Dạng 7 rút gọn chứng minh biểu thức nguyễn chí thành

CHUYÊN ĐỀ 7: RÚT GỌN – CHỨNG MINH BIỂU THỨC

Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122

Phương pháp:
Sử dụng các công thức lượng giác, kết hợp với 7 hằng đẳng thức để biến đối.
Bài 1. Chứng minh đẳng thức lượng giác sau:)
1) sin 3 x  cos3 x   sin x  cos x 1  sin x.cos x 
2) sin 3 x  cos3 x   sin x  cos x 1  sin x.cos x 
HD:
1) Ta có:
sin3x  cos3x

 sin x  cos x  sin 2 x  cos2 x  sin x.cos x   sin x  cos x 1  sin x.cos x 


H»ng ®¼ng thøc a 3 b3

 sin x- cos x  sin 2 x  cos2 x+ sin x.cos x   sin x- cos x 1  sin x.cos x 



2) sin3x-cos3x

H»ng ®¼ng thøc a3 b3

Bài 2.

Rút gọn các biểu thức sau:
π






π





π





π





a) A  cos   a   sin   a   cos   a   sin   a 
2
2
2
2
7π 
7π 

 3π

 3π



 a   sin   a   cos  a 
  sin  a 

2 
2 
 2

 2




b) B  cos 

 7π

 3π

 x  .cot    x 
2
2






c) C  2 cos x  3cos  π  x   sin 
π



 3π



π



d) D  2sin   x   sin  5π  x   sin   x   cos   x 
2

 2

2

e) E  cos 2 x  sin  300  x  .sin  300  x 
HD:
Sử dụng cung liên kết
π
2




π
2




π
2




π
2




a) A  cos   a   sin   a   cos   a   sin   a   sin a  cos a  sin a  cos a  2sin a
b)

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


7π 
7π 
 3π

 3π




B  cos   a   sin   a   cos  a 
  sin  a 

2 
2 
 2

 2



π
π




 π

 π

 cos  π   a   sin  π   a   cos  a+  4π   sin  a+  4π 
2
2





 2

 2

π

π 
 π
 π
  cos   a   sin  +a   cos  a+   sin  a+   0
2

2 
 2
 2

c)
 7

 3

C  2 cos x  3cos   x   sin 
 x  .cot 
 x
 2

 2








 2 cos x  3cos x  sin  4   x  .cot  2   x 
2
2










  cos x  sin   x  .cot   x    cos x  cos   x   sin x  cos x
2

2

2


e) Ta có:









E  cos 2 x  sin 300  x .sin 300  x  cos 2 x 
 cos 2 x 

1
cos 2 x  cos 600 
2

1
1 3
2 cos 2 x  1   

2
2 4

Bài 3. Chứng minh các đẳng thức sau:
1) cos2   sin 2   1  2sin 2 

5) 2cos2   1  1  2sin 2 

2) 3  4sin 2   4cos 2   1

6) sin  cot   cos  tan   sin   cos 

3) sin 4   cos4   1  2sin 2  cos2 

7) cos4   sin 4   cos2   sin 2 

4) sin 3  cos   sin  cos3   sin  cos 

8) sin 4   cos4   1  2cos 2   2sin 2   1

HD:
1) cos 2   sin 2   (1  sin 2  )  sin 2   1  2sin 2 
2) 3  4sin 2   3  4(1  cos 2  )  3  4  4cos 2   4cos 2   1
3) sin 4   cos 4   (sin 2   cos 2  )2  2sin 2  cos 2   1  2sin 2  cos 2 
4) sin 3  cos   sin  cos3   sin  cos  (sin 2   cos 2  )  sin  cos 
5) 2cos 2   1  2(1  sin 2  )  1  2  2sin 2   1  1  2sin 2 
6) sin  cot   cos  tan   sin  .

cos 
sin 
 cos  .
 cos   sin 
sin 
cos 

7) cos 4   sin 4    cos 2   sin 2   .  cos 2   sin 2    cos 2   sin 2 
8) sin 4   cos 4   (sin 2   cos 2  )(sin 2   cos 2  )  sin 2   cos 2 
 (1  cos 2  )  cos 2   1  2cos 2   2sin 2   1

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


Bài 4. Chứng minh các đẳng thức sau:

1) tan x  cot x 

1
sin x cos x

2)

1
1

1
1  tan x 1  cot x

3)

1  sin 2 x
 1  2 tan 2 x
2
1  sin x

4) 1  cot 4 x 
5)

6)

1  cos x
sin x

sin x
1  cos x

1 
1 
2
1
7)  1 

  tan x  0
cosx
cosx




8) tan x tan y 

2
1
 4
2
sin x sin x

9) tan x 

tan x  tan y
cot x  cot y

cos x
1


1  sin x cos x

sin x
1  cos x
2


1  cos x
sin x
sin x

HD:
1) tan x  cot x 

sin x cos x sin 2 x  cos2 x
1



cos x sin x
sin x.cos x
sin x cos x
1
1
cos x
sin x
cos x  sin x





1
sin x
cos x cos x  sin x cos x  sin x cos x  sin x
1
1
cos x
sin x

2)

1
1


1  tan x 1  cot x

3)

1  sin 2 x (sin 2 x  cos2 x)  sin 2 x cos 2 x  2sin 2 x


 1  2 tan 2 x
1  sin 2 x
cos2 x
cos2 x

4)
cos 4 x sin 4 x  cos 4 x  cos 2 x  sin 2 x  sin 2 x  cos 2 x 



sin 4 x
sin 4 x
sin 4 x
sin 2 x  cos 2 x 2sin 2 x  1
2
1



 4
4
4
2
sin x
sin x
sin x sin x

1  cot 4 x  1 

5)
sin x
1  cos x sin 2 x   1  cos x 
sin 2 x  1  2cos x  cos 2 x
2(1  cos x)
2






1  cos x
sin x
(1  cos x).sin x
(1  cos x).sin x
(1  cos x).sin x sin x
2

6)

1  cos x
sin x

 (1  cos x)(1  cos x)  sin 2 x  1  cos 2 x  sin 2 x ( luôn đúng)
sin x
1  cos x

1 
1 
1
1
1
1
1
 tan 2 x  1 
 tan 2 x  (1  tan 2 x) 


