Nhóm liên tục các phép biến đổi của một không gian tôpô

1

MỤC LỤC
Trang
LỜI NÓI ĐẦU.......................................................................................... 2
Đ1.Nửa nhóm các phép biến đổi trên một tập........................................... 4
Đ2.Nhóm liên tục các phép biến đổi trên một tập..................................... 12
Đ3. Tổng quan về nhóm tô pô....................................................................18
Đ4.Nhóm liên tục các phép biến đổi .........................................................25
KẾT LUẬN...............................................................................................30
TÀI LIỆU THAM KHẢO.........................................................................31


2

LỜI NÓI ĐẦU
Nhóm các phép thế bậc hữu hạn là một lớp nhóm đã được khảo sát từ giai
đoạn đầu tiên khi lý thuyết nhóm ra đời, và đã tỏ ra có nhiều ứng dụng quan trọng
trong Đại số nói riêng và Toán học nói chung. Có thể mở rộng khái niệm nhóm
phép thế bậc hữu hạn theo nhiều hướng khác nhau. Trước hết, người ta xét nửa
nhóm các phép biến đổi trên một tập hợp tuỳ ý, từ đó khảo sát lớp nhóm đối xứng
trên tập hợp đó (nghĩa là nhóm các song ánh từ một tập hợp X tuỳ ý - không nhất
thiết hữu hạn - lên chính nó với phép toán là phép hợp thành các ánh xạ). Từ đó,
xét lớp nhóm đặc biệt hơn: Nhóm liên tục các phép biến đổi của một không gian
tôpô.
Khoá luận của chúng tôi đi theo hướng thứ hai này
Khoá luận gồm bốn phần
Đ1. Nửa nhóm các phép biến đổi trên một tập.Trong tiết này, trước hết chúng tôi
xét nửa nhóm đầy đủ các phép biến đổi trên một tập hợp tuỳ ý và đi sâu vào nửa
nhóm ngược các phép biến đổi bộ phận một - một của tập hợp đó. Các kết quả cần
chú ý là mệnh đề 1.2.5 và định lý 1.3.14.

Đ 2. Nhóm các phép biến đổi trên một tập.

Trong tiết này, chúng tôi xét

nhóm các song ánh từ một tập X lên chính nó với X là một tập tuỳ ý. Sau đó, xét
lớp nhóm đó trong trường hợp bản thân X là một nhóm. Các kết quả cần chú ý là
mệnh đề 2.1.5, mệnh đề 2.2.8.
Đ3. Tổng quan về nhóm tôpô.Trong tiết này, chúng tôi nhắc lại những khái niệm
và tính chất cơ bản của nhóm tôpô để làm cơ sở cho việc trình bày tiết sau.
Đ 4: Nhóm liên tục các phép biến đổi. Đây là phần chính của luận văn. Dựa trên
các kết quả đã trình bày trong tiết 2 và tiết 3, chúng tôi xét nhóm liên tục các phép
biến đổi của không gian tôpô, đặc biệt đi sâu vào khảo sát nhóm liên tục và bắc cầu
của không gian tôpô đó và đã thu được kết quả bước đầu (mệnh đề 4.2, mệnh đề
4.3).


3

Khoá luận được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS Lê Quốc
Hán. Nhân dịp này tác giả bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đối với thầy về những sự giúp đỡ
nhiệt tình và những góp ý thiết thực cho tác giả trong quá trình hoàn thành khoá luận.
Tác giả cũng xin cảm ơn các thầy giáo,cô giáo trong tổ đại số; các thầy giáo, cô
giáo trong khoa Toán Đại Học Vinh và tập thể bạn bè lớp 44B-toán đã động
viên,giúp đỡ tác giả hoàn thành khoá luận này.
Vì trình độ và thời gian có hạn nên khoá luận chắc chắn còn nhiều thiếu sót,rất
mong nhận được sự đóng góp ý kiến của bạn đọc để khoá luận này được hoàn
thiện hơn.
Tác giả:

4

Đ1. NỬA NHÓM CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TRÊN MỘT TẬP.
Tiết này trình bày một số khái niệm của lí thuyết nửa nhóm và bước đầu đi sâu
vào khảo sát lớp nửa nhóm các phép biến đổi trên một tập.
1.1.Các khái niệm cơ bản.
1.1.1.Định nghĩa: i) Giả sử S là một tập hợp tuỳ ý. Khi đó một ánh xạ từ S S
vào S gọi là một phép toán hai ngôi trên S. Nếu ánh xạ đó được kí hiệu là (.) thì
ảnh của phần tử (a,b)  S S trong S được kí hiệu là a.b hay đơn giản hơn : ab.
ii) Tập hợp S khác rỗng cùng với một phép toán hai ngôi trên nó được gọi là một
phỏng nhóm.
iii) Phỏng nhóm S được gọi là nửa nhóm nếu phép toán hai ngôi trên S có tính
chất kết hợp, nghĩa là (ab)c = a(bc),  a,b,c S.
1.1.2. Định nghĩa: Giả sử S là một phỏng nhóm . Khi đó, phần tử e S được gọi
là đơn vị của S nếu ea = ae = a,  a S.
1.1.3. Chú ý : Phần tử đơn vị của phỏng nhóm S, nếu có, sẽ duy nhất.Thật vậy,
nếu e và e, là các phần tử đơn vị của S thì ee’ = e’(do e là đơn vị ) và ee’ = e ( do e’ là đơn
vị), do đó e’ = e.
Trong trường hợp S không có đơn vị thì ta ghép thêm một kí hiệu 1  S và xét tập
hợp S1 = S  {1},mà mở rộng phép toán của S lên S1 bằng cách đặt 1.a = a.1 = a,
 a  S1.Khi đó S1 trở thành một phỏng nhóm và nếu S là nửa nhóm thì S 1 cũng là

một nửa nhóm (có đơn vị).Các nửa nhóm có đơn vị gọi là vị nhóm.
1.1.4. Định nghĩa: Với mỗi tập hợp X tuỳ ý, xét tập hợp ℑX các ánh xạ từ X vào
chính nó.
Tích (hay hợp thành) của hai phép biến đổi  và  của tập X là phép biến đổi 
được định nghĩa bởi :
(  )(x) =  (  (x)),  x X.
Khi đó ta cũng có  (  ) = (  )  .
Thật vậy, với mọi x X ta có :

(  (  ))(x) =  ((  )(x)) =  (  )(  (x)) = (  )(  (x)) = ((  )  )(x).
Nên (  )  =  (  ).


5

Do đó tập ℑX tất cả các phép biến đổi của tập X là một nửa nhóm đối với phép hợp
thành .
Ta gọi ℑX là nửa nhóm đầy đủ các phép biến đổi trên X.

•

Ánh xạ  : X → Y là ánh xạ lên (hay còn gọi là toàn ánh) nếu mỗi phần tử thuộc

Y là ảnh của ít nhất một phần tử thuộc X.

• Ánh xạ  : X → Y là ánh xạ một -

một ( hay là đơn ánh ) nếu các phần tử khác

nhau thuộc X có ảnh qua  là các phần tử khác nhau thuộc Y.

•

Ánh xạ một - một từ tập X lên chính nó được gọi là một phép thế của tập X,

ngay cả khi X vô hạn.

• Tập GX

tất cả các phép thế của tập X với phép nhân ánh xạ lập thành một nhóm

và được gọi là nhóm đối xứng trên X.
1.1.5. Định nghĩa:

• Tập con T

  của một phỏng nhóm được gọi là phỏng nhóm con của nó nếu từ

a T,b T  ab T.
Giao của một họ tuỳ ý các phỏng nhóm con hoặc là  hoặc là phỏng nhóm con.

•

Nếu A   , A  S thì giao của tất cả các phỏng nhóm con của S chứa A là một

phỏng nhóm con <A> của phỏng nhóm S chứa A và được chứa trong mọi phỏng
nhóm con của S chứa A và nói <A> là phỏng nhóm con của phỏng nhóm S sinh bởi A.
Nếu <A> = S thì ta gọi A là tập sinh của phỏng nhóm S.
Nếu S là nửa nhóm thì phỏng nhóm con của S cũng là nửa nhóm và dùng từ nửa
nhóm con thay cho từ phỏng nhóm con.
Nếu S là phỏng nhóm,thì lực lượng |S | của tập S được gọi là cấp của S.
1.1.6. Định nghĩa : Phần tử e thuộc phỏng nhóm S được gọi là đơn vị trái(phải)
nếu ea = a (ae = a)  a S.
 Phần tử e thuộc phỏng nhóm S được gọi là đơn vị hai phía ( hay đơn vị ) nếu e
vừa là đơn vị trái vừa là đơn vị phải.
Nếu S chứa đơn vị trái e và đơn vị phải f thì e = f .


6

 Phần tử z thuộc phỏng nhóm S được gọi là phần tử không bên trái (phải) nếu za = z
(az=z)  a Z. Phần tử z thuộc phỏng nhóm S được gọi là phần tử không nếu z vừa
là phần tử không bên trái, vừa là phần tử không bên phải nếu z1 là phần tử
không bên trái, z2 là phần tử không bên phải thì z1=z2.
1.2. Phần tử khả nghịch của nửa nhóm các phép biến đổi.
1.2.1. Định nghĩa: Giả sử S là một nửa nhóm với phần tử đơn vị 1. Nếu p và q là
các phần tử thuộc S sao cho pq =1, thì ta gọi p là nghịch đảo bên trái của q,còn q
gọi là nghịch đảo bên phải của p.
1.2.2. Định nghĩa: Phần tử khả nghịch bên phải (trái) thuộc S được định nghĩa là
phần tử thuộc S có một nghịch đảo bên phải (trái) thuộc S. Vậy nếu pq = 1 thì p
khả nghịch bên phải, còn q khả nghịch bên trái.
1.2.3. Định nghĩa: Phần tử khả nghịch thuộc S là một phần tử vừa khả nghịch bên
trái vừa khả nghịch bên phải.
1.2.4. Mệnh đề[1]: Giả sử S là một nửa nhóm với phần tử đơn vị là 1. Khi đó ta có:
(i) Tập P[Q] tất cả các phần tử khả nghịch bên phải (trái) của S là một nửa nhóm
con với luật giản ước phải (trái) và chứa 1.
(ii) Tập U tất cả các phần tử khả nghịch thuộc S là một nhóm con của S và U = P∩ Q.
Mỗi phần tử khả nghịch có một phần tử nghịch đảo hai phía duy nhất thuộc U’ và
không có nghịch đảo bên trái và bên phải nào thuộc tập đó.
(iii) Mỗi nhóm con của S chứa 1 đều được chứa trong U.
Từ các định nghĩa và định lý ta có các mệnh đề sau:
1.2.5.Mệnh đề: Giả sử ℑX là nửa nhóm đầy đủ các phép biến đổi trên tập X thì
nửa nhóm con các phần tử khả nghịch bên phải trong ℑX gồm tất cả các ánh xạ
(một - một ) từ X vào X.
Chứng minh. Giả sử f: X  X khả nghịch phải.Khi đó tồn tại ánh xạ
g: X  X sao cho g  f =1.
Ta chứng minh f đơn ánh.
Thật vậy, nếu f(x) = f(y) ⇒ g[f(x)] = g[f(y)] ⇒ 1X(x) =1X(y)
⇒x =y

7

 f đơn ánh.

Ngược lại f đơn ánh ta chứng minh khả nghịch phải.
Ta xây dựng ánh xạ g: X  X như sau:
 y  f ( x)  x (do f đơn)

 y  f ( X )  a 0 (với a0 là phần tử cố định thuộc

X)
1.2.6. Mệnh đề: Giả sử ℑX là nửa nhóm đầy đủ các phép biến đổi trên tập hợp X
thì nửa nhóm con các phần tử khả nghịch bên trái trong ℑX gồm tất cả các toàn
ánh từ X lên X.
Chứng minh:
Giả sử f: X  X khả nghịch trái. Khi đó tồn tại ánh xạ
g : X  X sao cho fog = 1X.
Ta chứng minh f toàn ánh.
Thật vậy  y X,  g(y)  X sao cho:
f(g(y)) = (f0g)(y) = y.
⇒ f toàn ánh.
Ngược lại f toàn ánh,ta chứng minh f khả nghịch trái.
Do f : X  X toàn ánh nên với mỗi y  X luôn tồn tại f-1(y).Với mỗi tập f-1(y) ta
cố định một phần tử xy (tức là f(xy) = y ).
Xây dựng ánh xạ

g: X  X sao cho g(y) = xy

Khi đó ta có: (f  g)(y) = f(g(y)) = f(xy) = y.
⇒ f  g = 1X ⇒ f khả nghịch trái (đpcm).
1.2.7. Hệ quả : Nhóm tất cả các phần tử khả nghịch trong ℑX trùng với nhóm đối
xứng GX .
1.3. Nửa nhóm ngược các phép biến đổi bộ phận một - một.
Tiết này dành cho việc khảo sát nửa nhóm ngược các phép biến đổi bộ phận
một - một của một tập hợp X cho trước.Trước hết, ta nhắc lại các định nghĩa và
tính chất đơn giản của nửa nhóm chính quy và nửa nhóm ngược.


8

1.3.1. Định nghĩa: Giả sử S là một nửa nhóm.
i) Phần tử a thuộc S được gọi là phần tử chính qui nếu tồn tại phần tử x thuộc S
sao cho axa = a.
ii) Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm chính qui nếu mọi phần tử của S đều là
phần tử chính qui.
1.3.2. Chú ý: Nếu axa = a thì e = ax là một luỹ đẳng. Hơn nữa ea = a.
Thật vậy, e 2 = ( ax)( ax) = ( axa)x = ax= e và ea = axa= a. Tương tự f = xa cũng là
một luỹ đẳng của S và af = a. Ta cũng chú ý rằng nếu a là phần tử chính qui của
nửa nhóm S thì iđêan chính phải aS 1 = a  aS sinh bởi a bằng aS , vì a = af kéo
theo a aS.Tương tự, S1a = Sa. Về sau ta sẽ dùng hai chú ý đó mà không nói thêm
gì .
1.3.3. Bổ đề : Phần tử a thuộc nửa nhóm S là phần tử chính qui khi và chỉ khi
iđêan chính phải (trái) của nửa nhóm S sinh bởi a được sinh bởi một luỹ đẳng e
nào đó, nghĩa là aS1 = eS1 (hay S1a =S1e).
Chứng minh: Nếu a là phần tử chính qui thì axa = a với x nào đó thuộc S. Khi đó
e = ax là phần tử luỹ đẳng của S và ea = a. Khi đó eS1 = aS1.
Đảo lại, giả sử rằng aS1 = eS1 và e2 = e.Khi đó a = ex với x nào đó thuộc S1. Vì
vậy ea = e2x = ex = a; e = ay với y là một phần tử nào đó của S 1. Nếu y = 1 thì e =

a và a = ea = aa nên a =aa = aaa; nếu y  S thì a = ea = aya nên a  aSa. Suy ra a
chính qui.
1.3.4. Định nghĩa: Hai phần tử a và b của nửa nhóm S được gọi là ngược nhau
nếu aba = a và bab = b.
1.3.5.Bổ đề: Nếu a là một phần tử chính qui của nửa nhóm S thì a có ít nhất một
phần tử b thuộc S ngược với nó.
Chứng minh: Vì a là phần tử chính qui của S nên trong S tồn tại phần tử x sao
cho axa = a.Đặt b =xax. Khi đó b thuộc S và aba = a(xax)a = ax( axa) = axa = a.
Tương tự, có bab = (xax)a(xax) = x(axa) xax = xa(xax) = (xax)ax = xax = b.


9

1.3.6.Bổ đề: Hai phần tử thuộc cùng một nửa nhóm S là nghịch đảo của nhau
trong một nhóm con nào đó của S khi và chỉ khi chúng ngược nhau và giao hoán
được với nhau.
Chứng minh: Giả sử a và b là các phần tử ngược nhau và giao hoán được với nhau
thuộc một nửa nhóm S và e = ab. Khi đó e là luỹ đẳng và ba = e, nên ea = aba = a
và ae = aba = a.Tương tự eb = be = b. Do đó a và b là các phần tử khả nghịch
trong eSe và thuộc nhóm con tối đại He của S chứa e như một đơn vị của nó. Vì
ab = ba = e nên a và b là nghịch đảo của nhau trong S.
1.3.7. Định nghĩa: Nửa nhóm ngược là nửa nhóm trong đó mỗi phần tử có một
phần tử ngược duy nhất.
1.3.8.Bổ đề. Nếu e,f,ef và fe là các luỹ đẳng thuộc nửa nhóm S thì ef và fe ngược
nhau.
Chứng minh: Ta có (ef)(fe)(ef) = ef2e2f = ef.ef = (ef)2 = ef.
Tương tự ta có

(fe)(ef)(fe) =fe ⇒ ef và fe ngược nhau.

1.3.9.Định lý. Ba điều kiện sau đối vơí một nửa nhóm là tương đương:
i) S chính quy và hai luỹ đẳng bất kì của nó giao hoán với nhau.
ii) Mỗi iđêan chính phải và mỗi iđêan chính trái của S có một phần tử sinh luỹ
đẳng duy nhất .
(iii) S là nửa nhóm ngược (tức là mỗi phần tử thuộc S có một phần tử ngược duy
nhất).
Chứng minh. (i) ⇒(ii):
Vì e và f là các luỹ đẳng cùng sinh ra một iđêan chính phải tức
eS = fS ⇒ ef = f và fe = e.
Nhưng theo (i) ta có: ef = fe nên e = f.
(ii)⇒ (iii) : Ta có phần tử a thuộc nửa nhóm S là chính qui khi và chỉ khi iđêan
chính phải (trái) của nửa nhóm S sinh bởi một luỹ đẳng e nào đó, tức aS1 = eS1
[S1a = S1e] nên suy ra nửa nhóm S chính quy.
Bây giờ ta chỉ cần chứng minh duy nhất của phần tử ngược.
Thật vậy, giả sử b và c ngược với a. Khi đó ta có


10

aba = a; bab = b; cac = c
Từ đó abS = aS = acS và Sba = Sa = Sca, nên ab = ac và ba = ca.
Do đó b = bab = bac = cac = a.
(iii)⇒(i). Rõ ràng một nửa nhóm ngược là chính qui.
Ta chỉ cần chứng minh hai luỹ đẳng bất kì giao hoán với nhau.
Trước hết ta chứng minh tích ef của hai luỹ đẳng e và f là một luỹ đẳng. Thật
vậy,giả sử a là phần tử ngược (duy nhất) của ef . Khi đó ta có :
(ef)a(ef) = ef ; a(ef)a = a.
Đặt b = ae ⇒ (ef)b(ef) = (ef)ae(ef) = efae2f = efaef = ef;
b(ef)b = ae2fae =aefae = ae = b.
⇒ b là phần tử ngược của ef , theo (iii) ae = b = a.

Nhưng một luỹ đẳng là phần tử ngược với chính nó và theo (iii) ta suy ra a = ef
⇒ ef là luỹ đẳng.
Bây giờ giả sử e và f là hai luỹ đẳng bất kì.
Theo trên ta có ef và fe là luỹ đẳng, nên theo bổ đề 1.3.8. ta có chúng ngược
nhau.Vậy ef và fe đều ngược với ef, do đó ef = fe (đpcm).
1.3.10. Định nghĩa: Ta gọi phép biến đổi bộ phận một -một của tập X là một ánh
xạ một - một,  từ một tập con Y của X lên tập con Y’ = Y của X:
Ký hiệu

 -1: Y  Y

y’  -1 = y

(y Y;y’  Y )  y’ = y  .

