SKKN dãy số (bản 1) image marked

I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Cơ sở thực tiễn của vấn đề nghiên cứu
Với 13 năm đứng trên bục giảng năm nào tôi cũng được tham gia giảng
dạy cho học sinh lớp 11 và có một số năm được dạy cho học sinh ôn thi Học
sinh giỏi. Khi dạy chương dãy số tôi thấy có một số vấn đề sau cần phải giải
quyết:
Một là: Theo qua điểm của ngành Giáo dục và thời lượng chương trình
dạy học nên nội dung của chương dãy số đã được giảm tải đáng kể. Tuy nhiên
việc giảm tải chỉ tập trung vào bài tập còn lí thuyết thì giảm tải không đáng kể vì
đó là yêu cầu tối thiểu. Nên khi giáo viên dạy lí thuyết chương này khá vất vả,
học sinh học lí thuyết cũng rất vất vả nhưng khi làm bài tập trong Sách giáo
khoa học sinh thấy rất đơn giản vì các bài tập hơi khó đã được giảm tải, các bài
tập còn lại đều tương tự ví dụ đã có trong phần lí thuyết nên hầu hết học sinh
làm bài theo cách rất máy móc ít hiểu rõ vấn đề do đó khi đề bài chỉ thay đổi
một chút là học sinh sẽ cảm thấy khó khăn, chán ngán.
Hai là: Các vấn đề về dãy số hầu như không xuất hiện trong các đề thi
tuyển sinh Đại học nên nhiều học sinh không hứng thú với nội dung này. Tài
liệu tham khảo về dãy số cũng rất ít do đó những học sinh có nhu cầu tìm hiểu
sau thêm về dãy số hoặc những học sinh có ý đinh ôn thi Học sinh giỏi rất khó
tìm cho mình một cuốn tài liệu dễ đọc.

Những vấn đề trên chính là lý do để tôi chọn đề tài: Dãy số

2. Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm
Những vấn đề tôi trình bày trong bản sáng kiến với mục đích sau:
Một là: Truyền đạt đến học sinh một cái nhìn toàn diện về dãy số theo
quan điểm của học sinh trung học phổ thông không chuyên. Hệ thống và phân
tích các bài tập về dãy số một cách logic từ khó đến rất khó
Hai là: Qua việc luyện tập các bài toán về dãy số ta sẽ thấy nó là các
phép thế tuyệt đệp, nó là phép quy nạp từ các vấn đề đơn giản đến phức tạp tổng
quát là phép biến đổi điển hình của đại số và giải tích.

Ba là: Hướng dẫn học sinh tìm lời giải một cách tự nhiên cho các bài
toán về dãy số chánh sự gượng ép máy móc.

3. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
Để hoàn thành được bài viết của mình với đề tài nói trên tôi đã phải
nghiên cứu trên các bài toán về dãy số: phương pháp quy nạp toán học, cấp số
cộng, cấp số nhân và giới hạn của dãy số.
Phạm vi nghiên cứu của đề tài chủ yếu tập trung vào chương dãy số,
giới hạn của dãy số thuộc chương trình trung học phổ thông không chuyên và
các bài tập thi Học sinh giỏi cấp thành phố.

1


4 . Kế hoạch nghiên cứu
Trong quá trình dạy học với những trăn trở như đã trình bày trong phần
cơ sở thực tiến để đưa ra lý do chọn đề tài tôi thấy khi cho các em học sinh lớp
11 khi làm bài tập về dãy số hầu hết đề rất máy móc hiểu vấn đề rất lờ mờ không
hệ thống một số ít học sinh có hứng thú với phần dãy số thì rất khó tìm được
một tài liệu tham khảo cho học sinh trung học phổ thông không chuyên nhưng
trong hầu hết các đề thi học sinh giỏi cấp thành phố đều có ít nhất một bài về
dãy số.
Từ những khúc mắc nói trên tôi đã nghiên cứu đề tài dãy số qua một số
giờ tự chon nâng cao tại lớp 11A2 năm học 2011 – 2012 và lớp 11A1 năm học
2012 – 2013 từ đó xây dựng, hoàn thiện bài viết của mình.

2


II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1. Cơ sở lý luận
a) Phương pháp quy nạp toán học
b) Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn
* Dãy số  un  gọi là dãy số tăng nếu un  un1 ,

* Dãy số  un  gọi là dãy số giảm nếu un  un1 ,

n  *

n  *

Vậy: Nếu un1  un  0, n   suy ra  un  là dãy số tăng
*

Nếu un1  un  0, n   suy ra  un  là dãy số giảm
*

* Nếu tồn tại số M sao cho un  M ,
* Nếu tồn tại số m sao cho un  m ,

n  * thì  un  bị chặn trên

n  * thì  un  bị chặn dưới

* Nếu dãy số  un  bị chặn trên và bị chặng dưới thì gọi là dãy só bị chặn
c) Cấp số cộng
*
* Dãy số  un  là cấp số cộng  un1  un  d với n   , trong đó d là
số không đổi gọi là công sai của cấp số cộng.
* Nếu dãy số  un  là cấp số cộng thì un  u1   n  1 d

