3.
C. 3≤ m < 5.
D. 5 ≤ m <10.
1
Câu 4. Cho hàm số y = x 3 − mx 2 + (m2 − m+1)x +1. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số
3
m để hàm số đạt cực đại tại x = 1.
A. m = 2.
B. m = 1.
C. m = −1.
D. m = −2.
2
Câu 5. Cho hàm số y = (m − 20)x + msin 2x (với m là tham số thực). Tìm tất cả các giá trị thực của
π
tham số m để hàm số đạt cực tiểu tại x = .
3
A. m = 5.
B. m = 4.
C. m = −5.

D. m = −4.
Câu 6. Cho hàm số y = mx + 4− x 2 (với m là tham số thực). Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của
tham số m để hàm số đạt cực đại tại x = 1.
⎧
⎧⎪ 1 ⎫⎪
⎧
⎪ 2 ⎫
⎪
⎪ 1 ⎫
⎪
B. ⎪⎨− ⎪⎬.
C. ⎪⎨ ⎪⎬.
D. ⎪⎨− ⎪⎬.
A. ∅.
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎩ 3 ⎪⎭
⎪
⎪
⎩ 3⎪
⎭
⎩ 3⎪
⎭
x 2 + mx +1
Câu 7. Cho hàm số y =
(với m là tham số thực). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m

x+m
để hàm số đạt cực đại tại x = 2.
A. m = 3.
B. m = 1.
C. m = −3.
D. m = −1.
Câu 8. Biết A(−1;16), B(3;−16) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d. Tính
y(2).
A. −11.
B. 11.
C. 9.
D. −9.
4
Câu 9. Biết A(0;5), B(−2;−3) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số y = ax + bx 2 + c. Tính y(1).
5
19
3
C. .
D. .
.
2
2
2
⎛
⎞
⎛
⎞
b
11
1 1

Câu 10. Biết A⎜⎜−2;− ⎟⎟⎟, B⎜⎜− ; ⎟⎟⎟ là các điểm cực trị của đồ thị hàm số y = ax +
. Tính y(1).
⎜⎝
⎜
⎟
⎟
cx + d
3 ⎠ ⎝ 2 3⎠

A. 1.

B.

5
A. .
3

B.

10
.
3

C.

13
.
3

D.

4
.
3

⎛
2⎞
Câu 11. Cho hàm số y = x 3 − mx 2 + ⎜⎜ m− ⎟⎟⎟ x + 5 (với m là tham số thực) đạt cực trị tại x = 1. Mệnh
⎜⎝
3 ⎟⎠
đề nào sau đây đúng ?

2

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN


BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 3
A. m <−2.
B. −2 < m < 0.
C. 0 < m < 2.
D. m > 2.
3
2
Câu 12. Biết A(0;0), B(1;1) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số y = ax + bx + cx + d. Tính y(2).
A. −4.
B. 4.
C. 28.

D. −28.
3
2
Câu 13. Biết A(−2;0) là điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x + ax + bx + c; đồ thị hàm số đi qua
điểm B(1;0). Tính y(2).
A. 4.
B. 11.
C. 16.
D. 7.
2
Câu 14. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x −3x + 2 + mx đạt cực tiểu tại
x = 3.
A. m = −3.

B. m = 6.
C. m = 3.
D. m = −6.
3
Câu 15. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x −3mx 2 + 2 đạt cực đại tại
x = 1.

⎧1 ⎪
⎫
⎪
⎪⎧ 1 ⎪⎫
B. ⎪⎨ ;1⎪⎬.
C. ⎪⎨ ⎪⎬.
D. ∅.
⎪
⎪⎪⎩ 2 ⎪⎪⎭

⎪
⎪
⎩2 ⎪
⎭
Câu 16. Biết các cực trị của hàm số y = ax 3 −(a + 2)x 2 −9x − b đều là các số không dương và hàm số
đạt cực đại tại x = −1. Giá trị nhỏ nhất của a + b là ?
A. −26.
B. 6.
C. 4.
D. −28.

