Phương pháp giải một vài lớp bài toán cân bằng và bất đẳng thức biến phân hai cấp tt

MỞ ĐẦU
1. Lịch sử vấn đề và lý do chọn đề tài
Cho H là một không gian Hilbert thực với tích vô hướng ·, · và chuẩn
· . Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của H, và ánh xạ F : C → H
thường được gọi là ánh xạ giá (trong một vài trường hợp, F đi từ H tới H). Theo
E. Blum và W. Oettli [25], bài toán bất đẳng thức biến phân (đơn trị) trong H,
viết tắt VI(F, C), được viết dưới dạng:
Tìm x∗ ∈ C sao cho F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0 với mọi x ∈ C.
Bài toán bất đẳng thức biến phân VI(F, C) được giới thiệu lần đầu tiên vào
năm 1966 bởi G.J. Hartman và G. Stampacchia, khi nghiên cứu việc giải bài toán
điều khiển tối ưu và các bài toán biên cho phương trình đạo hàm riêng [42].
Năm 1971, M. Sibony [74] đã xét bài toán bất đẳng thức biến phân trong trường
hợp ẩn khi tập ràng buộc C là tập nghiệm của phương trình toán tử đơn điệu.
Cũng nghiên cứu về bài toán bất đẳng thức biến phân trong trường hợp này, I.
Yamada [90] đã xét bài toán với tập C là tập điểm bất động của ánh xạ không
giãn, đây là trường hợp riêng khi C là nghiệm của toán tử đơn điệu.
Trong không gian Hilbert thực H với song hàm f : C × C → R ∪ {+∞},
theo L.D. Muu và W. Oettli [64], bài toán cân bằng EP(f, C), đặt ra là tìm một
điểm x∗ ∈ C sao cho f (x∗ , x) ≥ 0 với mọi x ∈ C. Dễ thấy, trong trường hợp
1


f (x, y) = F (x), y − x với mọi x, y ∈ C, bài toán VI(F, C) được viết dưới dạng
bài toán cân bằng EP(f, C). Từ mối liên hệ giữa hai bài toán này chính là cơ sở
dẫn đến một số cách tiếp cận và nghiên cứu việc giải các bài toán dạng mở rộng
của bài toán bất đẳng thức biến phân như bài toán cân bằng, bài toán bất đẳng
thức biến phân hai cấp, bài toán cân bằng hai cấp, bài toán bất đẳng thức biến
phân trên tập nghiệm bài toán cân bằng và một số dạng khác.
Năm 1976, R. Kluge [47] nghiên cứu bài toán bất đẳng thức biến phân VI(F, C)
trong trường hợp miền ràng buộc C là tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến
phân khác, bài toán này được gọi là bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp,

một dạng mở rộng của bài toán bất đẳng thức biến phân, được viết dưới dạng:
Tìm x∗ ∈ S(F, C) sao cho

G(x∗ ), y − x∗ ≥ 0 với mọi y ∈ S(F, C),

ở đây S(F, C) là tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân VI(F, C). Hơn
nữa, dạng mở rộng của bài toán hai cấp này là bài toán cân bằng hai cấp khi miền
ràng buộc của bài toán cân bằng là tập nghiệm của một bài toán cân bằng khác.
Bài toán cân bằng hai cấp BEP(g, f, C) được phát biểu như sau:
Tìm x∗ ∈ Sol(f, C) sao cho g(x∗ , x) ≥ 0 với mọi x ∈ Sol(f, C),
ở đây Sol(f, C) là tập nghiệm của bài toán cân bằng EP(f, C).
Trong những năm gần đây, bài toán cân bằng hai cấp là một đề tài hấp dẫn
đối với rất nhiều nhà toán học cả về nghiên cứu sự ttồn tại nghiệm và thuật toán.
Một số kết quả khá sâu sắc và phong phú đã đạt được trong lĩnh vực nghiên cứu
về sự tồn tại nghiệm, tính chất liên thông và tính ổn định của tập nghiệm, tính
liên tục của ánh xạ nghiệm và các tính chất định tính khác của bài toán bất đẳng
thức biến phân, bài toán hai cấp và các dạng bài toán suy rộng như nhóm tác
giả B.S. Mordukhovich [61, 62], P. Daniele [34], I.V. Konov [48], P.Q. Khanh [17,
2


18], N.D. Yen [46, 94], L.D. Muu [63, 64], P.K. Anh [6, 7], N. Buong [27, 28], N.N.
Tam [80],.... Những đóng góp đáng kể về thuật toán cho một lớp các bài toán cân
bằng hai cấp như thuật toán đạo hàm tăng cường giải bài toán bất đẳng thức biến
phân hai cấp đề xuất bởi P.N. Anh, J.K. Kim và L.D. Muu [16], thuật toán hàm
phạt của L.D. Muu và B.V. Dinh cho bài toán cân bằng hai cấp đơn điệu [36] và
một số thuật toán khác [35, 45, 81].
Phương pháp đạo hàm tăng cường được G.M. Kopelevich [50] đưa ra vào năm
1976 áp dụng giải bài toán tìm điểm yên ngựa sau đó được phát triển cho bài toán
bất đẳng thức biến phân đã trở thành một công cụ hữu hiệu để phân tích và phát

triển mở rộng các thuật toán giải với khá nhiều dạng khác nhau. Phương pháp
này sử dụng hai phép chiếu trong mỗi bước lặp như sau:


x0 ∈ C, y n = P rC (xn − λn F (xn ))

