Khoá luận tốt nghiệp mô đun trên vành dedekind và vành định giá

❇❐ ●■⑩❖ ❉Ö❈ ❱⑨ ✣⑨❖ ❚❸❖
❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼ ❍⑨ ◆❐■ ✷

❑❍❖❆ ❚❖⑩◆

◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❑❤→♥❤ ▲✐♥❤

▼➷ ✣❯◆ ❚❘➊◆ ❱⑨◆❍ ❉❊❉❊❑■◆❉
❱⑨ ❱⑨◆❍ ✣➚◆❍ ●■⑩

❑❍➶❆ ▲❯❾◆ ❚➮❚ ◆●❍■➏P ✣❸■ ❍➴❈

❍➔ ◆ë✐ ✕ ◆➠♠ ✷✵✶✾


❇❐ ●■⑩❖ ❉Ö❈ ❱⑨ ✣⑨❖ ❚❸❖
❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼ ❍⑨ ◆❐■ ✷

❑❍❖❆ ❚❖⑩◆
◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❑❤→♥❤ ▲✐♥❤

▼➷ ✣❯◆ ❚❘➊◆ ❱⑨◆❍ ❉❊❉❊❑■◆❉
❱⑨ ❱⑨◆❍ ✣➚◆❍ ●■⑩
❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ❍➻♥❤ ❤å❝

❑❍➶❆ ▲❯❾◆ ❚➮❚ ◆●❍■➏P ✣❸■ ❍➴❈

◆●×❮■ ❍×❰◆● ❉❼◆ ❑❍❖❆ ❍➴❈✿

❚❤✳s P❤↕♠ ❚❤❛♥❤ ❚➙♠

❍➔ ◆ë✐ ✕ ◆➠♠ ✷✵✶✾


✶

▲❮■ ❈❷▼ ❒◆
✣➛✉ t✐➯♥✱ ❡♠ ♠✉è♥ ❜➔② tä sü tæ♥ trå♥❣ s➙✉ s➢❝ ✈➔ ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ ❝❤➙♥
t❤➔♥❤ ✤➳♥ t❤➛② ❤÷î♥❣ ❞➝♥✱ ♥❣÷í✐ ✤➣ ❝❤➾ ❜↔♦ t➟♥ t➻♥❤✱ ❝❤✉ ✤→♦ tr♦♥❣
t❤í✐ ❣✐❛♥ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ❝õ❛ ❡♠✳
✣ç♥❣ t❤í✐✱ ❡♠ ♠♦♥❣ ♠✉è♥ ✤➸ ❝↔♠ ì♥ ❝→❝ t❤➛② ❝æ ❣✐→♦ ❑❤♦❛ ❚♦→♥✱
tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ❍➔ ◆ë✐ ✷✳ ❊♠ ❝ô♥❣ ①✐♥ ❝↔♠ ì♥ ✤➳♥ ❣✐❛ ✤➻♥❤ ✈➔
❜↕♥ ❜➧ ❝õ❛ ❡♠ ✤➣ t↕♦ ♠å✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤➸ ❡♠ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔②✳
❊♠ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥✦

❍➔ ◆ë✐✱ t❤→♥❣ ✵✺ ♥➠♠ ✷✵✶✾

◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❑❤→♥❤ ▲✐♥❤


✷

▲❮■ ❈❆▼ ✣❖❆◆
❊♠ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ t➜t ❝↔ ♥❤ú♥❣ ❣➻ ❡♠ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ❤♦➔♥
t♦➔♥ ❧➔ s↔♥ ♣❤➞♠ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✱ t➻♠ tá✐✱ ❦❤↔♦ s→t ✈➔ tê♥❣ ❤ñ♣ t➔✐ ❧✐➺✉ ❝õ❛
❜↔♥ t❤➙♥ ❡♠✳ ❊♠ ❝ô♥❣ ❝❛♠ ✤♦❛♥ r➡♥❣ t➜t ❝↔ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ ❤é trñ ❝❤♦ ❦❤â❛
❧✉➟♥ ♥➔② ✤➣ ✤÷ñ❝ t❤ø❛ ♥❤➟♥ ✈➔ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ✤÷ñ❝ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❦❤â❛
❧✉➟♥ ✤➣ ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ rã r➔♥❣✳

❍➔ ◆ë✐✱ t❤→♥❣ ✵✺ ♥➠♠ ✷✵✶✾

◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❑❤→♥❤ ▲✐♥❤


✸

❇❷◆● ❑➑ ❍■➏❯

C(R)

◆❤â♠ ❆❜❡❧ ❝õ❛ ❝→❝ ❧î♣ ✤➥♥❣ ❝➜✉ ❝õ❛ ❝→❝ ✐❞❡❛❧
♣❤➙♥ t❤ù❝ ❦❤↔ ♥❣❤à❝❤ tr♦♥❣ R

DV R

❱➔♥❤ ✤à♥❤ ❣✐→ rí✐ r↕❝

P ID

▼✐➲♥ ✐❞❡❛❧ ❝❤➼♥❤

UF D

▼✐➲♥ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ❞✉② ♥❤➜t

R×

❚➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❦❤↔ ♥❣❤à❝❤ tr♦♥❣ ✈➔♥❤ R

rankR M ❍↕♥❣ ❝õ❛ R ✲ ♠æ ✤✉♥ M
K ⊗M

R

❚➼❝❤ ❚❡♥s♦r tr➯♥ R

Mtor

▼æ ✤✉♥ ❝♦♥ ①♦➢♥ ❝õ❛ M

F r(R)

❚r÷í♥❣ ❝→❝ t❤÷ì♥❣ ❝õ❛ R


▼ö❝ ❧ö❝
✶ ❈❤✉➞♥ ❜à

✹

✶✳✶

■❞❡❛❧ ♣❤➙♥ t❤ù❝ ✈➔ ♠æ ✤✉♥ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹

✶✳✷

❱➔♥❤ ✤à♥❤ ❣✐→ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✼

✶✳✸

❱➔♥❤ ❉❡❞❡❦✐♥❞ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✵

✷ ▼æ ✤✉♥ tr➯♥ ✈➔♥❤ ❉❡❞❡❦✐♥❞ ✈➔ ✈➔♥❤ ✤à♥❤ ❣✐→

✶✺

✷✳✶

❑❤→✐ ♥✐➺♠ ❝ì ❜↔♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✺

✷✳✷

▼ët ✈➔✐ ❜ê ✤➲ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✼

✷✳✸

▼æ ✤✉♥ tr➯♥ ✈➔♥❤ ❉❡❞❡❦✐♥❞ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✾

✷✳✹

▼æ ✤✉♥ tr➯♥ ✈➔♥❤ ✤à♥❤ ❣✐→ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✽

❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✸✹

✶


▲❮■ ◆➶■ ✣❺❯
▲þ t❤✉②➳t ✈➲ ♠æ ✤✉♥ tr➯♥ ✈➔♥❤ ❣✐❛♦ ❤♦→♥ ❝â ✈à tr➼ r➜t q✉❛♥ trå♥❣ tr♦♥❣
♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➲ ❝→❝ ❝➜✉ tró❝ ✤↕✐ sè✱ ❤➻♥❤ ❤å❝ ✈➔ ❝→❝ ✈➜♥ ✤➲ ❧✐➯♥ q✉❛♥✳
❚r♦♥❣ ❬✷❪✱ ❉✳❙✳ ❉✉♠♠✐t✱ ❘✳▼✳ ❋♦♦t❡ ✤➣ ❞➔♥❤ ♠ët ❝❤÷ì♥❣ ✤➸ tr➻♥❤ ❜➔②
❝❤✐ t✐➳t ✈➲ ❝➜✉ tró❝ ❝õ❛ ❝→❝ ♠æ ✤✉♥ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤ tr➯♥ ♠✐➲♥ ✐❞❡❛❧ ❝❤➼♥❤✳
❚r♦♥❣ ✤â ✤à♥❤ ❧þ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ ♠æ ✤✉♥ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤ tr➯♥ ♠ët ♠✐➲♥ ✐❞❡❛❧
❝❤➼♥❤ ♥â✐ r➡♥❣✱ ♠é✐ ♠æ ✤✉♥ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤ tr➯♥ ♠ët ♠✐➲♥ ✐❞❡❛❧ ❝❤➼♥❤ ❧➔
tê♥❣ trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ ❝→❝ ♠æ ✤✉♥ tü ❞♦ ❤↕♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥ ✈➔ ❝→❝ ♠æ ✤✉♥ ❝♦♥
①♦➢♥✳ ▼ö❝ ✤➼❝❤ ❝õ❛ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔② ❝❤ó♥❣ tæ✐ ♠♦♥❣ ♠✉è♥ t➻♠ ❤✐➸✉ ✈➲
❝➜✉ tró❝ ❝õ❛ ❝→❝ ♠æ ✤✉♥ tr➯♥ ❝→❝ ✈➔♥❤ ✤➦❝ ❜✐➺t✱ ✤â ❧➔ ♠æ ✤✉♥ tr➯♥ ❝→❝
✈➔♥❤ ✤à♥❤ ❣✐→ ✈➔ ✈➔♥❤ ❉❡❞❡❦✐♥❞✳
◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ✤÷ñ❝ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❤❛✐ ❝❤÷ì♥❣✿

❈❤÷ì♥❣ ✶✿ ❈❤✉➞♥ ❜à
❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ✈➲✿ ■❞❡❛❧
♣❤➙♥ t❤ù❝ ✈➔ ♠æ ✤✉♥ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤✱ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➔ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t✱ ❦➳t
q✉↔ tr➯♥ ✈➔♥❤ ✤à♥❤ ❣✐→ ✈➔ ✈➔♥❤ ❉❡❞❡❦✐♥❞✳

❈❤÷ì♥❣ ✷✿ ▼æ ✤✉♥ tr➯♥ ✈➔♥❤ ❉❡❞❡❦✐♥❞ ✈➔ ✈➔♥❤ ✤à♥❤ ❣✐→

✣➙② ❧➔ ❝❤÷ì♥❣ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❦❤â❛ ❧✉➟♥✳ ✣➛✉ t✐➯♥ ❝❤ó♥❣ tæ✐ tr➻♥❤ ❜➔②
♠ët sè ❦➳t q✉↔ ✈➲ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛ sü ♣❤➙♥ t➼❝❤ ❝õ❛ ❝→❝ ✐❞❡❛❧ ✈➔ t➼♥❤
❝❤➜t t❤✉ë❝ ❝ò♥❣ ♠ët ❧î♣ ❝õ❛ ❝→❝ ✐❞❡❛❧✳ ❚✐➳♣ t❤❡♦✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ tr➻♥❤ ❜➔② ✈➲
♠ët ✈➔✐ ❞➜✉ ❤✐➺✉✱ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤➸ ♠ët ♠♦❞✉❧❡ ❧➔ ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ ♠ët
♠♦❞✉❧❡ ✤➣ ❝❤♦✳ ❉ò♥❣ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ♥➔②✱ ♣❤➛♥ t✐➳♣ t❤❡♦ ❝❤ó♥❣ tæ✐ tr➻♥❤
❜➔② ✈➲ ❝➜✉ tró❝ ❝õ❛ ♠♦❞✉❧❡ tr➯♥ ♠ët ✈➔♥❤ ❉❡❞❡❦✐♥❞ ✈➔ ✈➔♥❤ ✤à♥❤ ❣✐→✳
❈→❝ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ❝❤õ ②➳✉ ✤÷ñ❝ t❤❛♠ ❦❤↔♦ tø t➔✐ ❧✐➺✉ ❬✶❪
✈➔ ❬✸❪✳ ❉♦ t❤í✐ ❣✐❛♥✱ ♥➠♥❣ ❧ü❝ ✈➔ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝á♥ ❤↕♥ ❝❤➳✱ ♥➯♥ ❦❤â❛ ❧✉➟♥
✷


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

♥❣✉②➵♥ t❤à ❦❤→♥❤ ❧✐♥❤

❦❤æ♥❣ t❤➸ tr→♥❤ ❦❤ä✐ ♥❤ú♥❣ t❤✐➳✉ sât✳ ❱➻ ✈➟②✱ ❡♠ r➜t ♠♦♥❣ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝
♥❤ú♥❣ þ ❦✐➳♥ ✤â♥❣ ❣â♣ ❝õ❛ q✉þ t❤➛② ❝æ ❝ô♥❣ ♥❤÷ ❝→❝ ❜↕♥ s✐♥❤ ✈✐➯♥ ✤➸
❦❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔② ❤♦➔♥ t❤✐➺♥ ❤ì♥✳

✸


❈❤÷ì♥❣ ✶
❈❤✉➞♥ ❜à
✶✳✶ ■❞❡❛❧ ♣❤➙♥ t❤ù❝ ✈➔ ♠æ ✤✉♥ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤
❈❤♦ R ❧➔ ♠✐➲♥ ♥❣✉②➯♥ ✈➔ tr÷í♥❣ ❝→❝ t❤÷ì♥❣ K ✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✳ ▼ët ✐❞❡❛❧ ♣❤➙♥ t❤ù❝ A ❝õ❛ R ❧➔ ♠ët R ✲ ♠æ ✤✉♥
❝♦♥ ❝õ❛ K ♠➔ tç♥ t↕✐ ♣❤➛♥ tû d ❦❤→❝ ❦❤æ♥❣ tr♦♥❣ R s❛♦ ❝❤♦ dA ⊂ R✳

❱➼ ❞ö ✶✳ ■❞❡❛❧ ♣❤➙♥ t❤ù❝ R
• ✣➦t A−1 ❧➔ t➟♣ ❤ñ♣ t➜t ❝↔ k ∈ K ✱ ❜❛♦ ❣ç♠ 0✱ s❛♦ ❝❤♦✿ kA ⊂ R ✣è✐
✈î✐ ❝→❝ ✐❞❡❛❧ ♣❤➙♥ t❤ù❝ A ✈➔ B ✱ ❣å✐ AB ❧➔ tê ❤ñ♣ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❤ú✉
❤↕♥ ❝õ❛ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ab ✈î✐ a ∈ A ✈➔ b ∈ B ✳ ❑❤✐ ✤â✱ AB ✈➔ A−1 ❧➔
❝→❝ ✐❞❡❛❧ ♣❤➙♥ t❤ù❝✳

• ●✐↔ sû S ❧➔ t➟♣ ❣ç♠ ❝→❝ ✐❞❡❛❧ ♣❤➙♥ t❤ù❝ ❝õ❛ R✱ S = ∅✳ ❱î✐ ♠å✐
A, B t❤✉ë❝ S ✱ t❛ ♥â✐ A ∼ B ♥➳✉ A

B ♥❤÷ R ✲ ♠æ ✤✉♥✳ ◗✉❛♥
❤➺ ✤â ❧➔ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✳ ❉♦ ✤â✱ ✤➦t C(R) = S/∼ = {[A] |A ∈ S } ✈î✐
[A] = {B ∈ S |A B }✳
❱➼ ❞ö✿ ❉♦ ❝➜✉ tró❝ R ✲ ♠æ ✤✉♥✿

[R] [A] = [A]
[A] [R] = [A]
❙✉② r❛ A, B ð tr➯♥ ❝↔♠ s✐♥❤ [A] [B] = [AB]✳ ❍ì♥ ♥ú❛ (C, ∗) ❧➔ ♠ët
♥û❛ ♥❤â♠ ❣✐❛♦ ❤♦→♥ ✈î✐ ✤ì♥ ✈à R✱ ♣❤ö t❤✉ë❝ ✈➔♦ t➼❝❤ AB ✳
✹


õ tốt ồ

t

t AA1 R r t A ữủ ồ


õ ợ C(R) õ ừ ợ
tự tr R õ C(R) ỳ t ừ

õ số õ ừ R

ú ỵ tỗ t t s AB = R t B = A1
sỷ M ởt ổ tr R ổ M
ữủ ồ ỳ s õ õ ởt t s ỗ ỳ tỷ
õ M ỳ s õ tỷ õ s1 , ..., sn

M s M = Rs1 + ... + Rsn

sỷ R õ R
tr R tọ t tự ồ
t I1 I2 ... ... ứ tỗ t n
ữỡ s In = In+1

ờ ồ R ổ ỳ s ừ K
tự ữủ ú R tr
ự

ồ M R ổ ỳ s ừ K

(xi K : xi =

M = x1 R + ... + xn R,

ai
)
bi

a1
a2

an
R + R + ... + R
b1
b2
bn
a
M K=
|a, b R
b

M =

õ (b1 b2 ...bn )M R, bi = 0 r M tự

ỵ ỵ ỡ s ởt R ổ A ổ
tỗ t ởt t tỷ ai A t R
t t fi : A R s

fi (a)ai ỳ ợ

ồ a A



õ tốt ồ

t

ự

[] ồ ởt ổ tỹ F õ ỡ s ei tự ờ
g:F A
e i ai
õ A ổ tỗ t ởt R
t t f : A F s gof = id
f ợ f (a) =

ri ei t fi (a) = ri

õ fi R t t s

gof (a) = id(a) = a
a = g(f (a)) = g(

ri ei ) =

ri g(ei ) =

fi (a)ai = a

[] sỷ fi t tt t õ t f ữ s
f (a) =

fi (a)ei

ởt tự A ổ
A ỳ s
ự

[] A t õ t t

ai bi = 1 ỳ õ ai A, bi A1
ai s r A t õ t t fi : A R ợ fi (a) = bi a
ỵ ỡ s A ợ t ỳ tỷ
s ai

[] A fi : A R ai ữ tr ỵ ỡ s
fi (b)

ồ b 0 ố t b A ki =
b
ữủ afi (b) = bfi (a), a A t tữớ a = 0
m
p
a = 0 t õ a =
b = tữỡ ừ tỷ 0
n
q
tr R õ fi R




❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

♥❣✉②➵♥ t❤à ❦❤→♥❤ ❧✐♥❤

afi (b)nq = anfi (bq) = fi (anbq) = fi (an)bq = fi (a)bnq
❈❤✐❛ ❝❤♦ ❜✱ fi (a) = ki a ✈î✐ ♠å✐ a✱ ❞♦ ✤â ki A ⊂ R✳
❱➻ fi (b) = 0✱ ki = 0 ✈î✐ ♠å✐ i✱ a ❜➜t ❦➻✱ ♥➯♥ a =
✤➙② ❧➔ ♠ët ♣❤➛♥ tû tr♦♥❣ K ✱ ♥➯♥

fi (a)ai =

ki ai a✳ ❱➻

ki ai = 1✳ ❉♦ ✤â✱ A ❧➔ ❦❤↔ ♥❣❤à❝❤✳

✶✳✷ ❱➔♥❤ ✤à♥❤ ❣✐→
❈❤♦ R ❧➔ ♠ët ♠✐➲♥ ♥❣✉②➯♥ ✈î✐ tr÷í♥❣ ❝→❝ t❤÷ì♥❣ K ✳ ✣➸ tr→♥❤ ❝→❝
tr÷í♥❣ ❤ñ♣ t➛♠ t❤÷í♥❣✱ t❛ q✉② ✤à♥❤ R ❦❤→❝ K ✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✶✳ ▼ët ♠✐➲♥ R ❧➔ ♠ët ✈➔♥❤ ✤à♥❤ ❣✐→ ♥➳✉ ♥â ❦❤æ♥❣ ♣❤↔✐
❧➔ ♠ët tr÷í♥❣ ❤♦➦❝ x ∈ K − R ❤♦➦❝ x−1 ∈ R✳

❱➼ ❞ö ✷✳ ❱➔♥❤ R[[t]] = {a0 + a1 t + ... |ai ∈ R} ❧➔ ♠ët ✈➔♥❤ ✤à♥❤ ❣✐→✳
❇ê ✤➲ ✶✳✷✳✶✳ ◆➳✉ I ✈➔ J ❧➔ ❝→❝ ✐❞❡❛❧ tr➯♥ ✈➔♥❤ ✤à♥❤ ❣✐→ R t❤➻✱ ❤♦➦❝
I ⊂ J ✱ ❤♦➦❝ J ⊂ I ✳ ❉♦ ✤â R ❧➔ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
●✐↔ sû x ∈ I ✈➔ x ∈
/ J✳
❱î✐ y = 0, y ∈ J, x/y ∈
/ R, t❤➻ y/x ∈ R ✈➔ y = (y/x)x ∈ I ✳
❑➼ ❤✐➺✉ R× ❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ✤ì♥ ✈à tr♦♥❣ ✈➔♥❤ R✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✷✳ ▼ët ✤à♥❤ ❣✐→ rí✐ r↕❝ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ K ❧➔ ♠ët ❤➔♠
v : K × → Z t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t s❛✉✿
(i) v ❧➔ t♦➔♥ →♥❤✳
(ii) v(xy) = v(x) + v(y)✳
(iii) v(x + y) ≥ min {v(x), v(y)}
• ✣➸ t❤✉➟♥ t✐➺♥✱ t❛ ✤➦t v(0) = ∞✱ ✤✐➲✉ ♥➔② ❝â þ ♥❣❤➽❛ ✈î✐ (iii) ❦❤✐

x = −y ✈➔ ✤↔♠ ❜↔♦ (ii) ✈➔ (iii) ✤ó♥❣ ✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ K ✳
• ❱î✐ q✉② ÷î❝ ✤â✱ ❝❤♦ ♠ët ✤à♥❤ ❣✐→ rí✐ r↕❝ v ✱ R = {x |v(x) ≥ 0} ❧➔
♠ët ✈➔♥❤ ✤à♥❤ ❣✐→ ❝õ❛ (K, v) t❤❡♦ (ii) ✈➔ (iii)✳
✼


õ tốt ồ

t

ởt rớ r (DV R) ởt R tr trữớ
tữỡ ừ õ

ờ R ởt DV R õ tỷ ổ u u R
ỡ v(u) = 0
ự
õ v(1) = 0 t (ii) 1.1 = 1
õ (ii) ử u.u1 = 1
õ v(u) = 0 v(u1 ) = 0 tr trữớ ủ u1
tở R

ờ R ởt DV R t v : R 0 N
R ởt õ ởt P ID
ự
sỷ x, y R 0 (ii) v(x) v(xy)
v(x) v(y) t v(x/y) 0 x/y R
õ ữỡ tr x = (x/y)y + 0 v(x) v(y)
x = 0y + x v(x) < v(y)
tr ố ợ ởt tỗ t s
r tr R s x = sy + r ợ r = 0 v(r) < v(y)

ử ử ởt số rớ r
(i) ởt số tố p Z(p) ừ số p ữỡ
ởt ừ vp : Q Z õ vp (pn a/b) = n a b
số số tố ợ p

(ii) F ởt trữớ ợ ởt tự t q f F [x] sỹ
t ở F [x] (f ) ừ v : F [x] Z õ vf (f n a/b) = n
a b tự số tố ợ f

(iii) ộ ụ tứ F [[x]] ừ
v tr ộ rt F x, x1 = F ((x)) ữủ ró
v(

ai xi ) = n ợ n ọ t s an = 0 ữ ai = 0 ợ i < n.



õ tốt ồ

t

ởt tỷ t ừ ởt DV R R ởt t số ỗ
t õ t tt U P v(t) = 1

ờ R ởt DV R ợ trữớ tự K U P t
(i) r = 0, r R t r = utn õ u Rì n = v(r) 0.
(ii) x = 0, x K t x = utn õ u Rì n = v(x) Z.
(iii) r t 0 ừ R (tn ) ợ n 1
(iv) tố t 0 ừ R tố (t) õ t

ủ tỷ a R s v(a) > 0

(v) tự t 0 ừ R (tn ) ợ n Z
ự
õ

ợ (i) (ii) x = utn õ u = xtn ởt ỡ tr R t
ờ

ợ (iii) I R ởt r ổ n rt ọ s
tỗ t a I ợ v(a) = n t a = utn ợ ỡ u (tn ) I
b I t b = utq õ ỡ q n õ b (tn )

(iv) (v)
õ ự

ỵ s tữỡ ữỡ ợ R
R ổ trữớ
(i) R ởt DV R t
(ii) R ởt P ID ữỡ
(iii) R ởt U F D ợ ởt tỷ tố t t tũ tở
tỷ t

(iv) R ởt tr ữỡ ợ ởt tố
(v) R ởt tr ữỡ õ õ số
(vi) R ởt ữỡ s ồ ổ ừ R

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

♥❣✉②➵♥ t❤à ❦❤→♥❤ ❧✐♥❤

❚❤❛♠ ❦❤↔♦ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✣à♥❤ ❧þ ✸✳✾✱❬✸✲tr✳✺❪✳

❍➺ q✉↔ ✶✳✷✳✶✳ ▼ët ✈➔♥❤ ✤à♥❤ ❣✐→ R ❧➔ ♠ët DV R ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ♥â ❧➔
✈➔♥❤ ◆♦❡t❤❡r✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

[⇒] ▼ët DV R ❧➔ ♠ët P ID ✈➔ ❞♦ ✤â ❧➔ ✈➔♥❤ ◆♦❡t❤❡r✳
[⇐] ❈❤♦ R ❧➔ ♠ët ✈➔♥❤ ✤à♥❤ ❣✐→ ◆♦❡t❤❡r✳
▼ët ✐❞❡❛❧ I ✤÷ñ❝ s✐♥❤ ❜ð✐ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ai ✳
❚❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✶✳✷✳✶✱ ♠ët tr♦♥❣ sè (ai ) ♣❤↔✐ ❝❤ù❛ t➜t ❝↔ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❦❤→❝
✈➔ ❞♦ ✤â ♣❤↔✐ ❧➔ I ✳
❱➻ ✈➟②✱ R ❧➔ ♠ët P ID ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✈➔ ❞♦ ✤â ❧➔ ♠ët DV R✳

❍➺ q✉↔ ✶✳✷✳✷✳ ◆➳✉ P ❧➔ ♠ët ✐❞❡❛❧ ♥❣✉②➯♥ tè tè✐ t✐➸✉ ❦❤→❝ 0 tr♦♥❣ ♠✐➲♥
♥❣✉②➯♥ ◆♦❡t❤❡r ✤â♥❣ ♥❣✉②➯♥✱ t❤➻ Rp ❧➔ ♠ët DV R✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

Rp ❧➔ ♠ët ✈➔♥❤ ◆♦❡t❤❡r ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✤â♥❣ ♥❣✉②➯♥ ❝â sè ❝❤✐➲✉ ✶✳

❍➺ q✉↔ ✶✳✷✳✸✳ R ❧➔ ✤â♥❣ ♥❣✉②➯♥ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ Rp ❧➔ ✤â♥❣ ♥❣✉②➯♥ ✤è✐
✈î✐ t➜t ❝↔ ❝→❝ ✐❞❡❛❧ ♥❣✉②➯♥ tè P ✱ ❤♦➦❝✱ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✱ t➜t ❝↔ ❝→❝ ✐❞❡❛❧ tè✐
✤↕✐ P ✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
●✐↔ sû i : R → S ❧➔ sü ❜❛♦ ❤➔♠ ❝õ❛ R tr♦♥❣ ❜❛♦ ✤â♥❣ ♥❣✉②➯♥ ❝õ❛
♥â tr♦♥❣ K ✳ ❉♦ ✤â✱ R ❧➔ ✤â♥❣ ♥❣✉②➯♥ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ i ❧➔ ♠ët t♦➔♥ ❝➜✉✳

❍✐➸♥ ♥❤✐➯♥✱ K ❝ô♥❣ ❧➔ tr÷í♥❣ ♣❤➙♥ t❤ù❝ ❝õ❛ Rp ✤è✐ ✈î✐ t➜t ❝↔ ❝→❝ sè
♥❣✉②➯♥ tè P ✳ ❱➔ ❜❛♦ ✤â♥❣ ♥❣✉②➯♥ ❝õ❛ Rp ❧➔ iP : RP → SP ✳
❱➻ i ❧➔ t♦➔♥ ❝➜✉ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ iP ❧➔ ♠ët t♦➔♥ ❝➜✉ ✈î✐ t➜t ❝↔ ❝→❝ ✐❞❡❛❧
♥❣✉②➯♥ tè P ✱ ❤♦➦❝✱ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✱ t➜t ❝↔ ❝→❝ ✐❞❡❛❧ tè✐ ✤↕✐ P ✳

