DUNG LƯỢNG của các KÊNH FADING

Môn: Chuyên đề

DUNG LƯỢNG CỦA CÁC KÊNH FADING

VỚI THÔNG TIN KÊNH BÊN
Tóm tắt – Chúng tôi thu giới hạn Shannon của kênh fading với thông tin kênh bên tại
đầu thu và phát và ở riêng đầu thu. Nguồn cấp tối ưu trong trường hợp trước là hàm
“water-pouring“ theo thời gian, tương tự như hàm water-pouring trong tần số cho
kênh fading chọn tần bất biến theo thời gian. Đảo kênh sẽ khiến dung lượng giảm
mạnh trong điều kiện fading lớn.
Từ khóa – Dung lượng, thông tin kênh bên, kênh fading, điều chỉnh công suất
I. Giới thiệu

Nhu cầu ngày càng tăng về giao tiếp không dây khiến việc xác định giới hạn dung
lượng của kênh fading trở nên quan trọng. Trong bài viết này, chúng tôi thu dung lượng
của kênh fading một người dùng trong đó mức fading của kênh được theo dõi bởi cả đầu
thu và đầu phát và với chỉ đầu thu. Cụ thể, chúng tôi chứng tỏ rằng dung lượng kênh
fading với thông tin kênh bên ở cả đầu thu và đầu phát đạt mức tối ưu khi đầu phát điều
chỉnh công suất, tốc độ dữ liệu và sơ đồ mã hóa theo sự thay đổi trên kênh. Năng lượng
được phân phát tối ưu với thuật toán water-pouring theo thời gian, tương tự như thuật
toán water-pouring sử dụng để đạt mức giới hạn trong kênh fading chọn tần số [1], [2].
Chúng tôi chứng tỏ rằng với fading độc lập và phân bố đều (independent and identically
distributed – i.i.d), với 3 phân bố fading mà chúng tôi quan sát, sử dụng thông tin kênh
bên ở đầu thu có độ phức tạp thấp hơn và dung lượng ước tính cũng đạt mức tương tự khi
điều chỉnh tối ưu theo kênh. Tuy nhiên, với fading tương quan, dung lượng sẽ bị giảm và
độ phức tạp khi mã hóa và giải mã tăng lên nếu chúng ta không thực hiện điều chỉnh ở
đầu phát. Chúng tôi cũng xem xét hai kĩ thuật gần tối ưu để thay đổi công suất phát
nhưng vẫn giữ nguyên tốc độ phát là kênh đảo ngược và kênh đảo ngược cắt ngắn. Các kĩ
thuật này có bộ mã hóa và giải mã rất đơn giản nhưng dung lượng sẽ giảm mạnh khi mức
fading cao. Phân tích dung lượng trong các kĩ thuật trên bỏ qua ảnh hưởng của lỗi ước
tính và độ trễ khiến cho dung lượng giảm.

Cân bằng giữa hai kĩ thuật điều chỉnh và không điều chỉnh trên, ta có một kĩ thuật đạt
được cả mức dung lượng cao và mức độ phức tạp thấp. Giả sử kênh được ước lượng ở
đầu thu, kĩ thuật điều chỉnh cần có một lối phản hồi giữa đầu thu và đầu phát và đầu phát
sẽ phức tạp hơn. Kĩ thuật thay đổi tối ưu có tốc độ và công suất phát thay đổi, mức độ
phức tạp của kĩ thuật giải mã tương đương với việc giải mã một chuổi kênh nhiễu trắng
cộng Gausse (Additive white Gaussian noise - AWGN) song song. Đối với kĩ thuật không
điều chỉnh, thiết kế mã hóa cần sử dụng thống kê tương quan kênh, mức độ phức tạp của
bộ giải mã tỉ lệ thuận với mức giảm tương quan của kênh. Kĩ thuật điều chỉnh tối ưu luôn
có dung lượng tối đa nhưng mức tăng so với truyền dữ liễu bằng kĩ thuật không điều
1