(0.1)


xn+1 = P r (xn − λ F (y n )).
C
n
Gần đây, một số nhà toán học đã đưa ra ứng dụng của phương pháp đạo hàm
tăng cường trong việc giải các bài toán tối ưu chẳng hạn như ứng dụng giải bài
toán cân bằng của T.D. Quoc, V.H. Nguyen và L.D. Muu [69], ứng dụng tìm điểm
chung của bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động được giới
thiệu bởi Y. Yao, Y.C. Liou và J.C. Yao [92]. Theo hiểu biết của chúng tôi, phương
pháp đạo hàm tăng cường được mở rộng lần đầu tiên bởi P.N. Anh vào việc giải
bài toán tìm điểm chung của bài toán cân bằng và bài toán điểm bất động của các
ánh xạ không giãn, ánh xạ giả co chặt [9, 10, 15] với các điều kiện liên tục kiểu
Lipschitz hoặc không Lipschitz với kỹ thuật tìm kiếm theo tia kiểu Armijo và các
giả thiết đơn điệu trên song hàm cân bằng. Hướng tiếp cận này cũng được nghiên
cứu mở rộng cho họ vô hạn hoặc hữu hạn bài toán cân bằng và bài toán điểm bất
động, chủ yếu giải quyết hai vấn đề chính như bỏ giả thiết liên tục kiểu Lipschitz
3


và giảm giả thiết đơn điệu trên song hàm cân bằng.
Một tiếp cận cơ bản khác là phương pháp hiệu chỉnh kiểu Tikhonov được đề
xuất bởi A. Moudafi [60]. Ý tưởng chính của phương pháp này là kết hợp giữa

phương pháp hàm phạt và phương pháp điểm gần kề để đưa việc giải bài toán cân
bằng hai cấp EP(g, Sol (f, C)) về việc giải một dãy các bài toán cân bằng đơn
điệu EP(h , C), trong đó với mỗi

> 0, song hàm cân bằng h được xác định bởi

h (x, y) = f (x, y) + g(x, y) với mọi x, y ∈ C. Khi đó, thuật toán lặp được xây
dựng khá đơn giản với dãy lặp {xk } xác định bởi:
x0 ∈ C, h k (xk+1 , y) +

1 k+1
x
− xk , y − xk+1 ≥ 0, ∀y ∈ C.
rk

Bằng cách chọn các tham số dương
lim inf k→∞ rk > 0 và

∞
k=0 rk k

k

> 0, rk > 0 (với mọi k ∈ N) thỏa mãn

< ∞, dãy lặp {xk } hội tụ yếu tới một nghiệm của

bài toán cân bằng hai cấp BEP(f, g, C) với điều kiện các song hàm f và g thỏa
mãn tính chất đơn điệu trong không gian Hilbert thực H.
Thời gian gần đây, trong hai cuốn sách "Continuous and Distributed Systems"

[72] và "Cybernetics and System Analysis" [73], V. Semenov nghiên cứu bài toán
bất đẳng thức biến phân trong trường hợp tổng quát hơn khi C là tập nghiệm
chung của một họ hữu hạn bài toán cân bằng đơn điệu. Đây là một trường hợp
đặc biệt của bài toán cân bằng hai cấp. Vấn đề đặt ra là cần xây dựng các thuật
toán mới, mở rộng, cải tiến và thực thi hóa các phương pháp đã có để giải các
bài toán hai cấp này, đặc biệt là các bài toán với các song hàm và ánh xạ giá có
một số tính chất như giả đơn điệu, tựa đơn điệu, para-đơn điệu. Vì vậy, trên cơ
sở kế thừa và phát huy các kết quả đã có trong và ngoài nước về các thuật toán
giải một lớp các bài toán hai cấp, chúng tôi chọn đề tài: "Phương pháp giải một
vài lớp bài toán cân bằng và bất đẳng thức biến phân hai cấp" với hai mục tiêu
chính là đề xuất thuật toán và nghiên cứu ứng dụng tính toán trên máy tính.
4


2. Mục tiêu nghiên cứu
(i) Xây dựng thuật toán giải bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp.
(ii) Nghiên cứu đề xuất thuật toán mới giải bài toán bất đẳng thức biến phân
trên tập nghiệm của bài toán cân bằng.
(iii) Nghiên cứu xây dựng thuật toán giải bài toán cân bằng trên tập nghiệm của
bài toán bất đẳng thức biến phân.
(iv) Xây dựng thuật toán xấp xỉ một phép chiếu giải bài toán cân bằng.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
(i) Xây dựng phương pháp ánh xạ nghiệm để giải bài toán cân bằng và chứng
minh tính tựa không giãn và tựa co của ánh xạ nghiệm trong Rn .
(ii) Đề xuất thuật toán tìm nghiệm của bài toán BVI(F, G, C).
(iii) Nghiên cứu xây dựng thuật toán giải bài toán VIEP(F, f, C).
(iV) Đề xuất thuật toán giải bài toán EVIP(g, F, C).
(V) Nghiên cứu xây dựng thuật toán xấp xỉ một phép chiếu giải bài toán EP(f, C).

4. Phương pháp nghiên cứu

• Để tìm nghiệm bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp, chúng tôi sử dụng
các kỹ thuật chiếu và xấp xỉ gắn kết.
• Để có được thuật toán giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm
của bài toán cân bằng, chúng tôi dựa trên nền tảng của thuật toán đạo hàm
tăng cường đã được đề xuất giải bài toán cân bằng.
5