* Nếu dãy số  un  là cấp số cộng thì tổng

Sn  u1  u2  ...  un 

n
 u1  un 
2

d) Cấp số nhân
*
* Dãy số  un  là cấp số nhân  un1  un .q với n   , trong đó q là
số không đổi gọi là công bội của cấp số nhân.
n 1
* Nếu dãy số  un  là cấp số nhân thì un  u1.q

* Nếu dãy số  un  là cấp số nhân vơi q  1, q  0 thì tổng

1  qn
Sn  u1  u2  ...  un  u1.
1 q
e) Một số đinh lí về giới hạn
n
- Nếu q  1 thì lim q  0
- Nếu q  1 thì lim q  
n

- Nếu các dãy số an  bn  cn , n   và lim an  lim cn  L thì
*

lim bn  L

- Nếu dãy số  un  tăng và bị chặn trên thì  un  có giới hạn

Nếu dãy số  un  giảm và bị chặn dưới thì  un  có giới hạn

3


2. Thực trạng của vấn đề
Để thực hiện được đề tài của mình tôi đã thực hiện khảo sát thực tế như sau:
Trong năm học 2011 – 2012 sau khi học sinh lớp 11 đã học hết chương III
và IV tức là khi đã nghiên cứu khá đầy đủ về dãy số và giới hạn của dãy số theo
chương trình trung học phổ thông không chuyên tôi cho học sinh lớp 11A2 và
11A5 làm bài kiểm tra khảo sát 45 phút trong giờ tự chọn nâng cao với đề kiểm
tra như sau:

u1  2
.
u

u

2
n

3,
n

1
n

 n1

Câu I (3 điểm) Cho dãy số  un  xác định bởi: 
Hãy tìm giới hạn lim

un
un1

Câu II (3,5 điểm) Tìm công thức thu gọn tính A theo n biết:

A  1.3  2.5  3.7  ...  n  2n  1
Câu III (3,5 điểm) Tìm số hạng tổng quát của dãy số  un  xác định bởi:
u1  1

un1  2un  5, n  1
Với đáp án và thang điểm như sau :
CÂU
I
(3đ)

Theo đề suy ra u1  2

NỘI DUNG

u2  u1  2.1  3
u3  u2  2.2  3

…

ĐIỂM

1.0

…

un  un1  2  n  1  3

Cộng theo vế n đẳng thức trên ta được

un  2  2 1  2  ...   n  1   3  n  1

 un  2   n  1 n  3  n  1  n 2  4n  5

1,0

 un1  un  2n  3  n 2  2n  2
4 5
 2
un
n  4n  5
n
n 1
lim
 lim 2
 lim
2 2
un1
n  2n  2
1  2
n n

u
Vậy lim n  1
un1
1

2

4

1,0


II
(3,5đ)

Ta có n  2n  1  2n  n ,
2

thay n lần lượt bới 1, 2, 3, …, ta được :

1.3  2.12  1
2.5  2.22  2
3.7  2.32  3
…

1,5

…

n  2n  1  2n 2  n

Cộng các đẳng thức trên theo vế ta được

A  1  2  ...  n  2 12  22  ...  n 2 

Ta có 1  2  ...  n 

n  n  1

Và 1  2  ...  n 
2

2

2

0,5

(theo cấp số cộng)

2
n  n  1 2n  1
6

(học sinh phải

1,0

chứng minh đẳng thức này theo quy nạp)

A
III
(3,5 đ)

n  n  1
2



n  n  1 2n  1
3

1
 n  n  1 4n  5 
6


0,5

5

Theo đề bài un1  2un  5  un1  2 un  
2

Ta nghĩ đến un1  a  2 un  a   un1  2un  a
Mà un1  2un  5 nên ta phải có a  5

2,0

Đặt vn  un  5  v1  u1  5  6 và vn1  2vn

  vn  là cấp số nhân có công bội q  2
 vn  v1.q n1  6.2n1  3.2n
 un  vn  5  3.2n  5

1,5

Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là un  3.2  5
n

Chó ý: NÕu thÝ sinh lµm bµi kh«ng theo c¸ch nªu trong ®¸p ¸n mµ vÉn ®óng
th× ®­îc ®ñ ®iÓm tõng phÇn nh­ ®¸p ¸n quy ®Þnh.
Kết quả thu được với các mức điểm được tính tỉ lệ phần trăm như sau:

5


Điểm
Lớp
Lớp 11A2
( 50 HS )
Lớp 11A5
( 49 HS )

1 – 2,5

3 – 4,5

5 – 6,5

7 – 8,5

9 – 10

4,0%

20%

60%

12%

4,0%

6,1%

30,6%

51,3%

10%

2%

Học sinh có điểm kiểm tra thấp như trên vì các lí do sau :
Câu I. – Một số học sinh không có lời giải
- Một số học sinh có lời giải tương tự đáp án nhưng tính toán không chính xác
Câu II. – Nhiều học sinh không có lời giải
- Một số học sinh có các giải tương tự đáp án trên nhưng tính toán không chính
xác hoặc chưa đi đến kết quả cuối cùng hoặc

Câu III. – Hầu hết học sinh không có lời giải
- Một số ít học sinh rất chăm học đã làm nhiều bài tập trong Sách bài tập Cơ bản
và Nâng cao đã có dự đoán và chứng minh theo quy nạp được đẳng thức như
đáp án
- rát ít học sinh có cách giải như đáp án.

