Kĩ thuật giải nhanh các câu hay và khó về hàm số

ELEPHANT MATH – THẠC SĨ. PHẠM HOÀI TRUNG
ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI TẠI TP. CAO LÃNH GỌI 0972 611 839

TÀI LIỆU TẶNG HỌC SINH

KĨ THUẬT GIẢI NHANH CÁC CÂU KHÓ VỀ HÀM SỐ
PHẦN 1. CỰC TRỊ HÀM SỐ
Một số công thức tính nhanh “ thường gặp “ liên quan cực trị hàm số y  ax 4  bx 2  c

1 cực trị: ab  0

a  0 : 1 cực tiểu

a  0 : 1 cực đại

3 cực trị: ab  0
a  0 : 1 cực đại,

a  0 : 2 cực đại,

2 cực tiểu

1 cực tiểu


b
  
b
 
b4
b

b
A (0; c), B   ;  , C   ;    AB  AC 
 , BC  2 
2




2a 4 a  
2a 4 a 
16a
2a
2a
với   b2  4 ac

 b 

 x  c
và AB, AC : y   
 2 a 
4a
3

Phương trình qua điểm cực trị: BC : y  

3
5
   , luôn có: 8a(1  cos)  b3 (1  cos )  0  cos  b  8a và S 2   b
Gọi BAC
b3  8 a

32a3

Phương trình đường tròn đi qua A , B, C : x 2  y 2  c  n  x  c.n  0, với n 
ngoại tiếp tam giác là R 

b 3  8a
8ab

2 

và bán kính đường tròn
b 4a


ELEPHANT MATH – THẠC SĨ. PHẠM HOÀI TRUNG
ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI TẠI TP. CAO LÃNH GỌI 0972 611 839

TÀI LIỆU TẶNG HỌC SINH
Ví dụ 1 : Tìm tất cả giá trị tham số m để hàm số y  x 4  2(m 2  m  1) x 2  2017 m 9  m 4 có 3 cực trị sao cho
khoảng cách giữa hai cực tiểu bằng
A. m  0, 5

3.

B. m  0, 5

C. m  0, 5 hoặc m  0, 5

D. m  2

Hướng dẫn: Với a  1, b  2(m 2  m  1) .
Hàm số có 3 cực trị là ab  0 , tức là phải có: 1. 2(m 2  m  1)  0  m  
2(m 2  m  1)
b


BC  2 
 3 2 
hay 2 m 2  m  1  3  (2m  1)2  0  m  0, 5  Chọn đáp án
2a
2.1
A.
Ví dụ 2 : Tìm tất cả giá trị tham số m để hàm số y  x 4  2(1  m 2 ) x 2  2017 m 4  2016 có 3 cực trị sao cho
khoảng cách giữa hai cực tiểu nhỏ nhất.
A. m  1

B. m  0

C. m  1 hoặc m  1

D. m  1

Hướng dẫn: Với a  1, b  2(m 2  1) .
Hàm số có 3 cực trị là ab  0 , tức là phải có: 1. 2(m 2  1)  0  m  

BC  2 

2(m 2  1)
b


  2 m 2  1  2  min BC  2 khi m  0
2 
2a
2.1

 Chọn đáp án B.
Ví dụ 3 : Tìm tất cả giá trị tham số m để hàm số y  x 4  2mx 2  2016 m 5  2017 có 3 cực trị sao cho khoảng
cách giữa hai cực tiểu và cực đại bằng
A. m  2

2.

B. m  0 hoặc m  1

C. m  1

D. m  4

Hướng dẫn: Với a  1, b  2 m .
Hàm số có 3 cực trị là ab  0 , tức là phải có: 1.(2 m )  0  m  0

AB  AC 

b4
b
(2 m ) 4 (2 m )



 m 4  m , với AB  AC  2 thì

2
16a
2a
16.12
2.1

m 4  m  2  m 4  m  2  0  (m 1)(m 3  m 2  m  2)  0  m  1

 Chọn đáp án C.


ELEPHANT MATH – THẠC SĨ. PHẠM HOÀI TRUNG
ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI TẠI TP. CAO LÃNH GỌI 0972 611 839

TÀI LIỆU TẶNG HỌC SINH
Ví dụ 4 : Tìm tất cả giá trị tham số m để hàm số y  (2 m  1) x 4  x 2  2017 m 2018  2016 có 3 cực trị tạo thành

  7 .
tam giác ABC thỏa mãn A  Oy và cosBAC
9
A. m  2

B. m  1 hoặc m  1

C. m  4

D. m  1

Hướng dẫn: Với a  2 m  1, b  1 .
Hàm số có 3 cực trị là ab  0 , tức là phải có: (2 m  1).1  0  m  

cos 

1
2

b3  8a
7 13  8.(2 m  1)
  3
 144 m  81  112 m  49  m  1
3
b  8a
9 1  8.(2 m  1)

 Chọn đáp án D.
Ví dụ 5 : Tìm tất cả giá trị tham số m để hàm số y  x 4  2 m 3 x 2  2016 m 2017  2018 m có 3 cực trị tạo thành tam
giác ABC có diện tích bằng s thỏa mãn phương trình (3 s  1) s2  s  2  3 s2  3 s  2
A. m  1

B. m  1 hoặc m  2

C. m  2

D. m  4

Hướng dẫn: Với a  1, b  2 m 3 .
Hàm số có 3 cực trị là ab  0 , tức là phải có: 1.(2m 3 )  0  m  0
(3 s  1) s2  s  2  3 s2  3 s  2  ( s2  s  2  2 s)( s2  s  2  s  1)  0  s  1

S2 

b5
(2 m 3 )5

 1  (m 3 )5  1  m  1  Chọn đáp án A.
3
32.1
32 a

Ví dụ 6 : Tìm tất cả giá trị tham số m để hàm số y  x 4  2(16  m 4 ) x 2  m 2018  m 2017 có 3 cực trị tạo thành tam
giác ABC có diện tích lớn nhất.
A. m  1

B. m  0

C. m  1 hoặc m  1

D. m  1

Hướng dẫn: Với a  1, b  2(16  m 4 ) .
Hàm số có 3 cực trị là ab  0 , tức là phải có: 1. 2(16  m 4 )  0  2  m  2

2(16  m 4 )
b5

  (16  m 4 )5  1024  maxS  1024 khi m  0
S 


32 a3

32
5

 Chọn đáp án B.


ELEPHANT MATH – THẠC SĨ. PHẠM HOÀI TRUNG
ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI TẠI TP. CAO LÃNH GỌI 0972 611 839

TÀI LIỆU TẶNG HỌC SINH
Ví dụ 7 : Tìm tất cả giá trị tham số m để hàm số y  x 4  2m 2 x 2  m 4  1 có 3 cực trị A , B, C sao cho bốn điểm

A, B, C , O cùng nằm trên đường tròn.

