hàm số 1 image marked image marked

Câu 1: (Chuyên Bắc Ninh-2018) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y =
có giá trị lớn nhất trên đoạn [2;3] bằng
m = 3
A. 
.
m = 2
5


m = 2
B. 
.
m = 2
5


mx + 1
x + m2

5
.
6

m = 3
C. 
.
m = 3
5


D. m = 3

Đáp án A
Phương pháp giải:
Xét các trường hợp của tham số, lập bảng biến thiên để tìm max – min trên đoạn
Lời giải:
m3 − 1
mx + 1
y
'
=
; x   2;3
Xét hàm số y =
trên
đoạn
có
2;3


x + m2
( x + m2 )
3m + 1 5
=  m = 3.
 2;3
3 + m2 6
2m + 1 5
2
= m= .
TH2: Với m3 − 1  0  m  1, khi đó y '  0; x   2;3  max y = y ( 2 ) =
2
 2;3

2+m
6
5
2
Vậy có hai giá trị cần tìm là m1 = 3; m2 = .
5
1
Câu 2: (Chuyên Hoàng Văn Thụ- Lần 2) Hàm số y = x 3 − 2x 2 + 3x + 1 đồng biến trong
3

TH1: Với m3 − 1  0  m  1, khi đó y '  0; x   2;3  max y = y ( 3) =

khoảng nào sau đây?
A. ( −;1) và ( 3; + ) B. (1;3)

C. ( 3; + )

D. ( −;1)

Đáp án A
Phương pháp:
- TXĐ
- Tính đạo hàm y’
- Tìm nghiệm của phương trình y ' = 0 và điểm mà tại đó y’ không xác định.
- Xét dấu y’.
- Kết luận.

x = 1
1
Cách giải: y = x 3 − 2x 2 + 3x + 1  y ' = x 2 − 4x + 3 = 0  

3
x = 3
Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −;1) và ( 3; + )
Câu 3: (Chuyên Hoàng Văn Thụ- Lần 2) Với k là số nguyên dương. Kết quả của giới hạn
lim n k là


A. n

B. 0

C. +

D. −

Đáp án C
Cách giải: lim n k = +, k 

+

Câu 4: (Chuyên Hoàng Văn Thụ- Lần 2): Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong
bốn hàm số ở dưới
đây. Hàm số đó là hàm số nào?
A. y = −2x 3 − 6x 2 + 6x + 1
B. y = 2x 3 − 6x 2 + 6x + 1
C. y = −2x 3 − 6x 2 − 6x + 1
D. y = 2x 3 − 6x 2 − 6x + 1

Đáp án B
Phương pháp: Loại trừ phương án sai.

Cách giải: Hàm số ở bốn phương án có dạng y = a x 3 + bx 2 + cx + d, a  0
Quan sát đồ thị hàm số ta thấy hàm số đồng biến trên R  a  0
=> Loại đi phương án A và C.
Mặt khác, hàm số đồng biến trên R  y '  0, x
Xét y = 2x 3 − 6x 2 − 6x + 1  y ' = 6x 2 − 12x − 6
y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt  y = 2x 3 − 6x 2 − 6x + 1 có khoảng đồng biến, có khoảng

nghịch biến.
=>Loại đi phương án D.
=>Chọn phương án B.
Câu 5: (Chuyên Hoàng Văn Thụ- Lần 2) Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 + 1. Số điểm cực trị của
hàm số là
A. 3

B. 0

C. 1

Đáp án D
Phương pháp: Hàm số bậc ba y = a x 3 + bx 2 + cx + d,a  0 :
y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt : Hàm số có 2 điểm cực trị.
y ' = 0 có 1 nghiệm (nghiệm kép) : Hàm số không có cực trị.
y ' = 0 vô nghiệm : Hàm số không có cực trị.

D. 2


x = 0
Cách giải: y = x 3 + 3x 2 + 1  y ' = 3x 2 + 3x = 0  
 Hàm số có hai điểm cực trị.

 x = −1
Câu 6: (Chuyên Hoàng Văn Thụ- Lần 2) Phương trình x 3 − 12x + m − 2 = 0 có ba nghiệm
phân biệt với m thuộc khoảng
A. −18  m  14

C. −14  m  18

B. −4  m  4

D. −16  m  16

Đáp án A
Phương pháp: Sử dụng sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số để đánh giá số nghiệm của
phương trình.
Cách giải: x3 −12x + m − 2 = 0  x3 −12x − 2 = −m (*)
Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = x 3 − 12x − 2 và
đường thẳng y = − m
Xét y = x 3 − 12x − 2 có y ' = 3x 2 − 12 = 0  x = 2
Bảng biến thiên:

−2

−

x

+

y'

0

y

+

2

+

0

-

+

14

−18

−

Khi đó, y = x 3 − 12x − 2 cắt y = − m tại 3 điểm phân biệt  −18  −m  14  −14  m  18
Câu 7: (Chuyên Hoàng Văn Thụ- Lần 2) Gọi M và m lần lượt là GTLN và GTNN của
hàm số y = 2x 3 + 3x 2 − 12x + 2 trên đoạn  −1;2 . Tỉ số
A. −2