• Xây dựng và chứng minh sự hội tụ mạnh của thuật toán dưới đạo hàm giải
bài toán cân bằng trên tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân,
chúng tôi dựa trên các kỹ thuật dưới đạo hàm và điểm bất động.
• Để thu được sự hội tụ của phương pháp một phép chiếu giải bài toán cân
bằng, chúng tôi mở rộng phương pháp chiếu siêu phẳng và các kỹ thuật lai
ghép.
5. Kết quả của luận án
Luận án đã đạt được những kết quả chính sau đây:
• Đề xuất phương pháp ánh xạ nghiệm để giải bài toán cân bằng và chứng minh
được tính tựa không giãn và tựa co của ánh xạ nghiệm S(x).
• Xây dựng được thuật toán chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân hai
cấp với giả thiết ánh xạ F đơn điệu mạnh, liên tục Lipschitz và G đơn điệu
mạnh ngược.
• Đề xuất và chứng minh sự hội tụ của thuật toán dưới đạo hàm giải bài toán
bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán cân bằng với giả thiết
song hàm f giả đơn điệu, thỏa mãn điều kiện kiểu Lipschitz và ánh xạ F liên
tục Lipschitz, đơn điệu mạnh.
• Nghiên cứu thuật toán chiếu dưới đạo hàm giải bài toán cân bằng trên tập
nghiệm bài toán bất đẳng thức biến phân dưới giả thiết song hàm f đơn điệu
mạnh và ánh xạ F liên tục Lipschitz, para-đơn điệu và đóng yếu.
• Xây dựng phương pháp xấp xỉ một phép chiếu giải bài toán cân bằng dưới
điều kiện của song hàm thỏa mãn điều kiện para-đơn điệu.

6


• Đưa ra một số ví dụ minh họa cho các thuật toán mới được đề xuất.
Các kết quả chính của luận án được công bố trong 05 bài báo đã xuất bản trong
các tạp chí quốc tế có uy tín và được báo cáo tại:
• Hội nghị Toán học Miền Trung–Tây Nguyên lần thứ nhất (12-14/8/2015 tại
Đại học Quy Nhơn).
• Hội nghị lần thứ IV về Ứng dụng Toán học (23-25/12/2015, tại Đại học Kinh
tế quốc dân - Hà Nội).
• Hội thảo Việt Nam-Hàn Quốc (20-24/2/2017, Đại học Duy Tân, Đà Nẵng).
• Hội nghị quốc tế về ứng dụng toán học tại Việt Nam lần thứ II (VIAMC 2017)
(15-18/12/2017, Đại học Sài Gòn, Thành phố Hồ Chí Minh).
• Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ IX (14-18/8/2018, Nha Trang).
6. Bố cục của luận án
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục công trình khoa học của tác giả liên
quan đến luận án và danh mục tài liệu tham khảo, luận án gồm 5 chương:
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị
Chương 2. Thuật toán chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp
Chương 3. Thuật toán chiếu dưới đạo hàm giải bài toán bất đẳng thức biến
phân trên tập nghiệm bài toán cân bằng
Chương 4. Thuật toán chiếu dưới đạo hàm giải bài toán cân bằng trên tập
nghiệm bài toán bất đẳng thức biến phân
Chương 5. Một thuật toán kiểu chiếu giải bài toán cân bằng
7


Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản về giải tích lồi, bài toán bất
đẳng thức biến phân, bài toán cân bằng, bài toán hai cấp và sự tồn tại nghiệm
của bài toán được sử dụng trong các chương tiếp theo. Các thuật toán thông dụng
giải bài toán hai cấp như thuật toán đạo hàm tăng cường, thuật toán điểm gần
kề, thuật toán chiếu dưới đạo hàm... được trình bày một cách khá chi tiết trong
phần cuối chương. Những thuật toán này có liên quan đến các thuật toán mới
trong các chương sau. Nội dung chương được viết dựa trên các tài liệu tham khảo
[5, 20, 29, 82].
• Mục 1.1 trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản dùng cho các chương
sau.
• Mục 1.2 trình bày baif toán cân bằng và các trường hợp riêng.
• Mục 1.3 trình bày một số bài toán hai cấp.
• Mục 1.4 trình bày một số thuật toán giải bài toán hai cấp.

8


Chương 2

Thuật toán chiếu giải bài toán bất đẳng
thức biến phân hai cấp
Trong thời gian gần đây, có nhiều tác giả đã đưa ra thuật toán tìm nghiệm bài
toán bất đẳng thức biến phân hai cấp dưới các trường hợp riêng, như trong trường
hợp f, g là hai hàm lồi và khả vi, bài toán BVI(F, G, C) (với F = ∇f và G = ∇g)
có dạng của bài toán cực tiểu hai cấp [76] như sau:


min f (x)

x ∈ argmin{g(x) : x ∈ C}.

Trường hợp đặc biệt F (x) = x với mọi x ∈ C, bài toán bất đẳng thức biến phân
hai cấp BV I(F, G, C) trở thành bài toán tìm chuẩn nhỏ nhất của tập nghiệm bài
toán bất đẳng thức biến phân như sau:
Tìm x∗ ∈ C sao cho x∗ = P rS(G,C) (0).

(2.1)

Y. Yao [91] đã giới thiệu phương pháp đạo hàm tăng cường giải bài toán
BVI(F, G, C) trong trường hợp F (x) = x, ∀x ∈ C và ánh xạ giá G : C → H
là α− đơn điệu mạnh ngược và Sol(G, C) = ∅. Thuật toán được trình bày như

9


sau:



x0 ∈ C, y k = P rC (xk − λG(xk ) − αk xk ),

xk+1 = P r [xk − λG(xk ) + µ(y k − xk )], ∀k ≥ 0.
C

Khi đó, dãy {xk } hội tụ mạnh đến x∗ = P rSol(G,C) (0) dưới các điều kiện chính quy
của tham số.
Gần đây, P.N. Anh [16] đã đề xuất thuật toán đạo hàm tăng cường kết hợp
kỹ thuật điểm bất động của ánh xạ không giãn giải bài toán bất đẳng thức biến
phân hai cấp BVI(F, G, C) trong không gian Euclide Rn . Thuật toán xây dựng
hai vòng lặp. Tại mỗi bước lặp k của vòng lặp ngoài, áp dụng thuật toán đạo hàm
tăng cường thường được sử dụng cho bài toán bất đẳng thức biến phân, tính

k

-

nghiệm của bài toán V I(G, C) với điều kiện hàm giá F là đơn điệu mạnh, liên tục
Lipschitz và G là giả đơn điệu, liên tục Lipchitz trên C, cùng với các dãy tham
số được chọn một cách thích hợp. Khi đó, dãy lặp {xk } và {z k } cùng hội tụ đến
điểm x∗ là nghiệm của bài toán BVI(F, G, C). Tuy nhiên, ở mỗi bước lặp, ta chỉ
tìm được nghiệm xấp xỉ của bài toán bất đẳng thức biến phân.
Trong chương này, chúng tôi xây dựng thuật toán chiếu giải bài toán BVI(F, G, C)
với điều kiện ánh xạ giá F là đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz, ánh xạ giá G
đơn điệu mạnh ngược. Nội dung của chương 2 được viết dựa trên bài báo [CT1]
trong Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến Luận án.
2.1.

