điềm điều kiện để hàm số đa thức đơn điệuu trên R

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG I
CHỦ ĐỀ 1.2 Tìm điều kiện để hàm số đa thức đơn điệu trên tập con của R.
MỨC ĐỘ 3
Câu 1.

[2D1-1.2-3] [THPT Quảng Xương 1 lần 2] Tất cả các giá trị m để hàm số
y  mx 3  mx 2   m  1 x  3 đồng biến trên � là.
A. 0  m 

3
.
2

B. m  0 .

C. m �0 .

3
D. m � .
2

Hướng dẫn giải
Chọn D.
y '  3mx 2  2mx  m  1 .
Để hàm số đồng biên trên R thì y ' �0 x ��.
Nếu m  0  y '  1  0 x �� nên m  0 không thỏa mãn.
a  3m  0

�
Vậy hàm số đồng biên trên R ���۳
�
 ' �0
�
Câu 2.

m0
�
� 2
2m  3m �0
�

m0
�
�
�� 3
m�
��
�� 2
�
m �0
��

m

3
.
2

[2D1-1.2-3] [THPT chuyên Nguyễn trãi lần 2] Hàm số
1
2
y   x 3   m  1 x 2   2m  5  x  nghịch biến trên � thì điều kiện của m là.
3
3
A. m �2 .
B. m �2 .
C. 2  m  2 .
D. 2 �m �2 .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
  x 2  2  m  1 x  2m  5 .
Ta có y �
Hàm số đã cho nghịch biến trên � khi chỉ khi.
1  0
�
a0
�
�
�
� m 2  4 �0 � 2 �m �2 .
�
�
2
�
 �0
 m  1  2m  5 �0
�
�

Câu 3.

[2D1-1.2-3] [Sở
GDĐT Lâm
Đồng lần 06]
Định m để hàm
1 m 3
y
x  2(2  m) x 2  2(2  m) x  5 luôn nghịch biến khi:
3
A. m  1. .
B. 2 �m �3 .
C. 2  m  5. .
D. m  2. .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
'
2
Giải: y   1  m  x  4  2  m  x  2  2  m  .
TH1: m = 1 thì y '  4 x  4 . Với m = 1 thì hàm số không nghịch biens trên TXĐ.
m �1
TH2:
để
hàm
số
luôn
nghịch
biến
thì

điều
1 m  0
m 1
�
�
 �2
�
2 m 3.
�'

�
0
m

5
m

6
�
0
�
�

Câu 4.

kiện

số

là:

[2D1-1.2-3] [THPT chuyên Lương Thế Vinh] Có bao nhiêu tham số nguyên m để hàm số
y

mx 3
 mx 2   3  2m  x  m đồng biến trên �?
3
TRANG 1


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

A. Một.

B. Không.

PHƯƠNG PHÁP

C. Hai.
Hướng dẫn giải

D. Vô số.

Chọn C.
 mx 2  2mx 2   3  2m  .
Ta có: y�

�0 x ��.
Để hàm số đồng biến trên � thì y�
� mx 2  2mx 2   3  2m  �0 x ��.

Trường hợp 1:
 3  0 nên hàm số đồng biến trên �.
m  0 nên y�
m0
m0
m0
�
�
m0
�
�
�
�� 2
��
�� 2
Trường
hợp
2:
�
m � 0; 1
4m  4m  3  2m  �0
 �0
12m  12m �0
�
�
�
�
� m � 0; 1 .
Kết luận: m � 0; 1 nên có 2 tham số nguyên m thỏa yêu cầu.
Câu 5.

[2D1-1.2-3] [THPT chuyên Lê Quý Đôn] Tìm tất cả các giá trị thực m để
f  x    x3  3 x 2   m  1 x  2m  3 đồng biến trên một khoảng có độ dài lớn hơn 1 .

A. m �0 .

B. m �0 .

5
 m  0.
4
Hướng dẫn giải
C. 

5
D. m   .
4

Chọn D.
2
Ta có f '  x   3x  6 x  m  1 .

Để hàm số đồng biến trên một khoảng có đọ dài lớn hơn 1 khi và chỉ khi f '  x   0 có hai
nghiệm phân biêt x1 , x2  x1  x2  thỏa mãn x2  x1  1 .
Với

 '  0 � 3m  6  0 � m  2

theo

viet

thì

x2  x1  1 �  x1  x2   4 x1 x2  1  0 � 4m  5  0 � m 
2

Câu 6.

thay

vào

5
kết hợp điều kiện chọn D.
4

[2D1-1.2-3] [BTN 163] Tìm các giá trị của tham số m
1
y  x 3  mx 2   m  6  x   2m  1 luôn đồng biến trên �:
3
A. 2 �m �3 .
B. m �2 hoặc m �3 .
C. m �2 .
D. m �3 .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
y '  x 2  2mx  m  6, y'  0 � x 2  2mx  m  6  0 .
 '  m2   m  6   m2  m  6 .
a 1 0

�
y� 0 
x ��
� ��
Hàm số đồng biến trên �۳���
�
 ' �0
�

Câu 7.

�x1  x2  2
�
�
1 m
x1 x2 
�
3
�

m2 m 6 0

để

hàm

số

:

2 m 3.

[2D1-1.2-3] [BTN 173] Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y   x 3  3 x 2  mx  1
nghịch biến trên khoảng  0; � .
A. m �0 .

B. m �3 .

C. m �0 .
Hướng dẫn giải

D. m �3 .

TRANG 2


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Chọn D.
f '  x   3x 2  6 x  m .
�
�
 �f '  x 
Hàm số f  x  nghịch biến trên  0; 
2
�
3 x�
6�

x m 0, x
� 0;
��


0, x

�
m 3 x 2 6 x, x

 0;
 0;

.
  * .

