ĐỀ TUYỂN SINH TOÁN VÀO 10 NĂM 2019 2020 CỦA CÁC TỈNH (MỚI NHÂT)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NGHỆ AN

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2019 – 2020

ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề.
Câu 1. (2,0 điểm) Rút gọn các biểu thức sau:
a) A =



12  2 5



3  60

4 x x2  6x  9
.
x

3
x
b) B =
với 0 < x < 3

Câu 2.(2,5 điểm)
1.Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b biết rằng đồ thị của hàm số đi qua hai điểm

M(1; -1) và N(2;1).
2.Cho phương trình x2 + 2mx + m2 - m+3 = 0 (1), trong đó m là tham số.
a) Giải phương trình (1) với m = 4.
b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1; x2 và biểu thức
P = x1 x2- x1- x2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 3. (1,5 điểm)
Tình cảm gia đình có sức mạnh thật phi thường.Bạn Vi Quyết Chiến- Cậu bé 13 tuổi
quá thương nhớ em trai của mình đã vượt qua một quãng đường dài 180 km từ Sơn
La đến bệnh viện nhi Trung ương Hà Nội để thăm em. Sau khi đi bằng xe đạp 7 giờ,
bạn ấy được lên xe khách và đi tiếp 1 giờ 30 phút nữa thì đến nơi. Biết vận tốc của xe
khách lớn hơn vận tốc của xe đạp là 35 km/giờ. Tính vận tốc xe đạp của bạn Chiến.
Câu 4.(3,0 điểm)
Cho đường tròn (O) có hai đường kính AB và MN vuông góc với nhau.Trên tia đối
của tia MA lấy điểm C khác điểm M. Kẻ MH vuông góc với BC (H thuộc BC).
a) Chứng minh BOMH là tứ giác nội tiếp.
b) MB cắt OH tại E.Chứng minh ME.HM = BE.HC.
c) Gọi giao điểm của đường tròn (O) và đường tròn ngoại tiếp tam giác MHC là
K.Chứng minh ba điểm C, K, E thẳng hàng
2
2
Câu 5.(1,0 điểm)Giải phương trình: 5 x  27 x  25  5 x  1  x  4
Câu 5( 1 điểm)Giải phương trình

5x2  27x  25  5 x  1  x2  4

ĐKXĐ: x �2

Hướng dẫn

5x2  27x  25  5 x  1  x2  4 � 5x2  27x  25  5 x  1  x2  4
� 5x2  27x  25  25x  25 x2  4  10  x  1  x  2  x  2













� 2x2  x  2  5 x2  x  2  x  2 � 2 x2  x  2  3 x  2  5 x2  x  2  x  2  0
2
Đặt x  x  2  a;(a �0); x  2  b;(b �0)

a b
�
2a2  5ab  3b2  0 �  a  b  2a  3b  0 � �
2a  3b
�
Ta có
�
x  1 5�dkxd
a  b � x2  x  2  x  2 � x2  2x  4  0 � �
x  1 5�dkxd
�

Với
� 13 3 65
x
�dkxd
�
8
2
2
�
2a  3b � 4x  4x  8  9x  18 � 4x  13x  26  0 �
� 13 3 65
x
�dkxd
�
�
8
Với
�
13 3 65�
S �
1 5;
�
8
�
�

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PTTH
QUẢNG NGÃI
ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi có 01 trang)

KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
NĂM HỌC 2019 – 2020
Ngày thi: 05/6/2019
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 120 phút , không kể phát đề

Bài 1. (1,0 điểm)
a) Cho biểu thức A  16  25  4 . So sánh A với 2
�x  y  5
�
2 x  y  11
b) Giải hệ phương trình: �
Bài 2. (2,5 điểm)
2
1. Cho Parabol  P  : y   x và đường thẳng  d  : y  x  2

a) Vẽ  P  và  d  trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy .
b) Viết phương trình đường thẳng  d'  song song với  d  và tiếp xúc với  P  .
2
2. Cho phương trình x  4 x  m  0 (m là tham số)
a) Biết phương trình có một nghiệm bằng 1 . Tính nghiệm còn lại.
b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1 ,x2 thỏa mãn

