Bài tập trắc nghiệm lượng giác vận dụng cao

CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC



 cos 1  sin 1    cos 2  sin 2  
cos 1
2 sin  1  45 

cos 2
2 sin  2  45 



 cos 45  sin 45 
cos 45
2 sin  45  45 

 
cos 2
cos 45
45 cos 44.cos 43.....cos 2.cos 1
sin 90
2 .

cos 1.cos 2.....cos 43.cos 44 cos 45

cos 1





 


 2

45



 1 

.
 2


 2 

 2

45

. 2  2 23  n  23.

Chọn C.
Câu 3. Tëm số nguyên dương n nhỏ nhất của thỏa mãn
1
1
1
2


 

.
0
0
0
0
0
0
sin 45 .sin 46 sin 46 .sin 47
sin 134 .sin 135
sin n 0
A. n  1.

B. n  45.

C. n  46.

D. n  91.

Lời giải
1
1
1

 
sin 45.sin 46 sin 46 .sin 47
sin 134 .sin 135
sin 1

sin 1
sin 1
 sin 1.P 

 
sin 45.sin 46 sin 46.sin 47
sin 134.sin 135

Đặt P 

 sin 1.P  cot 45  cot 46  cot 46  cot 47  ...  cot 134  cot 135
2
 sin 1.P  cot 45  cot 135  2  P 
 n  1.
sin 1

Chọn A.
Câu 4. Cho góc  thỏa 0   
A. P 

3
.
2

B. P 


5
và sin   cos  
. Tính P  sin   cos .

4
2

1

2

1
C. P   
2

D. P  

3
.
2

Lời giải
Ta có  sin   cos     sin   cos    2  sin 2   cos 2    2 .
2

2

Suy ra  sin   cos    2   sin   cos    2 
2

Do 0   

2

5 3
 .
4 4


3
suy ra sin   cos  nên sin   cos   0 . Vậy P  
.
4
2

Chọn D.
Câu 5. Cho góc  thỏa mãn tan   
A. P  5.

B. P   5.

4


 3

và    ; 2   . Tính P  sin  cos .
3
2
2
 2


C. P  

5
.
5

D. P 

5
.
5

Lời giải

6 | Chinh phục olympic toán

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học


TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
 3
   3 
Ta có P 2  1  sin . Với    ; 2     ;  .
2  4 
 2



2
0  sin 



2
2
Khi đî 
, suy ra P  sin  cos  0 .
2
2
 1  cos    2

2
2

Từ hệ thức sin 2   cos 2   1 , suy ra sin 2   1  cos 2   1 

1
16
.

2
1  tan  25

4
 3

Vì    ; 2   nên ta chọn sin    .
5
 2


Thay sin   

4
1
5
vào P 2 , ta được P 2  . Suy ra P  
.
5
5
5

Chọn C.



 5


Câu 6. Cho phương trënh cos 2  x    4 cos   x   . Nếu đặt t  cos   x  thì
3

6
 2
6


phương trënh đã cho trở thành phương trënh nào dưới đây?
A. 4t 2  8t  3  0. B. 4t 2  8t  3  0.

C. 4t 2  8t  5  0.


2

x  4  k 4
D. 
 x     k2 

3

Lời giải






Ta có cos 2  x    1  2 sin 2  x    1  2 cos 2   x  .
3
3


6




 3
Do đî phương trënh tương đương với 2 cos 2   x   4 cos   x    0
6


6
 2




 4 cos 2   x   8 cos   x   3  0.
6

6



Nếu đặt t  cos   x  thë phương trënh trở thành 4t 2  8t  3  0  4t 2  8t  3  0.
6


Chọn A.
Câu 7. Biểu diễn tập nghiệm của phương trënh cos x  cos 2x  cos 3x  0 trên đường trín
lượng giác ta được số điểm cuối là
A. 2.

B. 4.

C. 5.

D. 6.

Lời giải
Ta có cos x  cos 2x  cos 3x  0  2 cos 2x cos x  cos 2x  0

 k2 

 cos 2x  0
x  4  4


k 
 cos x   1
 x     k2 

2

3



và các điểm này không trùng nhau nên tập nghiệm

của phương trënh đã cho cî 6 điểm biểu diễn trên đường trín lượng giác.
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 7


CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Chọn D.
Câu 8. Cî bao nhiêu giá trị của  thuộc  0; 2 để ba phần tử của S  sin  , sin 2  , sin 3
trùng với ba phần tử của T  cos  , cos 2  , cos 3 .
A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Lời giải
Vì S  T  sin   sin 2   sin 3  cos   cos 2   cos 3
 2 sin 2 cos   sin 2   2 cos 2  cos   cos 2   sin 2   2 cos   1   cos 2   2 cos   1 




sin 2   cos 2
  8  k 2


k 
 cos    1
2

  
 k2 

2

3


Thử lại ta thấy chỉ có    k  k   thỏa S  T.
8

2


1
15
Vì    0; 2   0   k  2     k 
 k  0; 1; 2; 3 .
8
2
4
4

.

Chọn D.
Câu 9. Phương trënh 2 n  1 cos x.cos 2x.cos 4x.cos 8x...cos 2 n x  1 với n 

*

cî tập nghiệm

trùng với tập nghiệm của phương trënh nào sau đây?
A. sin x  0.

B. sin x  sin 2 n x.

C. sin x  sin 2 n  1 x. D. sin x  sin 2 n  2 x.
Lời giải

Vì x  k không là nghiệm của phương trënh đã cho nên nhân hai vế phương trënh cho

sin x, ta được 2 n 1  sin x cos x  .cos 2x.cos 4x.cos 8x...cos 2 nx  sin x

 2 n  sin 2x  .cos 2x.cos 4x.cos 8x...cos 2 n x  sin x
 2 n  sin 2x.cos 2x  .cos 4x.cos 8x...cos 2 n x  sin x
 2 n 1  sin 2 2 x  .cos 4x.cos 8x...cos 2 n x  sin x
 sin 2 n  2 x  sin x.

Chọn D.
Câu 10. Tình diện tìch của đa giác tạo bởi các điểm trên đường trín lượng giác biểu diễn


các nghiệm của phương trënh tan x  tan  x    1.
4


A.