2
Xét hàm số y  g  x   3 x  6 x trên  0; � .

g ' x  6x  6  0 � x  1 .
Do đó.
 m
 * ۣ

min g  x   m

x� 0; �

3.

.
Câu 8.

[2D1-1.2-3] [TT Hiếu Học Minh Châu] Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm
1 3
2
2
số y  x   m  1 x   m  2m  x  3 nghịch biến trên khoảng  0;1 .
3
A.  1; �
B.  �; 0
C.  1;0 .
D.  0;1
.
.
.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
xm
�
 x 2  2  m  1 x  m 2  2m; y�
0� �
Ta có: y �
.
x  m2
�
Do đó ta có bảng biến thiên:

.
m �0

�
� 1 �m �0 .
Để hàm số nghịch biến trên  0;1 thì  0;1 � m; m  2  � �
m  2 �1
�
Câu 9.

[2D1-1.2-3] [Cụm 1 HCM] Với tất cả các giá trị thực nào của tham số m thì hàm số
y  x 3  3  m  1 x 2  3m  m  2  x nghịch biến trên đoạn  0;1 ?

A. 1 �m �0 .

B. 1  m  0 .
C. m �1 .
Hướng dẫn giải

D. m �0 .

Chọn A.
3
2
Xét hàm số: y  x  3  m  1 x  3m  m  2  x .

2
Ta có: y '  3x  6  m  1 x  3m  m  2  .

TRANG 3


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

xm
�
y' 0 � �
 m  m  2, m  .
x  m2
�
Bảng biến thiên.

.
0;1
y
'
�
0,

x � 0;1 .
Theo Bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên đoạn   khi và chỉ khi
m �0
m �0
�
�
��
��
� 1 �m �0 .
m  2 �1 �
m �1
�

2
Câu 10. [2D1-1.2-3] [THPT Gia Lộc 2] Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x 

2
trên khoảng
x

 0; � .
y 1.
A. min
 0;�

y.
B. Không tồn tại min
 0;�

y  3.
C. min
 0;�

y  1 .
D. min
 0;�
Hướng dẫn giải

Chọn C.
2 2 x3  2
.

x2

x2
y�
 0 � x  1 ( nhận ).
y�
 2x 

Bảng biến thiên:

.
y  3. .
Vậy min
 0;�
Câu 11. [2D1-1.2-3] [THPT Gia Lộc 2] Tìm m để hàm số y   x 3  3 x 2  3mx  m  1 nghịch biến trên

 0; � .
A. m  1 .

B. m �1 .

D. m  1 .

C. m �1 .
Hướng dẫn giải

Chọn B.
 3x 2  6 x  3m  3   x 2  2 x  m  .
Ta có y �

Vì hàm số liên tục trên nửa khoảng  0; � nên hàm số nghịch biến trên  0; � cũng tương
�0, x � 0, � .

đương hàm số nghịch trên  0; � khi chỉ khi y �
�
x 2�
2 x� m 0 x 
 0;� �m
 m min f  x   f  1  1

2
x�
2x

f  x

x

 0;



.

 0;�

TRANG 4


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

1 3
2
Câu 12. [2D1-1.2-3] [THPT Gia Lộc 2] Tìm m để hàm số y   x  mx   m  1 x  m  3 đồng
3
biến trên đoạn có độ dài bằng 2 .
A. m  1 .
B. Không tồn tại m .
C. m  1 hoặc m  2 .
D. m  2 .
Hướng dẫn giải
Chọn C.

  x 2  2mx   m  1 .
Ta có y�
 0 có hai nghiệm
Vì a  1  0 nên yêu cầu bài toán thỏa mãn khi chỉ khi phương trình y�
phân biệt x1 , x2 thỏa x1  x2  2 .
�� 1  5
m
��
2
2
�
�
m  m 1  0
0
��
m2
�
�

��
��
��
� �� 1  5
��
.
2
m
m  1
�x1  x2  2
 x1  x2   4 x1 x2  4 ��
�
�
�
2
� 2
�
�4m  4  m  1  4
Câu 13. [2D1-1.2-3] [CHUYÊN VĨNH PHÚC] Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
1
2
y  x 3   m  1 x 2   2m  3 x  đồng biến trên khoảng  1; � .
3
3
A. m �1 .
B. m �2 .
C. m  2 .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
..

+ Tính đạo hàm y �

D. m  1 .

+ Tìm m sao cho y ' �0 với mọi x � 1; � .
2
Cách giải: + Tìm đạo hàm : y '  x  2  m  1 x  2m  3   x  1  x  2m  3 �0 với mọi x

dương.
Do x  1 nên  x  1  0 , nên  x  2m  3 phải �0 với mọi x  1 .
x 2��
m 3�۳
0
2m 2 0

m 1.

Câu 14. [2D1-1.2-3] [THPT CHUYÊN VINH] Các giá trị của tham số m để hàm số
y  mx 3  3mx 2  3x  2 nghịch biến trên � và đồ thị của nó không có tiếp tuyến song song với
trục hoành là.
A. 1  m  0 .

