De thi hs gioi cap tinh toan 9

Phòng giáo dục Đề thi học sinh giỏi lớp 9
Thọ xuân THCS Năm học: 2006 - 2007
Trờng THCS Nam Giang Môn thi: toán
(Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề)
đề bài
CâuI- (4đ) : Tính giá trị của biểu thức :
1,
5122935

2,
32
+
+
3514

Câu II- (5đ) : Giải các phơng trình sau :
1,
1

x
x
+
1
1
+
x
=
1
2
2

x
2,
12
2
+
xx
+
44
2
+
xx
= 3
3, x
4
3x
3
+ 4x
2
3x +1 = 0
Câu III- (3đ) :
1, Cho a,b,c là các số dơng , chứng minh rằng :

2
1
a
+1
2
1
b
+2

2
1
c
+ 8


abc
32
2, Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có :
1
+
n
-
n
>
12
1
+
n
Câu III (3đ) : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số :
a, y =
942
12
2
2
++
+
xx
xx
b, y =

2
1
3
+
x
- 4
Câu VI (5đ) : Cho tam giác ABC vuông ở A ,đờng cao AH . Gọi D và E lần lợt là
hình chiếu của điểm H trên AB và AC . Biết BH = 4(cm) ; HC = 9(cm)
a, Tính độ dài đoạn DE
b, Chứng minh rằng AD . AB = AE.AC
c, Các đờng thẳng vuông góc với DE tại D và E lần lợt cắt BC tại M và N . Chứng
minh M là trung điểm BH ; N là trung điểm của CH .
d, TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c DENM
-------------------&*&---------------------
Đáp án và biểu chấm
môn: toán 9
Câu I : (4điểm) Tính giá trị biểu thức sau :
a,(2đ)

5122935

=
2
)352(35

(0,5 đ)
=
35235
+
(0,5đ)

=
5265

(0,25đ)
=
2
)15(5

(0,5đ)
=
155
+
(0,25đ)
= 1
b. (2đ)
32
+
+
3514

=
2
351432(2
++
(0,5đ)
=
2
31028324
++
(0,25đ)

=
2
)35()13(
22
++
(0,5đ)
=
2
3513
++
(0,5đ)
=
23
2
6
=
(0,25đ)
Câu II: (5điểm) Giải phơng trình sau.
a. (1,5đ)
1
2
1
1
1
2

=
+
+

x
xx
x
- Tìm đợc
ĐKXĐ: x 1 (0,5đ)
- Giải và tìm nghiệm x = 1 ĐKXĐ (1đ)
x = - 3 ĐKXĐ
b.
34412
22
=+++
xxxx
. (1,5đ)
Trang 1
- Biến đổi đa phơng trình về dạng.
| x 1| + | x 2 | = 3 (0,5đ)
- Xét đúng các trờng hợp của phơng trình (0,5đ)
- Tìm nghiệm đúng x = 0; x = 3 (0,5đ)
c. (2đ) x
4
3x
3
+ 4x
2
3x + 1 = 0
Lý luận x = 0 không phải là nghiệm nếu phơng trình có nghiệm thì x 0 chia cả 2 vế
cho x
2
ta đợc:
x

2
3x + 4 -
x
3
+
2
1
x
= 0 (0,5đ)
- Đa phơng trình về dạng:
( x
2
+
2
1
x
) 3 (x +
x
1
) + 4 = 0 (0,25đ)
- Đặt đợc ẩn phụ và đa phơng trình về dạng (Đặt y = x +
x
1
)
y
2
3y + 2 = 0 (0,5đ)
- Giải tìm đợc nghiệm y = 1; y = 2 (0,25đ)
- Tìm đợc ẩn x từ ẩn phụ y đúng trong các trờng hợp (0,25đ)
Nghiệm của phơng trình là x = 1 (0,25đ)

Câu III: (3điểm)
a.(1,5đ) Cho a,b,c là các số dơng. Chứng minh rằng:
(
2
1
a
+ 1 ) (
2
1
b
+ 2 ) (
2
1
c
+ 8 )
abc
32

- áp dụng đợc bất đẳng thức Cô Si cho các số dơng (1đ)
2
1
a
+ 1 2
2
1
a
=
a
2
2

1
b
+ 2 2
b
b
222
2
=
8
1
2
+
c
2
c
c
248
2
=
(
2
1
a
+ 1 ) (
2
1
b
+ 2 ) (
2
1

c
+ 8 )
abc
32
(0,25đ)
Dấu = xảy ra khi a = 1; b =
2
1
; c =
22
1
(0,25đ)
Trang 2
b.(1,5đ) Chứng minh rằng với mọi n N ta có
12
1
1
+
>+
n
nn
- Biến đổi
nn
nnnn
nn
++
+++
=+
1
)1)(1(

1
=
nn
++
1
1
(0,25đ)
- So sánh đợc:
nn
++
1
1
>
12
1
+
n
(0,5đ)
- Từ đó suy ra:
12
1
1
+
>+
n
nn
Câu IV:(3điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất các hàm số:
a. (2đ)y =
942

12
2
2
++
+
xx
xx
=
942
2
11
)942(
2
1
2
2
++
++
xx
xx
(0,5đ)
=
1884
11
2
1
2
++

xx

(0,25đ)
=
14)1(4
11
2
1
2
++

x
(0,25đ)
- Lý luận đợc y min khi
14)1(4
11
2
++
x
max (0,25đ)
- Tìm
14)1(4
11
2
++
x
max =
14
11
khi x = -1 (0,25đ)
- đợc y min =
7

2
14
11
2
1
=
khi x = -1 (0,5đ)
b.(1đ) y =
2
1
| x + 3 | - 4
- Lý luận đợc
2
1
| x + 3 | 0 x (0,25đ)
Trang 3

2
1
| x + 3 | - 4 - 4 (0,25đ)
y min = - 4 khi x = - 3 (0,5đ)
Câu V: (5đ)
Vẽ hình đúng ghi giả thiết và kết luận sạch đẹp (0,5đ)
a.(1đ) Tính đúng DE = 6 (cm) (1đ)
b.(1đ) Chứng minh đúng hệ thức dựa vào hệ thức lợng trong tam giác vuông (1đ).
c. (2đ) Gọi I là giao điểm của AH và DE thì:
ID = IE = IA = IH (0,5đ)
MID = MIH (cạnh huyền cạnh góc vuông) (0,5đ)
MD = MH MDH cân tại M MDH = MHD
MDB = MBD (0,5đ)

MBD cân ở M ta có MD = MB.