Phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh khá, giỏi lớp 8, 9 ở trường THCS vĩnh hòa thông qua việc dạy, học chủ đề tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

PHẦN I. MỞ ĐẦU
I.1. Lý do chọn đề tài
Mục tiêu giáo dục xã hội đang đặt ra những yêu cầu cấp thiết cần giải quyết.
Điều 27, Mục 2, Chương II, Luật Giáo dục sửa đổi năm 2005 xác định:
“Mục tiêu của giáo dục phổ thông là giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo
đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá
nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam xã
hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh
tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ
quốc; Giáo dục trung học cơ sở nhằm giúp học sinh củng cố và phát triển
những kết quả của giáo dục tiểu học; có học vấn phổ thông ở trình độ cơ sở và
những hiểu biết ban đầu về kỹ thuật và hướng nghiệp để tiếp tục học trung học
phổ thông, trung cấp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động”.
Chương trình môn Toán THCS đã xác định mục tiêu về kiến thức, kỹ
năng, tư duy, tình cảm và thái độ học sinh cần đạt được ở cấp học; đã xây dựng
được kế hoạch, nội dung dạy học đảm bảo tính logic, thống nhất, cân đối giữa
các mạch nội dung và giữa các phân môn Số học, Đại số, Hình học. Đặc biệt
Chương trình Toán THCS đã xây dựng được chuẩn kiến thức, kỹ năng của từng
lớp với yêu cầu về mức độ cần đạt tối thiểu đối với từng chủ đề.
Sách giáo khoa môn Toán THCS đảm bảo tính chính xác, khoa học, thể
hiện đầy đủ chuẩn kiến thức, kĩ năng quy định trong chương trình. Sách giáo
khoa môn Toán THCS phù hợp với chương trình và với trình độ nhận thức của
học sinh.
Nhìn chung, chương trình, sách giáo khoa môn Toán đã tạo điều kiện ban
đầu thuận lợi cho giáo viên thực hiện các phương pháp dạy học, tích cực hóa
hoạt động học tập của học sinh. Nhiều chủ đề kiến thức trong sách giáo khoa thể
hiện tính liên thông kiến thức giữa các lớp trong bậc học, được vận dụng rất
nhiều trong các phân môn Số học, Đại số và Hình học không chỉ ở cấp THCS.
Một trong những chủ đề ấy là chủ đề về “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
của biểu thức”.
Đi sâu nghiên cứu quá trình dạy, học Toán lớp 8, 9 THCS phần “Bất đẳng

thức và bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức”, Tôi nhận thấy:
Trong nhiều năm qua, không chỉ trong các đề thi học sinh giỏi toán các
cấp mà ngay cả trong các bài kiểm tra định kỳ của chương trình chính khoá, các
bài kiểm tra cuối kỳ, cuối năm thường xuất hiện các bài toán về “Tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức”. Theo dõi kết quả làm bài của học sinh, Tôi
nhận thấy hầu hết học sinh không giải quyết được hoặc giải quyết không trọn
vẹn, nhiều học sinh mất phương hướng khi xem xét bài toán. Theo Tôi một
trong những nguyên nhân dẫn đến tình trạng nêu trên là: Kiến thức về Bất đẳng
thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức không được trình bày
một cách tường minh trong sách giáo khoa toán THCS hiện hành; Trong khi đó
hệ thống bài tập về dạng toán này lại xuất hiện khá nhiều trong sách bài tập và
1


sách tham khảo. Tài liệu tham khảo tuy nhiều và phong phú nhưng lại thiếu sự
gợi ý về phương pháp nghiên cứu, chủ yếu là trình bày lời giải; Đa số giáo viên
khi dạy về dạng này thường chưa quan tâm cung cấp, củng cố, hệ thống hoá,
khắc sâu kiến thức trọng tâm, chưa chú ý đến việc xây dựng cho học sinh
phương pháp suy nghĩ, nghiên cứu, khai thác bài toán.
Thiết nghĩ, nếu giáo viên có quá trình nghiên cứu cụ thể và toàn diện
chương trình, nội dung sách giáo khoa, sách bài tập, biết lựa chọn hệ thống các
bài tập từ đơn giản đến phức tạp, từ dễ đến khó, đặc biệt là những bài tập có tính
khái quát cao, có khả năng khai thác sâu; Mặt khác giáo viên cần có phương
pháp hướng dẫn học sinh phương pháp nghiên cứu, khai thác bài toán, phương
pháp kiểm tra, “cân, đong, đo, đếm" khả năng tư duy của học sinh, thì học sinh
sẽ chủ động, say mê, tìm tòi, khám phá, những kỹ năng cơ bản sẽ được rèn
luyện, học sinh sẽ từng bước biết sáng tạo trong học toán.
Từ những lý do nêu trên, Tôi đi sâu nghiên cứu, rút ra kết luận và triển
khai áp dụng đề tài “Phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi
lớp 8, 9 ở trường THCS Vĩnh Hòa thông qua việc dạy học chủ đề Tìm giá trị

lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức”.
I.2. Mục đích nghiên cứu
- Giúp học sinh khá, giỏi lớp 8, 9 củng cố, hệ thống hoá, khắc sâu kiến
thức về Bất đẳng thức và loại toán về “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
biểu thức”.
- Hướng dẫn học sinh phương pháp suy nghĩ, nghiên cứu, phương pháp
giải một số dạng toán về “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức”.
- Rèn luyện cho học sinh kỹ năng vận dụng kiến thức, kỹ năng giải một số
dạng toán về “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức”.
- Bồi dưỡng cho học sinh khá, giỏi lớp 8, 9 năng lực suy luận, tính linh
hoạt, phát triển năng lực tư duy logic, tính sáng tạo cho học sinh.
- Góp phần nâng cao chất lượng học sinh giỏi và chất lượng môn Toán
lớp 8, 9 ở trường THCS Vĩnh Hòa.
I.3. Đối tượng nghiên cứu
- Nội dung, chương trình, sách giáo khoa Toán 8, 9 THCS.
- Học sinh khá, giỏi lớp 8, 9 và giáo viên dạy Toán 8, 9 ở trường THCS
Vĩnh Hòa, huyện Vĩnh Lộc.
- Quá trình dạy và học của giáo viên và học sinh khá giỏi lớp 8, 9 trường
THCS Vĩnh Hòa, huyện Vĩnh Lộc.
I.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết;
- Phương pháp điều tra, khảo sát thực tế, thu thập thông tin;
- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu.
- Phương pháp thực nghiệm, kiểm nghiệm, đối chứng, so sánh.

2


PHẦN II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
II.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

Định hướng đổi mới phương pháp dạy học nhằm phát huy tính tích cực,
chủ động, tự lực, sáng tạo của học sinh; tăng cường kỹ năng thực hành, vận
dụng kiến thức, kỹ năng vào giải quyết các vấn đề thực tiễn góp phần hình thành
và phát triển năng lực học sinh; đa dạng hóa các hình thức học tập, chú trọng các
hoạt động trải nghiệm sáng tạo, nghiên cứu khoa học của học sinh; đẩy mạnh
ứng dụng công nghệ thông tin và truyền thông trong dạy và học; Khắc phục lối
truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc; Tập trung dạy cách học, cách
nghĩ, khuyến khích tự học; bảo đảm cân đối giữa trang bị kiến thức, rèn luyện kỹ
năng và định hướng thái độ, hành vi cho học sinh; chú ý việc tổ chức dạy học
phân hoá theo năng lực của học sinh dựa theo chuẩn kiến thức, kỹ năng của
Chương trình giáo dục phổ thông; Đẩy mạnh việc vận dụng dạy học giải quyết
vấn đề, các phương pháp thực hành, dạy học theo dự án trong các môn học; tích
cực ứng dụng công nghệ thông tin phù hợp với nội dung bài học.
Phân môn Đại số 8 THCS hiện hành bao gồm 4 chương, được bố trí trong
70 tiết; trong đó số tiết lý thuyết: 42; số tiết luyện tập, thực hành, ôn tập: 20; số
tiết kiểm tra: 08.
Phân môn Đại số 9 THCS hiện hành bao gồm 4 chương, được bố trí trong
70 tiết; trong đó số tiết lý thuyết: 44; số tiết luyện tập, thực hành, ôn tập: 18; số
tiết kiểm tra: 08.
Chủ đề “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức” không xuất
hiện một cách tường minh trong chương trình Toán 8, 9 THCS hiện hành, mà chỉ
nêu sơ lược vài tính chất của bất đẳng thức thuộc tiết 57, 58, Chương IV, Đại số
8, nhưng lại được xuất hiện khá nhiều trong sách bài tập dưới dạng các bài tập
và trong các đề kiểm tra học kỳ, các đề thi học sinh giỏi môn Toán các cấp; Đòi
hỏi giáo viên trong quá trình dạy học Toán 8, 9 nói chung, đặc biệt là trong bồi
dưỡng học sinh giỏi Toán 8, 9 nói riêng phải hướng dẫn học sinh cả về lý thuyết
cơ bản và phương pháp giải toán “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu
thưc”; Giải quyết tốt chủ đề này sẽ góp phần phát huy tính tích cực, chủ động, tự
lực, sáng tạo của học sinh, tăng cường kỹ năng thực hành, vận dụng kiến thức,
kỹ năng vào giải quyết các vấn đề thực tiễn góp phần hình thành và phát triển

năng lực tự học, năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh khá, giỏi lớp 8, 9 THCS,
làm cơ sở để học sinh khá, giỏi tiếp tục học tốt ở bậc THPT.
II.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Vĩnh Hòa là xã có địa bàn dân cư rộng, dân số đông, kinh tế thuần nông,
điều kiện đi lại, học tập của học sinh gặp rất nhiều khó khăn; Tỷ lệ học sinh
thuộc hộ nghèo và cận nghèo nhiều; Sự quan tâm của cha mẹ học sinh đối với sự
học trong những năm gần đây tuy đã có sự chuyển biến tiến bộ nhưng vẫn thiếu
sự theo dõi, sâu sát, định hướng cụ thể.

3


Đa số học sinh của trường chăm ngoan, có sự cố gắng trong học tập và
rèn luyện; Tuy nhiên điều kiện học tập chưa tốt; Số học sinh có khả năng tiếp
thu bài tốt còn quá ít; Phương pháp học tập của học sinh chủ yếu dựa vào sự ghi
chép từ bài dạy của giáo viên, khả năng nghiên cứu quá hạn chế; Học sinh khi
giải bài tập thường không biết bắt đầu từ đâu, định hướng giải như thế nào;
Nhiều học sinh không biết vận dụng các kiến thức đã học vào giải bài tập, không
biết cách trình bày lời giải; khả năng ghi nhớ và vận dụng là rất hạn chế. Khi
giải bài tập về “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức” nhiều học
sinh lúng túng chưa xác định đúng hoặc hiểu sai kiến thức, không xác định được
dạng bài và hướng giải hoặc các bước giải, trình bày bài giải chưa khoa học,
thậm chí ngay cả những học sinh khá, giỏi cũng gặp rất nhiều khó khăn.
Việc đổi mới phương pháp dạy học và kiểm tra đánh giá vẫn còn chậm và
chưa đồng bộ. Giáo viên và học sinh vẫn chưa khắc phục được nhận thức, thói
quen dạy học nặng về lý thuyết, nhẹ về thực hành, ít liên hệ kiến thức toán học
với thực tiễn và các môn học khác. Lối dạy học theo kiểu truyền thụ một chiều
vẫn còn khá phổ biến. Trong bồi dưỡng học sinh giỏi, giáo viên chưa quan tâm
đến việc dạy lý thuyết và phương pháp cơ bản, không phân loại bài tập, mà chỉ
quan tâm đến một số bài tập và lời giải mẫu.