B. 1 �m �0 .
C. 1 �m  0 .
Hướng dẫn giải

D. 1  m �0 .

Chọn D.
ۣۣ

�y� 0 x � và y �
 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm.
Phân tích: Hàm số nghịch biến trên �
 0 vô nghiệm.
Đồ thị hàm số không có tiếp tuyến song song với trục hoành � y�
 0x ��.
Kết hợp 2 điều kiện ta được y �
Hướng dẫn giải.
TXĐ: D  �.
y�
 3mx 2  6mx  3 .
 3  0x �� (thoả mãn).
Nếu m  0 thì y �

TRANG 5


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

m0
m0
�
�
 0x ��� �
�� 2
� 1  m  0 .
Nếu m �0 thì ycbt � y�
�

0
9m  9m  0
�
�
Kết hợp 2 trường hợp ta được: 1  m �0 .
3
2
Câu 15. [2D1-1.2-3] [Cụm 4 HCM] Điều kiện cần và đủ để hàm số y   x   m  1 x  2 x  3 đồng

biến trên đoạn  0; 2 là?
3
3
A. m � .
B. m  .
2
2

C. m 

3
.
2

3
D. m � .
2

Hướng dẫn giải
Chọn D.
TXĐ: D  R .

y�
 3 x 2  2  m  1 x  2 .
 0 có �
  m  1  6  0 m �R .
Xét phương trình y�
2

 0 luôn có hai nghiệm phân biệt x1  x2 .
Suy ra phương trình y �
�
0;2�
Để hàm số đồng biến trên khoảng �
�
�� y  0 có hai nghiệm x1 �0 �2 �x2 .
6 �0
�
3. y �
�
 0  �0 �
3
�
��۳
m
.
�
�
30  12  m  1 �
2
 2  �0 �3 �
� 3. y�

�
��0

Câu 16. [2D1-1.2-3] [THPT Nguyễn Văn Cừ] Tìm các giá trị của tham số m để hàm số
1 3
x  mx 2   2m  1 x  m  2 nghịch biến trên khoảng  2; 0  . .
3
1
A. m   .
B. m  0 .
C. m  1 .
2
Hướng dẫn giải
Chọn D.
y

1
D. m � .
2

x 1
�
Ta có: y�
 0 � x 2  2 mx  2m  1  0 � �
.
 x 2  2mx  2m  1. Cho y�
x  2m  1 .
�
 0 1 x 2m 1 .
�

Nếu 1 �2m  1 thì ta có biến đổi y �
(trường hợp này hàm số không thể nghịch biến trên khoảng  2;0  ).
�0 � x � 2m  1;1 .
Xét 2m  1  1 ta có biến đổi y �
.

x 00

Vậy, hàm số nghịch biến trên khoảng  2; 0  thì  2;0  � 2 m  1;1 .

-�2�m 1

2

m

1
..
2

TRANG 6


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

1 3
2
Câu 17. [2D1-1.2-3] [THPT Lý Nhân Tông] Giá trị của m để hàm số y  x  mx  4 x  m  1 đồng

3
biến trên � là.
Chọn câu trả lời đúng nhất.
A. m  2 .
B. 2 �m �2. .
C. m  2 .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
y�
 x 2  2mx  4 .
�0, x ��.
Hàm số đồng biến trên � khi và chỉ khi y�
Suy ra �
 m 2  4 �0 � 2 �m �2 .

D. 2  m  2 .

1
Câu 18. [2D1-1.2-3] [THPT Lương Tài] Giá trị của m để hàm số y  x 3 – 2mx 2   m  3 x – 5  m
3
đồng biến trên � là.
3
3
3
A. m �1 .
B.  �m �1 .
C. m � .
D.   m  1 .
4
4

4
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có tập xác định D  �.
y�
 x 2 – 4mx   m  3 .
y�
 0 � x 2 – 4mx   m  3  0 .
�0, x ��, đẳng thức chỉ xảy ra tại hữu hạn
Hàm số đã cho đồng biến trên � khi và chỉ khi y �
3
2
�0 �  2m   1.  m  3 �0 � 4m 2  m  3 �0 �  �m �1 .
điểm � �
4
3
Vậy  �m �1 .
4
Câu 19. [2D1-1.2-3] [THPT Hoàng Quốc Việt] Cho hàm số y  x3  3 x 2  mx  m . Tìm m để hàm số
nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 3 ?
15
4
15
4
A. m  .
B. m   .
C. m   .
D. m  .
4
15

4
15
Hướng dẫn giải
Chọn C.
y�
 3 x 2  6 x  m  0 có 2 nghiệm x1 , x2 và x1  x2  3 .
36  12m  0
�
0
�
�
�
��
m
15 .
�
2
 x1  x2   4 x1 x2  9 �4  4  9 � m  
�
3
4
�
Câu 20. [2D1-1.2-3]

[208-BTN] Tìm giá trị lớn nhất của tham số m

x3
 mx 2  mx  m luôn đồng biến trên �?
3
A. m  5 .

B. m  6 .
C. m  1 .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Tập xác định: D  �.
y '  x 2  2mx  m .

sao cho hàm số

y

D. m  0 .

TRANG 7


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

y ' 0, x��
�
Hàm số đồng biến trên �. ۳���

1 0
�
�2
m  m �0
�

1 m 0.

Vậy giá trị lớn nhất của m để hàm số đồng biến trên � là m  0. .
Câu 21. [2D1-1.2-3] [THPT Tiên Du 1] Hàm số y  

1
 m  1 x3   m  1 x 2  x  2 nghịch biến trên
3

� khi m là.
B. m  1 và m �3 .
D. 1  m �3 .
Hướng dẫn giải

A. m �3 .
C. 0 �m �3 .
Chọn C.

2
Ta có y '    m  1 x  2  m  1 x  1 hàm số nghịch biến trên R khi.

y '    m  1 x 2  2  m  1 x  1
�
m  1
�
�  m  1  0
�
� m � 0;3 .
�
�

2
m
�
0;3



'

m

1

m

1
�
0
�

� 
Câu 22. [2D1-1.2-3] [THPT Thuận Thành] Tìm m để mỗi tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y  x3  mx 2  2mx  2017 đều là đồ thị của hàm số bậc nhất đồng biến.
3
A.   m  0 .
2

