đột phá 8+ thi THPT QG môn toán đại số

Sở hữu ngay

“BẢO BỐI” giúp em bứt phá điểm 9, 10,

bấm
vào đây

/>
hoặc gọi

024.3399.2266


Mục lục

Mục lục
PHẦN 1: LỚP 12

7

CHƯƠNG 1: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

8

Chuyên đề 1: Tính đơn điệu của hàm số

8

Chuyên đề 2: Cực trị của hàm số

17

Chuyên đề 3: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

31

Chuyên đề 4: Tiệm cận của đồ thị hàm số

38

Chuyên đề 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

45

Chuyên đề 6: Một số bài toán liên quan đến đồ thị hàm số

56

CHƯƠNG 2: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

74

Chuyên đề 1: Lũy thừa và lôgarit

74

Chuyên đề 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit

86

Chuyên đề 3: Phương trình mũ

95

Chuyên đề 4: Phương trình lôgarit

104

Chuyên đề 5: Các bài toán lãi suất

113

Chuyên đề 6: Bất phương trình mũ và lôgarit

120

CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN

129

Chuyên đề 1: Nguyên hàm hàm cơ bản

129

Chuyên đề 2: Nguyên hàm các hàm thường gặp

142

Chuyên đề 3: Tích phân

153

Chuyên đề 4: Tích phân hàm ẩn

164

Chuyên đề 5: Ứng dụng của nguyên hàm, tích phân

172

CHƯƠNG 4: SỐ PHỨC

188

Chuyên đề 1: Các phép toán trên tập số phức

188

Chuyên đề 2: Tập hợp điểm biểu diễn số phức

199

Chuyên đề 3: Phương trình trên tập số phức

209

5
Sở hữu ngay

“BẢO BỐI” giúp em bứt phá điểm 9, 10,

bấm
vào đây

/>
hoặc gọi

024.3399.2266


PHẦN 1: LỚP 12

7
Sở hữu ngay

“BẢO BỐI” giúp em bứt phá điểm 9, 10,

bấm
vào đây

/>
hoặc gọi

024.3399.2266


Đột phá 8+ môn Toán kì thi THPT Quốc gia

CHƯƠNG 1: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ
KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Phần 1 LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Tính đơn điệu của hàm số
Định nghĩa:
Giả sử hàm số y = f ( x ) xác định trên I,
với I là một khoảng, một đoạn hoặc một
nửa khoảng.

Đồng biến

Hàm số y = f ( x ) được gọi là đồng biến
trên I nếu:

∀x1,x 2 ∈ I : x1 < x 2 ⇔ f ( x1 ) < f ( x 2 ).

Hàm số y = f ( x ) được gọi là nghịch
biến trên I nếu:

∀x1,x 2 ∈ I : x1 < x 2 ⇔ f ( x1 ) > f ( x 2 ) .
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến được
gọi chung là hàm số đơn điệu trên I.

Hàm số y = f ( x ) = x có f ' ( x ) = 1 > 0 ,
∀x ∈  thì hàm số f ( x ) đồng biến trên .
Nghịch biến

2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu
Giả sử hàm số y = f ( x ) có đạo hàm
trên I. Khi đó:
Nếu hàm số y = f ( x )đồng biến trên
I thì f ' ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ I .

Nếu hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên
I thì f ' ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ I.

y = -x

Hàm số y = f ( x ) = − x có f ' ( x ) = −1 < 0,
∀x ∈  thì hàm số f ( x ) nghịch biến trên .

8
Sở hữu ngay

“BẢO BỐI” giúp em bứt phá điểm 9, 10,

bấm
vào đây

/>
hoặc gọi

024.3399.2266


Chương 1: Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu
Giả sử hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên
khoảng I. Khi đó:

Xét các hàm số: y = f ( x ) = x 3 + x

y = g ( x ) = −2x + 5

y = h(x) = −

2
3

Các hàm số trên có đạo hàm trên  .
Ta có f ' ( x ) = 3x 2 + 1 > 0, ∀x ∈  nên hàm

Nếu f ' ( x ) > 0, ∀x ∈ I thì hàm số f ( x )
đồng biến trên khoảng I.

số f ( x ) đồng biến trên  .

Nếu f ' ( x ) < 0, ∀x ∈ I thì hàm số f ( x )
nghịch biến trên khoảng I.

Ta có g' ( x ) = −2 < 0, ∀x ∈  nên hàm số
g ( x ) nghịch biến trên  .

Nếu f ' ( x ) = 0, ∀x ∈ I thì hàm số f ( x )
không đổi trên khoảng I.

Ta có h' ( x ) = 0, ∀x ∈  nên hàm số h ( x )
không đổi trên .

Định lí:
Giả sử hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên
khoảng I.

Hàm số y = f ( x ) = ( m − 1) x 2 + x + 5 xác

định trên .
Hàm số có f ' ( x ) = 2 ( m − 1) x + 1.

Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên I thì
f '(x) ≤
≥ 0, ∀x ∈ I và f ' ( x ) = 0 chỉ xảy ra tại
hữu hạn điểm .

Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên  khi

f ' ( x ) = 2 ( m − 1) x + 1 ≥ 0, ∀x ∈  .

Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên I
thì f ' ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ I và f ' ( x ) = 0 chỉ xảy ra
tại hữu hạn điểm .

Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên  khi
f ' ( x ) = 2 ( m − 1) x + 1 ≤ 0, ∀x ∈  .

Chú ý:

Một số công thức tính đạo hàm

Ta có thể thay khoảng I thành một đoạn
hoặc một nửa khoảng, khi đó ta cần bổ
sung thêm giả thiết: “Hàm số liên tục trên
đoạn hoặc nửa khoảng đó”.

(u ± v ) ' = u'± v '
(ku ) ' = ku'

(uv ) ' = u' v + uv '
 u  ' u' v − uv '
v =
v2
 

( )
n

=

n −1

( ) = 2 1x

 ax + b  ' ad − bc
 cx + d  =
2

 ( cx + d)

9
Sở hữu ngay

“BẢO BỐI” giúp em bứt phá điểm 9, 10,

bấm
vào đây

/>

hoặc gọi

024.3399.2266


Đột phá 8+ môn Toán kì thi THPT Quốc gia
Phần 2

CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số
1. Phương pháp giải

Xét hàm số y = f ( x ) = x 3 − 3x + 1.

Bước 1: Tìm tập xác định D.

Tập xác định D =  .

Bước 2: Tìm f ' ( x ) . Tìm các điểm xi mà
f ' ( xi ) = 0 và f ' ( xi ) không xác định.

Ta có: f ' ( x ) = 3x 2 − 3 .

Bước 3: Lập bảng biến thiên.

x = 1
f ' ( x ) = 0 ⇔ 3x 2 − 3 = 0 ⇔ 
 x = −1
Bảng biến thiên

Thay
nên

-

có dấu
x

nên f ' ( x ) có dấu −

f '(x)

1

−1

−∞
+

−

0

+∞
+

0

f (x)
Dấu +, mũi tên

đi lên, hàm số
đồng biến

Bước 4: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch
biến của hàm số.

Dấu –, mũi tên
đi xuống, hàm
số nghịch biến

Kết luận:
Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞; −1)
và (1;+∞ ) .

Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −1; 1) .

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số y = x 4 − 2x 2 + 4 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞; −1).

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; −1) và (1;+∞ ).
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; −1) và ( 0;1) .

D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −1;1) .

Hướng dẫn

Cách 1:
Hàm số có tập xác định: D = .

Ta có

khi đó

10
Sở hữu ngay

“BẢO BỐI” giúp em bứt phá điểm 9, 10,

bấm
vào đây

/>
hoặc gọi

024.3399.2266


Chương 1: Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Bảng biến thiên

−∞

x

f '(x)

−1
−

0

+∞

1

+

+

−

f (x)
Vậy: Hàm số đồng biến trên khoảng ( −1;0 ) và (1;+∞ ) .
Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; −1) và ( 0;1) .
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570 VNPLUS
Nhập MODE 7, nhập f ( X ) = X 4 − 2X2 + 4 Start ? − 5
Khi đó ta nhận được bảng giá trị:
f ( X)

X

−5
−4
−3
−2
−1

End ? 5
f ( X)

X

579
228
67
12
−3

Step ? 1

4
-3
12
67
228
579

0
1
2
3
4
5

Nhìn vào bảng giá trị, ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; −1) và ( 0;1) .
Chọn C.
Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ như sau:

x

f '(x)

−2
0

+

1

0

5

−

+∞
−

Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;+∞ ).

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 5; +∞ ).
C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −2;2 ).
D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −2;5 ).
Hướng dẫn
Nhìn vào bảng xét dấu của đạo hàm, ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng ( −2;1), nghịch biến
trên khoảng (1;5 ) và ( 5;+∞ ).
Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng ( 5; +∞ ) .
Chọn B.

11
Sở hữu ngay

“BẢO BỐI” giúp em bứt phá điểm 9, 10,

bấm
vào đây

/>
hoặc gọi

024.3399.2266


Đột phá 8+ môn Toán kì thi THPT Quốc gia
Ví dụ 3: Hàm số y =

− x 2 + 2x − 4
đồng biến trên:
x−2

A. ( 0;2 ) và ( 2;4 ).

B. ( 0;2 ) và ( 4;+∞ ).

C. ( −∞;0 ) và ( 4;+∞ ).

D. ( −∞;0 ) và ( 2;4 ).
Hướng dẫn

Tập xác định: D =  \ {2}.
Ta có

( −2x + 2 )( x − 2 ) − ( − x 2 + 2x − 4 ) − x 2 + 4x
y' =
=
2
2
( x − 2)
( x − 2)

x = 0 .
khi đó y ' = 0 ⇔ − x 2 + 4x = 0 ⇔ 
x = 4

Bảng biến thiên
x

0

−∞

f '(x)

−

2

+

0

4

+

0

+∞
−

f (x)

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ( 0;2 ) và ( 2;4 ).
Chọn A.
3. Bài tập tự luyện
Câu 1 (ID 30596) Cho hàm số y =

x +1
. Phát biểu nào sau đây đúng?
1− x

A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞;1) .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞;1) và (1;+∞ ) .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞;1) ∪
∩ (1; +∞ ).
D. Hàm số đồng biến trên khoảng  .
Câu 2 (ID 30597) Cho hàm số y = x +

4
. Kết luận nào sau đây là đúng?
x

A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞;2 ) .

