đề thi môn toán vào 10 năm 2014 2015

Trung tâm luyện thi EDUFLY-0987708400 Page 1


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
TRUNG TÂM LUYỆN THI EDUFLY
ĐỀ THI THỬ LẦN 2 MƠN TỐN VÀO LỚP 10
NĂM HỌC 2015
Thời gian: 120 phút


Câu 1: (2, 5 điểm)
1. Tính giá trị của biểu thức sau:
4
P 4 2 3
2 12
  


2. Cho biểu thức: Cho biểu thức
3 6 4
1
11
xx
P
x
xx

  




a) Rút gọn biểu thức
P
.
b) Tìm x để
P
đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 2: (2 điểm) Giải bài tốn sau bằng cách lập hệ phương trình.
Hai người thợ cùng làm chung một cơng việc trong 7 giờ 12 phút thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 5 giờ và
người thứ hai làm trong 6 giờ thì cả hai người chỉ làm được
4
3
cơng việc. Hỏi một người làm cơng việc đó trong mấy
giờ thì xong?
Câu 3: (1, 5 điểm)
a) Giải phương trình sau:
42
2x 5x 2 0  

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) và đường thẳng (d) có phương trình
(P):
2
yx
và (d):
2
y 2ax a 1  
(a là tham số)
Chứng minh rằng (d) ln cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi a. Gọi hồnh độ giao điểm là
12

x , x
, tìm a để
12
x , x
thỏa mãn điều kiện:
22
12
x x 6.

Câu 4: (3, 5 điểm). Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB; đường thẳng vuông góc với AB tại O
cắt nửa đường tròn tại C. Kẻ tiếp tuyến Bt với đường tròn, AC cắt tiếp tuyến Bt tại I.
1. Chứng minh ABI vuông cân.
2. Lấy D là một điểm trên cung BC, gọi J là giao điểm của AD với tiếp tuyến Bt. Chứng minh
rằng tứ giác JDCI nội tiếp.
3. Chứng minh rằng: AC.AI=AD.AJ.
4. Tiếp tuyến tại D của nửa đường tròn cắt Bt tại K, hạ DHAB. Chứng minh AK đi qua trung
điểm của DH.
Câu 5: (0,5 điểm). Cho
,0
1
ab
ab







. Tìm giá trị nhỏ nhất của

1
S ab
ab



Chú ý: Thi thử lần 3 vào ngày 26-4-2015



Trung tâm luyện thi EDUFLY-0987708400 Page 2




SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
TRUNG TÂM LUYỆN THI EDUFLY
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ LẦN 2 MÔN TOÁN VÀO
LỚP 10 NĂM HỌC 2015


Câu 1: (2, 5 điểm)
1. Tính giá trị của biểu thức sau:
4
Q 4 2 3
2 12
  


Lời giải

Điểm
 
2
4 4 2
Q 4 2 3 3 1 3 1
2 12
2 2 3 1 3
        



0,25
 
2 3 1
3 1 3 1 3 1 2
2

        


0,25

2. Cho biểu thức: Cho biểu thức
3 6 4
1
11
xx
P
x
xx


  



a) Rút gọn biểu thức
P
. b) Tìm x để
P
đạt giá trị nhỏ nhất
Lời giải
Điểm
a) ĐKXĐ:
0
1
x
x






0,25
3 6 4
1
11
xx
P
x

xx

  


3 3 6 4
1 1 1
x x x x
x x x
  
  
  
21
1
xx
x




0,5
 
  
2
1
11
x
xx




1
1
x
x




0,5
b)
x 1 2 2
P1
x 1 x 1

  


0,25
Vì
x 1 1
nên
2
2
x1


suy ra
P 1 2 1.   

0,25
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng -1 khi x = 0
0,25

Câu 2: (2 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình.
Hai người thợ cùng làm chung một công việc trong 7 giờ 12 phút thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 5 giờ và
người thứ hai làm trong 6 giờ thì cả hai người chỉ làm được công việc. Hỏi một người làm công việc đó trong mấy
giờ thì xong?
4
3


Trung tâm luyện thi EDUFLY-0987708400 Page 3

Lời giải
Điểm
Đổi đơn vị: 7giờ 12phút = 7,2giờ
0,25
Gọi x(công việc/giờ) là công việc người thứ nhất làm được trong 1 giờ (năng suất lao động)
y(công việc/giờ) là công việc người thứ hai làm được trong 1 giờ (năng suất lao động)
(Điều kiện:
5
0 x;y
36

)
0,25
Trong 7,2 giờ, người thứ nhất làm được 7,2x(công việc)
Trong 7,2 giờ, người thứ hai làm được 7,2y(công việc)
Theo đề bài ta có hai người cùng làm trong 7,2 giờ thì xong nên

7,2x 7,2y 1

(1)
0,25
Trong 5 giờ, người thứ nhất làm được 5x(công việc)
Trong 6 giờ, người thứ hai làm được 6y(công việc)
Ta được phương trình:
3
5x 6y
4