B. 6 �m �0 .

C. 24  m  0 .

D. 6  m  0 .

Hướng dẫn giải
Chọn D.
y = x3 - mx 2 - 2mx + 2017 ( D = �) .
x + b. .
y�
= 3x 2 - 2mx - 2m � tiếp tuyến: y = y �
Để tiếp tuyến của hàm số y là hàm số đồng biến.
�
a >0
� y�
>0 � �
� m 2 + 6m < 0
�
�
.
D�
<0
�
� - 6 < m < 0.
Câu 23. [2D1-1.2-3] [THPT Thuận Thành 3] Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
1
y   x 3   m  1 x 2  m 2 x  2m  1 nghịch biến trên tập xác định của nó.
3
1
1
A. m � .
B. m �0 .

C. m �1 .
D. m  .
2
2
Hướng dẫn giải
Chọn A.
y '   x 2  2(m  1) x  m 2 .
Hàm số nghịch biến trên tập xác định khi và chỉ khi.
 ' �0
�
2
�
(m��
1)2m
�۳
0
�
a0
�

2m 1 0

m

1
.
2

TRANG 8

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Câu 24. [2D1-1.2-3] [THPT Quế Võ 1] Hàm số y  
� khi m là.
‫ڳ‬A. 
m 1 m 3 .

B. m �3 .

1
 m  1 x3   m  1 x 2  x  2 nghịch biến trên
3

C. 1  m �3 .
Hướng dẫn giải

D. 0 �m �3 .

Chọn D.
Ta có: y  

1
 m  1 x3   m  1 x 2  x  2 .
3

y�   m  1 x 2  2  m  1 x  1 .
�1

m  1
�
  m  1  0
�
YCBT : � 3
��
��

m 2  3m �0
�
�
 �0
�

m  1
�
�
0 �m �3
�

0 m 3.

Câu 25. [2D1-1.2-3] [THPT Trần Cao Vân - Khánh Hòa] Với giá thực nào của tham số m thì hàm số
y  x3  3 x 2  mx  m đồng biến trên �?
A. m  3 .
B. 1 �m �3 .
C. m �1 .
D. m �3 .
Hướng dẫn giải
Chọn D.

y '  3x 2  6 x  m .
30
�
�9�۳
3m 0
Hàm số đồng biến trên � khi y ' �0, x ��� �
 ' �0
�

m 3.

Câu 26. [2D1-1.2-3] [THPT Quảng Xương 1 lần 2] Tất cả các giá trị m để hàm số
y  mx 3  mx 2   m  1 x  3 đồng biến trên � là.
A. 0  m 

3
.
2

B. m  0 .

C. m �0 .

3
D. m � .
2

Hướng dẫn giải
Chọn D.

y '  3mx 2  2mx  m  1 .
Để hàm số đồng biên trên R thì y ' �0 x ��.
Nếu m  0  y '  1  0 x �� nên m  0 không thỏa mãn.
m0
�
�
m0
a  3m  0
�
�
3
�� 3
m
m�
Vậy hàm số đồng biên trên R ���۳
.
�
� 2
��
 ' �0
2
2m  3m �0
�
�
�� 2
�
m �0
��
Câu 27. [2D1-1.2-3] [THPT Nguyễn Chí Thanh - Khánh Hòa] Với giá trị nào của tham số m thì hàm
1 3

2
số y  x  2 x  mx  1 đồng biến trên �.
3
A. m  4 .
B. m �4 .
C. m  4 .
D. m �4 .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Để hàm số đồng biến trên � thì.
�0
y�
�0��
x �
�
x 2��
4 x���
m 0 x �
4 m 0
m
4.

TRANG 9


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Câu 28. [2D1-1.2-3] [Sở

GDĐT Lâm
Đồng lần 06]
Định m để hàm
1 m 3
y
x  2(2  m) x 2  2(2  m) x  5 luôn nghịch biến khi:
3
A. m  1. .
B. 2 �m �3 .
C. 2  m  5. .
D. m  2. .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
'
2
Giải: y   1  m  x  4  2  m  x  2  2  m  .
TH1: m = 1 thì y '  4 x  4 . Với m = 1 thì hàm số không nghịch biens trên TXĐ.
m �1
TH2:
để
hàm
số
luôn
nghịch
biến
thì
điều
1 m  0
m 1
�

�
 �2
�
2 m 3.
�'
 �0
�
�m  5m  6 �0

kiện

Câu 29. [2D1-1.2-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 05] Cho hàm số y  x 4  2mx 2  3m  1  1

số

là:

(m là

tham số). Tìm m để hàm số  1 đồng biến trên khoảng  1; 2  .
A. m �1 .

B. 0  m �1 .

D. m  0 .

C. m �0 .
Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có y '  4 x3  4mx  4 x( x 2  m) .
+ m �0 , y �
�0, x �(0; �)  m �0 thoả mãn.
+ m 0, y�
 0 có 3 nghiệm phân biệt:  m , 0,
Hàm số (1) đồng biến trên (1; 2) 

m ..

m �1 � 0  m �1 . Vậy m � �;1 .

Câu 30. [2D1-1.2-3] [TTGDTX Vạn Ninh - Khánh Hòa] Tất cả các giá trị m để hàm số
y  mx 3  mx 2  (m  1) x  3 đồng biến trên �.
A. m �0 .

B. m  0 .

C. 0  m 

3
.
2

3
D. m � .
2

Hướng dẫn giải
Chọn D.
 3mx 2  2mx  m  1 .