✶✳✸ ❱➔♥❤ ❉❡❞❡❦✐♥❞
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳✶✳
✶✵


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

♥❣✉②➵♥ t❤à ❦❤→♥❤ ❧✐♥❤

• ▼ët ♠✐➲♥ ♥❣✉②➯♥ R ❧➔ ✈➔♥❤ ❉❡❞❡❦✐♥❞ ✭❤♦➦❝ ♠✐➲♥ ❉❡❞❡❦✐♥❞✮ ♥➳✉
♠å✐ ✐❞❡❛❧ ❦❤→❝ ❦❤æ♥❣ ❝õ❛ R ❧➔ ❦❤↔ ♥❣❤à❝❤✳

• ▼ët ✈➔♥❤ ✤à♥❤ ❣✐→ rí✐ r↕❝✱ ❤❛② DV R✱ ❧➔ ♠ët ✈➔♥❤ ❉❡❞❡❦✐♥❞ ✤à❛
♣❤÷ì♥❣✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✸✳✶✳ ▼ët P ID ❧➔ ♠ët ✈➔♥❤ ❉❡❞❡❦✐♥❞✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❍✐➸♥ ♥❤✐➯♥ tø ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛✳
❉➵ t❤➜②✱ ♠å✐ ✐❞❡❛❧ ❦❤→❝ ❦❤æ♥❣ ❧➔ ❦❤↔ ♥❣❤à❝❤ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ♠å✐ ✐❞❡❛❧
♣❤➙♥ t❤ù❝ ❦❤→❝ ❦❤æ♥❣ ❧➔ ❦❤↔ ♥❣❤à❝❤✳ ◆❣❤➽❛ ❧➔✱ t➜t ❝↔ ❝→❝ ✐❞❡❛❧ ♣❤➙♥
t❤ù❝ ❦❤→❝ ❦❤æ♥❣ ✤➲✉ ♥➡♠ tr♦♥❣ ♥❤â♠ C(R)✳ ❚❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♥❣➢♥ ❣å♥
❝❤♦ DV R✳ ◆❤ú♥❣ ✈➔♥❤ ♥❤÷ ✈➟② ❝â ❝➜✉ tró❝ ✐❞❡❛❧ r➜t ✤ì♥ ❣✐↔♥✱ ✈➔ ♠ët
♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♠➝✉ ✤➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❦➳t q✉↔ ❝❤♦ ✈➔♥❤ ❉❡❞❡❦✐♥❞✱ ♥❤÷ ✤à♥❤
❧þ s❛✉ ✤➙②✱ ❧➔ q✉❛♥ s→t ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ ✈➔ s✉② r❛ tê♥❣ q✉→t✳ ❈❤ó♥❣
tæ✐ ✤÷❛ r❛ ✤à♥❤ ❧þ s❛✉ ✤➙② ✈➔ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ s❛✉✳ ✣à♥❤ ❧þ ❝❤♦ t❤➜② ✤à♥❤
❤÷î♥❣ ✈➲ ✈➔♥❤ ❉❡❞❡❦✐♥❞ ❧➔ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ✈î✐ ✈➔♥❤ ❉❡❞❡❦✐♥❞ ❜❛♥ ✤➛✉✳

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✸✳✶✳ ▼ët ✈➔♥❤ R ❧➔ ✈➔♥❤ ❉❡❞❡❦✐♥❞ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ R ❧➔ ✈➔♥❤
◆♦❡t❤❡r ✤â♥❣ ♥❣✉②➯♥✱ ❝â sè ❝❤✐➲✉ ❧➔ ✶ ✈➔ ♠å✐ ✐❞❡❛❧ ♥❣✉②➯♥ tè ❦❤→❝ ❦❤æ♥❣
❧➔ tè✐ ✤↕✐✳

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✸✳✷✳ ❈→❝ ♠➺♥❤ ✤➲ s❛✉ ❧➔ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✳ ❈❤♦ ♠✐➲♥ ♥❣✉②➯♥ R✱
R ❦❤æ♥❣ ♣❤↔✐ ❧➔ tr÷í♥❣✿
(i) R ❧➔ ✈➔♥❤ ◆♦❡t❤❡r ✤â♥❣ ♥❣✉②➯♥ ✈➔ ❝â sè ❝❤✐➲✉ ❧➔ 1✳
(ii) R ❧➔ ✈➔♥❤ ◆♦❡t❤❡r ✈➔ ♠é✐ sü ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❤â❛ Rp t↕✐ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥
tè ❧➔ ♠ët DV R✳

(iii) ▼å✐ ✐❞❡❛❧ ❦❤→❝ ❦❤æ♥❣ ❝õ❛ R ❧➔ ❦❤↔ ♥❣❤à❝❤✳
(iv) ▼å✐ ✐❞❡❛❧ r✐➯♥❣ ❦❤→❝ ❦❤æ♥❣ ❝õ❛ R ❧➔ t➼❝❤ ❝õ❛ ❝→❝ ✐❞❡❛❧ tè✐ ✤↕✐✳
(v) ▼å✐ ✐❞❡❛❧ r✐➯♥❣ ❦❤→❝ ❦❤æ♥❣ ❝õ❛ R ❧➔ t➼❝❤ ❝õ❛ ❝→❝ ✐❞❡❛❧ ♥❣✉②➯♥ tè✳
❍ì♥ ♥ú❛✱ sü ♣❤➙♥ t➼❝❤ ð (iv) ❧➔ ❞✉② ♥❤➜t✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

❚❤❛♠ ❦❤↔♦ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✣à♥❤ ❧þ ✺✳✶ ❬✸✲tr✳✼❪

✶✶


õ tốt ồ

t

q ởt R ởt P ID õ
U F D
ự

P ID t ởt U F D
sỷ R ởt U F D

P ởt tố
a ởt tỷ ổ tở P
õ tỗ t tỷ t q t ừ a tở P (t) P
dim(R) = 1 (t) = P õ ồ tố
ồ t ừ tố
õ ồ

q I r ổ ừ R
(i) ỗ t ởt J s IJ
(ii) ồ tr R/I R/I rt
ởt rt ởt tọ ộ tr
tự ổ tỗ t ộ ổ

(iii) I J t tỗ t b R, J = I + (b)
(iv) I õ t ữủ t r tỷ
ự

ự q tr

ờ I tở R I õ t ữủ
t t t ừ tố t sỹ t õ
t
ự
sỷ P1 ...Pm = Q1 ...Qn sỹ t ữ ừ I
r r m = n s õ s Pi = Qi Q1 rt
ọ tr số Qj s Q1 Qj Q1 = Qj
I Q1 ởt số Pi Q1 t õ t P1 Q1

ữỡ tỹ tỗ t j s P1 Qj
ữ s õ Qj P1 Q1 tt



❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

♥❣✉②➵♥ t❤à ❦❤→♥❤ ❧✐♥❤

◆❤➙♥ ✈î✐ Q−1
1 ✱ t❛ ❝â P2 ...Pm = Q2 ...Qn ✳ ❈✉è✐ ❝ò♥❣ t❛ ❝â ❦➳t ❧✉➟♥ t❤❡♦
q✉② ♥↕♣✳