Thuật toán
Dựa trên ý tưởng của của các thuật toán trong [16],[91], chúng tôi đề xuất

phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp BVI(F, G, C)
là sự kết hợp của phương pháp chiếu và kỹ thuật điểm bất động của ánh xạ
không giãn Thuật toán gồm hai bước: Thứ nhất, sử dụng thuật toán chiếu đạo
10


hàm giải bài toán bất đẳng thức biến phân VI(G, C) và tính dãy lặp xk+1 =
P rC (xk − λG(xk )) (k = 0, 1, · · · ) với λ > 0 và x0 ∈ C. Thứ hai, sử dụng Nguyên
lý điểm bất động của ánh xạ co Banach tìm điểm bất động duy nhất của ánh xạ
co Tλ = I − λµF với I là ánh xạ đồng nhất, µ ∈ (0, L2β2 ) và λ ∈ (0, 1]. Thuật toán
được trình bày chi tiết như sau.

Thuật toán 2.1. Chọn x0 ∈ C, k = 0, dãy số dương {αk }, λ, µ thỏa mãn



0 < αk ≤ min{1, τ1 }, τ = 1 − 1 − µ(2β − µL2 ),


 lim αk = 0, lim
k→∞

1

k→∞ αk+1

−

1
αk

∞

αk = ∞, 0 < λ ≤ 2η, 0 < µ <

= 0,
k=0

(2.2)

2β
L2 .

Bước lặp thứ k, (k = 0, 1, 2, ...). Có xk , thực hiện các bước sau
Bước 1. Tính y k = P rC (xk − λG(xk )).
Bước 2. Tính xk+1 = y k − µαk F (y k ).
Nếu xk+1 = xk , thì dừng thuật toán, xk là nghiệm của bài toán BV I(F, G, C).
Ngược lại, quay lại Bước 1 với k được thay bởi k + 1.
2.2.

Định lý hội tụ

Sự hội tụ mạnh của Thuật toán 2.1 được phát biểu thông qua định lý sau đây.
Định lý 2.1. Cho C là một tập con, lồi, đóng, khác rỗng của một không gian
Hilbert thực H. Giả sử rằng ánh xạ F : C → H và G : H → H thỏa mãn
(B1 ) G là ánh xạ đơn điệu mạnh ngược với hệ số η trên H;
(B2 ) F là β− đơn điệu mạnh và L−liên tục Lipschitz trên C;
(B3 ) Tập nghiệm Ω của bài toán BVI(F, G, C) khác rỗng.
Khi đó, dãy {xk } và {y k } xác định bởi Thuật toán 2.1 hội tụ mạnh tới x∗ ∈ Ω.
Xét trường hợp đặc biệt F (x) = x với mọi x ∈ H. Dễ dàng nhận thấy rằng F
là ánh xạ L-liên tục Lipschitz với hệ số L = 1 và β-đơn điệu mạnh với hệ số β = 1
11


trên H. Khi đó, bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp BVI(F, G, C) có dạng
bài toán tìm nghiệm có chuẩn nhỏ nhất trên tập nghiệm của bài toán bất đẳng
thức biến phân.
Hệ quả 2.1. Cho C là tập con, lồi, đóng, khác rỗng của không gian Hilbert thực
H và G : H → H là ánh xạ đơn điệu mạnh ngược với hệ số η. Dãy lặp {xk } được
xác định bởi



y k = P rC (xk − λG(xk )),

xk+1 = (1 − µα )y k .
k
Các tham số thỏa mãn



0 < αk ≤ min{1, τ1 }, τ = 1 − |1 − µ|,


 lim αk = 0, lim
k→∞

1

k→∞ αk+1

−

1
αk

∞

αk = ∞, 0 < λ ≤ 2η, 0 < µ < 2.

= 0,
k=0

Khi đó, dãy {xk } và {y k } hội tụ mạnh đến cùng một điểm xˆ = P rS(G,C) (0).
Kết luận Chương 2
Thuật toán 2.1 cải tiến thuật toán đạo hàm tăng cường của P.N. Anh và Y.
Yao. Thuật toán này chỉ dùng một phép chiếu và một lần tính giá trị các toán tử
F và G để tìm nghiệm của bài toán BVI(F, G, C). Điều này cho phép khắc phục
hạn chế của thuật toán đạo hàm tăng cường phải tính hai phép chiếu trong mỗi
bước lặp.

12


Chương 3

Thuật toán dưới đạo hàm giải bài toán
bất đẳng thức biến phân trên tập
nghiệm của bài toán cân bằng
Xét trong không gian Hilbert thực H, cho song hàm f : C × C → R, ta xét
bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán cân bằng, ký hiệu
là VIEP(F, f, C) như sau:
Tìm x∗ ∈ Sol(f, C) sao cho F (x∗ ), y − x∗ ≥ 0, ∀y ∈ Sol(f, C).

(3.1)

Ở đây Sol(f, C) là tập nghiệm bài toán cân bằng EP(f, C) sau:
Tìm y ∗ ∈ C thỏa mãn f (y ∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C.