B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 2;+∞ ) .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −2;2 ) .

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −2;2 ) .

Đáp án

1–B

2–B

12
Sở hữu ngay

“BẢO BỐI” giúp em bứt phá điểm 9, 10,

bấm
vào đây

/>
hoặc gọi

024.3399.2266

Chương 1: Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Dạng 2: Điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu
1. Phương pháp giải
Hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d
Tập xác định: D =  .

Xét hàm số y = mx 3 + x + 1
Tập xác định: D =  .

y ' = 3ax 2 + 2bx + c

Để hàm số đồng biến trên  thì:

y ' = 3mx 2 + 1

Để hàm số đồng biến trên  thì:

⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈  .

.

a > 0
Khi đó: 
∆ ≤ 0

.

Để hàm số nghịch biến trên  thì:

⇔ y ' ≤ 0, ∀x ∈ .

⇔ y ' ≤ 0, ∀x ∈  ⇔ 3mx 2 + 1 ≤ 0, ∀x ∈  .
a < 0
3m < 0
⇔
⇔
⇔ m ∈ ∅.
Khi đó:
∆ ≤ 0
∆ = −12m ≤ 0

a < 0
Khi đó: 
∆ ≤ 0
Hàm số y =

Để hàm số nghịch biến trên  thì:

ax + b
cx + d

Xét hàm số y =

 d
Tập xác định: D =  \ −  .
 c
ad − bc
y' =
2

( cx + d)

Hàm số đồng biến trên các khoảng xác
định khi và chỉ khi:

x+m
x −1

Tập xác định: D =  \ {1} ;
−1 − m
y' =
2
( x − 1)
Hàm số đồng biến trên các khoảng xác
định khi và chỉ khi
⇔ y ' > 0, ∀x ∈ D

⇔

⇔ y ' > 0, ∀x ∈ D ⇔
⇔ ad − bc > 0.

−1 − m

( x − 1)

2

> 0, ∀x ∈ D

⇔ −1 − m > 0 ⇔ m < −1.
Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác
định khi và chỉ khi:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác
định ⇔ y ' < 0, ∀x ∈ D

⇔ y ' < 0, ∀x ∈ D ⇔
⇔ ad − bc < 0.

⇔

−1 − m

( x − 1)

< 0, ∀x ∈ D

⇔ −1 − m < 0 ⇔ m > −1

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm điều kiện của tham số m sao cho hàm số y =
biến trên .
A. −1 < m < 0.

2

B. −1 < m ≤ 0.

C. −1 ≤ m ≤ 0.

x3
+ mx 2 − mx − m luôn đồng
3
D. −1 ≤ m < 0.

13
Sở hữu ngay

“BẢO BỐI” giúp em bứt phá điểm 9, 10,

bấm
vào đây

/>
hoặc gọi

024.3399.2266


Đột phá 8+ môn Toán kì thi THPT Quốc gia
Hướng dẫn
2

Tập xác định: D =  . Ta có y′ = x + 2mx − m .
Hàm số đồng biến trên  khi và chỉ khi:
.
Chọn C.
Ví dụ 2: Giá trị của tham số m để hàm số y =

là:

A. m < 2.

B. m ≥ 2.

x −m
nghịch biến trên các khoảng xác định
x−2

C. m > 2.

D. m ≤ 2.

Hướng dẫn
−2 + m
.
Tập xác định: D =  \ {2} . Ta có y ' =
2
( x − 2)
Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định khi và chỉ khi:
⇔ y ' < 0, ∀x ∈ D ⇔

Chọn A.

−2 + m

( x − 2)

2

< 0, ∀x ∈ D .

⇒ −2 + m < 0 ⇔ m < 2
⇔

Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y =
các khoảng xác định.
A. −2 < m ≤ 2.

B. −2 ≤ m ≤ −1.

C. −2 ≤ m ≤ 2.

mx + 4
giảm trên
x+m

D. −2 < m < 2.

Hướng dẫn
Tập xác định: D =  \ {−m} . Ta có y′ =

m2 − 4

( x + m)

2

.

Hàm số giảm trên các khoảng xác định khi và chỉ khi hàm số nghịch biến trên các khoảng
xác định của nó. Khi đó:
⇔ y′ < 0, ∀x ∈ D ⇔ m2 − 4 < 0 ⇔ −2 < m < 2 .

Chọn D.
3. Bài tập tự luyện
Câu 1 (ID: 30604) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y =
giảm trên các khoảng mà nó xác định.
A. m < −3.
B. m ≤ −3.

C. m ≤ 1.

x −m+ 2
x +1

D. m < 1.

14
Sở hữu ngay

“BẢO BỐI” giúp em bứt phá điểm 9, 10,

bấm
vào đây

/>
hoặc gọi

024.3399.2266


Chương 1: Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Câu 2 (ID: 30605) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số
1
y = − x 3 − mx 2 + (2m − 3)x − m + 2 luôn nghịch biến trên  .
3
A. −3 ≤ m ≤ 1.
B. m ≤ 1.
C. −3 < m < 1.
D. m ≤ −3;m ≥ 1.
Câu 3 (ID: 30606) Tìm giá trị thực của tham số m sao cho hàm số
y = 2x 3 − 3(m + 2)x 2 + 6(m + 1)x − 3m + 5 luôn đồng biến trên  .