❇ê ✤➲ ✶✳✸✳✷✳ ❈❤♦ ♠✐➲♥ ♥❣✉②➯♥ R ✈➔ x ❦❤→❝ ❦❤æ♥❣ t❤✉ë❝ K ✳ ●✐↔ sû
xR = A1 ...Aq ✈î✐ Ai ❧➔ ❝→❝ ✐❞❡❛❧ ♣❤➙♥ t❤ù❝✳ ❑❤✐ ✤â✱ ♠å✐ Ai ❧➔ ❦❤↔
♥❣❤à❝❤✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
◆❣❤à❝❤ ✤↔♦ ❝õ❛ Ai ❧➔ x−1 A1 ...Ai−1 Ai+1 ...An
❚❛ ❣✐↔ sû ❤❛✐ ❜ê ✤➲ s❛✉ ①➨t tr➯♥ ♠✐➲♥ ♥❣✉②➯♥ R s❛♦ ❝❤♦ t➜t ❝↔ ❝→❝
✐❞❡❛❧ t❤✉ë❝ R ❧➔ t➼❝❤ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝õ❛ ❝→❝ ✐❞❡❛❧ ♥❣✉②➯♥ tè✳

❇ê ✤➲ ✶✳✸✳✸✳ ▼å✐ ✐❞❡❛❧ ♥❣✉②➯♥ tè ❦❤↔ ♥❣❤à❝❤ P ❧➔ tè✐ ✤↕✐✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
❈❤♦ a ∈ R − P ✳ ❚❛ ❣✐↔ sû✿ P + (a) = R✳ ◆➳✉ ❦❤æ♥❣✱ t❛ ❝â t❤➸ ✈✐➳t

P + (a) ✈➔ P + (a2 ) ❞÷î✐ ❞↕♥❣ t➼❝❤ P1 ...Pm ✈➔ Q1 ...Qn ❝õ❛ ❝→❝ ✐❞❡❛❧
♥❣✉②➯♥ tè✳
❉➵ t❤➜② P ♥➡♠ tr♦♥❣ ♠é✐ Pi ✈➔ Qj ✳
●✐↔ sû b ❧➔ ↔♥❤ ❝õ❛ a tr♦♥❣ ♠✐➲♥ ♥❣✉②➯♥ R/P ✈➔ b2 ❧➔ ↔♥❤ ❝õ❛ a2 ✳
❑❤✐ ✤â (b) ❧➔ t➼❝❤ ❝õ❛ ❝→❝ ✐❞❡❛❧ ♥❣✉②➯♥ tè Pi /P ✈➔ (b2 ) ❧➔ t➼❝❤ ❝õ❛ ❝→❝

✐❞❡❛❧ ♥❣✉②➯♥ tè Qj /P ✳
❚❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✶✳✸✳✶✱ ♠é✐ Pi /P ✈➔ Qj /P ❧➔ ❦❤↔ ♥❣❤à❝❤✳
❉➵ t❤➜②✿ (P1 P )2 ...(Pm P )2 = Q1 /P...Qn /P ✳
❚❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✶✳✸✳✷✱ n = 2m ✈➔ ♠é✐ Pi /P ①✉➜t ❤✐➺♥ ✷ ❧➛♥ tr♦♥❣ sè Qj /P ✳
✣✐➲✉ ♥➔② ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤➥♥❣ t❤ù❝ s❛✉ ✤➙②✿

P ⊂ P + (a2 ) = (P + (a))2 ⊂ P 2 + (a)
◆➳✉ x ∈ P ✱ t❤➻ x = y + ra ✈î✐ y ∈ P 2 ✈➔ r ∈ R✱ ✈➔ ra = x − y ♥➡♠
tr♦♥❣ P ✳
❱➻ a ∈
/ P, r ∈ P ✳ ❉♦ ✤â P ⊂ P 2 + aP ⊂ P ✈➔

P = P 2 + aP = P (P + (a))
✶✸


õ tốt ồ

t

P R = P + (a) ự

ờ ồ tố P
ự
sỷ a P, a = 0 õ (a) = P1 ...Pn Pi tố
ộ Pi õ tố t ờ
ỗ t i s (a) P, Pi P õ P = Pi
R

ờ tự A ổ t õ sỹ t

r

t A = P1r1 ...Pq q õ Pi tố ri số
ổ
ự
t tứ ờ A ởt
ử (d) dA õ dA R

x K, x = 0 t (x) = P1r1 ...Pqrq sỷ P
tố t vp (x) = ri P = Pi vp (x) = 0 P ổ
ởt tr số Pi
t q s ró r tứ

q vp ởt tr ợ Rp

x R : !x1 R : x1 x = x x1 = 1R
tr õ R t ỗ tt tỷ ừ R ổ ự ổ

0R
R = R \ 0R
õ ồ tỷ ổ ừ R õ t t
ổ




❈❤÷ì♥❣ ✷
▼æ ✤✉♥ tr➯♥ ✈➔♥❤ ❉❡❞❡❦✐♥❞ ✈➔
✈➔♥❤ ✤à♥❤ ❣✐→
✷✳✶ ❑❤→✐ ♥✐➺♠ ❝ì ❜↔♥

❈❤♦ R ❧➔ ♠✐➲♥ ♥❣✉②➯♥ ✭✈➔♥❤ ❣✐❛♦ ❤♦→♥✱ ✤ì♥ ✈à ✈➔ ❦❤æ♥❣ ❝â ÷î❝ ❝õ❛

0✮✳ ❚❛ ♥â✐ ♠ët R ✲ ♠æ ✤✉♥ M ✱ ❝❤ó♥❣ t❛ s➩ ❧✉æ♥ ❤✐➸✉ r➡♥❣ ♣❤➛♥ tû ✤ì♥
✈à 1 t❤✉ë❝ R t→❝ ✤ë♥❣ ♥❤÷ t♦→♥ tû ✤ç♥❣ ♥❤➜t tr➯♥ M ✳ ◆➳✉ x ❧➔ ♣❤➛♥ tû
❜➜t ❦➻ ❝õ❛ M ✱ t➟♣ {α ∈ R : αx = 0} ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✐❞❡❛❧ ❝➜♣ ✭✐❞❡❛❧ ❧✐♥❤ tû
❤â❛✮ ❝õ❛ x✳ ◆➳✉ t➜t ❝↔ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ M ✤➲✉ ❝â ✐❞❡❛❧ ❝➜♣ ❦❤→❝ ❦❤æ♥❣✱
t❛ ❣å✐ M ❧➔ ♠ët ♠æ ✤✉♥ ①♦➢♥✳ ◆➳✉ t➜t ❝↔ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❦❤→❝ ❦❤æ♥❣ ❝õ❛