Kết quả bài kiểm tra định kỳ Môn Đại số lớp 9A, 9B, chương I, thời
lượng 45 phút, năm học 2017-2018; Đề kiểm tra có 4 câu; Thống kê kết quả câu
4 về “Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức”, kết quả như sau:

Lớp

Tổng số
HS

Số HS không
làm câu 4

Số HS làm sai
loại toán (không
đúng hướng)

Số HS làm đúng
hướng nhưng
chưa hoàn chỉnh
bài giải

Số HS làm đúng
hướng và hoàn
chỉnh bài giải

9A
9B

33
30

29 (87,9%)
30 (100%)

3 (9,1%)
0 (0%)

1 (3,0%)
0 (0%)

0 (0%)
0 (0%)

Kết quả kiểm tra học sinh khá, giỏi lớp 9, thời lượng 45 phút, năm học
2017-2018; Chủ đề Bất đẳng thức và toán “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
của biểu thức”; Đề kiểm tra có 2 câu, mức độ thông hiểu và vận dụng cao; kết
quả như sau:
HS
Khá, giỏi

Tổng số
HS

Số HS không
hiểu loại toán

Số lượng
Tỷ lệ %

16

15
93,75

Số HS phát
hiện được
vấn đề
1
6,25

Điểm
yếu, kém

Điểm TB

15
93,75

1
6,25

Điểm
khá trở
lên
0
0

Rõ ràng khả năng giải bài tập về “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
biểu thức” đối với cả học sinh lớp 9 và học sinh khá, giỏi lớp 9 của Trường còn
quá hạn chế; Tỷ lệ yếu kém quá cao; Tỷ lệ khá, giỏi quá thấp.

4


Từ cở sở lý luận và thực trạng nêu trên, cần có những giải pháp phù hợp
để rèn luyện kỹ năng giải toán “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu
thức” cho học sinh khá, giỏi lớp 8, 9 THCS, góp phần nâng cao chất lượng môn
Toán 8, 9 nói chung và chất lượng học sinh khá, giỏi môn Toán 8, 9 nói riêng,
tạo cơ sở cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8, 9 đạt kết mong muốn.
II.3. Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
II.3.1. Hướng dẫn, củng cố, hệ thống hoá, khắc sâu cho học sinh các
kiến thức cơ bản về Bất đẳng thức; Qua đó hướng dẫn học sinh phương pháp
suy nghĩ và khai thác kiến thức.
Như đã nói ở trên, vì học sinh chưa được tiếp cận một cách đầy đủ, tường
minh về Bất đẳng thức, vì vậy đòi hỏi giáo viên phải cung cấp cho học sinh nắm
vững một số kiến thức cơ bản về Bất đẳng thức; Tuy nhiên vì khuôn khổ của đề
tài nên Tôi chỉ tập trung làm rõ các vấn đề về “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của biểu thức” mà không nêu cách hướng dẫn học sinh cùng với những ví
dụ minh họa cho phần Bất đẳng thức.
1. Khái niệm Bất đẳng thức
Cho A và B là hai biểu thức, ta nói “A > B” hoặc “A < B” hoặc “A  B”
hoặc “A  B” là một bất đẳng thức;
Nói cách khác: Hai biểu thức nối liền nhau bởi một trong các dấu “>; <; ; 
” được gọi là một bất đẳng thức.

A>B

Bất đẳng thức
Vế trái

Vế phải

+ Từ đó hướng dẫn học sinh suy nghĩ, khai thác khái niệm Bất đẳng thức:
Tồn tại khái niệm: “Bất đẳng thức đúng”, “Bất đẳng thức không đúng”;
Ví dụ: 10  10 là một bất đẳng thức đúng; 10 < 7 là một đẳng thức không
đúng (Còn gọi là đẳng thức sai).
2. Một số tính chất cơ bản của bất đẳng thức số
1) a > b  a – b > 0
2) a > b  a + c > b + c với mọi c
3) a > b  ac > bc với mọi c > 0; a > b  ac < bc với mọi c < 0
4) a > b và b > c  a > c
5) a > b và c > d  a + c > b + d
6) a > b và c < d  a – c > b – d
7) a > b > 0 và c > d > 0  ac > bd
8) a > b > 0  an > bn (Với n nguyên dương)
9) a > b > 0  a  b
10) a > b và ab > 0 

1 1

a b

5


3. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
1- Xét hiệu hai vế.
2- Biến đổi tương đương.
3- Xuất phát từ bất đẳng thức đúng cùng dạng.
4- Làm giảm số biến.

5- Dùng biến phụ.
6- Phân khoảng.
7- Làm trội.
8- Tổng các số không âm.
9- Phản chứng.
10- Quy nạp.
11- Sử dụng miền giá trị của biểu thức.
4. Một số bất đẳng thức cơ bản
4.1. Bất đẳng thức về bình phương của một tổng hoặc một hiệu
1) (a – b)2  0  a2 + b2  2ab; Dấu “=’ xảy ra khi a = b; ta có các BĐT:
+ 2(a2 + b2 )  (a + b)2 ; Dấu “=’ xảy ra khi a = b
+ (a + b)2  4ab Dấu “=’ xảy ra khi a = b ; 

1 1
4
 
(Với a > 0; b
a b
a b

> 0) Dấu “=’ xảy ra khi a = b
+ a2 + b2 + c2  ab + bc + ca  3(a2 + b2 + c2 )  (a + b + c)2 ; Dấu “=’
xảy ra khi a = b = c
2) A12 + A22 + … + An2  0 ; Dấu “=’ xảy ra khi Ai = 0
4.2. Bất đẳng thức về tổng của một số với nghịch đảo của nó
a b
  2 ; Dấu “=’ xảy ra khi a = b
b a
a b
+ Với a và b khác dấu ta có:   - 2 ; Dấu “=’ xảy ra khi a = - b

b a

+ Với a và b cùng dấu ta có:

4.3. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối
1) a  0  a ; Dấu “=’ xảy ra khi a = 0
2) a  a ; Dấu “=’ xảy ra khi a  0
 a k

3) a  k (k  0)  
; Dấu “=’ xảy ra khi a = k
 a  k
4) a  k (k > 0)  - k  a  k ; Dấu “=’ xảy ra khi a = k
5) a  b  a + b ; Dấu “=’ xảy ra khi ab  0
6) a  b  a - b ; Dấu “=’ xảy ra khi b(a – b)  0
4.4. Bất đẳng thức Côsy
+ Bất đẳng thức Côsy cho hai số không âm a và b:
a b

2

ab Hay a + b  2 ab Hay (a + b)2  4ab; Dấu “=” xảy ra khi a = b

+ Bất đẳng thức Côsy cho ba số không âm a, b, c:
6


a b c

2

3

abc Hay a + b + c  3 3 abc Hay (a + b + c)3  27abc;

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
+ Bất đẳng thức Côsy cho n số không âm a1; a2; …; an (n  N, n  2):
a1  a 2  ...  a n

n

n

a1 a 2 ...a n Hay a1 + a2 + … + an  n n a1 a 2 ...a n

Hay (a1 + a2 + … + an)n  n. a1a2…an; Dấu “=” xảy ra khi a1 = a2 = … = an
+ Hướng dẫn học sinh tìm dấu hiệu nhận biết và phương pháp suy
nghĩ để sử dụng:
- Các số không âm.
- Sự liên lệ giữa tổng và tích của n số không âm.
- Chiều từ tổng sang tích là chiều “  “
4.5. Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cop-xki
+ Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cop-xki cho bộ 4 số (a1; a2); (b1; b2):
a1b1  a 2 b2  ( a12  a 22 )(b12  b22 ) Hay (a1b1 + a2b2)2  (a12 + a22)(b12 + b22)

bn)

a1

a2

a1

a2

Dấu “=” xảy ra khi b = b
1
2
+ Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cop-xki cho bộ 2n số (a1; a2; …; an); (b1; b2; …;
(n  N, n  2):
a1b1  a 2 b2  ...  a n bn  ( a12  a 22  ...  a n2 )(b12  b22  ...  bn2 ) Hay
(a1b1 + a2b2 + … + anbn)2  (a12 + a22 + … + an2)(b12 + b22 + … + bn2)
an

Dấu “=” xảy ra khi b = b = … = b
1
2
n
+ Hướng dẫn học sinh tìm dấu hiệu nhận biết và phương pháp suy
nghĩ để sử dụng:
- Các số tuỳ ý.
- Tổng các tích, mỗi tích 2 nhân tử lấy theo thứ tự.
- Tích của tổng các bình phương; Mỗi nhân tử là tổng các bình phương
của các số thứ nhất hoặc thứ hai của các tích.
- Chiều từ tổng các tích sang tổng các bình phương là chiều “ ”.
- Giá trị tuyết đối.
II.3.2. Làm cho học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản về “Tìm giá
trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức”
1. Khái niệm về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức
1.1. Cho biểu thức A có tập xác định (TXĐ) là X. Ta nói rằng:

a) Số M là giá trị lớn nhất của biểu thức A (GTLN) với TXĐ X và ký hiệu
là M = max A nếu như hai điều kiện sau đây đồng thời được thỏa mãn:
1) A  M với mọi bộ giá trị của biến thuộc X;
2) Tồn tại bộ giá trị của biến thuộc X sao cho A = M
b) Số m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức A (GTNN) với TXĐ X và ký
hiệu là m = min A nếu như hai điều kiện sau đây đồng thời được thỏa mãn:
7


1) A  m với mọi bộ giá trị của biến thuộc X;
2) Tồn tại bộ giá trị của biến thuộc X sao cho A = m
1.2. Một số phương pháp tìm GTLN và GTNN của một biểu thức
- Phương pháp Bất đẳng thức
- Phương pháp miền giá trị của biểu thức
2. Phương pháp Bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhát của
một biểu thức
2.1. Tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một biểu
thức bằng phương pháp bất đẳng thức được xem như là một trong những phương
pháp thông dụng và hiệu quả nhất để tìm GTLN, GTNN của một biểu thức.
Phương pháp này, như tên gọi của nó, dựa trực tiếp vào định nghĩa GTLN
và GTNN của một biểu thức; Vì thế giáo viên hướng dẫn cho học sinh nắm
vững lược đồ chung của phương pháp bất đẳng thức tìm GTLN và GTNN của
một biểu thức có thể mô tả như sau:
Giả sử biểu thức A có TXĐ là tập X.
+ Muốn tìm giá trị lớn nhất của A ta phải:
1) Tìm và chứng minh bất đẳng thức A  M với mọi bộ giá trị của biến
thuộc tập X (Với M là số xác định);
2) Chỉ ra tồn tại bộ giá trị của biến thuộc X sao cho A = M;
Khi đó ta nói A có GTLN bằng M và kí hiệu: max A = M; hoặc Amax = M,
ứng với bộ giá trị của biến đã nêu.

