ToanD l2 LQD www chiasedethi net

www.ChiaSeDeThi.net
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN
TỈNH QUẢNG TRỊ
--------------------------------------------ĐỀ THI THỬ LẦN 2

ĐỀ THI ĐẠI HỌC NĂM 2014
Môn: TOÁN - Kh ối: D
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

PHẦN CHUNG (7 điểm)
Câu 1. (2điểm) Cho hàm số y = - x3 + 6 x 2 - 9 x + 1 .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tìm m để đường thẳng D : y = (m 2 - 9) x + 1 cắt (C) tại ba điểm A, B, C sao cho x A < xB < xC và
AC = 3 AB
tan 2 x 1 + cos x
Câu 2. (1 điểm) Giải phương trình:
=
1 - sin x
3
3
ì x + y 3 - 3( x 2 + y 2 ) = 2 - 3( x + y )
Câu 3. (1 điểm) Giải hệ phương trình: í
î xy ( x - 2)( y - 2) = 4
2
dx
Câu 4. (1 điểm) Tính : I = ò
3
-6 x - 7 x + 6
Câu 5. (1 điểm) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O , SO vuông góc với đáy, SA = a . Các
mặt phẳng ( SAB ), (SBC ) lần lượt hợp với đáy góc 450 và 600 . Tính theo a thể tích khối chóp
S . ABCD và góc giữa AC với SB .

Câu 6. (1 điểm) Cho các số thực dương x, y thỏa mãn x 2 - y 2 = 1 .
x2 y2
+
+ 2 xy
y 2 x2
PHẦN RIÊNG (3 điểm) (Thí sinh chỉ làm một trong hai phần: A hoặc B)
A. Theo chương trình chuẩn:
Câu 7a. (1 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy lập phương trình đường tròn (C ) tiếp xúc với đường thẳng
D : 3 x + 4 y + 6 = 0 tại A(2; -3) và cắt đường thẳng D ' : 3 x - 4 y - 11 = 0 tại hai điểm B, C sao cho tam
giác ABC có diện tích bằng 7, biết tâm đường tròn (C ) có tung độ dương.
Câu 8a. (1 điểm) Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( P ): 4 x + 3 y + 2 z + 1 = 0 và đường thẳng:
x y z+2
a: = =
. Gọi j là góc hợp bởi đường thẳng a và mặt phẳng ( P ) . Tính cos j và lập phương
1 2
-2
trình mặt phẳng (Q ) chứa a sao cho góc giữa mặt phẳng ( P ) và mặt phẳng (Q ) bằng j .
Câu 9a. (1 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

n

( )

n-k

k

n

1 ö
æ
æ 1 ö
Cho khai triển: P( x) = ç x + 4 ÷ = å Cnk x
ç 4 ÷ biết ba hệ số đầu tiên lập thành
2 x ø k =0
è
è2 xø
cấp số cộng. Tìm n và tìm các số hạng của khai triển nhận giá trị hữu tỷ "x Î N *
B. Theo chương trình nâng cao:
Câu 7b. (1điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy tìm phương trình chính tắc của elip biết hai tiêu điểm cùng với
hai đỉnh trên trục bé xác định một hình vuông và phương trình hai đường chuẩn là: x = ±8 .
Câu 8b. (1 điểm)
Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( a ): 4 x - 5 y - 3 z - 6 = 0 và hai đường thẳng:
x - 1 y - 3 z -1
x y z+2
. Chứng minh rằng D 2 nằm trong mặt phẳng (a )
D1 :
=
=
; D2 : = =
2
-2
1
1 2
-2
và tìm phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I thuộc D1 , tiếp xúc với mặt phẳng (a ) tại điểm K thuộc D 2
Câu 9b. (1 điểm)
Cho các số phức z thỏa mãn: (2 - z )5 = z 5 . Chứng minh rằng z có phần thực bằng 1.
----------------Hết---------------Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Số báo danh của thí sinh:…………………………………………………….