Tập xác định D  �. y �
�0 , x ��.
Hàm số đồng biến trên � khi và chỉ khi y �
 1  0 không thỏa YCBT.
Với m  0 � y �
m0
�
m0
�
�
�0,���۳
x � �
Với m �0 : y�
�
m ‫�ڳ‬
0 m
�
 2m 2  3m �0
�
�
�

3
2

m

3
.
2

Câu 31. [2D1-1.2-3] [THPT Ng.T.Minh Khai(K.H)] Hàm số y  2 x 3  3(m  1) x 2  6(m  2) x  1 đồng
biến trên � khi và chỉ khi.
A. m �1 .
B. m  3 .
C. m  1 .
D. m  3 .
Hướng dẫn giải
Chọn B.

TRANG 10


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

 6 x 2  6  m  1 x  6  m  2   6 �
x 2   m  1 x  m  2 �
Ta có y�
�
�.
2
Hàm số đồng biến trên � khi và chỉ khi x   m  1 x  m  2 �0, x ��.
�  m  1  4  m  2  �0 � m 2  6m  9 �0 � m  3 .
2

Câu 32. [2D1-1.2-3] [THPT chuyên Lê Quý Đôn] Tìm tất cả các giá trị thực m để
f  x    x3  3 x 2   m  1 x  2m  3 đồng biến trên một khoảng có độ dài lớn hơn 1 .

A. m �0 .

B. m �0 .

5
 m  0.
4
Hướng dẫn giải
C. 

5
D. m   .
4

Chọn D.
2
Ta có f '  x   3x  6 x  m  1 .

Để hàm số đồng biến trên một khoảng có đọ dài lớn hơn 1 khi và chỉ khi f '  x   0 có hai
nghiệm phân biêt x1 , x2  x1  x2  thỏa mãn x2  x1  1 .
Với

 '  0 � 3m  6  0 � m  2

theo

viet

�x1  x2  2
�

�
1 m
x1 x2 
�
3
�

thì

vào

5
kết hợp điều kiện chọn D.
4

x2  x1  1 �  x1  x2   4 x1 x2  1  0 � 4m  5  0 � m 
2

Câu 33. [2D1-1.2-3] [BTN 163] Tìm các giá trị của tham số m
1
y  x 3  mx 2   m  6  x   2m  1 luôn đồng biến trên �:
3
A. 2 �m �3 .
B. m �2 hoặc m �3 .
C. m �2 .
D. m �3 .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
y '  x 2  2mx  m  6, y'  0 � x 2  2mx  m  6  0 .
 '  m2   m  6   m2  m  6 .

a 1 0
�
y� 0 
x ��
� ��
Hàm số đồng biến trên �۳���
�
 ' �0
�

thay

m2 m 6 0

để

hàm

số

:

2 m 3.

Câu 34. [2D1-1.2-3] [BTN 161] Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên khoảng  0;1 .
A. y  x 4  2 x 2  2016 .
C. y  x 3  3 x  1 .

B. y   x 4  2 x 2  2016 .
D. y  4 x 3  3x  2016 .

Hướng dẫn giải

Chọn B.
Lập bảng biến thiên cho từng đáp án ta được đáp án chọn B.
Câu 35. [2D1-1.2-3] [THPT Kim Liên-HN] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
y = ( m - 3) x - ( 2m +1) cos x nghịch biến trên �.
A.

2
�m �3 .
3

2
B. - 4 �m � .
C. - 4 �m �3 .
3
Hướng dẫn giải

D. -

2
�m �4 .
3

Chọn B.
TRANG 11


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

= m - 3 +( 2m +1) sin x .
Cách 1: Ta có y �
y� 0 x
Hàm số nghịch biến trên � ۣۣ"�

� � ( 2m +1) sin x �3 - m" x ��.

� Max ( 2m +1) sin x �3 - m � 2m +1 �3 - m .
x��
�
3 - m �0
m �3
�
2
�
��
� - 4 �m � .
�
2
2 �� 2
�
�
3m +10m - 8 �0
3
( 2m +1) �( 3 - m)
�
�
Cách 2: Thử giá trị của m trong từng đáp án.

=- 7 - 7 sin x =- 7 ( 1 + sin x ) �0 " x ��(thoả mãn).
+) Với m =- 4 � y �
2
và - 4 �m �3 .
3
�
p�
�
�
= 7 sin x � y �
= 7 > 0 (không thoả mãn) � loại - 4 �m �3 .
+) Với m = 3 � y �
�
�
�
�
�2 �
� Nhận - 4 �m �

Câu 36. [2D1-1.2-3] [THPT Chuyên Thái Nguyên] Tìm m để hàm số f  x  

mx  9
luôn nghịch
xm

biến trên khoảng  �;1 .
A. 3 �m �1 .

B. 3  m �1 .
C. 3  m  3 .

Hướng dẫn giải

D. 3 �m �3 .

Chọn B.

Đề hàm số luôn nghịch biến trên khoảng  �;1 thì y '  0 x � �;1 . .
Vì y ' 

m2  9

 x  m

2

nên để hàm số luôn nghịch biến trên khoảng  �;1 thì

�m 2  9  0
� 3  m �1 .
�
�m �1
Câu 37. [2D1-1.2-3] [THPT Chuyên Thái Nguyên] Tìm m để hàm số:
f  x    m  2
A. m  2 .

x3
  m  2  x 2   m  8  x  m 2  1 luôn nghịch biến trên �.
3
B. m �2 .