+ Muốn tìm giá trị nhỏ nhất của A ta phải:
1) Tìm và chứng minh bất đẳng thức A  m với mọi bộ giá trị của biến
thuộc tập X (Với m là số xác định);
2) Chỉ ra tồn tại bộ giá trị của biến thuộc X sao cho A = m;
Khi đó ta nói A có GTNN bằng m và kí hiệu: min A = m; hoặc Amin = m,
ứng với bộ giá trị của biến đã nêu.
2.2. Giáo viên lưu ý học sinh phân biệt các bước giải trong lược đồ:
1) Tùy dạng của bài toán cụ thể mà ta sẽ lựa chọn một phương pháp
chứng minh BĐT phù hợp cũng như cách chỉ ra bộ giá trị của biến ở bước 2.
2) Ở bước 2: Chỉ cần chỉ ra một bộ giá trị của biến thuộc TXĐ thoả mãn
điều kiện A = M (A = m) mà không cần tìm tất cả các bộ giá trị của biến thoả
mãn điều kiện ấy. Muốn vậy chỉ cần:
+ Nhẩm chọn.
+ Giải hệ phương trình; giải phương trình; giải bất phương trình.
- Nếu không tồn tại bộ giá trị của biến thuộc X để A = M (A = m) thì
không kết luận gì về GTLN và GTNN của A.
3) Khi suy luận để chỉ ra bất đẳng thức A  M (A  m); cần xuất phát từ
biểu thức chứa biến đơn giản nhất biết dấu rồi biến đổi làm xuất hiện dần dần
biểu thức A.
+ Ví dụ: Biểu thức A được biến đổi về dạng A = ( x  1  2) 2  3 , thì phải từ biểu
thức: x  1 0 .
8


4) Khi biến nhận giá trị nguyên thì sử dụng phép làm trội.
+ Ví dụ: x nguyên thì từ x > 1 ta có x 2 .
3. Hai bài toán cực trị cơ bản: Xuất phát từ bất đẳng thức Côsy ta có:
3.1. Bài toán 1: Nếu hai số dương có tổng không đổi thì tích của chúng
lớn nhất khi hai số đó bằng nhau.
Áp dụng: Trong số các hình chữ nhật có chu vi bằng nhau (Có cùng chu

vi) thì hình vuông là hình có diện tích lớn nhất.
3.2. Bài toán 2: Nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của chúng bé
nhất khi hai số đó bằng nhau.
Áp dụng: Trong số các hình chữ nhật có diện tích bằng nhau (Có cùng
diện tích) thì hình vuông là hình có chu vi bé nhất.
II.3.3. Hướng dẫn cho học sinh nghiên cứu và tìm phương pháp giải
một số dạng toán về “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức”.
II.3.3.1. Tìm GTLN, GTNN của đa thức bậc hai một biến x.
1) Giáo viên hướng dẫn cho học sinh nghiên cứu theo các bước sau:
Cho đa thức bậc hai một biến x: f(x) = ax2 + bx + c (Với a  0)
- Hãy biến đổi f(x) thành tổng của hai biểu thức, trong đó một biểu thức là
bình phương của một đa thức biến x, biểu thức thứ hai là một hằng số?
- Cho a  0, ta phải xét mấy trường hợp về dấu của a?
- Sử dụng lược đồ “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức”
để tìm và chứng minh BĐT dạng f(x)  m hoặc f(x)  M?
+ Yêu cầu học sinh tự nghiên cứu và thực hiện đầy đủ các bước theo
hướng dẫn trên; Làm như vậy để rèn luyện kỹ năng cho học sinh:
Với a  0, ta có:
b
c
b
c
b2
b2
2
f(x) = ax + bx + c = a[x + x + ] = a[x + 2. x + 2 + - 2 ]
a
a
2a
a 4a

4a
2
b 2 4ac  b
f(x) = a(x +
) +
] (1)
2a
4a
Do a  0 nên a > 0 hoặc a < 0;
b 2
Vì (x +
)  0 với mọi a  0 nên:
2a
b 2
4ac  b 2
- Nếu a > 0; Ta có: a(x +
)  0; Kết hợp với (1) suy ra f(x) 
;
2a
4a
b
b
Dấu “=” xảy ra khi x +
= 0, hay x = - ;
2a
2a
2
b
4ac  b
Từ đó ta có: minf(x) =

, ứng với x = - ;
2a
4a
b 2
4ac  b 2
- Nếu a < 0; Ta có: a(x +
)  0; Kết hợp với (1) suy ra f(x) 
;
2a
4a
b
b
Dấu “=” xảy ra khi x +
= 0, hay x = - ;
2a
2a
2

2

9


b
4ac  b 2
Từ đó ta có: maxf(x) =
, ứng với x = - ;
2a
4a

2) Học sinh rút ra kết luận tổng quát:
Cho đa thức bậc hai một biến x: f(x) = ax2 + bx + c (Với a  0)
b
4ac  b 2
, ứng với x = - ;
2a
4a
2
b
4ac  b
- Nếu a < 0, ta luôn có maxf(x) =
, ứng với x = 2a
4a