3. Các phương pháp đã tiến hành
Vì những hạn chế của học sinh như đã trình bày trong phần lý do chọn
đề tài và phần khảo sát thực tiễn nên trong quá trình dạy lớp 11A2 năm học
2012 – 2013 khi dạy chương III và IV tức là phần dãy số và giới hạn của dãy số
với một số tiết tự chọn nâng cao tội đã tiến hành triển khai việc thực hiện đề tài
sáng kiến này. Nhưng vì thời gian không có nhiều, hơn thế để học sinh chủ động
chiếm lĩnh kiến thức nên ứng với mỗi phần tôi cho học sinh một số bài tập để
các em thảo luận, trao đổi và về nhà nghiên cứu tìm lời giải. Trên lớp tôi cho
một số học sinh lên bảng làm bài và một số học sinh khác nhận xét lời giải. Sau
đó tôi phân tích lời giải cho cả lớp để các em tìm được lời giải tối ưu và nhấn
mạnh một số điểm quan trọng trong mỗi bài, qua mỗi dạng.
Để cho việc tiếp thu bài học được dễ dàng tôi chia nội dung bài viết của
mình thành ba phần sau:
- Dãy số với phương pháp quy nạp toán học
- Dãy số quy về cấp số cộng và cấp số nhân
- Bài tập về dãy số trong một số đề thi Học sinh giỏi.

6


PHẦN I: DÃY SỐ VỚI PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
Bài 1. n   hãy chứng minh các đẳng thức sau:
*

a) 1  2  3  ...  n 

n  n  1

12  22  32  ...  n 2 

b)

2
n  n  1 2n  1

6
2
n
n

1




3
3
3
3
c) 1  2  3  ...  n  

2 


(1)
(2)
(3)

Ba bài tập trên là các bài toán rất cơ bản dễ dàng giải quyết theo phương
pháp quy nạp.
Ta thực hiện lời giải cho ý b).
Bước 1: Khi n  1 thì (2)  1 
2

11  1 2.1  1
6

11

Vậy (2) đúng với n  1
Bước 1: Giả sử đẳng thức (2) đúng với n  k  k  1 tức là

k  k  1 2k  1

12  22  32  ...  k 2 

(giả thiết quy nạp)

6
Ta phải chứng minh (2) đúng với n  k  1 tức là phải chứng minh:
 k  1 k  2  2k  3 (*)
2
12  22  32  ...   k  1 
6

Thật vậy. Vế trái của (*) bằng

1

2




 22  32  ...  k 2    k  1 
2

k  k  1 2k  1  6  k  1
6
2
 k  1  2k  7k  6
6



2



k  k  1 2k  1

  k  1

2

6
 k  1  2k 2  k  6k  6

6
 k  1 k  2  2k  3
6

suy ra (*) đúng

Theo nguyên tắc quy nạp suy ra đẳng thức (2) đúng n  
Các ý a) và c) được chứng minh hoàn toàn tương tự
Từ bài tập trên ta có lời giải khá đẹp cho các bài tập sau đây:
*

Bài 2. Rút gọn các biểu thức biểu thức
a)

A  1  3  6  10  ... 

n  n  1

2
3
b) B  1  3  5  ...   2n  1
3

3

3

Giải

7


a) k   ta có
*

k  k  1



1
k  k2

2



1
n  n2 

2

2
1
2
Khi k  1  1  1  1 
2
1

2
Khi k  2  3   2  2 
2
1
2
Khi k  3  6  3  3 
2
…

…

Khi k  n 

n  n  1
2

Cộng theo vế n đẳng thức trên ta được

1
1
1  2  3  ...  n  12  22  32  ...  n 2 
2
2
1 n  n  1 1 n  n  1 2n  1
 A .
 .
2
2
2
6

1
 A  n  n  1 n  2 
6
A

b) k   ta có

 2k  1

3

 8k 3  12k 2  6k  1
3
3
2
Khi k  1  1  8.1  12.1  6.1  1
3
3
2
Khi k  2  3  8.2  12.2  6.2  1
3
3
2
Khi k  3  5  8.3  12.3  6.3  1
*

…

…

Khi k  n   2n  1  8.n  12.n  6.n  1
3

3

2

Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được

B  813  23  ...  n3   12 12  22  ...  n 2   6 1  2  ...  n   n

 B  8.

n 2  n  1

2

 12.

n  n  1 2n  1

 6.