Môn: Chuyên đề

chỉnh với thông tin bên ở đầu thu khi fading gần như i.i.d vẫn nhỏ. Kĩ thuật điều chỉnh
gần tối ưu giảm thiểu độ phức tạp nhưng dung lượng cũng bị giảm.
Kĩ thuật cân bằng giữa tốc độ truyền dữ liệu và độ phức tạp được nghiên cứu với
module hóa điều chỉnh và không điều chỉnh ở [3]. Trong đó module hóa điều chỉnh đạt
được tốc độ dữ liệu trung bình trong khoảng 7-10 dB của dung lượng, tùy thuộc vào tỉ lệ
lỗi yêu cầu. Trong khi đó, module hóa không điều chỉnh có tốc độ dữ liệu bị giảm rất
nhiều. Mã hóa dạng lưới mắt cáo có thể được kết hợp cùng với module hóa điều chỉnh để
đạt được tốc độ cao hơn [4].
Ta không xét đến trường hợp cả đầu thu và đầu phát đều chưa biết mức fading của
kênh. Dung lượng trong trường hợp này thu được cho kênh Gilbert-Elliot ở [5] và cho
các mô hình kênh Markov tổng quát hơn ở [6]. Nếu ta cũng chưa biết các thống kê về sự
thay đổi trên kênh, thì các kênh với fading sâu thường sẽ có dung lượng gần bằng không.
Điều này là do dữ liệu phải được giải mã mà không có lỗi nào. Điều này rất khó đạt được
khi vị trí các chỗ sâu fading là ngẫu nhiên. Cụ thể, dung lượng của một kênh fading với
thay đổi ngẫu nhiên cao nhất là bằng dung lượng của kênh không biến thiên theo thời
gian trong trường hợp các điều kiện fading xấu nhất. Chi tiết về dung lượng của kênh

biến đổi theo thời gian dưới các điều kiện trên được đề cập trong [7] và [8].
Phần còn lại của bài viết này được trình bày như sau. Phần tiếp theo mô tả mô hình hệ
thống. Phần III sẽ đề cập đến dung lượng của kênh fading dưới các điều kiện thông tin
bên khác nhau. Phần IV là các tính toán số học về dung lượng trong fading Rayleigh,
logarithm chuẩn và Nakagami. Kết luận cuối cùng sẽ được tổng hợp trong phần cuối
cùng.
II. Mô hình hệ thống

Hình 1. Mô hình hệ thống
Xét một kênh thời gian rời rạc với mức tăng biến thiên theo thời gian với và một
AWGN . Giả sử mức tăng công suất độc lập với đầu vào của kênh và có giá trị mong
muốn hợp nhất. Gọi là công suất truyền tín hiệu trung bình, là mật độ nhiễu của và là
băng thông của tín hiệu nhận được. Mức tín hiệu/nhiễu (Signal-to-noise ratio - SNR)
nhận được là và giá trị mong muốn trung bình là .
Mô hình hệ thống để gửi một bản tin đầu vào từ đầu phát đến đầu thu được minh họa
trong Hình 1. Bản tin được mã hóa trong từ mã x được gửi qua kênh biến thiên thời gian
2


Môn: Chuyên đề

là tại thời điểm . Mức tăng của kênh biến thiên trong quá trình truyền tải từ mã. Giả sử
thời gian truyền dữ liệu là ngay lập tức để đầu thu có thể biết được tại thời điểm . Ta
cũng cần xem xét trường hợp cả đầu thu và đầu phát đều biết tại thời điểm , nếu dữ liệu
được truyền qua đường truyền không lỗi và không có độ trễ phản hồi. Điều này cho phép
bộ phát thay đổi theo mức tăng của kênh tại thời điểm , tạo nên một mô hình hợp lý cho
một kênh biến thiên chậm với ước lượng kênh truyền và phản hồi đầu phát.

