Đề thi toán vào THPT Nguyễn Tất Thành HAY Có đáp án

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

TRƯỜNG THCS VÀ THPT NGUYỄN TẤT THÀNH

Năm học: 2001-2002

ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn thi: TOÁN

LỚP TOÁN THẦY THÀNH

Thời gian làm bài: 120 phút

NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN
0975.705.122
Câu 1: Rút gọn biểu thức:
A 94 5  94 5

B  x  2 x 1  x  2 x 1

Câu 2: Không biến đổi phương trình hãy chứng minh phương trình sau vô nghiệm:
x  3  x  2  3  4  x2 .

Câu 3: Giải phương trình x 4  2 x3  2 x 2  2 x  1  0 .
Câu 4: Với giá trị nào của m thì phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: x 4  2 x 2  m  0 .
Câu 5: Với giá trị nào của k, đường thẳng y  x  3k  1 không cắt parabol y  2 x 2 .
Câu 6: Chứng minh rằng khi a thay đổi các đường thẳng có phương trình y   a  1 x  3a  2001
luôn đi qua điểm cố định. Tìm điểm cố định đó.

Câu 7: Cho hình vuông có độ dài các cạnh bằng a. Tính chu vi đường tròn ngoại tiếp hình vuông
đó.
Câu 8: Cho 2 đường tròn  O  và  O'  cắt nhau tại A, B. Qua A kẻ cát tuyến MAM’; NAN’; PAP’
(M, N, P thuộc đường tròn (O); M’, N’, P’ thuộc đường tròn (O’)). Chứng minh: ΔMNP ∽ ΔMN'P' .
Câu 9: Cho hình thang vuông MNPQ ở đó M  Q  900 , cạnh bên NP tiếp xúc với đường tròn
đường kính MQ. Chứng minh: MQ 2  4MN .PQ .
Câu 10: Cho hình thang cân ABCD có A  D  600 và AB  CD  BC . Tìm tâm đường tròn ngoại
tiếp hình thang ABCD.


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

TRƯỜNG THCS VÀ THPT NGUYỄN TẤT THÀNH

Năm học: 2002-2003

ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn thi: TOÁN

LỚP TOÁN THẦY THÀNH

Thời gian làm bài: 120 phút

NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN
0975.705.122

Câu 1: Giải phương trình:

x  2 x 1  x  2 x 1  2x .

Câu 2: Chứng minh đẳng thức:
Câu 3: Rút gọn biểu thức :

P

2
3
1
.


5 3
6 3
6 5
a 4  13a 2  36
.
a 4  20a 2  64

Câu 4: Giả sử a, b, c là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng phương trình:
b 2 x 2   b 2  c 2  a 2  x  c 2  0 vô nghiệm.

Câu 5: Một số có hai chữ số, tổng 2 chữ số đó bằng 11. Nếu thay đổi vị trí 2 chữ số đó cho nhau, ta
được số mới lớn hơn số cũ 9 đơn vị. Hãy tìm số ban đầu.
Câu 6: Nếu tăng chiều rộng 2m và giảm chiều dài đi 2m thì diện tích hình chữ nhật đó tăng 2m 2 .
Hỏi hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng bao nhiêu mét?
ˆ  450 . Hãy tính độ dài cạnh BC theo R?
Câu 7: Tam giác ABC nội tiếp đường tròn bán kính R có A

Câu 8: Giải hệ phương trình:

 x  2 1  y   8

x y 1


x2 2

Câu 9: Cho đường tròn tâm O đường kính AB  6cm . Kéo dài đoạn AB một đoạn BC sao cho
BC  2cm . Từ C kẻ tiếp tuyến CT tới đường tròn ( T là tiếp điểm). Hãy tính độ dài đoạn CT .

Câu 10: Cho 3 đường tròn bằng nhau có tâm O1 , O2 , O3 cùng đi qua một điểm D và chúng đôi một
cắt nhau tại 3 điểm A, B, C . Chứng minh rằng ABC và O1O 2O3 là 2 tam giác bằng nhau.


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

TRƯỜNG THCS VÀ THPT NGUYỄN TẤT THÀNH

Năm học: 2003-2004

ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn thi: TOÁN

LỚP TOÁN THẦY THÀNH

Thời gian làm bài: 120 phút

NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN
0975.705.122

Câu 1: Giải phương trình

x  2  2 x 1  x  2  2 x 1 

Câu 2: Trục căn thức ở mẫu số và rút gọn biểu thức: A 

x5
.
2

4
.
1 2  3

Câu 3: Tìm các giá trị của m để 2 phương trình sau có nghiệm chung:
x 2  2 x  m  0 và

2 x 2  3x  m  0 .

Câu 4: Biết rằng đường thẳng đi qua 2 điểm A  1;1 và B  0; 2  cắt đường thẳng y  2 x  1 tại
điểm M  x; y  . Tìm x, y .
1
Câu 5: Tìm các giá trị của m để đường thẳng y  m  x  1 cắt parabol y  x2 tại 2 điểm phân biệt
2

có hoành độ dương.
1

Câu 6: Chứng minh rằng x  3 2  3 
3

2 3

là một nghiệm của phương trình : x3  3x  4  0 .

Câu 7: Chứng minh rằng: chu vi của một tam giác lớn hơn tổng 3 đường trung tuyến của tam giác
đó.
Câu 8: Một hình thang cân có diện tích 204m 2 , chiều cao là 12m và đáy lớn dài hơn đáy nhỏ 10m .
Tính chu vi của hình thang đó.

 x  y  2003  2003
Câu 9: Tìm các giá trị của a để hệ phương trình sau đây có nghiệm: 
.
y

x

2003

a



Câu 10: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O). AD , BC tiếp xúc với (O) theo thứ tự tại

E , F . AC cắt EF tại I . Chứng minh:

IA EA
.

IC FC


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

TRƯỜNG THCS VÀ THPT NGUYỄN TẤT THÀNH

Năm học: 2004-2005

ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn thi: TOÁN

LỚP TOÁN THẦY THÀNH

Thời gian làm bài: 120 phút

NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN
0975.705.122
42 3

Câu 1 . Rút gọn các biểu thức sau A  29  12 5  29  12 5 , B 
3

10  6 3

.

Câu 2. Cho ba số dương x, y, z thoả mãn xy  yz  zx  1. Tính giá trị của

1  y 1  z   y 1  z 1  x   z 1  x 1  y  .
2

Sx

2

1  x2

2

2

2

1 y2

2

1 z2

Câu 3. Cho đường thẳng  d  có phương trình y   m  3 x  3m  2. Tìm các giá trị nguyên của m
để  d  cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là một số nguyên.

2mx  3 y  5
Câu 4. Tìm m để hệ phương trình 


 m  1 x  y  2

Câu 5. Cho b, c  0 thoả mãn

có nghiệm duy nhất  x, y  sao cho x  0, y  0.

1 1 1
  . Chứng minh rằng có ít nhất một trong hai phương trình
b c 2

x 2  bx  c  0 hoặc x 2  cx  b  0 có nghiệm.

Câu 6. Giải phương trình

x  2  y  2004  z  2005 

1
 x  y  z .
2

Câu 7. Cho hai đoạn thẳng AC và DB cắt nhau tại E sao cho AE.EC  BE.ED. Chứng minh
A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.

Câu 8. Cho tam giác ABC. Từ điểm M bất kỳ nằm trong tam giác kẻ MD, ME, MF lần lượt vuông
góc với các cạnh BC , CA, AB. Chứng minh rằng BD2  CE 2  AF 2  DC 2  EA2  FB2 .
Câu 9. Từ điểm M nằm trong mặt phẳng toạ độ Oxy có tung độ yM 

1
ta kẻ hai tiếp tuyến đến
4

parabol y   x 2 . Chứng minh rằng góc tạo bởi hai tiếp tuyến đó là góc nhọn.
Câu 10. Cho tam giác ABC có BC cố định có góc BAC   không đổi. Hỏi điểm A di động trên
đường nào ? Tìm vị trí của A để chu vi tam giác ABC lớn nhất.


HƯỚNG DẪN + ĐÁP ÁN
Hướng dẫn

Câu

Điểm

Câu 1





Ta có A  3  2 5  3  2 5  2 5  3  3  2 5  6;

 3  1
 3  1
2

B

3

 3 1

3

Câu 2
Ta có 1  x 2  xy  yz  zx  x 2   x  y  x  z  .
Tương tự ta có 1  y 2   y  z  y  x  và 1  z 2   z  x  z  y  .
Thay vào biểu thức biểu diễn P ta được
S  x  y  z   y  z  x   z  x  y   2  x  y  z   2.

Câu 3
Điều kiện : m  3.
y 0 x 

3m  2
11
 3 
3 m
3 m

Để x nguyên thì 11 chia hết 3- m . Từ đó tìm được giá trị m cần tìm
m  2; 4; 8;14.

Câu 4
Hệ có nghiệm duy nhất khi

2m 3

  m  3 .
m 1 1

Dùng phương pháp thế tính được : x 
x  0, y  0

1
m5
. Điều kiện
;y
m3
m3

m  3.

Câu 5
Ta có 2  b  c   bc, 1  b 2  4c,  2  c 2  4b nên 1   2   b  c   0 suy ra
2

hoặc 1  0 hoặc  2  0 do đó có ít nhất một phương trình có nghiệm.
Câu 6
Chuyển vế đưa về dạng :



 
2

x  2 1 

 
2

y  2004  1 

Giải phương trình ta được x  3; y  2003; z  2006.