A. m  1

B. m  0

C. m  1 hoặc m  1

D. m  1

Hướng dẫn: Với a  1, b  2 m 2 , c  m 4  1 .
Hàm số có 3 cực trị là ab  0 , tức là phải có: 1(2 m 2 )  0  m  0 và   b2  4 ac  4
Phương trình đường tròn đi qua  A, B, C : x 2  y 2  c  n  x  c.n  0, với n  1 

1
m2



1 
O (0;0) thuộc đường tròn: 0 2  0 2  c  n  0  c.n  0  c.n  0 hay (m 4  1) 1  2   0 suy ra m  1  Chọn
 m 

đáp án C.

Một số dạng toán cơ bản về hàm số y  ax 4  bx 2  c ( chứng minh hình học đơn giản )


b
 
b

Giả sử hàm số y  ax 4  bx 2  c có 3 cực trị A (0; c), B   ;  , C   ;   tạo thành tam giác ABC

2 a 4 a  
2a 4 a 

thỏa mãn dữ kiện:

Dữ kiện

Công thức thỏa ab  0

1). Tam giác ABC vuông cân tại A

8a  b3  0

2). Tam giác ABC đều

24 a  b3  0

 
3). Tam giác ABC có góc BAC

8a  b3 . tan 2

4). Tam giác ABC có diện tích S ABC  S 0

32 a3 (S 0 )2  b5  0

5). Tam giác ABC có diện tích max (S 0 )

6). Tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp
rABC  r0

S0  

r0 

b2


0
2

b5
32 a3



b3 

a 1  1  
a 



ELEPHANT MATH – THẠC SĨ. PHẠM HOÀI TRUNG
ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI TẠI TP. CAO LÃNH GỌI 0972 611 839

TÀI LIỆU TẶNG HỌC SINH
7). Tam giác ABC có độ dài cạnh BC  m 0

am 02  2b  0

8). Tam giác ABC có độ dài AB  AC  n0

16a 2 n02  b 4  8 ab  0

9). Tam giác ABC có cực trị B, C  Ox

b2  4 ac  0

10). Tam giác ABC có 3 góc nhọn

b(8a  b3 )  0

11). Tam giác ABC có trọng tâm O

b2  6 ac  0

12). Tam giác ABC có trực tâm O

b3  8a  4 ac  0

13). Tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp
R ABC  R 0

R

14). Tam giác ABC cùng điểm O tạo hình thoi

b2  2 ac  0

b3  8a
8ab

15). Tam giác ABC có O là tâm đường tròn nội tiếp

b3  8a  4 abc  0

16). Tam giác ABC có O là tâm đường tròn ngọai tiếp

b3  8a  8abc  0

17). Tam giác ABC có cạnh BC  kAB  kAC

b3 .k 2  8a (k 2  4)  0

18). Trục hoành chia tam giác ABC thành hai phần có

diện tích bằng nhau

b2  4 2 ac

19). Tam giác ABC có điểm cực trị cách đều trục hoành

b2  8ac  0

Dạng toán 1: Tìm tất cả giá trị tham số thực m để hàm số y  ax 4  bx 2  c có 3 cực trị tạo thành tam giác vuông cân
tại A .

 
b
b2   
b
b2 
Chứng minh: AB    ; , AC    ;   . Từ yêu cầu bài toán, ta có:


2 a 4 a 
2 a 4 a 
4
 
b
b
AB. AC  0 

 0  8a  b 3  0
2a 16 a2

ELEPHANT MATH – THẠC SĨ. PHẠM HOÀI TRUNG
ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI TẠI TP. CAO LÃNH GỌI 0972 611 839

TÀI LIỆU TẶNG HỌC SINH
Ví dụ 1: Tìm tất cả giá trị tham số thực m để hàm số y  x 4  (m  2015) x 2  2017 có 3 cực trị tạo thành tam
giác vuông cân tại A .
A. m  2017

B. m  2014

C. m  2016

D. m  2015

Hướng dẫn: Với a  1, b  m  2015 .
Hàm số có 3 cực trị là ab  0 , tức là phải có: (m  2015)  0  m  2015 .
Tam giác ABC vuông cân tại A khi:
Cách 1: 8a  b3  0  8.(1)  (m  2015)3  0  m  2015  2  m  2017

 Chọn đáp án A.
Cách 2: A  90 0 .
Hướng giải 1: cos 

b3  8a
() ,vì cosA  0 nên ()  8a  b3  0
b3  8 a

Hướng giải 2: 8a  b3 . tan 2


A
 0 () ,vì tan 2  1 nên ()  8a  b3  0
2
2

Ví dụ 2: Tìm tất cả giá trị tham số thực m để hàm số y  x 4  2(m  2016) x 2  2017 m  2016 có 3 cực trị tạo
thành tam giác vuông cân tại A .
A. m  2017

B. m  2017

C. m  2018

D. m  2015

Hướng dẫn: Với a  1, b  2(m  2016) .
Hàm số có 3 cực trị là ab  0 , tức là phải có: 2(m  2016)  0  m  2016
Từ 8a  b3  0  8.1  8(m  2016)3  0  m  2016  1  m  2017  Chọn đáp án A.
Dạng toán 2: Tìm tất cả giá trị tham số m để hàm số y  ax 4  bx 2  c có 3 cực trị tạo thành tam giác đều.

 
b
b2   
b 
Chứng minh: AB    ; , BC  2  ;0 . Từ yêu cầu bài toán, ta có: AB  BC hay


2 a 4 a 
2 a 



b
b4
2b

   b4  24 ab  0  b3  24 a  0
2
2a 16 a
a


ELEPHANT MATH – THẠC SĨ. PHẠM HOÀI TRUNG
ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI TẠI TP. CAO LÃNH GỌI 0972 611 839

TÀI LIỆU TẶNG HỌC SINH
Ví dụ 1: Tìm tất cả giá trị tham số m để hàm số y 

9 4
x  3(m  2017) x 2  2016 có 3 cực trị tạo thành tam giác
8

đều.
A. m  2015

B. m  2016

C. m  2017

D. m  2017

9
Hướng dẫn: Với a  , b  3(m  2017) .
8
Hàm số có 3 cực trị là ab  0 , tức là phải có:

9
.3(m  2017)  0  m  2017
8

Tam giác ABC đều , thì :

9
3
Cách 1: 24 a  b3  0  24    3(m  2017)  0  m  2017  1  m  2016
 8 
 Chọn đáp án B.
Cách 2: A  60 0 .
Hướng giải 1: cos 

b3  8a
1
() ,vì cosA  nên ()  2b3  16 a  b3  8a  b3  24 a  0
2
b3  8 a

Hướng giải 2: 8a  b3 . tan 2



A 1
 0 () ,vì tan 2  nên ()  24 a  b3  0
2
2 3

Ví dụ 2: Nếu đồ thị hàm số y  9 x 4  2(m  2020) x 2  2017 m  2016 có 3 cực trị tạo thành tam giác đều thì giá
trị tham số m thuộc khoảng nào?.
A. (2015;2017)

B. (2016;2018)

C. (2017;2019)

D. (2017;2020)

Hướng dẫn: Với a  9, b  2(m  2020) .
Hàm số có 3 cực trị là ab  0 , tức là phải có: 9.2(m  2020)  0  m  2020
24 a  b3  0  24.9  2(m  2020)  0  m  2020  3  m  2017  Chọn đáp án B.
3