B. −3

C. −

M
bằng
m
1
3

D. −

1
2

Đáp án B

 x = 1  −1; 2
Cách giải: y = 2x 3 + 3x 2 − 12x + 2  y ' = 6x 2 + 6x − 12 = 0  
 x = −2   −1; 2

y = −5 = m
Min
M
 −1;2
f (1) = −5;f ( −1) = 15;f ( 2 ) = 6  
 = −3
Max=15=M
m

−1;2

Câu 8:

(Chuyên Hoàng Văn Thụ- Lần 2)

Cho đồ

thị

hàm số


y=

a x +1
, ( a, b  ;ab  −2 ) . Giao điểm của hai đường tiệm cận là I ( 2; −1) . Giá trị của a, b
2x − b

là:
B. a = 4; b = −2

A. a = 2; b = −1

C. a = 4; b = 2

D. a = −2; b = 4

Đáp án D
Phương pháp :Nếu lim y = a  y = a là TCN của đồ thị hàm số.
x →

Nếu lim y =   x = x 0 là TCĐ của đồ thị hàm số.

x →x 0

Cách giải:
b
a
a x +1
; ( a; b  R, ab  −2 ) có hai đường tiệm cận là x = ; y =  giao điểm của hai
2
2
2x − b
b
=2
a = −2
 b a   2

đường tiệm cận là I  ;   
 2 2   a = −1 b = 4
 2

y=

Câu 9: (Chuyên Hoàng Văn Thụ- Lần 2) Với giá trị nào của tham số m thì hàm số
y=

mx + 4
nghịch biến trên khoảng (1;+ ) ?
x+m

A. ( −2;2 )

B. m  −2

C.  −1;2)

D. ( −;1)

Đáp án C
Phương pháp: Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng D  f ' ( x )  0, x  D,f ' ( x ) = 0
tại hữu hạn điểm thuộc D.
Cách giải: y =
Hàm số y =

mx + 4
m2 − 4
 y' =
, x  −m
2
x+m
( x + m)

mx + 4
nghịch biến trên khoảng (1;+ )
x+m

2

−2  m  2
−2  m  2
m − 4  0




 −1  m  2
−
m

1
m

−
1
−
m

1;
+
(
)





Câu 10: (Chuyên Hoàng Văn Thụ- Lần 2) Cho hàm số y = f ( x ) có
đồ thị như hình vẽ. Số cực trị của hàm số y = f ( x 2 − 2x )
A. 2

B. 5

C. 4

D. 3


Đáp án B
Phương pháp: Đạo hàm hàm hợp : y = f ( u ( x ) )  y' = f ' ( u ( x ) ) .u ' ( x )
Cách giải: Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) ta thấy hàm số có hai điểm cực trị là

x = 2
x CT = 2, x CD = 0  f ' ( x ) = 0  
x = 0

y = f ( x 2 − 2x )  y ' = f ' ( x 2 − 2x ) . ( 2x − 2 )
x = 0
 x 2 − 2x = 0
x = 2
f ' ( x − 2x ) = 0
 2
y' = 0  
 x − 2 = 0  
x = 1  3
 2x − 2 = 0
x = 1


 x = 1
2

Vậy, hàm số y = f ( x 2 − 2x ) có 5 cực trị
Câu 11: (Chuyên Hoàng Văn Thụ- Lần 2) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m

không lớn hơn 2018 để hàm số y = x3 − 6x 2 + ( m −1) x + 2018 đồng biến trên khoảng

(1; +) ?
A. 2005

B. 2017

C. 2018

D. 2006

Đáp án D
Cách giải: y = x3 − 6x 2 + ( m −1) x + 2018  y' = 3x 2 −12x + m − 1
y ' = 0  3x 2 − 12x + m − 1 = 0 (1)
 ' = 36 − 3. ( m − 1) = 39 − 3m
+)   0  m  13  y '  0, x  R  Hàm số đồng biến trên R  (1; + )
+)   0  m  13 : Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1 , x 2 ( x1  x 2 )

 x1 + x 2 = 4

Theo đinh lí Viet ta có 
m −1
 x1x 2 = 3

Khi đó, để hàm số đồng biến trên khoảng (1;+ ) thì


x − 1  0
( x1 − 1)( x 2 − 1)  0
x1  x 2  1   1


x 2 − 1  0

( x1 − 1) + ( x 2 − 1)  0
 m −1
 x1x 2 − ( x1 + x 2 ) + 1  0
− 4 +1  0


 3
( vô lí )
 x1 + x 2 − 2  0
4 − 2  0


Vậy m  13
Mà m  2018, m 

+

 m 13;14;15;...;2018

Số giá trị của m thỏa mãn là: 2018 −13 +1 = 2006
Câu 12: (Chuyên Hoàng Văn Thụ- Lần 2) Tổng các giá trị của m để đường thẳng

( d ) : y = −x + m cắt ( C ) : y =

−2x + 1
tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 2 2 bằng
x +1

B. −6

A. −2

D. −1

C. 0

: Đáp án B
Phương pháp:
- Xét phương trình hoành độ giao điểm.
- Sử dụng định lý Vi – ét , tìm m.
Cách giải: Phương trình hoành độ giao điểm của ( d ) : y = −x + m và ( C ) : y =
−x + m =