2

z  2005  1  0


Câu 7
Ta có

AE ED

, mặt khác Eˆ1  Eˆ 2 nên AED đồng dạng với tam giác DEC
BE EC

 BAC  BDC Từ đó do A, D thuộc nửa mặt phẳng bờ BC  B, A, D, C

cùng thuộc một đường tròn.
Câu 8
Nối M với A, B, C và áp dụng định lý pitago ta có
AF2  FM 2  AM 2  AE 2  EM 2
BD 2  DM 2  BM 2  BF 2  FM 2
CE 2  EM 2  CM 2  CD 2  DM 2 .

Từ đó suy ra điều cần chứng minh.
Câu 9
+ Trước hết ta chứng minh: Từ điểm A thuộc đường thẳng y 

1
 d  kẻ hai
4

tiếp tuyến đến parabol y   x 2  P  thì hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.
1
 1
Thật vậy tiếp tuyến qua A  x0 ;  có dạng y  a  x  x0   sao cho phương
4
 4

trình a  x  x0  

1
  x 2 có nghiệm kép . Từ đó  '  4  a 2  4 x0 a  1  0 cho
4

ta a1 , a2 thoả mãn a1.a2  1.
+ Sau đó chứng minh: Từ điểm M nằm phía trên đường thẳng y 

1
 d  kẻ
4

hai tiếp tuyến đến parabol y   x 2  P  thì hai tiếp tuyến đó hợp với nhau một

góc nhọn.
Câu 10
Điểm A thuộc hai cung chứa góc  dựng trên đoạn BC.
Xét vị trí A là giao điểm của chung trực BC với cung chứa góc, ta có
AB  AC và giả sử D là một điểm thuộc cung chứa góc đó  D  A  . Trên
BD lấy điểm E sao cho DE  DC. Nối AE ta có AE  AC. Từ đó suy ra

BA  AC  BA  AE  BE  BD  DE  BD  DC. Vậy chu vi ABC lớn nhất

khi A là giao điểm của trung trực đoạn BC với cung nhìn đoạn BC dưới
một góc .


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

TRƯỜNG THCS VÀ THPT NGUYỄN TẤT THÀNH

Năm học: 2005-2006

ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn thi: TOÁN

LỚP TOÁN THẦY THÀNH

Thời gian làm bài: 120 phút

NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN

0975.705.122

Câu 1. Chứng minh rằng x  0, y  0, x  y ta có

x xy y
x y


x y
x y

xy
x y

.

Câu 2. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy hỏi điểm M 10; 200  có nằm trên parabol đi qua ba điểm
O  0;0  , A 1;3 , B  2;12  hay không? Tại sao?

Câu 3. Cho đường tròn O bán kính R với dây cung AB  R 2. Tính số đo các góc nội tiếp chắn
cung AB.
x  y  1 z

Câu 4. Giải hệ phương trình  y  z  1  x
z  x  1 y


Câu 5. Tìm các giá trị của m để hai đường thẳng  d1  : y   m  1 x  2m 2  3 và

 d 2  : y   2m  1 x  m2  1 cắt nhau tại một điểm nằm trên trục Oy.

Câu 6. Giải phương trình x 2  2 x  2 x  1  7  0.
Câu 7. Một hình chữ nhật có chu vi 24m. Nếu tăng chiều rộng thêm 2m và giảm chiều dài đi 2m thì
diện tích hình chữ nhật đó không thay đổi. Tính diện tích hình chữ nhật đó.
Câu 8 .Tìm các giá trị của a để phương trình x 2  2ax  2a  1  0 có tổng hai nghiệm bằng tổng
bình phương hai nghiệm của nó.
Câu 9 . Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và H là trực tâm của nó. Chứng minh rằng các đường
tròn ngoại tiếp ABH , BCH , CAH là những đường tròn bằng nhau.
Câu 10 . Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 1. Các điểm M , N , P, Q lần lượt trên các cạnh
2
2
2
2
AB, BC , CD, DA. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức T  MN  NP  PQ  QM .


HƯỚNG DẪN + ĐÁP ÁN
Hướng dẫn

Câu

Điểm

Câu 1
Vế trái

x y

x  xy  y
x y




x y

 x 
2

xy  y

x y



xy
x y

.

Câu 2
Parabol qua O, A, B là y  3x 2 bởi vì 0  3.02 ;3  3.12 ;12  3.22. Điểm
M 10; 200  không thuộc parabol y  3x 2 bởi vì 200  3.102  300.

Câu 3
OAB : AB 2  2a 2  OA2  OB 2  AOB  900

Nếu M thuộc cung lớn AB thì AMB  450
Nếu M thuộc cung nhỏ AB thì AMB  1800  450  1350
Câu 4
Dùng phương pháp cộng đại số và thế ta được x  1, y  1, z  1

Vậy x  y  z  14.
Câu 5
Hai đường thẳng cắt nhau m  1  2m  1  m  2. Giao điểm nằm trên
Oy : 2m2  3  m2  1  m2  4  m  2. Giá trị m cần tìm m  2.