A. {1}.

Câu 17. Cho hàm số y = (m2 −13)x + m 25− x 2 (với m là tham số thực) đạt cực đại tại x = 3. Mệnh
đề nào sau đây đúng ?
A. m <−3.
B. −3< m < 0.
C. 0 < m < 3.
D. m > 3.
3
2
Câu 18. Cho hàm số f (x) = x + ax + bx + c đạt cực tiểu tại x = 1, f (1) = −3 và đồ thị hàm số cắt trục
tung tại điểm có tung độ bằng 2. Tính S = abc.
A. S = −54.
B. S = 18.
C. S = −18.
D. S = 54.
q
Câu 19. Biết hàm số f (x) = x + p +
đạt cực trị tại x = −2 và f (−2) = −2. Tính S = p + q.

x +1
A. S = −4.
B. S = 4.
C. S = 3.
D. S = 2.
1
Câu 20. Cho hàm số f (x) = − x 3 + mx 2 + nx + p đạt cực đại tại x = 3 và đồ thị (C) của nó tiếp xúc
3
1
với đường thẳng y = 3x − tại giao điểm của (C) với trục tung. Tính S = mnp.
3
8
11
8
A. S = −1.
B. S = .
C. S = .
D. S = − .
3
3
3
2
x + mx + m
Câu 21. Cho hàm số y =
(với m là tham số thực). Tìm tất cả giá trị của m để hàm số đạt
x+m
cực đại tại x = −2.
A. m = −1.
B. m = −3.
C. m = 1.

D. m = 4.
π
Câu 22. Cho hàm số y = sin3x + msin x đạt cực đại tại x = . Mệnh đề nào sau đây đúng ?
3
A. m = −3.
B. m = 3.
C. m = −6.
D. m = 6.
BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM 3
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN


4

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN

2
Câu 23. Biết hàm số y = ax 3 − ax 2 +1 đạt cực tiểu tại x = . Mệnh đề nào sau đây đúng ?
3
A. a > 0.
B. a ∈ ! \{0}.
B. a < 0.
D. a = 0.

Câu 24. Biết hàm số y = (m2 −1)x 4 − 2mx 2 (với m là tham số thực) đạt cực đại tại x = 1. Mệnh đề nào
sau đây đúng ?
1± 5
−1± 5
−1+ 5

1− 5
.
.
.
.
A. m =
B. m =
C. m =
D. m =
2
2
2
2
Câu 25. Biết A(−2;5), B(1;2),C(−3;6) thuộc đồ thị (C) của hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d và hàm số
đạt cực trị tại điểm x = 3. Tìm toạ độ giao điểm của (C) với trục tung.
⎛ 75 ⎞
⎛ 1⎞
⎛
⎛ 1⎞
51⎞
A. ⎜⎜0; ⎟⎟⎟.
B. ⎜⎜0; ⎟⎟⎟.
C. ⎜⎜0;− ⎟⎟⎟.
D. ⎜⎜0; ⎟⎟⎟.
⎜⎝ 26 ⎟⎠
⎜⎝ 52 ⎟⎠
⎜⎝
⎜⎝ 13⎟⎠
52 ⎟⎠
Câu 26. Tìm các hệ số a của hàm số f (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d sao cho hàm số f đạt cực tiểu tại

điểm x = 0, f (0) = 0 và đạt cực đại tại điểm x = 1, f (1) = 1.
A. a = −2.
B. a = 2.
C. a = −3.
D. a = 3.
3
2
Câu 27. Xác định hệ số b sao cho hàm số f (x) = x + ax + bx + c đạt cực trị bằng 0 tại điểm x = −2
và đồ thị của hàm số đi qua điểm A(1;0).
A. b = 3.
B. b = 0.
C. b = −4.
D. b = −3.
2
ax + bx + ab
Câu 28. Tìm tất cả các cặp số thực (a;b) sao cho hàm số y =
đạt cực tiểu tại x = 0 và
bx + a
đạt cực đại tại x = 4.
A. (a;b) = (0;1);(−2;1).
B. (a;b) = (−2;1).
C. (a;b) = (0;−1).
D. (a;b) = (2;−1);(0;−1).
Câu 29. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
1
y = x 3 + (m2 − m+ 2)x 2 + (3m2 +1)x + m−5 đạt cực tiểu tại x = −2.
3
A. {1;3}.
B. {−1;−3}.
C. {3}.

D. {1}.
Câu 30. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x 4 − mx 2 + 2 đạt cực tiểu tại
x = 0.
A. (0;+∞).
B. [0;+∞).
C. (−∞;0).
D. (−∞;0].
Câu 31. Biết hàm số y = (m2 −1)x 4 − 2mx 2 (với m là tham số thực) đạt cực đại tại x = 0. Mệnh đề nào
sau đây đúng ?
A. −1≤ m ≤ 0 hoặc m ≥1.
B. m ≤−1 hoặc 0 ≤ m ≤1.
C. m ≥ 0.
D. 0 ≤ m <1.