−2x + 1
là:
x +1

−2x + 1
, x  −1
x +1

 x 2 − x + mx + m = −2x + 1  x 2 − ( m + 1) x + 1 − m = 0 (1)
(d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt  Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt và khác -1
2


  0

( m + 1) − 4 (1 − m )  0


 m2 + 6m − 3  0 ( 2 )

2


( −1) − ( m + 1)( −1) + 1 − m  0
3  0

Gọi tọa độ giao điểm là A ( x1; y1 ) , B ( x 2 ; y2 )  x1, x 2 là nghiệm của (1).

x1 + x 2 = m + 1
Theo Vi – ét: 
x1x 2 = 1 − m
 y = − x1 + m
A, B  d   1
 y 2 − y1 = x1 − x 2
 y2 = −x 2 + m
AB =

( x 2 − x1 ) + ( y 2 − y1 )
2

2

=

( x 2 − x1 ) + ( x1 − x 2 )

2

2

= 2 ( x 2 − x1 )

2

= 2 ( x 2 + x1 ) − 8x1x 2 = 2 ( m + 1) − 8 (1 − m )
2

2

m = 1
2
2
 2 ( m + 1) − 8 (1 − m ) = 2 2  ( m + 1) − 4 (1 − m ) = 4  m 2 + 6m − 7 = 0  
 m = −7
( Thỏa mãn điều kiện (2))
Tổng các giá trị của m là: 1 + ( −7 ) = −6
Câu 13: (Chuyên Hoàng Văn Thụ- Lần 2) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên


đồ thị hàm số y = f ' ( x ) như hình vẽ.

Biết f ( 2) = −6,f ( −4) = −10 và hàm số g ( x ) = f ( x ) +

x2
, g ( x ) có ba điểm cực trị.
2

Phương trình g ( x ) = 0?
A. Có đúng 2 nghiệm.

B. Vô nghiệm

C. Có đúng 3 nghiệm

D. Có đúng 4 nghiệm.

Đáp án B

Phương pháp: Lập bảng biến thiên của g ( x ) và đánh giá số giao điểm của đồ thị hàm số

y = g ( x ) và trục hoành.
Cách giải: g ( x ) = f ( x ) +

g ' ( x ) = 0  f ' ( x ) = −x

x2
 g '(x ) = f '(x ) + x
2


Xét giao điểm của đồ thị hàm số y = f ' ( x ) và đường thẳng y = − x ta thấy, hai đồ thị cắt
nhau tại ba điểm có hoành độ là: −2; 2; 4 tương ứng với 3 điểm cực trị của y = g ( x ) .

( −4 ) = −10 + 8 = −2
22
g ( 2 ) = f ( 2 ) + = −6 + 2 = −4;g ( −4 ) = f ( −4 ) +

2
2
2

Bảng biến thiên:
x

−

g '( x)

−2

2

4

0

0

0

g (x)

+

−2

−6

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g ( x )  0x  ( 2;4)  phương trình g ( x ) = 0 không có
nghiệm x  ( 2; 4 )
Câu 14: (Chuyên Bắc Ninh-2018) Cho ba điểm A (1; −3) ; B ( −2;6) và C ( 4; −9) . Tìm tọa độ
điểm M trên trục Ox sao cho véc tơ u = MA + MB + MC có độ dài nhỏ nhất.
A. M ( 2;0)
B. M ( 4;0)
C. M ( 3;0 )
D. M (1;0)
Đáp án D
Phương pháp:
- Gọi điểm M ( m;0 )  Ox .
- Tính tọa độ các véc tơ MA,MB,MC  u = MA + MB + MC .
- Sử dụng công thức: a = ( x1; y1 ) ; b = ( x2 ; y2 )  a + b = ( x1 + x 2 ; y1 + y2 )
- Tìm GTNN của biểu thức ở trên, từ đó suy ra m  M .
Cách giải: Gọi M ( m;0 )  Ox , ta có:

MA = (1 − m; −3) ; MB = ( −2 − m;6 ) ; MC = ( 4 − m; −9 )
 MA + MB + MC = ( 3 − 3m; −6 )
 MA + MB + MC =

( 3 − 3m ) + ( −6 )
2

2

=

( 3m − 3)

2

+ 36

 MA + MB + MC = ( 3m − 3) + 36  36  MA + MB + MC  6
2

Do đó min u = 6 khi 3m − 3 = 0  m = 1  m (1;0)
Câu 15: (Chuyên Bắc Ninh-2018) Tìm giá trị cực tiểu yCT của hàm số y = x 4 − 2 x 2 − 3
A. yCT = 4
Đáp án D
Phương pháp:

B. yCT = −3

C. yCT = 3

D. yCT = −4


Cách tìm cực trị của hàm số đa thức:
- Tính y '.
- Tìm các nghiệm của y ' = 0 .
- Tính các giá trị của hàm số tại các điểm làm cho y ' = 0 và so sánh, rút ra kết luận.
Cách giải:
 x = 0  y = −3
3
2
Ta có: y ' = 4 x − 4 x = 0  4 x ( x − 1) = 0   x = 1  y = −4

 x = −1  y = −4

Từ đó suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và yCT = −4
Câu 16: (Chuyên Bắc Ninh-2018) Đồ thị hàm số nào sau đây nằm phía dưới trục hoành?
A. y = − x 4 − 4 x 2 + 1
B. y = x 4 + 5x 2 − 1
C. y = − x 4 + 2 x 2 − 2
D. y = − x3 − 7 x 2 − x − 1
Đáp án C
Phương pháp:
- Sử dụng dáng điệu các hàm số, sự tương giao đồ thị để loại trừ đáp án.
- Đồ thị hàm số y = f ( x ) xác định trên D, luôn nằm dưới trục hoành khi và chỉ khi

f ( x )  0, x  D .
Cách giải:
Đáp án A: Xét phương trình −t 2 − 4t + 1 = 0 có ac = −1.1 = −1  0 nên có hai nghiệm t1 , t2 thỏa
mãn t1  0  t2 .
Do đó, phương trình −t 2 − 4t + 1 = 0 có hai nghiệm x1,2 =  t2 . Loại A.
Đáp án B: Xét phương trình −t 2 + 5t − 1 = 0 có ac = −1.1 = −1  0 nên có hai nghiệm t1 , t2 thỏa
mãn t1  0  t2 .
Do đó, phương trình −t 2 + 5t − 1 = 0 có hai nghiệm x1,2 =  t2 . Loại B.
Đáp án C: y = − x 4 + 2 x 2 − 2 = − ( x 4 − 2 x 2 + 2 ) = − ( x 4 − 2 x 2 + 1 + 1) = −1 − ( x 2 − 1)  −1  0, x 
2

Do đó đồ thị hàm số y = − x 4 + 2 x 2 − 2 luôn nằm dưới trục hoành.
Đáp án D: Đồ thị hàm số bậc ba luôn cắt trục hoành tại ít nhất 1 điểm nên loại D.
Câu 17: (Chuyên Bắc Ninh-2018)Tính đạo hàm của hàm số y = log5 ( x 2 + 2 ) .
A. y ' =

1
( x + 2 ) ln 5

B. y ' =

2

2x
( x + 2)
2

C. y ' =

2 x ln 5
( x2 + 2)

D. y ' =

2x
( x + 2 ) ln 5
2

Đáp án D
Phương pháp: Áp dụng công thức tính đạo hàm hàm số logarit ( log a u ) ' =
Cách giải: Ta có: y ' =

(x

(x

2

2

+ 2) '

+ 2 ) ln 5

=

u'
.
u ln a

2x
( x + 2 ) ln 5
2

Chú ý khi giải: HS thường quên tính u ' dẫn đến chọn nhầm đáp án A.
Câu 18: (Chuyên Bắc Ninh-2018)Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số bị chặn?


A. un =

2n + 1
n +1

B. un = 2n + sin ( n )

C. un = n 2

D. un = n3 − 1

Đáp án A
Phương pháp:
- Dãy số ( un ) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới, nghĩa là: tồn tại
số m, M sao cho m  un  M , n 

*

Chú ý: Nếu lim un =  thì ta kết luận ngay dãy không bị chặn.
Cách giải:
2n + 1 2 ( n + 1) − 1
1
Đáp án A: 0  un =
=
= 2−
 2, n  * nên ( un ) là dãy bị chặn.
n +1
n +1
n +1
Đáp án B, C, D: lim un = + nên các dãy số này đều không là dãy bị chặn.
Câu 19: (Chuyên Bắc Ninh-2018) Hàm số nào trong bốn hàm số sau có bảng biến thiên như
hình vẽ bên?
A. y = x3 − 3x + 2
B. y = − x3 + 3x − 1
C. y = x3 − 3x 2 + 2
D. y = x3 + 3x 2 − 1
Đáp án C
Phương pháp:
Quan sát bảng biến thiên, tìm các điểm mà đồ thị hàm số đi qua rồi rút ra kết luận.
Cách giải: Từ bảng biến thiên ta thấy:
- Đồ thị hàm số đi qua điểm ( 0; 2 ) nên loại B, D.

- Đồ thị hàm số đi qua điểm ( 2; −2 ) nên thay x = 2 vào hi hàm số A và C ta được:
Đáp án A: y = 23 − 3.2 + 2 = 4  −2 nên loại A.
Đáp án C: y = 23 − 3.22 + 2 = −2 nên đáp án C đúng.
Chú ý khi giải: Có nhiều cách làm cho bài toán này, HS cũng có thể xét từng hàm số, lập bảng
biến thiên và đối chiếu kết quả nhưng sẽ mất nhiều thời gian hơn. Cần chú ý sử dụng phối hợp
nhiều phương pháp để giải bài toán nhanh nhất.
1
Câu 20: (Chuyên Bắc Ninh-2018) Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 + x + 1 có đồ thị (C). Trong
3
các tiếp tuyến với đồ thị (C), hãy tìm phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.
A. y = −8 x − 19
B. y = x − 19
C. y = −8 x + 10
D. y = − x + 19
Đáp án C
Phương pháp :
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x ) tại điểm có hoành độ x0 có hệ số góc là

y ' ( x0 ) và có phương trình y = f ' ( x0 )( x − x0 ) + y0
Cách giải :
2
Ta có y ' = x 2 − 6 x + 1  y ' ( x0 ) = x0 − 6 x0 + 1 = ( x0 − 3) − 8  −8 là hệ số góc của tiếp tuyến
của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x0 , khi đó hệ số góc nhỏ nhất bằng −8 khi và chỉ khi
x0 = 3 .


