SKKN xây DỰNG hệ THỐNG CÔNG THỨC GIẢI NHANH TOÁN TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG i – GIẢI TÍCH 12 image marked

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 3
***************

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

XÂY DỰNG HỆ THỐNG CÔNG THỨC GIẢI NHANH TOÁN
TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG I – GIẢI TÍCH 12
Người thực hiện: LÊ THANH TÂM
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực :Môn Toán

THANH HÓA NĂM 2017
1


MỤC LỤC
Trang
A. MỞ ĐẦU
B. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lí luận .
2.2 . Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.3. Các giải pháp .
I.Xây dựng công thức đạo hàm nhanh của một số hàm số thường gặp
II. Xây dựng công thức và phương pháp giải nhanh những bài toán
về hàm số bậc ba y  ax3  bx 2  cx  d  a  0 
1. Bài toán về tính đơn điệu của hàm số
2. Bài toán về cực trị hàm số bậc ba
III. Xây dựng công thức và phương pháp giải nhanh những bài
toán về hàm số bậc bốn y  ax 4  bx 2  c (a  0)

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
C . KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1 Kết luận
3.2 . Kiến nghị

3
4
4
5
5
5
7
10
19
19
19
19

2


A . MỞ ĐẦU
1.1 Lí do chọn đề tài :
Mục đích của việc dạy và học là trang bị cho người học kỹ năng cần thiết , về tư
duy, nhân cách , phẩm chất và đạo đức . Đào tạo thế hệ trẻ có đủ phẩm chất đạo
đức, năng lực công tác thích ứng với cuộc sống , giáo dục phát triển toàn diện trí
thể mĩ. Đào tạo nguồn nhân lực có đủ trình độ chuyên môn nghiệp vụ phục vụ đắc
lực cho sự nghiệp công nghiệp hoá - Hiện đại hoá đất nước , phù hợp với sự phát
triển kinh tế toàn cầu , thời đại phát triển công nghệ thông tin.
Trong công cuộc đổi mới căn bản toàn diện nền giáo dục nước nhà ,đổi mới

phương pháp dạy học là một trong những nhiệm vụ quan trọng hàng đầu. Một điểm
đổi mới trong phương pháp dạy học hiện nay luôn coi trọng việc lấy học sinh làm
trung tâm, người thầy chỉ đóng vai trò là người giúp các em đi đúng hướng, giúp
các em tiếp thu kiến thức một cách chủ động, sáng tạo.
Hiện nay, Bộ Giáo dục và Đào tạo đổi mới hình thức thi của môn toán từ hình
thức thi tự luận với thời gian làm bài 150 phút sang thi trắc nghiệm thời gian 90
phút cho 50 câu. Làm toán trắc nghiệm không chỉ đòi hỏi học sinh có kiến thức mà
còn phải biết giải bài toán trong thời gian nhanh nhất. Vì vậy, giáo viên và học sinh
cần phải đổi mới phương pháp dạy và học để đáp ứng được hai yêu cầu : nắm được
kiến thức và giải bài toán trong thời gian nhanh nhất có thể.
Để đáp ứng được vấn đề này , theo tôi cần cho học sinh tự tìm tòi cách giải các
dạng toán tổng quát và rút ra công thức giải nhanh cho các dạng toán đó , đảm bảo
học sinh vừa có kiến thức sâu lại đáp ứng được yêu cầu giải bài toán trong thời gian
nhanh nhất có thể .
1.2 Mục đích nghiên cứu :
Đổi mới hình thức thi từ tự luận sang thi trắc nghiệm, đòi hỏi giáo viên và học
sinh phải thay đổi phương pháp dạy và học để đảm bảo học sinh vừa nắm vững
kiến thức, vừa xử lý bài toán trong thời gian nhanh nhất.
Một trong những phương pháp đó là từ bài toán tự luận tìm ra các kĩ thuật ,công
thức giải nhanh cho bài toán giải theo hình thức trắc nghiệm . Làm vậy sẽ đáp ứng
được hai yêu cầu học sinh nắm trắc kiến thức và xử lý nhanh.
1.3 Đối tượng nghiên cứu :
Đề tài nghiên cứu về hệ thống công thức giải nhanh một số dạng toán trắc
nghiệm chương I - Giải tích 12 như Tính đơn điệu , cực trị … .Từ đó giúp học sinh
vừa nắm vững phương pháp các dạng toán này, vừa có hệ thống công thức để xử lý
nhanh các bài toán đó trong các đề thi trắc nghiệm.
1.4 Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết.
Tìm kiếm các tài liệu tham khảo từ các nguồn khác nhau liên quan đến bài toán
về tính đơn điệu và cực trị của các hàm số học trong chương trình SGK Giải Tích

12 để xây dựng hệ thống ví dụ minh họa cho học sinh rèn luyện, củng cố.
B. NỘI DUNG
2.1 Cơ sở lí luận :
3