Dạng toán 3: Tìm tất cả giá trị tham số m để hàm số y  ax 4  bx 2  c có 3 cực trị tạo thành tam giác cân tại A thỏa
  .
mãn BAC

 
 
 b
AB. AC
b
b4

b4 
.cos  0
Chứng minh: cos     AB. AC  AB 2 .cos  0 

  
2
2 a 16 a  2 a 16a 2 
AB AC

 8a(1  cos)  b3 (1  cos )  0  cos 

b3  8 a
b3  8a


ELEPHANT MATH – THẠC SĨ. PHẠM HOÀI TRUNG
ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI TẠI TP. CAO LÃNH GỌI 0972 611 839

TÀI LIỆU TẶNG HỌC SINH
Cách khác: Gọi H là trung điểm BC , tam giác AHC vuông tại H có:

tan

 HC
BC




 BC 2  4 AH 2 . tan 2  0  8a  b3 . tan 2  0

2
AH
2 AH
2
2

Ví dụ 1: Tìm tất cả giá trị tham số m để hàm số y  3 x 4  (m  2015) x 2  2016 có 3 cực trị tạo thành tam giác
có một góc 120 0 .
A. m  2017

B. m  2015

C. m  2017

D. m  2016

Hướng dẫn: Với a  3, b  m  2015 .
Hàm số có 3 cực trị là ab  0 , tức là phải có: 3.(m  2015)  0  m  2015
Tam giác ABC có một góc 120 0 , thì phải có:



  120 0  tan BAC  3 nên có 8a  3b3  0
 0 với BAC
2
2
3
 8.(3)  3(m  2015)  0  m  2015  2  m  2017  Chọn đáp án C.

8a  b3 . tan 2

Ví dụ 2: Tìm tất cả giá trị tham số m để hàm số y  3 x 4  2(m  2018) x 2  2017 có 3 cực trị tạo thành tam giác
có một góc 120 0 .
A. m  2018

B. m  2017

C. m  2017

D. m  2018

Hướng dẫn: Với a  3, b  2(m  2018) .
Hàm số có 3 cực trị là ab  0 , tức là phải có: 3.2(m  2018)  0  m  2018
Từ 8a  b3 . tan 2 60 0  0  8.3  8.(m  2018)3 .3  0  m  2018  1  m  2017

 Chọn đáp án C.
Dạng toán 4: Tìm tất cả giá trị tham số m để hàm số y  ax 4  bx 2  c có 3 cực trị tạo thành tam giác có diện tích bằng

S0 .


   
b2 
Chứng minh: Gọi H là trung điểm của BC thì luôn có: H 0;    AH  0; 

4a 
4 a 

Diện tích S 0 

1
1 b4  2b 
b5
AH . BC  S 02  .
.



 32 a3 (S 0 )2  b5  0


2
4 16a 2  a 
32a3

Ví dụ 1: Tìm tất cả giá trị tham số m để hàm số y  mx 4  2 x 2  m  2 có 3 cực trị tạo thành tam giác có diện
tích bằng 1 .
A. m  2

B. m  2

C. m  1

D. m  1


ELEPHANT MATH – THẠC SĨ. PHẠM HOÀI TRUNG
ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI TẠI TP. CAO LÃNH GỌI 0972 611 839

TÀI LIỆU TẶNG HỌC SINH

Hướng dẫn: Với a  m , b  2 .
Hàm số có 3 cực trị là ab  0 , tức là phải có: m.2  0  m  0
Tam giác ABC có diện tích bằng 1 , thì :

32 a3 (S 0 )2  b5  0  32.m 3 .1  2 5  0  m 3  1  0  m  1  Chọn đáp án D.
Ví dụ 2: Tìm tất cả giá trị tham số m để hàm số y  mx 4  4 x 2  2017 m  2016 có 3 cực trị tạo thành tam giác có
diện tích bằng 4 2 .
A. m  2

B. m  4

C. m  1

D. m  1

Hướng dẫn: Với a  m , b  4 .
Hàm số có 3 cực trị là ab  0 , tức là phải có: m.4  0  m  0

32 a3 (S 0 )2  b5  0  32.m 3 (4 2 )2  4 5  0  m 3  1  0  m  1  Chọn đáp án D.
Dạng toán 5: Tìm tất cả giá trị tham số m để hàm số y  ax 4  bx 2  c có 3 cực trị tạo thành tam giác có diện tích lớn
nhất.
Chứng minh: maxS 0  maxS 02  

b5
32 a3

Ví dụ : Tìm tất cả giá trị tham số m để hàm số y  x 4  2(1  m 2 ) x 2  2  2017 m  2016 có 3 cực trị tạo thành
tam giác có diện tích lớn nhất.
A. m  0

B. m  1

C. m  0, 5

D. m  0, 5

Hướng dẫn: Với a  1, b  2(1  m 2 ) .
Hàm số có 3 cực trị là ab  0 , tức là phải có: 1. 2(1  m 2 )  0  1  m 2  0  1  m  1

S0  

b5
nên S 0  (1  m 2 )5  1  m  0  Chọn đáp án A.
32 a3

Dạng toán 6: Tìm tất cả giá trị tham số m để hàm số y  ax 4  bx 2  c có 3 cực trị tạo thành tam giác có 3 góc nhọn.
 
 
AB. AC
b
b4
0

Chứng minh: BAC  90     0  AB. AC  0 

 0  b(b3  8a)  0
2
2
a
16

a
AB AC
Ví dụ : Tìm tất cả giá trị tham số m để hàm số y  x 4  (m 2  6) x 2  2017m 3  2016 m  2 có 3 cực trị tạo
thành tam giác có 3 góc nhọn.
A. m  2

B. 2  m  2

C. m  2

D.  6  m  6


ELEPHANT MATH – THẠC SĨ. PHẠM HOÀI TRUNG
ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI TẠI TP. CAO LÃNH GỌI 0972 611 839

TÀI LIỆU TẶNG HỌC SINH
Hướng dẫn: Với a  1, b  (m 2  6) .
Hàm số có 3 cực trị là ab  0 , tức là phải có: 1 (m 2  6)  0   6  m  6





3
b(8a  b3 )  0  (m 2  6) 8.(1)  (m 2  6)  0  (m 2  6) 8  (m 2  6)3   0

 8  (m 2  6)3  0  2  m  2  Chọn đáp án B.
Dạng toán 7: Tìm tất cả giá trị tham số m để hàm số y  ax 4  bx 2  c có 3 cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường
tròn nội tiếp r0 .