n  n  1

4
6
2
2
 B  2n 2  n  1  2n  n  1 2n  1  3n  n  1  n

n

 B  n  n  1  2n 2  2n  1  1

Bài 3. Tìm công thức tính giá trị của các biểu thức sau theo n
a) S 2  1.2  2.3  3.4  ...  n  n  1
b) S3  1.2.3  2.3.4  3.4.5  ...  n  n  1 n  2 

c) S 4  1.2.3.4  2.3.4.5  3.4.5.6  ...  n  n  1 n  2  n  3

8


d) S k  1.2....k  2.3.... k  1 .  ...  n  n  1 ... n  k  1
Giải
*
2
a) k   ta có k  k  1  k  k
Khi
Khi
Khi
…
Khi

k  1  1.2  1  12
k  2  2.3  2  22
k  3  3.4  3  32
…

k  n  n  n  1  n  n 2

Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được

S 2  1  2  3  ...  n   12  22  32  ...  n 2 
n  n  1 n  n  1 2n  1
 S2 

2
6
1
 S 2  n  n  1 n  2 
3

b) k   ta có k  k  1 k  2   k  3k  2k
*

Khi
Khi
Khi
…
Khi

3

2

k  1  1.2.3  13  3.12  2.1
k  2  2.3.4  23  3.22  2.2
k  3  3.4.5  33  3.32  2.3

…

k  n  n  n  1 n  2   n3  3.n 2  2.n

Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được

S3  13  23  ...  n3   312  22  ...  n 2   2 1  2  ...  n 

 S3 

n 2  n  1
4

2

3

n  n  1 2n  1
6

1
 S3  n  n  1 n  2  n  3
4
1
Vậy S 2  n  n  1 n  2 
3
1
S3  n  n  1 n  2  n  3
4

 2.

n  n  1
2

Từ đó dễ dàng dự đoán được công thức tính tổng S 4 và S k

1
n  n  1 n  2  n  3 n  4 
5
1
d) S k 
n  n  1 ... n  k 
k 1
Tổng S 4 và S k được chứng minh theo phương pháp quy nạp.
c) S 4 

9


Trong quá trình giải quyết các bài toán trên ta đã khai thác khá sau các
đẳng thức (1), (2) và (3) đã nêu trong bài 1 nhưng có học sinh lại đặt ra câu hỏi
nếu không biết đến các đẳng thức (1), (2) và (3) thì bài toán được giải quyết như
thế nào ? Vấn đề này có thể giải quyết như sau :
Đặt S1  1  2  ...  n

 2 S1  1.2  2.2  3.2  ...  n.2
Và S 2  1.2  2.3  3.4  ...  n  n  1
Trừ hai đẳng thức trên theo vế suy ra

S 2  2 S1  1.2  2.3  ...   n  1 n

 S 2  2 S1  S 2  n  n  1  S1 
Vậy S1  1  2  ...  n 

n  n  1

n  n  1
2

2

Tương tự như vậy

S 2  1.2  2.3  3.4  ...  n  n  1
 3S 2  1.2.3  2.3.3  3.4.3  ...  n  n  1 .3
Và S3  1.2.3  2.3.4  3.4.5  ...  n  n  1 n  2 
Trừ hai đẳng thức trên theo vế suy ra

S3  2 S 2  1.2.3  2.3.4  ...   n  1 n  n  1
1
 S3  2 S 2  S3  n  n  1 n  2   S 2  n  n  1 n  2 
2
1
Vậu S 2  1.2  2.3  3.4  ...  n  n  1  n  n  1 n  2 
3
Theo cách đó ta sẽ tìm được

S k  1.2....k  2.3.... k  1 .  ...  n  n  1 ... n  k  1
1

 n  n  1 ... n  k 
k

Đến đây ta sẽ sử dụng các tổng S1 , S 2 và S3 để xây dựng các đẳng thức (2) và (3)
Từ S 2  1.2  2.3  3.4  ...  n  n  1 

1
n  n  1 n  2 
3

1
 11  1  2  2  1  ...  n  n  1  n  n  1 n  2 
3
1
 1  2  ...  n  12  22  ...  n 2  n  n  1 n  2 
3

10


n  n  1

1
 12  22  ...  n 2  n  n  1 n  2 
2
3
n  n  1 2n  1
(đây là đẳng thức (2) đã nêu)
 12  22  ...  n 2 
6



Từ S3  1.2.3  2.3.4  ...  n  n  1 n  2  
Ta có  k  1 k  k  1  k  k

1
n  n  1 n  2  n  3
4

3

Khi k  2  1.2.3  2  2
3
Khi k  3  2.3.4  3  3
…
…
3

Khi k  n  1  n  n  1 n  2    n  1   n  1
3

Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được

S3  23  33  ...   n  1   2  3  ...   n  1 
3
 S3  13  23  33  ...   n  1  1  2  3  ...   n  1 
3

 S3  13  23  33  ...   n  1 

3

 n  1 n  2 
2

1
n  n  1 n  2  n  3 suy ra
4
 n  1 n  2   1 n n  1 n  2 n  3
3
13  23  33  ...   n  1 
 


4
2
2
n

1
n

2





3
 13  23  33  ...   n  1  


2


Mà S3 

 n  n  1 
 13  23  33  ...  n3  
 (đây là đẳng thức (3) đã nêu)
2


2

Bài 4. Tìm công thức thu gọn tính un theo n của các dãy số

1
1
1
1


 ... 
1.2 2.3 3.4
n. n  1
1
1
1
1
b) un 

;


 ... 
1.3 3.5 5.7
 2n  1 2n  1
1
1
1
1
c) un 


 ... 
2 1 2 3 2 2 3 4 33 4
 n  1 n  n n  1
a)

un 

11


d/ un 

1
1
1
1



 ... 
1.2.3 2.3.4 3.4.5
n  n  1 n  2 

e) un  1 
Giải

1 1
1 1
1
1


1



...