1) Định lí mở rộng về tính đơn điệu của hàm số :
Giả sử hàm f có đạo hàm trên khoảng I . Nếu f '( x)  0 với mọi x  I (hoặc f '( x)  0
với mọi x  I ) thì hàm số f đồng biến (hoặc nghịch biến) trên I . [5]
2) Khái niệm cực trị của hàm số
a) Định nghĩa: f là hàm số xác định trên tập D ( D  R ) và x0  D
+ x0 được gọi là một điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng
(a ; b) chứa điểm x0 sao cho (a;b)  D và f ( x)  f ( x0 ), x  (a; b) \  x0 
Khi đó f(x0) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f
+ x0 được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng
(a ; b) chứa điểm x0 sao cho (a;b)  D và f ( x)  f ( x0 ), x  (a; b) \  x0 
Khi đó f(x0) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f
+ Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị.
+ Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị.
[5]
3) Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị:
Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng  a; b  chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các
khoảng  a; x0  và  x0 ; b  .Khi đó
a) Nếu f '( x)  0 với mọi x   a; x0  và f '( x)  0 với mọi x   x0 ; b  thì hàm số đạt
cực tiểu tại x0 .
b) Nếu f '( x)  0 với mọi x   a; x0  và f '( x)  0 với mọi x   x0 ; b  thì hàm số đạt
cực tiểu tại x0 .
[5]
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng :
Mặc dù đã nắm khá vững kiến thức nhưng để giải được một bài toán về tính

đơn điệu và cực trị của hàm số theo các bước của bài toán tự luận, đặc biệt là
những bài toán vận dụng cao học sinh phải mất 5 đến 8 phút mới hoàn thành.
Trong khi đó thời gian dành cho 1 câu trong đề thi trắc nghiệm khoảng 2 phút. Rất
nhiều học sinh, kể cả học sinh khá giỏi cũng không hoàn thành được bài làm của
mình trong khoảng thời gian 90 phút dành cho 50 câu nếu không có kỹ thuật và
“mẹo” giải nhanh.
2.3 Giải pháp thực hiện :
Trong giờ dạy của mình tôi thực hiện các bước sau:
Bước 1: Nêu vấn đề , định hướng cho học sinh giải các dạng toán thường gặp
dưới dạng tự luận để học sinh hiểu được bản chất vấn đề.
Bước 2: Cho học sinh chốt công thức giải nhanh cho mỗi dạng toán.
Bước 3: Đưa ra hệ thống bài tập trắc nghiệm minh họa đề học sinh rèn luyện,
củng cố ghi nhớ kiến thức.
I.Xây dựng công thức đạo hàm nhanh của một số hàm số thường gặp
*) Thành lập công thức:

4


Giáo viên cho học sinh sử dụng các qui tắc tính đạo hàm tìm đạo hàm của các hàm
số y 

ax 2  bx  c
ax  b
, y
mx  n
cx  d

* ) Chốt công thức tính nhanh sau :
'

ax  b 
+) 
 
 cx  d 

a
c

 cx  d 
,

 ax 2  bx  c 
 
 mx  n 

+) 

b
d
2



ad  bc

 cx  d 

amx 2  2anx 

 mx  n 

2

b
m
2

c
n



amx 2  2anx  bn  mc

 mx  n 

2

II. Xây dựng công thức và phương pháp giải nhanh những bài toán về hàm số
bậc ba y  ax3  bx 2  cx  d  a  0 
1. Bài toán về tính đơn điệu của hàm số
a)Tìm điều kiện để hàm số bậc ba y  ax3  bx 2  cx  d  a  0  đồng biến trên R .
b)Tìm điều kiện đề hàm số bậc ba y  ax3  bx 2  cx  d  a  0  nghịch biến trên R
c)Tìm điều kiện để hàm số bậc ba y  ax3  bx 2  cx  d  a  0  nghịch biến trên
một đoạn có độ dài bằng k cho trước .
d) Tìm điều kiện để hàm số bậc ba y  ax3  bx 2  cx  d  a  0  đồng biến trên
một đoạn có độ dài bằng k cho trước.
* ) Thành lập công thức :
Giáo viên dẫn dắt cho học sinh giải bài toán dưới dạng tổng quát:

y '  3ax 2  2bx  c
Ta có
a) Hàm số đồng biến trên R  y '  3ax 2  2bx  c  0, x  R và dấu bằng xảy ra ở
3a  0

a  0


hữu hạn điểm   '
 '
2
2
 y '  b  3ac  0
 y '  b  3ac  0

b) Hàm số nghịch biến trên R
hữu hạn điểm

 y '  3ax 2  2bx  c  0, x  R và dấu bằng xảy ra ở
3a  0
a  0

 '
 '
2
2
 y '  b  3ac  0
 y '  b  3ac  0

c) Để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng k  y '  0 có hai nghiệm