M ✤➲✉ ❝â ✐❞❡❛❧ ❝➜♣ ❜➡♥❣ 0✱ t❛ ❣å✐ M ❧➔ ✐❞❡❛❧ ❦❤æ♥❣ ①♦➢♥ ✭❤♦➔♥ t♦➔♥
❦❤æ♥❣ ①♦➢♥✮✳ ◆â✐ ❝❤✉♥❣✱ t➟♣ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ M ❝â ✐❞❡❛❧ ❝➜♣ ❦❤→❝ 0 ❧➔
♠ët ♠æ ✤✉♥ ❝♦♥ T ❝õ❛ M ✳ ◆â ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠æ ✤✉♥ ❝♦♥ ①♦➢♥ ❝õ❛ M ✳
❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ M ❧➔ ♠æ ✤✉♥ ❦❤æ♥❣ ①♦➢♥✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â t❤➸ ♥â✐ ✈➲
sè ❝ü❝ ✤↕✐ ❝õ❛ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ✤ë❝ ❧➟♣ t✉②➳♥ t➼♥❤ tr♦♥❣ M ✳ ❙è ♥➔② ✤÷ñ❝ ❣å✐
❧➔ ❤↕♥❣ ❝õ❛ M ✳ ❑➼ ❤✐➺✉✿ rankR M ✳ ❈â ♠ët ❝→❝❤ ♥❤➻♥ t❤ó ✈à ♠➔ ❤ú✉ ➼❝❤
✈➲ ✈➜♥ ✤➲ ♥➔②✱ ✤â ❧➔✿ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â t❤➸ ♠ð rë♥❣ ♠✐➲♥ ❤➺ sè R ❝õ❛ M ✤➳♥
tr÷í♥❣ ❝→❝ t❤÷ì♥❣ K ❜ð✐ t➼❝❤ t❡♥s♦r

K ⊗ M ✲ ❚➼❝❤ ❚❡♥s♦r tr➯♥ ❘✳
R

✶✺


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

♥❣✉②➵♥ t❤à ❦❤→♥❤ ❧✐♥❤

❑❤✐ ✤â✱ ❦➼ ❤✐➺✉ MK ❝❤♦ K ⊗ M ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â t❤➸ ①➨t ♠ët ❑ ✕ ❦❤æ♥❣
❣✐❛♥ ✈❡❝t♦ MK ❜ð✐ t→❝ ✤ë♥❣✿

R

K × MK → MK
(α, a ⊗ m) → αa ⊗ m
R

R

◆❤➟♥ ①➨t
✶✳ dimK MK = rankR M
✷✳ ◆➳✉ r❛♥❦ M = 1✱ M ❦❤æ♥❣ ①♦➢♥✳ ◆â ❞➵ ❞➔♥❣ ✤➸ t❤➜② r➡♥❣ M ❧➔
✤➥♥❣ ❝➜✉ ✈î✐ ♠ët ✐❞❡❛❧ I ❝õ❛ R✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✶✳✶✳ ▼ët ♠æ ✤✉♥ ❝♦♥ S ❝õ❛ R ✕ ♠æ ✤✉♥ M ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔
♣✉r❡ ✭t❤✉➛♥ tó②✮ ♥➳✉ αS = S ∩ αM ✱ α t❤✉ë❝ M ✳
❈❤ó♥❣ t❛ ❧÷✉ þ ❝â ♠ët sè ♥❤➟♥ ①➨t q✉❛♥ trå♥❣ s❛✉✿
✶✳ ▼å✐ ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ ▼ ✤➲✉ ❧➔ t❤✉➛♥ tó②✳ ❚❤➟t ✈➟②✿
◆➳✉ M = S ⊕ P, ❦❤✐ ✤â ∀α ∈ R

αM = {α(s, p) |s ∈ S, p ∈}
= {(αs, αp) |s ∈ S, p ∈}
⇒ αM ∩ S = {(αs, 0) |s ∈ S}

α S.

✷✳ ▼æ ✤✉♥ ❝♦♥ t❤✉➛♥ tó② S ❝õ❛ ♠æ ✤✉♥ ❝♦♥ t❤✉➛♥ tó② M ❝ô♥❣ ❧➔ ♠ët
♠æ ✤✉♥ ❝♦♥ t❤✉➛♥ tó② ❝õ❛ M ✳ ✭❍✐➸♥ ♥❤✐➯♥✮✳
✸✳ ▼æ ✤✉♥ ❝♦♥ ①♦➢♥ ❧➔ ♠æ ✤✉♥ ❝♦♥ t❤✉➛♥ tó②✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ ❦➼ ❤✐➺✉ Mtor
❧➔ ♠æ ✤✉♥ ❝♦♥ ①♦➢♥ ❝õ❛ M ✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✈î✐ ♠å✐ α t❤✉ë❝ R✱ t❛ ❝â✿

(αM ) ∩ Mtor = {αm |m ∈ M } = {αM |m ∈ Mtor } (αm ①♦➢♥ )✳
✹✳ ◆➳✉ M/S ❧➔ ♠æ ✤✉♥ ❦❤æ♥❣ ①♦➢♥ t❤➻ S ❧➔ t❤✉➛♥ tó②✳
✺✳ ◆➳✉ M ❧➔ ♠æ ✤✉♥ ❦❤æ♥❣ ①♦➢♥✱ t❤➻ ❣✐❛♦ ❝õ❛ t➟♣ ❜➜t ❦➻ ❝→❝ ♠æ ✤✉♥
❝♦♥ t❤✉➛♥ tó② ❝õ❛ M ❧➔ ♠æ ✤✉♥ ❝♦♥ t❤✉➛♥ tó② ❝õ❛ M ✳
✶✻


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

♥❣✉②➵♥ t❤à ❦❤→♥❤ ❧✐♥❤

✷✳✷ ▼ët ✈➔✐ ❜ê ✤➲
❚r♦♥❣ ♠ö❝ ♥➔② ❝❤ó♥❣ tæ✐ tr➻♥❤ ❜➔② ❜❛ ❜ê ✤➲ ♠➔ ①➨t tr➯♥ ♠ët ♠✐➲♥
♥❣✉②➯♥ R ❜➜t ❦➻ ❝ò♥❣ tr÷í♥❣ ❝→❝ t❤÷ì♥❣ K ✳ ▼é✐ ✐❞❡❛❧ ❝õ❛ R ❝â t❤➸ ①❡♠
♥❤÷ R−✲♠æ ✤✉♥✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ ❤❛✐ ✐❞❡❛❧ I ✈➔ J ❝õ❛ R ❧➔ ✤➥♥❣ ❝➜✉ ♥❤÷ R ✕
♠æ ✤✉♥ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ tç♥ t↕✐ α ❦❤→❝ ❦❤æ♥❣✱ t❤✉ë❝ K s❛♦ ❝❤♦ I = αJ ✳
❑❤✐ ✤â ❝❤ó♥❣ t❛ ♥â✐ I ✈➔ J ❝ò♥❣ t❤✉ë❝ ♠ët ❧î♣✳ ❇ê ✤➲ ❞÷î✐ ✤➙② ❝❤♦ ♠ët
t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ❝ò♥❣ ❧î♣ ❝õ❛ ❝→❝ ✐❞❡❛❧s✳