facebook.com/ChiaSeDeThi.net


www.ChiaSeDeThi.net
TRNG THPT CHUYấN Lấ QUí ễN
P N THI I HC NM 2014
TNH QUNG TR
Mụn: TON; Kh i: D
--------------------------------------------Thi gian lm bi: 180 phỳt, khụng k thi gian phỏt
THI TH LN 2
PHN CHUNG (7 im)
Cõu
Li gii vn tt
1a(1 ) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s y = - x 3 + 6 x 2 - 9 x + 1

im

Tx: R
Gii hn: lim y = -Ơ; lim y = +Ơ
x đ+Ơ

x đ-Ơ

y ' = -3 x + 12 x - 9
2

0,25

y ' = 0 x = 1 x = 3
Bbt

x
y'
y

-Ơ

-

1
0

+

+Ơ

3
0

-

+Ơ

1
-3

0,25

-Ơ

Hs ng bin trờn khong (1;3) , nghch bin trờn cỏc khong (-Ơ;1), (3; +Ơ)
Hm s t cc i ti x = 3; yCD = 1 , cc tiu ti x = 1; yCT = -3
im un ca th I (2; -1)
th: i qua

0,25

(0;1), (4; -3)

C

1
O

-3

1b(1 )

1

3

CT

0,25

Tỡm m ng thng D : y = ( m 2 - 9) x + 1 ct (C) ti ba im A, B, C sao cho x A < xB < xC
v AC = 3 AB

PTHG:

ộx = 0
- x 3 + 6 x 2 - 9 x + 1 = ( m 2 - 9) x + 1 x ộở x 2 - 6 x + m 2 ựỷ = 0 ờ 2
2
ở x - 6 x + m = 0; (1)
D ct (C) ti 3 im phõn bit thỡ (1) phi cú 2 nghim phõn bit khỏc 0
ị 9 - m 2 > 0 ị -3 < m < 3 , m ạ 0
Khi ú(1)cú hai ngim phõn bit dng nờn x A = 0, xB v xC l hai nghim ca (1)
AC = 3 AB thỡ xC = 3 xB

3
ỡ
ùù xB = 2
ỡù xB + xC = 6 ỡ4 xB = 6
3 3
Theo Vi-et ta co ớ
ịớ 2
ịớ
ịm=
2
2
2
ợ3 x B = m
ợù xB xC = m
ù 27 = m 2
ùợ 4

facebook.com/ChiaSeDeThi.net

0,25
0,25


www.ChiaSeDeThi.net
0,50

3 3
tha món
2
tan 2 x 1 + cos x
Gii phng trỡnh:
=
1 - sin x
3
p
iu kin: cos x ạ 0 x ạ + kp
2
Th li m =

2(1 )

tan 2 x 1 + cos x
sin 2 x (1 + cos x ) 3
1 - cos 2 x (1 + cos x ) 3
=

=

=

1 - sin x
cos 2 x
1 - sin x
1 - sin 2 x
1 - sin x
3
(1 + cos x ) ộở1 - cos x - (1 + sin x) 3 ựỷ = 0
ộ x = p + k 2p
ộ cos x = -1
ờ
3
ờờ ổ
p ử 1- 3
ờ sin x + 1 cos x = 1 - 3
sin ỗ x + ữ =
ờ
ờở 2
6ứ
2
2
2
ở ố
ộ
ờ x = p + k 2p
ờ
p
1- 3
ờờ x = - + arcsin
+ k 2p ; k ẻ Z . i chiu iu kin nghim tha món
6

2
ờ
5p
1- 3
ờ
ờở x = 6 - arcsin 2 + k 2p
3(1 )

0,25
0,25
0,25

0,25

ỡ x 3 + y 3 - 3( x 2 + y 2 ) = 2 - 3( x + y )

Gii h phng trỡnh: ớ

ợ xy ( x - 2)( y - 2) = 4

ỡù( x - 1)3 + ( y - 1)3 = 0
ỡ x 3 + y 3 - 3( x 2 + y 2 ) = 2 - 3( x + y )
Ta cú: ớ
ớ
2
2
ợ xy ( x - 2)( y - 2) = 4
ùợ( ( x - 1) - 1)( ( y - 1) - 1) = 4

4 (1 )