 'y '  b 2  3ac  0
2 b 2  3ac
phân biệt x1 , x2 sao cho x1  x2  k  

k
3a
 x1  x2  k
b) Để hàm số đồng biến trên một đoạn có độ dài bằng k  y '  0 có hai nghiệm
 'y '  b 2  3ac  0
2 b 2  3ac
phân biệt x1 , x2 sao cho x1  x2  k  

k
3a
 x1  x2  k

*) Chốt công thức giải nhanh :
Dữ kiện

Công thức
5


Hàm số bậc ba
y  ax  bx  cx  d
3

2

đồng biến trên R

Hàm số bậc ba
y  ax  bx  cx  d
3

2

nghịch biến trên R
Hàm số bậc ba
y  ax  bx  cx  d
3

2

 a  0

a  0
 '
2
 y '  b  3ac  0

 a  0

a  0
 '
2
 y '  b  3ac  0

 a  0  nghịch biến

2 b 2  3ac

k
3a

trên một đoạn có độ dài bằng k cho
trước
Hàm số bậc ba
y  ax3  bx 2  cx  d  a  0  đồng biến
trên một đoạn có độ dài bằng k cho
trước
*) Các ví dụ minh họa :

2 b 2  3ac
k
3a

1
3

Ví dụ 1 : Với giá trị nào của m thì hàm số y   x3  2 x 2  mx  2 nghịch biến trên
tập xác định của nó?
A. m  4

B. m  4

C. m  4

D. m  4

[3]

1
3

Giải : Hàm số y   x3  2 x 2  mx  2 xác định trên R .
 1
 3  0
Hàm số nghịch biến trên R  
m4
 'y '  22  3   1  (m)  0

 3

Chọn đáp án A.
Ví dụ 2: Hàm số y  1 x3   m  1 x 2   m  1 x  2 đồng biến trên tập xác định của nó
3

khi:
A. m  4

B. 2  m  1

C. m  2

D. m  4

[3]

Giải : Hàm số y  1 x3   m  1 x 2   m  1 x  2 xác định trên R
3

1
 3  0
Hàm số đồng biến trên R  
 2  m  1
 'y '   m  12  3  1  [  (m  1)]  0

3

Chọn đáp án B.
Ví dụ 3 : Cho hàm số y  x3  3mx 2  m . Tìm m để hàm số nghịch biến trên một
đoạn có độ dài bằng 3.
6


A. m = ±

1
2

B. m = ±

3
2

1
2

C. - £ m £

1

2

3
2

D. - £ m £

3
2

[3]

Giải :
Hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 3


2 9m 2
3
3
 3  m2   m  
3
2
2

Chọn đáp án B
2. Bài toán về cực trị hàm số bậc ba :
a)Tìm điều kiện để hàm số bậc ba y  ax3  bx 2  cx  d  a  0  có hai cực trị (có
cực đại và cực tiểu).
b) Tìm điều kiện để hàm số bậc ba y  ax3  bx 2  cx  d  a  0  không có cực trị .
c) Tìm điều kiện để hàm số bậc ba y  ax3  bx 2  cx  d  a  0  có hai cực trị . Tìm

tọa độ trung điểm của hai điểm cực trị của đồ thị hàm số .
d) Tìm điều kiện để hàm số bậc ba y  ax3  bx 2  cx  d  a  0  có hai cực trị . Viết
phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (phương trình
đường thẳng đi qua cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số).
* ) Thành lập công thức :
+ Giáo viên dẫn dắt cho học sinh giải bài toán dưới dạng tổng quát:
a) Hàm số có hai cực trị (có CĐ và CT)  y '  3ax 2  2bx  c  0 có hai nghiệm phân
biệt và y’ đổi dấu khi x qua chúng   'y '  b 2  3ac  0
b) Hàm số không có cực trị  y '  3ax 2  2bx  c  0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
  'y '  b 2  3ac  0

c) Khi đó hoành độ của hai điểm cực trị là hai nghiệm x1 , x2 của phương trình
y '  3ax 2  2bx  c  0
b
Theo định lí viet : x1  x2 = 
3a

Do đó, tọa độ trung điểm của hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là
2
 b  b 3

 b 
 b 
I   ; a     b     c     d  chính là điểm uốn của đồ thị hàm số
 3a  3a 

 3a 
 3a 



d) Chia y cho y’ rồi biểu diễn y theo y’ ta được :
b 
2(b 2  3ac)
9ad  bc
1
y   x   . y '
x
9a 
9a
9a
3