C. m ��.
Hướng dẫn giải

D. m �2 .

Chọn D.
 x    m  2 x2  2  m  2  x  m  8 .
Ta có f �

 x   10  0; x ��  1 .
Trường hợp m  2 , ta có f �
Trường hợp m �2 , ta có để hàm số đã cho luôn nghịch biến trên � thì:
m20
�
f�
 x  �0 � �
�
2
�
  m  2    m  2  .  m  8  �0
�
.
m  2
� m  2
�
��
��
� m  2 (2)
10.  m  2  �0
 m  2 �

 m  2    m  8 �
�
��0
�
�

Từ  1 và  2  suy ra để hàm số đã cho luôn nghịch biến trên � thì m �2 .
Câu 38. [2D1-1.2-3] [Cụm 1 HCM] Với tất cả các giá trị thực nào của tham số m thì hàm số
y  x 3  3  m  1 x 2  3m  m  2  x nghịch biến trên đoạn  0;1 ?
TRANG 12


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

A. 1 �m �0 .

PHƯƠNG PHÁP

B. 1  m  0 .
C. m �1 .
Hướng dẫn giải

D. m �0 .

Chọn A.
3
2
Xét hàm số: y  x  3  m  1 x  3m  m  2  x .

2

Ta có: y '  3x  6  m  1 x  3m  m  2  .
xm
�
y' 0 � �
 m  m  2, m  .
x  m2
�
Bảng biến thiên.

.
Theo Bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên đoạn  0;1 khi và chỉ khi y ' �0, x � 0;1 .
m �0
m �0
�
�
��
��
� 1 �m �0 .
m  2 �1 �
m �1
�
1 3
2
Câu 39. [2D1-1.2-3] [BTN 175] Cho hàm số y  x   m  1 x  m  m  2  x  2016 . Tìm tất cả các
3
giá trị thực của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng  3;7  .
A. m �5 .

B. m  1 .

C. m �1 .
Hướng dẫn giải

7 m 1.
D. m �ȣ

Chọn D.
1
y  x3   m  1 x 2  m  m  2  x  2016 � y '  x 2  2  m  1 x  m  m  2  .
3
xm
�
y' 0 � �
. Lúc này hàm số đồng biến trên các khoảng  �; m  ,  m  2; � .
x  m2
�
m  2 �3 �
m �1
�
��
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng  3;7  � �
.
m �7
m �7
�
�
Câu 40. [2D1-1.2-3] [BTN 174] Biết rằng hàm số y 

x3
 3  m  1 x 2  9 x  1 nghịch biến trên  x1 ; x2 

3

và đồng biến trên các khoảng còn lại của tập xác định. Nếu x1  x2  6 thì giá trị m là:
A. 4 .

B. 2 .

C. 4 và 2 .
Hướng dẫn giải

D. 1  2 và 1  2 .

Chọn D.
Xét hàm số y 

x3
 3  m  1 x 2  9 x  1 . Tập xác định �.
3

 x 2  6  m  1 x  9; �
 9  m  1  9 .
Ta có y �
2

Theo đề: Hàm số nghịch biến trên  x1 ; x2  với x1  x2  6 và đồng biến trên các khoảng còn lại
 0 có hai nghiệm x1,2 thỏa mãn x1  x2  6 .
của tập xác định khi và chỉ khi y �

TRANG 13

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

�
�
a  1 �0
��
m0
��
m0
�
��
�
2
�
�
m2
m2
�
 9  m  1  9  0 � ��
� ��
� m  1 � 2. .
�
2
�
�
�
�m  1 � 2

�9  m  1  9  9
�x  x  2 � 6
1
2
�
a
�
Câu 41. [2D1-1.2-3] [BTN 173] Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y   x 3  3 x 2  mx  1
nghịch biến trên khoảng  0; � .
B. m �3 .

A. m �0 .

D. m �3 .

C. m �0 .
Hướng dẫn giải

Chọn D.
f '  x   3x 2  6 x  m .
��
 �f '  x 
Hàm số f  x  nghịch biến trên  0; 
2
�
3 x�
6�
x m 0, x
� 0;
��



0, x

�
m 3 x 2 6 x, x

 0;
 0;

.
  * .

2
Xét hàm số y  g  x   3 x  6 x trên  0; � .

g ' x  6x  6  0 � x  1 .
Do đó.
 *  m

min g  x   m

x� 0; �

3.

.
Câu 42. [2D1-1.2-3] [BTN 167] Hàm số y  x 3  6 x 2  mx  1 đồng biến trên miền  0; � khi giá trị
của m thỏa mãn:
A. m �12 .

B. m  12 .
C. m �12 .
D. m �0 .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Tập xác định: D  �. .
 3x 2  12 x  m. Để hàm số đồng biến trên  0; � khi và chỉ khi:
Ta có: y �
y�
�0,�
x ��
3x2 �۳
12
x m�0,
� x  0;
 0; �
 �
 m 3x 2 12 x, x  0;  .
2
Xét hàm số: g  x   3x  12 x, x � 0;  � .
 x   6 x  12; g �
 x   0 � 6 x  12  0 � x  2 � g  2   12. .
Ta có: g �

Bảng biến thiên:

TRANG 14


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

g  x
Vậy ta có: m �۳۳

m

PHƯƠNG PHÁP

max g  x 
 0; �

.
m 12 .

3
2
Câu 43. [2D1-1.2-3] [Cụm 4 HCM] Điều kiện cần và đủ để hàm số y   x   m  1 x  2 x  3 đồng

biến trên đoạn  0; 2 là?
3
3
A. m � .
B. m  .
2
2

C. m 

3
.