0
7)  1 



2
2
2
cos x 
cos x 
cos x
cos x cos x cos 2 x


sin x sin y sin x.cos y  cos x.sin y

tan x  tan y cos x cos y
sin x.sin y
cos x.cos y



 tan x tan y
8)
cot x  cot y cos x cos y cos x.sin y  sin x.cos y cos x.cos y

sin x sin y
sin x.sin y

Cách khác:
Ta có:
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122

tan x tan y (cot x  cot y )  tan x tan y.cot x  tan x tan y.cot y



tan y  tan x

tan x .cot x 1

 tan x tan y 

9) tan x 


tan y  tan x
cot y  cot x

cos x
sin x
cos x
sin x(1  sin x)  cos2 x



1  sin x cos x 1  sin x
cos x(1  sin x)

sin x  sin 2 x  cos2 x
sin x  1
1



cos x(1  sin x)
cos x(1  sin x) cos x

Bài 5. Chứng minh rằng với mọi góc  làm cho biểu thức

sin   tan 
có nghĩa, biểu thức
cos  cot 

đó không thể là một số âm.
HD:
Điều kiện: sin  .cos  0
sin   tan 

cos   cot 

sin 
sin 
sin 2  (1  cos  )
cos   sin  .cos   sin  .

cos 
cos 
cos  .sin   cos  cos2  .(1  sin  )
cos  
sin 
sin  

Vì cos   0;sin   0 

sin2  (1  cos  )
1  sin  ,cos   1 
0
cos2  .(1  sin  )

Nhiều bạn sẽ thắc mắc tại sao cos   0;sin   0 thì 1  sin  ,cos   1

 1  sin  ,cos   1
Ở đây các em cần chú ý:  2
mà cos   0;sin   0 nên 1  sin  ,cos   1
2

sin   cos   1

1
8

Bài 6. a) Chứng minh: sin x.cos x.cos2 x.cos 4 x  sin 8 x .

3
5
b) Áp dụng tính: A  sin 60.sin 420.sin 660.sin 780 , B  cos .cos .cos
.
7

7

7

HD:
a) Áp dụng công thức nhân đôi:
1
1
sin x.cos x  sin 2 x  sin x.cos x.cos 2 x.cos 4 x  sin 2 x.cos 2 x.cos 4 x
2
2
1
1
 sin 4 x.cos 4 x  .sin 8 x
4
8

b) Tính A  sin 60.sin 420.sin 660.sin 780

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


sin 780  cos120 ;sin 660  cos240 ;sin 42 0  cos 480
A  sin 60.sin 420.sin 660.sin 780  sin 60.cos120.cos240.cos 480
1
 cos60. A  sin 60.cos60 cos120.cos240.cos 480  sin 960
16
0
1 sin 96
1
A .

0

16 cos6
16

+
3
4 
  cos

2
4

7
7 
 B  cos .cos
.cos

5
2 
7
7
7
cos
  cos

7
7 
cos

Nhân hai vế với sin


7



8
sin    
7



2
4 1
8
1
1
7  1. 
 sin .B  sin .cos .cos .cos
 sin
B .

 8

7
7
7
7
7 8
7
8

8
sin
sin
7
7
sin

3
8

1
2

1
8

Bài 7. a) Chứng minh: sin4 x   cos2 x  cos 4 x .
b) Áp dụng tính: S  sin4


16

 sin4

3
5
7
.
 sin4
 sin4

16
16
16

a) Ta có:
3 1
1
3 1
1
 cos 2 x  cos 4 x   (1  2sin 2 x )  (2 cos2 2 x  1)
8 2
8
8 2
8
2


3 1
1
1
1
   sin2 x  2 1  2sin2 x  1    sin 2 x  2(1  4sin 2 x  4sin 4 x )  1

8 2
8
8
8

1
1

   sin2 x   sin2 x  sin 4 x  sin 4 x
8
8





b) Áp dụng câu a ta có:
sin 4



16
3
sin 4
16
5

sin 4
16
7
sin 4
16

3 1
 1

 cos  cos
8 2

8 8
4
3 1
3 1
3
  cos
 cos
8 2
8 8
4
3 1
5 1
5
  cos
 cos
8 2
8 8
4
3 1
7 1
7
  cos
 cos
8 2
8 8
4



3

5
7
 sin 4
 sin 4
16
16
16
3 1

3
5
7  1 

3
5
7 
   cos  cos
 cos
 cos
  cos  cos
 cos
 cos

2 2
8
8
8
8  8
4
4

4
4 
3

2

 S  sin 4















16

 sin 4

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


Bài 8. a) Chứng minh: tan x 

1  cos2 x
.
sin 2 x

b) Áp dụng tính: S  tan2


12

 tan2

3
5
.
 tan2
12
12

HD:
a) Ta có:





2
1  cos 2 x 1  1  2sin x
2sin 2 x
sin x




 tan x
sin 2 x
2sin x.cos x
2sin x.cos x cos x

b) Áp dụng câu a ta có:
2



1  cos


6
tan2


12 
 sin
6


2
 
3

  1

2   74 3
 
  1 
  2 



1  cos

3
2
tan2


12 
 sin

2


  1  0 2
 
 1
  1 



5
1  cos


5

6
tan2

5

12 
 sin
6


2

2

2
 
3
1




2   74 3
 
  1 
  2 

Từ đó suy ra S  15

Bài 9. Chứng minh các công thức sau
a)

sin 
1  cos 
2


1  cos 
sin 
sin 

b)

c)

1
 sin  .cos 
tan   cot 

d) sin 2  tan 2   4sin 2   tan 2   3cos 2   3

e)

1  tan 2a
 cos4a  sin 4a
2
1  tan a

f) tan 2 a  sin 2 a  tan 2 a.sin 2 a

tan 2   sin 2 
 tan 6 
2
2
cot   cos 

HD:
a) Ta có:
sin 
1  cos  sin 2   (1  cos  ) 2 sin 2   cos 2   1  2cos 



1  cos 
sin 
(1  cos  ).sin 
(1  cos  ).sin 
2(1  cos  )
2


(1  cos  ).sin  sin 
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


b) Ta có:
 1

sin 2  

 1
2
2
2
tan   sin 
 cos    sin  .tan   tan 6 

cot 2   cos 2 
 1
 cos 2  .cot 2 
cos 2   2  1
 sin  
2

2

tan 
Chó ý:
 tan 2 
cot 

c) Ta có:
tan   cot  


sin  cos  sin 2   cos 2 
1




cos  sin 
sin  .cos 
sin  .cos 

1
 sin  .cos 
tan   cot 

d) Ta có:
sin 2  tan 2   4sin 2   tan 2   3cos 2   (sin 2  tan 2   tan 2  )  (4sin 2   3cos 2  )
 tan 2   sin 2   1  sin 2   3(sin 2   cos 2  )  tan 2  .( cos 2  )  sin 2   3
sin 2 

.( cos 2  )  sin 2   3   sin 2   sin 2   3  3
2
cos 

e) Ta có:

cos 2 a  sin 2 a

2
1  tan a
cos a

 cos 2 a  sin 2 a
 1  tan 2 a
2
1
 cos 4 a  sin 4 a

1  tan a

2
 1  tan a
cos 2 a

cos 4 a  sin 4 a  (cos 2 a  sin 2 a)(cos 2 a  sin 2 a)  cos 2 a  sin 2 a 
2

f) Ta có:
tan 2 a  sin 2 a 

sin 2 a
 1

 sin 2 a  sin 2 a 
 1  sin 2 a. tan 2 a
2
2
cos a
 cos a 

Bài 10. Cho A 

1  cos x  (1  cos x) 2 
1
sin x 
sin 2 x 

a) Rút gọn A

1

b) Tính giá trị A khi cos x   ;   x  
2
2

HD:
a) Ta có:
A

1  cos x  (1  cos x) 2 
1  cos x  sin 2 x  1  2 cos x  cos 2 x 
1


A


sin x 
sin 2 x 
sin x 
sin 2 x


2
1  cos x 2  2 cos x 2 1  cos x 1  cos x  2 1  cos x 
2

.




2
3
3
sin x
sin x
sin x
sin x
sin x

b) Ta có:
Vì 


2

3
cos2 x  sin 2 x  1  sin 2 x  ;
4

 x   nên sin x  

3
4 3
 A
2
3

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


Bài 11. Chứng minh:
a) sin 3x.sin 3 x  cos3x.cos3 x  cos3 2 x
1  cos x
1  cos x



 2 cot x  0  x  
1  cos x
1  cos x
2


b)
HD:

a) Ta có:
sin 3x.sin 3 x  cos3x.cos3 x   3sin x  4sin 3 x  sin 3 x   4cos3 x  3cos x  cos 3 x
 3sin 4 x  3cos 4 x  4cos6 x  4sin 6 x
4
4
2
2
2
2
2
2

Mà: 3sin x  3cos x  3  sin x  cos x  .  sin x  cos x   3  sin x  cos x 

4 cos 6 x  4sin 6 x  4  cos 2 x  sin 2 x  sin 4 x  sin 2 x.cos 2 x  cos 4 x 
 4  cos 2 x  sin 2 x   sin 2 x  cos 2 x   sin 2 x.cos 2 x   4  cos 2 x  sin 2 x 1  sin 2 x.cos 2 x 

Suy ra :
sin 3 x.sin 3 x  cos 3 x.cos3 x  3  sin 2 x  cos 2 x   4  cos 2 x  sin 2 x 1  sin 2 x.cos 2 x 
  cos 2 x  sin 2 x  3  4  4sin 2 x.cos 2 x    cos 2 x  sin 2 x  . 1  4sin 2 x.cos 2 x 
 cos 2 x. 1  sin 2 2 x   cos 2 x.cos 2 2 x  cos3 2 x

b) Ta có:
1  cos x
1  cos x


1  cos x
1  cos x


1  cos x 2
1  cos2 x



1  cos x  . 1  cos x   1  cos x  . 1  cos x 
1  cos x  . 1  cos x  1  cos x  . 1  cos x 

1  cos x 2
1  cos 2 x



1  cos x 1  cos x
cos x

2
 2 cot x
sin x
sin x
sin x

Các em có thể giải bằng cách bình phương hai vế.
Bài 12. Chứng minh các công thức sau
a)

sin 2 
sin   cos 

 sin   cos 
sin   cos 
tan 2   1

b)

1  cos 
1  cos 
2


1  cos 

1  cos  sin 

HD:
a) Ta có:
sin   cos 
sin   cos 
(sin   cos  ).cos 2 
cos 2 



sin 2   cos 2  (sin   cos  )(sin   cos  ) sin   cos 
tan 2   1
cos 2 
sin 2 
sin   cos 
sin 2 
cos 2 
sin 2   cos 2 





2
sin   cos 
tan   1
sin   cos  sin   cos 
sin   cos 
(sin   cos  )(sin   cos  )


 sin   cos 
sin   cos 

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


b) Ta có:
1  cos 
1  cos 


1  cos 
1  cos 

1  cos  

2

1  cos 
2



1  cos  

2



1  cos 
2

1  cos  1  cos 
2


| sin  |
| sin  |
sin 

Chó ý: 1  cos   0

Bài 13. Chứng minh các đẳng thức sau:
1)

sin2 x  cos2 x  cos4 x
2

2

cos x  sin x  sin x

2) tan2 x  cot 2 x 
3) 1 

6) (tan 2 x  tan x )(sin 2 x  tan x)  tan2 x

 tan 4 x

4

6  2 cos 4 x
1  cos 4 x

7)

sin2 x
cos2 x

 sin x.cos x
1  cot x 1  tan x

8) cos x  cos(1200  x)  cos(1200  x)  0



2 cos x  2 cos   x 
4
  tan x
4)


2sin   x   2 sin x
4

1
4





1  cos x 1  cos x 4 cot x


1  cos x 1  cos x
sin x

x
3x
 cot 2
2
2
9)
8

x
2
2 3x 
cos .cos x.  1  cot
2
2 

cot 2







5) cos6 x  sin6 x  cos 2 x  1  sin 2 2 x 

10) cos4 x  sin 4 x  sin 2 x  2 cos  2 x 



4

HD:
1) Ta có:
sin2 x  cos2 x  cos4 x

sin2 x  cos2 x (1  cos2 x )

sin2 x  cos2 x.sin2 x



cos2 x  sin2 x  sin 4 x cos2 x  sin2 x (1  sin2 x ) cos2 x  sin2 x cos2 x
sin2 x(1  cos2 x ) sin 4 x


 tan 4 x
2
2
4
cos x(1  sin x ) cos x

2) Ta có:

2

2

tan x  cot x 

sin2 x



cos2 x



sin 4 x  cos4 x

sin


2

cos2 x sin2 x
sin2 x.cos2 x
6  2 cos 4 x
8
8
8

2 
2 

2
1  cos 4 x
1  cos 4 x
2sin 2 x
2 2sin x.cos x

 tan2 x  cot 2 x 

6  2 cos 4 x
1  cos 4x





x  cos2 x  2sin 2 x.cos2 x



2

sin 2 x.cos2 x
1
2 
2
2
sin x.cos2 x



1
sin 2 x.cos2 x

3) Ta có:

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122

2


sin2 x
cos2 x
sin2 x
cos2 x
sin3 x
cos3 x
1

 1

 1

cos x
sin x
1  cot x 1  tan x
sin x  cos x sin x  cos x
1
1
sin x
cos x

 sin x  cos x  sin2 x  cos2 x  sin x.cos x
 sin3 x  cos3 x 
 1 
 sin x.cos x
  1
sin x  cos x
 sin x  cos x 





4) Ta có:






2 cos x  2 cos   x 
2 cos x  2  cos .cos x  sin .s inx 
4
4
4
 




 



2sin   x   2 sin x
2 sin .cos x  cos .s inx   2 sin x
4
4

 4

2 cos x  2 cos x  2 sin x
2 sin x


 tan x
2 cos x
2 cos x  2 sin x  2 sin x









5) Ta có:



     cos x  sin x  cos x  sin


 1

x   cos x sin x   cos 2 x  1  sin 2 x 
 4



cos6 x  sin6 x  cos2 x




 cos 2 x  cos2 x  sin2


3

 sin2 x

2

3

2

2

2

4

2

4

x  cos2 x sin2 x



2

6) Ta có:
 2 tan x

sin x 
(tan 2 x  tan x )(sin 2 x  tan x )  
- tan x  2sin x.cos x 
2
cos x 
 1  tan x

1  tan2 x
2 cos2 x -1
1
 tan x.
.sin x.
 tan x.
. 2 cos2 x -1 .tan x  tan 2 x
2

2
2
cos x
1  tan x
cos x  sin x





1
.cos2 x
cos2 x

7) Ta có:
2

2

1  cos x 1  cos x 1  cos x   1  cos x 
4 cos x
4 cos x
4 cos x 4 cot x





.


1  cos x 1  cos x
1  cos x  . 1  cos x  1  cos2 x sin2 x sin x sin x sin x

8) Ta có:
cos x  cos(1200  x )  cos(1200  x )
 cos x  cos1200.cos x  sin x.sin1200  cos1200.cos x  sin x.sin1200
 cos x  2 cos1200.cos x  cos x  cos x  0

9) Sử dụng công thức hạ bậc: cot 2 x 

1  cos 2 x
Ta có:
1  cos 2 x

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


x
3 x 1  cos x 1  cos3 x (1  cos x )(1  cos3 x ) -(1- cos x )(1  cos3 x )
 cot 2



2
2 1  cos x 1  cos3 x
(1  cos x )(1  cos3 x )
3
2(cos x  cos3 x )
2(4 cos x  4 cos x )
8cos x(1  cos2 x)

8cos x(1  cos x )




(1  cos x )(1  cos3 x ) (1  cos x )(1  cos3 x ) (1  cos x)(1  cos3 x)
1  cos3 x

 1  cos3 x  1  cos x
x
3 x  1  cos x
2
cos x(1  cos x )
cos2 .cos x.  1  cot 2  
.cos x  1 
.cos x.


2
2 
2
2
1  cos3 x
1  cos3 x

 1  cos3 x 
x
3x
cot 2  cot 2
8cos x(1  cos x ) cos x(1  cos x )

2
2


:
8
1  cos3 x
1  cos3 x

2 x
2 3x 
cos .cos x.  1  cot
2
2 

cot 2

10) Ta có:











cos4 x  sin 4 x  sin 2 x  cos2 x  sin2 x . cos2 x  sin2 x  sin 2 x  cos2 x  sin 2 x  sin 2 x



 cos2 x  sin 2 x  2 cos  2 x  

4



Chú ý công thức: cos x  sin x  2.cos  x  
4

Bài 14. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
a) 3(sin4 x  cos4 x )  2(sin6 x  cos6 x )
b) cos6 x  2sin4 x cos2 x  3sin2 x cos4 x  sin4 x



c) cos  x 






3 
 .cos  x    cos  x   .cos  x 

3

4


6

4 



 2

 2

 x   cos2 
 x
 3

 3


d) cos2 x  cos2 
HD:
a) Ta có:

2(sin6 x  cos6 x )  2 (sin2 x  cos2 x )(sin 4 x  cos4 x  sin2 x.cos2 x )


 2(sin 4 x  cos4 x  sin2 x.cos2 x )



 3(sin 4 x  cos4 x )  2(sin6 x  cos6 x )  sin 4 x  cos4 x  2sin2 x.cos2 x  sin2 x  cos2 x



2

b) Ta có:
cos6 x  2sin 4 x cos2 x  3sin 2 x cos4 x  sin 4 x
 cos6 x  sin2 x cos4 x  2sin 4 x cos2 x  2sin 2 x cos4 x  sin 4 x





 cos4 x cos2 x  sin 2

 
x   2 cos

2







x.sin 2 x cos2 x  sin 2 x  sin 4 x



 cos4 x  2 cos2 x.sin 2 x  sin 4 x  cos2 x  sin 2 x



2

1

c) Ta có:
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122

1





  1 
 
7 
cos  x   .cos  x     cos  2 x    cos 
3

4 2
12 
12 







3  1 
11 
7 
cos  x   .cos  x 
   cos  2 x 
  cos 
6

4  2
12 
12 











3  1 
 
11  
7
 cos  x   .cos  x    cos  x   .cos  x 
   cos  2 x    cos  2 x 

   cos
3

4
6

4  2
12 
12  
12






1
11 
11  
7
7
   cos  2 x 
 cos
  cos  2 x 
   cos
2
12 
12  
12
12




d) Ta có:
 4

 4

1  cos 
 2 x  1  cos 
 2x 




2
2
 3

 3

cos2 x  cos2 
 x   cos2 
 x   cos2 x 
2
2
 3

 3








1
4

4

4

1
 cos2 x  1   cos 
 2 x   cos 
 2 x    cos2 x  1  cos
.cos 2 x  cos2 x  1  .cos 2 x
2
3
2
 3

 3

1
3
 cos2 x  1  . 2 cos2 x  1 
2
2





Bài 15. a) Chứng minh: cot   cot 2 
b) Chứng minh:

1
.
sin 2

1
1
1
1



 cot x  cot16 x .
sin 2 x sin 4 x sin8x sin16 x




 1
c) cos x.cos   x  .cos   x   .cos3 x
3

3

 4

d) sin 5x  2sin x(cos 4 x  cos2 x)  sin x
HD:
a) Ta có:
cot   cot 2 

cos cos2 sin2 .cos  cos2 .sin  sin(2   )
sin 
1





sin  sin 2
sin  .sin 2
sin  .sin 2 sin  .sin 2 sin 2

b) Áp dụng câu a ta có:

1
 cot x  cot 2 x 
sin 2 x

1
 cot 2 x  cot 4 x 
1
1
1

1

sin 4 x




 cot x  cot16 x

1
sin 2 x sin 4 x sin 8 x sin16 x
 cot 4 x  cot 8 x 
sin 8 x


1
 cot 8 x  cot16 x 
sin16 x


c) Ta có:
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122





 1

2 

cos x.cos   x  .cos   x   .cos x.  cos2 x  cos

3 
3

3
 2

1
1
1
1
1
 .cos x.cos2 x  cos x  (cos x  cos3 x )  .cos x  .cos3 x
2
4
4
4
4

d)
sin 5 x  2sin x(cos 4 x  cos 2 x )  sin 5 x  2sin x.cos 4 x  2sin x.cos 2 x
 sin 5 x  (sin 5 x  sin 3 x )  (sin 3 x  sin x )  sin x

Bài 16. a) Chứng minh: tan   cot   2 cot 2 .
b) Chứng minh:

1
x 1
x

1
x
1
x
tan  tan  ...  tan  cot  cot x .
2
2 22
22
2n
2n 2n
2n

HD:
a) Ta có:
cos  2.cos 2 cos 
2.cos 2
cos2   (cos2   sin 2  )




sin 
sin 2
sin  2.sin  .cos 
sin  .cos 
2
sin 
sin 



 tan 
sin  .cos  cos 
cot   2 cot 2 

b) Áp dụng câu a ta có:

x
x
x
1
x
2  cot x 
tan  cot  2 cot x  tan 

2
2
2
2
2

x
x
 1
cot
x 1
x
1
x
1
x

cot

2
1
x
2 
2
  tan  2 tan 2  ...  n tan n  n cot n  cot x
tan 
2 2
2
2
2
2
2
 2
2
22
22
22

...............................................

1
x
1
x
1
x


tan  cot 
.cot
n
n
n
n
n 1
n 1

2
2
2
2 2
2
cot

Bài 17. a) Chứng minh:
b) Chứng minh:

1
2

4 cos x
1

x
4 cos
2
2





1
2

sin 2 x



1
2

2

4 cos

x

1
4sin2 x
 ... 

.
1

n

4 cos

22

x

2



2n

1
2

sin x



1
n

4 sin

2

x

.

2n

HD:
a) Ta có:
1
2

sin 2 x



1
2

4sin x



1
2

2

4.sin x.cos x



1
2

4sin x



1  cos2 x
2

2

4.sin x.cos x



sin2 x
2

2

4.sin x.cos x



1
4 cos2 x

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


b) Áp dụng câu a ta có:
1

1

1



x sin2 x
x

4 cos2
4sin 2
2
2

1
1
1




1
1
1
1
1
x
x
x


 ... 


42 cos2
4sin2
42 sin 2

2
2
2
x sin x
x
2
2
2
 4 cos2 x 42 cos2 x
4 n cos2
4 n sin 2
2
n
.............................................

2
2
2
2n

1
1
1




x
x
x 
4n cos2
4n1 sin 2
4 n sin 2
2n
2n1
2n 




1
4

Bài 18. a) Chứng minh: sin3 x  (3sin x  sin 3x ) .
b) Chứng minh: sin3


x
x
x 1 n
x
 3sin3  ...  3n1 sin3
  3 sin  sin x  .
2

n
n
3
4
3
3
3


HD:
a) Ta có:
sin 3 x  sin(2 x  x )  sin 2 x.cos x  cos2 x.sin x  2.sin x.cos2 x  (1- 2sin2 x ).sin x
 2sin x.(1  sin 2 x )  sin x  2sin3 x  3sin x  4sin 3 x
1
 sin3 x  (3sin x  sin 3 x )
4

b) Áp dụng câu a ta có:


x 1
x
  3sin  sin x 

3 4
3


1 2
x

x

3 x

1 n
x
3sin
  3 sin  3sin 

3 x
3 x
n1
3 x
2
2
  sin  3sin 2  ...  3 sin n   3 sin n  sin x 
4
3
3
3
3
4
3
3
3


.........................................

x 1 n

x
x
3n1 sin3
  3 sin  3n1 sin  
3  
3n 4 
3n
sin3

Bài 19. a) Chứng minh: 1 

1
tan 2
.

cos2
tan 


1 
1  
1  tan 2 n x
1

1

...
1

b) Chứng minh: 

.

 

tan x
 cos 2 x   cos 22 x   cos 2 n x 

HD:
a) Ta có:
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


tan 2 sin 2 cos  2sin  .cos  .cos  2 cos2  1  cos2
1

.



 1
tan 
cos2 sin 
cos2 .sin 
cos2
cos2
cos2

b) Áp dụng câu a:



1  tan 2
1 


 cos2 x  tan 


1  tan 22 


1 
1  
1  tan 2n x
 
1 

2

1

1

...
1

tan
2


 

 

 cos2 x 
tan x
 cos2 x   cos22 x   cos2n x 

.......................................


1  tan 2n x 
...  1 

 cos2n x  tan 2n1 x 

Bài 20. a) Chứng minh: cos 

sin 2
.
2sin 

x
x
x
b) Chứng minh: cos .cos ...cos 
2
22
2n

sin x
n

2 sin

x

.

2n

HD:
a) Ta có:
sin 2 2.sin  .cos 

 cos 
2sin 
2.sin 

b) Áp dụng câu a ta có:

x
s inx


x
2

2.sin
2

x


sin

x
2
cos 

x
x
x
sin x

22 2.sin x
  cos .cos 2 ...cos n 
2
x
2
2
2
2

2n sin
................................
2n
x

sin

n


1
x
2

cos 

2n 2.sin x
n

2
cos

Bài 21. Chứng minh rằng:

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


a) Q  cos
b) R  cos


2n  1

.cos

2
n
1
... cos


2n  1
2n  1 2 n

2
4
2n
1
.cos
... cos

2n  1
2n  1
2n  1
2n

HD:
Cách 1: Các em sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh
Cách 2: Biến đổi dựa vào các công thức lượng giác đã học
a) Ta có:


2
n
.cos
... cos
2n  1
2n  1
2n  1




2
n
 sin
.Q  sin
.cos
.cos
... cos
2n  1
2n  1
2n  1
2n  1
2n  1

1
2
2
n
 sin
.Q  .sin
.cos
... cos
2n  1
2
2n  1
2n  1
2n  1

1
4

n
 sin
.Q  .sin
.....cos
2
2n  1
2n  1
2n  1
2

1
2n
 sin
.Q  sin
n
2n  1
2n  1
2

Q  cos

Vì góc

2n


2n
1

   sin

 sin
Q 
2n  1 2n  1
2n  1
2n  1
2n

b) Tương tự câu a, nhân cả hai vế với sin

2
2n  1

2
2
2
4
2n
.R  sin
.cos
.cos
... cos

2n  1
2n  1
2n  1
2n  1
2n  1
2
1
4n

 sin
.R  .sin
n
2n  1
2n  1
2

sin

Vì góc

4n
2
4n
2
1

 2  sin
  sin
R
2n  1 2n  1
2n  1
2n  1
2n

Bài 22. Chứng minh các hệ thức sau:
1) sin4 x  cos4 x 

3 1
 cos 4 x

4 4

3) sin x.cos3 x  cos x.sin3 x 
2 

x
5) 1  sin x  2sin   
 4 2

1
sin 4 x
4

2) sin6 x  cos6 x 
4) sin6

5 3
 cos 4 x
8 8

x
x 1
 cos6  cos x(sin2 x  4)
2
2 4

1  2sin2 x
 1
6)




2 
2 cot   x  .cos   x 
4

4


LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122




1 cos x
x
2
1
7) tan .
4 2


sin x
2


9)


1 sin 2 x

x
4

cos 2 x

8) tan

x
cos x
cot
1 sin x
4 2

10) tan x.tan 3x

11) tan x cot x 2 cot 2 x

13)

12) cot x tan x

tan2 2 x tan2 x
1 tan2 x.tan2 2 x
2
sin 2 x

1 1 1 1 1 1
x

cos x cos , vụựi 0 x .
2 2 2 2 2 2
8
2

HD:
1) Ta cú:






2sin2 x.cos2 x 1 2sin2 x.cos2 x
3 1

4
4
sin x cos x cos 4 x
2
3 1
3 1
sin 2 x
4 4
cos 4 x 1 2sin2 2 x 1
1 2sin 2 x.cos2 x

4 4
4 4

2


sin 4 x cos4 x sin2 x cos2 x



2



2) Ta cú:




x 1 3sin x.cos x
6
2 x 1 .4 sin x.cos
8

sin6 x cos6 x sin2 x cos2 x sin 4 x cos4 x sin2 x.cos2 x



4

4

2

2

sin x cos x sin x.cos



2

5 3
5 3
cos 4 x 1 2sin2
8 8
8 8
5 3
sin6 x cos6 x cos 4 x
8 8



2

2

2

x 1 3sin 2 x.cos2 x

3) Ta cú:
1

1
sin x.cos3 x cos x.sin3 x sin x.cos x (cos2 x sin 2 x ) sin 2 x.cos 2 x sin 4 x
2
4
1
2

sin 2 x

cos2 x

4) Ta cú:
sin6

x
x
x
x
x
x
x
x
cos6 sin2 cos2 sin 4 cos4 sin2 .cos2
2
2
2
2
2
2
2

2
cos x

2


1
1
2 x
2 x
2 x
2 x

cos x sin
cos sin .cos
cos x 1 sin2 x cos x(sin2 x 4)
2
2
2
2

4
4



5) Ta cú:
x
2sin2
4 2

Haù baọc



1 cos x 1 sin x
2


LP TON THY THNH NGế 58 NGUYN KHNH TON 0975.705.122


6) Ta có:


1  cos   2 x 






2
  cot    x  . 1  sin 2 x 
2 cot   x  .cos2   x   2 cot   x  .

 

4


4

4

2
4


Mà 1  sin 2 x  sin 2 x  cos 2 x  2sin x.cos x   sin x  cos x 2



2
2.sin  x     sin x  cos x   2sin 2  x  
4
4





 cot
 x . 1  sin 2 x   cot
 x .2sin 2  x  
4
4
4

sin x  cos x 

 
 

cos   x 




4

.2sin  x    2.cos   x  .sin   x   sin   2 x   cos 2 x

4
4
4
2


sin   x 
4
2

Mà cos 2 x  1  2sin 2 x  đpcm

7) Ta có:


 x 
1  cos   x   2 cos2    ;

2

 4 2


 x 
 x 
1  cos   x  sin    2 cos2   
 x 
2
 
 4 2.
 4 2
 tan    .
 4 2


 x 


sin   x 
cos    sin   x 
2

 4 2
2

 x 
 x 



2sin    .cos    sin   x 
 4 2
 4 2 
2
 1





sin   x 
sin   x 
2

2


8) Ta có:
2

 sin x  cos x 
1  sin 2 x cos2 x  sin2 x  2sin x.cos x
sin x  cos x



2
2
cos 2 x

(sin x  cos x )(sin x  cos x ) sin x  cos x
cos x  sin x


2.sin   x 
4
  tan    x 



4



2.cos   x 
4

9) Ta có:

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122



x
x 
x
x
x
x
 cos 2  sin 2  cos 2  sin 2 

 sin 2
cos x


2
2


2
x
x
x
x
1  sin x

x
x
cos2  sin 2  2 cos .sin
 cos 2  sin 2 
2
2
2
2





x
x

x
2.cos   
cos  sin
 4 2   cot    x 
2
2




x
x
 4 2
 x 
cos  sin
2.sin   
2
2
 4 2
cos2

10) Ta có:
tan2 2 x  tan2 x

(tan 2 x  tan x )(tan 2 x  tan x )
1  tan2 x.tan2 2 x (1  tan x.tan 2 x)(1  tan x.tan 2 x )
tan 2 x  tan x tan 2 x  tan x

.
 tan 3x.tan x

1  tan x.tan 2 x 1  tan x.tan 2 x


11) Ta có:
cos x
cos2 x 2 cos2 x  2 cos2 x
 2.

sin x
sin 2 x
2sin x.cos x
2
2
2 cos x  2 2 cos x  1
2  2 cos2 x
2.sin 2 x



 cot x
2sin x.cos x
2sin x.cos x 2sin x.cos x
cot x  2 cot 2 x 





12) Ta có:
cot x  tan x 

cos x sin x cos2 x  sin 2 x
1
2




sin x cos x
sin x.cos x
sin x.cos x sin 2 x

13) Ta có:
1 1 1 1 1 1


 cos x
2 2 2 2 2 2



1 cos2 x
 cos2 x
2

1 1 1 1
x
1 1 1 1
x



cos2


 cos
2 2 2 2
2
2 2 2 2
2

1 1
x
1 1
x
x
x

cos2 
 cos  cos2  cos
2 2
4
2 2
4
8
8

Bài 23. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x
A  2cos4 x  sin 4 x  sin 2 x.cos2 x  3sin 2 x
B  (tan x  cot x) 2 (cot x  tan x) 2