Do x0 là điểm cực trị của hàm số thì y’(x0 )= 0 nên ta có
y CĐ
y CT

2(b 2  3ac)
9ad  bc
xCD 
=
9a
9a
2
2(b  3ac)
9ad  bc
xCT 
=
9a
9a

Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là
7


y

2(b 2  3ac)
9ad  bc
x
9a
9a

*) Chốt công thức giải nhanh cho bài toán :
Dữ kiện
Công thức
'
2
 y '  b  3ac  0
Hàm số có hai cực trị (có CĐ và
CT)
 'y '  b 2  3ac  0
Hàm số không có cực trị
Khi hàm số có hai điểm cực trị thì
chính là điểm uốn
2
trung điểm của hai điểm cực trị của
 b  b 3

 b 

 b 
I

;
a


b


c


d








đồ thị hàm số
 3a  3a 
 3a 
 3a 




của đồ thị hàm số
Khi hàm số có hai điểm cực trị thì
2(b 2  3ac)
9ad  bc
y
x
phương trình đường thẳng đi qua hai
9a
9a
điểm cực trị của đồ thị hàm số
*) Các ví dụ minh họa :
Ví dụ 4: Với giá trị nào của tham số m thì hàm số y  x3  3x 2  mx  m  2 có cực đại
và cực tiểu.
A. m  3
B. m  3
C. m  3
D. m  3
[3]
Giải :
Hàm số có cực đại và cực tiểu   'y '  32  3.1.m  0  m  3
Chọn đáp án C
1
3

Ví dụ 5: Với giá trị nào của tham số m thì hàm số y   x3  mx 2  mx  3 không có
cực trị?
A. 0  m  1
Giải :

B. 0  m  1

C. m  1  m  0

D. m  1  m  0

[3]

1
Hàm số không có cực trị   'y '  m 2  3    .(m)  0  m 2  m  0  0  m  1
 3

Chọn đáp án A
Ví dụ 6: Cho hàm số y  x3  3mx  m , có đồ thị  Cm  .Với m  0 thì phương trình
đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị  Cm  là:
A. y  2mx  m

2
3

B. y   mx 

m
4
m
C. y   mx 
3
3
3

D. y  2mx  m

Giải :
Với m  0 hàm số có cực đại và cực tiểu .Khi đó phương trình đường thẳng đi qua
cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số là
2(02  3.1.(3m))
9.1.m  0.(3m)
y
x
 2 x  m
9.1
9.1

Chọn đáp án A
8


Ví dụ 7: Tìm m để hàm số y  x3  3x 2  mx  2 có hai điểm cực trị và đường thẳng
đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân ?
A. m  

3
2

B. m 

3
2

D. m  0 [2]

C. m  1

Giải :
Hàm số có cực đại và cực tiểu   'y '  (3)2  3.1.(m)  0  m  3 (*)
Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ một
tam giác cân nên hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có hệ số góc
bằng 1


2 (3) 2  3.1.(m) 

2 (3) 2  3.1.(m) 

 1 hoặc
9.1
2(3  m)
2(3  m)

 1 hoặc
 1
3
3
9
3
 m   hoặc m  
2
2
3
So với (*) được m   2

 1

9.1

Chọn đáp án A.
Ví dụ 8: Tìm m để hàm số y  x3  3x 2  mx  2 có hai điểm cực trị và đường thẳng
đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo với đường thẳng d : x+ 4y – 3 =0 góc
  450

A. m  

1
2

B. m 

1
2

2

C. m  2

D. m  0 [2]

Giải
Hàm số có cực đại và cực tiểu   'y '  (3)2  3.1.(m)  0  m  3 (*)
Gọi k là hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
.Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo với đường thẳng
3


1
k

5
4 
d : x+ 4y – 3 =0 góc   450 nên ta có : tan 450 
1
k   5
1 k

4
3
2
2
2 (3)  3.1.(m)  3
2 (3)  3.1.(m) 
5



hoặc
9.1
5
9.1
3
2(3  m) 3
2(3  m)
5


 hoặc

3
5
3
3
39
1
m
 m
hoặc
10
2
1
So với (*) được m   2
k

Chọn đáp án A.
9


Ví dụ 9: Tìm m để hàm số y  x3  3x 2  mx có hai điểm cực trị và các điểm này đối
xứng nhau qua đường thẳng d: x – 2y – 5 = 0
A. m  2
B . m  1
C. m  0
D . m 1
[2]
Giải :
Hàm số có cực đại và cực tiểu   'y '  (3)2  3.1.m  0  m  3 (*)

Trung điểm của hai điểm cực trị là I (1; m-2)
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là
y

2 (3) 2  3.1.m 
9.1

x

9.1.0  (3)m 2
m
 (m  3) x 
9.1
3
3

Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng d khi và chỉ khi
đường thẳng d đi qua trung điểm của hai đoạn thẳng nối hai điểm cực trị và d
1  2(m  2)  5  0

vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị  2 (m  3). 1  1  m  0
 3
2

Chọn đáp án C
Ví dụ 10: Tìm m để đồ thị hàm số y  x3  3x 2  mx  2 có hai điểm cực trị cách đều
đường thẳng d : y = x – 1 ?
A. m  

3

2



C. m  1;0;  2 
3

3
2

B. m  0;  }





D. m  0

[2]