Hình 2. Mã hóa và giải mã ghép kênh
III. Phân tích dung lượng

A. Thông tin bên tại đầu thu và đầu phát

Giả sử cả đầu thu và đầu phát đều biết mức tăng tại thời điểm . Dung lượng của của
một kênh biến thiên theo thời gian với thông tin kênh bên về trạng thái kênh ở cả đầu thu
và đầu phát được đề cập đến lần đầu bởi Wolfowitz cho mô hình sau. Gọi là một quá
trình ngẫu nhiên dừng và ergodic biểu diễn trạng thái của kênh. Gọi C δ là dung lượng của
một kênh cụ thể , và là xác suất hoặc phần thời gian kênh ở trạng thái s. Dung lượng của
kênh biến thiên thời gian này được cho bởi [9, định lý 4.6.1]
Xét dung lượng của kênh fading trong Hình 1. Cụ thể, giả sử một kênh fading AWGN
với mức tăng dừng và ergodic g[i]. Một kênh biến thiên thời gian AWGN với SNR trung
bình sẽ có dung lượng . Gọi là biểu thị phân bố xác suất của SNR nhận được. Từ (1), ta
có dung lượng của kênh fading với thông tin bên đầu thu và đầu phát là
Từ bất đẳng thức Jensen, suy ra (2) luôn nhỏ hơn dung lượng của một kênh AWGN với
công suất trung bình tương tự. Giả sử ta cũng cho công suất phát biến thiên với , ta có
Với điều kiện thêm này, ta không thể áp dụng trực tiếp (2) để tính dung lượng. Tuy
nhiên, ta muốn dung lượng với điều kiện công suất trung bình này sẽ bằng trung bình
dung lượng tính được từ (2) với công suất được phân bố tối ưu theo thời gian. Từ đây, ta
có được định nghĩa cho dung lượng của kênh fading, từ đó ta chứng minh được định lý
mã hóa kênh và ngược lại
3


Môn: Chuyên đề

Định nghĩa: Cho điều kiện về công suất trung bình (3), dung lượng của kênh biến thiên
thời gian được xác định bởi
Định lý mã hóa kênh cho biết rằng ta có thể đạt được dung lượng này, và ngược lại ta
cũng chứng minh được rằng không thể đạt được mã với tốc độ cao hơn với xác suất lỗi
nhỏ tùy ý. Hai định lý trên được nêu trong phần phụ lục.
Định lý mã: Tồn tại một sơ đồ mã hóa với công suất trung bình S có thể đạt được tốc độ