Chứng minh:

S 0  p.r0  r0 

S0
2S 0


p
AB  BC  CA

2. 
2 

b5
32a3

b
b4
b

2 
2 a 16 a 2
2a

 r0 

b2



b3 

a 1  1  

a 

Ví dụ 1: Tìm tất cả giá trị tham số m để hàm số y  x 4  mx 2  2017 m 8  2015m 4  2016 có 3 cực trị tạo thành
tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1 .
A. m  2

B. m  0

C. m  2

D. m  1

Hướng dẫn: Với a  1, b  m .
Hàm số có 3 cực trị là ab  0 , tức là phải có: 1(m )  0  m  0
Tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1 , thì phải có:

r0 

b2


b3 

a 1  1  

a 





(m ) 2

1 1  1  (m )3



 1  m 2  1 1 m3  m  2

 Chọn đáp án C.
Ví dụ 2: Tìm tất cả giá trị tham số m để hàm số y  x 4  2(m  5) x 2  2016 m 3  2017 có 3 cực trị tạo thành tam
giác có bán kính nội tiếp bằng 1 .
A. m  7

B. m  4

C. m  7

D. m  7 hoặc m  4

Hướng dẫn: Với a  1, b  2(m  5)
Hàm số có 3 cực trị là ab  0 , tức là phải có: 1.2(m  5)  0  m  5


ELEPHANT MATH – THẠC SĨ. PHẠM HOÀI TRUNG
ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI TẠI TP. CAO LÃNH GỌI 0972 611 839

TÀI LIỆU TẶNG HỌC SINH
b2

r0 


b3 

a 1  1  

a 



m  5  2
1 
 m  7
m  5  1
1.(1  1  8(m  5)

4(m  5) 2

3

 Chọn đáp án C.
Dạng toán 8: Tìm tất cả giá trị tham số m để hàm số y  ax 4  bx 2  c có 3 cực trị tạo thành tam giác nội tiếp trong
đường tròn có bán kính R0

Chứng minh: Gọi H là trung điểm của BC , khi đó

1
AB.BC.CA
AH . BC 
 2 R 02 . AH 2  AB 4
2
4 R0

 b
b4
b4 
b3  8 a
  R0 
  
2
2
 2a 16a 
16 a
8ab
2

2 R 02 .

Ví dụ 1: Tìm tất cả giá trị tham số m để hàm số y  mx 4  x 2  27 m 2016  2017 có 3 cực trị tạo thành tam giác
nội tiếp trong đường tròn có bán kính R 
A. m  2

9
8

B. m  1 hoặc m  2

C. m  1

D. m  1

Hướng dẫn: Với a  m , b  1 .
Hàm số có 3 cực trị là ab  0 , tức là phải có: m.1  0  m  0
Tam giác ABC trong đường tròn có bán kính R 

R0 

9
, thì phải có:
8

b3  8 a
13  8.m
9

  1  8m  9 m  m  1  Chọn đáp án D.
8ab
8.m.1
8

Ví dụ 2: Tìm tất cả giá trị tham số m để hàm số y  mx 4  2 x 2  2017 m 3  2016 có 3 cực trị tạo thành tam giác
có bán kính ngoại tiếp bằng 1 .
A. m  2

B. m  1 hoặc m  2

C. m  1

D. m  1

Hướng dẫn: Với a  m, b  2 .
Hàm số có 3 cực trị là ab  0 , tức là phải có: m (2)  0  m  0

R0 

b3  8a
(2)3  8.m

 1  1  m  2 m  m  1  Chọn đáp án D.
8ab
8m.(2)

Dạng toán 9: Tìm tất cả giá trị tham số m để hàm số y  ax 4  bx 2  c có 3 cực trị cực trị mà trong đó có BC  m 0


ELEPHANT MATH – THẠC SĨ. PHẠM HOÀI TRUNG
ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI TẠI TP. CAO LÃNH GỌI 0972 611 839

TÀI LIỆU TẶNG HỌC SINH

Chứng minh: 2 

b
 m 0  am 02  2b  0
2a

Ví dụ : Tìm tất cả giá trị tham số m để hàm số y  m 2 x 4  mx 2  2016 m  1026 có 3 cực trị mà trong đó có
BC  2

A. m  1

B. m  1 hoặc m  2

C. m  0

D. m  2

Hướng dẫn:Với a  m 2 , b  m .
Hàm số có 3 cực trị là ab  0 , tức là phải có: m 2 (m )  0  m  0

am 02  2b  0  m 2 ( 2 )2  2(m )  0  m (m 1)  0  m  1  Chọn đáp án A.
Dạng toán 10: Tìm tất cả giá trị tham số m để hàm số y  ax 4  bx 2  c có 3 cực trị mà trong đó có AB  AC  n0
Chứng minh:



b
b4

 n0  16 a 2 n02  b4  8ab  0
2a 16 a2

Ví dụ : Tìm tất cả giá trị tham số m để hàm số y  mx 4  mx 2  2016 m 2017  2018m  1 có 3 cực trị mà trong đó
có AC  0,75
A. m  1

B. m  1 hoặc m  1

C. m  1

D. m  0

Hướng dẫn:Với a  m , b  m .
Hàm số có 3 cực trị là ab  0 , tức là phải có: m (m )  0  m  0

16a 2 n02  b 4  8ab  0  16.m 2 (0, 75)2  (m ) 4  8.m.(m )  0  m 2 (1  m 2 )  0  m  1

 Chọn đáp án B.
Dạng toán 11: Tìm tất cả giá trị tham số m để hàm số y  ax 4  bx 2  c có 3 cực trị tạo thành tam giác có B, C  Ox
Chứng minh: B, C  Ox  y B  yC  0  


 0    0  b2  4 ac  0
4a

Ví dụ : Tìm tất cả giá trị tham số m để hàm số y  1008 x 4  mx 2  1008 có 3 cực trị tạo thành tam giác có
B, C  Ox
A. m  1008

B. m  1008 hoặc m  6

C. m  2016

D. m  0

Hướng dẫn:Với a  1008, b  m , c  1008 .
Hàm số có 3 cực trị là ab  0 , tức là phải có: 1008.(m )  0  m  0

b2  4 ac  0  (m )2  4.1008.1008  0  m 2  (2016) 2  m  2016  Chọn đáp án C.


ELEPHANT MATH – THẠC SĨ. PHẠM HOÀI TRUNG
ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI TẠI TP. CAO LÃNH GỌI 0972 611 839

TÀI LIỆU TẶNG HỌC SINH
Dạng toán 12: Tìm tất cả giá trị tham số m để hàm số y  ax 4  bx 2  c có 3 cực trị tạo thành tam giác nhận gốc tọa độ

O làm trọng tâm.

Chứng minh: Từ bài toán, luôn có:

 

0    b    b  3.0

 
2a 
2a
b2
 
   3c  0  b2  6ac  0
  b2 
2a
 2
c     c   b   c  3.0



  4 a 
 4a 

Ví dụ : Tìm tất cả giá trị tham số m để hàm số y  x 4  mx 2  336 m có 3 cực trị tạo thành tam giác nhận gốc tọa
độ O làm trọng tâm.
A. m  0

B. m  20 hoặc m  16

C. m  336

D. m  2016

Hướng dẫn:Với a  1, b  m , c  336m .
Hàm số có 3 cực trị là ab  0 , tức là phải có: 1.m  0  m  0

b2  6 ac  0  m 2  6.1.(336 m )  0  m (m  2016)  0  m  2016  Chọn đáp án D.
Dạng toán 13: Tìm tất cả giá trị tham số m để hàm số y  ax 4  bx 2  c có 3 cực trị thành tam giác có trực tâm O .
Chứng minh:

 
b
b4
b2 c
OB. AC  0 


 0  b4  8ab  4 b2 c  0  b3  8a  4 ac  0

2
2 a 16 a
4a
Ví dụ : Tìm tất cả giá trị tham số m để hàm số y  x 4  mx 2  504 m  2 có 3 cực trị tạo thành tam giác nhận
gốc tọa độ O làm trực tâm.
A. m  12 14

B. m  12 hoặc m  14

C. m  14

D. m  504

Hướng dẫn:Với a  1, b  m , c  504 m  2 .
Hàm số có 3 cực trị là ab  0 , tức là phải có: 1.m  0  m  0

b3  8a  4 ac  0  m 3  8.1  4.1.(504 m  2)  0  m (m 2  2016)  0  m  12 14
 Chọn đáp án A.
Dạng toán 14: Tìm tất cả giá trị tham số m để hàm số y  ax 4  bx 2  c có 3 cực trị cùng gốc tọa độ O lập thành hình
thoi.


ELEPHANT MATH – THẠC SĨ. PHẠM HOÀI TRUNG
ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI TẠI TP. CAO LÃNH GỌI 0972 611 839

TÀI LIỆU TẶNG HỌC SINH
 
b
b2   
b

 
Chứng minh: AB    ; , OC    ;   . Theo bài toán, ta có: AB  OC hay


2 a 4 a 
2 a 4 a 



b
b4
b
b4
2b2 c

 

 c2  2ac 2  b2 c  0  b2  2ac  0
2
2
2a 16 a
2 a 16a
4a

Ví dụ : Tìm tất cả giá trị tham số m để hàm số y  2 x 4  mx 2  4 có 3 cực trị cùng gốc tọa độ O lập thành hình
thoi.

A. m  4

B. m  4

C. m  0

D. m  16

Hướng dẫn:Với a  2, b  m, c  4 .
Hàm số có 3 cực trị là ab  0 , tức là phải có: 2.m  0  m  0
b2  2ac  0  m 2  2.2.4  0  m 2  16  m  4  Chọn đáp án B.

Dạng toán 15: Tìm tất cả giá trị tham số m để hàm số y  ax 4  bx 2  c có 3 cực trị lập tam giác có O là tâm đường
tròn nội tiếp.

 
b
b4
b2 c
Chứng minh: AB.OB  0   

 0  b3  8a  4 abc  0
2
2 a 16a
4a
Ví dụ : Tìm tất cả giá trị tham số m để hàm số y  mx 4  2 x 2  2 có 3 cực trị lập tam giác có O là tâm đường
tròn nội tiếp.
A. m  2

B. m  2

C. m  1

D. m  1

Hướng dẫn: Với a  m, b  2, c  2 .
Hàm số có 3 cực trị là ab  0 , tức là phải có: m.2  0  m  0

b3  8a  4 abc  0  2 3  8.m  4.m.2.(2)  0  8  8m  0  m  1  Chọn đáp án C.
Dạng toán 16: Tìm tất cả giá trị tham số m để hàm số y  ax 4  bx 2  c có 3 cực trị lập tam giác có O là tâm đường
tròn ngoại tiếp.
Chứng minh:

OA  OB  c 2  

b
b4
2b 2 c


 c 2  b4  8ab2 c  8ab  0  b3  8a  8abc  0
2 a 16 a2
4a

Ví dụ : Tìm tất cả giá trị tham số m để hàm số y  mx 4  x 2  2 m 1 có 3 cực trị lập tam giác có O là tâm
đường tròn ngoại tiếp.
A. m  4

B. m  4

Hướng dẫn: Với a  m, b  1, c  2 m  1 .

C. m  0, 25

D. m  0, 25


ELEPHANT MATH – THẠC SĨ. PHẠM HOÀI TRUNG
ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI TẠI TP. CAO LÃNH GỌI 0972 611 839

TÀI LIỆU TẶNG HỌC SINH
Hàm số có 3 cực trị là ab  0 , tức là phải có: m.1  0  m  0

b3  8a  8abc  0  13  8.(m )  8.(m ).1.(2 m  1)  0  1  16 m 2  0  m  0, 25

 Chọn đáp án D.
Dạng toán 17: Tìm tất cả giá trị tham số m để hàm số y  ax 4  bx 2  c có 3 cực trị lập tam giác có cạnh đáy bằng k lần
cạnh bên.

Chứng minh: BC  kAB  2 

b
b
b4
k  
 b3 .k 2  8a(k 2  4)  0
2a
2 a 16a 2

Ví dụ : Tìm tất cả giá trị tham số m để hàm số y  x 4  2 mx 2  2017 m  2016 có 3 cực trị lập tam giác thỏa mãn
điều kiện 2 AB  3 BC.
A. m  2

B. m  2

Hướng dẫn: Với a  1, b  2 m, k 

C. m  4

D. m  4

2
.
3

Hàm số có 3 cực trị là ab  0 , tức là phải có: 1.(2 m )  0  m  0

 2 2

 2 2
b3 .k 2  8a(k 2  4)  0  (2 m )3    8.1.    4   0  m 3  8  m  2
 3 
 3 


 Chọn đáp án A.
Dạng toán 18: Tìm tất cả giá trị tham số m để hàm số y  ax 4  bx 2  c có 3 cực trị sao cho trục hoành chia tam giác

ABC có diện tích bằng nhau.

Chứng minh: Gọi M , N là giao điểm đồ thị với trục hoành, khi đó AOM  AHB , H là trung điểm

BC 

S AMN  OA 
1
2

   AH  2OA  b  4 2 ac

S ABC  AH 
2
2

Ví dụ : Tìm tất cả giá trị tham số m để hàm số y  mx 4  4 2 x 2  1 có 3 cực trị sao cho trục hoành chia tam giác

ABC có diện tích bằng nhau.

A. m  0, 25

B. m  0, 25

C. m  0, 25 hoặc m  0, 25

D. m  4

Hướng dẫn: Với a  m, b  4 2, c  1 .
Hàm số có 3 cực trị là ab  0 , tức là phải có: m. 4 2  0  m  0

b2  4 2 ac  ( 4 2 )2  4 2 m.1  4 m  1  m  0, 25  Chọn đáp án B.
Dạng toán 19: Tìm tất cả giá trị tham số m để hàm số y  ax 4  bx 2  c có 3 cực trị cách đều trục hoành.

ELEPHANT MATH – THẠC SĨ. PHẠM HOÀI TRUNG
ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI TẠI TP. CAO LÃNH GỌI 0972 611 839

TÀI LIỆU TẶNG HỌC SINH
Chứng minh: d ( A , Ox )  d ( B ;Ox )  y A  y B  4 ac  b2  4 ac  b2  8ac  0
Ví dụ : Tìm tất cả giá trị tham số m để hàm số y  x 4  mx 2  252 m có 3 cực trị cách đều trục hoành.
A. m  252

B. m  2016

C. m  2016

D. m  0 hoặc m  2016

Hướng dẫn: Với a  1, b  m , c  252 m .
Hàm số có 3 cực trị là ab  0 , tức là phải có: 1.m  0  m  0

b2  8ac  0  m 2  8.1.252 m  0  m (m  2016)  0  m  2016  Chọn đáp án C.

PHẦN 2. TIỆM CẬN
Một số công thức tính nhanh “ thường gặp “ liên quan đồ thị hàm số y 
Gọi M ( x 0 ; y 0 ) là điểm thuộc đồ thị hàm số y 
Đồ thị hàm số y 

ax  b
cx  d


ax  b 
ax  b


, nên M  x 0 ; y 0  0

cx  d
cx 0  d 

ax  b
d
a
có tiệm cận đứng: 1 : x   0, tiệm cận ngang 2 : y   0
cx  d
c
c

Khoảng cách từ M đến 1 , 2 là: d1  x 0 
Ta có kết quả sau: d1 .d2 

cx 0  d
ad  bc
ad  bc
.
 p , với p 
thì p  const
c
c(cx 0  d )
c2

d1  d2  2 p  min d  2 p , xảy ra khi
Ví dụ 1: Tìm trên đồ thị hàm số y 
cận.

A. x 0  5 hoặc x 0  3

cx  d
d
a
ad  bc
 0
, d2  y0  
c
c
c
c(cx 0  d )

cx 0  d
ad  bc

 (cx 0  d )2  ad  bc
c
c(cx 0  d )

x 5
những điểm M có hoành độ x 0 sao cho M cách đều hai đường tiệm
x 1

B. x 0  5

C. x 0  3

D. x 0  3 hoặc x 0  5

Hướng dẫn: d1  d2  (cx 0  d )2  ad  bc  ( x 0  1) 2  4  x 0  5 hoặc x 0  3


ELEPHANT MATH – THẠC SĨ. PHẠM HOÀI TRUNG
ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI TẠI TP. CAO LÃNH GỌI 0972 611 839

TÀI LIỆU TẶNG HỌC SINH
 Chọn đáp án A.
Ví dụ 2: Biết rằng M là điểm thuộc đồ thị hàm số y 
tiệm cận bằng:
A. 1

C. 5

B. 4

Hướng dẫn: p 

5x 1
có tích khoảng cách từ điểm M đến hai đường
x 1
D. 3

ad  bc
5.1 1.1

 4  Chọn đáp án B.
c2
12

Ví dụ 3: Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách từ điểm M đến hai
x m
đường tiệm cận của hàm số y 
bằng 2 ?.
x 1
A. m  0

B. m  2

C. m  2 hoặc m  0

D. m  1

ad  bc
 p  1  m , min d  2 p và min d  2  p  1 hay 1  m  1  m  2 hoặc
c2
m  0  Chọn đáp án C.

Hướng dẫn: p 

Một số dạng toán cơ bản về liên quan tiệm cận đồ thị hàm số y 
Dạng toán 1: Tìm trên đồ thị hàm số y 
lần khoảng cách từ M đến 2 .
Chứng minh: d1  kd2 

ax  b
cx  d

ax  b
những điểm M sao cho khoảng cách từ điểm M đến 1 bằng k  0

cx  d

cx 0  d
ad  bc
d
k
 x 0    kp
c
c(cx 0  d )
c

2 x 1
những điểm M có hoành độ x 0 sao cho khoảng cách từ điểm M đến
2 x 1
tiệm cận đứng bằng 4 lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang.
Ví dụ: Tìm trên đồ thị hàm số y 

A. x 0  

5
3
hoặc x 0 
2
2

B. x 0 

5
2

C. x 0  

3
2

3
5
D. x 0   hoặc x 0 
2
2

3
d
1
5
p 1
Hướng dẫn: d1  kd2  x 0    kp 
 x 0    2  x 0   hoặc x 0 
k 4
2
c
2
2

 Chọn đáp án A.


ELEPHANT MATH – THẠC SĨ. PHẠM HOÀI TRUNG
ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI TẠI TP. CAO LÃNH GỌI 0972 611 839

TÀI LIỆU TẶNG HỌC SINH
Dạng toán 2: Tìm trên đồ thị hàm số y 
biết I là giao điểm hai đường tiệm cận.

ax  b
những điểm M sao cho khoảng cách từ điểm M đến I là ngắn nhất,
cx  d

 ax  b   d a 
d
, I  ;   min IM  2 p khi x 0    p
Chứng minh: M  x 0 ; 0
 cx 0  d   c c 
c

3x 1
những điểm M có hoành độ x 0 sao cho khoảng cách từ điểm M đến
x 5
điểm I là ngắn nhất, biết I là giao điểm hai đường tiệm cận.
Ví dụ: Tìm trên đồ thị hàm số y 

A. x 0  1 hoặc x 0  9

B. x 0  1

C. x 0  9

D. x 0  9 hoặc x 0  1

d

Hướng dẫn: min IM  2 p , p  16 khi x 0    p  x 0  5  4  x 0  9 hoặc x 0  1
c
 Chọn đáp án A.

ax  b
những điểm M sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M vuông góc
cx  d
với đường thẳng IM , I là giao điểm hai đường tiệm cận.
Dạng toán 3: Tìm trên đồ thị hàm số y 

Chứng minh: Hệ số góc đường thẳng IM là k 

y '( x 0 ) 

ad  bc
(cx 0  d )2

y0  y I
ad  bc

; tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M có hệ số góc:
x0  xI
(cx 0  d )2

Theo bài toán, ta phải có: y '( x 0 ).k  1  (cx 0  d )2  ad  bc

x 3
những điểm M có hoành độ x 0 sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại
x 1
M vuông góc với đường thẳng IM , I là giao điểm hai đường tiệm cận.

Ví dụ: Tìm trên đồ thị hàm số y 

A. x 0  3 hoặc x 0  5

B. x 0  5

C. x 0  3

D. x 0  5 hoặc x 0  3

Hướng dẫn: (cx 0  d ) 2  ad  bc  ( x 0 1)2  4  x 0  5 hoặc x 0  3

 Chọn đáp án A.

ax  b
; tiếp tuyến (t ) của đồ thị hàm số tại M cắt hai đường
cx  d
tiệm cận tại hai điểm phân biệt A, B và diện tích AIB luôn là hằng số không đổi, I là giao điểm hai đường tiệm cận.
Dạng toán 4: Biết rằng M là điểm thuộc đồ thị hàm số y 

Chứng minh: (t ) : y  y0  y '( x 0 )( x  x 0 )


ELEPHANT MATH – THẠC SĨ. PHẠM HOÀI TRUNG
ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI TẠI TP. CAO LÃNH GỌI 0972 611 839

TÀI LIỆU TẶNG HỌC SINH
 d 2bc  ad  acx 0 
2(ad  bc)

  IA  
(t )  1  A  ;

 c
c(cx 0  d ) 
c(cx 0  d )

 d  2acx 0 a 
2(cx 0  d )
(t )  2  B 
;   IB 
, M luôn luôn là trung điểm AB

c
c
c
1
IA. IB. AB
AIB vuông tại I nên: S AIB  . IA. IB  2 p và S AIB 
2
4R

R là bán kính đường tròn ngoại tiếp AIB nên minR  8 p ;min AB 2  8

ad  bc
c

x 1
; tiếp tuyến (t ) của đồ thị hàm số tại M cắt hai
x 2

đường tiệm cận tại hai điểm phân biệt A, B . Khi đó diện tích tam giác AIB bằng bao nhiêu, biết I là giao điểm
hai đường tiệm cận?.
Ví dụ 1: Biết rằng M là điểm thuộc đồ thị hàm số y 

A. 0, 5

B. 4

Hướng dẫn: S AIB  2 p, p 

ad  bc
1.(2) 1.(1)

 1  S AIB  2  Chọn đáp án D.
c2
12

C. 1

D. 2

x 8
, I là giao điểm hai đường tiệm cận và d1 , d2 lần lượt
x 1
là khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng, tiệm cận ngang.
Ví dụ 2: Biết rằng M là điểm thuộc đồ thị hàm số y 

Có các phát biểu sau:
(1). Khoảng cách IM ngắn nhất khi M có hoành độ x 0  4 hoặc x 0  2
(2). d1  4 d2 khi M có hoành độ x 0  7 hoặc x 0  5

(3). Tích d1 .d2 bằng 6 và tổng d1  d2 ngắn nhất bằng 9
(4). Tiếp tuyến (t ) của đồ thị hàm số cắt hai đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A và B thì
diện tích tam giác AIB khi đó bằng 18 và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AIB nhỏ nhất bằng 24
Số phát biểu đúng là:
A. 1

B. 2

C. 3

d
Hướng dẫn: min IM  2 p khi x 0    p  1  3  (1) đúng.
c
d
p 9
d1  kd2  x 0    kp 
 x 0  1  6  (2) đúng.
k 4
c

D. 4


ELEPHANT MATH – THẠC SĨ. PHẠM HOÀI TRUNG
ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI TẠI TP. CAO LÃNH GỌI 0972 611 839

TÀI LIỆU TẶNG HỌC SINH
d1 .d2  p  9, d1  d2  2 p  6  (3) sai.

1
S AIB  . IA. IB  2 p  18; minR  8 p  24  (4) đúng.  Chọn đáp án C.
2

PHẦN 3. TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ
Một số công thức tính nhanh “ thường gặp “ liên quan đến cấp số
 Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y  ax 3  bx 2  cx  d cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ
lập cấp số cộng.
Điều kiện cần:
Giả sử x1 , x 2 , x 3 là nghiệm của phương trình ax 3  bx 2  cx  d  0
Khi đó: ax 3  bx 2  cx  d  a( x  x1 )( x  x 2 )( x  x 3 ) , đồng nhất hệ số ta được x 2  
Thế x 2  

b
3a

b
vào phương trình ax 3  bx 2  cx  d  0 ta được điều kiện ràng buộc về tham số hoặc giá trị của tham số.
3a

Điều kiện đủ:
Thử các điều kiện ràng buộc về tham số hoặc giá trị của tham số để phương trình ax 3  bx 2  cx  d  0 có 3 nghiệm
phân biệt.
 Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y  ax 3  bx 2  cx  d cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ
lập cấp số nhân.

Điều kiện cần:
Giả sử x1 , x 2 , x 3 là nghiệm của phương trình ax 3  bx 2  cx  d  0
Khi đó: ax 3  bx 2  cx  d  a( x  x1 )( x  x 2 )( x  x 3 ) , đồng nhất hệ số ta được x 2  3 
Thế x 2  3 

d
a

d
vào phương trình ax 3  bx 2  cx  d  0 ta được điều kiện ràng buộc về tham số hoặc giá trị của tham số.
a

Điều kiện đủ:
Thử các điều kiện ràng buộc về tham số hoặc giá trị của tham số để phương trình ax 3  bx 2  cx  d  0 có 3 nghiệm
phân biệt.


ELEPHANT MATH – THẠC SĨ. PHẠM HOÀI TRUNG
ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI TẠI TP. CAO LÃNH GỌI 0972 611 839

TÀI LIỆU TẶNG HỌC SINH
 Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y  ax 4  bx 2  c cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập
cấp số cộng.

Ta có: ax 4  bx 2  c  0 (1) , đặt t  x 2  0 , thì có : at 2  bt  c  0 (2)

  0



Để (1) có 4 nghiệm phân biệt thì (2) có hai nghiệm phân biệt dương, tức là: 
t1  t 2  0





t1 .t 2  0
Khi đó (1) có 4 nghiệm phân biệt lần lượt là  t 2 ;  t1 ; t1 ; t 2 lập cấp số cộng khi và chỉ khi:

t 2  t1  t1  ( t1 )  t 2  3 t1  t 2  9 t1 . Theo định lý Vi – et t1  t 2  
hợp t1 .t 2 

b
b
9b
suy ra t1  
; t2  
, kết
a
10 a
10 a

c
nên có: 9 ab2  100 a 2 c
a

Tóm lại: Hàm số y  ax 4  bx 2  c cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập cấp số cộng, thì điều kiện cần và

b2  4 ac  0

 b
  0
 a
đủ là: 

 c
  0
 a
9 ab2  100a 2 c


Ví dụ 1: Tìm công sai d để đồ thị của hàm số y  x 3  3mx 2  2mx  4 m  16 cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
có hoành độ lập cấp số cộng.
A. d  2 2

C. d  2

B. d  2 2

Hướng dẫn: a  1, b  3m  x 2  

D. d   2

b
m
3a

x 2  m thì có: m 3  3m.m 2  2m.m  4 m  16  0  m 3  m 2  2 m  8  0  (m  2)(m 2  m  4)  0  m  2
Với m  2 thì x 3  6 x 2  4 x  8  0  ( x  2)( x 2  4 x  4)  0  x  2, x  2  2 2



Vậy, x  2  2 2;2;2  2 2

 lập cấp số cộng có công sai d  2

2  Chọn đáp án A.

Ví dụ 2: Tìm tất cả giá trị thực m để đồ thị của hàm số y  x 3  (3m  1) x 2  (5m  4) x  8 cắt trục hoành tại 3
điểm phân biệt có hoành độ lập cấp số nhân.
A. m  2

B. m  2

C. m  1

D. không có m


ELEPHANT MATH – THẠC SĨ. PHẠM HOÀI TRUNG
ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI TẠI TP. CAO LÃNH GỌI 0972 611 839

TÀI LIỆU TẶNG HỌC SINH

Hướng dẫn: a  1, d  8  x 2  3 

d
2
a

x 2  2 thì có: 2 3  (3m  1)2 2  (5m  4)2  8  0  m  2
Với m  2 thì x 3  7 x 2  14 x  8  0  ( x  2)( x 2  5 x  4)  0  x  2, x  1, x  4
Vậy, x  1;2; 4  lập cấp số nhân  Chọn đáp án B.
Ví dụ 3: Tìm tất cả giá trị thực m để đồ thị của hàm số y  x 4  2(m  2) x 2  2 m  3 cắt trục hoành tại 4 điểm
phân biệt có hoành độ lập cấp số nhân.

A. m  13

B. m  9

C. m  3

D. m  1

Hướng dẫn: a  1; b  2(m  2); c  2 m  3

 2(m  2) 2  4(1)(2 m  3)  0
b2  4 ac  0




3





  m  1
b
2(m  2)




m  3


2
 0
0





 a
1



 m  3


13


2m  3

m  
c




0
0




13
9

 1

m  
a






9


2
2
2


2


9 ab  100 a c 9.(1) 2(m  2)   100.(1) (2 m  3)

 Chọn đáp án C.

Một số công thức tính nhanh “ thường gặp “ liên quan đến tương giao giữa đường thẳng y  kx  p và đồ thị
hàm số y 

ax  b
cx  d

Giả sử d : y  kx  p cắt đồ thị hàm số y 

ax  b
tại 2 điểm phân biệt M , N .
cx  d

ax  b
cho ta phương trình có dạng: Ax 2  Bx  C  0 thỏa điều kiện cx  d  0 , có   B 2  4 AC . Khi
cx  d


đó: 1). M ( x1 ; kx1  p), N ( x 2 ; kx 2  p)  MN  ( x 2  x1 ; k ( x 2  x1 ))  MN  (k 2  1) 2
A
Với kx  m 

Chú ý: khi min MN thì tồn tại min , k  const

2). OM 2  ON 2  (k 2  1)( x12  x 22 )  ( x1  x 2 )2 kp  2 p 2
 
3). OM .ON  ( x1 . x 2 )(1  k 2 )  ( x1  x 2 ) kp  p2
4). OM  ON  ( x1  x 2 )(1  k 2 )  2 kp  0


ELEPHANT MATH – THẠC SĨ. PHẠM HOÀI TRUNG

ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI TẠI TP. CAO LÃNH GỌI 0972 611 839

TÀI LIỆU TẶNG HỌC SINH

Ví dụ 1: Tìm tất cả giá trị thực m để đường thẳng d : y  2 x  m cắt đồ thị của hàm số y 
phân biệt M , N sao cho MN  5 .
A. m  2
Hướng dẫn: 2 x  m 

B. m  2

D. không có m

2x  2
 2 x 2  mx  m  2  0, x  1 có   m 2  8m  16
x 1

Với k  2, A  2 thì MN  (k 2  1)
Ta có:

C. m  1

2x  2
tại 2 điểm
x 1


5 2

(m  8m  16)

A2
4

5 2
(m  8m 16)  5  m 2  8m  20  0  m  2 hoặc m  10 thỏa   0
4

 Chọn đáp án A.
Ví dụ 2: Tìm tất cả giá trị thực m để đường thẳng d : y  x  m cắt đồ thị của hàm số y 
phân biệt M , N sao cho MN ngắn nhất.
A. m  2
Hướng dẫn: x  m 

B. m  0

C. m  1

2 x 1
tại 2 điểm
x 2

D. m  2

2 x 1
 x 2  (m  4) x  2 m  1  0, x  2 có   m 2  12
x 2

Với k  1, A  1 thì MN  (k 2  1)



 2. , MN ngắn nhất khi tồn tại min 
A2

Ta có:   m 2  12  12  min   12 khi m  0, MN  2 6  Chọn đáp án B.
Ví dụ 3: Tìm tất cả giá trị thực m để đường thẳng d : y  mx  m  2 cắt đồ thị của hàm số y 
phân biệt M , N sao cho MN  4
A. m  2

B. m  0

Hướng dẫn: mx  m  2 

D. m  2

2x
 mx 2  2 mx  m  2  0, x  1 có   8m  0  m  0
x 1

Với k  m , A  m thì MN  (m 2  1)
đáp án C.

C. m  1

2x
tại 2 điểm
x 1


8m
1

1
 8 m   và MN  4  m   2 (m 1)2  0  m  1  Chọn
2


m
m
m


ELEPHANT MATH – THẠC SĨ. PHẠM HOÀI TRUNG
ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI TẠI TP. CAO LÃNH GỌI 0972 611 839

TÀI LIỆU TẶNG HỌC SINH
Chú ý: Do m  0 nên m 

1
1
 2  MN  4  min MN  4 khi m   m  1 do m  0
m
m

Ví dụ 4: Tìm tất cả giá trị thực m để đường thẳng d : y  x  m cắt đồ thị của hàm số y 
phân biệt M , N sao cho OMN vuông tại O .
A. m  1

B. m  1

C. m  4

x 2
tại 2 điểm
2x  2

D. m  4

x 2
 2 x 2  (2 m  3) x  2 m  2  0, x  1 có   4 m 2  4 m  25
2x  2
 
OMN vuông tại O khi OM .ON  0  ( x1 . x 2 )(1  k 2 )  ( x1  x 2 ) kp  p 2  0

Hướng dẫn: x  m 

Với k  1, A  2, p  m thì có: (m 1)(1  12 )  (

2m  3
)1.m  m 2  0  m  4
2

 Chọn đáp án D.
Ví dụ 5: Tìm tất cả giá trị thực m để đường thẳng d : y  x  m cắt đồ thị của hàm số y 
phân biệt M , N sao cho OMN cân tại O .
A. m  0, 25
Hướng dẫn: x  m 

B. m  1

C. m  4

x 1
tại 2 điểm
2x

D. m  4

x 1
 2 x 2  (2 m  1) x  1  0, x  0 có   4 m 2  4 m  9
2x

OMN cân tại O nên có OM  ON  ( x1  x 2 )(1  k 2 )  2 kp  0
 2m  1
1
Với k  1; A  2, p  m thì có: 
(1  12 )  2.1.m  0  4 m 1  0  m 
 2 
4

 Chọn đáp án A.
Ví dụ 6: Tìm tất cả giá trị thực m  0 để đường thẳng d : y  2 x  2m cắt đồ thị của hàm số y 

 
5
điểm phân biệt M , N sao cho OM .ON   .
2
A. m  2, 5

B. m  2

Hướng dẫn: 2 x  2 m 

2x  m
1
 2 x 2  2mx  1  0, m  0, x  
mx  1
m

Với k  2, A  2, p  2m

C. m  

D. m  0

2x m
tại 2
mx  1


ELEPHANT MATH – THẠC SĨ. PHẠM HOÀI TRUNG
ĐĂNG KÍ HỌC VÀ LUYỆN THI TẠI TP. CAO LÃNH GỌI 0972 611 839

TÀI LIỆU TẶNG HỌC SINH
 
 1
5
5
OM .ON      (1  2 2 )  (m ).2.(2 m )  (2 m ) 2   , m    Chọn đáp án D.
 2 
2
2