Giải :
Hàm số có cực đại và cực tiểu   'y '  (3)2  3.1.(m)  0  m  3 (*)
Trung điểm của hai điểm cực trị là I (1; m)
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là
y

2 (3) 2  3.1.(m) 
9.1

x

9.1.2  (3)(m)
2
m
  (m  3) x  2 
9.1
3
3

Hai điểm cực trị A,B của đồ thị hàm số cách đều đường thẳng d khi d đi qua trung
điểm I của AB hoặc AB song song (hoặc trùng ) với d

m  1  1
m  0



  2 (m  3)  1  m   9
2

 3

So với điều kiện (*) ta được m = 0 .
Chọn đáp án D
II.
Xây dựng công thức và phương pháp giải nhanh những bài toán về
hàm số bậc bốn y  ax 4  bx 2  c (a  0)
1) Cực trị hàm số bậc bốn
1)Tìm điều kiện để hàm số
2) Tìm điều kiện để hàm số

3) Tìm điều kiện để hàm số
4) Tìm điều kiện để hàm số

y  ax 4  2bx 2  c (a  0) :
y  ax 4  bx 2  c (a  0) có ba cực trị .
y  ax 4  bx 2  c (a  0) có 1 cực trị .
y  ax 4  bx 2  c (a  0) có 1 cực đại và 2 cực tiểu.
y  ax 4  bx 2  c (a  0) có 2 cực đại và 1 cực tiểu.

10


5) Tìm điều kiện để hàm số y  ax 4  bx 2  c (a  0) chỉ có duy nhất 1 cực trị là điểm
cực đại
6) Tìm điều kiện để hàm số y  ax 4  bx 2  c (a  0) chỉ có duy nhất 1 cực trị là điểm
cực tiểu .
7) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y  ax 4  bx 2  c (a  0) có ba cực trị tạo thành
một tam giác vuông cân .
8) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y  ax 4  bx 2  c (a  0) có ba điểm cực trị tạo
thành một tam giác đều .
9) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y  ax 4  bx 2  c (a  0) có ba điểm cực trị A, B,
  .
C sao cho góc BAC
10) ) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y  ax 4  bx 2  c (a  0) có ba điểm cực trị A,
B, C sao cho BC  OA .
11) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y  ax 4  bx 2  c (a  0) có ba điểm cực trị A, B,
C sao cho BC  m0 .
12) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y  ax 4  bx 2  c (a  0) có ba điểm cực trị A, B,
C sao cho B, C  Ox .
13) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y  ax 4  bx 2  c (a  0) có ba điểm cực trị A, B,

C sao cho AB  AC  n0
14)Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y  ax 4  bx 2  c (a  0) có ba điểm cực trị A, B,
C sao cho SABC  S0
15) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y  ax 4  bx 2  c (a  0) có ba điểm cực trị tạo
thành tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp r0
16) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y  ax 4  bx 2  c (a  0) có ba điểm cực trị tạo
thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp R0
17) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y  ax 4  bx 2  c (a  0) có ba điểm cực trị A, B,
C sao cho tam giác ABC có trọng tâm là gốc tọa độ O.
18) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y  ax 4  bx 2  c (a  0) có ba điểm cực trị A, B,
C sao cho tam giác ABC có trực tâm là gốc tọa độ O.
19) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y  ax 4  bx 2  c (a  0) có ba điểm cực trị A, B,
C sao cho tam giác ABC cùng với điểm O tạo thành một hình thoi .
* ) Thành lập công thức :
Giáo viên dẫn dắt cho học sinh giải bài toán dưới dạng tổng quát:
1) Hàm số có 3 cực trị  y '  4ax 3  2bx  2x  2ax 2  b   0 có ba nghiệm phân
biệt và y’ đổi dấu khi x qua chúng  a.b  0
2) Hàm số có 1 cực trị  y '  4ax 3  2bx  2x  2ax 2  b  = 0 có 1 nghiệm và y’ đổi
dấu khi x qua chúng  a.b  0

11


3) Hàm số y  ax 4  bx 2  c (a  0) có 1 cực đại và 2 cực tiểu khi và chỉ khi a  0
a  0
b  0

và hàm số có 3 cực trị  

4) Hàm số y  ax 4  bx 2  c (a  0) có 2 cực đại và 1 cực tiểu khi và chỉ khi a  0 và

a  0
b  0

hàm số có 3 cực trị  

5) Hàm số y  ax 4  bx 2  c (a  0) chỉ có duy nhất 1 cực trị là điểm cực đại khi và chỉ
a  0
b  0

khi a  0 và hàm số có 1 cực trị  

6) Hàm số y  ax 4  bx 2  c (a  0) chỉ có duy nhất 1 cực trị là điểm cực tiểu khi và
a  0
b  0

chỉ khi a  0 và hàm số có 1 cực trị  



Với điều kiện a.b  0 đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là : A(0; c) , B   