4

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN


BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 5
Câu 32. Cho hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d có đồ thị (C). Biết (C) tiếp xúc với đường thẳng
y = 4x − 2 tại giao điểm của (C) với trục tung và hàm số đạt cực trị tại x = −1, y(−1) = 2. Tính
S = a + b+ c + d.
A. S = 34.
B. S = 28.
C. S = 10.
D. S = 12.
5

5
Câu 33. Hỏi có bao nhiêu số thực a để hàm số y = a 2 x 3 + 2ax 2 −9x + b có x0 = − là điểm cực đại.
3
9
A. 2.
B. 1.
C. 0.
D. 3.
Câu 34. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a để hàm số y = ax + x 2 + 4 có điểm cực tiểu.
A. 0 < a <1.
B. −1< a <1.
C. −1< a < 0.
D. −1≤ a ≤1.
Câu 35. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số a để hàm số y = 2x + a x 2 + 3 có điểm cực
đại.
A. (−2;2) \{0}.
B. (2;+∞).
C. (−2;0).
D. (−∞;−2).
Câu 36. Có bao nhiêu số nguyên a ∈ (−2018;2018) để hàm số y = 3x + a x 2 + 4 có điểm cực tiểu ?
A. 2014.
B. 2013.
C. 4.
D. 2.
3
2
Câu 37. Cho hàm số y = ax + bx + cx + d có đồ thị (C). Biết (C) tiếp xúc với parabol y = x 2 + x +1
tại giao điểm của (C) và trục tung, điểm A(−3;1) là điểm cực trị của (C). Mệnh đề nào dưới đây đúng
?
5

11
A. 2(a + b) = c + d.
D. a + b+ 2 = c + d.
B. a + b = c + d − .
C. a + b = c + d − .
3
9
Câu 38. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = mx 4 + (m2 −1)x 2 +1 đạt cực tiểu tại
x = 0.
A. m <−1 hoặc m ≥1.
B. −1< m ≤1.
C. −1≤ m < 0 hoặc m ≥1.
D. m = 0 hoặc m ≥1.
Câu 39. Biết hàm số y = x + asin x + bcos x (với a,b là các tham số thực) đạt cực trị tại các điểm
π
và x = π. Tính S = a + b 3.
3
C. S = 2.
D. S = 4.
A. S = 2 3.
B. S = 3 3 +1.
Câu 40. Cho hàm số f (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d có bảng biến thiên như hình vẽ bên
x=

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM 5
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN


6

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN

⎛ 1⎞
Tính f ⎜⎜ ⎟⎟⎟.
⎜⎝ 2 ⎟⎠
⎛ 1⎞ 1
⎛ 1⎞ 1
⎛ 1⎞ 1
⎛ 1⎞ 1
A. f ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = .
B. f ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = .
C. f ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = .
D. f ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = .
⎜⎝ 2 ⎟⎠ 2
⎜⎝ 2 ⎟⎠ 4
⎜⎝ 2 ⎟⎠ 3
⎜⎝ 2 ⎟⎠ 6
CÁC KHOÁ HỌC MÔN TOÁN DÀNH CHO 2K – 2K1 – 2K2 – 2K3 TẠI VTED

PRO XMAX – VẬN DỤNG CAO 2018 MÔN
TOÁN CHO TEEN 2K
/>PRO X LUYỆN THI THPT QUỐC GIA MÔN
TOÁN 2018 CHO TEEN 2K
/>
PRO XPLUS – LUYỆN ĐỀ THI THỬ THPT
QUỐC GIA 2018 MÔN TOÁN
/>
PRO XMIN –BỘ ĐỀ THI THPT QUỐC GIA 2018
MÔN TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN VÀ CÁC

SỞ ĐÀO TẠO
/>
6

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN


BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 7
PRO Y NỀN TẢNG TOÁN 11 VỮNG CHẮC CHO
TEEN 2K1
/>PRO O CHƯƠNG TRÌNH HỌC SINH GIỎI
TOÁN 11 CHO TEEN 2K1
/>PRO Z NỀN TẢNG TOÁN 10 VỮNG CHẮC CHO
TEEN 2K2
/>ĐỘI NGŨ HỖ TRỢ VTED

ĐÁP ÁN
Thi và xem lời giải chi tiết tại khoá học PRO X />1D
2B
3B
4A
5D
6C
7C
8A
9D
10A
11D

12A
13C
14A
15D
16B
17A
18A
19D
20A
21C
22D
23A
24D
25A
26A
27B
28B
29C
30D
31C
32A
33A
34B
35D
36A
37C
38A
39D
40A

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM 7
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN