C3 chungminh sv

3.6 Biểu diễn bằng logic hình thức và
các phương pháp chứng minh
VD1. Bài toán con khỉ - nải chuối
• Tại(O,x): đối tượng O ở tại vị trí x

Chương 3
Kỹ thuật giải quyết vấn đề
(tiếp)

Ban đầ
B
đầu:
tại(A,4) , tại(B,3) , tại(C,1), tại(D,2)
• Trên(O1,O2): đối tượng O1 nằm trên O2
Muốn:
tại(B,2) , trên(C,B) , trên(A,C), trên(D,A)

Lê Thanh Hương
Khoa CNTT – ĐHBKHN

A
D
C

1

1

B
2

3

Logic mệnh đề (Propositional Logic)

Hành động của khỉ:
• tại(A,x) ⇒ tại (A,y)
• tại(A,x) ∧ tại(O,x) ⇒ tại(A,y) ∧ tại(O,y)
• tại(A,x) ∧ tại(O,x) ⇒ trên(A,O)
• tại(A,x) ∧ tại(O1,x) ∧ tại(O2,x) ⇒
trên(O1,O2)

4

2

Các toán tử
Các phép toán logic

• 1 mệnh đề p là 1 phát biểu chỉ có nhận giá trị đúng (true,
T, 1) hoặc sai (false, F, 0)

• Hội (∧
(∧, and,
and và)
• Tuyển (∨, or, hoặc)
• Phủ định (¬,∼,not, không)

• liên kết với nhau tạo thành câu
• Câu (well formed formulas – các công thức đúng ngữ
pháp)

• Kéo
Ké th
theo ((⇒))
• Tương đương (⇔)

Thứ tự ưu tiên: ¬ ∧ ∨ → ↔

– T và F là câu
– Các biến mệnh đề là câu: P, Q, R, S
– Nếu φ và ψ là câu thì những biểu thức sau cũng là câu:
(φ), ¬φ, φ∨ψ, φ∧ψ, φ→ψ, φ↔ψ
• Các biểu thức logic mệnh đề được xây dựng trên các tên
mệnh đề và các phép toán logic theo quy tắc cú pháp
nhất định
3

A∨B∧C

A∨(B∧C)

A∧B→C∨D

(A∧B)→(C∨D)

A→B∨C↔D

(A→(B∨C))↔D
4

1


Ngữ nghĩa

Bảng chân lý

• Ý nghĩa của một câu là giá trị chân lý của nó {T,F}. Ví dụ
P2,2
P3,1
P1,2
,
,
,
false
true
false
Một số luật đánh giá giá trị chân lý:
¬S
đúng nếu
S sai
S1 ∧ S2 đúng nếu
S1 đúng và
S2 đúng
S1 ∨ S2 đúng nếu
ế
S1 đúng hoặc S2 đúng

• Giá trị chân lý của một biểu thức được tính dựa trên
bảng

g chân lý
ý

• Dễ thấy a⇒b ⇔ ¬a∨b ⇔ ¬b⇒¬a
• ∀biểu thức logic mệnh đề đều có thể đưa về dạng
biểu thức tương đương chỉ chứa phép ∧,¬,∨

¬P1,2 ∧ (P2,2 ∨ P3,1) = true ∧ (true ∨ false)
= true ∧ true = true
5

6

Các phép biến đổi tương đương

Các phép biến đổi tương đương
Hai câu có ý nghĩa tương đương nếu cùng giá trị đúng:

Luật hấp thu:
• (A ∨ (A ∧ B) ≡ A

giao hoán

• (A ∧ (A ∨ B)) ≡ A

Các luật về 0, 1:

kết hợp

• A∧0⇔0

• A∨1⇔1
• ¬1 ⇔ 0

phủ định kép
tương phản

• A∨0⇔A
• A∧1⇔A
• ¬0 ⇔ 1

Luật bài trung:
• ¬A ∨ A ⇔ 1

de Morgan

Luật mâu thuẫn:

phân phối

• ¬A ∧ A ⇔ 0
7

8

2


Hợp giải

Hợp giải

Dạng kết nối chuẩn (Conjunctive Normal Form - CNF)
E.g., (A ∨ ¬B) ∧ (B ∨ ¬C ∨ ¬D)

