Chủ đề 5 HHGTKG 2009 (hot)

2
0
0
8
Tailieuonthi
Chủ đề 5. Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz
1. Các bài toán tính toán.
Loại 1. Tính các khoảng cách (giữa hai điểm, từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng, từ 1 điểm đến 1 đường
thẳng, giữa hai đường thẳng). Tính (độ dài các cạnh, chu vi, diện tích, đường cao, bán kính
đường tròn ngoại tiếp tam giác,....).
Loại 2. Tính thể tích các khối (tứ diện, chóp, hộp,...) và tính chiều cao của các khối đó.
Loại 3. Tính góc giữa ( 2 vectơ, 2 đường thẳng, 2 mặt phẳng, đường thẳng và mặt phẳng).
Phương pháp: p dụng công thức (xem bảng tóm tắt các công thức)
2. Các bài toán chứng minh.
Dùng vectơ (cùng phương, tích vô hướng, tích có hướng, tích hỗn tạp) chứng minh (một hệ thức vectơ,
3 điểm A, B, C thẳng hàng, 3 điểm A, B, C là ba đỉnh của một tam giác, 4 điểm A, B, C, D đồng
phẳng, 4 điểm A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện, tính song song, tính vuông góc).
Phương pháp: p dụng các mệnh đề (xem bảng tóm tắt các công thức)
3. Các bài toán về mặt phẳng
Bài toán 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) khi biết:
Loại 1a. ( 16 dạng SGK ) º 1 điểm và 1 vectơ pháp tuyến º đi qua 1 điểm và vuông góc với 1
đường thẳng º đi qua 1 điểm và song song với 1 mặt phẳng º mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
º đi qua 3 điểm không thẳng hàng º đi qua 2 điểm phân biệt và vuông góc với 1 mặt phẳng º mặt
phẳng theo đoạn chắn º đi qua 1 điểm, song song với 1 đường thẳng và vuông góc với 1 mặt phẳng
º đi qua 1 điểm và qua giao tuyến của 2 mặt phẳng (qua 1 điểm và 1 đường thẳng) º qua giao tuyến
của 2 mặt phẳng và song song với 1 đường thẳng (qua 1 đường thẳng và song song với 1 đường
thẳng) º qua giao tuyến của 2 mặt phẳng và vuông góc với 1 mặt phẳng (qua 1 đường thẳng và
vuông góc với 1 mặt phẳng) º qua giao tuyến của 2 mặt phẳng và song song với 1 mặt phẳng (qua 1
đường thẳng và song song với 1 mặt phẳng) º mặt phẳng phân giác của các góc tạo bởi 2 mặt
phẳng º mặt phẳng phân giác của góc chứa 1 điểm cho trước nằm trong miền của góc tạo bởi 2 mặt
phẳng º mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại tiếp điểm (tiếp diện) º mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu

và song song với 1 mặt phẳng.
Loại 1b. ( 11 dạng bổ sung) º chứa 2 đường thẳng song song º chứa 2 đường thẳng cắt nhau º
qua 1 điểm và song song với 2 đường thẳng chéo nhau º song song với 1 mặt phẳng và cách 1 điểm
một khoảng d º song song với 1 mặt phẳng và chúng cách nhau 1 khoảng d cho trước º song song
với 2 đường thẳng chéo nhau và cách đều hai đường thẳng đó º qua 2 điểm phân biệt và song song
với 1 đường thẳng º qua 1 điểm và vuông góc với 2 mặt phẳng cắt nhau º tiếp xúc với mặt cầu và
song song với 2 đường thẳng chéo nhau º chứa 1 đường thẳng và tiếp xúc với 1 mặt cầu º qua giao
tuyến của 2 mặt phẳng và vuông góc với 1 đường thẳng (qua 1 đường thẳng và vuông góc với 1 đường
thẳng)
Trần Chí Thanh Page 1
2
0
0
8
Tailieuonthi
❒ Phương pháp chung:
Phương pháp 1 (dùng vectơ pháp tuyến ) Phương pháp 2 (dùng chùm mặt phẳng)
Cách 1. ( tìm được điểm M
0
thuộc (P) )
b1. Tìm 1 VTPT của (P):
p
n (A;B;C)
=
uur
b2. Tìm 1 điểm M
0
(x
0
; y