Tại x0 = 3 ta có y0 = −14 .

Vậy phương tình tiếp tuyến cần tìm là y = −8 ( x − 3) − 14 = −8x + 10
x

1
Câu 21: (Chuyên Bắc Ninh-2018) Tìm tập xác định D của hàm số y =  
2
A. D = (1; + )
B. D = ( −; + )
C. D = ( 0; + )
D. D = ( 0;1)

Đáp án B
Phương pháp: Hàm số mũ y = a x có tập xác định D = R.
x

1
Cách giải: Hàm số y =   là hàm số mũ nên có TXĐ D = R.
2
Chú ý khi giải : Tránh nhầm lẫn với hàm số lũy thừa, một số bạn sẽ chọn nhầm đáp án C.

Câu 22: (Chuyên Bắc Ninh-2018) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
4 x − 2m.2 x + m + 2 = 0 có 2 nghiệm phân biệt.
A. −2  m  2
B. m  −2
C. m  2
D. m  2
Đáp án C
Phương pháp:
Đặt 2x = t ( t  0) , đưa về phương trình bậc 2 ẩn t, tìm điều kiện của phương trình bậc 2 ẩn t
để phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt.
Cách giải: Đặt 2x = t ( t  0) khi đó phương trình trở thành t 2 − 2mt + m + 2 = 0 (*)
Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (*) có 2 nghiệm dương phân

biệt.
m  2

2
m − m − 2  0
 '  0
  m  −1



 m  0  m  2
Khi đó:  S  0  2m  0
P  0
m + 2  0
 m  −2




Chú ý và sai lầm: Rất nhiều học sinh sau khi đặt ẩn phụ thì quên mất điều kiện t  0 , dẫn đến
việc chỉ đi tìm điều kiện đề phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt.
Câu 23: (Chuyên Bắc Ninh-2018) Cho hàm số f ( x ) = x3 − 3x2 + 2 có
đồ thị là đường cong trong hình bên. Hỏi phương trình

(x

3

− 3x 2 + 2 ) − 3 ( x3 − 3x 2 + 2 ) + 2 = 0 có bao nhiêu nghiệm thực dương

phân biệt?
A. 3
C. 7
Đáp án C

3

2

B. 5
D. 1

Phương pháp:
Đặt t = x3 − 3x2 + 2 = f ( x ) , dựa vào đồ thị hàm số đã cho tìm ra các nghiệm ti .
Xét các phương trình f ( x ) = ti , số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm


số y = f ( x ) và đường thẳng y = ti song song với trục hoành.
Cách giải:
Đặt t = x3 − 3x2 + 2 = f ( x ) khi đó phương trình trở thành t 3 − 3t 2 + 2 = 0 và hàm số
t = 1 − 3

f ( t ) = t 3 − 3t 2 + 2 có hình dáng y như trên. Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy f ( t ) = t = 1
t = 1 + 3


Với t = 1 + 3  f ( x ) = 1 + 3

(1) . Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ

thị hàm y = f ( x ) và đường thẳng y = 1 + 3 song song với trục hoành.
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng y = 1 + 3 cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) tại 1 điểm
duy nhất nên phương trình (1) có 1 nghiệm duy nhất.
Với t = 1  f ( t ) = 1 ( 2) . Lập luận tương tự như trên ta thấy phương trình (2) có 3 nghiệm
phân biệt.
Với t = 1 − 3  f ( t ) = 1 − 3

(3) . Phương trình 3 có 3 nghiệm phân biệt.

Vậy phương trình ban đầu có 7 nghiệm phân biệt.
Chú ý và sai lầm: Sau khi đặt ẩn phụ và tìm ra được 3 nghiệm t, nhiều học sinh kết luận sai lầm
phương trình có 3 nghiệm phân biệt và chọn đáp án A. Số nghiệm của phương trình là số nghiệm
x chứ không phải số nghiệm t.
Câu 24: (Chuyên Bắc Ninh-2018) Cho hàm số y = f ( x ) với đạo hàm f ' ( x ) có đồ thị như
hình vẽ. Hàm số g ( x ) = f ( x ) −
A. x = −1.
B. x = 1.
C. x = 0.
D. x = 2.
Đáp án B

x3
+ x 2 − x + 2 đạt cực đại tại điểm nào ?
3

Phương pháp giải: Dựa vào bảng biến thiên của hàm số để kết luận điểm cực trị
Lời giải:
x3
Xét hàm số g ( x) = f ( x ) − + x 2 − x + 2, có g '( x) = f ' ( x ) − x2 + 2 x −1; x  .
3

2
Ta có: g '( x) = 0  f ' ( x ) = ( x − 1) (*)
Từ đồ thị hàm số f ' ( x ) ta thấy: f ' ( 0 ) = 1 = ( 0 − 1) nên x = 0 là một nghiệm của g '( x).
2

f ' (1) = 0 = (1 − 1)  x = 1 là một nghiệm của g '( x).
2

f ' ( 2 ) = 1 = ( 2 − 1)  x = 2 là một nghiệm của g '( x).
2

Vậy phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2.
Vẽ đồ thị hàm số y = ( x − 1) trên cùng mặt phẳng tọa độ với y = f '( x) ta thấy:
2

Trong khoảng (0;1) thì đồ thị hàm số y = f '( x) nằm phía trên đồ thị hàm số y = ( x − 1) nên
g '( x)  0, x  (0;1)
2

Trong khoảng (1; 2) thì đồ thị hàm số y = f '( x) nằm phía dưới đồ thị hàm số y = ( x − 1)
nên

2


g '( x)  0, x  (1; 2) .
Vậy x = 1 là điểm cực đại của hàm số y = g ( x).