• Luật hợp giải (Các câu cần được chuyển sang
dạng kết nối chuẩn trước khi hợp giải)

α∨β
¬β ∨ γ

• Luật hợp giải cho CNF:
m1 ∨ … ∨ m n
l1 ∨… ∨ lk,
l1 ∨ … ∨ li-1 ∨ li+1 ∨ … ∨ lk ∨ m1 ∨ … ∨ mj-1 ∨ mj+1 ∨... ∨
mn

α∨γ
• Chứng minh KL: thêm ¬KL vào CSTT để xem
có xung đột không
• Áp dụng hợp giải đến khi xuất hiện mâu
thuẫn

trong đó li và mj bù nhau
E.g., P1,3 ∨ P2,2, ¬P2,2
P1,3
9

10

Chuyển đổi sang CNF

Ví dụ

B1,1 ⇔ (P1,2 ∨ P2,1)

(A∨B)→(C→D)

1. Loại bỏ phép ⇔, thay α ⇔ β bằng
ằ (α ⇒ β)∧(β ⇒ α).
(B1,1 ⇒ (P1,2 ∨ P2,1)) ∧ ((P1,2 ∨ P2,1) ⇒ B1,1)

1. Loại bỏ phép suy ra
¬(A∨B)∨(¬C∨D)

2. Loại bỏ phép ⇒, thay α ⇒ β bằng ¬α∨ β.
(¬B1,1 ∨ P1,2 ∨ P2,1) ∧ (¬(P1,2 ∨ P2,1) ∨ B1,1)
3 Đưa ¬ vào trong sử dụng luật de Morgan và phủ định kép:
3.
(¬B1,1 ∨ P1,2 ∨ P2,1) ∧ ((¬P1,2 ∧ ¬P2,1) ∨ B1,1)
4. Áp dụng luật phân phối đối với phép ∧ :
(¬B1,1 ∨ P1,2 ∨ P2,1) ∧ (¬P1,2 ∨ B1,1) ∧ (¬P2,1 ∨ B1,1)
11

2. Chuyển phủ định vào trong ngoặc
( A B) ( C D)
(¬A∧¬B)∨(¬C∨D)
3. Phân phối
(¬A∨¬C∨D)∧(¬B∨¬C∨D)
12

3


Thuật toán hợp giải của
Robinson

Ví dụ
Chuyển đổi các công thức sau về dạng kết nối
chuẩn:

Chứng minh bằng phản chứng: CSTT ∧¬KL không thoả
mãn

1. P ∨ (¬P ∧ Q ∧ R)
2. (¬P ∧ Q) ∨ (P ∧ ¬Q)
3. ¬(P ⇒ Q) ∨ (P ∨ Q)
4. (P ⇒ Q) ⇒ R
5. (P ⇒(Q ⇒ R)) ⇒ ((P ∧ S) ⇒ R)
6. (P ∧ (Q ⇒ R)) ⇒ S
7. P ∧ Q ⇒ R ∧ S
13

Thuật toán hợp giải của Robinson
Chứng minh bằng phản chứng: CSTT ∧¬KL không thoả mãn
Giả sử có GT1, GT2,…,GTn. Cần CM KL → phản chứng
GT1
…
><
GTn
¬KL

Viết mỗi GTi, ¬KL trên 1 dòng
Đưa GTi, ¬KL về dạng chuẩn CNF
( 1∨…∨pn) ∧ (q
(p
( 1∨…∨qn) (*)
Tách mỗi dòng (*) thành các dòng con:
p1∨…∨pn
q1∨…∨qn
15

14

Thuật toán hợp giải của Robinson
Xét 1 cặp dòng
u) ¬p∨q
v) p∨r

Hợp giải:
w) q∨r

Vô lý xuất hiện khi
i) ¬t
ii) t

⇒ đpcm
16

4

Ví dụ

Ví dụ
VD1:
1. a
2. a→b
3. b→(c→d)
4. c
Chứng minh d

VD3:
1. p
2. p→q
3. q∧r∧s→t
4. p→u
5. v→w
6 u→v
6.
7. v→t

VD2:
1. a∧b→c
2. b∧c →d
3. a
4. b
Chứng minh d

VD4:
((a∨b)∧c)→(c∧d)
) ) (

)
1. ((
2. a∧m∧d→f
3. m→b∧c
4. a→c
5. (a∧f)→(¬e∨g)
6 (m∧f)→g
6.
Cho a,m. CM g

Cho r,s. CM t
17

Logic vị từ cấp 1
(First Order Logic – FOL)

Ví dụ 5
1.
2.
3.
4.
5.
6.

18

a1 ∨ a2 ⇒ a3 ∨ a4
a1 ⇒ a5
a2 ∧ a3 ⇒ a5
a2 ∧ a4 ⇒ a6 ∧ a7

a5 ⇒ a7
a1 ∧ a3 ⇒ a6 ∨ a7

• Cho các mệnh đề
ề a1, a2 đúng.
• Đưa các biểu thức logic trên về dạng chuẩn
• áp dụng phương pháp hợp giải của Robinson, chứng
minh a7 đúng.
19

• Logic mệnh đề chỉ xử lý thông tin kiểu sự kiện đúng hoặc sai
như “trời
trời mưa”
mưa .
• Với logic vị từ cấp 1, biến được dùng thay cho các đối tượng
cụ thể.
• FOL cho phép biểu diễn các đối tượng, thuộc tính của đối
tượng, và quan hệ giữa các đối tượng.
• Vị từ p(x,…y) là một phát biểu chứa các biến x,…y sao cho
khi x,…y nhận giá trị cụ thể thì p(x,…y) nhận giá trị đúng hoặc
sai
sai.
• VD. Nếu p(x,y,z) nghĩa là x.y = z thì tính chất giao hoán của
phép nhân x.y = y.x được biểu diễn dưới dạng
∀x,y p(x,y,z) ⇒ p(y,x,z)
• Logic vị từ cấp 1 còn sử dụng thêm các toán tử ∃, ∀
20

5

Chuyển đổi câu sang dạng logic vị từ

Các phép biến đổi tương đương
1. Loại bỏ dấu suy ra
α↔β⇒(α→β)∧(β→α)
β (
β) (β
)
α→β⇒¬α∨β

2. Chuyển phủ định vào trong ngoặc
¬(α∨β)⇒¬α∧¬β
¬(α∧β)⇒¬α∨¬β
¬¬α⇒α
¬∀x,α⇒∃x,¬α
∀x α⇒∃x α
¬∃x,α⇒∀x,¬α

3. Đặt tên các biến khác nhau
∀x, ∃y,(¬P(x)∨∃x,Q(x,y))⇒∀x1,∃x2,(¬P(x1)∨∃x3,Q(x3,y2)
21

Hợp giải Robinson cho logic vị từ

Phép gán trị
VD: Định lý đường trung bình:
r1: trđ(U,XY)
trđ(U XY) ∧ trđ(V,XZ)
trđ(V XZ) ⇒ ss(UV,YZ)

ss(UV YZ)
X

U

Y

A

V

L

Z

D

22

I

1. Viết mỗi GTi, ¬KL trên 1 dòng
2. Đưa GTi, ¬KL về dạng chuẩn CNF
∀x1∀x2…∀xn [p1(…)∨…∨pn(…)] ∧ [q1(…)∨…∨qm(…)] (*)
3 Tách mỗi dòng (*)
3.
( ) thành các dòng con:
∀x1∀x2…∀xn [p1(…)∨…∨pn(…)]
∀x1∀x2…∀xn [q1(…)∨…∨qm(…)]
tất cả đều với ∀