 3x1  1  3x2  1  4

Bài 3. (2,0 điểm)
Một đội công nhân đặt kế hoạch sản xuất 250 sản phẩm. Trong 4 ngày đầu, họ thực
hiện đúng kế hoạch. Mỗi ngày sau đó, họ đều vượt mức 5 sản phẩm nên đã hoàn

thành công việc sớm hơn 1 ngày so với dự định. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày đội


công nhân đó làm được bao nhiêu sản phẩm? Biết rằng năng suất làm việc của mỗi
công nhân là như nhau.
Bài 4. (3,5 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC (ABE thứ tự là hình chiếu vuông góc của H lên AB và AC.
a) Chứng minh các tứ giác AEHD và BDEC nội tiếp được đường tròn.
b) Vẽ đường kính AF của đường tròn (O). Chứng minh
BC  AB.BD  AC.CE và AF vuông góc với DE.
c) Gọi O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE. Chứng minh O’ là trung
điểm của HF.
d) Tính bán kính đường trò (O’) biết BC  8cm, DE  6cm, AF  10cm.
Bài 5. (1,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD. Gọi S1 là diện tích phần giao
của hai nửa đường tròn đường kính AB và AD. S2 là
diện tích phần còn lại của hình vuông nằm ngoài hai
S1
nửa đường trong nói trên (như hình vẽ bên).Tính S 2

B

C

S2

S1

A

----------------------- HẾT----------------------Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
HƯỚNG DẪN

Bài 1. (1,0 điểm)
a) Cho biểu thức A  16  25  4 . So sánh A với

2

A  16  25  4  4  5  2  1  2 . Vậy A  2

b) Giải hệ phương trình:

�x  y  5
�
2 x  y  11
�

3x  6
�x  y  5
�
�x  2
�x  2
��
��
��
�
2 x  y  11 �x  y  5 �
2  y  5
�

�y  7
Bài 2. (2,5 điểm)
2
1. Cho Parabol  P  : y   x và đường thẳng  d  : y  x  2
a) Vẽ  P  và  d  trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy .

b) Viết phương trình đường thẳng  d'  song song với  d  và tiếp xúc với  P  .
2
P
:
y


x


a)
x 3
0
3
2  1
1
2
y 9
0

9
4  1
1 4

D


 d : y  x2

x  0 � y  2 :  0; 2 
y  0 � x  2 :  2; 0 

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRÀ VINH
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2019 – 2020
MÔN THI: TOÁN
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)

I.PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 ĐIỂM)
Câu 1: (3,0 điểm)
1. Rút gọn biểu thức A  20  45  3 80
3x  4 y  5
�
�
2. Giải hệ phương trình �6 x  7 y  8
2
3. Giải phương trình x  x  12  0

Câu 2: (2.0 điểm)
2
Cho hai hàm số y  x  3 và y  2 x có đồ thị lần lượt là (d) và (P)

1. Vẽ (d) và (P) trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy
2. Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) bằng phép toán.
Câu 3: (2,0 điểm)
2
Cho phương trình x  x  3m  11  0 (1) (với m là tham số)
1. Với giá trị nào của m thí phương trình (1) có nghiệm kép
2. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 sao cho
2017 x1  2018 x2  2019

II. PHẦN TỰ CHỌN (3,0 ĐIỂM)
Thí sinh chọn một trong hai đề sau đây:
ĐỀ 1:
Câu 4: (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, hai đường
cao BD và CE cắt đường tròn tâm O theo thứ tự tại P và Q (P �B, Q �C)
1. Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp đường tròn
2. Gọi H là giao điểm cùa BD và CE. Chứng minh HB.HP=HC.HQ
ĐỀ 2:
Câu 5: (3,0 điểm)
Cho đường tròn tâm O. Từ điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O vẽ các tiếp
tuyến MA, MB với (O) (A,B là hai tiếp điểm). Vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm
O, C nằm giữa M và D.
1. Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn.
2. Chứng minh MA2 = MC.MD


----------HẾT---------

6

4

2

-10

-5

5

10

-2

-4

-6

-8

-10

b) Phương trình đường thẳng  d'  có dạng y  ax  b

 d'  //  d  : y  x  2 � a  1; b �2
Phương trình hoành độ giao điểm của
2
 x  x  b � x2  x  b  0  * 
PT  *  có   1  4b .