Giả sử ℑX là tập tất cả các phép biến đổi bộ phận một - một của tập X,bao gồm cả
ánh xạ từ tập rỗng lên chính nó.“Phép biến đổi rỗng’’ đó ta sẽ kí hiệu là 0.
1.3.11. Bổ đề. Tích  của hai phần tử  ,   ℑX được định nghĩa như sau:
Giả sử Y và Z là các miền xác định tương ứng của  và  . Nếu Y ∩ Z =  thì ta
đặt  = 0.
Ngược lại, giả sử W =( Y ∩ Z ) 

-1

⇒  là cái hợp thành của các phép biến đổi

 | W và  | W theo nghĩa thông thường. Khi đó ta có  là ánh xạ một -một từ

tập con W lên W. Do đó  thuộc ℑX nên ℑX là một nửa nhóm gọi là nửa nhóm
ngược đối xứng trên tập X.

11

Hai bổ đề sau rút trong[1]
1.3.12. Bổ đề: Đối với các phần tử a, b tuỳ ý thuộc một nửa nhóm ngược S có các
hệ thức :
(i)

(a-1)-1 = a.

(ii)

(ab)-1 =b-1a-1.

1.3.13.Bổ đề: Nếu e và f là các luỹ đẳng của nửa nhóm ngược S thì
Se  Sf = Sef

(=Sfe).

1.3.14.Định lý: Mỗi nửa nhóm ngược tuỳ ý S đẳng cấu với một nửa nhóm con
ngược của nửa nhóm ngược đối xứng ℑS tất cả các phép biến đổi bộ phận một một của tập S.
Chứng minh:
* Với mỗi a ∈ S xác định ánh xạ
 a : Sa-1(=Saa-1)  Sa-1a ( =Sa )

x  x  a = xa
Khi đó

 a  1 : Sa (=Sa-1a )  Saa-1 ( = Sa-1 ).

Nếu x ∈ Saa-1 và y ∈ Sa-1a thì
1
x  a  a = xaa-1 = x

Vì mọi luỹ đẳng e là đơn vị phải trong iđêan Se.
1
y  a  a = ya-1a = y
1
Do đó  a và  a là các ánh xạ một – một ngược nhau.

Vậy  a  ℑs và 

a

1

1
= a .

* Bây giờ ta phải chứng tỏ rằng a   a là đẳng cấu từ S  ℑs.
Thật vậy,giả thiết rằng  a =  b (a,b  S).
Khi đó Saa-1= Sbb-1; nên aa-1= bb-1 (theo định lý 1.3.9 ii ) và x  Saa-1
⇒ xa = x  a = x  b = xb. Vì a  Saa-1,nên a-1a = a-1b.
Do đó a = aa-1a = aa-1b = bb-1b = b.
Vậy ánh xạ a   a là một - một.
* Cuối cùng ta phải chứng minh  a  b =  ab (a,b  S).


12

Vì (xa)b = x(ab) với x bất kì thuộc S,nên ta chỉ cần chứng tỏ  a  b và  ab có cùng
một miền xác định.
a

Saa1

b

Sa1
a

Sbb-1

Sb1
b

Ta có miền xác định của ánh xạ  ab là tập S(ab)(ab)-1.
1
Còn miền xác định của ánh xạ  a  b là tập (Sa-1a  Sbb-1)  a . Theo 1.3.13 ta có
1
(Sa-1a  Sbb-1)  a = Sa-1abb-1 = Sabb-1.
1
Theo 1.3.12 ta có (Sa-1a  Sbb-1)  a = Sabb-1a-1 = S(ab)(ab)-1(đpcm).

Đ2. NHÓM CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI CỦA MỘT TẬP.
Trong tiết này, chúng ta xét nhóm G các phép biến đổi của một tập hợp X
cho trước. Thực chất G là nhóm con nào đó của nhóm đối xứng GX .
2.1: Nhóm các phép biến đổi của 1 tập.
2.1.1: Định nghĩa:

Giả sử X là tập hợp tuỳ ý, GX là nhóm đối xứng của X, GX ={f: X  X/ f là song
ánh}. Khi đó mỗi nhóm con G của GX được gọi là một nhóm các phép biến đổi của X.
Như vậy, ánh xạ đồng nhất 1x của GX thuộc G, và nếu f , g  G thì g  f và f -1 (ánh
xạ ngược của f) cũng thuộc G.
2.1.2: Định nghĩa: Giả sử G là 1 nhóm các phép biến đổi của tập hợp X. Khi đó G
được gọi là bắc cầu, nếu với mọi x,y  X, tồn tại f  G sao cho f (x) = y.
Nói riêng, GX là một nhóm các phép biến đổi bắc cầu của X.
2.1.3. Ví dụ: Giả sử Gn là nhóm tất cả các phép biến đổi của tập hữu hạn X n gồm n
phần tử, chẳng hạn Xn = {1,2,...,n}. Khi đó Gn chính là nhóm tất cả các phép thế


13

bậc n, Gn = Sn và S n = n!.Mỗi phép thế được phân tích một cách duy nhất thành
tích các vòng xích độc lập. Khi n  3, Gn không giao hoán.
2.1.4. Định nghĩa: i) Nhóm G được gọi là nhóm các phép biến đổi của tập hợp
,nếu với mỗi phần tử x  G đặt tương ứng được với một phép biến đổi x*, x* =

(x) của  sao cho (xy) = (x).(y) với mọi x,y  G. Khi đó G* là nhóm các phép biến
đổi của tập hợp X theo ý nghĩa của định nghĩa 2.1.1, còn : G  G* là một ánh xạ
đồng cấu từ G lên G*.
ii) Hạt nhân của
đổi G. Nếu

 được gọi là hạt nhân không hữu hiệu của nhóm các phép biến

 là đẳng cấu, thì nhóm G được gọi là nhóm các phép biến đổi hữu

hiệu. Trong trường hợp này, G có thể được đồng nhất với G* bằng cách đặt x = x*
và xem rằng mỗi phần tử thuộc G là một phép biến đổi của tập hợp  .

iii) Nhóm G các phép biến đổi của tập hợp  được gọi là bắc cầu nếu G* bắc cầu,
nghĩa là nếu với hai phần tử ,    tìm được một phần tử x  G sao cho x* () =  .
iv) Giả sử G là nhóm các phép biến đổi của tập hợp  và G’ là nhóm các phép biến
đổi của tập hợp  ’. Khi đó cặp ánh xạ  , được gọi là đồng dạng từ cặp (G,  )
lên cặp (G’,  ’) nếu  : G  G’ là ánh xạ đẳng cấu từ nhóm G lên nhóm G’ và

 :    ’ là ánh xạ một - một từ  lên  ’ sao cho nếu x’ =  (x), ’ =  () thì
x’* (’) =  (x* ()).
Cặp (G,  ) và (G’,  ’) được gọi là đồng dạng với nhau, nếu tồn tại một cặp đồng
dạng từ (G,  ) lên (G’,  ’)
2.1.5. Mệnh đề: Giả sử G là một nhóm bắc cầu các phép biến đổi của tập hợp 
và  là một phần tử cố định của tập hợp  . Ký hiệu  () = { x G x*(  ) =  } và H
 : =  (  ). Khi đó H  là một nhóm con của G,  () là một lớp ghép trái của G theo

nhóm con H  và  là một ánh xạ một - một từ  lên G H  .


14

Giả sử  : G  G là ánh xạ đồng nhất của G. Khi đó (  , ) là đồng dạng từ (G,  ) lên
(G, G H  ). Hơn nữa, nếu    và x  G sao cho x*(  ) =  thì H = x H  x-1.
Chứng minh: Tập hợp  ()  ,vì G là nhóm bắc cầu.
Giả sử x,y  (). Khi đó x*(  ) = y*(  ) nên (x-1y)* (  ) =  . Trong trường hợp
 =  , hệ thức đó kéo theo H-1  H   H  , nghĩa là H  là nhóm con của G. Với
 tuỳ ý, suy ra rằng x,y thuộc cùng một lớp ghép trái của G theo H  . Nếu y 
() và x,y thuộc cùng một lớp ghép trái của G theo H  ,thì (x-1y)* (  ) =  , nghĩa là
x*(  ) = y*(  );và do đó x  (). Bởi vậy,  () là một lớp ghép trái của nhóm G
theo nhóm con H  .
Rõ ràng, nếu  và  là hai phần tử khác nhau của tập hợp  ,thì các tập hợp

 () và  ( ) không giao nhau và bởi vậy  ()  ( ). Hơn nữa, nếu x H  là
một lớp ghép trái tuỳ ý, thì  (x*(  )) = xH  . Bởi vậy,  :   G H  là ánh xạ
một - một lên. Phần tử x  G đặt tương ứng với phép biến đổi x* của tập hợp  và
các phép biến đổi của tập hợp G H  mà chúng ta cũng ký hiệu qua x*. Tác dụng
vào phần tử  (x*(  )) = x H   G H  bằng phép biến đổi y*, chúng ta nhận
được
y*( (x*(  ))) = y*(x H  ) = yx H  = (yx)*( H  ) =  (y*(x*(  ))).
Nếu trong hệ thức này thay thế x*(  ) bởi , chúng ta nhận đượcy*( ()) = 
(y*()), và điều đó có nghĩa là cặp ánh xạ  , là đồng dạng của cặp (G,  ) lên cặp (G,
G

H  ), với  = 1G là ánh xạ đồng nhất của G.

Nếu x*(  ) =  thì tất cả các phép biến đổi mà các phần tử tương ứng của tập hợp xH  x1

sẽ giữ  nguyên vị trí, nên x H  x-1  H. Tương tự, có x-1H x  H  . Bởi vậy H = x H

 x-1.

2.2. Phép chuyển dịch và biểu diễn chính quy.
2.2.1. Định nghĩa:


15

i). Giả sử S và S' là các phỏng nhóm ánh xạ  : S  S’ được gọi là đồng cấu nếu
(ab)  = (a  )(b  ),  a, b  S. Ánh xạ  : S  S’ gọi là một phản đồng cấu nếu
(ab)  = (b  )(a  ),  a, b  S. Đồng cấu (phản đồng cấu)  gọi là một đẳng cấu
(phản đẳng cấu) nếu  là song ánh.
ii) Phép biến đổi x  x* của phỏng nhóm S được gọi là phản đẳng cấu đối hợp nếu

(x*)* = x và (xy)* = y*x*.
2.2.2. Định nghĩa: i) Giả sử S là một phỏng nhóm. X là một tập hợp tuỳ ý và ℑX là
nửa nhóm các phép biến đổi trên tập X. Đồng cấu (phản đồng cấu)  : S  ℑX
được gọi là biểu diễn (phản biểu diễn) của phỏng nhóm S bởi các phép biến đổỉ
của tập X. Biểu diễn  (phản biểu diễn) của phỏng nhóm S được gọi là trung
thành nếu  là ánh xạ một - một.
ii) Giả sử  là một biểu diễn của S và T là phỏng nhóm con của S; Khi đó  T (cái thu
hẹp của  trên T) là biểu diễn của T và  T gọi là được cảm sinh bởi  .
2.2.3. Định nghĩa: Với mỗi phần tử a  S, ánh xạ  a: S  S xác định bởi x  a =ax
được gọi là phép chuyển dịch bên trong trái (hay tịnh tiến trái) của S bởi a.
Định nghĩa tương tự : S  S, x  a = xa cho phép chuyển dịch trong bên phải.
2.2.4. Nhận xét: Từ các đẳng thức x  ab = x(ab) và x  a  b = (x  a)  b = (xa)  b
= (xa)b suy ra phỏng nhóm S là nửa nhóm khi và chỉ khi ánh xạ a   a là biểu
diễn của phỏng nhóm S bởi các phép biến đổi của tập S. Một kết luận tương tự cho
ánh xạa   a (phản biểu diễn)
2.2.5. Định nghĩa: i) Nếu S là một nửa nhóm, thì ánh xạ a   a gọi là biểu diễn
chính quy của S.
ii) Nếu S là một nửa nhóm, thì ánh xạ a   a gọi là phản biểu diễn chính quy của
S
iii) Giả sử  là một biểu diễn của S1 và  là cảm sinh của  trên S. Khi đó  gọi
là biểu diễn chính quy mở rộng của nửa nhóm S. (Chú ý rằng chính quy mở rộng
bao giờ cũng trung thành!)
2.2.6. Bổ đề[1]: Giả sử S là nửa nhóm. Khi đó:


16

i) S rút gọn được bên trái (nghĩa là từ xa = xb với mọi x  S suy ra a = b) nếu và
chỉ nếu biểu diễn chính quy của S trung thành.
ii) S rút gọn được bên phải nếu và chỉ nếu phản biểu diễn chính quy của S trung

thành.
iii) Nếu S có đơn vị thì biểu diễn và phản biểu diễn của S là trung thành.
2.2.7. Mệnh đề: Nửa nhóm S được biểu diễn trung thành bởi các ánh xạ một - một
từ một tập nào đó vào chính nó nếu và chỉ nếu S là nửa nhóm với luật giản ước
phải và không có luỹ đẳng khác 1. Trong trường hợp đó:
i) Nếu a, b  S sao cho ab = b thì a = 1 (và S = S1)
ii) S1 là nửa nhóm với luật giản ước phải, không có luỹ đẳng khác 1.
iii) Biểu diễn chính quy mở rộng của nửa nhóm S là biểu diễn trung thành bởi các
ánh xạ một - một từ nửa nhóm S1 vào chính nó.
Chứng minh: Giả sử S là một nửa nhóm các ánh xạ một - một từ tập X vào
chính nó, và  ,  ,  là các phần tử thuộc S sao cho  =  .
Khi đó,  x, có: x  = x  hay (x  )(  ) = (x  )  nên x  = x  , vì  là ánh xạ
một - một. Do đó  =  , nên S là nửa nhóm với luật giản ước phải.
Nếu  là một luỹ đẳng của S thì x   = x  ,  x  S nên x  = x,  x  S (vì  là
một - một). Do đó  = 1X..
Đảo lại, giả sử S là nửa nhóm với luật giản ước phải và không chứa luỹ đẳng khác 1. Ta
sẽ chứng minh các khẳng định (i), (ii), (iii); đặc biệt từ (iii) suy ra điều kiện đủ của
phần đầu mệnh đề 2.2.7.
Để chứng minh (i), ta lấy các phần tử a,b  S mà ab = b. Thế thì a2b = ab do đó
a2 = a vì S giản ước phải. Vì S không chứa luỹ đẳng khác 1 nên a = 1 và do đó S1 = S.
Khẳng định (ii) là tầm thường khi S 1 = S, nên ta có thể giả thiết S 1  S. Giả sử
trái lại, tồn tại các phần tử a, b,c  S1 sao cho ac = bc nhưng a b. Thế thì c 1
nên c  S. Vì S giản ước phải nên a,b không thể đồng thời thuộcS. Nếu a  S và b =
1 chẳng hạn thì ac = c với a 1, trái với khẳng định (i). Như vậy S 1 là nửa nhóm
với luật giản ước phải và hiển nhiên nó không chứa luỹ đẳng khác 1.


17

Ta chứng minh (iii). Giả sử  là biểu diễn chính quy mở rộng a   a của nửa

nhóm S (a  S) trong đó  a là phép chuyển dịch trong bên phải x  x  a = xa của
nửa nhóm S1(x  S1). Thế thì như đã chú ý ở trên,  trung thành. Nếu x,y là các
phần tử của S1 sao cho x  a = y  a hay xa = ya thì x = y theo khẳng định (ii). Như
vậy mỗi phần tử  a thuộc S  =  (S) là ánh xạ một - một từ S1 vào chính nó.
2.2.8. Bổ đề: Giả sử X là một nhóm với mỗi phần tử a  X, phép chuyển dịch trong
bên trái  a: X  X , x  a = ax là một song ánh.
Chứng minh: Giả sử x  a =y  a  ax = ay  x = y (vì X là nhóm nên có luật
giản ước).Vậy  a là đơn ánh.
Ta lại có với mọi b  X,  x X sao cho ax = b(vì X là nhóm ).Do đó x  a = ax = y
nên  a là toàn ánh.
Vậy  a là song ánh.
2.2.9. Mệnh đề: Giả sử X là một nhóm và GX là nhóm tất cả các phép thế của tập
hợp X, khi đó ánh xạ j: X  GX là một đơn cấu
a  a
Chứng minh:  a,  b 

GX

.Giả sử  a=  b  x  a = x  b,  x X  xa = xb  a =

b(vì X là nhóm nên có luật giản ước)  j đơn ánh.
x  ab = x(ab) = (xa)b =(x  a)  b = x  a  b.
  ab =  a  b hay (ab)j =(aj)(bj).
 j là đồng cấu.

Vậy j là một đơn cấu(đpcm).
2.2.10. Hệ quả: Mọi nhóm X đều đẳng cấu với một nhóm con J(X) của nhóm

GX

tất cả các phép thế của X.
2.2.11. Hệ quả: Giả sử G là nhóm hữu hạn cấp n. Khi đó G đẳng cấu với một
nhóm con của các phép thế Sn.
Đ3. TỔNG QUAN VỀ NHÓM TÔPÔ


18

Trong tiết này chúng tôi trình bày tóm tắt một số kết quả cơ bản của lý
thuyết nhóm tôpô và một số lớp nhóm tôpô cần cho việc nghiên cứu ở tiết này.
3.1: Định nghĩa và một số tính chất của nhóm tôpô.
3.1.1Định nghĩa: Nhóm tôpô là một tập hợp G, trên đó đã được trang bị một cấu
trúc nhóm và một cấu trúc tôpô, thoả mãn hai điều kiện sau:
1. Ánh xạ f:

GxG G

liên tục.

(x,y)  xy
2. Ánh xạ g:

G  G liên tục.
x  x-1

Khi đó ta nói rằng cấu trúc nhóm và cấu trúc tôpô là tương thích với nhau.
Hai điều kiện trên tương đương với điều kiện sau:
Ánh xạ  :

GxG G

liên tục.

(x,y)  xy-1
3.1.2. Định lý: Giả sử G là một nhóm tôpô và a  G. Khi đó, các ánh xạ
 a:

G  G ,  a(x) = ax.

 a:

G  G ,  a(x) = a.

 : : G  G ,  (x) = x-1.
là các ánh xạ đồng phôi của không gian tôpô G.
3.1.3. Hệ quả[3]: Giả sử F là tập đóng, U là tập mở, P là tập hợp tuỳ ý và a là
phần tử bất kỳ của nhóm tôpô G. Khi đó ta có: Fa, aF, F -1 là các tập đóng và UP,
PU, U-1 là các tập mở.
3.1.4.Mệnh đề: Không gian tôpô G là không gian thuần nhất.
Chứng minh: Để chứng minh không gian tôpô G là không gian thuần nhất, ta
chứng minh: với hai phần tử bất kỳ x,y của nhóm G bao giờ cũng tìm được một
đồng phôi của G lên chính nó biến x thành y. Thật vậy:
Với mọi x, y  G, đặt a = x-1y thì a  G. Khi đó, ánh xạ  a : G  G ,  a(x) = xa là
một phép đồng phôi của G và
 a(x) = xa = x(x-1y) = (xx-1)y = ey = y.


19

Tính thuần nhất của không gian tôpô G cho phép ta muốn kiểm tra một tính chất

tôpô tại địa phương nào đó của nhóm G thì chỉ cần làm đối với một điểm, chẳng
hạn tại đơn vị e  G.
3.1.5. Định lý: Nếu P và Q là các tập compact của nhóm tôpô G thì PQ là tập
compact.
Chứng minh: Ta xét ánh xạ

f:

P x Q  P.Q
(x,y)  x.y

Giả sử a  P, b  Q và W là lân cận bất kỳ của tích ab, do tính chất liên tục của
phép nhân nên khi đó tồn tại các lân cận U của a trong P,V của b trong Q, sao cho
U.V  W. Ta có:
f (U,V) = U.V  W.
Vậy với mỗi lân cận W của ab, tồn tại lân cận (U,V) của (a,b) sao cho:
f(U,V)  W.
Suy ra f là ánh xạ liên tục. Do đó f biến một tập compact thành một tập compact.
Vì P,Q là các tập compact nên P x Q là tập compact, do đó
f (P x Q) = P.Q
là tập compact (đpcm).
3.1.6. Định lý: Giả sử G là nhóm tôpô. Khi đó không gian G là không gian chính
quy.
Chứng minh: Vì G là nhóm tôpô nên G là không gian thuần nhất. Do đó, để
chứng minh G là không gian chính quy, ta chỉ cần kiểm tra tính chính quy tại điểm
đơn vị e của G.
Giả sử U là lân cận bất kỳ của e, khi đó tồn tại V  e sao cho VV-1  U.
Ta sẽ chứng minh V  U. Thật vậy, với mọi x  V , vì V  e  xV  x.
 xV là lân cận của x  xV  V   a, b  V: xa = b.
 x = b a-1  VV-1  U  V  U.

Như vậy, với mọi lân cận U của e, tồn tại lân cận V  e sao cho V  U.
Do đó, không gian G là không gian chính quy.
3.2. Nhóm con, ước chuẩn, nhóm thương, đồng cấu của nhóm tôpô.


20

3.2.1. Định nghĩa: Giả sử G là nhóm tôpô. Tập con H của G được gọi là nhóm con
tôpô của nhóm tôpô G nếu hai điều kiện sau thoả mãn:
i) H là nhóm con của nhóm trừu tượng G.
ii) H là tập con đóng của không gian tôpô G.
- Nhóm con tôpô N của nhóm tôpô G được gọi là ước chuẩn của nhóm tôpô G nếu
N là ước chuẩn của nhóm trừu tượng G.
3.2.2. Mệnh đề[7]: Giả sử G là nhóm tôpô, H là ước chuẩn của nhóm trừu tượng
G. Khi đó, H là ước chuẩn của nhóm tôpô G. Nếu H là tập mở trong G thì H =
H.
3.2.3. Mệnh đề: Giả sử C (G) = { g  G / xg = gx,  x  G }. Khi đó C (G) là
ước chuẩn của nhóm tôpô G.
Chứng minh: Hiển nhiên C(G) là ước chuẩn của nhóm trừu tượng G theo lý
thuyết nhóm trừu tượng, nên ta chỉ cần chứng minh C (G) đóng trong G, tức là
chứng minh:

C(G) = C (G)

+) Hiển nhiên C(G)  C(G) .
+) Ta cần chứng minh C(G)  C(G): Giả sử a  C(G) mà a  C(G), suy
ra tồn tại x  G sao cho xa ax. Khi đó a’ = x-1ax a. Vì G là T2 - không gian,
nên tồn tại các lân cận U của a, U' của a' thoả mãn:
U  U' = 
Đặt V = C(G)  U, thế thì a  V . Vì a  C(G)  U nên

a  C(G)  U = C(G)  U = V .
Còn a' = x-1ax  x-1 V x = x 1Vx= V . Suy ra U'  V  mâu thuẫn với U'  V = .
Bởi vậy: x-1ax = a với mọi x  G hay ax = xa tức là a  C(G).
Ta có: C(G)  C(G). Vậy C(G) = C(G).
3.2.4. Mệnh đề: Thành phần liên thông của đơn vị G0 của nhóm tôpô G là ước
chuẩn tôpô của G.


21

Chứng minh: Giả sử a, b  G0, vì G0 liên thông nên aG0-1 cũng liên thông và
e  eG0. Bởi vậy aG0-1  G0 và do đó ab-1  aG0-1  G0 nên G0 là nhóm con trừu
tượng của G.
Giả sử a  G0 và x  G khi đó x-1G0x liên thông và chứa e nên x-1G0x  G0,
do đó x-1ax  x-1G0x  G0, nên G0 là ước chuẩn trừu tượng của G. Do thành phần
liên thông của không gian tôpô luôn luôn đóng nên G0 đóng. Vậy G0 là ước chuẩn
của G (đpcm).
3.2.5. Định nghĩa: Giả sử N là ước chuẩn của nhóm tôpô G, ta đưa vào nhóm
thương G N của nhóm trừu tượng G một tôpô xác định như sau:
Giả sử B là một cơ sở của G, với mỗi U  B, xét tập con
U* = { N g / g  U } của G N . Khi đó B' = { U* / U  B} là cơ sở của không gian
G

N và

G

N với tôpô xác định như trên gọi là nhóm thương tôpô của nhóm tôpô G

theo ước chuẩn N và được ký hiệu là G*.

3.2.6. Định nghĩa: Ánh xạ  từ nhóm tôpô G đến nhóm tôpô G' gọi là đồng cấu
nếu thoả mãn hai điều kiện sau:
i)  là đồng cấu từ nhóm trừu tượng G đến nhóm trừu tượng G'.
ii)  là ánh xạ liên tục.

 là đẳng cấu nếu  là đẳng cấu từ nhóm trừu tượng G đến nhóm trừu tượng G'.
 là ánh xạ mở nếu  mở từ không gian tôpô G đến không gian tôpô G'.
3.2.7. Mệnh đề[7]: Giả sử G và G' là hai nhóm tôpô, g là một đồng cấu từ nhóm
trừu tượng G đến nhóm trừu tượng G'. Để g liên tục hay mở chỉ cần g liên tục hay
mở tại đơn vị e của G.
3.2.8. Mệnh đề[7]: Giả sử G là nhóm tôpô và N là ước chuẩn của G. Khi đó ánh
xạ tự nhiên từ nhóm G lên nhóm thương G N của nó p: G  G N , p(x) = Nx.
là ánh xạ liên tục, mở.
3.2.9. Định lí[7]: Giả sử g: G  G' là toàn cấu mở từ nhóm tôpô G lên nhóm
tôpô G'. Khi đó:


22

i) N = Ker (g) là ước chuẩn tôpô của nhóm tôpô G.
ii) Nhóm thương G N đẳng cấu với G'.
3.2.10. Mệnh đề: Giả sử G là một nhóm compact, H và N là nhóm con, ước chuẩn
của nhóm G sao cho HN là đóng trong không gian G. Khi đó HN là nhóm con của
G và H  N là ước chuẩn của H. Hơn nữa HN N  H H  N .
Chứng minh: Theo lý thuyết nhóm trừu tượng, ta có HN và H  N là nhóm
con trừu tượng của nhóm tôpô G. Theo giả thiết HN đóng trong G, suy ra HN là
nhóm con tôpô của nhóm tôpô G. Vì H và N là nhóm con và ước chuẩn của G nên
H, N đóng trong G, suy ra H  N đóng trong G và do đó H  N là ước chuẩn tôpô
của G.
- Vì N là nhóm con trừu tượng của NH và N là ước chuẩn tôpô của G nên N là ước

chuẩn tôpô của NH. Ta xét toàn cấu chính tắc:
p: HN  HN N
Ta có N = Ker (p). Suy ra p(HN) = p(H). Gọi  là thu hẹp của p trên H tức là

 = pH . Khi đó Im(  ) = Im( pH) = p(H) = p(HN) = HN .
N
Ker(  ) = { x  H/  (x) = e* }= { x  H / p(x) = e* } = { x  H / x  N }= H  N
- Vì H, HN đóng trong G mà G compact nên H, HN là các tập compact, do đó
HN

N là tập compact. Khi đó, ánh xạ toàn cấu:

 : H  HN

N

từ nhóm compact H lên nhóm compact HN N là đồng cấu mở. Do đó
H
tức là

H


Ker( )  Im ( )

H N

 HN

N.

3.3. Định nghĩa: Nhóm tôpô G được gọi là nhóm compact (compact địa phương)
nếu không gian G là không gian compact (compact địa phương). Nhóm tôpô G


23

được gọi là compact sinh ra nếu tồn tại một tập con M compact của G để G là bao
đóng của nhóm con sinh ra bởi M.
3.3.1. Mệnh đề: Giả sử G là một nhóm tôpô, H là ước chuẩn của nó, nếu:
i) G là nhóm compact thì H và G H là nhóm compact.
ii) G là nhóm compact địa phương thì G H là nhóm compact địa phương.
Chứng minh: i) Giả sử U là phủ mở bất kỳ của H, do H là nhóm con của G nên U
được chứa trong G. Mặt khác G là nhóm compact nên nếu có một phủ mở V nào đó
phủ G thì sẽ tồn tại phủ con hữu hạn V' phủ G.
Đặt U' = U  V'. Vì V' phủ G nên V' chứa U, do đó U' là phủ mở hữu hạn được
trích ra từ phủ mở U phủ H. Vậy H là nhóm compact.
Bây giờ ta chứng minh G H là nhóm compact. Lấy phủ mở U bất kỳ của G H , ta
xét đồng cấu tự nhiên:

:G  G
H
Ta có  liên tục nên  -1(U) = {  -1(u) / u  U } là phủ mở của G. Vì G compact
nên trích ra được phủ con hữu hạn:
(  -1(U))* = {  -1(u1),  -1(u2),...,  -1(un) }
phủ G.
Do  mở nên  ((  -1(U))*) là họ hữu hạn các tập mở, mà  toàn ánh nên

 ((  -1(U))*) là phủ mở hữu hạn phủ G , suy ra G là nhóm conpact.
H

H
ii) Giả sử G là nhóm compact địa phương, ta chứng minh H là nhóm compact địa
phương. Do G là nhóm compact địa phương nên tại mỗi điểm thuộc G đều tồn tại
lân cận compact mà H là nhóm con của G, suy ra mọi phần tử của H đều tồn tại lân
cận compact, do đó H là nhóm compact địa phương.
Chứng minh G H là nhóm compact địa phương. Giả sử gH  G H , ta chứng
minh gH có lân cận compact. Xét đồng cấu tự nhiên:

:G  G

H


24

Khi đó,  -1(gH)  G, do G là compact địa phương nên tồn tại lân cận compact
V của  -1(gH), mà  liên tục nên  (V) là lân cận compact của gH (do ánh xạ 
liên tục biến tập compact thành tập compact). Suy ra G H là compact địa phương (đpcm).
3.3.2. Mệnh đề: Giả sử G là nhóm compact địa phương và compact sinh ra. Khi
đó, trong G tồn tại lân cận đối xứng compact của đơn vị sinh ra toàn bộ nhóm G.
Chứng minh: Vì G là nhóm compact sinh ra nên tồn tại tập con compact H sao
cho G = H . Khi đó tồn tại lân cận đối xứng compact V của đơn vị e của G. Đặt
D = HV  V. Vì D và D-1 compact nên K = D  D-1 là tập compact đối xứng và
chứa e. Vậy K = G.
3.3.3. Mệnh đề: Cho G là một nhóm tôpô, H là ước chuẩn compact của G sao cho
nhóm thương G H là nhóm compact. Khi đó G là nhóm compact.
Chứng minh: Để chứng minh G là compact, ta chứng minh trong G có họ các
tập con có tính giao hữu hạn thì giao khác rỗng. Xét hệ tâm có tính giao hữu hạn 
của nhóm G:
n

Ei 
i 1

Ta chứng minh:

 E .

E

Ký hiệu  * = { f(E) / E   , f: G  G H }, (f là đồng cấu tự nhiên) thì  * là hệ
trung tâm. Vì G H là nhóm compact, nên tồn tại A  E, sao cho  E: f (E)   *
tức là  U  e  G thì AU  f(E)   (vì AU là lân cận của A), suy ra tập AU
các phần tử của G có giao với các tập của  khác rỗng tức là AU  E  , suy ra
EU-1  A  .
Lấy  ' = { EU-1  A / E   }. Do A là một lớp ghép nên A đồng phôi với H
mà H compact, suy ra A compact.


25

Vậy hệ  ' có điểm chung là a  EU-1  A,  E   . Suy ra mỗi lân cận V của
e trong G thì EU-1  aV   (vì aV chứa a). Do đó, E  aVU  ,  E   .Lấy W
chứa e, do phép nhân liên tục nên tồn tại u,v sao cho uv  W, suy ra auv  aW.
Vậy aW  E  ,  E  G là nhóm compact.
3.3.4. Hệ quả: Giả sử G là một nhóm tôpô, H là ước chuẩn compact, f là đồng cấu
tự nhiên từ G vào G H . Khi đó, nếu Q là tập compact trong G H thì f-1(Q) cũng là
tập compact trong G.
Đ4. NHÓM LIÊN TỤC CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI
Tiết này dành cho việc nghiên cứu nhóm liên tục các phép biến đổi.

4.1.Định nghĩa: a. Nhóm tôpô G được gọi là nhóm liên tục các phép biến đổi của
không gian tôpô T, nếu mỗi phần tử x  G được đặt tương ứng với một phép biến
đổi x* của tập hợp T, x* = J(x) thoả mãn điều kiện:
J (xy) = J (x) J (y)
và ánh xạ : G  T  T , ((x, t)) = x* (t) liên tục.
b. Các phép biến đổi x* ứng với x  G là ánh xạ tôpô. Nếu các phần tử khác nhau
của G được đặt tương ứng với các phép biến đổi khác nhau, thì nhóm G được gọi
là nhóm hữu hiệu các phép biến đổi. Khi đó mỗi phần tử của G được xem như là
một phép biến đổi (x = x*).
Hạt nhân N của nhóm trừu tượng không hữu hiệu G đóng trong không gian G.
Nhóm thương G* = G N là nhóm liên tục hữu hiệu các phép biến đổi của không
gian T.
Nhóm liên tục G các phép biến đổi của không gian T được gọi là bắc cầu, nếu với
hai phần tử bất kỳ  và  của không gian T, tìm được phần tử x  G sao cho x* () = .
c. Giả sử G và G' là nhóm liên tục các phép biến đổi của không gian T và T' tương
ứng. Cặp ánh xạ ,  được gọi là đồng dạng từ cặp G, T lên cặp G', T' nếu  là ánh