4. Hợp giải:
u) ¬p(x1,x2,…,xn) ∨ q(…)
⇒ w)) q(
q(…)) ∨ r(…)
( ) với p
phép
pg
gán trịị
v) p(y1,y2,…,yn) ∨ r(…)
z1 z1
= x1 , y1 ,..., xznn , yznn
5. Vô lý xảy ra khi
i) ¬p(x1,x2,…,xn)
ii) p(y1,y2,…,yn)
với phép gán trị
24
= z1 , z1 ,..., zn , zn

{

θ

B

Phép gán trị θ ={A/X,B/Z,D/Y,L/U,I/V}:
• r1θ: trđ(L,AD) ∧ trđ(I,AB) ⇒ ss(LI,DB)
23

θ

{

x1

y1

xn

yn

}

}

6


Ví dụ về bước 4

Ví dụ về bước 4 (tiếp)

• Sử dụng phép gán trị nào để hợp giải
P(a,x,b), và
¬P(y,z,z)

• Sử dụng phép gán trị nào để hợp giải
P(a,x,x,b), và
¬P(y,y,z,b)

⎧

⎫
Phép gán trị θ = ⎨ a , b , b ⎬
⎩ y z x⎭

• P(a,b,b)
• ¬P(a,b,b)
25

26

Ví dụ về hợp giải

Ví dụ về bước 4 (tiếp)
• Cho các sự
ự kiện
ệ p(a,b),
p( , ), p(
p(c,d),
, ), q(d,c,c)
q( , , ) đúng
g
• Cho luật
p(x,y) ∧ q(y,x,x) ⇒ r(x,y)
• Sử dụng các phép gán trị với luật trên, hãy đưa ra các
sự kiện mới đúng.

∀x P ( x) → Q( x)
∀x ¬P( x) → R( x)
∀x Q( x) → S ( x)
∀x R ( x) → S ( x)

Chuyển về dạng chuẩn

• Gợi ý:
– Thử với
ới p(x,y)
( ) ≡ p(a,b)
( b) h
hoặc
ặ p(x,y)
( ) ≡ p(c,d)
( d)

Hợp giải 1 và 3

5.¬P( x) ∨ S ( x)
Hợp giải 2 và 5

6.R( x) ∨ S ( x)

1. ¬P( x) ∨ Q( x)
2. P ( x ) ∨ R ( x )
3. ¬Q( x) ∨ S ( x)

Hợp giải 4 và 6

7.S ( x)

4. ¬ R ( x ) ∨ S ( x )
27

28

7


Bài toán con khỉ - nải chuối
• tại(C,1)
• tại(B,3)
D
• tại(A,4)
C
• tại(D,2)
• tại(A,x) ⇒ tại (A,y)
1
2
• tại(A,x) ∧ tại(O,x) ⇒ tại(A,y) ∧ tại(O,y)
• tại(A,x)
tại(A x) ∧ tại(O,x)
tại(O x) ⇒ trên(A,O)
trên(A O)
• tại(A,x) ∧ tại(O1,x) ∧ tại(O2,x) ⇒ trên(O1,O2)
KL: tại(B,2) ∧ trên(C,B) ∧ trên(A,C) ∧ trên(D,A)

Bài tập
• Cho tập các phát biểu:
A

B
3

4

– John owns a dog
– Anyone who owns a dog is a lover of animals
– Lovers of animals do not kill animals

• Chứng minh:
– John does not kill animals.

¬KL: ¬ tại(B,2) ∨ ¬ trên(C,B) ∨ ¬ trên(A,C) ∨ ¬ trên(D,A)
29

30

Nhận xét

Bài tập
• Nếu
ếu xem
e một
ột ai
a đó lừa
ừa dố
dối người
gườ khác
ác là
à kẻ
ẻ bịp bợ
bợm
và bất kỳ ai đồng tình với kẻ bịp bợm cũng là kẻ bịp

bợm. Trong tập thể có một người nhút nhát đồng tình
với kẻ lừa dối thì chắc chắn có 1 tên bịp bợm tính
tình nhút nhát.