0,25

ỡy = 2- x
ỡù y = 2 - x
ỡy = 2 - x
ù
ớ
ớ ộ ( x - 1) 2 - 1 = 2
ớ
2
2
2
ợ( x - 1) = 3
ùợ( ( x - 1) - 1) = 4
ùờ
2
ợ ở ( x - 1) - 1 = -2(vn)

0,5

ỡù x = 1 + 3 ỡù x = 1 - 3
ớ
ớ
ợù y = 1 - 3 ùợ y = 1 + 3

0,25

2

Tớnh : I =

-6

t t =

3

2

I=

dx
3
x+6

ũ x-7

x + 6 ị x = t 3 - 6, dx = 3t 2 dt
2

0,25

2

dx
t 2 dx
t 2 dx
=
3

=
3
ũ
ũ0 t 3 - 7t - 6 ũ0 (t - 3)(t + 1)(t + 2) =
3
-6 x - 7 x + 6

0,25

2

=

2
3 ổ 9
5
16 ử
3
+
dt
=
9
ln
t
3
5ln(
t
+
1)
+

16
ln(
t
+
2)
=
(
)
|
ỗ
ữ
0
20 ũ0 ố t - 3 t + 1 t + 2 ứ
20

3
(8ln 2 - 7 ln 3 )
10
Cho hỡnh chúp S . ABCD cú ỏy l hỡnh ch nht tõm O , SO vuụng gúc vi ỏy, SA = a . Cỏc
mt phng ( SAB ), ( SBC ) ln lt hp vi ỏy gúc 450 v 600 . Tớnh theo a th tớch
khi chúp S . ABCD v gúc gia AC vi SB .
=

5(1 )

facebook.com/ChiaSeDeThi.net

0,25

0,25

www.ChiaSeDeThi.net
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC.

S


 = 600 nên
Dễ thấy SMO
= 450 ; SNO
SO
. Ta có:
3
SA2 = SO 2 + OA2 = SO 2 + MO 2 + MA2 =

OM = SO, ON =
I

2

B
M
A

N

C

O

7.SO 2
æ SO ö
= SO + SO + ç
=
÷
3
è 3ø
2

2

Þ SO =

D

AB = 2 NO =
Vậy: VS . ABCD

0,25

a 3
;
7
2a
2a 3
; BC = 2 MO =
7
7

1
1 2a 2a 3 a 3 4a 3
= AB.BC.SO = .
.
.
=
3
3 7
7
7 7 7

0,25
0,25

Gọi I là trung điểm SD ta có SB / / OI nên (
SB, AC ) = (
OI , AI )

12 a 2
+ a2
AD
+
SA
SD
a 2 31a 2
1
a
2a
, AI 2 =
OI = SB = , AO =

= 7
=
2
2
2
4
2
4
28
7
2
2
2
4a
a 31a
+ 2
2
2
AO
+
OI
AI
4
28 = - 1
cos 
AOI =
= 7
2a a
2 AO.OI
7

2
.
7 2
1
Þ cos (
SB, AC ) =
Þ (
SB, AC ) » 67 0 48'.
7
2

6(1 đ)

2

2

0,25

Cho các số thực dương x, y thỏa mãn x 2 - y 2 = 1 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

x2 y2
+
+ 2 xy
y 2 x2
2

2

æ x2 - y2 ö
æ x yö
x2 y2
1
Ta có: P = 2 + 2 + 2 xy = = ç - ÷ + 2 + 2 xy = ç
÷ + 2 + 2 xy = 2 2 + 2 xy + 2
x y
y
x
èy xø
è xy ø