3 10
.
10

B.

3 10
.
5

C.

2.

D.

3.

Lời giải

cos x  0
x


Điều kiện: 



cos
x


0



x 
4




8 | Chinh phục olympic toán


 k
2
k 

 k
4

.
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học


TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

tan x  1

Ta có tan x  tan  x    1  tan x 
1
4
1  tan x

 tan x  tan 2 x  tan x  1  1  tan x
 tan x  0
 x  k
 tan 2 x  3 tan x  0  

k 
 tan x  3
 x  arctan 3  k

.

 Nghiệm x  k biểu diễn trên đường trín lượng giác là hai điểm A, B (xem hình
vẽ).
 Nghiệm x  arctan 3  k biểu diễn trên đường trín lượng giác là hai điểm M, N
(xem hình vẽ).
Ta có S AMN 

1
1
AO.AT
3 10
3 10
MN.AH  .MN.


 S AMBN 
.
2
2
2
2
10
5
AO  AT

Chọn B.
Câu 11. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trënh sin 5x  2 cos 2 x  1 cî dạng

a
với
b

a, b là các số nguyên và nguyên tố cùng nhau. Tình S  a  b.

A. S  3.

B. S  7.

C. S  15.

D. S  17.

Lời giải
Phương trënh tương đương với sin 5x  1  2 cos 2 x  sin 5x   cos 2x

2

x   k



6
3
 sin 5x  sin  2x    
2

 x  3  k 2 


14
7

 Nghiệm dương nhỏ nhất là

3  a  3

 S  17
14
b  14

Chọn D.
Câu 12. Nghiệm âm lớn nhất của phương trënh

sin x
1
a

 cot x  2 cî dạng
1  cos x 1  cos x
b

với a, b là các số nguyên, a  0 và a, b nguyên tố cùng nhau. Tình S  a  b.
A. S  3.

B. S  4.

C. S  5.

D. S  7.

Lời giải

cos x  1
Điều kiện: 
 x  k  k 
sin x  0
Phương trënh 

.

sin x  1  cos x   1  cos x cos x

2
sin 2 x
sin x

 sin x  cos x  1  2 sin 2 x
 sin x  cos x  cos 2x  0
  sin x  cos x  1  cos x  sin x   0.

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

Chinh phục olympic toán | 9


CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC




sin x  cos x  0  tan x  1  x    k  k  
4


x   k2   N 

2


1  cos x  sin x  0  sin  x   

2
k 

4 2

 x    k2   L 

.

 a  1
S3
 Nghiệm âm lớn nhất là   
4 b  4
Chọn A.





Câu 13. Cho phương trënh sin x  sin 5x  2 cos 2   x   2 cos 2   2x  . Số vị trì biểu diễn
4

4


các nghiệm của phương trënh trên đường trín lượng giác là?
A. 1.

B. 2.

C. 4.

D. 6.

Lời giải




2
 2 cos  4  x   1  cos  2  2x   1  sin 2x





.
Ta có 







2
 2 cos
  2x   1  cos   4x   1  sin 4x

4

2


Do đî phương trënh tương đương với sin x  sin 5x  sin 2x  sin 4x
 2 sin 3x cos 2x  2 sin 3x cos x

 2 sin 3x  cos 2x  cos x   0.
k
k 
3

.



sin 3x  0  x 



 x  k2 
cos 2x  cos x  0  cos 2x  cos x  
k 
 x  k2 
3


.

Hợp hai trường hợp ta được nghiệm của phương trënh đã cho là x 

k k2 
=
3
6

k  

 Có 6 điểm biểu diễn trên đường trín lượng giác.
Chọn D.

Câu 14. Cho phương trënh sin x  cos x sin 2x  3 cos 3x  2  cos 4x  sin 3 x  . Tổng nghiệm
âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trënh bằng




A.  .
B.  .
C.  .

D. .
18
20
7
7
Lời giải
1
3 sin x  sin 3x
 sin 3x  sin x   3 cos 3x  2 cos 4x 
2
2


 sin 3x  3 cos 3x  2 cos 4x  sin  3x    cos 4x
3


Phương trënh  sin x 

10 | Chinh phục olympic toán

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học


TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
 k2 

x








42
7 k
 sin  3x    sin   4x   


3

2

 x    k2 

6


Suy ra nghiệm âm lớn nhất là  ; nghiệm dương nhỏ nhất là
.
42
6

.

Chọn A.
Câu 15. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trënh cos 3x  2 cos 2x  1  

1

a
cî dạng
với
2
b

a, b là các số nguyên và nguyên tố cùng nhau. Tình S  a  b.

A. S  7.

B. S  8.

C. S  15.

D. S  17.

Lời giải
Phương trënh  4 cos 3x cos 2x  2 cos 3x  1
 2  cos 5x  cos x   2 cos 3x  1
 2 cos x  2 cos 3x  2 cos 5x  1.

 Nhận thấy sin x  0  x  k  k 

 không thỏa mãn phương trënh.

 Nhân hai vế cho sin x ta được 2 sin x cos x  2 sin x cos 3x  2 sin x cos 5x  sin x
 sin 2x   sin 4x  sin 2x    sin 6x  sin 4x   sin x
k2 

x  5

 sin 6x  sin x  
k 
 x    k2 

7
7

Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất là

.

 a  1

S8
7
b  7

Chọn B.

Câu 16. Cho phương trënh sin 2018 x  cos 2018 x  2  sin 2020 x  cos 2020 x  . Số vị trì biểu diễn các
nghiệm của phương trënh trên đường trín lượng giác là?
A. 3.

B. 4.

C. 6.

D. 2020.

Lời giải

Phương trënh  sin 2018 x  1  2 sin 2 x   cos 2018 x  1  2 cos 2 x   0
 sin 2018 x.cos 2x  cos 2018 x cos 2x  0



 cos 2x  0
  2018
.
2018
sin x  cos x
 k
cos 2x  0  x  
k  .
4 2


 k  k   .
4
 k
Hợp hai trường hợp ta được nghiệm của phương trënh đã cho là x  
k  
4 2
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 11



sin 2018 x  cos 2018 x  tan 2018 x  1  tan x  1  x  

CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
 Có 4 điểm biểu diễn trên đường trín lượng giác.
Chọn B.


Câu 17. Nghiệm âm lớn nhất của phương trënh tan 2018 x  cot 2018 x  2 sin 2017  x   cî dạng
4

a
với a, b là các số nguyên, a  0 và a, b nguyên tố cùng nhau. Tình S  a  b.
b

A. S  3.

B. S  1.

C. S  1.

D. S  3.

Lời giải
tan 2018 x  cot 2018 x  2

.
Ta có 

2017 
2 sin  x  4   2





Do đî phương trënh tương đương với:

tan x  cot x
x 



 

sin  x  4   1 x 

 


 Nghiệm âm lớn nhất là 


 k

4
 x   k2   k 

4
 k2 
4

.

7  a  7

 S  3.
4
b  4

Chọn A.
Câu 18. Cho phương trënh 2 2017  sin 2018 x  cos 2018 x   sin x  cos x  cos x 
dương nhỏ nhất của phương trënh cî dạng

cos 2x
. Nghiệm
1  tan x

a
với a, b là các số nguyên và nguyên tố
b

cùng nhau. Tính S  a  b.
A. S  2.

B. S  3.

C. S  4.

D. S  7.

Lời giải

cos x  0
Điều kiện: 
.
tan x  1
Ta có

cos 2x
cos 2 x  sin 2 x

 cos x  cos x  sin x  .
sin x
1  tan x
1
cos x

Do đî phương trënh  2 2017  sin 2018 x  cos 2018 x   sin x  cos x  cos x   sin x  cos x  cos x
 cos x  sin x  cos x  .  2 2017  sin 2018 x  cos 2018 x   1  0.



cos x  0  L 




sin x  cos x  0  tan x  1  x    k  k 
4



.

2 2017  sin 2018 x  cos 2018 x   1  0  2 2017  sin 2018 x  cos 2018 x   1 : Vô nghiệm vì

12 | Chinh phục olympic toán

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học


TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
sin

2018

x  cos

 a1009  b1009 
ab
x  2. 
  2

2
 2 



2018

 Nghiệm dương nhỏ nhất là

1009



1
2

1008

với a  sin 2 x, b  cos 2 x.

3  a  3

S7
4
b  4

Chọn D.
1
1
1



sin x sin 2x sin 4x

Câu 19. Biết rằng phương trënh
x

k2 

với k 
2a  b

và a, b 

A. S  2017.





1
 0 cî nghiệm dạng
sin 2 2018 x

, b  2018. Tính S  a  b.

B. S  2018.

C. S  2019.

D. S  2020.

Lời giải
Điều kiện: sin 2

2018

x  0.

cos a cos 2a 2 cos 2 a  cos 2a
1
Ta có cot a  cot 2a 



.
sin a sin 2a
sin 2a
sin 2a
x


Do đî phương trënh   cot  cot x    cot x  cot 2x   ...   cot 2 2017 x  cot 2 2018 x   0
2


x
 cot  cot 2 2018 x  0
2
x
x
k2 
 cot 2 2018 x  cot  2 2018 x   k  x  2019
k 
2
2
2 1



a  2019

 S  a  b  2020.
b  1
Chọn D.
Câu 20. Phương trình
A. 1.

sin x 
cî bao nhiêu nghiệm?

x
18

B. 2.

C. 3.

D. Vï số.

Lời giải
Điều kiện: x  0 . Phương trënh

sin x 


 sin x  x.  1 
x
18

18

Phương trënh  1  là phương trënh hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y  sin x (cî đồ
thị là màu xanh như hënh vẽ) với đồ thị hàm số y 

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học


x (cî đồ thị là màu đỏ như hënh vẽ).
18

Chinh phục olympic toán | 13


CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Dựa vào hình vẽ ta thấy hai đồ thị hàm số cắt nhau tại 3 điểm phân biệt nên phương trënh

 1

có 3 nghiệm phân biệt  Đối chiếu điều kiện bài toán ta loại nghiệm x  0 nên

phương trënh đã cho cî 2 nghiệm.
Chọn B.
Câu 21. Phương trënh 2 cos 2 x  2 cos 2 2x  2 cos 2 3x  3  cos 4x  2 sin 2x  1  có bao nhiêu
nghiệm thuộc khoảng  0; 2018  ?
A. 2565.

B. 2566.

C. 2567.

D. 2568.

Lời giải
Phương trënh   1  cos 2x    1  cos 4x    1  cos 6x   3  2 cos 4x sin 2x  cos 4x
 cos 6x  cos 2x  2 cos 4x sin 2x
 2 cos 4x cos 2x  2 cos 4x sin 2x  0
 2 cos 4x  cos 2x  sin 2x   0
 cos 4x  0  x 



 k k 
8
4

.

( cos 4x  cos 2 2x  sin 2 2x   cos 2x  sin 2x  cos 2x  sin 2x  nên chứa luôn cos 2x  sin 2x )
Vì x   0; 2018   0 



1
 4

 k  2018    k   2018    0, 5  k  2565, 39
8
4
2

8


 k  0; 1; 2; 3;...; 2565 . Vậy có 2566 nghiệm.

Chọn B.
Câu 22. Phương trënh

 1  2 cos x  1  cos x   1
 1  2 cos x  sin x

cî bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng

 0; 2018  ?
A. 3025.

B. 3026.

C. 3027.

D. 3028.

Lời giải
Điều kiện:  1  2 cos x  sin x  0. Phương trënh  1  cos x  2 cos 2 x  sin x  2 sin x cos x
 cos 2x  cos x  sin 2x  sin x  0
3x
x
3x
x
cos  2 sin cos  0

2
2
2
2
x
3x
3x 
 2 cos  sin
 cos   0
2
2
2 
x

 cos 2  0  loaïi 
3x

2

 tan
 1  x    k
k 
3x
3x
2
6
3
sin
 cos
0


2
2
 2 cos

.


2
1
1 3
1

Vì x   0; 2018   0    k
 2018   k   2018   .   k  3027, 25.
6
3
4
6 2
4

 k  1; 2; 3;...; 3027 . Vậy có 3027 nghiệm.

14 | Chinh phục olympic toán

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học


TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Chọn C.







Câu 23. Phương trënh sin  3x  9x 2  16x  80   0 cî bao nhiêu nghiệm nguyên
4


dương?
A. 1.

B. 2.

Phương trënh 

C. 3.





D. 4.

Lời giải


3x  9x 2  16x  80  k

4

 3x  9x 2  16x  80  4k
 9x 2  16x  80  3x  4k
3x  4k
 2
2
2
9x  16x  80  9x  24kx  16k

 1
.
2 

2  9k 2  4   98
2k 2  10
98
Phương trënh  2   x 
 9x 
 2  3k  2  
3k  2
3k  2
3k  2
Vì x 



k  1  x  12

nên ta cần có 3k  2  1; 2;7; 14; 49; 98 

 k  3  x  4
.
k  17  x  12  loaïi 

k

Chọn B.
 1

Câu 24. Phương trënh sin 4 x  cos 4  x   
cî bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng
4 4


 0; 2017  ?
A. 4032.

B. 4033.

C. 4034.

D. 4035.

Lời giải
1  cos 2x
 2
sin x 
2
Ta có 
cos x  sin x  2 cos  x   

4


2

4

1
4
 1  cos 2x   1 
Phương trënh  
 cos x  sin x  
 

2
4

  2
  1  cos 2x    1  sin 2x   1
2

2

 3  2  cos 2x  sin 2x   1
 x  k
 1

 sin  2x   

k 

 x    k
4
2



4

.

Vì x   0; 2017   nên


0  k  2017   0  k  2017  Có 2016 nghiệm

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

Chinh phục olympic toán | 15


CC BI TON VN DNG CAO PHNG TRèNH LNG GIC


0


1
8067
k 2017 k
Cú 2017 nghim.

4
4
4

Vy cú tng cng 4033 nghim.
Chn B.
Cõu 25. Tởm s nghim ca phng trởnh tan 4x tan 2x 4 tan x 4 tan 4x.tan 2x.tan x trờn
on ; .
A. 2.

B. 3.

C. 6.

D. 7.

Li gii
cos x 0

iu kin: cos 2x 0.
cos 4x 0


Phng trởnh tan 4x tan 2x 4 tan x 1 tan 4x.tan 2x
tan 4x tan 2x
1 tan 4x.tan 2x 0 )
4 tan x (vỡ cos 2x 0
1 tan 4x.tan 2x
tan 2x 4 tan x

tan x tan x
4 tan x
1 tan x tan x
tan x 2 tan 2 x 1 0


x k
tan x 0 thoỷa maừn




k
2
2
x arc tan

k


tan
x


thoỷ
a
maừ
n

2
2


.

Vỡ x ; Cú tt c 6 nghim tha món.
Chn C.
Cõu 26. Tng tt c cỏc nghim ca phng trởnh tan 5x tan x 0 trờn 0; bng
A. .

B.

3
.
2

C. 2 .

D.

5
.
2

Li gii

cos 5x 0

iu kin:
. Phng trởnh tan 5x tan x 5x x k x k k
4
cos x 0

k
Vỡ x 0; 0 k 0 k 4
k 0; 1; 2; 3 .
4
k 0 x 0

k 1 x
4

3
Suy ra

.

4 4
k 2 x 2 loaùi

k 3 x 3

4

16 | Chinh phc olympic toỏn

.

Fanpage: Tp chớ v t liu toỏn hc


TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Chọn A.
Câu 27. Tổng tất cả các nghiệm của phương trënh cos  sin x   1 trên đoạn  0; 2 bằng
A. 0.

B. .

C. 2 .

D. 3.

Lời giải
Phương trënh tương đương với sin x  k2 , k  .
Vì 1  sin x  1 nên suy ra k  0 , khi đî phương trënh trở thành sin x  0  x  





.

Vì x   0; 2   x  0; ; 2  Suy ra tổng các nghiệm 0    2   3.
Chọn D.

Câu 28. Cho phương trënh x 2   2 cos   3  x  7 cos 2   3 cos  

9
 0. Gọi S là tập các giá
4

trị của tham số  thuộc đoạn  0; 4 để phương trënh cî nghiệm kép. Tổng các phần tử
của tập S bằng
20
A.
.
3

B. 15.

C. 16 .

D. 17 .

Lời giải
9
2

Yêu cầu bài toán     2 cos   3   4  7 cos 2   3 cos     0
4


3 0 ;4 
  11 13 23 


  ;
;
;

 cos  
2
6
6 
6 6
2

 6  3  4 cos    0 
.

3 0 ;4 
 5 7  17  19  

  ;
;
;
 cos   

2
6
6 
6 6

 11 13 23 5 7  17  19
Vậy 







 16 .
6
6
6
6
6
6
6
6

Chọn C.

Câu 29. Tình tổng S tất cả các nghiệm của phương trënh  2 cos 2x  5   sin 4 x  cos 4 x   3  0
trên khoảng  0; 2   .
A. S 

7
.
6

B. S 

11
.
6

C. S  4 .

D. S  5.

Lời giải

Phương trënh   2 cos 2x  5   sin 2 x  cos 2 x   3  0
   2 cos 2x  5  cos 2x  3  0
 2 cos 2 2x  5 cos 2x  3  0
1

cos 2x 



 x    k  k 
2

6
 cos 2x  3  loaïi 

.

  5 7  11 
Vì x   0; 2    x   ; ; ;
  S  4.
6 6 6 6 

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

Chinh phục olympic toán | 17


CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Chọn C.
Câu 30. Tổng các nghiệm của phương trënh
A.

11
.
36

B.


.
3

C.

3 1
3 1

 4 2 trên khoảng
sin x
cos x
7
.
18

 
 0;  bằng
 2

D. .

Lời giải

sin x  0

Điều kiện: 
 x  k k 
2
cos x  0

.

3
1
3
1
cos x  sin x 
sin x  cos x  2 sin 2x
2
2
2
2





 sin   x   sin  x    2 sin 2x
6
3



 

 2 cos .sin   x   2 sin 2x
.
4
 12



x
 k2 




12
 sin   x   sin 2x  
k  .
 12

 x  11  k2 


36
3

Phương trënh 

 11 7 
 
  11 
Vì x   0;   x   ;


.

 2
 12 36  12 36 18
Chọn C.
Câu 31. Tổng các nghiệm của phương trënh sin x cos x  sin x  cos x  1 trên  0; 2  bằng
A. .

B. 2 .

C. 3.

D. 4 .

Lời giải
Đặt t  sin x  cos x





0  t  2 , suy ra sin x cos x 

Phương trënh trở thành:

t2  1
.
2

t  1
t2  1
 t  1  t 2  2t  3  0  
.
t


3
loaï
i
2




Với t  1, ta được sin x  cos x  1 



1



2 cos  x    1  cos  x    
4
4
2



 x  k2 




 x    k2 
x




k2


4
4
2


k
 x    k2  


3

x   
 k2 


4
4
 x     k2 

2


3 
; ;  .
2 
2


x 0 ;2  
x
 

Chọn C.

18 | Chinh phục olympic toán

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Câu 32. Tổng tất cả các nghiệm của phương trënh sin 3x  1  4 sin 2 x  

1
 
trên đoạn 0; 
2
 2

bằng
A.

3
.
7

B.

3
.
5

C.

37 
.
70

D.

36
.
35

Lời giải
Nhận thấy cos x  0 không là nghiệm của phương trënh.
Nhân hai vế phương trënh với cos x ta được
1
cos x
2
 2 sin 3x  4 cos 3 x  3 cos x   cos x

sin 3x  cos x  4 sin 2 x cos x  
 2 sin 3x cos 3x  cos x

 k2 

x





14
7
 sin 6x  sin   x   
2

 x    k2 


10
5

k  .



k0x

 k2   k
14 .
 0

 

5
14
7
2
k  1  x  

14


k0x

 k2   k
10 .
 0


 

10
5
2
k  1  x  

2
 5   36
Vậy tổng

  
.
14 14 10 2 35

Chọn D.
Câu 33. Tổng tất cả các nghiệm của phương trënh

sin 2x  2 sin 2 x  5sin x  cos x  2
 0 trên
2 cos x  3

đoạn  0; 100 bằng
A.

7375
.
3

B.

7475
.
3

C.

14701
.
6

D.

14850 
.
3

Lời giải
Điều kiện: cos x  

3
.
2

Phương trënh tương đương với sin 2x  2 sin 2 x  5 sin x  cos x  2  0

  sin 2x  cos x    2 sin 2 x  5 sin x  2   0
 cos x  2 sin x  1    sin x  2  2 sin x  1   0
  2 sin x  1  sin x  cos x  2   0.



sin x  cos x  2  0 : vô nghiệm.

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

Chinh phục olympic toán | 19


CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC


x   k2   k   0; 49 

1
6
 2 sin x  1  0  sin x   
2
 x  5  k2   loaïi 

6
49
49

7375


Vậy tổng các nghiệm cần tính    k2    50.  2  k 
.

6
3

k 0  6
k 0

Chọn A.



Câu 34. Tổng tất cả các nghiệm của phương trënh sin 3  x    2 sin x trên đoạn  0; 2018 
4

bằng
A.

2018
.
4

B.

4036 
.
3

C.

412485
.

2

D.

824967 
.
4

Lời giải
3

3
3
 1 
Phương trënh  
  sin x  cos x   2 sin x   sin x  cos x   4 sin x.
 2

Nhận thấy cos x  0 không thỏa mãn phương trënh.
Chia hai vế phương trënh cho cos 3 x ta được  tan x  1   4 tan x  tan 2 x  1 
3


 3 tan 3 x  3 tan 2 x  tan x  1  tan x  1  x    k  k 
4

k
Vì x   0; 2018  0    k  2018 
 k  1; 2; 3; ; 642.
4

642
412485
 

   642
Vậy S      k   642.      k 
.
4
2

 4  k 1
k 1 

.

Chọn C.

Câu 35. Tổng tất cả các nghiệm của phương trënh cos 2 x  tan 2 x  cos 2x   cos 3 x  cos 2 x  1
trên đoạn  0; 43 bằng
A.

4220
.
3

B.

4225
.
3

C.

4230
.
3

D.

4235
.
3

Lời giải
Điều kiện cos 2 x  0  x 


 k  k 
2

.

Phương trënh  sin 2 x  cos 2 x cos 2x  cos 3 x  cos 2 x  1

 1  cos 2 x  cos 2 x  1  2 cos 2 x   cos 3 x  cos 2 x  1
 2 cos 4 x  cos 3 x  cos 2 x  0

 x    k2 
 cos x  1


 2 cos x  cos x  1  0 

k 
 x     k2 
 cos x  1
3

2

1
k
0    k2   43    k  21 
 k  0; 1; 2;...; 21
2
2



20 | Chinh phục olympic toán

.

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học


TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
 Tổng các nghiệm là S 1  22    0  1  2  ...  21  2   484.





1
64 k
 k2   43    k 

 k  0; 1; 2;...; 21
3
6
3

1408
.
 Tổng các nghiệm là S 2  22.   0  1  2  ...  21  2  
3
3

1
65 k
0    k2   43   k 

 k  1; 2;...; 21
3
6
3
 
 Tổng các nghiệm là S 3  21.      1  2  3  ...  21  2   455.
 3

0

Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trënh đã cho trên đoạn  0; 43 là
S  S1  S2  S3 

4225
.
3

Chọn B.
Câu 36. Cî bao nhiêu giá trị của tham số m thuộc tập E  3; 2; 1; 0; 1; 2 để phương
trình 2m sin x cos x  4 cos 2 x  m  5 cî nghiệm?
A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 5.

Lời giải
Phương trënh tương đương với m sin 2x  2 cos 2x  m  3.
5
2
Phương trënh cî nghiệm  m 2  2 2   m  3   6m  5  0  m   .
6

Mà m  E  m  3; 2; 1 .
Chọn B.
Câu 37. Cho phương trình m sin 2 x  2 sin x cos x  3m cos 2 x  1. Tëm tất cả các giá trị của
tham số thực m để phương trënh cî nghiệm.

 4
A. m  0;  .
 3

B. m 

 4
\ 0;  .
 3

 4
C. m  0;  .
 3

 4
D. m   0;  .
 3

Lời giải
1  cos 2x
1  cos 2x
Phương trënh  m.
 sin 2x  3m.
 1  sin 2x  m cos 2x  1  2m.
2
2
4
Phương trënh cî nghiệm  1  m 2  1  4m  4m 2  3m 2  4m  0  0  m  .
3
Chọn C.

 3

5  4 sin 
 x
 2
  6 tan  . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị
Câu 38. Cho phương trënh
sin x
1  tan 2 

thực của  thuộc đoạn  0; 2 để phương trënh cî nghiệm. Tổng các phần tử của tập S
bằng
A. .

B. 2 .

C. 4 .

D. 6 .

Lời giải

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

Chinh phục olympic toán | 21


CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
sin x  0
Điều kiện 

. Phương trënh tương đương với
cos   0
5  4 cos x
 3 sin 2  3 sin 2 sin x  4 cos x  5.  1 
sin x
Nếu sin x  0  cos x  1 : không thỏa  1  . Do đî phương trënh nếu có nghiệm thì luôn
thỏa mãn điều kiện sin x  0.
cos   0
Để phương trënh cî nghiệm  
2
 3 sin 2    16  25

 cos   0
 cos   0
 k
 2
 2
 cos 2  0    
, k  : thỏa điều kiện.
4 2
sin 2  1 sin 2  1
 3 5 7 
  3 5 7  


 4.
 S   ; ; ;   tổng 
4 4
4
4

4 4 4 4 

Chọn C.




Câu 39. Cho phương trënh 4 sin  x   .cos  x    m 2  3 sin 2x  cos 2x. Gọi S   a; b là
3
6



tập tất cả các giá trị của tham số m để phương trënh cî nghiệm. Tình a  b.
1
A. a  b  2.
B. a  b   .
C. a  b  0.
D. a  b  4.
2
Lời giải


 1  




Ta có sin  x   .cos  x    sin  2x    sin 
3

6 2 
6
2






1


1
 1 3
sin 2x cos  sin cos 2x  1  
sin 2x  cos 2x  1 .

2
6
6
2
 2 2


Phương trënh tương đương với

3 sin 2x  cos 2x  2  m 2  3 sin 2x  cos 2x  cos 2x 
Phương trënh cî nghiệm  1 

m2  2

.
2

m2  2
 1  0  m 2  4  2  m  2
2

a  2
 S   2; 2   
ab 0
b  2
Chọn C.
Câu 40. Cho phương trënh sin 6 x  cos6 x  3 sin x cos x 

m
 2  0. Cî bao nhiêu giá trị
4

nguyên của tham số m để phương trënh cî nghiệm?
A. 7.

B. 9.

C. 13.

D. 15.

Lời giải
Ta có sin 6 x  cos6 x   sin 2 x  cos 2 x   3 sin 2 x cos 2 x  sin 2 x  cos 2 x 
3

22 | Chinh phục olympic toán

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học


TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
3
 1  3 sin 2 x cos 2 x  1  sin 2 2x.
4
3
m
Phương trënh  1  sin 2 2x  3 sin x cos x   2  0  3 sin 2 2x  6 sin 2x  12  m.
4
4
 
3t 2  6t  12  m  3  t  1  15  m.
Đặt t  sin 2x 
2

t 1;1

Vì 1  t  1  0  3  t  1   12. Do đî để phương trënh cî nghiệm  0  15  m  12
2

m
 3  m  15 
 m  3; 4; 5;...; 15 .

Chọn C.

Câu 41. Cho phương trënh 3 tan 2  tan x  cot x 

3
 m. Cî bao nhiêu giá trị nguyên m
sin 2 x

nhỏ hơn 2018 để phương trënh cî nghiệm?
A. 2004.

B. 2008.

C. 2011.

D. 2012.

Lời giải

sin x  0
k
Điều kiện: 
x
k 
2
cos x  0

.

1 

Phương trënh viết lại 3  tan 2 x 

  tan x  cot x  m
sin 2 x 

 3  tan 2 x  cot 2 x  1   tan x  cot x  m.

Đặt t  tan x  cot x. Điều kiện: t  2.
Phương trënh trở thành 3  t 2  1   t  m  3t 2  t  m  3.
Xét hàm f  t   3t 2  t trên   ; 2    2;   .
Lập bảng biến thiên suy ra phương trënh cî nghiệm  m  3  10  m  7
m

m  7; 8; 9;...; 2017  Có 2011 giá trị.
m  2018

Chọn C.
Câu 42. Tëm tất cả các giá trị của tham số m để phương trënh sin 4x  m.tan x cî nghiệm
x  k.

 1 
A. m    ; 4  .
 2 

 1 
B. m    ; 4  .
 2 

 1 
C. m    ; 4  .
 2 

D. m   1; 4  .

Lời giải
Điều kiện cos x  0.
Phương trënh  2 sin 2x.cos 2x 

m.sin x
sin x
 4.sin x.cos x.cos 2x  m.
. *
cos x
cos x

Vì x  k nên sin x  0 . Khi đî  *   4 cos 2 x  2 cos 2 x  1   m

x  k
Đặt t  cos2 x, với 
suy ra t   0; 1  . Phương trënh trở thành m  8t 2  4t.
cos x  0

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

Chinh phục olympic toán | 23


CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Xét hàm f  t   8t 2  4t với t   0; 1  , ta được 
Do đî phương trënh cî nghiệm  

1

 f  t   4.
2

1
 m  4.
2

Chọn A.
Câu 43. Cho phương trënh cos 2x   2m  1  cos x  m  1  0. Tëm tất cả các giá trị thực của
  3 
tham số m để phương trënh cî nghiệm thuộc khoảng  ;  .
2 2 

A. 1  m  1 .

B. 1  m  0 .

C. 1  m  0 .

D. 1  m  0 .

Lời giải
1

cos x 

Phương trënh  2 cos x   2m  1  cos x  m  0 
2.

 cos x  m

2

sin

cos
O

1
2

m

Nhận thấy phương trënh cos x 

1
  3 
không có nghiệm trên khoảng  ;  (Hình vẽ).
2
2 2 

  3 
Do đî yêu cầu bài toán  cos x  m có nghiệm thuộc khoảng  ;   1  m  0 .
2 2 

Chọn C.
Câu 44. Cho phương trënh cos 2 x  2  1  m  cos x  2m  1  0. Cî bao nhiêu giá trị nguyên
của tham số m thuộc đoạn  10; 10  để phương trënh cî nghiệm?
A. 8.

B. 9.

C. 10.

D. 11.

Lời giải
Đặt t  cos x  1  t  1 .
Phương trënh trở thành t 2  2  1  m  t  2m  1  0  t 2  2t  1  2m  t  1  .  1 
 Xét t  1 :  1  trở thành 2  0 (không thỏa mãn).
 Xét t  1 :  1 
Xét hàm f  t  

t 2  2t  1
 2m.
t1

t 2  2t  1
t 2  2t  3
với t   1; 1  , ta có f '  t  
 0 t   1; 1  .
2
t1
 t  1

24 | Chinh phục olympic toán

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học


TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Lập bảng biến thiên ta thấy để phương trënh cî nghiệm  2m  1  m 

1
2

m

 m  10; 9; 8;...; 0  Có 11 giá trị.
m 10;10 

Chọn D.
Câu 45. Tëm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình cos 4x  cos 2 3x  m sin 2 x có
  
nghiệm thuộc khoảng  0;  .
 12 
 1
A. m   0;  .
 2

1 
B. m   ; 2  .
2 

C. m   0; 1  .

1

D. m   1;  .
4


Lời giải
Ta có cos2 3x 

1  cos 6x 1  4 cos 2x  3 cos 2x
và cos 4x  2 cos 2 2x  1.

2
2
3

1  4 cos 3 2x  3 cos 2x 1  cos 2x

m
2
2
 4 cos 2 2x  2  1  4 cos 3 2x  3 cos 2x   1  cos 2x  m

Phương trình đã cho  2 cos2 2x  1 

  cos 2x  1  m  4 cos 3 2x  4 cos 2 2x  3 cos 2x  3.  * 

 3 
4t 3  4t 2  3t  3
 
Đặt t  cos 2x, với x   0;   t  
Khi đó  *   m 
 4t 2  3.
;
1

.



t

1
12
2




 min f  t   0
  3 ;1 ,
 3 
  2 
2
.
Xét hàm f  t   4t  3 trên đoạn 
;1 , ta được 
f t   1
 max
 2 
3 
  2 ;1 ,

Vậy để phương trình m  f  t  có nghiệm khi và chỉ khi m   0; 1  .
Chọn C.
Câu 46. Tëm tất cả các giá trị của tham số m để phương trënh 2 sin x  m cos x  1  m có

  
nghiệm x thuộc đoạn   ;  .
 2 2
3
3
A. m   .
B. m   .
2
2

C. 1  m  3.

D. 1  m  3.

Lời giải
Nếu dùng điều kiện có nghiệm: 4  m 2   1  m   4  1  2m  m  
2

3
(đáp án A) thë
2

  
sai hoàn toàn bởi vì x    ;  thì sin x quét hết tập giá trị  1; 1 nhưng với cos x thì
 2 2

không.
x
  
Lời giải đúng. Đặt t  tan , với x    ;   t   1; 1 .

2
 2 2

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

Chinh phục olympic toán | 25


CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Phương trënh trở thành 2

2t
1  t2

m
 1  m  t 2  4t  1  2m.
1  t2
1  t2

max f  t   6
 1;1
Xét hàm f  t   t  4t  1 trên đoạn  1; 1 . Tëm được 
.
f  t   2
min
 1;1
2

Do đî yêu cầu bài toán 2  2m  6  1  m  3.
Chọn C.

Câu 47. Cho phương trënh mx 2  4 2  42 cos x. Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số
 
m để phương trënh cî nghiệm thuộc khoảng  0;  bằng
 2

A. 54.

B. 35.

C. 35.

D. 51.

Lời giải

42  cos x  1
 
Vì x   0;  nên phương trënh  m 
.
x2
 2
Xét hàm f  x  

2  1  cos x   x sin x
cos x  1
 
 
với x   0;  , ta có f '  x  
 0, x   0;  .
2

3
x
x
 2
 2

1
4
 
Suy ra f  x  đồng biến trên  0;  nên lim f  x   f  x   lim f  x     f  x    2
x 0

2

 2
x
2

Vậy để phương trënh đã cho cî nghiệm thì 2   m  16
2

m

 m  19; 18; 17 .

Chọn A.
Câu 48. Cho hàm số y  f  x  cî bảng biến thiên như hënh vẽ

x



f ' x

2

1



0



1

4

0






3
1

f x

0
1


m
Có bao nhiêu số nguyên m để phương trënh f  3 cos  x  1   1  
cî nghiệm?
2

A. 2.

B. 3.

C. 9.

D. 13.

Lời giải
Đặt t  3 cos  x  1   1  2  t  4.
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy với t   2; 4  thì 1  f  t   3.
Do đî để phương trënh cî nghiệm  1  

26 | Chinh phục olympic toán

m
 3  6  m  2
2

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
m

 m  6; 5; 4;...; 2  Có 9 giá trị.

Chọn C.
Câu 49. Cho hàm số f  x  liên tục trên

, thỏa f  x   3

với mọi x  5 và f  x   3 với mọi x  2 , cî đồ thị như
hënh bên. Cî bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để
phương trënh f  3 sin x  2   f  m  cî nghiệm?
A. 6.

B. 7.

C. 8.

D. 9.
Lời giải

Đặt t  3 sin x  2  1  t  5.
Dựa vào đồ thị ta thấy f  x  đồng biến trên  1; 5 nên
f  3 sin x  2   f  m   3 sin x  2  m.