- Nếu a > 0, ta luôn có minf(x) =

+ Học sinh vận dụng kết quả này để giải quyết các bài toàn có liên quan,
giảm thời gian làm bài, tránh sai sót sơ đẳng trong biến đổi, đảm bảo tính chính
xác; Tuy nhiên bước đầu áp dụng, yêu cầu học sinh trình bày cụ thể phép biến
đổi để rèn luyện kỹ năng và tính chính xác.
3) Bài tập rèn luyện kỹ năng
Tìm GTLN hoặc GTNN của mỗi biểu thức sau:
a) A = 3x2 – 4x + 5
b) B = 5x – 7x2 – 1
c) C = 3xy – x2 – y2, trong đó x và y thỏa mãn phương trình 5x + 2y = 10.
d) D = (x2 – x + 1)2
e) E = x(x – 3)(x – 4)(x – 7)
+ Từ các bài tập c, d, e, giáo viên yêu cầu học sinh rút ra hướng giải.
II.3.3.2. Tìm GTLN, GTNN của đa thức bậc cao nhiều biến; Phương
pháp biến đổi đa thức thành tổng các đa thức bậc chẵn và một hằng số.

1) Ví dụ 1: Tìm GTLN của biểu thức: A = x2 – 2x + y2 + 4y - 5
+ Giáo viên hướng dẫn học sinh:
- Nhận xét bậc của đa thức đối với mỗi biến? Từ đó đề xuất hướng biến
đổi đa thức?
+ Học sinh suy nghĩ để biến đổi biểu thức A thành tổng của các đa thức
bậc hai và một hằng số; Từ đó thực hiện lời giải.
A = x2 – 2x + 1 + y2 + 4y + 4 – 10 = (x - 1)2 + (y + 2)2 – 10
Do (x - 1)2  0; (y + 2)2  0 nên A  - 10
Dấu “=” xảy ra khi (x - 1)2 = 0 và (y + 2)2 = 0; Hay x = 1; y = - 2
Vậy minA = - 10 khi x = 1; y = - 2.
* Phương pháp: Để tìm GTLN, GTNN của đa thức nhiều biến bậc chẵn
ta có thể biến đổi đa thức thành tổng các đa thức bậc chẵn và một hằng số.
2) Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức: B = x3 + y3 + xy với x + y = 1.
+ Giáo viên hướng dẫn học sinh:
- Nhận xét sự liên hệ giữa điều kiện đã cho với biểu thức B; Từ đó đề xuất
hướng biển đổi biểu thức B?
+ Học sinh có thể đưa ra các hướng biến đổi sau:
- Hướng 1: Từ x + y = 1, ta có x = 1 – y; Khi đó B = (1 – y) 3 + y3 + y(1 –
y) = 1 – 3y + 3y2 – y3 + y3 + y – y2 = 2y2 – 2y + 1
- Hướng 2: B = (x + 1)3 – 3xy(x + y) + xy = 1 – 2xy
10


- Hướng 3: B = (x + y)(x 2 – xy + y2) + xy = x2 – xy + y2 + xy = (x + y)2 –
2xy = 1 – 2xy.
* Phương pháp: Để tìm GTLN, GTNN của đa thức nhiều biến bậc cao ta
có thể:
- Từ điều kiện đã cho sử dụng phép thế để giảm số biến;
- Sử dụng các hằng đẳng thức liên quan để hạ bậc của đa thức;
- Sử dụng bất đẳng thức cùng dạng.

f ( x)

II.3.3.3. Tìm GTLN, GTNN của phân thức dạng A = g ( x) , trong đó
g(x) là đa thức bậc 2, f(x) là đa thức có bậc không lớn hơn 2.
1) Ví dụ 1: Tìm GTLN của biểu thức C =

3
4x  4x  5
2

+ Giáo viên hướng dẫn học sinh nhận xét bậc của tử và mẫu; Từ đó học
sinh suy nghĩ đến hướng biến đổi đa thức bậc hai.
Ta có: 4x2 – 4x + 5 = (2x – 1)2 + 4  4; do đó TXĐ của biểu thức C là R.
1
1
3
 , do đó C 
4
4
4x  4x  5
1
Dấu “=” xảy ra khi 2x – 1 = 0, hay x =
2
3
1
Vậy maxC = , ứng với x = .
4
2
x
2) Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức C = ( x  2016) 2 với x > 0.

Do (2x – 1)2 + 4  4 > 0 nên

2

+ Hướng dẫn hộc sinh từ điều kiện x > 0 nghĩ đến tử và mẫu của C cùng
dương, do đó để tìm GTNN của C ta tìm GTLN của

1
.
C

1
x 2  2.2016.x  2016 2
2016 2
=
=x+
+ 2.2016
C
x
x
2016 2
Do x > 0 nên
, do đó áp dụng bất đẳng thức Cô sy ta có:
x
1
1
2016 2
2016 2
 2 x.