b
b2 
; c   ,
2a
4a 


2b

b
b 
b  8ab
C   ; c   . Khi đó AB  AC 
và BC  
2
a
2a
4a 
16a

 
7) ABC cân tại A nên ABC phải vuông tại A  AB. AC  0  b3  8a  0
2

4

8) ABC cân tại A nên ABC đều  AB  BC 

b 4  8ab
=
16a 2



2b
 b3  24a  0
a

2

2
2
3
    cos   AB  AC  BC  b  8a
9) Góc BAC
3

2 AB. AC

b  8a

10) BC = OA  ac  2b  0
2

11) BC  m0  

2b
 m0  am02  2b  0
a

12) AB  AC  n0 

b 4  8ab
 n0  16a 2 n02  8ab  b 4
2
16a

b2
 0  b 2  4ac  0
4a


1
b2 
14) Gọi H là trung điểm của BC, H  0; c   .Khi đó SABC  BC. AH
2
4a 


13) B, C  Ox  c 

1
2b b 2
 .  .
2
a 4a

Do đó SABC  S0  

b5
b5
2

S

S


0
0
32a 3

32a 3

12


1
2

1
2

15) SABC  BC. AH  . 

S ABC

AB  AC  BC

.r0 
2

16) SABC

2b b 2
.
a 4a

và

b 4  8ab
2b


2
16a
a .r . Suy ra
0
2

2

r0 

b2


b3
4 a  1
 1


8a



b 4  8ab
2
AB. AC
b 3  8a
AB. AC.BC
1
16

a
 R0 


 BC. AH =
b2
2 AH
8ab
4 R0
2
2.
8ab

17) O là trọng tâm của tam giác ABC 

cc

b2
b2
c
4a
4a  0  b 2  6ac .
3

18) Vì tam giác ABC cân tại A nên OA  BC
.  
Do đó , O là trực tâm của tam giác ABC  OB. AC  0  b3  8a  4ac  0 ..
19) Do BC  OA nên tam giác ABC cùng với O tạo thành hình thoi ABOC khi và
c0
b2

chỉ khi H là trung điểm của OA 
c
 b 2  2ac
2
4a

*) Chốt công thức giải nhanh
Dữ kiện
4
Hàm s y  ax  bx 2  c (a  0) ố có 3 cực trị
Hàm số có y  ax 4  bx 2  c (a  0) 1 cực trị
Hàm số y  ax 4  bx 2  c (a  0) có 1 cực
đại và 2 cực tiểu
Hàm số y  ax 4  bx 2  c (a  0) có 2 cực
đại và 1 cực tiểu
Hàm số y  ax 4  bx 2  c (a  0) chỉ có duy
nhất 1 cực trị là điểm cực đại(có cực đại
mà không có cực tiểu )
Hàm số y  ax 4  bx 2  c (a  0) chỉ có duy
nhất 1 cực trị là điểm cực tiểu(có cực
tiểu mà không có cực đại)

Công thức
a.b  0
a.b  0
a  0

b  0
a  0


b  0

a  0

b  0
a  0

b  0


b
b2 
Đồ thị hàm số y  ax  bx  c (a  0) có 3 điểm cực trị A(0; c) , B    ; c   ,
2a
4a 


b
b2 
C   ; c   tạo thành :
2a
4a 

4

Dữ kiện

2

Công thức

13


Tam giác vuông cân
Tam giác đều

BAC

BC = OA

BC  m0
AB  AC  n0

B, C  Ox

S ABC  S0

Tam giác ngoại tiếp đường tròn có bán kính
r0

Tam giác nội tiếp đường tròn có bán kính R0

Gốc tọa độ O là trọng tâm của tam giác
ABC
Gốc tọa độ O là trực tâm của tam giác ABC
Tam giác ABC cùng với O tạo thành một
hình thoi

a.b  0

 3
b  8a  0
a.b  0
 3
b  24a  0
a.b  0


b3  8a
cos



b3  8a

a.b  0
 2
ac  2b  0
a.b  0
 2
am0  2b  0
a.b  0
 2 2
4
16a n0  8ab  b
a.b  0
 2
b  4ac
a.b  0
hay


3
2
5
32a ( S0 )  b  0

a.b  0


b5
 S0  
32a 3

a.b  0

b2
r 
0


b3

4 a  1
 1


8a 


a.b  0


b3  8a

R

 0
8ab

a.b  0
 2
b  6ac
a.b  0
 3
b  8a  4ac  0
a.b  0
 2
b  2ac

*) Ví dụ minh họa :
14


Ví dụ 11: Tìm m để đồ thị hàm số y  x 4  2(m  1) x 2  3 có 3 điểm cực trị ?
A. m  0 .
B. m  1
C. m  1
D. m  0
Giải
Hàm số có 3 điểm cực trị khi a.b  0  2(m  1)  0  m  1
Chọn đáp án B.