Câu 6
Đáp số: x  1, x  3.
Câu 7
Diện tích hình chữ nhật là 35m2 .
Câu 8
1
a  1; a  .
2

Câu 9
Dựng các đường tròn tâm O1 ngoại tiếp tam giác HAB, đường tròn tâm O2
ngoại tiếp tam giác HBC , đường tròn tâm O3 ngoại tiếp tam giác HCA, ta
có
HAB  900  ABC  HBC  HO1B  HO2 B  HO1B  HO2 B  O1H  O2 H .


Tương tự ta có O1H  O3 H nên ta được O1H  O2 H  O3 H là điều cần chứng
minh
Câu 10


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

TRƯỜNG THCS VÀ THPT NGUYỄN TẤT THÀNH

Năm học: 2006-2007

ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn thi: TOÁN

LỚP TOÁN THẦY THÀNH

Thời gian làm bài: 120 phút

NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN
0975.705.122
ax  by  2006
Câu 1 Tìm các giá trị của a và b để hệ phương trình 
nhận x  1 và y  2 là một
bx  ay  2007

nghiệm.
Câu 2. Chứng minh rằng

2 3  2 3
3 2 2  3 2 2



3
.
2

Câu 3 . Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng tổng các chữ số của nó bằng 12 và bình
phương chữ số hàng chục gấp đôi chữ số hàng đơn vị.
Câu 4. Trong các hình thoi có chu vi bằng 16cm, hãy tìm hình thoi có diện tích lớn nhất. Tìm giá trị
lớn nhất đó.
Câu 5. Giải phương trình x 4  4 x3  4 x 2  1  0.
Câu 6. Tìm các giá trị của a để đường thẳng y  ax  a  1 tạo với hai trục toạ độ một tam giác
vuông cân. Tính chu vi của tam giác đó.
Câu 7. Chứng minh rằng trong mặt phẳng toạ độ vuông góc Oxy đường thẳng y  mx  1 luôn cắt
parabol y  x 2 tại hai điểm A, B phân biệt và tam giác OAB vuông.
Câu 8. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Trên đường cao BH lấy điểm M sao cho AMC  900
và trên đường cao CK lấy điểm N sao cho ANB  900 . Chứng minh AM  AN .
Câu 9. Giả sử a, b, c là ba số cho trước. Chứng minh rằng có ít nhất một trong ba phương trình sau
đây có nghiệm ax 2  2bx  c  0, bx 2  2cx  a  0, cx 2  2ax  b  0.
Câu 10. Cho tam giác cân ABC  AB  AC  có BAC  200 . Trên cạnh AC lấy một điểm D sao
cho AD  BC và dựng tam giác đều ABO ra phía ngoài tam giác ABC. Chứng minh rằng O là
tâm đường tròn ngoại tiếp ABD và tính góc ABD


HƯỚNG DẪN + ĐÁP ÁN
Hướng dẫn

Câu
Câu 1

Thay x  1 và y  2 vào hệ phương trình giải được :
a  2007 2  2006; b  2006 2  2007.

Câu 2
Hai vế của bất đẳng thức cùng dương nên bình phương hai vế ta được

4 2 43 3
42 3
6 3
 
   (hằng đúng)
62 4
8 4
6 2 9 8 4

Câu 3
Gọi x là chữ số hàng chục 1  x  9, y là chữ số hàng đơn vị 0  y  9. Ta có
 x  y  12
 y  12  x
 x  4, y  8
 2

Trả lời: Số phải tìm là: 48
 2
 x  6(l )
x  2 y
 x  2 x  24  0

Câu 4
Giả sử hình thoi ABCD có AH là một đường cao. Ta có diện tich S  4 AH
nên S lớn nhất  AH  AB  ABCD là một hình vuông. Giá trị lớn nhất
bằng 16cm 2 .
Câu 5
2
Ta có x4  4 x3  4 x2  1  0   x  x  2    1  x  x  2   1.




x  x  2   1  x 2  2 x  1  0  x  1  2.
x  x  2   1  x 2  2 x  1  0  x  1.

Câu 6
Đường thẳng y  ax  a  1 tạo bởi hai trục toạ độ một tam giác vuông cân khi
nó song song với một trong hai đường thẳng y   x tức là a  1 và
a  1  0  a  1.

Với a  1, đường thẳng trở thành y  x  2 cắt Ox tại tại A  2;0  cắt Oy tại
B  0; 2  , nên chu vi tam giác là 4  2 2.

Câu 7
Đường thẳng y  mx  1 luôn cắt parabol y  x 2 tại hai điểm A, B phân biệt

Điểm


vì phương trình x 2  mx  1  0 luôn có nghiệm m (do   m2  4  0).
Hoành độ của A và B là hai nghiệm x1 , x2 của phương trình x 2  mx  1  0.
Ta có A  x1 ; y1  và B  x2 ; y2  với y1  x12 và y2  x22 cho nên
AB 2   x2  x1    y2  y1   x12  y12  x22  y22  2  1  2  1  OA2  OB 2 .
2

2

2

Từ đó suy ra OAB vuông góc ở O.

Câu 8
AKC đồng dạng với AHB 

AK AC

 AK . AB  AH . AC
AH AB

ANB có ANB  900 , NK  AB  AN 2  AK . AB. Tương tự AM 2  AH . AC

từ đó AM 2  AN 2 nên AM  AN .
Câu 9
Nếu một trong 3 số a, b, c bằng 0 thì hiển nhiên.
Nếu 3 số a, b, c khác 0. Khi đấy
 '1   '2   '3 

1
2
2
2
a  b    b  c    c  a    0.


2

Nên ít nhất một phương trình có nghiệm.
Câu 10
OAD  ABC  AOD  200. Và OD  OB  OA nên O là tâm đường tròn

ngoại tiếp ABD.

1
Trong đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABD ta có sđ ABD  sđ
2

AOD  100.


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

TRƯỜNG THCS VÀ THPT NGUYỄN TẤT THÀNH

Năm học: 2007-2008

ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn thi: TOÁN

LỚP TOÁN THẦY THÀNH

Thời gian làm bài: 120 phút

NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN
0975.705.122

Câu 1 Giải phương trình x 2  2 x 2  1  2.
Câu 2 Tính giá trị của biểu thức P 

1

2 3

 2  3.

Câu 3. Tìm giá trị của m để ba đường thẳng sau đây cùng đi qua một điểm :

 d1  : y  x  1,  d2  : y  5 x  3,  d3  : y  mx  4.
1

2 x  y  1  5

Câu 4 Giải hệ phương trình 
3x  2  18.
y 1


Câu 5 Cho hai đường tròn  O  và  O ' tiếp xúc trong với nhau tại M . Tia Mx cắt  O  và  O ' lần
lượt ở A và A ', tia My cắt  O  và  O ' lần lượt ở B và B '. Chứng minh rằng AB / / A ' B '.
Câu 6 Với các giá trị nào của a thì bất phương trình  a  1 x  a  1 không nhận x  2 là nghiệm.
Câu 7 Cho đường tròn tâm O bán kính R. Từ điểm M ở ngoài hình tròn vẽ hai tiếp tuyến MA và
MB hợp với nhau một góc 1200. Tính diện tích hình tròn nằm ở trong tam giác MAB.

Câu 8 Tìm giá trị của m để đường thẳng y  m cắt parabol y  x 2 tại hai điểm A và B sao cho
AB  2.

Câu 9 Chứng minh rằng nếu a  b  2 thì có ít nhất một trong hai phương trình x 2  2ax  b  0 và
x 2  2bx  a  0 có nghiệm.

Câu 10 Cho tam giác ABC có đỉnh A cố định, hai đỉnh B và C di động trên đường thẳng d cho
trước sao cho cạnh BC có độ dài không đổi. Chứng minh rằng khi AB  AC thì tam giác ABC

có chu vi nhỏ nhất.


HƯỚNG DẪN + ĐÁP ÁN
Hướng dẫn

Câu

Điểm

Câu 1
Đưa về 2 x 2  1  2  x 2 , bình phương hai vế đi đến x 4  8x 2  0. Phương
trình này cho ta x  0, x  2 2. Thử lại được x  0.
Câu 2
Ta có P  0; P  2  3  2  3; P 2 



2 3  2 3

  2.
2

Do đó P   2.
Câu 3
 y  x 1
 y  x 1

có
m  1, m  5 và  y  5 x  3 có nghiệm duy. Hệ phương trình 

 y  5x  3
 y  mx  4


nghiệm  x; y   1, 2  thoả mãn phương trình
y  mx  4  2  m.1  4  m  2.

Câu 4
Đặt u  x, v 

2u  v  5
1
 y  1 . Hệ 3u  2v  18
y 1


2
Giải được u  4, v  3 nên x  4 và y  .
3

Câu 5
Theo tính chất góc giữa tiếp với dây cung và góc nội tiếp chắn dây cung ấy
ta có : BAM  BMz  B ' Mz  B ' A ' M mà MAB  MAB '
nên suy ra AB / / A ' B '.
Câu 6
Điều kiện là  a  1 2  a  1  a 

1  2
 a  3  2 2.
2 1

Vậy a  3  2 2.
Câu 7
Ta có AMBO nội tiếp

̂

tam giác OAB đều nên

AB  OA  OB  R. Diện tích cần tìm S  dt quạt OAB  dt OAB; Dt quạt


OAB bằng

1 2
R nên diện tích cần tìm là
6





1 2 1
3 R2
S  R  R.R

2  3 3 .
6
2
2

12

Câu 8
Giả sử A  x1 ; y1  và B  x2 ; y2  . Ta có x1 , x2 là hai nghiệm phân biệt của
phương trình x 2  m. Từ đó m  0, x1 , x2   m và
y1  y2  m; AB  x2  x1  2  2 m  2  m  1.