(3.2)

Trong những nghiên cứu gần đây, nhiều tác giả đã đưa ra các thuật toán
giải bài toán VIEP(F, f, C) như thuật toán chiếu dưới đạo hàm, thuật toán đạo

hàm tăng cường... P.E. Maingé [52] đã giới thiệu thuật toán chiếu dưới đạo hàm
giải bài toán V IEP (F, f, C) trong trường hợp F (x) = x, với mọi x ∈ C dưới
dạng: Tìm x∗ ∈ Sol(f, C) : F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, với mọi x ∈ Sol(f, C), ở đây
x∗ = P rSol(f,C) (0), ánh xạ F : H → H đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz,
song hàm f (x, y) = G(x), y − x + ϕ(y) − ϕ(x), với G : H → H đơn điệu và
13


ϕ : Rn → (−∞, +∞] là hàm nửa liên tục dưới và lồi. Bằng cách chọn các tham số
phù hợp, tác giả đã chứng minh được sự hội tụ yếu của dãy lặp trong thuật toán.
Xét T : C → C là ánh xạ không giãn và Fix(T ) là tập điểm bất động của ánh
xạ T , P.E. Maingé và A. Moudafi [55] giới thiệu thuật toán xấp xỉ gắn kết kết hợp
với thuật toán đạo hàm tăng cường giải bài toán V I(F, Sol(f, C) ∩ F ix(T )). Dưới
các điều kiện của tham số, tác giả chứng minh được dãy {xk } hội tụ mạnh đến
nghiệm của bài toán V I(F, Sol(f, C) ∩ F ix(T )).
Trong chương này, chúng tôi xây dựng thuật toán chiếu dưới đạo hàm giải bài
toán VIEP(F, f, C). Nội dung chương 3 được viết dựa trên bài báo[CT3].
3.1.

Thuật toán

Xuất phát từ ý tưởng của P.N. Anh và P.T. Vuong, chúng tôi xây dựng thuật
toán giải bài toán VIEP(F, f, C) dựa trên thuật toán chiếu-dưới đạo hàm và kỹ
thuật điểm bất động với giả thiết ánh xạ giá F là đơn điệu mạnh và liên tục
Lipschitz, song hàm f thỏa mãn tính chất giả đơn điệu.
Thuật toán 3.1. Chọn x0 ∈ C, k = 0, λ = inf{λk : k = 0, 1, ...} > 0, µ ∈ 0, L2β2 ,
∞

{βk } ⊂ (0, 1],

βk2 < ∞,

k=0

∞,

k

∞

∞

βk = ∞, {ξk } ⊂ (0, 1),
k=0

∞

ξk < ∞,
k=0

βk

k

k=0

0 khi k → ∞.

Bước lặp thứ k, (k = 0, 1, 2, ...). Có xk , thực hiện các bước sau:
Bước 1. Tính dưới đạo hàm của hàm lồi wk ∈ ∂2k f (xk , xk ).

Bước 2. Tính γk = max{λk , wk }, αk = βγkk và


y k = P rC (xk − αk wk ),

xk+1 = P r [y k − µξ F (y k )].
C
k
Nếu xk+1 = xk , thì dừng thuật toán, xk là nghiệm của bài toán VIEP(F, f, C).
14

<


Ngược lại, quay lại Bước 1 với k được thay bởi k + 1.
3.2.

Định lý hội tụ

Sự hội tụ của Thuật toán 3.1 được trình bày thông qua định lý sau đây.
Định lý 3.1. Cho H là một không gian Hilbert thực, C là tập con, lồi, đóng, khác
rỗng trong H. Ánh xạ F : C → H và song hàm f : C × C → R thỏa mãn các giả
thiết
(C1 ) Với mỗi x ∈ C, f (x, ·) hàm lồi, nửa liên tục dưới trên C. Nếu {xk } ⊂ C
bị chặn và

k

0 khi k → ∞ thì {wk } bị chặn, với wk ∈ ∂2k f (xk , xk );

(C2 ) f là giả đơn điệu trên C theo x∗ là nghiệm của bài toán VIEP(F, f, C) và
thỏa mãn điều kiện para-đơn điệu chặt;
(C3 ) Với mỗi x ∈ C, f (·, x) là nửa liên tục trên trên C;
(C4 ) Tập nghiệm Sol(f, C) của bài toán EP(f, C) khác rỗng;
(C5 ) F là L− liên tục Lipschitz và β− đơn điệu mạnh.
Khi đó, các dãy {xk } và {y k } sinh bởi Thuật toán 3.1 hội tụ mạnh đến nghiệm
duy nhất của bài toán VIEP(F, f, C).
Ta áp dụng Thuật toán 3.1 để giải bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp
BVI(F, G, C) trong trường hợp f (x, y) = G(x), y − x với mọi x, y ∈ C và
∂2k f (x, x) = {G(x)} ∀x ∈ C,

k

≥ 0.

Thuật toán 3.1 và sự hội tụ của nó dẫn đến kết quả sau.
0

Thuật toán 3.2. Lấy x ∈ C, k = 0,µ ∈

0,

2β
L2

∞

, βk ∈ (0, 1] ∀k,

∞

∞,

βk = ∞, λ = inf{λk : k = 0, 1, ...} > 0.
k=0

Bước lặp thứ k, (k = 0, 1, 2, ...). Có xk , thực hiện các bước sau:
15

k=0

βk2 <


Bước 1. Tính γk = max{λk , G(xk ) }, αk =

βk
γk .