1


12 22
22 32
n 2  n  12

 k  1  k  1  1
1


k  k  1
k  k  1
k k 1
1 1 1
Khi k  1 
 
1.2 1 2
1
1 1
Khi k  2 
 
2.3 2 3
1 1 1
Khi k  3 
 
3.4 3 4

a) k   ta có
*

…

…

Khi k  n 

1
1
1
 

n  n  1 n n  1

Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được un  1 

1
n
 un 
n 1
n 1

b) k   ta có
*

1  2k  1   2k  1 1  1
1 
 .
 

 2k  1 2k  1 2  2k  1 2k  1 2  2k  1 2k  1
1 1 1 1 
   
Khi k  1 
1.3 2 1 3 
1
1 1 1 
   
Khi k  2 
3.5 2  3 5 
1
1 1 1 

   
Khi k  3 
5.7 2  5 7 
1

…
Khi k  n 

…

1

 2n  1 2n  1



1 1
1 

2  2n  1 2n  1 

Cộng n đẳng thức trên theo vế và giản ước ta được

un 

1
1 
n
1



u

n
2  2n  1 
2n  1
12


c) k   ta có
*

 k  1

1
1
k 1  k


k  k k 1
k k 1
k k 1 k 1  k





1
1



 k  1 k  k k  1 k
1
1 1
Khi k  1 
 
2 2 1
2
1
1
Khi k  2 


3 22 3
2
1
1
Khi k  3 


4 33 4
3


…

1
k 1

1

3
1
4

…

Khi k  n 

 n  1

1
1
1


n  n n 1
n
n 1

Cộng n đẳng thức trên theo vế và giản ước ta được

un  1 

1
n 1 1
 un 
n 1
n 1

d) k   ta có

*


1
1  k  2  k
1 1
1
 .
 


k  k  1 k  2  2 k  k  1 k  2  2  k  k  1  k  1 k  2  
1
1 1
1 
 

1.2.3 2 1.2 2.3 
1
1 1
1 
 

Khi k  2 
2.3.4 2  2.3 3.4 
1
1 1
1 
 


Khi k  3 
3.4.5 2  3.4 4.5 
Khi k  1 

…
Khi k  n 

…


1
1 1
1
 


n  n  1 n  2  2  n  n  1  n  1 n  2  

Cộng n đẳng thức trên theo vế và giản ước ta được


1 1
1
n 2  3n
un   

2  2  n  1 n  2   4  n  1 n  2 

13

 un 

n  n  3

4  n  1 n  2 
k 2  k  1   k  1  k 2
1
1
1 2 

2
2
k
k 2  k  1
 k  1
2

e) k   ta có
*

k 2  k  1  2k  k  1  1
k 2  k  1

 1

2

 k  k  1  1
k  k  1  1


2
k  k  1
k 2  k  1
2

2



2



1
1
1
1


1


k 2  k  12
k k 1

1 1
1 1



1


12 22
1 2
1 1
1 1
Khi k  2  1  2  2  1  
2 3
2 3
Khi k  1  1 

…

…

Khi k  n  1 

1
1
1
1


1


n 2  n  12
n n 1

Cộng n đẳng thức trên theo vế và giản ước ta được

un  n  1 

n  n  2
1
 un 
n 1
n 1

Bài 5. Tìm số hạn tổng quát của các dãy số cho bởi công thức truy hồi dưới đây

u1  2

un1  un  2n  1; n  1

a) 

u1  1


b) 
un
u

;n  1
n 1

1


3
n

2
u

 n


u1  1

2
2
un1  un  n  1; n  1

c) 

u1  3

3
un1  un  2n ; n  1

d) 

14


u1  1; u2  2

un1  2un  un1  1; n  2

e) 

Giải
a) Theo đề bài suy ra ;

u1  2
u2  u1  2.1  1
u3  u2  2.2  1
u4  u3  2.3  1

…

…

un  un1  2. n  1  1
Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được
un  2  2 1  2  ...   n  1   n  1
Mà 1  2  ...   n  1 

 n  1 n

2
 un  n  1   n  1 n  n  1
2

Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là un  n  1
2

b) Từ công thức truy hồi suy ra

1
1
  3n  2; n  1
un1 un

Từ đó ta có

1
u1
1
u2
1
u3
1
u4
…

1
1
 3.1  2
u1
1
  3.2  2
u2
1
  3.3  2
u3


…

1
1

 3  n  1  2
un un1
Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được
1
 1  3 1  2  ...   n  1   2  n  1
un

15


n  1 n

1
3n 2  n  2
  1 3
 2  n  1 
un
2
2
2
 un  2
3n  n  2
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là un 