A. 0.
Đáp án

Phần 3

B. –1.
1–D

2–A

C. 2.

D. 1.

3–A

BÀI TẬP TỔNG HỢP

Câu 1 (ID: 30612) Cho hàm số y = − x 3 + 3x 2 − 3x + 2 . Khẳng định nào sau đây là khẳng
định đúng?
A. Hàm số luôn nghịch biến trên .
B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −∞;1) và (1;+∞ ) .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞;1) và nghịch biến trên khoảng (1;+∞ ) .
D. Hàm số luôn đồng biến trên  .
Câu 2 (ID: 30613) Tìm số nguyên m nhỏ nhất sao cho hàm số y =
biến trên các khoảng xác định của nó.
A. m = −1.

B. m = −2

(m + 3)x − 2
luôn nghịch
x+m

D. Không có m

C. m = 0

Câu 3 (ID: 30614) Hàm số y = − x 4 + 4x 2 + 20 đồng biến trên khoảng nào?

(
C. ( −

)
2;0 ) ; (

A. −∞; − 2 .

B.

)

(

)

.

D.

2; +∞ .

.

3 5
x − 3x 4 + 4x 3 − 2 đồng biến trên khoảng nào?
5
B. .
C. ( 0;2 ).
D. ( 2;+∞ ) .

Câu 4 (ID: 30615) Hàm số y =
A. ( −∞;0 ).

Câu 5 (ID: 30620) Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y = − x 3 + 3 ( 3 − m ) x 2 − 2mx + 2

nghịch biến trên tập xác định.
A. −3 < m < 3.

B. m ∈ ∅.

C. −3 < m < 0.

D. m > 3.

15
Sở hữu ngay

“BẢO BỐI” giúp em bứt phá điểm 9, 10,

bấm
vào đây

/>
hoặc gọi

024.3399.2266


Đột phá 8+ môn Toán kì thi THPT Quốc gia
Câu 6 (ID: 30616) Giá trị của m để hàm số y = x 3 − 3 ( m + 1) x 2 + 3 ( m + 1) + 7 đồng biến
trên  là:
m < −1
C. 
.
m > 0

B. −1 < m < 0 .

A. −1 ≤ m ≤ 0.

m ≤ −1
D. 
.
m ≥ 0

Câu 7 (ID: 30617) Cho hàm số y = 3x 2 − x 3 . Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 0;2 ) .
B. Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞

)

C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −∞

và (

) và

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 2;3 ) .
Câu 8 (ID: 30618) Hàm số y =
A.

và
và

C.

.

x2
đồng biến trên trên các khoảng nào?
x −1
.
B.
và
D.

.

và

.

Câu 9 (ID: 30619) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y =
trên các khoảng xác định.
A. −3 < m < 3.

B. m < −3.

C. −3 < m < 0.

Câu 10 (ID:30621) Tìm m để hàm số y =
A. m ≤ 1.

mx + 3
nghịch biến

3x + m

D. m > 3.

x −m+ 2
nghịch biến trên các khoảng xác định.
x +1

B. m < 1.

C. m ≤ 3.

D. m < 3.

Đáp án
1–A

2–D

3–D

4–B

5 -B

6–A

7–B

8–B

9–A

10 – B

16
Sở hữu ngay

“BẢO BỐI” giúp em bứt phá điểm 9, 10,

bấm
vào đây

/>
hoặc gọi

024.3399.2266


Đột phá 8+ môn Toán kì thi THPT Quốc gia
PHẦN 2: LỚP 11 VÀ LỚP 10

217

CHƯƠNG 1: MỆNH ĐỀ, TẬP HỢP, HÀM SỐ

218

Chuyên đề 1: Mệnh đề, tập hợp

218

Chuyên đề 2: Đại cương về hàm số

228

Chuyên đề 3: Hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai

237

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

253

Chuyên đề 1: Phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn

253

Chuyên đề 2: Hệ phương trình bậc nhất và bậc hai hai ẩn

271

Chuyên đề 3: Bất đẳng thức

283

Chuyên đề 4: Bất phương trình và hệ bất phương trình

287

Chuyên đề 5: Một số bất phương trình thường gặp

298

CHƯƠNG 3: LƯỢNG GIÁC

303

Chuyên đề 1: Cung và góc, công thức lượng giác

303

Chuyên đề 2: Hàm số lượng giác

313

Chuyên đề 3: Phương trình lượng giác

327

CHƯƠNG 4: TỔ HỢP, XÁC SUẤT

347

Chuyên đề 1: Hai quy tắc đếm, hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp

347

Chuyên đề 2: Nhị thức Niu-tơn

364

Chuyên đề 3: Xác suất

378

CHƯƠNG 5: DÃY SỐ, GIỚI HẠN, ĐẠO HÀM

389

Chuyên đề 1: Dãy số. Giới hạn của dãy số

389

Chuyên đề 2: Giới hạn của hàm số. Hàm số liên tục

401

Chuyên đề 3: Cấp số cộng, cấp số nhân

413

Chuyên đề 4: Đạo hàm

424

Chuyên đề 5: Phương trình tiếp tuyến

438

6
Sở hữu ngay

“BẢO BỐI” giúp em bứt phá điểm 9, 10,

bấm
vào đây

/>
hoặc gọi

024.3399.2266


Chương 2: Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH,
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
VÀ BẬC HAI MỘT ẨN
Phần 1

LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Đại cương về phương trình
Phương trình một ẩn
Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng f ( x ) = g ( x ).
Trong đó:

(1)

f ( x ) và g ( x ) là những biểu thức của x.

x gọi là ẩn.
Nếu có số thực x 0 sao cho f ( x 0 ) = g ( x 0 ) là mệnh đề đúng thì x 0 được gọi là một
nghiệm của phương trình (1).
Ta nói: f ( x ) là vế trái của phương trình (1), g ( x ) là vế phải của phương trình (1).
Ta có: f ( x ) và g ( x ) xác định lần lượt trên Df và Dg . Khi đó D = Df ∩ Dg gọi là tập xác
định của phương trình.
Tập hợp chứa tất cả các nghiệm của phương trình (1) được gọi là tập nghiệm của
phương trình (1).
Phương trình nhiều ẩn
Ví dụ: 3x − 4y + 5 = 9x − 1: Phương trình 2 ẩn x và y.
4x 2 − y + z = 6 : Phương trình 3 ẩn x; y; z.

Phương trình chứa tham số
Ví dụ: 5x + m − 1 = 0 : Phương trình một ẩn x, tham số m.
4x 2 − y 3 + 2 = m : Phương trình hai ẩn x và y, tham số m.

Chú ý: Tham số trong phương trình đóng vai trò như một hằng số.

253
Sở hữu ngay

“BẢO BỐI” giúp em bứt phá điểm 9, 10,

bấm
vào đây

/>

hoặc gọi

024.3399.2266


Đột phá 8+ môn Toán kì thi THPT Quốc gia
Phương trình tương đương
Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.
Nếu phương trình f ( x ) = g ( x ) tương đương với phương trình f1 ( x ) = g1 ( x ) thì ta viết

f ( x ) = g ( x ) ⇔ f1 ( x ) = g1 ( x ) .

Cho phương trình f ( x ) = g ( x ) xác định trên D và h ( x ) xác định trên D. Khi đó, ta có:
f ( x ) = g ( x ) ⇔ f ( x ) + h ( x ) = g ( x ) + h ( x ) và

với

.

Phương trình hệ quả
Nếu mọi nghiệm của phương trình f ( x ) = g ( x ) đều là nghiệm của phương trình

f1 ( x ) = g1 ( x ) thì phương trình f1 ( x ) = g1 ( x ) được gọi là phương trình hệ quả của phương
trình f ( x ) = g ( x ) . Ta viết f ( x ) = g ( x ) ⇒ f1 ( x ) = g1 ( x ) .
Ta có f(x) = g(x) ⇒ [ f(x)] = [g(x)] .
2

2

Chú ý:

Nếu hai vế của một phương trình luôn cùng dấu thì khi bình phương hai vế của nó, ta
được một phương trình tương đương.
Nếu phép biến đổi tương đương dẫn đến phương trình hệ quả, ta phải thử lại các
nghiệm tìm được vào phương trình ban đầu rồi mới kết luận nghiệm.
2. Phương trình bậc nhất, bậc hai một ẩn
.

Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng:

Phương trình bậc hai một ẩn có dạng: ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ).
Ta có ∆ = b2 − 4ac và ∆ ' = ( b' ) − ac , trong đó b ' =
2

b
.
2

Định lí Vi-ét: Phương trình ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) có hai nghiệm

thì:

b

S = x1 + x 2 = − a

P = x .x = c
1
2

a

u + v = S
Nếu u và v có 
thì u và v là các nghiệm của phương trình x 2 − Sx + P = 0.
uv = P
3. Một số phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai
Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Phương trình chứa ẩn ở mẫu.
Phương trình chứa dấu căn.

254
Sở hữu ngay

“BẢO BỐI” giúp em bứt phá điểm 9, 10,

bấm
vào đây

/>
hoặc gọi

024.3399.2266


Chương 2: Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Phương trình bậc ba.
Phương trình bậc bốn trùng phương.

Phần 2

CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình
1. Phương pháp giải
Một số cách xác định điều kiện:
Đa thức xác định với mọi giá trị thuộc  .
Phân thức
Căn thức
Phân thức

Phân thức

f (x)

g( x)

xác định khi g ( x ) ≠ 0.

f ( x ) xác định khi f ( x ) ≥ 0.
f (x)

xác định khi g ( x ) > 0.

g( x)

f (x)
g( x)

2

xác định khi g ( x ) ≠ 0.

Chú ý:
Ta cần phân biệt điều kiện xác định và tập xác định.
Điều kiện xác định là điều kiện nào đó của ẩn.
Tập xác định là tập hợp.
Ví dụ: Phương trình

x = 0 có điều kiện xác định là x ≥ 0 , có tập xác định là D = [0; +∞ ) .