Câu 25: (Chuyên Bắc Ninh-2018) Cho hàm số f ( x ) = x3 + ( m + 1) x 2 + 3x + 2. Tìm tập hợp
các giá trị thực của tham số m để f '( x)  0,  x 

A. ( −; −2)  ( 4; + ) . B.  −2;4

C. ( −; −2)   4; + ) . D. ( −2;4 )

Đáp án D
Phương pháp giải:
Dựa vào dấu của tam thức bậc hai để xét nghiệm của bất phương trình bậc hai chứa tham số
Lời giải: Ta có f ' ( x ) = 3x2 + 2 ( m −1) x + 3.
Để f ' ( x )  0, x 

 3x2 + 2 ( m −1) x + 3  0, x 

  ' = ( m − 1) − 9  0  m 2 − 2m − 8  0  −2  m  4.
2

Câu 46: (Chuyên Bắc Ninh-2018)Cho hàm số y = f ( x ) liên trục trên R và có đạo hàm
f ' ( x ) = ( x − 1)( x − 2 )

2

( x − 3)

2017

. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?

A. Hàm số đồng biến trên các khoảng (1;2 ) và ( 3; + )
B. Hàm số có ba điểm cực trị.
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3)
D. Hàm số đạt cực đại tại x = 2 , đạt cực tiểu tại x = 1 và x = 3

Đáp án C
Dựa vào phương trình đạo hàm bằng 0. Lập bảng biến thiên của hàm số, từ đó kết luận tính
đơn điệu cũng như điểm cực trị của hàm số
2
2017
2
2016
= ( x − 1)( x − 3) . ( x − 2 ) ( x − 3)
Lời giải: Ta có f ' ( x ) = ( x − 1)( x − 2 ) ( x − 3)
x  3
Suy ra f ' ( x )  0  
và f ' ( x )  0  x  (1;3) , đồng thời x = 2 không là điểm cực trị
x  1
của hàm số.
Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (1;3) .

Câu 26: (Chuyên Bắc Ninh-2018) Gọi M ( a; b) là điểm trên đồ thị hàm số y =
khoảng cách đến đường thẳng d : y = 3 x + 6 nhỏ nhất. Khi đó
A. a + 2b = 1
B. a + b = 2
C. a + b = −2
Đáp án C

2x +1
mà có
x+2

D. a + 2b = 3

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, đưa về khảo sát hàm số để tìm
giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất.
Lời giải:
2a + 1
3a −
+6
1 3a 2 + 10a + 11
a+2
 2a + 1 
=
.
Điểm M ( a; b )  ( H )  M  a;
  d ( M ; ( d )) =
a+2
10
10
 a+2 


3 ( a 2 + 4a + 3 )
 a = −1
3a 2 + 10a + 11
Xét hàm số f ( a ) =
với a  −2, có f ' ( a ) =
=0
2
a+2
( a + 2)
 a = −3
Tính các giá trị f ( −1) = 4; f ( −3) = −8 và lim f ( a ) = ;lim f ( a ) = 

x →−2

x →

Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( a ) bằng 4  a = −1
a = −1
Vậy 
 a + b = −2
b = −1

Câu 27:Câu 23: ( Chuyên Đại Học Vinh) Đạo hàm của hàm số y = x lnx trên khoảng

( 0; + ) là:
C. y ' =

B. y ' = 1

A. y ' = ln x

1
x

D. y ' = 1 + ln x

Đáp án D
1
= ln x + 1
x
Câu 28: ( Chuyên Đại Học Vinh) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau. Mệnh đề

Ta có: y ' = ln x + x

nào dưới đây sai?
x
y’
y

−

2

-1
0

+

0

-

+

2
−

+
+

-1
B. Điểm cực đại của đồ thị hàm số ( −1; 2 )

A. Giá trị cực đại của hàm số là y = 2
C. Hàm số không đạt cực tiểu tại điểm x = 2
Đáp án C

D. Hà số đạt cực đại tại điểm x = −1

Câu 29: ( Chuyên Đại Học Vinh) Số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

y = x + 1 + x 2 + 2 x + 3 là
A. 0
B. 1

C. 3

D. 2

Đáp án B
Hàm số có tập xác định D =

(

)

Ta có: lim y = +, lim y = lim x + 1 + x + 2 x + 3 = lim
x →+

= lim −
x →−

x →−

2
x + 1 − x2 + 2x + 3

x →−

2

x 2 + 2 x + 1 − ( x 2 + 2 x + 3)

x →−

x + 1 − x2 + 2 x + 3

= 0  Đồ thị hàm số có TCN y = 0
y = ln ( − x 2 + 5 x − 6 )

Câu 30: ( Chuyên Đại Học Vinh) Tập xác định của hàm số
A. ( 2;3)
B. \ ( 2;3)
C. \  2;3
Đáp án A
Hàm số xác định khi − x 2 + 5 x − 6  0  2  x  3

D.  2;3

là:

Câu 31: ( Chuyên Đại Học Vinh) Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm
số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào?