Câu 9
1'   '2  a 2  b 2   a  b    a  1   b  1  a  b  2  0.
2

2

Câu 10
Giả sử AB  AC. Hạ AH  d và đặt AH  h, BC  2a ta có
AB  AC  2 a 2  h 2 . Trên d lấy P và Q tuý ý sao cho PQ  BC  2a và

gọi Q ' là điểm đối xứng của Q qua đường thẳng A và  / / d . Ta có
AP  AQ  PA  AQ '  PQ '  PQ 2  QQ '2  2 a 2  h 2  AB  AC.

Vậy tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất.


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

TRƯỜNG THCS VÀ THPT NGUYỄN TẤT THÀNH

Năm học: 2008-2009

ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn thi: TOÁN

LỚP TOÁN THẦY THÀNH

Thời gian làm bài: 120 phút

NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN
0975.705.122
Câu 1 . Biết 2  3 là một nghiệm của phương trình x 2  bx  2 3  0. Tìm b ?
Câu 2. Giải phương trình x 2  2  p 2  q 2  x  4 p 2 q 2  0 ( p, q là những tham số).
Câu 3 Cho ba điểm A 1; 1 , B  2;1 , C  3;1 . Chứng mỉnh rằng đường thẳng AB vuông góc với
đường thẳng AC.





 2 2 x  y 1

Câu 4 Giải hệ phương trình 
x  2  2 y  1






Câu 5 Với giá trị nào của a thì đường thẳng y  a  a  1 x  2a  1 song song với đường thẳng
y  2 x  5.

Câu 6 Cho AB  r. Tính theo r diện tích phần chung của hai hình tròn, tâm A bán kính r và tâm
B bán kính r.

Câu 7 Chứng minh rằng nếu m  1 thì nghiệm của phương trình 2mx  x  1 là một số dương và nhỏ
hơn 1.
Câu 8 Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn  O  . Giả sử đường tròn  O1  qua B, C và đường tròn

 O2 

qua C, D cắt nhau tại I khác C. Đường thẳng AB cắt  O1  ở H và đường thẳng AD cắt

 O2 

ở K . Chứng minh rằng H , I , K thẳng hàng.

Câu 9. Tìm các điểm trên parabol y  x 2 có khoảng cách đến điểm A  0;1 là lớn nhất.
Câu 10 Cho nửa đường tròn đường kính AB và một điểm C di động trên nửa đường tròn đó. Kéo
dài AC một đoạn CM  CB. Tìm tập hợp điểm M và xác định vị trí của điểm C sao cho tam giác
ABC có chu vi lớn nhất.


HƯỚNG DẪN + ĐÁP ÁN
Hướng dẫn

Câu

Điểm

Câu 1
Thay 2  3 vào phương trình được b  8  3 3.
Câu 2



 '  p2  q2



2

 0, x1  2 p 2 , x2  2q 2 .

Câu 3
AB 2  5; AC 2  20; BC 2  25; AB 2  AC 2  BC 2  AB  AC.

Câu 4
Đáp số x  1  2; y  1  2.
Câu 5
Đáp số a  1.
Câu 6
1
1
 4  3 3 2
3r 2  
r .
Diện tích phần chung bằng 2  r 2 
4

6
3


Câu 7
x

1
1
1
1
với m  . Ta có m  1  2m  1  1 
 0 và
 1.
2m  1
2
2m  1
2m  1

Câu 8
ABCD, BCIH , CDKI là những tứ giác nội tiếp nên HIC  CBA (cùng bù với

CBH ) KIC  CDA (cùng bù với CDK )
HIC  KIC  CBA  CDA  1800 . Vậy H , I , C thẳng hàng.

Câu 9
Tìm M  x0 ; y0  sao cho
2

1 3


y0  x , MA  x  x  1  x  x  1   x02    . Từ đó MA nhỏ nhất
2 4

2
0

2

2
0



2
0



2

4
0

2
0

1
1
 1 1

1
;  và
khi x02   0  x0  
và y0  x02  ta được M 1  
2
2
2 2
2

 1 1
M2 
; .
 2 2


Câu 10
BCM vuông cân tại C suy ra AMB  450. Mặt khác A, B cố định nên M

thuộc cung chứa góc về phía nửa đường tròn đã cho, nhìn AB một góc 450.
Khi C  B thì M  B. Khi C di động tới A thì M di động tới điểm D, ở đó
AD  AB và AD  AB. Vậy tập hợp điểm M là phần BD của cung chứa góc

nhìn AB một góc 450 nằm về phía nửa đường tròn đã cho (chính là nửa
đường tròn đường kính BD). ở đó D được xác định bởi DA  AB và
AD  AB. Chu vi ABC lớn nhất  AC  CB lớn nhất  AM lớn nhất
 AM đường kính của đường tròn quỹ tích điểm M . Tâm của đường tròn

này chính là điểm chính giữa C của nửa đường tròn đã cho.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

TRƯỜNG THCS VÀ THPT NGUYỄN TẤT THÀNH

Năm học: 2011-2012

ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn thi: TOÁN

LỚP TOÁN THẦY THÀNH

Thời gian làm bài: 120 phút

NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN
0975.705.122

Câu 1. Rút gọn biểu thức P 
Câu 2. Giải phương trình

3 2 2
32 2
.