 4.2016; C 
x+
= 2.2016 
C
4.2016
x
x
2016 2
Dấu “=” xảy ra khi x =
; Hay x = 2016 (Do x > 0)
x
1
Vậy maxC =
khi x = 2016.
4.2016
x2  x 1
3) Ví dụ 3: Tìm GTLN và GTLN của biểu thức D = 2
.
x  x 1

Ta có

+ Rõ ràng đến đây học sinh sẽ mất phương hướng để giải quyết bài toán;
+ Giáo viên đặt vấn đề: Với mỗi giá trị của x thuộc tập xác đinh ta luôn
tìm được một giá trị tương ứng của D; Nếu tìm được miền giá trị của D ta có thể
tìm được GTLN hoặc GTNN của D.
11


Dễ thấy TXĐ của D là R.

a 2  a 1
Giả sử tại x = a thì giá trị của D bằng k; khi đó ta có: k = 2
, suy ra:
a  a 1

k(a2 + a + 1) = a2 - a + 1; Hay (k – 1)a2 + (k + 1)a + (k – 1) = 0 (1)
Vì theo cách tính giá trị của biểu thức ta có: tại x = a thì giá trị của D bằng
k nên cặp giá trị (a; k) thỏa mãn (1), hay (1) luôn có nghiệm.
Với k = 1, ta có: 2a = 0; hay a = 0; Dễ thấy a = 0 thì D = 1 (2)
Với k  1, ta có (1) được coi là phương trình bậc hai của a; Vì (1) luôn có
nghiệm nên   0; hay (k + 1)2 – 4(k – 1)(k – 1)  0
 (k + 1 – 2k + 2)(k – 1 + 2k - 2)  0  (3 – k)(3k - 1)  0
1
k 3
3
1
1
Nếu k = thì  = 0  a = 1; Dễ thấy a = 1 thì k =
(3)
3
3
Nếu k = 3 thì  = 0  a = -1; Dễ thấy a = -1 thì k = 3 (4)
1
Từ (2), (3), (4) ta có: minD = , ứng với x = 1; maxD = 3, ứng với x = -1.
3


+ Giáo viên lưu ý học sinh: Phương pháp sử dụng ở ví dụ 3 được gọi là
phương pháp miền giá trị của biểu thức; các bước cơ bản như sau:
f ( x)

Giả sử ta phải tìm GTNN (GTLN) của biểu thức A = g ( x)
- Tìm TXĐ của biểu thức;
- Giả sử tại x = a (thuộc TXĐ) thì biểu thức A có giá trị là k; khi đó ta
f (a)

có k = g (a) (1);
- Biến đổi (1) thành phương trình ẩn a với hệ số cao nhất là b;
- Xét hai trường hợp b = 0 và b  0;
- Từ điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai ta tìm được miền
giá trị của biểu thức A.
- Lập luận để tìm GTNN (GTLN).
4) Học sinh luyện tập:
+ Sử dụng phương pháp để giải bài tập ở ví dụ 1, 2.
+ Làm các bài tập theo yêu cầu của giáo viên.
II.3.3.4. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức bằng phương pháp phân
khoảng
1) Ví dụ: Tìm GTNN của biểu thức
M = ( x  2015) 2 + ( x  2016) 2 + (2017  x) 2
+ Học sinh dễ thấy việc biến đổi M về tổng của các giá trị tuyệt đối; Từ
việc xem xét phá dấu giá trị tuyệt đối giáo viên hướng dẫn học sinh phân khoảng
TXĐ của M là R. Khi đó M = x  2015 + x  2016 + x  2017
- Nếu x < 2015 thì x – 2015 < 0; x – 2016 < 0; x – 2017 < 0; Khi đó:
12


M = 2015 – x + 2016 – x + 2017 – x = 6048 – 3x
Do x < 2015 nên –x > -2015  6048 – 3x > 6048 – 6045 = 3
- Nếu 2015  x < 2016 thì x – 2015  0; x – 2016 < 0; x – 2017 < 0; Khi
đó: M = x – 2015 + 2016 – x + 2017 – x = 2018 – x

Do x < 2016 nên –x > -2016  2018 – x > 2018 – 2016 = 2
- Nếu 2016  x < 2017 thì x – 2015 > 0; x – 2016  0; x – 2017 < 0; Khi
đó: M = x – 2015 + x - 2016 + 2017 – x = x – 2014;
Do x  2016 nên M  2
- Nếu x  2017 thì x – 2015 > 0; x – 2016 > 0; x – 2017  0; Khi đó:
M = x – 2015 + x - 2016 + x - 2017 = 3x –6048;
Do x  2017 nên M > 3;
Từ đó với mọi x thuộc TXĐ thì M  2;
Dấu “=” xảy ra khi x = 2016
Vậy minM = 2 khi x = 2016.
II.3.4. Rèn luyện cho học sinh kỹ năng tìm GTNN và GTLN của biểu
thức
+ Giáo viên hướng dẫn cho học sinh tìm hướng giải quyết các bài tập sau:
4x2 + 1
1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A= x2(1- x)

2. Cho hai số dương x, y thay đổi sao cho x+y = 1; Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức P = (1 -

1
1
)
2 )(1 y2
x

3. Cho hai số tự nhiên a và b thoả mãn điều kiện a + b = 2015; Tìm giá trị
lớn nhất của tích ab.
x 2  x 1
4. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A  2
x 1

II.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,
với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
+ Học sinh có sự chuyển biến tiến bộ: Nền nếp học tập tốt hơn; Học sinh có
hứng thú học tập, phần lớn học sinh có sự say mê trong học tập, tích cực suy nghĩ
trước những bài toán khó; Tinh thần và ý thức học tập tiến bộ rõ rệt; Học sinh khi
giải các bài toán về “Tìm GTNN, GTLN của biểu thức” không còn cảm thấy
“sợ”, một bộ phận hộc sinh thể hiện được tính tự tin, linh hoạt và có nhu cầu
nghiên cứu, tìm tòi, mạnh dạn trong việc đề xuất hướng nghiên cứu, đề xuất thêm
nhiều bài toán mới; Một số học sinh đã giải quyết được một số bài toán khó.
+ Hiệu quả của quá trình dạy học được nâng lên: Chất lượng học tập môn
Toán tăng cao; Học sinh có thái độ đúng mực trong học tập các môn học khác;
Chất lượng học của học sinh khá giỏi tiến bộ rõ nét.
Sau khi triển khai và áp dụng đề tài, vốn kiến thức của bản thân cũng
được nâng lên, góp phần bổ sung kinh nghiệm cho việc giảng dạy không chỉ cho
của bản thân mà cho cả nhóm chuyên môn; Đề tài đã được Tổ chuyên môn đưa
13