2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tập xác định của phương trình
A.  \ {2;0}.

x−2 1
2
là:
− =
x + 2 x x(x − 2)
C. ( −∞; −2 [.

B. [ 2;+∞ ).

D.  \ {−2;0;2}.

Hướng dẫn

x + 2 ≠ 0
 x ≠ −2



⇔ x ≠ 0
Cách 1: Phương trình có điều kiện xác định:  x ≠ 0
x − 2 ≠ 0
x ≠ 2


Vậy phương trình có tập xác định là  \ {−2;0;2} .

255
Sở hữu ngay

“BẢO BỐI” giúp em bứt phá điểm 9, 10,

bấm
vào đây

/>
hoặc gọi

024.3399.2266


Đột phá 8+ môn Toán kì thi THPT Quốc gia
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570VN PLUS
Thử các đáp án:
Thay x = 2 vào phương trình, ta thấy máy tính hiện MATH ERROR, do đó x = 2 không
thuộc tập xác định. Nên loại đáp án B.
Thay x = −2 vào phương trình, ta thấy máy tính hiện MATH ERROR, do đó x = −2
không thuộc tập xác định. Nên loại
ch đáp án A và C.

Chọn D.
Ví dụ 2: Tập xác định của phương trình
4
A.  \  .
3 

3x − 2 + 4 − 3x = 1 là:

2 4
B.  ;  .
3 3

2 4
C.  ;  .
3 3 

2 4 
D.  \  ; .
3 3 

Hướng dẫn


 x ≥
3x
2
0
−
≥


Cách 1: Phương trình có điều kiện xác định: 
⇔
4 − 3x ≥ 0
x ≤

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570VN PLUS

2
2 4
3
⇔ x∈ ; .
4
3 3 
3

Thử các đáp án:

Chọn C.
Ví dụ 3: Tìm tập xác định của phương trình
A. D = .

B. D =  \ {−2}.

3x
−1 .
−4= 2
x +2
3x + 5
2

C. D =  \ {3}.

D. D =  \ {−5}.

Hướng dẫn
 x 2 + 2 ≠ 0
Phương trình có điều kiện xác định:  2
(luôn đúng).
3x + 5 ≠ 0
Vậy tập xác định của phương trình là D =  .

Chọn A.
Ví dụ 4: Cho phương trình
phương trình trên là:

A. ( 4;+∞ ).

2x − 1
−7x
6x − 4
, tập xác định của
+ 2
=− 2
x − 5x + 6 x − 6x + 8
x − 7x + 12
2

B.  \ {2;3;4}.

C. .

D.  \ {4}.

256
Sở hữu ngay

“BẢO BỐI” giúp em bứt phá điểm 9, 10,

bấm
vào đây

/>
hoặc gọi

024.3399.2266


Chương 2: Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Hướng dẫn

 x 2 − 5x + 6 ≠ 0
x ≠ 2
 2

Phương trình có điều kiện xác định:  x − 6x + 8 ≠ 0 ⇔  x ≠ 3
 2
x ≠ 4

 x − 7x + 12 ≠ 0
Vậy tập xác định của phương trình trên là  \ {2;3;4} .

Chọn B.
3. Bài tập tự luyện
Câu 1 (ID: 31923) Tập xác định của phương trình
A. ( 2;+∞ ) .

1
3
4
là:
−
= 2
x+2 x−2 x −4

C. [ 2;+∞ ) .

B.  \ {−2;2}.

Câu 2 (ID: 31924) Tập xác định của phương trình

D. .

2x
1
6 − 5x
là:
+
=
3 − x 2x − 1 3x − 2

1 3

1 2
D.  \  ;3; .
C.  \  ;3; .
2 2
2 3 
1
Câu 3 (ID: 31925) Điều kiện xác định của phương trình
+ x 2 − 1 = 0 là:
x
A. ( 3;+∞ ) .

B. [3;+∞ ) .

A. x ≥ 0.

B. x > 0.

Đáp án

1–B

2–C

C. x > 0 ; x 2 − 1 ≥ 0. D. x ≥ 0 ; x 2 − 1 > 0.

3–C

Dạng 2: Phương trình tương đương, phương trình hệ quả
1. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Chọn khẳng đị

g trong các khẳng định sau:

A. 3x + x − 2 = x 2 + x − 2 ⇔ 3x = x 2.

B.

C. 3x + x − 2 = x 2 ⇔ 3x = x 2 − x − 2.

D. Cả A, B, C đều sai.

.

Hướng dẫn
Đáp án A và B: Ta thấy 2 phương trình này không có cùng tập nghiệm. Từ đó suy ra hai phương
trình chúng không tương đương với nhau.
Đáp án C: Ta chuyển vế các hạng tử của phương trình thì ta được phương trình tương đương.
Chọn C.

257
Sở hữu ngay

“BẢO BỐI” giúp em bứt phá điểm 9, 10,

bấm
vào đây

/>
hoặc gọi

024.3399.2266


Đột phá 8+ môn Toán kì thi THPT Quốc gia
Ví dụ 2 : Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai?
A.
C.