2

3n 2  n  2

c) Từ công thức truy hồi suy ra un 1  un  n  1; n  1
Từ đó ta có
2

u12
u22
u32
u42

1
 u12  12  1
 u22  22  1
 u32  32  1

…

…

2

2

un2  un21   n  1  1
Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được
2
un2  12  22  32  ...   n  1  n
n  n  1 2n  1
2

2
2
2
Mà 1  2  3  ...  n 
6
 n  1 n  2n  1
2
12  22  32  ...   n  1 
6
 n  1 n  2n  1  n  1 n 2n 2  3n  7
un2 


6
6
2

 un 

1
6n  2n 2  3n  7 
6

Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là
d) Theo đề bài suy ra ;

u1  3
u2  u1  2.13
u3  u2  2.23
u4  u3  2.33

…

…

un  un1  2.  n  1

3

Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được

16

un 

1
6n  2n 2  3n  7 
6


un  3  2 13  23  ...   n  1 
3

Mà

 n  n  1 
  n  1 n 
3
3
3

13  23  ...  n3  

1

2

...

n

1






2 
2 


2
n 2  n  1
 un  3 
4
2
n 2  n  1
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là un  3 
4
2

e) Từ công thức truy hồi suy ra

u1  1
u2  2

u3  2u2  u1  1
u4  2u3  u2  1
...

...

un  2un1  un2  1
Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được

u1  un  un1  2  n  1
 un  un1  n (*)

Từ đề bài và (*) ta lại suy ra

u1  1
u2  u1  1
u3  u 2  2
u 4  u3  3

…

…

un  un1  n  1

Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được

un  1  1  2  3  ...   n  1  1 

 n  1 n  1
2

Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là

un 

2

b)

un  12  42  7 2  ...   3n  2 
un  13  53  93  ...   4n  3

2

3

17

2

 n  2

1 2

 n  n  2
2

Bài tập tương tự
1. Tìm cồng thức thu gọn tính un theo n của các dãy số
a)

n

2


1
1
1
1


 ... 
1.5 5.9 9.13
 4n  3 4n  1
1
1
1
d) un 

 ... 
1.3.5 3.5.7
 2n  1 2n  1 2n  3
c) un 

2. Tìm số hạn tổng quát của các dãy số cho bởi công thức truy hồi dưới đây

u1  1

2
un  un1  2n  1; n  2

a) 

u1  1


b) 
un
u

 n1 1  n3u ; n  1
n


u1  3

3
un  un1  n  2n  1; n  2

c) 

u1  1; u2  3


un1  2un  un1  2n; n  2

d) 

PHẦN II: DÃY SỐ QUY VỀ CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN
Trước hết ta giải quyết một số bài toán rất cơ bản để khai thác định
nghĩa và tính chất của cấp số cộng và cấp số nhân

u1  9
Bài 1. Cho dãy số  un  xác định bởi công thức: 
un  un1  3; n  2

Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số
Giải
Từ công thức truy hồi đã cho suy ra  un  là một cấp số cộng có u1  9 và công
sai d  3 nên số hạng tổng quát là un  u1   n  1 d  un  9  3  n  1
Vậy un  3n  6

u1  16

Bài 2. Cho dãy số  un  xác định bởi công thức: 
1
u

 n1 2 un ; n  1
Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số
Giải
Từ công thức truy hồi đã cho suy ra  un  là một cấp số nhân có u1  16 và công
18

1
1
n 1
bội q  nên số hạng tổng quát là un  u1 .q  un  16. 
2
2
5 n
Vậy un  2

n 1

 25 n

Bài 3. Cho dãy số  un  xác định bởi công thức:

u1  1
. Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số

n
u

u

3
n

1

2.5

;
n

1
n
 n1
Giải
Theo đề bài suy ra

u1  1
u2  u1  3.1  1  2.51
u3  u2  3.2  1  2.52

...

...

un  un1  3. n  1  1  2.5n1
Cộng n đẳng thức trên theo vế suy ra
un  1  3 1  2  3  ...   n  1    n  1  2 51  52  53  ...  5n1 
Trong đó 1  2  3  ...   n  1 

 n  1 n

2
Và tổng A  5  5  ...  5 là tổng n  1 số hạng đầu của cấp số nhân có số
hạng thứ nhất a1  5 , công bội q  5
1  q n1
1  5n1
5 5n

 A  S n1  a1
 A  5.
 
1 q
4
4 4
n
n  1 n

 5 5  1
un  2  n  3
 2       3n 2  5n  9  5n 
2
 4 4 2
1
2
n
Vậy số hạng tổng quát của dãy số là un   3n  5n  9  5 
2
1

n 1

2

u1  a
.
u

5


u
;
n

1
n
 n1

Bài 4. Cho dãy số  un  có 

Tìm a để  un  là cấp số cộng.