bất kì với xác suất lỗi nhỏ tùy ý.
Ngược lại: Bất kì sơ đồ mã hóa nào với đều có xác suất lỗi lớn hơn không.
Có thể dễ dàng chứng minh rằng hàm công suất để tối đa hóa (4) là
với một giá trị cắt . Nếu ở dưới giá trị cắt này, sẽ không có dữ liệu được truyền đi trong
khoảng thời gian thứ . Vì biến thiên theo thời gian, quy tắc điều chỉnh công suất tối đa ở
(5) là một công thức water-pouring theo thời gian [1] phụ thuộc vào thống kê fading chỉ
thông qua giá trị cắt .
Thay (5) vào (3), ta thấy phải thỏa mãn
Thay (5) vào (4) ta được công thức tính dung lượng có nghiệm đóng
Mã hóa và giải mã kênh đạt được dung lượng như trên được mô tả trong phần phụ lục.
Tuy nhiên ý tưởng chính là tạo một hệ thời gian phân kỳ với đầu vào ghép kênh và đầu ra
tách kênh như ta thấy trong Hình 2. Cụ thể, đầu tiên ta lượng tử hóa phạm vi của các giá
trị fading thành một tập hữu hạn . Cho một độ dài khối n, ta thiết kế được một cặp bộ mã
hóa và giải mã cho mỗi với các từ khóa của công suất trung bình để đạt được tốc độ ,
trong đó là dung lượng của một kênh AWGN biến thiên theo thới gian với SNR nhận
được và . Các cặp bộ mã hóa/giải mã tương ứng với một tập cổng vào và ra liên kết với
mỗi . Khi , cặp cổng tương ứng được kết nối thông qua kênh. Các từ mã liên kết với mỗi
nhờ vậy được ghép kênh với nhau để truyền dữ liệu và được tách kênh ở đầu ra. Nhờ vậy
ta có thể giảm kênh biến thiên theo thời gian thành một tập các kênh bất biến theo thời
gian song song một cách hiệu quả, trong đó kênh thứ chỉ hoạt động khi . Tốc độ trung
bình trên kênh là tổng các tốc độ liên kết với mỗi kênh tính bởi . Điều này đã vẽ ra cách
chứng minh cho định lý mã hóa. Chi tiết được viết trong phần phụ lục cùng với định lý
ngược lại về tốc độ tối đa của sơ đồ mã hóa.
B. Thông tin bên ở đầu thu
Ở [10], người ta đã chứng minh được rằng nếu biến thiên trên kênh thỏa mãn một điều
kiện tương thích thì dung lượng của kênh với thông tin bên tại riêng đầu thu cũng được
tính bởi công thức dung lượng trung bình (2). Điều kiện tương thích được thỏa mãn khi
chuỗi kênh là i.i.d. và phân bố đầu vào để tối đa hóa thông tin chung là như nhau bất kể
trạng thái của kênh. Trong trường hợp này, với công suất phát không đổi, thông tin bên ở
đầu phát không làm tăng thêm dung lượng. Ta sẽ chứng minh dưới đây.

Nếu ở bộ giải mã ta đã biết thì theo kích thước, kênh fading với mức tăng công suất sẽ
tương đương một kênh AWGN với năng lượng nhiễu . Nếu công suất phát cố định tại và
4


Môn: Chuyên đề

là i.i.d. thì phân bố đầu vào tại thời điểm đạt được dung lượng tối đa là một phân bố
Gausse i.i.d. với công suất trung binh . Do vậy, nếu không điều chỉnh công suất, kênh
fading AWGN sẽ thỏa mãn điều kiện tương thích [10]. Dung lượng kênh với fading i.i.d.
và thông tin bên ở riêng đầu thu do đó sẽ là
Công thức này giống với (2), là dung lượng với thông tin bên ở đầu thu và đầu phát
nhưng không có điều chỉnh công suất. Thiết kế mã trong trường hợp này chọn ngẫu
nhiên từ một nguồn Gausse i.i.d. với biến thiên bằng với công suất tín hiệu. Bộ giải mã
hợp lí cực đại theo dõi vector đầu ra của kênh và chọn từ mã để giảm tối thiểu khoảng
cách Euclid
.
Do đó với fading i.i.d. và công suất phát không đổi, thông tin bên tại đầu phát không
được tăng thêm dung lượng và cặp bộ mã hóa/giải mã dựa trên thông tin bên ở riêng đầu
thu đơn giản hơn kĩ thuật điều chỉnh ghép kênh ở Hình 2.
Tuy nhiên, hầu hết kênh vật lý đều có fading tương quan. Nếu fading không phải là
i.i.d. thì (8) chỉ là một ngưỡng trên của dung lượng kênh. Thêm vào đó, khi không có
thông tin bên ở đầu phát, thiết kế mã phải kết hợp các thống kê tương quan của kênh. Độ
phức tạp của bộ giải mã hợp lí cực đại sẽ tỉ lệ thuận với thời gian giảm tương quan.