C  sin 2 x.tan 2 x  2sin 2 x  tan 2 x  cos 2 x

HD:
A   cos 4 x  sin 4 x    sin 2 x.cos 2 x  cos 4 x   3sin 2 x
  cos 2 x  sin 2 x  cos 2 x  sin 2 x   cos 2 x  cos 2 x  sin 2 x   3sin 2 x
 cos 2 x  sin 2 x  cos 2 x  3sin 2 x  2  cos 2 x  sin 2 x   2
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122




B  (tan x  cot x) 2 (cot x  tan x) 2  tan 2 x  cot 2 x  2 tan x.cot x  tan 2 x  cot 2 x  2 tan x.cot x



 4 tan x.cot x  4



 



C  sin 2 x.tan 2 x  tan 2 x  cos 2 x  sin 2 x  sin 2 x  tan 2 x.(sin 2 x  1)  1  sin 2 x





 tan 2 x.  cos 2 x  1  sin 2 x   sin 2 x  1  sin 2 x  1

sin 2 x
.(  cos 2 x )  sin 2 x
cos 2 x

Bài 24. Rút gọn các biểu thức
a) A  1  cot   sin3   1  tan   cos3 

b) B 

sin2   2 cos2   1
cot 2 

 sin   cos 
d) D 

sin 2   tan 2 
c) C 
cos2   cot 2 

2

1

cot   sin  cos 

HD:
a) Ta có:
 sin   cos   3
 sin   cos  
3

A  1  cot   sin3   1  tan   cos3   
 sin   
 cos 
sin 
cos 









  sin   cos   sin2    sin   cos  cos2    sin   cos  sin 2   cos2    sin   cos 

b) Ta có:

sin   cos    cos   1  cos   sin 
B
2

2

2

cot 

2

2

cot 

2

2

c) Ta có :

1 
sin2   1 
2
2

sin   tan 
cos2   sin   tan 

C


 tan6 
2
2
2
2

cos   cot 
1  cos   cot 
cos2   1  2 

 sin  
2




2




d) Ta có:

sin   cos 
D

2

1

cos 
 sin  cos 
sin 



sin2   cos2   2sin  .cos   1 2sin  .cos 
2sin 2  .cos 



 2 tan2 
2
3
 1

1  sin 
cos 
cos 
 sin  
cos
sin 
 sin 


Bài 25. Biến đổi thành tổng:
a) 2sin(a  b).cos(a  b)

b) 2 cos(a  b).cos(a  b)

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


13x
x
.cos x.cos
2
2

c) 4sin3x.sin 2 x.cos x

d) 4sin

e) sin( x  30o ).cos( x  30o )


2
f) sin .sin

g) 2sin x.sin 2 x.sin3x.

h) 8cos x.sin 2 x.sin3x




i) sin  x 





 .sin  x   .cos 2 x
6

6

5

5

k) 4 cos(a  b).cos(b  c).cos(c  a)

HD:
1
a) Sử dụng công thức sin a.cos b   sin  a  b   sin  a  b  
2

2sin(a  b).cos(a  b)  sin  a  b  a  b   sin  a  b  a  b   sin 2a  sin 2b

b) Sử dụng công thức 2 cos a.cos b  cos(a  b)  cos(a  b)
2 cos(a  b).cos(a  b)  cos(a  b  a  b)  cos(a  b  a  b)  cos2a  cos2b

c) Ta có:
2.sin 2 x.cos x  sin  2 x  x   sin  2 x  x   sin 3 x  sin x
 4sin 3 x.sin 2 x.cos x  2sin 3 x  sin 3 x  sin x 
 2sin 2 3 x  2sin 3 x.sin x
 1  cos 6 x  cos 2 x  cos 4 x

d) Ta có:
13 x
x
.cos  sin 7 x  sin 6 x
2
2
13 x
x
 4 sin
.cos x.cos  2 sin 7 x.cos x  2 sin 6 x.cos x
2
2

 sin 8 x  sin 6 x  sin 7 x  sin 5 x
2 sin

e) Ta có:
1
sin( x  30o ).cos( x  300 )  sin 2 x  sin 600 

2

f) Ta có:
sin


5

.sin

2 1  3

  sin
 sin 
5 2
5
5

g) Ta có:
2sin x.sin 2 x.sin3 x.
2sin x.sin 2 x.sin3 x.

Bài 26. Chứng minh:

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122






 x  cos   x   cos3 x
3

3


a) 4 cos x.cos 


 

 x  sin   x   sin 3 x
3
 3


b) 4sin x.sin 

Áp dụng tính:
A  sin10o.sin 50o.sin 70o

B  cos10o.cos50o.cos70o

C  sin 200.sin 400.sin800

D  cos200.cos 400.cos800

HD:
a) Ta có:



 1
2  1 
1 1 
1 1 
3
cos   x  cos   x    cos2 x  cos    cos2 x    2 cos2 x  1    2 cos2 x  
3  2
2 2 
2 2 
2
3

3
 2




1
3

 4 cos x.cos   x  cos   x   4 cos x. 2 cos2 x    4 cos3 x  3cos x  cos3x
2
2
3

3


b) Ta có:

 
 1

2  1 
1 1 
1 1 3
sin   x  sin   x    cos2 x - cos    cos2 x    1- 2sin2 x     - 2sin 2 x 
3  2
2 2 
2 2 2
3
 3
 2


 



1 3

 4sin x.sin   x  sin   x   4sin x.  - 2sin2 x   3sin x  4sin3 x  sin 3 x
2 2
3
 3



Áp dụng:
A  sin100.sin 500.sin 70 0  sin 30 0 

1
2

B  cos100.cos 50 0.cos 70 0  cos30 0 

3
2

3
2
1
D  cos 200.cos 40 0.cos80 0  cos 60 0 
2

C  sin 200.sin 400.sin 80 0  sin 60 0 

Bài 27. Biến đổi thành tích:
a) 2sin 4 x  2

b) 3  4 cos2 x

c) 1  3tan2 x

d) sin 2 x  sin 4 x  sin 6 x

e) 3  4 cos4 x  cos8x

f) sin 5x  sin 6 x  sin 7x  sin8x

g) 1  sin 2 x –cos2 x –tan 2 x

h) sin 2 ( x  900 )  3cos 2 ( x  900 )

i) cos5x  cos8x  cos9x  cos12 x

k) cos x  sin x  1

HD:
1
2

a) Ta có: 2sin 4 x  2   sin 4 x 



2  1



   sin 4 x  sin   sin  2 x   .cos  2 x  


2  2
4
8
8



b) Ta có:
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


3


 3
 3

3  4 cos 2 x  4   cos 2 x   4 
 cos x  . 
 cos x   4  cos  cos x  .  cos  cos x 
6
6
4




 2
 2


x 
x 
x 
x 


 16sin    .sin    .cos    cos     8sin  x   .sin  x  
6
6
 2 12 
 2 12 
 2 12 
 2 12 



c) Ta có:
1
1
1  3 tan 2 x  3. 
 tan x  . 
 tan x   3  tan 300  tan x  .  tan 300  tan x 
 3
 3

0
0
sin x   sin 30
sin x 

 sin 30
 3. 