0
; z
0
)
∈
(P)
b3. ADCT (P): A(x–x
0
)+B(y–y
0
)+C(z–z
0
) = 0
(thu gọn về dạng Ax+By+Cz+D = 0)
Cách 2. ( không tìm được điểm M
0
thuộc (P) )
b1. Tìm 1 VTPT của (P):
p
n (A;B;C)
=
uur

⇒
(P): Ax+By+Cz+D = 0 (1)
b2. Tính D : tìm 1 yếu tố khác
b3. Kết luận (thay D = ? vào (1))
Cho (d):
( )
( )

Ax By Cz D 0
A'x B'y C'z D' 0

+ + + = α


+ + + = β


Với: f(x;y;z) = Ax+By+Cz+D
g(x;y;z) = A’x+B’y+C’z+D’
Mặt phẳng (P) chứa (d) hoặc (P) đi qua giao tuyến
(d) của 2 mặt phẳng (α) và (β)
b1. Mặt phẳng (P) có dạng
(P): m.f(x;y;z)+n.g(x;y;z) = 0 (m
2
+n
2
≠ 0)
b2. Tìm m và n (tùy theo đề bài)
b3. Kết luận
Bài toán 2. Xét vò trí tương đối của 2 mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D = 0 và (Q): A’x+B’y+C’z+D’ = 0
❒ Phương pháp:
b1. Tìm:
p
n (A;B;C)
=
uur
là VTPT của (P) và
Q

n (A;B;C)
=
uur
là VTPT của (Q)
b2. Xét sự cùng phương của 2 vectơ
p
n
uur
và
Q
n
uur
. Tính:
p Q
[n ,n ] ?=
uur uur
p Q
[n ,n ] 0
≠
uur uur r
(
p Q
n k.n≠
uur uur
)
p Q
[n ,n ] 0=
uur uur r
(
p Q

n k.n
=
uur uur
)
Kết luận: (P) và (Q) cắt nhau
i). Tính tỉ số:
D
D'
và so sánh với
A
A'
ii). Kết luận: +
A D
A' D'
≠
: (P) // (Q)
+
A D
A' D'
=
: (P)
≡
(Q)
Notes: Ta có
º (P) cắt (Q)
⇔

p Q
n ,n
uur uur

không cùng phương
⇔

A : B : C A' : B' : C'
≠
º (P)
≡
(Q)
⇔

p Q
0 0
n ,n cùng phương
M (P) M (Q)



∈ ⇒ ∈


uur uur

⇔

A B C D
A' B' C' D'
= = =
º (P) // (Q)
⇔

p Q
0 0
n ,n cùng phương
M (P) M (Q)



∈ ⇒ ∉


uur uur

⇔

A B C D
A' B' C' D'
= = ≠
Bài toán 3. Viết phương trình các mặt phẳng phân giác của góc tạo bởi hai mặt phẳng
(P
1
): A
1
x+B
1
y+C
1
z+D
1
= 0 và (P
2

): A
2
x+B
2
y+C
2
z+D
2
= 0
❒ Phương pháp: p dụng công thức phương trình các mặt phẳng phân giác của các góc tạo bởi 2 mặt
phẳng (P
1
) và (P
2
)
1 1 1 1 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
A x B y C z D A x B y C z D
A B C A B C
+ + + + + +
=
+ + + +

⇔
1 1 1 1 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
A x B y C z D A x B y C z D
A B C A B C

+ + + + + +
= ±
+ + + +

Bài toán 4. Viết phương trình mặt phẳng phân giác của miền góc chứa điểm M
1
(x
M
; y
M
; z
M
)
Trần Chí Thanh Page 2
2
0
0
8
Tailieuonthi
tạo bởi 2 mặt phẳng (P
1
): A
1
x+B
1
y+C
1
z+D
1
= 0 và (P

2
): A
2
x+B
2
y+C
2
z+D
2
= 0
❒ Phương pháp:
Bổ đề 1. Cho mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D = 0 ( A
2
+B
2
+C
2
≠ 0 )
Ta có: f(M) = Ax
M
+ By
M
+ Cz
M
+ D và f(N) = Ax
N
+ By
N
+ Cz
N

+ D
i). f(M).f(N) < 0
⇔
M, N khác phía đối với mặt phẳng (P)
ii). f(M).f(N) > 0
⇔
M, N cùng 1 phía đối với mặt phẳng (P)
Cách 1. ( áp dụng bổ đề 1 )
b1. Đặt f(x;y;z) = A
1
x+B
1
y+C
1
z+D
1
và g(x;y;z) = A
2
x+B
2
y+C
2
z+D
2


M(x;y;z) (P)
∀ ∈
, với (P) là mặt phẳng phân giác cần tìm. Ta có:

1 1
1 2
1 1 1 1 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
M,M cùng phía đối với (P )
M,M cùng phía đối với (P )
A x B y C z D A x B y C z D
A B C A B C






+ + + + + +

=

+ + + +


⇔

1
1
1 1 1 1 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
f(M).f(M ) 0

g(M).g(M ) 0
A x B y C z D A x B y C z D
A B C A B C


>


>


+ + + + + +

=

+ + + +


b2. Kết luận: (tùy theo dấu của f(M).f(M
1
) và g(M).g(M
1
) mà chọn ra mặt phẳng cần tìm)
Bổ đề 2. Cho mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D = 0 ( A
2
+B
2
+C
2
≠ 0 )

Ta có: f(M) = Ax
M
+ By
M
+ Cz
M
+ D
i). f(M) > 0
⇔
Ax+By+Cz+D > 0
ii). f(M) < 0
⇔
Ax+By+Cz+D < 0
Cách 2. ( áp dụng bổ đề 2 )
b1. Tính:
º Từ (P
1
) suy ra f(M) = A
1
x
M
+ B
1
y
M
+ C
1
z
M
+ D

1

º Từ (P
2
) suy ra g(M) = A
2
x
M
+ B
2
y
M
+ C
2
z
M
+ D
2

b2. Kết luận: ( tùy theo dấu của f(M).g(M) mà chỉ ra mặt phẳng cần tìm theo bảng sau đây)
f(M).g(M) > 0 f(M).g(M) < 0
Mặt phẳng phân giác của miền góc chứa điểm M
tạo bởi 2 mặt phẳng là
1 1 1 1 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
A x B y C z D A x B y C z D
A B C A B C
+ + + + + +
= +

+ + + +
Mặt phẳng phân giác của miền góc không chứa
điểm M tạo bởi 2 mặt phẳng là
1 1 1 1 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
A x B y C z D A x B y C z D
A B C A B C
+ + + + + +
= −
+ + + +
Mặt phẳng phân giác của miền góc chứa điểm M
tạo bởi 2 mặt phẳng là
1 1 1 1 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
A x B y C z D A x B y C z D

A B C A B C
+ + + + + +
= −
+ + + +
Mặt phẳng phân giác của miền góc không chứa
điểm M tạo bởi 2 mặt phẳng là
1 1 1 1 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
A x B y C z D A x B y C z D

A B C A B C

+ + + + + +
= +
+ + + +
Bài toán 5. Tìm hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D = 0 (A
2
+B
2
+C
2
≠ 0)
Trần Chí Thanh Page 3
2
0
0
8
Tailieuonthi
❒ Phương pháp: H là hình chiếu của M lên (P)
⇔
MH
⊥
(P) tại H
b1. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M và vuông góc với (P).
b2. Tọa độ H là nghiệm của hệ:
.......(d)
.......(P)




b3. Kết luận

Bài toán 6. Tìm điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D = 0 ( A
2
+B
2
+C
2
≠ 0 )
❒ Phương pháp: M’ đối xứng với M qua (P)
⇔

MM' (P) tại H
HM HM'
⊥



= −


uuur uuuur

b1. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M và vuông góc với (P).
b2. Tọa độ H là nghiệm của hệ:
.......(d)
.......(P)




b3. Tọa độ M’ : x

M’
= 2x
H
–x
M
; y
M’
= 2y
H
–y
M
; z
M’
= 2.z
H
–z
M
b3. Kết luận
Bài toán 7. Cho hai điểm phân biệt A, B và mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D = 0 ( A
2
+B
2
+C
2

≠
0 )
Tìm điểm M thuộc (P) sao cho AM + BM nhỏ nhất
❒ Phương pháp
b1. Xét vò trí của A, B với mặt phẳng (P)

Tính: f(A).f(B) = ( Ax
A
+By
A
+Cz
A
+D ).( Ax
B
+By
B
+Cz
B
+D )
b2. Ta có:
f(A).f(B) < 0
⇔
A, B khác phía đối với (P) f(A).f(B) > 0
⇔
A, B cùng phía đối với (P)
+ Ta có: AM+BM ≥ AB
AM+BM nhỏ nhất
⇔