B. x = 2 ⇔ x = 2.

x − 3 = 2 ⇒ x − 3 = 4.
x(x − 2)
= 2 ⇒ x = 2.
x−2

D.

x − 2 = 3 2 − x ⇔ x − 2 = 0.

Hướng dẫn
Đáp án A: Ta bình phương hai vế thì được phương trình hệ quả.
Đáp án B : Vì x = 2 ⇔ x = ±2 . Nên đáp án B sai.
Chọn B.
Ví dụ 3 : Phương trình ( x − 4 ) = x − 2 là phương trình hệ quả của phương trình nào ?
2

A.

x − 2 = x − 4.

B.

x − 4 = x − 2.

C. x − 4 = x − 2.

D.

x − 4 = x − 2.

Hướng dẫn
Đáp án A : Ta có

x−2 = x−4

Chọn A.

(

)

Ví dụ 4 : Cho phương trình x 2 + 3 ( x – 1)( x + 1) = 0 . Phương trình đã cho tương đương
với phương trình:

A. x + 1 = 0.

B. x 2 + 1 = 0.

D. ( x − 1)( x + 1) = 0.

C. x − 1 = 0.
Hướng dẫn

Phương trình đã cho có nghiệm x = 1 hoặc x = −1 .
Đáp án A: Phương trình có nghiệm x = −1 . Loại đáp án A.
Đáp án B: Phương trình vô nghiệm. Loại đáp án B.
Đáp án C: Phương trình có nghiệm x = 1. Loại đáp án C.
Đáp án D: Phương trình có nghiệm x = 1 hoặc x = −1 . Chọn đáp án D.
Chọn D.
Ví dụ 5: Cho hai phương trình x 2 + x + 1 = 0 (1) và

1

( 2) .

Chọn khẳng

định đúng nhất trong các khẳng định sau.

A. Phương trình (1) và ( 2 ) tương đương.

B. Phương trình ( 2 ) là phương trình hệ quả của phương trình (1) .
C. Phương trình (1) là phương trình hệ quả của phương trình ( 2 ) .
D. Cả A, B, C đều đúng.

258
Sở hữu ngay

“BẢO BỐI” giúp em bứt phá điểm 9, 10,

bấm
vào đây

/>
hoặc gọi

024.3399.2266


Chương 2: Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Hướng dẫn
Giải phương trình (1) , ta thấy phương trình (1) vô nghiệm.
2 − x ≥ 0
Giải phương trình ( 2 ) , ta có điều kiện 
⇔ x ∈ ∅ . Nên phương trình (2) vô nghiệm

Nên cả ba đáp án A, B, C đều đúng.
Chọn D.
Ví dụ 6 : Tập nghiệm của phương trình
A. T = {0}.

x 2 − 5x = 5x − x 2 là:

B. T = {0;5}.

C. T =  \ {0;5}.

D. T = {5}.

Hướng dẫn
 x 2 − 5x ≥ 0
Phương trình có điều kiện xác định : 
⇒ x 2 − 5x = 0 ⇔
2
5x − x ≥ 0

x = 0
.

x = 5

Thay x = 0 và x = 5 vào phương trình, ta thấy thỏa mãn.
Vậy tập nghiệm của phương trình là T = {0;5} .
Chọn B.
2. Bài tập tự luyện
Câu 1 (ID: 32) Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương
trình 3x + 5 = 0 ?
A. 5x − 3 = 2x + 9

B. 4x − 7 = x − 8

C. 6x + 3 = 3x − 9

D. 7x + 9 = x − 1

Câu 2 (ID: 38) Phương trình 2x + 1 = 3x − 1 nhận phương trình nào sau đây là phương
trình hệ quả?
A. x 2 − 2x + 1 = 0

B. x 3 + 8 = 0

C. x 2 − 5x + 6 = 0

D. x + 2 = 0

Câu 3 (ID: 31) Hai phương trình 2x − 1 = 0 và (−2m + 4 ) x − 2m − 5 = 0 tương đương khi:
A. m là số nguyên tố.

B. m > 0.

C. m = −1 .

D. m < 0.

Đáp án

1–D

2–C

3–C

259
Sở hữu ngay

“BẢO BỐI” giúp em bứt phá điểm 9, 10,

bấm
vào đây

/>
hoặc gọi

024.3399.2266


Đột phá 8+ môn Toán kì thi THPT Quốc gia
Dạng 3: Giải và biện luận phương trình bậc nhất, bậc hai một ẩn
1. Phương pháp giải
Giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0

(1)

Trường hợp 1:

suy ra phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x.

Trường hợp 2:

suy ra phương trình (1) vô nghiệm.
suy ra phương trình

(1) là phương trình bậc nhất một ẩn.
(1) có nghiệm duy nhất x = −

Chú ý:

b
.

a

a = 0
Phương trình (1) vô nghiệm khi 
b ≠ 0

a = 0
Phương trình (1) có vô số nghiệm khi 
b = 0
Phương trình (1) có nghiệm khi a ≠ 0.