Giải
Theo đề bài suy ra u1  a; u2  5  a; u3  a
Dãy số (un ) là cấp số cộng  u2  u1  u3  u2  5  2a  2a  5  a 
Ta phải thử lại

19

5
2


5
5
5
5
5
thì theo đề bài suy ra u1  , u2  , u3  ,..., un 

2
2
2
2
2
Nên (un ) là cấp số cộng với cồng sai d  0
Với a 

u1  a

Bài 5. Cho dãy số (un ) có : 
với a  0
12
u

;
n

1
 n1 u
n

Tìm a để ( un ) là cấp số nhân
Giải

12
; u3  a
a
u2 u3
12 a 2

  2 
 a   12
Dãy số (un ) là cấp số nhân 
u1 u2
a
12
Theo đề bài suy ra u1  a; u2 

Lưu ý là phải thử lại
+) với a  12 thì theo đề bài suy ra

u1  12, u2  12, u3  12,..., un  12
nên (un ) là cấp số nhân có công bội q  1
+) với a   12 thì theo đề bài suy ra

u1   12, u2   12, u3   12,..., un   12
nên (un ) là cấp số nhân có công bội q  1
Vậy dãy số (un ) là cấp số nhân khi a   12
Bài 6. Cho dãy số (un ) có số hạng tổng quát un 
Đặt S n  u1  u2  ...  un . Hãy rút gọn S n theo n
Giải

n
.
3n

1 2 3
n




...

31 32 33
3n
2 3
n
 3S n  1  1  2  ...  n1
3 3
3

Ta có S n 

Trừ theo vế hai đẳng thức trên ta được

3S n  S n  1 

1 1
1
n


...


31 32
3n1 3n

Theo công thức tổng các số hạng của cấp số nhân suy ra

20


n

1
1  
n
n
n
3
2 S n  1.    n  2 1  3 n   n  S n  1  3 n 
n
1
3
3
2.3
1
2
n
n
Vậy S n  1  3 
2.3n

Nhận xét:
Với cách làm như trên ta có bài toán tương tự đối với dãy số
un   an  b  .c n , trong đó a, b, c là các hằng số bất kì cho trước.
Chẳng hạn: Rút gọn biểu thức A  u1  u2  ...  un với un   2n  3 .5

n

Trên cơ sở của cấp số cộng và cấp số nhân và cách tư duy tương tự các
bài trên ta sẽ giải quyết một số bài toán về dãy số khá phức tạp dưới đây mà bản
thân nó không phải cấp số cộng hoặc cấp số nhân

u1  2
un  5un1  6; n  2

Bài 7. Cho dãy số  un  xác định bởi công thức: 
Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số
Giải
Ta xét un  a  5  un 1  a   un  5un 1  4a
Két hợp với đề bài  4a  6  a 

3
2

3
3

 5  un1  
2
2

3
3 7
Đặt vn  un   v1  u1   và vn  5vn 1
2
2 2
7

Suy ra dãy số  vn  là cấp số nhân có v1  , công bội q  5
2
7
3 7
3
 vn  v1 .q n1  vn  .5n1  un  vn   .5n1 
2
2 2
2
7 n1 3
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là un  .5 
2
2
Vậy un  5un 1  6  un 

Theo cách giải của bài toán trên ta có thể tìm được số hạng tổng quát của các

u1  

dãy số cho bới công thức truy hồi có dạng: 

un1  qun  f  n  ; n  1

Trong đó  , q là các hằng số đã cho, f  n  là đa thức theo biến số n

* Nếu q  1 ta được bài toán rất đơn giản như đã trình bày trong phần I

21

* Nếu q  1 ta phải tìm một đa thức g  n  có bậc bằng bậc của f  n  sao cho
phương trình un 1  qun  f  n   un 1  g  n  1  q un  g  n  

Khi đó việc tìm un sẽ trở thành tìm vn trong đó dãy số  vn  là một cấp số nhân
Bài 8. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số  un  cho bới công thức truy hồi
a)

u1  3

2
un  un1  6n  2n; n  2

b)

u1  1

un1  3un  4n  2; n  1

c)

u1  5

2
un1  9un  8n  14n  1; n  1

Giải
a) Theo đề bài suy ra

u1  3
u2  u1  6.22  2.2

u3  u2  6.32  2.3
u4  u3  6.42  2.4

…

…

un  un1  6.n 2  2.n
Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được
un  3  6  22  32  ...  n 2   2  2  3  ...  n 

 un  3  6 12  22  32  ...  n 2   2 1  2  3  ...  n   4
 un  1  n  n  1 2n  1  n  n  1  2n3  2n 2  1
3
2
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là un  2n  2n  1

b) Từ đề bài suy ra f  n   4n  2 là đa thức bậc nhất ẩn n nên ta xét đa thức

g  n   an  b sao cho un1  g  n  1  3 un  g  n  

 un1  a  n  1  b  3un  an  b 

 un1  3un  2an  2b  a
Mà un 1  3un  4n  2 nên ta phải có
 2a  4
a  2
2an  2b  a  4n  2  