Hình 3. Dung lượng trong điều kiện fading logarit chuẩn ()
5


Môn: Chuyên đề

C. Đảo kênh

Xét một lược đồ điều chỉnh gần tối ưu ở đầu phát trong đó bộ phát sử dụng thông tin
kênh bên để giữ mức năng lượng nhận được không đổi, tức là đảo kênh fading. Khi đó
đối với bộ mã hóa và giải mã, kênh đó sẽ là một kênh AWGN bất biến theo thời gian.
Điều chỉnh công suất cho đảo kênh là , trong đó bằng với SNR không đổi nhận được nhờ
có điều kiện về công suất phát (3). Hằng số do đó thỏa mãn , nên .
Dung lượng kênh fading với đảo kênh là dung lượng của một kênh AWGN với SNR :
Đảo kênh khá phổ biến trong các hệ trải phổ với bất cân bằng giao thoa gần-xa [11] và
việc thực hiện cũng rất đơn giản vì bộ mã hóa và giải mã được thiết kế cho một kênh
AWGN, độc lập với thống kê fading. Tuy nhiên, trong các môi trường fading lớn, dung
lượng sẽ bị giảm mạnh. Ví dụ, trong fading Rayleigh là vô hạn, do đó dung lượng của
đảo kênh bằng không.
Ta xét một quy tắc đảo cắt để bù lại cho fading ở trên mức cắt nhất định
Vì kênh này chỉ được sử dụng khi , điều kiện về công suất (3) sẽ cho , trong đó
Để giải mã quy tắc này, bộ thu phải biết được khi nào . Dung lượng tối đa trong trường
hợp này sẽ đạt được khi tối đa hóa tất cả có thể là

6


Môn: Chuyên đề

Hình 4. Dung lượng trong fading Rayleigh
IV. Kết quả

Hình 3-5 cho thấy đồ thị của (4), (8), (9) và (12) như một hàm của SNR trung bình nhận
được với fading logarit chuẩn tắc (độ lệch chuẩn ), fading Rayleigh và fading Nakagami
(với tham số Nakagami ). Dung lượng trong AWGN cho cùng một công suất trung bình
cũng được biểu thị để so sánh. Có thể quan sát thấy một vài điểm đáng chú ý sau. Đầu

tiên, với phạm vi giá trị SNR này, dung lượng của kênh AWGN lớn hơn nên fading làm
giảm dung lượng kênh. Trường hợp này không luôn luôn xảy ra với SNR rất nhỏ. Mức
nghiêm trọng của fading được biểu thị bởi tham số Nakagami , trong đó đối với fading
Rayleigh và đối với một kênh AWGN không có fading. Do đó, so sánh Hình 4 và 5, ta
thấy khi mức fading giảm xuống ( tăng từ 1 đến 2), hiệu dung lượng giữa các quy tắc
điều chỉnh khác nhau cũng giảm. Dung lượng tương ứng tiến gần đến dung lượng của
kênh AWGN.
Khác biệt giữa đường dung lượng (4) và (8) là không đáng kể trong mọi trường hợp.
Cần nhớ rằng (2) và (8) là như nhau, nghĩa là khi tốc độ truyền dữ liệu điều chỉnh theo
kênh, nếu công suất cũng được điều chỉnh, mức dung lượng tăng lên là không đáng kể.
Điều này cũng chỉ ra rằng với fading i.i.d., điều chỉnh ở đầu phát sẽ tăng dung lượng
không đáng kể so với chỉ sử dụng thông tin kênh bên. Ta cũng thấy rằng trong điều kiện
fading lớn (fading Rayleigh và fadin logarit chuẩn tắc), tốc độ của đảo kênh cắt sẽ bị
7


Môn: Chuyên đề

giảm từ 1-5 dB và dung lượng của đảo kênh không cắt sẽ bị giảm rất mạnh. Tuy nhiên,
dưới điều kiện fading thấp (fading Nakagami với ) sự khác biệt về dung lượng của tất cả
các kĩ thuật trên đều nằm trong khoảng 3 dB so với các kĩ thuật khác và nằm trong
khoảng 4 dB của dung lượng kênh AWGN. Sự khác biệt này sẽ càng giảm đi khi fading
giảm dần ().