Ví dụ 12 : Tìm m để đồ thị hàm số y  x 4  2(3  m) x 2  2 có đúng 1 điểm cực trị ?
A. m  3
B. m  3
C. m  3
D. m  3 [3]
Giải
Hàm số có 3 điểm cực trị khi a.b  0  2(3  m)  0  m  3
Chọn đáp án D
Ví dụ 13: Tìm m để đồ thị hàm số y   x 4  2(m  2) x 2  m có 2 cực đại và 1cực
tiểu.
A. m2
B. m  2
C. m  2
D. m  2
Giải :
a  0
1  0

m2
b  0
m  2  0

Hàm số có 2 cực đại và 1cực tiểu  

Chọn đáp án B
Ví dụ 14: Cho hàm số y  x 4  2  m  2  x 2  m 2  5m  5 1 . Xác định m để đồ thị
hàm số 1 có ba cực trị tạo thành tam giác vuông cân.
A. m  2

B. m 

5 5
2

C. m  1

D. m  3 3

[3]

Giải
Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân
ab  0
m  2  0

 m 1
 3
3
b  8a  0
8(m  2)  8  0

Chọn đáp án C.
Ví dụ 15: Cho hàm số y  x 4  2m 2 x 2  1 , có đồ thị  Cm  .Tìm m để đồ thị  Cm  có ba
điểm cực trị tạo thành một tam giác đều.
A. m   6 3

B. m 

2 3
2

C. m  1

D. m   3 3

[1]

Giải
Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác đều
2
ab  0
2m  0

 m  6 3
 3
6
b

24
a

0

8m  24  0

Chọn đáp án A
Ví dụ 16: Tìm m để đồ thị hàm số y  x 4  2mx 2  m 2  m có 3 điểm cực trị tạo thành
tam giác có một góc bằng 1200
1
3

A. m  0 hoặc m   3

B. m  0 hoặc m 

1
3

3

C. m  0

1
3

D. m   3

[3]
15


Giải
  1200
Tam giác ABC cân tại C nên BAC
a.b  0
m  0
1




b 3  8a   1 8m 3  8  m   3
0
3
cos120  3
 
b  8a

 2 8m 3  8

Chọn đáp án D.
Ví dụ 17: Tìm m để hàm số y  m 2 x 4  mx 2  1  m có 3 điểm cực trị A  Ox ,B,C sao
cho BC  2
A. m  1
B. m  0
C. m  1
D. m  0 hoặc m  1 [1]
Giải :
m3  0
a.b  0
 2
 m 1
 2
am0  2b  0
2m  2m  0

Chọn đáp án A
Ví dụ 18: Tìm m để hàm số y  mx 4  x 2  m có 3 điểm cực trị A  Ox ,B,C sao cho
1
4
A. m  0

AC 

B. m  3

C. m  3

D. m  3

[3]

Giải
Với a = m , b = -1 , n0 

1
. Từ
4

ab  0
suy ra m = 3
 2 2
4
16a n0  8ab  b

Chọn đáp án D
Ví dụ 19: Tìm m để đồ thị hàm số y  x 4  mx 2  1 có ba điểm cực trị A, B, C sao
cho B,C nằm trên trục hoành ?
A. m  0
B . m  2
C. m  2

D . m  2
Giải
Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị A, B, C sao cho B,C nằm trên trục hoành khi
a.b  0
m  0
 2
m2
 2
b  4ac
m  4

Chọn đáp án C
Ví dụ 20: Cho hàm số y  x 4  2mx 2  2m  m 4 1 .Xác định m để đồ thị hàm số 1
có ba cực trị tạo thành tam giác có diện tích bằng 4.
A. m   6 3
B. m  5 16
C. m   5 16
D. m  3 3
[3]
Giải
Đồ thị hàm số có ba cực trị tạo thành tam giác có diện tích bằng 4.
ab  0
2m  0

 5 16


3
2
5

5
512  (2m)  0
32a ( S0 )  b  0

Chọn đáp án B
16


Ví dụ 21: Tìm m để đồ thị hàm số y  x 4  2(1  m 2 ) x 2  m  1 có 3 điểm cực trị tạo
thành một tam giác có diện tích lớn nhất ?
A. m  2

B. m  

1
2

C. m  0

D. m  2

[3]

Giải
Đồ thị hàm số có 3 cực trị A,B,C : 2(1  m 2 )  0  1  m  1
Diện tích tam giác ABC :
b5
 (1  m 2 )5  1
3
32a

 1 khi m  0

S ABC  

Do đó MaxS ABC
Chọn đáp án C
Ví dụ 22 : Tìm m để đồ thị hàm số y  x 4  2mx 2  m  1 có 3 điểm cực trị tạo thành
một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1?
1  5
2
1  5
C. m  1 hoặc m 
2

1  5
2
1  5
D. m  1 hoặc m 
2

A. m  1 hoặc m 

B. m  1 hoặc m 

Giải
[1]
Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn
ngoại tiếp bằng R0  1
a.b  0
m  1