vào nội dung sinh hoạt chuyên môn; Tập thể giáo viên dạy Toán của trường đã
nghiên cứu và triển khai áp dụng đề tài trong phạm vi trường; Kết quả là:
Phương pháp dạy học nêu trên phù hợp với việc dạy học bám sát đối tượng và
phát hiện học sinh khá giỏi, có khả năng phân loại học sinh để bồi dưỡng học sinh
khá giỏi.
Kết quả kiểm tra học kỳ II năm học 2017-2018 đối với hai lớp 9A, 9B:
Lớp

Tổng số HS

9A

33

0

9B

30

0

0–2

Điểm
3-4
5 -6
1
13
3,0%
39,4%
3
12
10,0% 39,9%

7- 8
12
36,4%
10
33,4%

9 -10
7
21,2%
5
16,7%

So với trước khi áp dụng đề tài thì số lượng học sinh làm được bài tập
tăng lên, tỷ lệ học sinh khá giỏi tăng đáng kể, tỷ lệ học sinh yếu giảm rõ rệt;
Trong năm học 2017-2018 đội tuyển học sinh giỏi lớp 8, lớp 9 do tôi phụ trách
đã đạt 2 giải trong Kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện:
PHẦN III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
III.1. Kết luận
Để “Phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi lớp 8, 9
ở trường THCS Vĩnh Hòa thông qua việc dạy học chủ đề Tìm giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất của biểu thức”, thiết thực nâng cao chất lượng bồi dưỡng học
sinh khá, giỏi lớp 8, 9, góp phần nâng cao chất lượng môn Toán lớp 8, 9, theo
Tôi cần thực hiện đồng bộ các giải pháp sau:
1. Hướng dẫn, củng cố, hệ thống hoá, khắc sâu cho học sinh các kiến thức
cơ bản về Bất đẳng thức; Qua đó hướng dẫn học sinh phương pháp suy nghĩ và
khai thác kiến thức.
2. Làm cho học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản về “Tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức”
3. Hướng dẫn cho học sinh nghiên cứu và tìm phương pháp giải một số
dạng toán về “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức”.
4. Rèn luyện cho học sinh kỹ năng tìm GTNN và GTLN của biểu thức
Muốn vậy giáo viên cần lưu ý một số nội dung như sau:
- Nắm vững nội dung chương trình sách giáo khoa, sách bài tập, yêu cầu
về chuẩn kiến thức, kỹ năng để quán triệt trong bồi dưỡng học sinh khá giỏi.
- Nghiên cứu cụ thể nội dung, cấu trúc của các bài tập trong sách giáo
khoa, sách bài tập để thiết kế dạy học theo hướng mở.

- Coi trọng năng lực tư duy sáng tạo, kỹ năng giải toán theo định hướng
phát triển năng lực của học sinh.
- Lồng ghép nhiều dạng bài tập vào các tiết luyện tập, tự chọn.
14


- Cần xây dựng một hệ thống bài tập đặc trưng nêu được những tính chất
cơ bản của nội dung cần rèn luyện và hệ thống bài tập tự thực hành.
- Việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh phải được thực hiện
thường xuyên, liên tục xuyên suốt quá trình dạy học.
Những kinh nghiệm nêu trên là kết quả của quá trình nghiên cứu, thực
nghiệm và ứng dụng thành công tại trường THCS Vĩnh Hòa; Những kinh
nghiệm ấy đã giải quyết được những khó khăn, tồn tại trong công tác bồi dưỡng
học sinh khá giỏi của Trường trong những năm qua, phù hợp với thực tế của
Trường và địa phương, phù hợp với yêu cầu đổi mới căn bản và toàn diện Giáo
dục và Đào tạo, thể hiện cách làm hợp lý, khoa học và có tính sáng tạo; Những
giải pháp đưa ra trong đề tài dễ phổ biến, dễ ứng dụng, phù hợp với trình độ
chung của giáo viên và cán bộ quản lí, góp phần nâng cao chất lượng và hiệu
quả giáo dục của nhà trường; Vì vậy có thể ứng dụng triển khai thực hiện trong
các trường THCS.
+ Đề tài còn có khả năng phát triển, mở rộng trong những năm tiếp theo.
III.2. Kiến nghị
Đề nghị triển khai và áp dụng đề tài trong bồi dưỡng học sinh khá giỏi lớp
8, 9 ở trường THCS.
Bản thân đã có nhiều cố gắng trong nghiên cứu và áp dụng thành công đề
tài, nhưng chắc chắn vấn đề đưa ra còn có thể có nhiều giải pháp khác. Hy vọng
kinh nghiệm nêu trên sẽ giúp cho các bạn đồng nghiệp có thêm tư liệu trong quá
trình dạy học.
Rất mong các bạn đồng nghiệp trao đổi, góp ý để vấn đề đưa ra ngày càng
hoàn thiện và đạt hiệu quả cao trong hoạt động chuyên môn.

Vĩnh Hòa, ngày 10 tháng 3 năm 2019
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Tôi xin cam đoan đây là SKKN
của mình viết, không sao chép
nội dung của người khác
(Ký và ghi rõ họ tên)

Nguyễn Thị Liễu

15