Bước 2. Tính y k = P rC (xk − αk G(xk )) và xk+1 = P rC [y k − βk µF (y k )].
Nếu xk+1 = xk , thì dừng thuật toán, xk là nghiệm của bài toán BVI(F, G, C).
Ngược lại, quay lại Bước 1 với k được thay bởi k + 1.
Sự hội tụ của Thuật toán 3.2 được trình bày trong nội dung định lý sau.
Định lý 3.2. Cho C là tập con, lồi, đóng, khác rỗng của H. Ánh xạ F : C → H
và G : C → H thỏa mãn các giả thiết
(C6 ) G là nửa liên tục trên trên C, với mỗi x ∈ C, G(·), x − · là nửa liên tục
trên yếu trên C;
(C7 ) G là giả đơn điệu trên C và thỏa mãn điều kiện para-đơn điệu chặt;
(C8 ) Với mỗi x ∈ C, G(·), x − · là nửa liên tục trên yếu trên C;
(C9 ) F là L-liên tục Lipschitz và β-đơn điệu mạnh;

(C10 ) Tập nghiệm Ω của bài toán BVI(F, G, C) khác rỗng.
Khi đó, dãy {xk } và {y k } sinh bởi Thuật toán 3.2 hội tụ đến điểm x∗ là nghiệm
duy nhất của bài toán BVI(F, G, C).
Kết luận Chương 3
Trong chương này, chúng tôi đã đưa ra thuật toán chiếu-dưới đạo hàm để
tìm nghiệm bài toán VIEP(F, f, C). Thuật toán này cải tiến thuật toán đạo hàm
tăng cường của P.N. Anh và P.T. Vuong cho phép loại bỏ được quá trình giải các
bài toán cân bằng phụ, một công việc khá phức tạp và thường chỉ cho nghiệm
dưới dạng xấp xỉ. Tại mỗi bước lặp thứ k, ta chỉ cần tính các dưới đạo hàm xấp
xỉ của một hàm lồi khả dưới vi phân, từ đó xác định dãy lặp {y k } và {xk } thông
qua phép chiếu trên tập C. Dựa trên Thuật toán 3.1, chúng tôi đưa ra Thuật toán
3.2 giải bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp BVI(F, G, C).
16


Chương 4

Thuật toán chiếu dưới đạo hàm giải bài
toán cân bằng trên tập nghiệm của bài
toán bất đẳng thức biến phân
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một thuật toán mới để giải bài toán
cân bằng trên tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân EVIP(g, F, C).
Nội dung chính của chương được viết dựa trên bài báo [CT4] trong Danh mục các
công trình liên quan đến Luận án.
4.1.

Thuật toán
Những nghiên cứu ban đầu về thuật toán xấp xỉ gắn kết được giới thiệu bởi

S. Takahashi và W. Takahashi [79]. Khi đó, dãy {xn } được xác định bởi:



x0 ∈ C, f (un , y) + 1 y − un , un − xn ≥ 0, ∀y ∈ C,
rn

(4.1)


xn+1 = α g(xn ) + (1 − α )Sun , ∀n ≥ 0,
n
n
ở đây g : H → H là ánh xạ co, S : C → H là ánh xạ không giãn. Với các điều kiện
cho trước của dãy các tham số {αn } và {rn }, tác giả đã chứng minh dãy {xn } và
{un } cùng hội tụ mạnh đến z = P rF ix(S)∩Sol(f,C) g(z).
17


Xét bài toán bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc là tập điểm bất động
của một ánh xạ không giãn VIFIX trong không gian Hilbert, P.E. Maingé và A.
Moudafi [54] đã đề xuất thuật toán xấp xỉ gắn kết giải bài toán đó với dãy lặp
xk+1 = λk f (xk ) + (1 − λk )[αk V (xk ) + (1 − αk )T (xk )], trong đó f : C → C là ánh
xạ co. Khi đó, dãy {xk } hội tụ mạnh đến nghiệm của bài toán VIFIX.
Tuy nhiên, trong các thuật toán trên, tại mỗi bước lặp k, đòi hỏi phải giải bài
toán cân bằng phụ mà công việc này chỉ cho ta nghiệm dưới dạng xấp xỉ với song
hàm đơn điệu mạnh hoặc đơn điệu trên C. Đây là cách làm khá phức tạp và khó
khăn khi tính toán trên máy tính. Để tránh điều này, chúng tôi kết hợp giữa thuật
toán xấp xỉ gắn kết [55] với kỹ thuật dưới đạo hàm [53] để xây dựng một thuật
toán mới giải bài toán EVIP(g, F, C).
Thuật toán được mô tả chi tiết như sau.
Thuật toán 4.1. Lấy x0 ∈ C, µ ∈ (0, +∞), dãy các số thực không âm {αk } và

{λk } thỏa mãn
∞

∞

λk = ∞,
k=0

∞

λ2k

< ∞, lim αk = 0,

k=0

k→∞

∞

αk = ∞,
k=0

αk λk = ∞.

(4.2)

k=0

Bước lặp thứ k, (k = 0, 1, 2, ...). Có xk , thực hiện các bước sau:

Bước 1. Tính dưới đạo hàm của hàm lồi wk ∈ ∂2 g(xk , xk ).
Bước 2. Tính dk = F (xk )+αk wk , ηk = max{µ, dk } và xk+1 = P rC xk −

λk k
ηk d

.

Nếu xk+1 = xk , thì dừng thuật toán, xk là nghiệm của bài toán EVIP(g, F, C).
Ngược lại, quay lại Bước 1 với k được thay bởi k + 1.
4.2.