Hình 5. Dung lượng trong fading Nakagami
Ta có thể xem các kết quả trên là sự cân bằng giữa dung lượng và độ phức tạp. Quy tắc
điều chỉnh với thông tin bên ở đầu phát yêu cầu đầu phát phức tạp hơn (và thường yêu
cầu một lối phản hồi giữa đầu thu và đầu phát để thu thập thông tin bên). Tuy nhiên, bộ
giải mã ở đầu thu khá đơn giản. Quy tắc không điều chỉnh có lược đồ truyền dữ liệu khá
đơn giản, nhưng thiết kế mã lại phải sử dụng thống kê tương quan kênh (thường là không

biết), và độ phức tạp của bộ giải mã tỉ lệ thuận với thời gian giảm tương quan của kênh.
Quy tắc đảo kênh và đảo kênh cắt sử dụng mã được thiết kế cho các kênh AWGN nên ít
phức tạp nhất nhưng dung lượng lại bị giảm mạnh trong điều kiện fading lớn so với các
kĩ thuật khác.
Nói chung, phân tích giới hạn Shannon không chỉ ra được cách thiết kế các kỹ thuật
điều chỉnh hay không điều chỉnh cho các hệ thống thật. Tốc độ đạt được cho điều chế
biên cầu phương mã hóa dạng lưới mắt cáo (Quadrature amplitude modulation - QAM)
điều chỉnh được nghiên cứu trong [4]. Trong đó một mã dạng mắt cáo bốn trạng thái đơn
8


Môn: Chuyên đề

giản kết hợp với sáu QAM kết hợp đã đạt được tố độ trong khoảng 7 dB của dung lượng
(4) trong Hình 3 và 4. Với các mã phức tạp hơn và các kết hợp khác có thể đạt đến gần
mức giới hạn dung lượng Shannon trong khoảng một vài dB.
V. Kết luận
Chúng ta đã xác định được dung lượng của kênh fading AWGN với một điều kiện công
suất trung bình dưới các điều kiện thông tin kênh bên khác nhau. Khi thông tin bên về trạng
thái kênh hiện tại được biết ở cả đầu phát và đầu thu, lược đồ truyền dữ liệu điều chỉnh tối
ưu sử dụng công thức water-pouring theo thời gian để điều chỉnh công suất và một lược đồ
mã hóa ghép kênh biến thiên tốc độ. Trong các kênh có fading tương quan, lược đồ truyền
dữ liệu điều chỉnh này vừa có dung lượng thấp hơn và ít phức tạp hơn so với truyền dữ liệu
không điều chỉnh với thông tin bên ở đầu thu. Tuy nhiên, dung lượng tăng lên và mức độ
phức tạp trong fading i.i.d so với kĩ thuật truyền dữ liệu không điều chỉnh là không đáng kể.
Kĩ thuật đảo kênh có bộ mã hóa và giải mã đơn giản nhất nhưng có dung lượng thấp trong
điều kiện fading lớn. Dung lượng của tất cả các kĩ thuật trên đều tiến gần đến mức dung
lượng của kênh AWGN khi mức fading giảm dần.
Phụ lục
Ta sẽ chứng minh rằng dung lượng của kênh biến thiên theo thời gian trong Phần II được

tính bằng công thức (4). Trước hết ta chứng minh định lý mã hóa, sau đó sẽ chứng minh
phần ngược lại.
Định lý mã hóa: Gọi là hàm của (4). Với mọi tồn tại một chuỗi khối mã với công suất
trung bình S, tốc độ , và xác suất lỗi khi .
Chứng minh: Với mọi cố định và , gọi

là một tập hữu hạn các giá trị SNR, trong đó là một giá trị cắt liên kết với quy tắc điều
chỉnh công suất tối ưu cho công suất trung bình S (gọi là trong (5) ở Phần III-A). SNR nhận
được của kênh fading nhận giá trị trong khoảng và các giá trị rời rạc trên tập con của
khoảng này với độ rộng bước . Ta nói rằng kênh fading trong trạng thái nếu , trong đó . Ta
cũng định nghĩa một quy tắc điều chỉnh năng lượng liên kết với trạng thái như sau