42 3
42 3

4 x  x2.

Câu 3. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình x 2  6 x  1  0 . Hãy lập một phương trình bậc hai
nhận

1
1
và 2 là nghiệm.
2
x1
x2

Câu 4. Tính diện tích của hình chữ nhật. Biết rằng nếu tăng chiều rộng 5m và giảm chiều dài 3m thì
hình chữ nhật đó trở thành hình vuông và diện tích tăng thêm 35m2.
Câu 5. Tìm a, b để phương trình ax 2   ab  1 x  b  0 có một nghiệm duy nhất là x 

1
.
2

Câu 6. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m , đường thẳng d : y  mx  1 luôn cắt parabol

 P  : y  x2

tại hai điểm phân biệt. Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d là

lớn nhất?
Câu 7. Cho đường tròn  O  với đường kính AB  2 R , dây cung CD  R 2 và CD  AB . Tính chu
vi của tứ giác ABCD theo R .
Câu 8. Cho x  0, y  0 thỏa mãn x 

1
1
 1 . Chứng minh rằng y   4 .
y
x

Câu 9. Chứng minh rằng với mọi m  0 , hai đường thẳng d1 : y  mx  3 và d2 : y  

1
x  1 luôn
m

cắt nhau và giao điểm của chúng thuộc một đường tròn cố định. Xác định tâm và bán kính của
đường tròn đó.
Câu 10. Cho ABC có ba góc nhọn; AD, BE , CF là ba đường cao; M là điểm nằm giữa F và D ,
N là một điểm trên tia DE sao cho MAN  BAC . Chứng minh MA là tia phân giác của NMF .


HƯỚNG DẪN + ĐÁP ÁN
Hướng dẫn

Câu

Điểm

Câu 1
2 1
2 1



3 1
3 1

Ta có P 





2 1

 

3 1 



  1

2 1

3 1

2

6

Câu 2
x  0
Cách 1: ĐK: 2  x  4 . Bình phương ta được x 2  3x  0  

.
x  3

Vậy x  3 .
Cách 2: Bình phương ta được
Thử lại:

x  0
4  x  x  2  x 2  3x  0  
.
x  3

4  0  2  0  2 nên loại x  0 ;

4  3  1  3  2 nên x  3 .

Cách 3: Đặt t  4  x  0 , ta được t 2  t  2  0  t  1  x  3 .
Câu 3





+  '  8 : phương trình có nghiệm x1 , x2 x1,2  3  2 2 , x1  x2  6, x1 x2  1
1 1  x  x   2x x
1 1
+ 2  2  1 2 2 1 2  34, 2 . 2  1  phương trình là
x1 x2
x1 x2
 x1 x2 

2

x 2  34 x  1  0 .

Câu 4

x  5  y  3
Hai cạnh hình chữ nhật là x  0, y  0 . Ta có hệ 

 x  5 y  3  xy  35
y  x  8
x  5

Giải hệ 
.
5 y  3x  50
 y  13

Từ đó diện tích hình chữ nhật là S  65 m2.
Câu 5
1
+ a  0 : phương trình có nghiệm duy nhất x  b nên b  .
2

+ a  0 :    ab  1  0,
2

 a; b    0;


Câu 6

ab  1 1
1
 . Từ đó a  2, b  . Vậy
2a
2
2

1
 1
 ;  a; b    2;  .
2
 2


x 2  mx  1  x 2  mx  1  0 . Ta có   m2  4  0, m 

.

Đường thẳng d : y  mx  1 luôn đi qua điểm A  0;1 . Hạ OH  d , ta có
OH  OA .

Bởi vậy OH lớn nhất  OH  OA  H  A  d  OA  m  0 .
Câu 7
Cách 1:
+ Gọi H  AB  CD, AC  x, BC  y . Ta có
x. y  CH . AB  R2 2, x2  y 2  4R2 .



+  x  y   x2  y 2  2xy  R2 . 4  2 2
2



Vậy chu vi của tứ giác ABCD là 2R 4  2 2 .
C

B
H
A

O

D

Cách 2:
+ Gọi H  AB  CD .
Xét OCH có OH  OC 2  CH 2  R 2 
Nên AH  R 

R2
R
.

