Chuyen de tinh nhanh phan so

“TÍNH NHANH VỀ PHÂN SỐ” LỚP 5.
1. Giúp học sinh nắm vững bài toán cơ bản.
Bài toán tính nhanh tổng sau:

1
1
1
1
+
+
+…
1X 2
2 X 3 3X 4
99 X 100

Giải

1
2 1
2
1
1
=
=
=11X 2
1X 2
1X 2
1X 2
2
1
100  99

100
1
1
1
=
=
=
99 x100
99 x100
99 x100 99 x100 99 100

Vậy:

1
1
1
1
1 1 1
1
1
1
+
+
+ …+
= 1- + - +…+
1x 2
2 x3
3x4
99 x100
2 2 3

99
199 100

= 1-

1
100
1
100  1
99
=
=
=
100
100 100
100
100

2. Cho học sinh xét tổng trên:
- Các phân số đều có tổng số bằng 1
- MS là tích của 2 số, số sau lặp lại một số của mẫu số trước.
3. Xây dựng cách tính cơ bản:
Khi phân số đã cho các tử số bằng nhau và mẫu số là tích của 2 số tự nhiên cách đều có
khoảng cách đúng bằng tử số, số trước lặp lại số sau.
Hay: Hiệu 2 mẫu số trong một phân số bằng tử số ta đưa về dạng.
a
1 1
= (c- b = a)
bxc
b c

Sau đó rút gọn những phân số giống nhau, ví dụ:

1 1
- =0
2 2

Từ cách tính trên học sinh có thể dễ dàng làm được bài toán tính nhanh.
II. Phát triển thêm một số bài toán từ bài toán trên.
Bài toán: Tính S =

3
3
3
+
+ …+
1x 4
4 x7
97 x100

Khi nắm vững bài toán cơ bản trên 1 số học sinh đã giải như sau:
Giải:
3 3 3 3
3
3
- ; - ; ... ;
1 4 4 7
97 100
3 3
3 3

3
3
S= - + - +… +
1 4
4 7
97 100
3
297
S= 3=
100
100

Ta có:

Sau khi học sinh giải được kết quả như trên tôi đã cho các em nhận xét:
3 3
9
9
3
3
- = cho kết quả là: sai?, bởi vì:
=
1 4
4
4
1x 4
4

Hiệu 2 mẫu số trong 1 phân số bằng bao nhiêu? (4 – 1 = 3)
Tử số bằng mấy ? (3)

1


Vậy khi hiệu 2 mẫu số bằng tử số ta đưa về dạng nào? (

a
1 1
= - )
bxc
b c

Vậy cách giải trên đã đúng chưa? (sai)
Từ đó các em đã hiểu ra cách giải như sau:
Giải:
Ta có:

3
1
= 1;
1x 4
4

3
1 1
3
1
1
= - ; ... ;
=
4 x7

4 7
97 x100
97 100

1
1 1
1
1
+ - +…+
4
4 7
97 100
1
99
S= 1 =
100
100

S= 1 -

Giáo viên kết luận: Tử số bằng bao nhiêu mà đúng bằng hiệu 2 mẫu số thì ta đưa về dạng toán cơ
bản để tính.
Bài toán 2: Tính nhanh
S= 1 -

1
1
1
1
+

+
+…+
1x3
3 x5
5 x7
99 x101

Nhận xét: Bài toán có điểm gì khác với bài toán cơ bản?
(Hiệu 2 mẫu số lớn hơn tử số 3 - 1 = 2 lần)
- Ta có thể làm thế nào để đưa về dạng cơ bản?
(Làm xuất hiện số 2 ở tử số của các phân số)
Nhân 2 vế với 2 ta có:
2
2
2
2
+
+
+…+
1x3
3 x5
5 x7
99 x101
1
100
Giải ra ta có: S x2 = 1 =
101
101
100
50

S=
:2=
101
101

Sx2=

Giáo viên kết luận: Khi gặp bài toán mà hiệu 2 mẫu số gấp mấy lần tử số thì ta phải nhân 2
vế với số lần mà hiệu 2 mẫu số gấp tử số, để tử số và hiệu 2 mẫu số bằng nhau và đưa về dạng bài
toán cơ bản.
1
2
2
2
2
�(
+
+
+…+
)
2
1x3
3 x5
5 x7
99 x101
1
1
1 100
50
Giải ra ta có: S = �(1 )= �

=
2
101
2 101
101

Hoặc: S =

Bài toán 3: Tính nhanh
S=

3
3
3
3
+
+
+…+
1x 2
2 x3
3x4
999 x100

Nhận xét: So với ví dụ 2 thì bài toán có điểm khác đó là tử số lớn hơn hiệu 2 mẫu số 3> 2-1 = 1
( hơn 3 lần)
Ta làm phép chia 2 vế cho 3 hoặc nhân với 3
Giải:
Chia 2 vế cho 3 ta có:
S:3 =

1
1
1
1
+
+
+…+
1x 2
2 x3
3x4
99 x100

Tương tự bài toán cơ bản ta có:
2


1
99
=
100
100
99
297
97
S=
x3=
=2
100
100
100

S:3 = 1-

Kết luận: Hai hiệu mẫu số bé hơn tổng số thì ta chia 2 vế cho số lần bé hơn đó và đưa về dạng cơ
bản hoặc nhân cả tổng với số lần còn thừa (Tử số gấp mẫu số 3 lần ta nhân với 3)
Bài toán 4: Tính nhanh
S=

3
3
1
+
+…+
1x3
3 x5
99 x101

Giải:
3
S = �( 1 2
3
S = �( 1 2
150
S=
101

1
1
1
1

1
+ + ... +
)
3
3
5
99 101
1
)
101

Rút ra cách tính chung:
Nếu tử số bằng bao nhiêu của mẫu số thì ta phải nhân với số đó để đưa về dạng ban đầu.
Xuất phát từ bài toán cơ bản cũng có thể có cách ra bài toán như sau:
Bài toán 5: Chứng tỏ rằng M =

1
1
1
+
+…
<1
1x 2
2 x3
99 x100

Bài toán xuất phát từ bài toán cơ bản cơ bản ta có thể dễ dàng rút ra
M=

99

và nhỏ hơn 1 vì 99 < 100
100

Bài toán 6: Tính nhanh
S=

1
1
1
1
+
+
+…+
4
28
70
10300

Nhận xét: HS thường mất phương hướng khi gặp bài toán này do không tìm ra quy luật ở mẫu
số.
- Ta đưa về dạng ban đầu bằng cách phân tích
4=1x4
; 28 = 4 x7; ... ; 10300 = 100 x 103
1
1
1
1
+
+
+ ... +

1�4
4 �7
7 �10
100 �103
1
1 1
1
1
�(1 + - +... +
)
4
4 7
100 103
1
1
102
34
�(1 )= �
=
103
3
103
103

Ta có S =
1
3
1
S=
3

S=

Tươn tự khi gặp bài toán:
Bài toán 7: Tính

1
5
11
19
29
41
55
71
89
+ +
+
+
+
+
+
+
2
6
12
20
30
42
56
72

90

- HS khó tìm ra dạng cơ bản để tính
- Nhiều HS quy đồng mẫu số nhưng cách làm quá dài và kết quả không chính xác.
- Giúp HS nhận ra từ mẫu số:
2=1x2;
6= 2 x 3 ;
90 = 9 x 10
Giải:
3


Nhận xét:
1
1
5
1
89
1
=1- ;
= 1- ;
=12
2
6
6
90
90
1
5
11

89
1
1
1
Ta có: + +
+… + = 1- + 1 - +… + 1 2
6
12
90
2
6
90
1
1
1
+ +…+ )
2
6
90
1
1
1
= 9- (
+
+… +
)
1x 2 2 x3
9 x10
9
81

= 9=
10
10

= 1 + ….+ 1 – (

Bài toán 8: Tính nhanh
1
2
3
4
10
+
+
+
+…
`
2 x3
3 x5
5 x8 8 x12
47 x57
1
1 1
2
1 1
3
1 1
10
1
1

Nhận xét:
=
- ;
=
- ;
=
- ; ... ;
=
2 x3
2 3 3 x5
3 5 5 x8
5 8
47 x57
47 57
1
2
3
10
Vậy:
+
+
+ …+
2 x3
3 x5
5 x8
47 x57
1 1
1
1
1 1