2b  a  2

b  0
22


Do đó un 1  2  n  1  3un  2n 
Đặt vn  un  2n  v1  u1  2  3 và vn 1  3vn

Suy ra  vn  là cấp số nhân có v1  3 , công bội q  3

 vn  v1 .q n1  vn  3.3n1  3n mà vn  un  2n  un  3n  2n
n
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là un  3  2n
c) Từ đề bài suy ra f  n   8n  14n  1 là đa thức bậc hai ẩn n nên ta xét đa
2

thức g  n   an  bn  c sao cho un 1  g  n  1  9 un  g  n  
2

 un1  a  n  1  b  n  1  c  9 un  an 2  bn  c 
 un1  9un  8an 2   8b  2a  n  8c  b  a
2
Mà un 1  9un  8n  14n  1 nên ta phải có
8an 2   8b  2a  n  8c  b  a  8n 2  14n  1
8a  8

8an 2   8b  2a  n  8c  b  a  8n 2  14n  1  8b  2a  14
8c  b  a  1

1
1

 a  1; b  2; c  suy ra g  n   n 2  2n 
2
2
1
1
2

2
Do đó  un 1   n  1  2  n  1   9 un  n  2n  
2
2

1
7 17
2
Đặt vn  un  n  2n   v1  u1  
và vn 1  9vn
2
2 2
17
Suy ra  vn  là cấp số nhân có v1 
, công bội q  9
2
17
17
 vn  v1 .q n1  vn  .9n1  .32 n2 mà
2
2
1
1  17

1

vn  un  n 2  2n   un  vn   n 2  2n    .32 n2  n 2  2n 
2
2 2
2

17 2 n2
1
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là un 
.3  n 2  2n 
2
2
2

Bài tập tương tự:
Tìm số hạng tổng quát của các dãy số  un  cho bới công thức truy hồi
a)

u1  1

3
un  un1  4n  6n; n  2
23


b)

u1  4


un1  5un  8n  3; n  1

c)

u1  3

2
un1  2un  3n  4n  1; n  1

Bài 9. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số  un  cho bới công thức truy hồi

u1  1

n
un  un1   n  3 2 ; n  2
Giải
Cách 1. Theo đề bài suy ra

u1  1
u2  u1   2  3 .22

u3  u2   3  3 .23
u4  u3   4  3 .24
…

…

un  un1   n  3 2n
Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được
un  1  2.22  3.33  ...  n.3n  3 22  23  ...  2n 

2
3
n
Trong đó tổng A  2  2  ...  2 là tổng n  1 số hạng đầu của một cấp số
2
nhân có phần tử thứ nhất a1  2  4 , công bội q  2
1  q n1
1  2n1
 A  a1 .
 A  4.
 2n1  4
1 q
1
2
3
4
n
Xét B  2.2  3.2  4.2  ...  n.2
 2 B  2.23  3.24  4.25  ...  n.2n1
Trừ theo vế hai đẳng thức trên suy ra

B  2 B  2.22  23  24  ...  2n  n.2n1

  B  A  22  n.2n1  2n1  n.2n1  B   n  1 2n1
 un  1  B  3 A  1   n  1 2n1  3  2n1  4    n  4  2n1  13
n 1
Vậy số hạng tổng quát của dãy số trên là un   n  4  2  13
Cách 2. Xét hàm số g  n    an  b  .2

n 1

un  g  n   un1  g  n  1

sao cho

 un   an  b  2n1  un1   a  n  1  b  2n

24


 un  un1   a  n  1  b  2n

Mà un  un 1   n  3 2 nên ta phải có
n

a  1
a  1
a  n  1  b  n  3  

a  b  3 b  4
 g  n    n  4  .2n1

Do đo un    n  4  2

n 1

Đặt vn  un    n  4  2

 un1     n  1  4  2n

 v1  u1   1  4  22  13 và vn  vn1
Suy ra  vn  là cấp số nhân có v1  13 , công bội q  1
 vn  v1 .q n1  vn  13 mà vn  un   n  4  2n1  un  13   n  4  2n1
n 1

Vậy số hạng tổng quát của dãy số trên là un   n  4  2

n 1

 13

Chú ý: Dãy số  un  thỏa mãn

u1  1
u1  1



n
n 1
un  un1   n  3 2 ; n  2
un1  un   n  2  2 ; n  1
Tương tự cách giải của bài tập 8 và 9 ta có thể tìm được số hạng tổng
quát của các dãy số cho bới công thức truy hôi như sau:

u1  

n
un1  qun  f  n  . ; n  1
Trong đó  , q,  là các hằng số đã cho, f  n  là một đa thức theo biến số n

Với một số lưu ý sau:
* Nếu q    1 ta sẽ tìm đa thức g  n  có bậc bằng bậc của f  n  cộng với 1

sao cho un 1  g  n  1  un  g  n  . Khi đó ta sẽ đưa về bài toán tìm số hạng
tổng quát của một cấp số nhân.
* Nếu   1 và q  1, ta có đề bài với cách giải tương tự bài tập số 8.

  1 , q   , ta sẽ tìm đa thức g  n  có bậc bằng bậc của f  n  sao
n 1
n
cho un 1  g  n  1   q un  g  n    .
* Nếu q    1, ta sẽ tìm đa thức g  n  có bậc bằng bậc của f  n  cộng với
n 1
n
1 sao cho un 1  g  n  1   q un  g  n    .
* Nếu

Vấn đề này được thể hiện rất rõ ràng qua các ví dụ sau đây theo thứ tự
tương ứng

25