2m  0
m  0


3
3

b  8a   8m  8   3

 m  1  5
R

m

2
m

1

0

 0
1 
8
a
b

16m

2



Chọn đáp án B
Ví dụ 23: Tìm m để đồ thị hàm số y  x 4  2mx 2  m có 3 điểm cực trị tạo thành một
tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1?
A. m  1
B. m  2
C. m  1
D. m  1 hoặc m  2
Giải
Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn nội
tiếp bằng r0  1
2m  0
a.b  0


m  0
b2
 m  1
4m 2

r 
2
1



m



0

m  2  m  2
3
3




b3

 1  m  1

8
m


4 a  1
 1
4
1


1








8a 
8






Chọn đáp án B
1
4

Ví dụ 24: Tìm m để đồ thị hàm số y  x 4  (3m  1) x 2  2m  2 có 3 điểm cực trị tạo
thành một tam giác có trọng tâm là gốc tọa độ O ?
17


A. m  

2
3

B. m  

1
3

C. m 

1
3

2
3

D. m   hoặc m  

1
3

Giải
[1]
Đồ thị hàm sốcó 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có trọng tâm là gốc tọa độ O
1

 3m  1
m   3
 4  0
a.b  0
1


m
 2
3
b  6ac
(3m  1) 2  6. 1 (2m  2)
m  1 hoac m   2
4

3
3



Chọn đáp án C
Ví dụ 25: Tìm m để đồ thị hàm số y  2 x 4  m 2 x 2  m 2  1 có 3 điểm cực trị A  Ox ,B,
C cùng với gốc tọa độ O tạo thành một hình thoi ?
A. m   2

B. m  2

C. m   2

D. m  

1
2

Giải
Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị A  Ox ,B, C cùng với gốc tọa độ O tạo thành một
hình thoi
m 2  0
m  0
a.b  0
 4

m 2
 2


2
b  2ac
m   2
m  4(m  1)

Chọn đáp án A
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Năm học 2016- 2017 là năm đầu tiên Bộ Giáo Dục và Đào Tạo áp dụng hình
thức thi trắc nghiệm cho môn toán trong kỳ thi THPT Quốc Gia. Trong thời gian
qua thầy và trò chúng tôi đã áp dụng đề tài này vào thực tiễn dạy và học và đã cho
kết quả tốt. Đa số học sinh vận dụng tích cực hệ thống kiến thức vào giải toán trắc
nghiệm và đã xử lý rất tốt các đề thi trong thời gian rất ngắn.
C . KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ:
3.1 Kết luận :
- Đề tài đã được áp dụng và đạt kết quả tương đối tốt , có thể áp dụng cho tất cả
các đối tượng học sinh. Giáo viên nên áp dụng có chọn lọc cho phù hợp với học
sinh của mình.
3.2 . Kiến nghị
- Trong quá trình dạy học giải bài tập toán , giáo viên cần xây dựng bài giảng
thành hệ thống những bài tập có phương pháp và quy trình giải. Đồng thời khuyến
khích các em tổng quát hóa, hoặc xây dựng các công thức giải nhanh , trúng đích
cho các bài toán trắc nghiệm.
- Đề tài không tránh khỏi những thiếu xót , để hoàn thiện hơn , tôi mong được sự
góp ý chân thành của đồng nghiệp ./.
Tôi xin trân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
Thanh Hóa, ngày 25 tháng 5 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
ĐƠN VỊ
mình viết,không sao chép nội dung của

18


người khác.

Lê Thanh Tâm
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1) Cực trị - Nhận biết –Thông Hiểu – Vận dụng –Tác giả Nguyễn Bảo Vương
2) Chinh phục đề thi Đại Học Quốc Gia Hà Nội – Tác giả Ông Cao Tuấn
3) Ngân hàng đề trắc nghiệm trên trang Luyện thi thủ khoa -Internet
4) Một số thủ thuật giải nhanh môn toán – Tác giả Nguyễn Phú Khánh
4) Sách giáo khoa Giải tích 12 – Nâng cao – NXB Giáo Dục (2007)

19


Báo cáo các đề tài SKKN
đã được hội đồng khoa học ngành xếp loại.
Họ tên:
Lê Thanh Tâm
Ngày sinh:
01/03/1979
Ngày vào ngành: 01/01/2002
Chức vụ:
Giáo viên
Môn giảng dạy:
môn Toán.
Đơn vị:
Tổ Toán- Tin Trường THPT Hậu Lộc 3.
TT

1
2

Tên đề tài
Kỹ năng tách ghép trong Bất
đẳng thức Cô-Si

Cấp ĐG
HĐKH
ngành

Tạo hứng thú học tập và khắc HĐKH
sâu kiến thức thông qua “Bẫy” ngành
trong các bài toán

Kết quả
XL

Năm ĐGXL

C

2009 - 2010

C

2012 – 2013

Hậu Lộc , ngày 25/05/2017

Lê Thanh Tâm

20