 P  và  d'  tiếp xúc nhau khi PT  * 

�   0 � 1  4b  0 � b 

 P  và  d'  là

có nghiệm kép

1
4 (nhận).

 d'  là : y  x 

1
4

Vậy PT đường thẳng
2
2. Cho phương trình x  4 x  m  0 (m là tham số)
a) Biết phương trình có một nghiệm bằng 1 . Tính nghiệm còn lại.
b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1 ,x2 thỏa mãn

 3x1  1  3x2  1  4

2
a) PT x  4 x  m  0 có một nghiệm bằng 1
� a  b  c  0 � 1  4  m  0 � m  5 .
c
m
5

   5
1
1
Nghiệm còn lại của PT là a


'  2
b) ĐK �

2

m 0

m 4

15


�x1  x2  4
�
�x1 x2  m

Áp dụng định lí Vi et ta có:
 3x1  1  3x2  1  4 � 9 x1x2  3  x1  x2   1  4

� 9m  3.4  1  4 � m  1 tm 
Vậy m  1 là giá trị cần tìm.
Bài 3. (2,0 điểm)
Một đội công nhân đặt kế hoạch sản xuất 250 sản phẩm. Trong 4 ngày đầu, họ thực
hiện đúng kế hoạch. Mỗi ngày sau đó, họ đều vượt mức 5 sản phẩm nên đã hoàn

thành công việc sớm hơn 1 ngày so với dự định. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày đội
công nhân đó làm được bao nhiêu sản phẩm? Biết rằng năng suất làm việc của mỗi
công nhân là như nhau.
Gọi số sản phẩm mỗi ngày đội công nhân đó làm theo kế hoạch là x(sp).ĐK
x  0; x �Z
Khi đó, số sản phẩm mỗi ngày đội công nhân đó làm trong thực tế là x  5  sp 
250
Thời gian hoàn thành công việc theo kế hoạch là x (ngày)
Số sản phẩm làm được trong 4 ngày đầu là: 4x  sp 
Số sản phẩm còn lại phải làm là 250  4x  sp 
250  4 x
Thời gian làm 250  4x  sp  còn lại là x  5 (ngày).
250
250  4 x
4
1
x
x

5
Theo bài toán ta có PT:
Giải PT này ta được: x1  25 (nhận)
x2  50 (loại)

Vậy số sản phẩm mỗi ngày đội công nhân đó làm theo kế hoạch là 25 sản phẩm.
Gợi ý hai bài hình
Bài 4. (3,5 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC (ABE thứ tự là hình chiếu vuông góc của H lên AB và AC.
a) Chứng minh các tứ giác AEHD và BDEC nội tiếp được đường tròn.

b) Vẽ đường kính AF của đường tròn (O). Chứng minh
BC  AB.BD  AC.CE và AF vuông góc với DE.
c) Gọi O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE. Chứng minh O’ là trung
điểm của HF.
d) Tính bán kính đường trò (O’) biết BC  8cm, DE  6cm, AF  10cm.


A

E

O
I

N

D
M
B

H

C

K
O'
O''
F

0

0
0
�
�
a) Tứ giác AEHD có ADH  AEH  90  90  180 � Tứ giác AEHD nội tiếp
được đường tròn đường kính AH.
�
�
AE ). Dễ thấy
Tứ giác AEHD (cmt) ADE  AHE  1 (cùng chắn �

�
ACH  �
AHE  2  (cùng phụ HAE
� ).
�
�
Từ (1) và (2) suy ra ADE  ACH nên tứ giác BDEC nội tiếp được đường tròn.
b) Áp dụng hệ thức lượng trong hai tam giác vuông AHB và AHC ta có:
BH 2  AB.BD � BH  AB.BD

HB 2  AC.CE � HB  AC.CE Do đó BC  BH  HC  AB.BD  AC.CE
Nối FB, FC. Gọi I là giao điểm của AF và DE.
�
�
�
�
�
�
AB ) suy ra ADE  AFB