1
1
= - + + - + …+
2 3
3
5
5 8
47 57
1
1
55
= =
2 57
114

Kết luận: Khi gặp bài toán không giống trình tự, khoảng cách cách đều như bài toán cơ bản
nhưng hiệu 2 mẫu số bằng tử số ta vẫn đưa về dạng

a
1 1
= - rồi
bxc
b c

Làm tương tự bài toán cơ bản.
Bài toán 9: Chứng minh
A=

3
3

3
3
3
3
+
+
+
+
+…
<3
1x 4
2 x5
3 x6
4 x7
5 x8
100 x103

Hướng dẫn: Tử số bằng nhau nhưng mẫu số không theo quy luật của bài toán cơ bản ta phải
nhóm cho phù hợp quy luật đó để tính.
3
3
3
3
3
3
+
+…
)+(
+
+…

)
1x 4 4 x7
100 x103
2 x5
5 x8
98 x101
3
3
3
+(
+
+…
)
3 x6
6 x9
96 x99

A=(

Đưa về dạng cơ bản
Tính được kết quả như sau:
A= (11-

1
1
1
) + (1) + (1- ) < 3
103
101
99

1
< 1 => A < 3
103

Bài toán 10: Chứng minh
B=

1
1
1
1
1
+ +
+
+…+
<1
3
7
13
21
91

Nhận xét: HS khó tìm ra phương hướng để giải bài này.
4


Hướng dẫn HS làm trội: Ta có
1
1

+
2
6
1
B<
+
1x 2
1
B< 110

B<

1 1 1 1 1
1
1
1
< , < , < … 91 <
3 2 7 6 13 12
90

1
1
+…
12
90
1
1
1
+
+

2 x3
3x4
9 x10
9
=> B<
=> B<1
10

+

Như vậy ta phải sử dụng phân số đã cho với 1 phân số khác sao cho phân số đó đưa về
được dạng cơ bản để tính và sử dụng một cách nhanh chóng.
1
1
1
1
+
+
+…+
<1
2 x2
3 x3
4 x4
100 x100
1
1
1
1
1
1

Tương tự:
<
;
<
;…
<
2 x 2 1x 2 3 x3
2 x3
100 x100 99 x100

Bài toán 11: C/M A=

(Vì tử số bằng nhau, mẫu số bé hơn thì phân số lớn hơn)
1
1
1
+
+ …+
1x 2
2 x3
99 x100
1
99
A< 1=
= >A< 1
100
100
1
1
1

1
Bài toán 12: C =
+
+
+ …+
1x 2 x3
2 x3 x 4
2 x3
8 x9 x10
1
1
1
1
Ta có:
= x(
)
1x 2 x3
2
1x 2 2 x3

Như vậy: A<

1
1
1
1
= x(
)
2 x3 x 4
2

2 x3 3 x 4
1
1
1
1
= x(
)
8 x9 x10
2
8 x9 9 x10
1
1
1
1
1
1
1
C= x (
+
+…+
)
2
1x 2 2 x3 2 x3
3x4
8 x9 9 x10
1
1
1
1
45  1

11
= x(
)= x(
)=
2
1x 2 9 x10
2
90
45
1
Hướng dẫn: Ta phải đưa ra phần chung (phân số ) để từ đó đưa về dạng ban đầu, bài này phức
2

tạp hơn khi mẫu số có đến 3 tích.
III. Một số bài toán để học sinh luyện tập.
Tính nhanh:
2
2
2
2
+
+
+ …+
1x3
3 x5
5 x7
99 x100
1
1
1

1
2.
+
+
+ …+
1x5
5 x9
9 x13
101x105
6
6
6
6
3.
+
+
+ …+
1x3
3 x5
5 x7
99 x101

1.

5


4
4
4

+
+ …+
1x3
3 x5
2003 x 2005
5
5
5
5
5.
+
+
+ …+
14
84
204
2964
2
2
2
2
2
2
6.
+
+
+
+
…+
1x3

2 x4
3 x5 4 x 6
5 x7
19 x 21
1
2
3
4
11
7.
+
+
+
+ …+
1x 2
2 x4
4 x7 7 x11
56 x67

4.

6