A. y = x3 − 3x 2 + 2
Đáp án A

B. y = x3 + 3x 2 + 2

C. y = − x3 + 3x 2 + 2

D. y = − x3 + 6 x 2 + 2

 x1 = 0
Do lim y = +  a  0 , hàm số đạt cực trị tại 
x →+
 x2  0
Câu 32: ( Chuyên Đại Học Vinh)Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số y = x +
đường thẳng y = 2 x
A. 1
Đáp án D

B. 0

C. 3

2
và
x −1

D. 2

 x2 − x − 2 = 0
 x = −1
2
Phương trình hoành độ giao điểm là: x +
= 2x  

 có 2
x −1
x = 2
x  1
giao điểm
ax + b
Câu 33: ( Chuyên Đại Học Vinh) Cho hàm số y =
có đồ thị hàm số như hình vẽ bên.
x−c
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. a  0, b  0, c  0
Đáp án C

B. a  0, b  0, c  0

C. a  0, b  0, c  0

D. a  0, b  0, c  0

TCĐ: x = c  0, TCN : y = a  0 . Đồ thị hàm số giao với trục oy tại điểm có tung độ
b
− 0b0

c
b
Đồ thị hàm số giao với trục ox tại điểm có hoành độ −  0  b  0
a


Vậy a  0, b  0, c  0
2x + 3
. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
x −1
A. Đường thẳng y = 2 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
B. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất
C. Hàm số có một điểm cực trị
D. Hàm số nghịch biến trên
Đáp án B

Câu 34: ( Chuyên Đại Học Vinh) Cho hàm số y =

Ta có: y ' = −

5

( x − 1)

2

 0x 

\ 1  hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định hàm

số không có giá trị nhỏ nhất
Câu 35: ( Chuyên Đại Học Vinh) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = x 4 − 2 x 2 + 1 trên đoạn

0;2

A. M = 9
Đáp án A

B. M = 10

C. M = 1

D. M = 0

x = 0
Ta có: y ' = 4 x3 − 4 x = 4 x ( x 2 − 1) = 0  
.Mà y ( 0) = 1, y (1) = 0, y ( 2) = 9  M = 9
 x = 1
−2
Câu 36: ( Chuyên Đại Học Vinh)Tập xác định của hàm số y = ( x + 1) là
A.  −1; + )

B. ( −1; + )

C.

D.

\ −1

Đáp án D
Điều kiện: x + 1  0  x  −1  D =

\ −1

Câu 37: ( Chuyên Đại Học Vinh): Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =
A. x = 2
Đáp án D

B. y = −2

C. x = −2

D. y = 2

2x − 3
là:
x+2

2x − 3
2x − 3
= lim
= 2  y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
x →+ x + 2
x →− x + 2

Ta có: lim

Câu 38: ( Chuyên Đại Học Vinh)Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau
x

1
x
A. Đồ thị các hàm số y = a và y =   ( 0  a  1) đối xứng nhau qua trục tung
a
B. Hàm số y = a x ( 0  a  1) đồng biến trên
C. Hàm số y = a x ( a  1) nghịch biến trên
D. Đồ thị hàm số y = a x ( 0  a  1) luôn đi qua điểm có tọa độ ( a;1)
Đáp án A
Câu 39: (Chuyên Thái Bình - Lần 6) Cho hàm số y =
cận của (H) là:
A. 2
Đáp án A

B. 0

C. 3

2018
có đồ thị (H). Số đường tiệm
x−2

D. 1


Đồ thị hàm số y =

2018
có 1 tiệm cận đứng: x = 2 và 1 tiệm cận ngang y = 0
x−2

x −1
là?
−3x + 2
1
D. x = −
3

Câu 40: (Chuyên Thái Bình - Lần 6)Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =
A. y = −

1
3

B. x =

2
3

C. y =

2
3

Đáp án A
ax + b
a
x −1
1
có TCN là đường y =  y =
có TCN là đường y = −

cx + d
3
c
−3x + 2
4
x
3
Câu 41: (Chuyên Thái Bình - Lần 6)Đồ thị hàm số y = − + x 2 + cắt trục hoành tại mấy
2
2
điểm?
A. 4
B. 3
C. 2
D. 0
Đáp án C

Hàm

Xét phương trình hoành độ giao điểm: −

 x 2 = −1
x4
3
+ x2 + = 0   2
 x2 = 3  x =  3
2
2
x = 3

x4
3
+ x 2 + cắt trục hoành tại 2 điểm
2
2
Câu 42 (Chuyên Thái Bình - Lần 6)Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số

Vậy đồ thị hàm số y = −

y = f ( x ) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. ( 0; 2 )

B. ( −2;2 )

C. ( 2;+ )

Đáp án A
Đồ thị hàm số là đường liền nét đi lên từ trái qua phải
trên khoảng ( 0;2)  hàm số đồng biến trên ( 0; 2 )