Ta có ADE  ACH (cmt) và AFB  ACH (cùng chắn �
nên tứ giác BDIF nội tiếp được đường tròn
�  DBF
�  1800 � DIF
�  1800  DBF
�  1800  900  900
� DIF
. Vậy AF  DE
c) Gọi M,N,O’’ lần lượt là trung điểm của BD,EC,HF.
- Ta chứng minh được MO’’ và NO’’ lần lượt là đường trung bình của các hình
thang BDHF và CEHF � MO''/ / DH  3 và � NO''/ / EH  4 

- Vì tứ giác BDEC nội tiếp mà O' là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE suy
ra O' cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BDEC � O' thuộc đường trung
trực của BD . Suy ra MO’ là trung trực của BD do đó
MO'  BD lại có DH  BD � MO'/ / DH  5  .
Tương tự ta có NO'/ / EH  6 


- Từ (3) và (5) suy ra MO’’ và MO’ là hai tia trùng nhau
- Từ (4) và (6) suy ra NO’’ và NO’ là hai tia trùng nhau
Do đó O’ trùng O”. Mà O’’ là trung điểm của HF nên O’ cũng là trung điểm của HF.
BC
BC 8 4
 AF � SinA 
 
AF 10 5
d) - Trong ABC ta có SinA
DE
6

 AH � AH   7 ,5  cm 
4
SinA
5
- Trong ADE ta có
- Vì O’ và O lần lượt là trung điểm của HF và AF nên OO’ là đường trung bình
AH 7 ,5
� OO'=

 3,75  cm 
2
2
của tam giác AHF
- Gọi K là giao điểm của OO’ và BC dễ thấy OO'  BC tại trung điểm K của
BC. Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông OKC ta tính được
OK  OC 2  KC 2  52  42  3  cm 
- Ta có KO'  OO'  OK  3,75  3  0,75  cm 
- Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông O’KC ta tính được
265
O' C  O' K 2  KC 2  0,752  42 
 cm 
4
265
 cm 
Vậy bán kính đường trò (O’) là 4
Bài 5. (1,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD. Gọi S1 là diện tích
phần giao
của hai nửa đường tròn đường kính AB và
AD. S2 là diện tích phần còn lại của hình

vuông nằm ngoài hai nửa đường trong nói

B

C

S3

S1

A

S2

S4

D

Gọi a là cạnh hình vuông ABCD. Ta cm được:

B

C

S2

S1

A

D


2

�a �
� �..90 1 a 2 a 2  1
2
��
�
�
S3  S 4  � �
 �
� � �  �
360
2 �2 � 4 �4 2 �
a 2 � 1 � a 2 � 1 � a 2 � 1 �
S1  S3  S4  �  � �  � �  �
4 �4 2 � 4 �4 2 � 2 �4 2 �
1
a 2 � 1 � a 2 �3  �
S 2  a 2  �  � �  �
2
2 �4 2 � 2 �2 4 �
a 2 � 1 �
� �
S1
2 �4 2 �   2



S2 a 2 �3  � 6  
� �
2
�2 4 �
Do đó

.............HẾT.............
Họ và tên thí sinh............................................................Số báo danh......................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH HẬU GIANG

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2019 – 2020
MÔN TOÁN
Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian phát

ĐỀ CHÍNH
đề
Đề thi có 01 trang
PHẦN II: TỰ LUẬN 7(điểm)

Câu 1: (1,5 điểm) Rút gọn biểu thức sau:
A

4 8  2  3 6
2 2  3

Câu 2: (1,5 điểm) Không dùng máy tính cầm tay, hãy giải phương trình và hệ
phương trình sau:
a) 5 x  13x  6  0

b) x  2 x  15  0
Câu 3: (1,5 điểm)
2
a) Trong mặt phẳng Oxy vẽ parabol (P): y  x .
2

4

3x  4 y  17
�
�
c) �5 x  2 y  11

1 2
m
b) Tìm m để đường thẳng (d): y=(m-1)x+ 2 +m đi qua điểm M(1;-1)

c) Chứng minh rằng parabol (P) luôn cắt đường thẳng (d) tại hai điểm phân
biệt A và B. Gọi x1, x2 là hoành độ giao điểm A, B. Tìm m sao cho
x12  x2 2  6 x1 x2  2019