0,25

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

1
1
+ 2 xy + 2 = 2 2 + xy + xy + 2 ³ 3 + 5 = 5
2
x y
x y

0,5

2

ì
1+ 5
ïx =

2
2
ìx - y = 1 ï
2
Đẳng thức xãy ra khi í
Ûí
î xy = 1
ï
-1 + 5
ïy =
2
î

0,25

Vậy GTNN của P là 5
7a (1 đ)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy lập phương trình đường tròn (C ) tiếp xúc với đường thẳng
D : 3 x + 4 y + 6 = 0 tại A(2; -3) và cắt đường thẳng D ' : 3 x - 4 y - 11 = 0 tại hai điểm B, C sao
cho tam giác ABC có diện tích bằng 7, biết tâm đường tròn (C ) có tung độ dương.
Gọi I ( a; b) , ( b > 0 ) là tâm đường tròn (C ) ta có:

uur uur
3(b + 3)
AI ^ uD Þ (a - 2).4 - (b + 3).3 = 0 Þ a - 2 =
(1)
4

facebook.com/ChiaSeDeThi.net

0,25


www.ChiaSeDeThi.net
S DABC = 7 =

1
14
BC.d ( A, D ') ị BC =
= 10
2
d ( A, D ')
2

2

ổ BC ử
ổ 3a - 4b - 11 ử
2
2
2
d ( I , D ') = R - ỗ
ữ = AI - 25 ỗ
ữ = (a - 2) + (b + 3) - 25
5
ố 2 ứ
ố
ứ
2

2

( 3( a - 2) - 4b - 5 ) = 25 ( ( a - 2) 2 + (b + 3) 2 - 25 ) , (2)
2

337
288
Do b > 0 nờn I (5;1) ị R = 5 ị (C ) : ( x - 5) 2 + ( y - 1) 2 = 25
T (1) v (2) suy ra: b = 1 b = -

8a(1 )

0,25

0,25
0,25

Trong khụng gian ta Oxyz cho mt phng ( P ): 4 x + 3 y + 2 z + 1 = 0 v ng thng:

x y z+2
. Gi j l gúc hp bi ng thng a v mt phng ( P ) . Tớnh cos j v lp
= =
1 2
-2
phng trỡnh mt phng (Q ) cha a sao cho gúc gia mt phng ( P ) v mt phng (Q ) bng
j.
uur
uur
nP = (4;3; 2); ua = (1; 2; -2) , a i qua I (0;0; -2)

a:

(

uur uur

2

5
ổ 2 ử
ữ =
29
ố 29 ứ

)

Ta cú: cos j = 1 - sin 2 j = 1 - cos 2 nP , ua = 1 - ỗ

(Q ) cha a nờn (Q ) i qua I (0;0; -2)
Gi m l giao tuyn ca (P) v (Q), vỡ gúc gia
mt phng ( P ) v mt phng (Q ) bng j nờn

a^m
uur
uur uur
um = ộở nP , u a ựỷ = ( -10;10;5)
uur
uur uur
nQ = ộởua , u m ựỷ = (30;15;30)

a
a'
m

P

0,25

0,25

0,25

Q

Vy mp (Q) cú phng trỡnh: 2 x + y + 2 z + 4 = 0
9a(1 )

ổ

n

( )

n-k

k

ổ 1 ử
ỗ 4 ữ bit ba h s u tiờn lp
ố

ố2 x ứ
thnh cp s cng. Tỡm n v tỡm cỏc s hng ca khai trin nhn giỏ tr hu t "x ẻ N *
Cho khai trin: P ( x) = ỗ x +

n
1 ử
k
=
ữ ồ Cn
4
2 x ứ k =0

0,25

x

2

Ba h s u tiờn ca khai trin l Cn0 = 1; Cn1 .

1 n
n(n - 1)
ổ1ử
lp thnh cp s
= v Cn2 ỗ ữ =
2 2
8
ố2ứ

cng nờn:

1+

ộn = 8
n(n - 1)
n
= 2. n 2 - 9n + 8 = 0 ờ
8
2
ở n = 1, (l )

0,25

0,25

( n = 1 thỡ khai trin chi cú 2 s hng)
8- k

Ck x 2
Cỏc s hng ca khai trin u cú dng: 8k . k
2
x4
ỡ(8 - k )M 2
S hng nhn giỏ tr hu t "x ẻ N * ng vi ớ
ị k ẻ {0; 4;8}
ợk M 4
C4
1
Vy khai trin cú 3 s hng luụn nhn giỏ tr hu t "x ẻ N * l: 1; 84 x v 8 2
2