Trong khoảng thời gian cho trước , gọi là số lần truyền dữ liệu trong khoảng thời gian
kênh ở trong trạng thái . Với biến thiên dừng và ergodic của kênh
Xét kênh AWGN bất biến theo thời gian với SNR và công suất phát . Với cho trước, gọi
với n đủ lớn. Từ công thức Shannon [12], với
ta có thể tạo một chuỗi mã
9


Môn: Chuyên đề

với công suất trung bình và xác suất lỗi khi .
Chỉ số bản tin được truyền qua kênh trong Hình 2 như sau. Trước hết ta ánh xạ với các
chỉ số bằng cách chia bit xác định chỉ số bản tin thành các tập gồm bit. Sau đó ta sử dụng
phương pháp ghép kênh được mô tả ở Phần III-A để truyền từ mã khi kênh ở trạng thái .
Trong đoạn ta sử dụng kênh thứ lần. Nhờ vậy ta có thể đạt được tốc độ truyền dữ liệu
Công suất phát trung bình của mã ghép kênh là
Từ (14) và (15), có thể dễ dàng thấy rằng
Vậy nên, với cố định, ta có thể tìm được n đủ lớn để

Hơn nữa, quy tắc điều chỉnh công suất thỏa mãn điều kiện công suất với n gần đủ lớn
Trong đó a có được từ (14). Ta có b do với và c có được từ (3).
Vì SNR của kênh trong quá trình truyền dữ liệu của mã lớn hơn hoặc bằng , xác suất lỗi
của lược đồ mã hóa ghép kênh bị chặn trên bởi
do nghĩa là với mọi kênh j liên quan. Do đó ta chỉ còn cần chứng minh rằng với không
đổi tồn tại m và M sao cho
Dễ dàng chứng minh được rằng
Trong đó giới hạn hữu hạn của suy ra từ phải lớn hơn không để thỏa mãn (6). Vậy nên
với không đổi tồn tại một sao cho
Hơn nữa, với M không đổi, từ định luật hội tụ đơn điệu [13] ta có
Do đó dùng từ (23) và kết hợp (23) với (24) ta thấy rằng với cho trước tồn tại một số m
đủ lớn để
Như vậy ta đã chứng minh được định lý trên.
Định lý đảo: Bất kì chuỗi mã với công suất trung bình S và xác suất lỗi khi phải có .
Chứng minh: Xét chuỗi bất kỳ gồm mã
với công suất trung bình và khi . Giả sử mã được thiết kế khi đã biết trước về thông tin
kênh bên vì tac chỉ biết được tại thời điểm . Giả sử chỉ số bản tin phân bố đều trên . Ta có
Trong đó a có được từ định luật xử lý dữ liệu [14] và giả sử về thông tin kênh bên và b có
được từ bất đẳng thức Fano.
Gọi là số lần kênh có mức fading trong khoảng thời gian . Gọi là công suất trung bình
trong liên kết với mức fading . Ta có
10


Môn: Chuyên đề

Công suất phát trung bình của tất cả từ mã với một mức fading là . Ta định nghĩa
Từ đó ta có
Trong đó a là do kênh không nhớ khi ở điều kiện , b có được từ bất đẳng thức Jensen và c
có được do thông tin chung tối đa trên một kênh AWGN với băng thông B và SNR là .

Kết hợp (26) và (28) ta có
Từ giả thiết, mỗi từ mã thỏa mãn điều kiện công suất trung bình nên với mọi ta có
Do đó ta cũng có
Hơn nữa, nhận các giá trị trong một không gian thu gọn nên ta có một chuỗi con hội tụ
Vì thỏa mãn điều kiện về công suất trung bình nên
Chia (29) cho n, ta có
Từ giới hạn ở vế phải của (31) cùng với chuỗi con ta có
với định nghĩa của và do (30), thỏa mãn điều kiện về công suất trung bình.

11