Mà 3 sin x  2   1; 5  m   1; 5   có 7 giá trị nguyên.
Chọn B.
Câu 50. Cho phương trënh 2 cos 2 3x   3  2m  cos 3x  m  2  0. Tëm tất cả các giá trị thực

  
của tham số m để phương trënh cî đúng 3 nghiệm thuộc khoảng   ;  .
 6 3

A. 1  m  1.

B. 1  m  2.

C. 1  m  2.

D. 1  m  2.

Lời giải
  
  
Với x    ;  
 3x    ;   .
 6 3
 2 

Đặt t  cos 3x  1  t  1 . Phương trënh trở thành 2t 2   3  2m  t  m  2  0.
Ta có    2m  5 

2

1

t1 



 phương trënh cî hai nghiệm
.
2

t2  m  2
sin

cos
O

t2

Ta thấy ứng với một nghiệm t 1 

t1

1
2

1
thì cho ta hai nghiệm x thuộc khoảng
2

  
  ; .
 6 3

Do đî yêu cầu bài toán  1  t 2  0 (tham khảo hình vẽ)

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

Chinh phục olympic toán | 27


CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
 1  m  2  0  1  m  2.

Chọn B.
Cách 2. Yêu cầu bài toán tương đương với phương trënh 2t 2   3  2m  t  m  2  0 có hai
P  0

nghiệm t 1 , t 2 thỏa mãn 1  t 2  0  t 1  1  a.f  1   0 .

a.f  1   0



Câu 51. Tëm tất cả các giá trị của tham số m để phương trënh sin 2x  2 sin  x    2  m
4

 3 
cî đúng 2 nghiệm thuộc khoảng  0;  .
 4 

A. 3  m  1  2.

B. 3  m  1  2.

C. 1  m  1  2.

D. 1  m  1  2.
Lời giải

Phương trënh viết lại sin 2x  sin x  cos x  2  m.


Đặt t  sin x  cos x  2 sin  x   , suy ra sin 2x  t 2  1.
4

  
 3 
Với x   0;   x    ;    t  0; 2  .
4 4 
 4 



Phương trënh trở thành t 2  t  3  m.  * 







Xét hàm f  t   t 2  t  3 trên 0; 2  . Ta có f '  t   2t  1  0, t  0; 2 .



Suy ra f  t  đồng biến trên 0; 2  và kết luận f  0   m  f

 2   3  m  1 

2.




 3 
Thử lại m  1  2  sin  x    1  Có một nghiệm x  duy nhất thuộc  0;  .
4
4

 4 

Lí do dẫn đến sai lầm là bài toán yêu cầu có hai nghiệm khác với yêu cầu có nghiệm.

sin

cos
O

Dựa vào đường trín lượng giác (hình vẽ bên) ta thấy yêu cầu bài toán  phương trënh

*





cî đúng một nghiệm t thuộc 1; 2  f  1   m  f

 2   1  m  1 

2.

Chọn D.

28 | Chinh phục olympic toán

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học


TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

Câu 52. Cho phương trënh m sin 2 x  3 sin x cos x  m  1  0. Gọi S là tập tất cả các giá trị
 3 
nguyên m thuộc đoạn  5; 5 để phương trënh cî đúng 3 nghiệm thuộc  0;  . Tổng các
 2 

phần tử của S bằng
A. 15.

B. 14.

C. 0.

D. 15.

Lời giải

Phương trënh  m  sin x  1   3 sin x cos x  1  0  3 sin x cos x  m cos 2 x  1  0.
2

Nhận thấy cos x  0 không thỏa phương trënh. Chia hai vế phương trình cho cos 2 x ta
được tan 2 x  3 tan x  m  1  0.
Đặt t  tan x , ta được phương trënh bậc hai t 2  3t  m  1  0 .
 3 
Để phương trënh đã cho cî ba nghiệm thuộc  0;   phương trënh t 2  3t  m  1  0 có
 2 
m
 m  5; 4; 3; 2  S  14.
hai nghiệm trái dấu  m  1  0  m  1 
m 5;5 

Chọn B.
Câu 53. Cho phương trënh  cos x  1  4 cos 2x  m cos x   m sin 2 x. Số các giá trị nguyên của
 2 
tham số m để phương trënh cî đúng 2 nghiệm thuộc đoạn 0;  là
 3 

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Lời giải

Phương trënh   1  cos x  4 cos 2x  m cos x   m  1  cos 2 x 
 cos x  1
  1  cos x  4 cos 2x  m   0  
.
 cos 2x  m

4

 2 
 Với x  0;   phương trënh cos x  1 vô nghiệm.
 3 
 2 
 4 
 Với x  0;   2x  0;  . Dựa vào đường trín lượng giác, ta thấy yêu cầu bài
 3 
 3 
toán 1 

m
1
   4  m  2.
4
2
sin

cos
O

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

1
2

Chinh phục olympic toán | 29


CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Vì m   m  3; 2 .
Chọn B.
Câu 54. Có bao nhiêu số thực m để phương trënh

 sin x  1  2 cos2 x   2m  1  cos x  m   0
A. 1.

B. 2.

cî đúng 4 nghiệm thuộc đoạn  0; 2 ?
C. 3.

D. 4.

Lời giải
sin x  1

1
Phương trënh   sin x  1  2 cos x  1  cos x  m   0  cos x  .
2


 cos x  m








 k2   k   , mà x   0; 2   x  .
2
2


x   k2 


5
1
3
cos x   
 k   , mà x  0; 2   x  , x  .
3
3
2
 x     k2 

3

sin x  1  x 

Do đî yêu cầu bài toán tương đương với phương trënh cosx  m cî đúng một nghiệm
  5 
, .  (xem hình vẽ).
3 2 3 

 0; 2 khác 

sin

cos
O

1
2

Từ đường trín lượng giác ta suy ra chỉ có hai giá trị m thỏa mãn là m  1 và m  0. Bởi
vì:
 Với m  1, phương rënh cos x  1 chỉ có nghiệm duy nhất x   thuộc  0; 2  .
 Với m  0, phương rënh cos x  0 có hai nghiệm x 
và x 


(trùng với nghiệm đã tình)
2

3
thuộc  0; 2  .
2

30 | Chinh phục olympic toán

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học