M (P)
A,B,M thẳng hàng
∈




⇔

{ }
M (P) (AB)
= ∩
+ Viết phương trình (AB)
+ Tọa độ M là nghiệm của hệ:
.........(P)
.........(AB)



+ Tìm điểm A’ đối xứng với A qua (P).
Ta có: AM+BM = A’M+BM ≥ AB
AM+BM nhỏ nhất
⇔
A’M+BM nhỏ nhất

⇔

M (P)
A',B,M thẳng hàng
∈




⇔

{ }

M (P) (A'B)
= ∩
+ Viết phương trình (A’B)
+ Tọa độ M là nghiệm của hệ:
.........(P)
.........(A'B)




b3. Kết luận tọa độ M
Trần Chí Thanh Page 4
2
0
0
8
Tailieuonthi
4. Các bài toán về đường thẳng (trong không gian)
Bài toán 1. Viết phương trình đường thẳng (d) khi biết:
Loại 1a. ( 14 dạng SGK ) º 1 điểm và 1 vectơ chỉ phương º qua 2 điểm phân biệt º qua 1 điểm và
song song với 1 đường thẳng º là giao tuyến của 2 mặt phẳng (bắt buộc) º là hình chiếu của 1
đường thẳng lên 1 mặt phẳng º qua 1 điểm và vuông góc với 1 mặt phẳng º qua 1 điểm và vuông
góc với 2 đường thẳng º song song với 1 đường thẳng và cắt cả hai đường thẳng khác º qua 1 điểm
và cắt cả hai đường thẳng º nằm trong 1 mặt phẳng và cắt cả hai đường thẳng º là đường vuông góc
chung của hai đường thẳng chéo nhau º vuông góc với 1 mặt phẳng và cắt cả 2 đường thẳng º đi qua
1 điểm, vuông góc với đường thẳng thứ nhất và cắt đường thẳng thứ hai º qua giao điểm của 1 đường
thẳng và mặt phẳng, nằm trong mặt phẳng và vuông góc với đường thẳng đó (12/107sgk).
Loại 1b. ( 12 dạng bổ sung ) º là đường cao của tam giác º là đường trung trực của tam giác º là
đường trung tuyến của tam giác º là các đường phân giác của tam giác º là trục của đường tròn ngoại
tiếp tam giác (đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam

giác đó) º qua trực tâm của tam giác và vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác đó º đi qua 1 điểm,
vuông góc và cắt 1 đường thẳng cho trước º đi qua 1 điểm, cắt 1 đường thẳng và song song với 1 mặt
phẳng cho trước º đi qua 1 điểm và cùng song song với 2 mặt phẳng cho trước º là đường phân giác
của góc tạo bởi 2 đường thẳng cho trước º vuông góc với 1 đường thẳng và cắt cả hai đường thẳng
cho trước º đi qua 1 điểm, song song với 1 mặt phẳng và vuông góc với 1 đường thẳng cho trước.
❒ Phương pháp chung:
phương pháp 1 ( vectơ chỉ phương ) phương pháp 2 ( giao tuyến )
Cách 1:
b1. Tìm 1 VTCP của (d):
d
u (a;b;c)
=
uur
b2. Tìm 1 điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
)
∈
(d)
b3. Kết luận (áp dụng công thức)
º PT tham số (d):
0
0
0
x x at

y y bt
z z ct
= +


= +


= +


( )
t R
∈
º PT chính tắc (d):
0 0 0
x x y y z z
a b c
− − −
= =
Cách 2:
b1. Tìm hai điểm phân biệt A, B
∈
(d)
b2. Kết luận (áp dụng công thức)
(d):
A A A
B A B A B A
x x y y z z
x x y y z z

− − −
= =
− − −
b1. Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường
thẳng (d)
(P): Ax+By+Cz+D = 0
b2. Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường
thẳng (d)
(Q): A’x+B’y+C’z+D’ = 0
b3. Kết luận
(d) là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Q)
⇒
(d):
Ax By Cz D 0
A'x B'y C'z D' 0
+ + + =


+ + + =

Bài toán 2. Xét vò trí tương đối giữa đường thẳng (d):
0 0 0
x x y y z z
a b c
− − −
= =
Trần Chí Thanh Page 5