• Thuật giải Robinson vẫn vấp phải sự bùng nổ tổ hợp.
Có thể áp
p dụng
g các heuristics:
–
–
–
–
–

Chiến lược ưu tiên các biểu thức đơn
Chiến lược đơn giản hóa các biểu thức
Chiến lược giảm số lần hợp giải
Chiến lược sắp thứ tự các hợp giải
Chiến lược tập tựa

• Thuật giải Robinson được áp dụng trong CM định lý
tự động. 2 nhược điểm:
– con người không tư duy theo cách này
– chúng ta bị mất ngữ nghĩa và nội dung thông tin khi chuyển
về dạng câu CNF
31

32

8

3.7.1 Phương pháp thử và sai
(test & set)

3.7 Một số phương pháp GQVĐ khác
•

Phương pháp thử và sai (test & set)

•

Phương pháp giải quyết bài toán tổng quát
(General Problem Solving - GPS)

•

Phương pháp thỏa mãn ràng buộc (Constraint
S ti fi ti Method)
Satisfication
M th d)

•
•
•

Xuất phát từ n0 : Mở = {n0}; Đóng = ∅
Lan dần
ầ xuống
ố

Bí quyết: tại mỗi thời điểm, chọn n ∈ Mở để xét:

•
•
•
•
•

Mở = queue: d(n) min
Mở = stack: d(n) ?
TKCT: g(n) = c(n0,n) min
TKCT*: f(n) = g(n) + h(n) min
Thử và sai: n ← get random(Mở)

n0

Đóng (đã)
n
Γ(n)
Đích

33
Lê Thanh Hương – Khoa CNTT - ĐHBKHN

3.7.2 Phương pháp GPS

3.7.3 Phương pháp thỏa mãn ràng buộc

Về lý thuyết tốt nhất, trên thực tế không tốt lắm
TKCT*:

Lấy n ∈ Mở: f(n) = g(n) + h(n) min
GPS:
•
Với ∀n ∈ Mở, xác định sự khác biệt giữa n và Đích:
•
•

•

Mục đích: Tìm các trạng thái bài toán sao cho thỏa mãn tập
ràng buộc nào đó
Quá trình tìm lời giải gồm 2 phần:

•
–
–

Δ = {δ1, …, δm}

Chọn sự khác biệt quan trọng nhất δi.
Chọn biện pháp Oj phù hợp để giảm sự khác biệt δj bằng cách:
– Xác định tập các phép biến đổi (toán tử) trong không gian
O={O1, …, On}

– Xâyy dựng
ự g ma trân M với các cột
ộ là các toán tử,, các hàng
g là
các sự khác biệt:
M = (mij), i=1÷m, j = 1÷n

mij = 1 nếu Oj làm giảm δi
0 nếu ngược lại

Tìm kiếm trong KGBT các ràng buộc
Tìm kiếm trong KGBT ban đầu

Nội dung:
Thực hiện 1 → 5 cho đến khi tìm được lời giải đầy đủ hoặc khi tất cả
các đường đều đã duyệt nhưng không cho kết quả.
1.
2.
3
3.
4.
5.

Cho 1 đỉnh n ∈ MO
Áp dụng các luật suy dẫn với các ràng buộc vào đỉnh đã chọn để sinh
ra tất cả các ràng buộc mới có thể có
Nế tập các ràng b
Nếu
buộc
ộc mới có mâ
mâu th
thuẫn
ẫn → thông báo đường
đ ờng đi hiện
tại đi vào ngõ cụt
Nếu tập ràng buộc mô tả lời giải đầy đủ của bài toán → dừng, thông
báo “thành công”. Ngược lại sang bước 5.

AD các luật trong KGTT, tạo các lời giải bộ phận phù hợp với tập các
ràng buộc hiện thời. Thêm các lời giải bộ phận này vào đồ thị tìm
kiếm.

35
Lê Thanh Hương – Khoa CNTT - ĐHBKHN

34

Lê Thanh Hương – Khoa CNTT - ĐHBKHN

36
Lê Thanh Hương – Khoa CNTT - ĐHBKHN

9