Câu 4: (2,5 điểm) Cho đường tròn tâm (O) với dây AB cố định không phải đường
kính. Gọi C là điểm thuộc cung lớn AB sao cho tam giác ABC nhọn. M, N lần lượt là
điểm chính giữa cung nhỏ AB, AC. Gọi I là giao điểm của BN và CM. Dây MN cắt
AB và AC lần lượt tạ H và K.


a) Chứng minh tứ giác BMHI nội tiếp.
b) Chứng minh MK.MN=MI.MC
c) Chứng minh tam giác AKI cân tại K

x 2  3x  2019
P
x2
Câu 5: (0,5 điểm) Với x �0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

-----------------------------------HẾT--------------------------------------Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm
Họ tên thí sinh:...........................Số báo danh:........................................
LỜI GIẢI CÁC ĐỀ TRÊN CẢ NƯỚC: TCT968







SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BÌNH ĐỊNH
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2019 – 2010
MÔN THI : TOÁN


Ngày thi: 06/6/2019
Bài 1. (2 điểm)
1.Giải phương trình: 3(x+1) = 5x +2
2.Cho biểu thức: A  x  2 x  1  x  2 x  1 với x �1
a)Tính GTBT A khi x = 5
b)Rút gọn biểu thức A khi 1 �x �2

Bài 2. (2 điểm)
1.Cho phương trình x  (m  1) x  m  0
Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng 2. Tìm nghiệm còn lại.
2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba đường thẳng
2

d1 : y  2 x  1; d 2 : y  x d3 : y  3 x  2

Tìm hàm số có đồ thị là đường thẳng d song song với đường thẳng d3 đồng thời đi qua giao
điểm của hai đường thẳng d1 và d2.
2
Bài 3. (1,5 điểm) Hai đội công nhân cùng làm chung trong 4 giờ thì hoàn thành 3 công

việc. Nếu làm riêng thì thời gian hoàn thành công việc đội thứ hai ít hơn đội thứ nhất là 5h.
Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội hoàn thành bao lâu?
Bài 4. (3,5 điểm)
Cho đường tròn (O,R) và một đường thẳng d không cắt đường tròn O. Dựng đường thẳng
OH vuông góc với d tại H. Trên đường thẳng d lấy điểm K khác H, vẽ hai tiếp tuyến KA và
KB với đường tròn sao cho A, H nằm về hai phía của đường thẳng OK.
a)Chứng minh tứ giác KAOH nội tiếp
b)Đường thẳng AB cắt đường thẳng OH tại I. Chứng minh rằng IA.IB =IH.IO và I là điểm
cố định khi điểm K chạy trên đường thẳng d cố định.
c)Khi OK = 2R, OH = R 3 . Tính diện tích tam giác KAI theo R.
Bài 5. (1 điểm)
�x  y
x2  y 2
P
�
x y
Cho x, y là hai số thực thỏa �xy  1 . Tìm GTNN của

Giải
Bài 1:
1
1. 3(x+1) = 5x+2; 3x + 3 = 5x + 2; x = 2

2. A  x  2 x  1  x  2 x  1
a. Khi x = 5 ta được A = 4
b.
A  x  2 x 1  x  2 x 1 


x 1 1 





2

x 1 1 





x 1  1

2

x 1 1  1 x 1  x 1 1  2

( vì 1 �x �2 )
Bài 2.
1.Vì phương trình có một nghiệm bằng 2 nên
4 – 2(m – 1) – m = 0 � m = 2 Khi đó nghiệm cón lại là - 1.
2.Phương trình hoành độ giao điểm của d1 và d2 là 2 x  1  x � x  1 � y  1
Giao điểm là  1;1 Đường thẳng song song với d3 có dạng y = -3x + b


Vì đi qua (1;1) nên - 3 + b = 1 � b  4 Vậy đường thẳng đó là: y = -3 x + 4.
Bài 3.
Gọi x (h) là thời gian hoàn thành công việc 1 mình của đội 1 ĐK: x > 6
Thời gian làm một mình xong việc của đội hai là : x – 5 (h)
2
Vì cả hai đội cùng làm chung trong 4 h thì hoàn thành 3 công việc

Nên cả hai đội cùng làm chung trong 6 h thì hoàn thành công việc.
1
1
(CV )
(CV )
Trong 1h đội một làm: x
Trong 1h đội hai làm: x  5
1
(CV )
Trong 1h cả hai làm: 6
Theo đề ta có phương trình
1
1

1
x 5 x 1
2x  5 1

 �
 �
 � x 2  17 x  30  0
x x5 6
x( x  5) 6
x ( x  5) 6

Giải pt ta được: x = 15 (t/m) và x = 2 (loại)
Vậy đội 1 hoàn thành trong 15 giờ, đội 2 hoàn thành trong 10 giờ.
Bài 4.