2

3
D. m � .
2

Hướng dẫn giải
Chọn D.
TXĐ: D  R .
y�
 3 x 2  2  m  1 x  2 .
 0 có �
  m  1  6  0 m �R .
Xét phương trình y�
 0 luôn có hai nghiệm phân biệt x1  x2 .
Suy ra phương trình y�
�
0;2�
Để hàm số đồng biến trên khoảng �
�
�� y  0 có hai nghiệm x1 �0 �2 �x2 .
6 �0
�
3. y �
�
 0  �0 �
3
�
��۳
m

.
�
�
30  12  m  1 �
2
 2  �0 �3 �
�
��0
� 3. y�
2

4
Câu 44. [2D1-1.2-3] [THPT Hùng Vương-PT] Đồ thị hàm số y  2m x  3 

m
nghịch biến trên
x 1

khoảng  1; � với.
A. m  0 .

B. m  3 .

C. m  1 .
Hướng dẫn giải

D. m  0 .

Chọn D.
y�

 2m 4 

m

 x  1

2

.

 0, x � 1; +� .
Theo yêu cầu bài toán : y �
m
2 m 4 
 0 nên m  0 .
2
 x  1
2
Câu 45. [2D1-1.2-3] Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số y  mx   m  6  x nghịch biến trên

khoảng  1; � .
A. m �2 .

B. 2 �m �0 .
C. 2 �m  0 .
Hướng dẫn giải

D. m �2 .

Chọn B.

�0, x � 1; � .
y�
 2mx   m  6  . Theo yêu cầu bài toán ta có y �
6
2mx �

 6 0 m
.
m
2x 1
6
Xét hàm số g  x  
với x � 1; � .
2x 1
TRANG 15


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

.

Vậy 2 �m �0 .

mx  2m  3
với m là tham số. Gọi S là
xm
tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định. Tìm số
phần tử của S .

A. 4 .
B. 5 .
C. Vô số.
D. 3 .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
 m 2  2m  3
Ta có y ' 
.
( x  m) 2
Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định thì y ' �0 �  m 2  2m  3 �0 � m �[-1;3] .
Xét tại m  1; m  3 thấy không thỏa mãn. Vậy m  0; m  1; m  2. .

Câu 46. [2D1-1.2-3] [THPT Quoc Gia 2017] Cho hàm số y 

Câu 47. [2D1-1.2-3] [THPT Chuyên Phan Bội Châu] Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m
sao cho hàm số y 
A.  �; 2 .

x 1
nghịch biến trên khoảng  1;1 .
x xm
B.  3; 2 .
C.  �;0 .
2

D.  �; 2  .

Hướng dẫn giải
Chọn A.


Ta có y �

m   x  1

x

2

xm

2



2

.

�m   x  1 2
�0
�
�0
�y�
2
2
ycbt � �
, x � 1;1 � �
, x � 1;1 .
�x  x  m

2
�x  x  m �0
�2
�x  x  m �0
2
�
�m � x  1
� �
, x � 1;1 .
2
�m � x  x





m -� 
x �1 , x
2



1;1



m 0 (*).

2
 Đặt f  x    x  x , x � 1;1 .

1
� f�
 x   2 x  1 � f �
 x  0 � x   .
2
Bảng biến thiên.

.
TRANG 16


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

�1
�
Vậy m � �; 2 �� ; ��(**).
�4
�
Từ   ,   � m � �; 2 .
Câu 48. [2D1-1.2-3] [THPT Chuyên SPHN] Tập tấ cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

y  x 3   m  1 x 2  3x  1 đồng biến trên khoảng  �; � là.
A.  �; 2  � 4; � .

B.  �; 2 � 4; � . C.  2; 4  .

D.  2; 4 .

Hướng dẫn giải
Chọn B.

 3 x 2  2  m  1 x  3 �0 .
Để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  �; � thì y �
a 1 0
�
m  1 �3
m �4
�
�
�
��
��
��
� m � �; 2 � 4; � . .
2
m

1
�
3
m
�
2
�


m


1

9
�
0


�
�
�
Câu 49. [2D1-1.2-3]

[208-BTN] Tìm giá trị lớn nhất của tham số m

x3
 mx 2  mx  m luôn đồng biến trên �?
3
A. m  5 .
B. m  6 .
C. m  1 .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Tập xác định: D  �.
y '  x 2  2mx  m .

sao cho hàm số

y

D. m  0 .

1 0
�
1 m 0.
�2
m  m �0
�
Vậy giá trị lớn nhất của m để hàm số đồng biến trên � là m  0. .
y ' 0, x��
�
Hàm số đồng biến trên �. ۳���

Câu 50. [2D1-1.2-3] [Sở GD và ĐT Long An] Cho hàm số y 

x 1
, với m là tham số. Tìm tập hợp
xm

T gồm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên  3;  � .
A. T   �; 3 .

B. T   1; 3 .

C. T   1; 3 .

D. T   1;  � .

Hướng dẫn giải
Chọn B.

x 1
. Tập xác định: D  �\  m .
xm
m  1
y�

2 .
 x  m

Ta có y 

�
 3; � �D
m �3
�
�
��
� 1  m �3 .
Để hàm số nghịch biến trên  3;  � � �
m  1  0
 0 x � 3; �
�
�y�
2
Câu 51. [2D1-1.2-3] [THPT Gia Lộc 2] Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x 

2
trên khoảng
x

 0; � .
y 1.
A. min
 0;�

y.
B. Không tồn tại min
 0;�
TRANG 17


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

y  3.
C. min
 0;�

y  1 .
D. min
 0;�
Hướng dẫn giải

Chọn C.
2 2 x3  2
.

x2
x2

y�
 0 � x  1 ( nhận ).
y�
 2x 

Bảng biến thiên:

.
y  3. .
Vậy min
 0;�
Câu 52. [2D1-1.2-3] [THPT Gia Lộc 2] Tìm m để hàm số y   x 3  3 x 2  3mx  m  1 nghịch biến trên

 0; � .
A. m  1 .