Định lý hội tụ
Để chứng minh sự hội tụ của Thuật toán 4.1 tchúng tôi đề xuất và chứng

minh bổ đề kỹ thuật sau.
18


Bổ đề 4.1. Cho dãy {xk } và {wk } sinh bởi bởi Thuật toán 4.1. Khi đó
(i) xk+1 − xk ≤ λk , ∀k ≥ 0;
(ii) Với mọi x∗ ∈ S(F, C),
xk+1 − x∗

2

≤ xk − x∗

2

−

2αk λk k
2λk
F (xk ), xk − x∗ −
x − x∗ , wk + 5λ2k . (4.3)
ηk
ηk

Sự hội tụ của Thuật toán 4.1 được trình bày thông qua định lý sau.
Định lý 4.1. Giả sử song hàm g và ánh xạ giá F thỏa mãn các điều kiện
(D1 ) g là ρ-đơn điệu mạnh, g(x, ·) là hàm liên tục yếu và lồi trên C với mỗi
x ∈ C, ∂2 g(x, ·)(x) là nửa liên tục trên và g(x, x) = 0 với mọi x ∈ C;
(D2 ) F : C → H là para-đơn điệu, đóng yếu và liên tục trên C;
(D3 ) Tập nghiệm S(F, C) = {¯
x∈C:

F (¯
x), y − x¯ ≥ 0, ∀y ∈ C} khác rỗng.

Khi đó, dãy {xk } sinh bởi Thuật toán 4.1 hội tụ mạnh đến nghiệm duy nhất của
bài toán EVIP(g, F, C).
Kết luận Chương 4
Trong chương này, chúng tôi đã đề xuất thuật toán chiếu dưới đạo hàm mới
để giải bài toán EVIP(g, F, C). Thuật toán được xây dựng dựa trên kỹ thuật dưới
đạo hàm [53] và thuật toán xấp xỉ gắn kết [55] , khá đơn giản về mặt cấu trúc và
tính toán cũng như không cần điều kiện liên tục kiểu Lipschitz của song hàm g một điều kiện rất mạnh và khó kiểm tra. Cụ thể, thay vì phải giải một bài toán
cân bằng phụ, chúng tôi chỉ tính các dưới đạo hàm của một hàm lồi khả dưới vi
phân, sau đó xác định dãy lặp {xk } thông qua phép chiếu trên tập ràng buộc C.
Bằng việc lựa chọn các tham số thích hợp và điều kiện của ánh xạ giá, chúng tôi

đã chứng minh được sự hội tụ mạnh của thuật toán. Đồng thời đưa ra một số ví
dụ minh họa cho thuật toán.
19


Chương 5

Một thuật toán kiểu chiếu giải bài toán
cân bằng
Trong những năm gần đây, bài toán cân bằng là một đề tài được nhiều nhà
khoa học quan tâm nghiên cứu cả về mặt lý thuyết sự tồn tại nghiệm cũng như
về mặt thuật toán. Một trong những thuật toán phổ biến nhất giải bài toán cân
bằng là thuật toán chiếu.
Xuất phát từ mối quan hệ giữa bài toán cân bằng EP(f, C) và bài toán bất
đẳng thức biến phân VI(F, C) bằng việc thay thế f (x, y) = F (x), y − x , với hàm
giá F : C → Rn , G. Mastroeni [57] đã giới thiệu phương pháp chiếu cải biên, mà
tại mỗi bước lặp k, dãy lặp {xk+1 } được xác định:
xk+1 = argmin λf (xk , x) +

1
x − xk
2

2

: x ∈ C , λ > 0.

(5.1)

Tác giả đã chứng minh được dãy {xk } hội tụ đến nghiệm duy nhất của bài toán

cân bằng EP(f, C). Dựa trên ý tưởng thuật toán đạo hàm tăng cường của G.M.
Korpelevich [50], T.D. Quoc [68] đã sử dụng hai phép chiếu để xây dựng thuật
toán giải bài toán cân bằng EP(f, C) và chứng minh được sự hội tụ của các dãy
lặp trong các điều kiện phù hợp. Thuật toán xây dựng hai dãy {xk } và {y k } như

20


sau:



x0 ∈ C, y k = argmin{λf (xk , x) +

xk+1 = argmin{λf (y k , x) +

1
2

1
2

x − xk

x − xk

2

2

: x ∈ C},

: x ∈ C}.

Ngoài ra, thuật toán này cũng đòi hỏi phải biết hằng số Lipschitz của song hàm
f . Để tránh điều kiện này, T.D. Quoc [68] đã đề xuất thuật toán tìm kiếm theo
tia và cũng đạt được kết quả hội tụ của thuật toán mà chỉ cần điều kiện song hàm
f là đơn điệu.
Trong nội dung chương này, chúng tôi đề xuất một thuật toán kiểu chkieeurgiair
bài toán cân bằng sử dụng tính chất đơn điệu suy rộng của song hàm f là para-đơn
điệu, bỏ qua tính liên tục thỏa mãn điều kiện Lipschitz đồng thời loại bỏ bớt một
phép chiếu. Nội dung chính của chương được viết dựa trên bài báo [CT5] trong
Danh mục các công trình liên quan đến Luận án.
5.1.

Thuật toán

Ta giả sử các dãy số dương {λk }, { k } và {βk } thỏa mãn
∞

(E1 )

βk2 < ∞,

k=0
∞

(E2 )

∞

βk = ∞;
k=0

k

< ∞;

k=0

¯ = sup{λk : k = 0, 1, ...} < ∞.
(E3 ) λ = inf{λk : k = 0, 1, ...} > 0, λ
và song hàm f : Rn × Rn → R, thỏa mãn các điều kiện:
(E4 ) Sol(f, C) = ∅;
(E5 ) với x ∈ C, f (x, ·) là hàm lồi, nửa liên tục dưới và f (·, x) liên tục trên C;
(E6 ) f là para-đơn điệu chặt đối với Sol(f, C);
(E7 ) nếu dãy {xk } bị chặn và

k

0 khi k → ∞, thì dãy {wk }bchn;

(E8 ) f tựa liên tục đối với Sol(f, C).
Thuật toán được mô tả chi tiết theo các vòng lặp như sau.
21