.


0
0
cos x   cos 30
cos x 
 cos 30
sin  300  x  .sin  300  x 
sin 300.cos x  cos 300.sin x sin 300.cos x  cos 30 0.sin x
 3.
.

3.
cos 300.cos x
cos 300.cos x
cos 2 300.cos 2 x

d) Ta có:
sin 2 x  sin 6 x  2sin 4 x.cos 2 x
 sin 2 x  sin 4 x  sin 6 x  2sin 4 x.cos 2 x  sin 4 x
1
 2sin 4 x.  cos 2 x    2sin 4 x.  cos 2 x  cos 600 
2

 4sin 4 x.cos  x  300  .cos  x  300 

e) Ta có:
3  4cos 4 x  cos8 x  3  4cos 4 x  2cos 2 4 x  1
 2.  cos 4 x  1   2.  2cos 2 2 x  1  1   8.c os 4 2 x
2

2

f) Ta có:
sin 5 x  sin 6 x  sin 7 x  sin 8 x   sin 5 x  sin 8 x    sin 6 x  sin 7 x 
13 x
3x
13 x
x
13x 
3x
x
.cos  2sin
.cos  2sin
.  cos  cos 
2
2
2
2
2 
2
2
13 x
x
 4sin
.cos x.cos

2
2
 2sin

g) Ta có:

sin 2 x 
1  sin 2 x  cos 2 x  tan 2 x   sin 2 x  cos 2 x   1 

 cos 2 x 
 cos 2 x  sin 2 x   sin 2 x  cos 2 x . 1  1 
  sin 2 x  cos 2 x  

  cos 2 x 
cos 2 x


cos 2 x  1
2sin2 x
  cos 4 x.
  cos 4 x.
cos 2 x
cos 2 x

h) Ta có:
 sin( x  900 )  cos x

0
0
 cos( x  90 )  cos(90  x)  sin x

Suy ra

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


1
sin 2 ( x  900 )  3cos 2 ( x  900 )  cos 2 x  3sin 2 x  3cos 2 x.   tan 2 x 
3

1
1
 3cos 2 x. 
 tan x  . 
 tan x   3cos 2 x.  tan 300  tan x  .  tan 300  tan x 
 3
 3

0
0
sin  30  x  .sin  30  x 
 3cos 2 x.
cos 2 300.cos 2 x

( các em xem lại cách trình bày câu c)
i) Ta có:
cos 5 x  cos8 x  cos 9 x  cos12 x   cos 5 x  cos12 x    cos8 x  cos 9 x 
17 x
7x
17 x

x
17 x 
7x
x
 2 cos
.cos
 2 cos
.cos  2 cos
.  cos
 cos 
2
2
2
2
2 
2
2
17 x
3x
 4 cos
.cos 2 x.cos
2
2

k) Ta có:
x
x
x
 2sin .cos
2

2
2
x 
x 
x
x
x
 2 cos .  cos  sin   2 2.cos .sin   
2 
2
2
2
2 4
cos x  sin x  1   cos x  1  sin x  2 cos2



Cách em chú ý công thức:  cos x  sin x   2.sin  x  4 



Bài 28. Rút gọn các biểu thức sau:
a) A 
c) C 

cos7 x  cos8x  cos9 x  cos10 x
sin 7 x  sin8x  sin 9 x  sin10 x

1  cos x  cos2 x  cos3x
2

cos x  2 cos x  1

b) B 

sin 2 x  2sin 3x  sin 4 x
sin 3x  2sin 4 x  sin 5x

d) D 

sin 4 x  sin 5x  sin 6 x
cos 4 x  cos5x  cos6 x

HD:
a) Ta có:
cos 7 x  cos8x  cos9 x  cos10 x   cos 7 x  cos10 x    cos8x  cos9 x 
17 x
3x
17 x
x
17 x 
3x
x
 2 cos
.cos  2 cos
.cos  2 cos
 cos  cos 
2
2
2

2
2 
2
2

Và
sin 7 x  sin8x  sin 9 x  sin10 x   sin 7 x  sin10 x    sin8x  sin 9 x 
17 x
3x
17 x
3x
17 x 
3x
x
 2sin
.cos  2sin
.cos  2sin
.  cos  cos 
2
2
2
2
2 
2
2

Suy ra A  cot

17 x
2

b) Ta có:

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


sin 2 x  2sin 3x  sin 4 x   sin 2 x  sin 4 x   2sin 3x
 2sin 3x.cos x  2sin 3x  2sin 3x  cos x  1

Mà :
sin3x  2sin 4 x  sin 5x   sin3 x  sin 5 x   2sin 4 x
 2sin 4 x.cos x  2sin 4 x  2sin 4 x  cos x  1

Suy ra B 

sin 3x
sin 4 x

c) Ta có:
1  cos x  cos2 x  cos3x  1  cos2 x    cos x  cos3x 
 2 cos2 x  2 cos2 x.cos x  2 cos x  cos x  cos2 x 
cos x  2 cos2 x  1  cos x  cos2 x
 C  2 cos x

d) Ta có:
sin 4 x  sin 5x  sin 6 x   sin 4 x  sin 6 x   sin 5x
 2sin 5x.cos x  sin 5x  sin 5x.  cos x  1

cos 4 x  cos5x  cos6 x   cos 4 x  cos6 x   cos5x
 2 cos5x.cos x  cos5x  cos5x.  cos x  1

 D  tan 5x

Bài 29. Rút gọn các biểu thức





a )A  cos     sin     cos     sin   
2

2

2

2

3
3
7
7
b)B  cos     sin     cos     sin   
2
2
 2

 2




HD:
a) A  sin   cos   sin   cos   2sin 
b) Ta có:
3

cos 
    cos  2    
 2


2

   cos        sin 




2


7 


cos   
 cos     4   cos       sin 

2 
2
2






Tương tự:
3
sin 
     cos  
 2


  B  2sin 
7 

sin   
  cos  
2




LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122