Câu 43: (Chuyên Thái Bình - Lần 6)Cho hai số thực

D. ( −;0 )


 4x 2 − 3x + 1

a và b thỏa mãn lim 
− ax − b  = 0. Khi đó a + 2b bằng

x →+
 2x + 1

A. −4
B. −5
C. 4
Đáp án D

D. −3



 4x 2 − 3x + 1

5
7
lim 
− ax − b  = 0  lim  2x − +
− ax − b  = 0
x →+
x →+
2 2 ( 2x + 1)
 2x + 1





7
7

5

=0
 lim  ( 2 − a ) x −  + b  +
 = 0 mà  xlim
x →+
→+
2
2
2x
+
1
2
2x
+
1
(
)
(
)




2 − a = 0
a = 2


7



5

 lim  ( 2 − a ) x −  + b  +
= 0  5


5  a + 2b = −3

x →+
2
 2 ( 2x + 1) 

 2 + b = 0 b = − 2
1
Câu 44: (Chuyên Thái Bình - Lần 6) Tìm điểm cực tiểu của hàm số y = x 3 − 2x 2 + 3x + 1
3
A. x = −3
B. x = 3
C. x = −1
D. x = 1

Đáp án B

 y ' = x 2 − 4x + 3
x = 1
1
y = x 3 − 2x 2 + 3x + 1  
.y ' = 0  x 2 − 4x + 3  
3

x = 3
 y '' = 2x − 4

y'' ( 3) = 2.3 − 4 = 2  0  x = 3 là điểm cực tiểu của hàm số.

Câu 45: (Chuyên Thái Bình - Lần 6)Tìm tập xác định D của hàm số y = ( 2x − 1)
A. D =

1 
\ 
2

1

B. D =  ; + 
2



1

C. D =  ; + 
2



x

D. D =

Đáp án C
1
1

Điều kiện: 2x − 1  0  x  , vậy TXĐ của hàm số là D =  ; + 
2
2

Câu 46: (Chuyên Thái Bình - Lần 6) Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để
x +1
đường thẳng y = −2x + m cắt đồ thị của hàm số y =
tại hai điểm phân biệt là:
x−2
A. 5 − 2 3;5 + 2 3
B. −;5 − 2 6   5 + 2 6; +

(
)
C. ( −;5 − 2 3 )  ( 5 + 2

3; +

)

(
D. ( −;5 − 2 6 )  ( 5 + 2

)
6; + )

Đáp án D
x +1
= −2x + m  2x 2 − ( m + 3) x + 2m + 1 = 0 ( x  2 )
x−2
Yêu cầu bài toán trở thành: Tìm m để phương trình 2x 2 − ( m + 3) x + 2m + 1 = 0 có 2 nghiệm

Phương trình hoành độ giao điểm:

phân biệt khác 2


2
2

m  5 + 2 6
 = ( m + 3) − 8 ( 2m + 1)  0 m − 10m + 1  0


 m2 − 10m + 1  0  
2
 m  5 − 2 6
3  0

2.2 − 2 ( m + 3) + 2m + 1  0
2x + 1
. Mệnh để đúng là
Câu 47: (Chuyên Thái Bình - Lần 6)Cho hàm số y =
x +1
A. Hàm số đồng biến trên tập
B. Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −; −1) và ( −1; + )

C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −; −1) và ( −1; + )
D. Hàm số đồng biến trên hai khoảng ( −; −1) và ( −1; + ) , nghịch biến trên khoảng ( −1;1)
Đáp án B
y=

2x + 1
1
 y' =
 0, x  ( −; −1)  ( −1; + )
2
x +1
( x + 1)

Câu 48: (Chuyên Thái Bình - Lần 6)Đồ thị hàm số nào sau đây nằm phía dưới trục hoành?
A. y = x 4 + 5x 2 − 1
B. y = −x 3 − 7x 2 − x − 1
C. y = −x 4 − 4x 2 + 1
D. y = − x 4 + 2x 2 − 2
Đáp án D
Nhận thấy: y = −x 4 + 2x 2 − 2 = − ( x 4 − 2x 2 + 1) − 1 = − ( x 2 − 1) − 1  −1  0, x 
2

 Đồ thị hàm số y = − x 4 + 2x 2 − 2 nằm phía dưới trục hoành.

Câu 49:(Chuyên Thái Bình - Lần 6)Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm
x +1
số y =
có hai tiệm cận đứng
2

m ( x − 1) + 4
A. m  1

m  0
B. 
m  −1

C. m = 0

D. m  0

Đáp án B
Đồ thị hàm số y =

x +1

có 2 tiệm cận đứng  phương trình m ( x − 1) + 4 = 0 có
2

m ( x − 1) + 4
2


m  0
m  0

2 nghiệm phân biệt khác −1  
2
m  −1


m ( −1 − 1) + 4  0
Câu 50: (Chuyên Thái Bình - Lần 6) Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm
x+m
y=
đồng biến trên từng khoảng xác định?
mx + 4
A. 2
B. 4
C. 3
D. 5
Đáp án C
y=

x+m
4 − m2
 y' =
2
mx + 4
( mx + 4 )

Để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định thì


y'  0 

4 − m2

( mx + 4 )

2

 0  4 − m 2  0  −2  m  2

1
1
hoặc y = − là hàm hằng, không biến thiên.
2
2
Vậy giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là: m −1;0;1

m = 2  y =