O
A

J
I

B
K
H
0
�
a) Ta có KAO  90 ( vì OA  KA)

�  900
OHK

( vì OH  KH)
0
0
0
�
�
Tứ giác OAKH có KAO  KHO  90  90  180
Suy ra tứ giác OAKH nội tiếp.

0
0
�
�
�
�
b) OBK  90 (vì OB  KB) Suy ra KAO  KHO  KBO  90

Suy ra 5 điểm O, A, K, H, B cùng thuộc một đường tròn
�
�
Xét  AOI và  HBI có AIO  HIB (đối đỉnh)
�
�
AOI  HBI
AH ) Nên  AOI :  HBI (g-g)
(góc nội tiếp cùng chắn �
IA IO

� IB.IB  IH .IO
Suy ra IH IB

Gọi J là giao điểm của OK và AB.
Ta có OK là trung trực của AB nên OK  AB Do đó  JOI :  HOK (g-g)
OI
OJ

� OI .OH  OJ.OK
Suy ra OK OH
Mà OJ.OK=OB2 không đổi


Nên OI.OH không đổi Vì O, H cố định nên I cố định.
OB 2
OJ 
OK
c) Ta có
R
.2 R
R2 R
R 3R
OJ.OK 2
R 3
� OJ 
 � KJ  2 R  
� OI 


2R 2
2
2
OH

3
R 3
� IJ  OI 2  OJ 2 
� AI  AJ  IJ 

R
R 3

;
6
2 3

AJ  OA2  OJ 2  R 2 

R 3 R 3 2R 3


6
2
3

� S AKI 

R2 R 3

4
2

1
1 3R 2 R 3 R 2 3

KJ . AI 
.

2
2 2
3
2

Bài 5. Vì xy=1 nên 2xy = 2
Khi đó

x 2  y 2  2 xy  2  x  y   2
2
2
P

 ( x  y) 
�2 ( x  y ).
2 2
x y
x y
x y
x y
(vì x > y)
2

Vậy GTNN của P = 2 2 khi x  2  3 , y  2  3
Hoặc - x   2  3 , y   2  3

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ NỘI

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2019 – 2020

ĐỀ CHÍNH
THỨC

Môn thi : TOÁN
Ngày thi : 02 tháng 6 năm 2019
Thời gian làm bài : 120 phút

Bài I (2,0 điểm)
Cho hai biểu thức

A

4





x 1

25  x

và

�

15  x
B�

x

25
�

2 � x 1
�:
x 5� x 5

với x �0, x �25 .
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x  9 .
2) Rút gọn biểu thức B.
3) Tìm tất cả giá trị nguyên của x để biểu thức P  A.B đạt giá trị nguyên lớn nhất.
Bài II (2,5 điểm)
1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc thì sau 15 ngày làm xong. Nếu đội thứ
nhất làm riêng trong 3 ngày rồi dừng lại và đội thứ hai làm tiếp công việc đó trong 5 ngày
thì cả hai đội hoàn thành được 25% công việc. Hỏi nếu mỗi đội làm riêng thì trong bao
nhiêu ngày mới xong công việc trên ?
2) Một bồn nước inox có dạng một hình trụ với chiều cao 1, 75m và diện tích đáy là
0,32m 2 . Hỏi bồn nước này dựng đầy được bao nhiêu mét khối nước ? (Bỏ qua bề dày của
bồn nước).
Bài III (2,0 điểm)
4
2
1) Giải phương trình x  7 x  18  0 .