(2)
0,5
Từ (1) và (2) ta được hệ phương trình
1
7,2x 7,2y 1
x
12
3
1
5x 6y
y
4
18
















0,5
Vậy người thứ nhất làm một mình sau
1
1: 12
12

(giờ) sẽ xong;
Người thứ hai làm một mình sau
1
1: 18
18

(giờ) sẽ xong.
0,25

Câu 3: (1,5 điểm)
a) Giải phương trình sau:
42
2x 5x 2 0  

Lời giải
Điểm
Đặt và
2
x t (t 0).
Phương trình trở thành
2
2t 5t 2 0  

0,25
9
và tính được nghiệm
1
t
2

hoặc
t2
và suy ra các nghiệm
11
x , x , x 2, x 2.
22
     

0,25



b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) và đường thẳng (d) có phương trình
(P):

2
yx
và (d):
2
y 2ax a 1  
(a là tham số)
Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi a. Gọi hoành độ giao điểm là
12
x , x
, tìm a để
12
x , x
thỏa mãn điều kiện:
22
12
x x 6.

Lời giải
Điểm


Trung tâm luyện thi EDUFLY-0987708400 Page 4

Phương trình hồnh độ giao điểm của parabol (P) và đường thằng (d) là:
2 2 2 2
x 2ax a 1 x 2ax a 1 0       
(*)
0,25
Ta có
 

 
2
2
' a a 1 1 0      
với mọi a.
Phương trình (*) ln có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của a.
0,25
Áp dụng định lý Vi-ét ta có
12
2
12
x x 2a
x x a 1






Theo đề bài ta có:
   
 
22
2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
x x 6 x x 2x x 6 2a 2 a 1 6 2a 4 a 2 a 2                

0,5
Vậy
a2

thỏa mãn u cầu bài tốn.


Câu 4: (3, 5 điểm). Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB; đường thẳng vuông góc với AB tại O
cắt nửa đường tròn tại C. Kẻ tiếp tuyến Bt với đường tròn, AC cắt tiếp tuyến Bt tại I.
1. Chứng minh ABI vuông cân.
2. Lấy D là 1 điểm trên cung BC, gọi J là giao điểm của AD với tiếp tuyến Bt. Chứng minh rằng
tứ giác JDCI nội tiếp.
3. Chứng minh rằng: AC.AI=AD.AJ.
4. Tiếp tuyến tại D của nửa đường tròn cắt Bt tại K, hạ DHAB. Chứng minh AK đi qua trung
điểm của DH.

Lời giải
Điểm
1. AOC có
AOC 90
và
 
OA OC R
nên tam giác AOC vng cân tại O. Suy ra
CAO 45
(1)
0,5
Ta có Bt là tiếp tuyến của (O) tại B nên
Bt BA
hay
ABI 90
. Kết hợp với (1) ta suy ra tam
giác AIB vng cân tại B.
0,5

2. Theo chứng minh 1 ta có ABI là tam giác vng cân tại B nên
AIB 45

0,25
N
H
J
K
I
C
O
A
B
D


Trung tâm luyện thi EDUFLY-0987708400 Page 5

(i)
Ta có
11
CDA COA .90 45
22
    
(tính chất góc nộp tiếp và góc ở tâm)
(ii)
0,25
Từ (i) và (ii) suy ra
AIB CDA
. Suy ra tứ giác CIJD là tứ giác nội tiếp (tính chất góc trong và góc

ngoài tại đỉnh đối diện của tứ giác).
0,5
3. Xét tam giác ACD và tam giác AJI có:
IAJ
chung;
ACD AJI
(cùng bù với
ICD
)
0,5
Suy ra tam giác ACD đồng dạng với tam giác AJI. Suy ra
AC AJ
AC.AI AD.AJ
AD AI
  
(đpcm)
0,5
4. Gọi giao điểm của AK và DH là N. Ta phải chứng minh NH = ND.
Ta có góc ADB = 90
0
và DK=KB (t/c hai tt cắt nhau)  góc KDB = góc KBD. Mà KBD + DJK =
1v và KDB + KDJ = 1v  KJD = JDK  KDJ cân tại K  KJ = KD  KB = KJ.
Do DH  và JB  AB(gt)  DH // JB. Áp dụng hệ quả Ta-lét trong các tam giác AKJ và AKB ta
có:
AK
AN
JK
DN

;

AK
AN
KB
NH


KB
NH
JK
DN

mà JK=KB  DN=NH.
0,5

Câu 5: (0,5 điểm). Cho
,0
1
ab
ab







. Tìm giá trị nhỏ nhất của
1
S ab
ab



Lời giải
Điểm
Từ giả thiết ta có
1
1 a b 2 ab ab .
4
    

0,25
1 1 15 17
S 16ab 15ab 2 16ab. 15ab 8
ab ab 4 4
       
.
min
1
16ab
ab
17 1 1
S ab a b .
4 4 2
ab





     








0,25