Khi tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm (hoặc vô nghiệm), ta có thể tìm
điều kiện để phương trình (1) vô nghiệm (hoặc có nghiệm), sau đó lấy kết quả ngược lại.
Giải và biện luận phương trình dạng ax 2 + bx + c = 0

(2)

Trường hợp 1: a = 0 . Ta có: (2) ⇔ bx + c = 0 (Đưa về dạng trên).
Trường hợp 2: a ≠ 0 . Ta có: (2) là phương trình bậc hai một ẩn có ∆ = b2 − 4ac.
, phương trình (2) vô nghiệm.
, phương trình (2) có nghiệm kép x = −

b
.
2a

, phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt x1,2 =
Chú ý:
Phương trình (2) vô nghiệm khi

c

hoặc

−b ± ∆
.
2a

.

a = 0
a ≠ 0
hoặc 
.
Phương trình (2) có nghiệm duy nhất khi 
b ≠ 0
∆ = 0
a ≠ 0
Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khi 
.
∆ > 0

260
Sở hữu ngay

“BẢO BỐI” giúp em bứt phá điểm 9, 10,

bấm
vào đây

/>
hoặc gọi

024.3399.2266


Nếu em đang cần 1 cuốn sách tổng hợp đủ kiến thức của cả 3 năm lớp 10, 11, 12? Kiếm điểm 8 nhẹ
nhàng mà không cần đến cả núi sách?
Thì cuốn sách em mới đọc qua bản đọc thử sẽ chính là cuốn sách mà các em đang mong chờ.
Hãy cùng CCBook xem những ảnh dưới đây của các bạn đã mua sách trước. Để biết chắc đây chính là
bộ tài liệu ôn thi chuẩn nhất dành cho kì thi THPTQG 2019 mà các em đang tìm kiếm bấy lâu:

HOÀNG THỊ HỒNG NHUNG

ĐINH THỊ THÚY HẰNG

HỌC SINH LỚP 12
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG

HỌC SINH LỚP 12 THPT QUỐC HỌC HUẾ

“Em rất thích cuốn sách này nó rất hay tóm tắt
chuyên đề trong bản đồ tư duy rất súc tích các
bước làm dễ hiểu giải chi tiết có đầy đủ ví dụ. Rất
may mắn cho em vì đã tìm đc cuốn sách này. Em
rất rất cảm ơn shop. Mong shop sẽ ra nhiều cuốn
hay hơn nữa”.

TRẦN THANH HUYỀN

“Em không săn được chương trình ưu đãi nhân
dịp ra mắt, em tiếc lắm Ad. Nhưng khi nhận được
sách, em thấy không hối hận chút nào. Một bộ
sách đáng đồng tiền so với những gì chúng em
nhận được, vừa đủ kiến thức 3 năm, lại còn được
tặng 3 tiện ích miễn phí nữa. Em sẽ học tập thật
chăm chỉ vì có bộ sách này”

Chỉ có

Đặc biệt
cho em một tấm vé đậu vào Đại học

-

Mua
Mua
Mua
Mua
Mua
Mua
Mua
Mua
Mua

HỌC SINH LỚP 12 TRƯỜNG THCS PT &
THPT HAI BA TRƯNG VĨNH PHÚC
Thí sinh Cuộc thi Đường lên đỉnh Olympia tuần
1 tháng 2 quý 4 (phát sóng chiều 1/7
“Sách siêu xinh xịn hịn mịn. Hay quá em phải

mua tiếp thôi”

2 cuốn giá chỉ còn 390k (chỉ còn: 195k/cuốn)
3 cuốn giá chỉ còn 570k (chỉ còn: 190k/cuốn)
4 cuốn giá chỉ còn 740k (chỉ còn: 185k/cuốn)
5 cuốn giá chỉ còn 900k (chỉ còn: 180k/cuốn)
6 cuốn giá chỉ còn 1050k (chỉ còn: 175k/cuốn)
7 cuốn giá chỉ còn 1190k (chỉ còn: 170k/cuốn)
8 cuốn giá chỉ còn 1320k (chỉ còn: 165k/cuốn)
9 cuốn giá chỉ còn 1440k (chỉ còn: 160k/cuốn)
trên 10 cuốn giá chỉ còn 150k/cuốn

MUA CÙNG NHIỀU BẠN - CÀNG NHIỀU ƯU ĐÃI
NHANH TAY RỦ BẠN BÈ CÙNG MUA SÁCH ĐỂ HƯỞNG ƯU ĐÃI “KHỦNG” VÀ QUÀ TẶNG ĐỘC QUYỀN TỪ CCBOOK EM NHA

Vẫn chưa hết, 100 TEEN NHANH NHẤT đặt sách còn được “Ẵm” trọn cơn lốc bộ 4 quà
tặng tích hợp kèm sách trị giá 4.000.000đ bao gồm:
Hệ thống video bài giảng chữa bài khó để ghi điểm 9, 10.
Hệ thống thi thử, luyện đề chuẩn định hướng thi THPTQG 2019.
Quyền tham gia nhóm giải đáp học tập 24/7
Bộ tài liệu học tập tất cả các môn trong 1 năm có giá trị hơn 500k.

Đặt mua ngay bằng cách
Nhắn tin vào theo link

/>
hoặc gọi

024.3399.2266