2
2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d ) : y  2mx  m  1 và parabol
( P) : y  x 2 .

a) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
b) Tìm tất cả giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2
1 1
2
 
1
x
x
x
x
2
1 2
thỏa mãn 1
.
Bài IV (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao
BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H.
1) Chứng minh bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn.
2) Chứng minh đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng EF.
3) Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC. Đường thẳng AO cắt đường thẳng BC tại
điểm I, đường thẳng EF cắt đường thẳng AH tại điểm P. Chứng minh tam giác APE đồng
dạng với tam giác AIB và đường thẳng KH song song với đường thẳng IP.
Bài V (0,5 điểm)
4
4

2
2
Cho biểu thức P  a  b  ab , với a, b là các số thực thỏa mãn a  b  ab  3 . Tìm
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.
………………… Hết …………………
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ tên thí sinh : …………………………………
Họ tên, chữ kí của cán bộ coi thi số 1 :
………………………………………

Số báo danh: …………………………
Họ tên, chữ kí của cán bộ coi thi số 2 :
………………………………………


HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ BIỂU ĐIỂM DỰ KIẾN:

Bài

Phầ
n
Khi x = 9 thì:
1)

A

4



  4  3  1  4.4  1

9 1

25  9
16
�
15  x
2 �
B�

�:
x

25
x

5
�
�
�
15  x
�

� x 5
x 5
�









 

15  x  2 x  10



2)
Bài I
(2,0đ)

Điể
m

Nội dung



x 5



x 5

x 5

x 5



x 5





�

�

0.5

16

x 1
x 5
2



x 5





�
�� x  5
x  5 � x 1
�

x 5



x 5
x 1

1.0

x 5
x 1

1
x 1

1
x  1 với x �0, x �25 .
Vậy
Với x �0, x �25, x �Z , ta có:
4 x 1
1
4
P  A.B 
�


25  x
x  1 25  x
� 4  P  25  x 
B



3)

Bài II
(2,5đ)

1)



� 4MP (do 25  x �Z , P �Z )
P 4
P  4 � 25  x  1 � x  24 (TMĐK)
Vậy với x �Z , P �Z thì max P  4 � x  24
Gọi thời gian đội thứ nhất và đội thứ hai làm riêng xong việc lần lượt
là x (ngày) và y (ngày). ĐK: x, y > 6.
1
Mỗi ngày: đội thứ nhất làm được x công việc, đội thứ hai làm được
1
1
y công việc, hai đội làm chung được 15 công việc.
1 1 1
 
x

y 15
Ta có phương trình:
3
Đội thứ nhất làm riêng trong 3 ngày được x công việc.

(1)

0.5

2.0


5
Đội thứ hai làm riêng trong 5 ngày được y công việc.
� 1�
 �
�
Vì khi đó cả hai đội hoàn thành được 25% � 4 �công việc nên ta có
3 5 1
 
x
y 4
phương trình:
(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
1
1
 u;  v
y

Đặt x
, hệ trở thành:

2)
Bài III
(2,0đ)

�1 1 1
�x  y  15
�
�
�3  5  1
�
�x y 4

1
�
� 1
u

v

u
�
�
�
� 24
15
��
�

1
�
�v  1
3u  5v 
�
� 40
4
�x  24
��
�y  40 (TMĐK)
Vậy nếu làm riêng thì đội thứ nhất mất 24 ngày, đội thứ hai mất 40
ngày để hoàn thành công việc.
Thể tích của bồn nước là:
1,75.0,32 = 0,56 (m3)
Vậy bồn nước này dựng đầy được 0,56 m3 nước.
Cách 1:
x 4  7 x 2  18  0
(1)

0.5

� x 4  2 x 2  9 x 2  18  0
� x 2 ( x 2  2)  9( x 2  2)  0
� ( x 2  2)( x 2  9)  0
� x 2  9  0 (do x 2  2  0 x)
1)

� x2  9
� x  �3
Vậy nghiệm của phương trình (1) là x  �3 .