2 x

facebook.com/ChiaSeDeThi.net

0,25

0,25


www.ChiaSeDeThi.net
7b(1 đ)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy tìm phương trình chính tắc của elip biết hai tiêu điểm cùng với hai
đỉnh trên trục bé xác định một hình vuông và phương trình hai đường chuẩn là: x = ±8 .
Hai tiêu điểm F1 (-c;0), F2 (c; 0) và hai đỉnh trên trục bé B1 (0; -b), B2 (0; b) xác định một hình
vuông nên b = c > 0

a
a2
= ± = ±8
e
c
2
2
2
2
2
2
ìïb + c = a
ìï 2c = a

ìï2c = 8c
ìc = 4, (c > 0)
Nên ta có hệ: í 2
Þí 2
Ûí 2
Ûí 2
Þ b 2 = 16
îa = 32
îïa = 8c
îïa = 8c
îïa = 8c
Phương trình hai đường chuẩn của Elips là x = ±

x2 y 2
+
=1
32 16
Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( a ): 4 x - 5 y - 3 z - 6 = 0 và hai đường thẳng:
x - 1 y - 3 z -1
x y z+2
. Chứng minh rằng D 2 nằm trong mặt phẳng (a )
D1 :
=
=
; D2 : = =
2
-2
1
1 2
-2

và tìm phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I thuộc D1 , tiếp xúc với mặt phẳng (a ) tại điểm K
Vậy phương trình chính tắc của elips là

8b(1 đ)

0,25
0,25
0,25

0,25

thuộc D 2
Ta có hai điểm A(0; 0; -2), B( -1; -2;0) thuộc đường thẳng D 2 và cũng thuộc mặt phẳng (a ) nên
đường thẳng D 2 nằm trong mặt phẳng (a )

0,25

Tọa độ tâm mặt cầu: I (1 + 2t ;3 - 2t :1 + t ) Î D1
Tọa độ tiếp điểm của mặt cầu với (a ) là: K (k ; 2k ; -2 - 2 k ) Î D 2

uur

0,25

uur

Ta có KI = I (1 + 2t - k ;3 - 2t - 2 k ;3 + t + 2 k ) cùng phương với na = (4; -5; -3)
Nên ta có

ìk = 1

1 + 2t - k 3 - 2 t - 2 k 3 + t + 2 k
=
=
Þí
4
-5
-3
ît = - 2

0,25

Vậy I (-3;7; -1), bán kính mặ cầu: R = IK = d ( I , (a ) ) = 5 2 nên phương trình mặ cầu cần
tìm là: ( x + 3) 2 + ( y - 7) 2 + ( z + 1) 2 = 50
9b(1 đ)

0,25

Cho các số phức z thỏa mãn: (2 - z )5 = z 5 (1).
Chứng minh rằng z có phần thực bằng 1.
5

æ 2- z ö
Ta có z = 0; z = 2 đều không thỏa mãn (1) nên (2 - z ) = z Û ç
÷ =1
è z ø
2- z
2- z
¹ 0 nên đặt
= r ( cos j + i sin j )
z

z
5

5

0,25

5

æ 2- z ö
5
Þç
÷ = r ( cos 5j + i sin 5j ) = 1 = 1 ( cos k 2p + i sin k 2p )
z
è
ø
2- z
k 2p
k 2p ö
2
k 2p
k 2p
æ
Nên
= 1ç cos
+ i sin
+ i sin
¹0
÷ Û = 1 + cos
z

5
5 ø
z
5
5
è
2
2
Þz=
=
=
k 2p
k 2p
kp æ
kp
kp ö
1 + cos
+ i sin
2 cos
+ i sin
ç cos
÷
5
5
5 è
5
5 ø
kp
kp
kp

kp
cos
- i sin
cos
- i sin
5
5
5
5 = 1 - i tan kp
=
=
kp
kp æ 2 kp 2 2 k p ö
5
cos
cos
- i sin
ç cos
÷
5
5 è
5
5 ø
Vậy z luôn có phần thực là 1

facebook.com/ChiaSeDeThi.net

0,25

0,25

0,25