2
2

R

R
, BH  R 
2
2





+  x  y   x2  y 2  2xy  R2 . 4  2 2 .
2

Vậy chu vi của tứ giác ABCD là 2R 4  2 2 .
Câu 8
Cách 1: x  0, y  0  1  x 
Cách 2:

1
x
2

y
y

x 1
1
y
  y 2
4
y 2

x
x


x, y  0  y 

1 
1
1 
1
1
1

  y   .1   y   .  x    xy   2  2 xy.  2  4
x 
x
x 
y
xy
xy


.
Cách 3:

 y  2  0
1
y
y 1
4

và y  1  0 nên y   y 
.
x, y  0  x 
x
y 1
y 1
y
2

Cách 4: Với a, b  0 ta có

1 1 1
4
4
1 1
4
nên y    
  4.
 
x 1 x 1x 1
a b ab
y
y

Câu 9

+ m0m 

1
1

 1
; m.     1 suy ra d1 : y  mx  3 và d2 : y   x  1
m
m
 m

vuông góc với nhau tại giao điểm M của chúng.
+ d1 đi qua điểm cố định A  0; 3 , d 2 đi qua điểm cố định là B  0;1 . Từ đó
do AMB  900 và A, B cố định nên M thuộc đường tròn đường kính AB .
Đường tròn này có tâm là I  0; 1 và bán kính bằng IA  2 .
Câu 10


Gọi H là trực tâm của ABC . Tứ giác BDHF nội tiếp  FDA  ABE , tứ
giác ABDE nội tiếp  ABE  ADE . Vậy FDA  ADE .
Từ đó, nếu gọi I là điểm đối xứng của M qua AD thì I  DE và MI / / BC .
Giả sử tia Mx chứa I . Tứ giác ABDE nội tiếp suy ra NDC  BAC (cùng bù
với BDE ).
Vì NDC  NIx (đồng vị)  NIx  BAC  MAN
Nhưng NIx  MIN  1800  MAN  MIN  1800 nên tứ giác AMIN nội tiếp.
Khi đó AMN  AIN mà AIN  AMF nên AMN  AMF hay MA là tia phân
giác của NMF .


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

TRƯỜNG THCS VÀ THPT NGUYỄN TẤT THÀNH

Năm học: 2012-2013

ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn thi: TOÁN

LỚP TOÁN THẦY THÀNH

Thời gian làm bài: 120 phút

NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN
0975.705.122
Bài 1: Giải phương trình:  x 2  x   9  6  x 2  x 
2

Bài 2: Giải phương trình: x  3 2 





2 3

x


 x 2  y 3  2012
Bài 3: Tìm cặp số x, y nghiệm đúng hệ phương trình: 

 x 3  y 2  2013

Bài 4: Tính giá trị của biểu thức: P  a3  3a  2012

1

biết a a  3 5  2 6 
3

5 2 6

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB=3cm, AC=4cm. D là trung điểm cạnh huyền BC. Hai
điểm P và Q lần lượt thuộc cạnh AB, AC sao cho góc PDQ  900 . Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn
PQ.
Bài 6: Tìm m để phương trình x 2  mx  m  2  0 có hai nghiệm x1 ; x 2 sao cho x1  x 2  2
Bài 7: Cho a, b thỏa mãn a+b =1. Chứng minh

a 2  ab  b 2 

Bài 8 : Tìm các giá trị của k để đường thẳng  d1  : y  k ( x  1)

3
. Khi nào đẳng thức xảy ra.
2

và  d 2  : y  (k  1) x  3 cắt nhau tại

một điểm thuộc trục hoành.
Bài 9 : Cho tam giác ABC với 3 góc nhọn, ABAC tại H,K. Gọi D là giao điểm đường phân giác trong góc B và tia HK, Chứng minh BDC  900
Bài 10 : Tìm số nguyên tố p để đường thẳng (d ) : y  2 px  9 cắt ( P) : y  3x 2 tại các điểm

A( x1 ; y1 ); B( x2 ; y2 ) sao cho x1 , y1 , x2 , y2 là các số nguyên tố

…………………………………………………HẾT……………………………………………
Giám thị không giải thích gì thêm


HƯỚNG DẪN + ĐÁP ÁN
Hướng dẫn

Bài

Điểm

Bài 1
2
1  13
Đưa phương trình về  x 2  x   3  0   x 2  x   3  0  x 
.
2

Bài 2
Điều kiện: x  0 .
Đưa phương trình về dạng



x 2





x  3  0  x  2  0  x  2 (TM).

Bài 3
Nhân phương trình đầu với  2 , nhân phương trình sau với với

3 cộng lại, ta

được x  2013 3  2012 2 .
3 , nhân phương trình sau với  2 cộng lại, ta

Nhân phương trình đầu với
được y  2012 3  2013 2 .
Bài 4
1

Ta có: a  3 5  2 6 
3

5 2 6

nên

3



1


a3   3 5  2 6 


3
5

2
6


1
1
1



a3  5  2 6 
3 5 2 6 
 5  2 6 

5 2 6
52 6 
 5  2 6 





Các em sử dụng HĐT  a  b 3  a 3  b3  3ab  a  b 
hay a3  5  2 6 

1
1
 3a suy ra a3  3a  5  2 6 
5 2 6
5 2 6

P  a3  3a  2012  5  2 6 

(trục căn thức
Bài 5

1
 2012  5  2 6  5  2 6  2012  2022
52 6

1
 52 6 )
5 2 6