Cách 2:
2
Đặt x  y ( y �0) . Phương trình (1) trở thành:
y 2  7 y  18  0

2a)

Giải phương trình (2) được:
y1 = 9 (TMĐK) ; y2 = – 2 (loại)
2
Với y = y1 = 9 thì x  9 � x  �3
Vậy nghiệm của phương trình (1) là x  �3 .
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):
x 2  2mx  m 2  1

1.0

(2)

0.5


� x 2  2mx  m 2  1  0

(1)

Có  '  m  m  1  1  0
� Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt
� (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
Vì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 nên x1 , x2 là các

nghiệm của phương trình (1). Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:
�x1  x2  2m
�
2
�x1 x2  m  1
Theo đề bài:
1 1
2
 
1
x1 x2 x1 x2
2

2b)

�

2

x1  x2 x1 x2  2

x1 x2
x1 x2

0.5

2m
m2 1  2
� 2


( ĐK :m ��1)
m 1
m2  1
� 2m  m 2  3
� m 2  2m  3  0

(2)
Giải phương trình (2) được: m1  1; m2  3
Kết hợp ĐK � m  3 là giá trị cần tìm.
Bài IV
(3,0đ)

1)
2)

Vì BE, CF là các đường cao của  ABC nên:
�  BFC
�  90o
BEC
� E, F thuộc đường tròn đường kính BC
� Bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn.
Cách 1:
Vẽ đường kính AD của (O), AD cắt EF tại J.
Vì BCEF là tứ giác nội tiếp
�1  ABC
� (  180o  CEF)
�
�E

0.75

1.0


� D
�1 � 1 sđAC
� �� E
� �
ABC
�
� 1  D1
2
�
�
Mà
o
�
Ta có ACD  90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
�1  D
�1  90o � A
�1  E
�1  90o � AJE
�  90o
�A
� OA  EF tại J
Cách 2:
Qua A, vẽ tiếp tuyến xy của (O)
�1 � �
� 2  ABC
�
�A

 sđAC �
�
�2
�
Vì BCEF là tứ giác nội tiếp
�1  ABC
�
�
�E
 180o  CEF





�
�
Do đó A 2  E1 � xy // EF
Mà OA  xy (tính chất tiếp tuyến)
� OA  EF
Cách 3:
Tia BE cắt (O) tại M, tia CF cắt (O) tại N
Vì BCEF là tứ giác nội tiếp
�1  C
�1 � AM
�  AN
�
�B
(tính chất góc nội tiếp)
� OA  MN (liên hệ giữa cung và dây)

�F
$1  B
�2
N
� MN // EF
Dễ chứng minh
� OA  EF





3)

1.0

o
� �
Dễ thấy A 3  ABC  90
o
� �
�
�
Mà A1  D1  90 và ABC  D1
�3  A
�1 � BAI
�  PAE
�
�A
�

�
� �
 APE và  AIB có: PAE  BAI ; E1  ABC
�  APE
 AIB (g-g)


AP AE

AI AB
 ABD (g-g)
Dễ chứng minh  AEH
AE AH
�

AB AD
AP AH
�

AI AD
Từ (1) và (2)
� PI // HD (định lí Ta-lét đảo)
Chứng minh được BHCD là hình bình hành
� H, K, D thẳng hàng
� KH // IP (đpcm).
Lời giải tham khảo trên mạng
2
2
2
2

Ta có: a  b  ab  3 � a  b  3  ab
�

(1)

(2)

� P  a 4  b 4  ab  (a 2  b 2 ) 2  2a 2b 2  ab  (3  ab)2  2a 2b 2  ab
 9  6ab  a 2b 2  2a 2b 2  ab  9  7ab  a 2b 2
Lại có:
2
3 �
a
b 2 ab (a b ) 2 3ab 3ab ab 1

Bài V
(0,5đ)

(1)

3 a 2�
b 2 ab (a b) 2 ab
ab ab
3
� 3 �ab �1
Cách 1:
Từ (1) và (2) suy ra:
P  1  (1  ab)(8  ab) �1
ab  1
a  b 1

�
�
� �2
�
�
a  b  1
a  b2  2
�
�
Dấu “=” xảy ra
P  21  (ab  3)(ab  4) �21
�
ab  3
a  3; b   3
�
� �2
�
�
a  b2  6
a   3; b  3
�
�
Dấu “=” xảy ra
Cách 2:
85
2
P  9  7 ab  a 2b 2 
  ab  3,5 
4
1

2
�3�
ab�
1 �0,5 ab 3,5 4,5
 ab 3,5 
4
Vì
85
2
�
21
 ab 3,5 1
4
hay 21 �P �1
Thầy Nguyễn Mạnh Tuấn
Trường THCS Cẩm Hoàng – Cẩm Giàng – Hải Dương

(2)

0.5

81
4