B. m �1 .

D. m  1 .

C. m �1 .
Hướng dẫn giải

Chọn B.
 3x 2  6 x  3m  3   x 2  2 x  m  .
Ta có y �

Vì hàm số liên tục trên nửa khoảng  0; � nên hàm số nghịch biến trên  0; � cũng tương
�0, x � 0, � .
đương hàm số nghịch trên  0; � khi chỉ khi y �

�
x 2�
2 x� m 0 x 
 0;� �m
 m min f  x   f  1  1

2
x�
2x

f  x

x

 0;



.

 0;�

1 3
2
Câu 53. [2D1-1.2-3] [THPT Gia Lộc 2] Tìm m để hàm số y   x  mx   m  1 x  m  3 đồng
3
biến trên đoạn có độ dài bằng 2 .
A. m  1 .
B. Không tồn tại m .
C. m  1 hoặc m  2 .

D. m  2 .
Hướng dẫn giải
Chọn C.

  x 2  2mx   m  1 .
Ta có y�
 0 có hai nghiệm
Vì a  1  0 nên yêu cầu bài toán thỏa mãn khi chỉ khi phương trình y�
phân biệt x1 , x2 thỏa x1  x2  2 .
�� 1  5
m
��
2
2
�
�
m  m 1  0
0
m2
�
��
�
��
��
��
� �� 1  5
��
.
2
m

m  1
�x1  x2  2
 x1  x2   4 x1 x2  4 ��
�
�
�
2
� 2
�
�4m  4  m  1  4
TRANG 18


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Câu 54. [2D1-1.2-3] [Cụm 6 HCM] Cho hàm số y  2 x 2  3x  1 . Đẳng thức nào sau đây đúng?
�
  y�
A. yy�
 4.
2

�
  y�
B. yy�
 0.
2

�
  y�
C. yy �
 2.
2

�
  y�
D. yy�
  1.
2

Hướng dẫn giải
Chọn C.
y  2 x 2  3x  1 � y�


4x  3

�
�
� 2 y. y�
 4 x  3 � 2  y�
 4 �  y�
2
  2 yy�
  yy�
2

2 2 x 2  3x  1

2

.
Câu 55. [2D1-1.2-3] [THPT Ngô Quyền] Cho hàm số y  mx3  3mx 2  3x  1 . Tìm tập hợp tất cả các
số thực m để hàm số nghịch biến trên �.
0 m
1.
A. m ‫�ڣ‬
B. 1  m  0 .
C. 1 �m �0 .
D. 1 �m  0 .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có y�
 3mx 2  6mx  3 .
Hàm số nghịch biến trên � ۣ y� 0 , x ��.
 3  0, x �� nên m  0 thì hàm số nghịch biến trên �.
Với m  0 , ta có y�

m0
a0
m0
�
�
�
�0 , x �� � �
��2
��
� 1 �m  0 .

Với m �0 , ta có y�
�
�0

1
�
m
�
0
m

m
�
0
�
�
�
Vậy 1 �m �0 thì hàm số nghịch biến trên �.
Câu 56. [2D1-1.2-3] [THPT Trần Phú-HP] Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
x3
x2
  2m  1
  m 2  m  2  x  1 nghịch biến trên khoảng  1; 2  .
3
2
A. 3 .
B. 0 .
C. 1.
D. Vô số.
Hướng dẫn giải

Chọn A.
y

Hàm số y 

x3
x2
  2m  1   m 2  m  2  x  1 nghịch biến trên khoảng  1; 2  .
3
2

� y '  x 2   2m  1 x  m 2  m  2 �0 x � 1; 2  .
2
2
Giải bất phương trình x   2m  1 x  m  m  2 �0 được tập nghiệm S   m  2; m  1 .

m  2 �1
�
�1 m 3.
ۣ
Khi đó yêu cầu bài toán tương đương với  1; 2  � m  2; m  1 � �
m  1 �2
�
Vậy có 3 giá trị nguyên của m cần tìm.
Câu 57. [2D1-1.2-3] [THPT CHUYÊN VINH] Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
y   m 2  1 x 4  2mx 2 đồng biến trên  1; � .

A. m �1 hoặc m �1  5 .
2

B. m �1

C. m �1 hoặc m  1 .

D. m  1 hoặc m 

.
1 5
.
2

Hướng dẫn giải
TRANG 19


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Chọn A.
y�
 4  m 2  1 x3  4mx  4 x �
 m2  1 x 2  m�
�
�.

2
4
2
y�

�
0, x
Để hàm số y   m  1 x  2mx đồng biến trên  1; � ۳�

 1;

.

�  m 2  1 x 2  m �0, x � 1; � ,  * .
Nếu m 2  1  0 � m  1 hoặc m  1 .
Với m  1 khi đó  * � 1 �0 ( mâu thuẫn).
Với m  1 khi đó  * ۳ 1 0 ( đúng) nhận m  1 .
Nếu m 2  1  0 � m  1 hoặc m  1 .
2
m 2�
1 x�۳
m
,�x�۳
Khi đó  * � �
 1;



x2

m
, x
m 1
2

 1;



1

m
.
m 1
2

� 1 5
m  1
�
m�
�
2
2
�
� m  m  1 �0 � �
�
1 5 .
�
� 1 5
m�
m�
�
2
�
�

2
Nếu m 2  1  0 � 1  m  1 .
m 2�
1 x 2
Khi đó  * � �

m,x� 1;
� �


x2

m
, x
m 1
2

 1;

.

( Không xảy ra do x � 1; � ).
1 5
Vậy giá trị cần tìm m �1 hoặc m �
.
2

TRANG 20