Thuật toán 5.1. Vòng lặp ngoài
Lấy k = 0, x0 ∈ Rn , θ > 0, các dãy số dương {λk }, { k }, {βk } thỏa mãn (A1 )−(A3 ).
Bước lặp thứ k, (k = 0, 1, 2, ...). Có xk , thực hiện các bước sau:

Bước 1.Nếu g(xk ) ≤ 0 thì z k = xk , g + (x) = max{0, g(x)}, g k ∈ ∂g + (z k ), δk = 0;
Trường hợp ngược lại, chạy Vòng lặp trong (xk , θ, βk ).
Vòng lặp trong (xk , θ, βk ) Lấy y 0 = xk , j = 0;
Khi d(y j , C) > θβk
g j ∈ ∂g(y j ), δj = g(y j ); C¯j = {x ∈ Rn : g j , x − y j + δj ≤ 0};
¯ j = {x ∈ Rn : x − y j , y 0 − y j ≤ 0};
W
y j+1 = P rC¯j ∩W¯ j (xk ), j := j + 1;
dừng
z k = y j , δk = δj−1 .
Bước 2. Tính dưới đạo hàm của hàm lồi wk ∈ ∂2k f (z k , z k );
Bước 3. Tính γk = max{λk , wk }, αk = βγkk , và


 z k − αk w k
nếu g k , z k − αk wk − z k + δk ≤ 0
k+1
x
=

z k − α wk − gk ,z k −αk wk −z k +δk g k trường hợp ngược lại;
k
gk 2
Nếu xk+1 = xk , thì dừng thuật toán, xk là nghiệm của bài toán EP(f, C).
Ngược lại, quay lại Bước 1 với k được thay bởi k + 1.
5.2.

Định lý hội tụ

Để chứng minh sự hội tụ của Thuật toán 5.1, chúng tôi đề xuất hai bổ đề sau.

¯ j và Ck là các tập con được xác định bởi Thuật toán 5.1 với
Bổ đề 5.1. Cho C¯j , W
mọi j, k ≥ 0. Khi đó, ta có các khẳng định sau đây:
¯ j và C ⊆ Ck = {x ∈ Rn :
(i) C ⊆ C¯j ∩ W

g k , x − z k + δk ≤ 0};

(ii) Vòng lặp trong (xk , θ, βk ) được xác định.
22


Bổ đề 5.2. Cho dãy {xk } và {z k } được xác định bởi Thuật toán 5.1. Khi đó, với
mỗi x∗ ∈ Sol(f, C), ta được
xk+1 − x∗

2

≤ z k − x∗

2

+ 2αk f (z k , x∗ ) + 2αk

k

+ βk2 .

Hơn nữa, nếu dãy { k } và {βk } thỏa mãn các điều kiện (A1 ) − (A2 ) và song hàm
f thỏa mãn giả thiết (B3 ) thì dãy {xk } là hội tụ tựa-Fejér đến Sol(f, C).

Kết quả hội tụ của Thuật toán 5.1 được trình bày thông qua định lý sau đây.
Định lý 5.1. Giả sử các giả thiết (E4 ) − (E8 ) thỏa mãn, tham số θ và các dãy
số {βk }, {λk }, { k } thỏa mãn các điều kiện (E1 ) − (E3 ). Khi đó, các dãy {xk } và
{z k } sinh bởi Thuật toán 5.1 cùng hội tụ đến x∗ là nghiệm của bài toán cân bằng
EP(f, C).
Kết luận Chương 5
Thuật toán kiểu chiếu giải bài toán cân bằng EP(f, C) với song hàm f thỏa
mãn tính chất para-đơn điệu và tập C được xác định bởi một hệ ràng buộc gồm
các bất đẳng thức của hàm lồi, liên tục trong không gian Rn được trình bày khá
chi tiết trong Chương 5. Thuật toán gồm hai vòng lặp, tại bước lặp thứ k, xét
Vòng lặp ngoài, trong trường hợp g(xk ) ≤ 0, ta sử dụng thuật toán dưới đạo hàm
tính các dưới đạo hàm xấp xỉ của một hàm lồi khả dưới vi phân, sau đó xác định
dãy lặp {xk }. Trường hợp ngược lại, ta chạy Vòng lặp trong, dãy lặp {y k+1 } được
¯ j chứa
xác định là hình chiếu của {xk } vào giao của hai nửa không gian C¯j và W
tập nghiệm của bài toán cân bằng. Khi đó, sự hội tụ của các dãy lặp đến nghiệm
của bài toán cân bằng với các điều kiện phù hợp của song hàm f và các dãy tham
số được chứng minh.

23


KẾT LUẬN
1. Kết quả đạt được
• Chứng minh được tính co, tính không giãn và tính giả co chặt của ánh xạ
nghiệm dưới giả thiết đơn điệu của song hàm f .
• Đề xuất thuật toán chiếu giải bài toán BVI(F, G, C) trong không gian Hilbert
thực H bằng việc kết hợp phương pháp chiếu và kỹ thuật điểm bất động.
• Xây dựng thuật toán dưới đạo hàm giải bài toán VIEP(F, f, C) bằng việc kết
hợp phương pháp chiếu dưới đạo hàm và kỹ thuật điểm bất động.

• Đề xuất và chứng minh sự hội tụ của thuật toán chiếu dưới đạo hàm giải bài
toán BEP(g, F, C).
• Nghiên cứu đề xuất thuật toán một phép chiếu để giải bài toán cân bằng trong
không gian Euclide Rn .
2. Một số hướng nghiên cứu tiếp theo
• Mở rộng các thuật toán trong luận án để nghiên cứu giải bài toán cân bằng
hai cấp.
• Nghiên cứu sai số và đánh giá tốc độ hội của các thuật toán trong luận án.
• Triển khai ứng dụng các thuật toán đề xuất cho các mô hình thực tiễn và tính
toán độ phức tạp của thuật toán.
24