❇ê ✤➲ ✷✳✷✳✶✳ ❈❤♦ R ❧➔ ♠✐➲♥ ♥❣✉②➯♥✱ K = f r(R) tr÷í♥❣ ❝→❝ t❤÷ì♥❣ ❝õ❛
R✳ ●å✐ I1 , ..., Im ✈➔ J1 , ..., Jm t÷ì♥❣ ù♥❣ ❧➔ ❝→❝ ✐❞❡❛❧ ❝õ❛ R s❛♦ ❝❤♦ ❝â
✤➥♥❣ ❝➜✉ R−♠æ ✤✉♥✿

I1 ⊕ ... ⊕ Im

J1 ⊕ ... ⊕ Jm

❑❤✐ ✤â I1 ...Im ✈➔ J1 ...Jm ❧➔ t❤✉ë❝ ❝ò♥❣ ♠ët ❧î♣✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
❑❤æ♥❣ ♠➜t t➼♥❤ tê♥❣ q✉→t✱ t❛ ❣✐↔ sû ♠å✐ ✐❞❡❛❧ ✤➲✉ ❝❤ù❛ R✳

❚r♦♥❣ ♣❤➨♣ ✤➥♥❣ ❝➜✉ ❣✐ú❛ ❤❛✐ tê♥❣ trü❝ t✐➳♣✱ ❣✐↔ sû 1 t❤✉ë❝ Ir t÷ì♥❣
ù♥❣ ✈î✐ (αr1 , ..., αrm )✱ tr♦♥❣ ✤â αrs t❤✉ë❝ Js ✳ ❑❤✐ ✤â✱ t❛ t❤➜②✿

Js = α1s I1 + ... + αms Im ; (s = 1, . . . , m).

✭✷✳✶✮

✣➦t γ = |αrs |✱ ✈➔ δ ❧➔ sè ❤↕♥❣ ✤✐➸♥ ❤➻♥❤ tr♦♥❣ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ ❝õ❛ ✤à♥❤
t❤ù❝ ♥➔②✳ ❑❤✐ ♥❤➙♥ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✷✳✶ ✈î✐ ♥❤❛✉✱ t❛ ❜✐➸✉ t❤à J1 ...Jm
♥❤÷ ♠ët tê♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ ✐❞❡❛❧✱ tr♦♥❣ ✤â t❛ t➻♠ t➜t ❝↔ δI1 ...Im ✳ ❑❤✐ ✤â✿

J1 ...Jm ⊃ γI1 ...Im ✳
◆❣÷ñ❝ ❧↕✐✱ t❛ ❣✐↔ sû 1 t❤✉ë❝ Jr t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐ (βr1 , ..., βrm )✱ tr♦♥❣ ✤â

βrs t❤✉ë❝ Js ✳ ❑❤✐ ✤â ♠❛ tr➟♥ (βrs ) ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥
(αrs )✳ ❉♦ ✤â✱ t❛ ❝â✿ I1 ...Im ⊃ γ −1 J1 ...Jm ✳

❇ê ✤➲ ✷✳✷✳✷✳ ❈❤♦ ♠æ ✤✉♥ M ❜➜t ❦➻ ✈➔ ♠æ ✤✉♥ ❝♦♥ S s❛♦ ❝❤♦ M/S ❧➔
tê♥❣ trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ ❝→❝ ♠æ ✤✉♥ Ui ✱ ✈➔ Ti ❧➔ ↔♥❤ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ ❝õ❛ Ui tr♦♥❣
✶✼


õ tốt ồ

t

sỷ S ởt tỷ trỹ t ừ ộ Ti õ S ởt
tỷ trỹ t ừ M
ự
sỷ Wi tỷ ờ s ừ S tr Ti W ủ ừ {Wi }

õ W tt M/S tứ õ S + W = M
sỷ x =
yi S W õ yi Wi
õ q M/S t t r ợ ồ yi S, yi = 0, x = 0
õ S W = 0 M = S W
I tr R ú t ợ r I 1 ữủ
t ủ tt K ợ I R ữủ ồ

I.I 1 = R ú t t tứ I.I 1 = R ồ
ỳ s

ờ R ổ M ổ S s M/S tờ
trỹ t ừ ổ ợ tr R
õ S ởt tỷ trỹ t ừ M
ự
t ờ tr trữớ ủ M/S tỹ ợ
I
rữợ t t M ổ
I.I 1 = R tỗ t i I, i I 1 s
i i = 1
sỷ yi tỷ tr M/S tữỡ ự ợ i ,
tỷ ổ t tr I

xi tỷ t tr M yi
t ủ z =

i xi ữ ỵ r i R õ z tỷ

ữủ ró ừ M
sỷ T ổ t tú ữủ t z

M ổ ởt ổ ữủ ró
õ
T tỷ ờ s ố õ ừ S t S T = 0



õ tốt ồ

t

r r S + T = M tự t r r T
tt tỷ tở M/S
ợ õ ừ ự r yi tở ừ T ữ ỵ
r tỷ i s r I õ tỷ yi s r M/S
õ i i R õ t = i 1 z = i j xj M t T
ừ t i

j yj

r ừ M/S I
õ i

j yj tữỡ ự ợ

j j = 1

j yj = yi ữ ố

t t trữớ ủ tờ qt M ổ t
ồ ởt ỗ ừ R ổ tỹ F tr M

ởt ỗ tứ F M/S t G G ụ
ừ S ữợ
ự tr G ởt tỷ trỹ t ừ F : F = GH
sỷ V = (H) S + V = M
t ừ ữủ ự tr G (G) (H) õ 0
õ S V = 0 M = S V

ổ tr
ởt ởt õ t t ồ
t ữủ t t t ừ tố t
õ ồ

ỵ R ồ ỳ s
sỷ R ổ ỳ s M õ ổ T
õ T ởt tỷ trỹ t ừ M M/T tờ trỹ t ừ
ổ õ ợ
ự

T ởt tỷ trỹ t ừ M s t t ờ s
t ự ữủ M/T tờ trỹ t ừ ổ õ




õ tốt ồ

t

t sỷ r M tỹ sỹ ởt R ổ ỳ s
ổ

t tỷ ổ tở M õ ổ t
tú S õ õ s r
õ M/S ổ ỳ s õ ọ ỡ
ừ M
q tr t sỷ r M/S tờ trỹ t ừ
ổ õ
ử ờ r r M = S M/S tứ õ s r
ự

ỵ R tọ s ồ
ỳ s tở R I ởt ỳ s
ổ tở R t R/I ởt õ ồ ỳ s
õ

(i) R ổ M ỳ s ổ t ởt t ừ
t ố ợ M õ n ũ ợ ợ ừ t I1 I2 ...In tr
ởt ừ M ữ ởt tờ trỹ t ừ I1 ... In

(ii) R ổ N tờ trỹ t ừ ởt số ỳ
t N tỹ
ự

(i) ợ ừ I1 , ..., Im ởt t ữủ r tr ờ
r r ợ ũ ợ số n t t ởt t
ừ t t trữớ ủ n = 2 tự M = I1 I2
ợ R I1 I2
sỷ M ự ởt ổ t tú S ợ R
õ t ờ M = S M/S M/S I1 I2
t t r ổ S
sỷ I2 ởt ổ tở I1

õ I11 I2 = 0 ởt ự tr I2
tt I2 ởt tở R


I11 I2