dãy phân số có quy luật

2. CÁC PHÉP TOÁN TRONG TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN
Thực hiện phép tính
a) Dạng toán có quy luật: (Dãy cộng)
Ở chủ đề 01: “TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN” có một số bài toán đưa ra dạng
toán có quy luật và đan xen vào đó là tính tổng của dãy (phần bài tập
tự luyện). Ở chủ đề này, mục đầu tiên xin được đưa ra trong các phép
toán trong tập hợp số tự nhiên là dạng toán có quy luật. Các em học
sinh cùng nghiên cứu các bước giải và ví dụ tính toán sau:
Muốn tính tổng của một dãy số có quy luật cách đều chúng ta thường
hướng dẫn học sinh tính theo các bước như sau:
Bước

1:

So�
so�
ha�
ng 

Bước

Tính

số

số

hạng

có

trong

dãy:

So�
ha�
ngcuo�
i  So�
ha�
ng�
a�
u

1
Khoa�
ngca�
ch2so�
ha�
nglie�
ntie�
p

2:

Tính

tổng

của

dãy:

�So�
ha�
ngcuo�
i  So�
ha�
ng�
a�
u�
To�
ngcu�
ada�
y �
.So�
so�
ha�
ng
�
2
�
�

(quy tắc dân gian : dĩ đầu, cộng vĩ , chiết bán, nhân chi)
Với dãy số tăng dần ta có:
Số hạng cuối = số hạng lớn nhất
Số hạng đầu = số hạng bé nhất.
Ở các bài tập dưới đây, dãy cộng với số tự nhiên đa phần ta gặp đó là
dãy tăng dần.
Ví dụ 1: Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số ? Tính tổng của chúng.

Hướng dẫn giải
Cách 1:
Các số tự nhiên có hai chữ số là 10;11;12;...;99
Số các số này là : 99  10  1  90 số


Ta có : A  10  11  12  ...  99 (1)
A  99  98  ...  11  10 (2)

Cộng (1) với (2) và áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp của phép
cộng ta được:
A  A   10  99    11  98   ...   98  11   99  10 
 109  109  ...  109  109

Nên 2A = 109.90. Do đó A  109.90 : 2  45.109  4905
Cách 2:

Số số hạng của dãy:

 99  10   1  90
1

(khoảng cách 2 số hạng liên tiếp của dãy là 1, số hạng đầu của dãy là
10, số hạng cuối của dãy là 99)
99  10
.90  4905
2
Tổng của dãy:

Ví dụ 2: Tính giá trị của A biết:

A  1  2  3  4  ...........................  2014.

Hướng dẫn giải
Dãy số trên có số số hạng là:
Giá trị của A là:

 2014

 2014  1 . 2014 : 2

– 1 :1  1  2014

(số hạng)

 2029105

Đáp số: 2029105
Ví dụ 3: Cho dãy số: 2; 4; 6; 8; 10; 12; ...............
Tìm số hạng thứ 2014 của dãy số trên?

Phân tích: Từ công thức
Ta có:

So�
so�
ha�
ng 

So�
ha�

ngcuo�
i  So�
ha�
ng�
a�
u

1
Khoa�
ngca�
ch2so�
ha�
nglie�
ntie�
p

ng  1  Khoa�
ngca�
ch2so�
ha�
nglie�
ntie�
p  So�
ha�
ngcuo�
i  So�
ha�
ng�
a�
u

 So�so�ha�

�
ng  1 � Khoa�
ngca�
ch2so�
ha�
nglie�
ntie�
p �
ha�
ng�
a�
u  So�
ha�
ngcuo�
i
 So�so�ha�
�
� So�


So�
ha�
ng�
a�
u  So�
ha�
ngcuo�
i�

ng  1 � Khoa�
ngca�
ch2so�
ha�
nglie�
ntie�
p �
 So�so�ha�
�
�

Hướng dẫn giải
Số hạng thứ 2014 của dãy số trên là:

 2014 –1 . 2  2  4028
Đáp số: 4028
Ví dụ 4: Tính tổng 50 số lẻ liên tiếp biết số lẻ lớn nhất trong dãy đó là
2019 ?
Phân tích: Như bài tập số 2 ta có:
Với dãy số tăng dần ta có:
Số hạng cuối = số hạng lớn nhất
Số hạng đầu = số hạng bé nhất.
So�
ha�
ng�
a�
u  So�
ha�
ngcuo�
i�

ng  1 � Khoa�
ngca�
ch2so�
ha�
nglie�
ntie�
p �
 So�so�ha�
�
�

Hướng dẫn giải
Số hạng bé nhất trong dãy số đó là:
Tổng của 50 số lẻ cần tìm là

 2019

2019   50 – 1 .2  1921

 1921 . 50 : 2  98500

Đáp số: 98500
Ví dụ 5: Một dãy phố có 15 nhà. Số nhà của 15 nhà đó được đánh là
các số lẻ liên tiếp, biết tổng của 15 số nhà của dãy phố đó bằng 915.
Hãy cho biết số nhà đầu tiên của dãy phố đó là số nào ?
Phân tích: Dựa vào công thức với dãy số có quy luật tăng dần:

Bước 1:
Suy ra:

So�
so�
ha�
ng 

So�
ha�
ngcuo�
i  So�
ha�
ng�
a�
u

1
Khoa�
ngca�
ch2so�
ha�
nglie�
ntie�
p

ng 1  Khoa�
ngca�
ch2so�
ha�
nglie�
ntie�
p  So�

ha�
ngcuo�
i  So�
ha�
ng�
a�
u
 So�so�ha�


�So�
ha�
ngcuo�
i  So�
ha�
ng�
a�
u�
To�
ngcu�
ada�
y �
.So�
so�
ha�
ng
�
2
�
�

Bước 2:

Suy ra:

ngcu�
ada�
y :  So�
so�
ha�
ng  So�
ha�
ngcuo�
i  So�
ha�
ng�
a�
u
 2.To�

Bài toán cho chúng ta biết số số hạng là 15, khoảng cách của 2 số
hạng liên tiếp trong dãy là 2 và tổng của dãy số trên là 915. Từ bước 1
và 2 học sinh sẽ tính được hiệu và tổng của số nhà đầu và số nhà cuối.
Từ đó ta hướng dẫn học sinh chuyển bài toán về dạng tìm số bé biết
tổng và hiêu của hai số đó.
Hướng dẫn giải
Hiệu giữa số nhà cuối và số nhà đầu là:

 15  1

. 2  28

Tổng của số nhà cuối và số nhà đầu là: 915 . 2 :15  122
Số nhà đầu tiên trong dãy phố đó là:

 122

 28  : 2  47

(bài toán tổng hiệu quen thuộc)
Đáp số: 47
CÂU CHUYỆN VỀ VUA TOÁN HỌC GAUSS
Ba tuổi, thiên tài tính toán đã bộc lộ ở Gauss; Bảy tuổi
đến trường và khiến cho các giáo viên phải kinh ngạc
trước khả năng toán học của mình. Mười chín tuổi,
Gauss quyết tâm trở thành nhà toán học. Khó có thể
chỉ ra một ngành toán học nào mà ở đó lại không có
những đóng góp của ông “Vua toán học” Carl Friedrich
Gauss.
Gauss sinh ra trong một gia đình người sửa ống nước
kiêm nghề làm vườn vào mùa xuân năm 1777. Người ta còn kể mãi
một câu chuyện về thời thơ ấu của ông như sau:
Cha của Gauss thường nhận thầu khoán công việc để cải thiện đời
sống. Ông hay thanh toán tiền nong vào chiều thứ bảy. Lần ấy, ông vừa
đọc xong bảng thanh toán thì từ phía giường trẻ có tiếng của Gauss
gọi:
- Cha ơi, cha tính sai rồi, phải thế này mới đúng…


Mọi người không tin, nhưng khi kiểm tra lại thì quả là Gauss đã tính
đúng. Khi ấy, Gauss mới tròn 3 tuổi. Có thể nói, Gauss đã học tính trước

khi học nói.
Những ngày đầu đến trường, Gauss không có gì đặc biệt so với các trò
khác. Nhưng tình hình thay đổi hẳn khi nhà trường bắt đầu dạy môn số
học.
Một lần, thầy giáo ra cho lớp bài toán tính tổng tất cả các số nguyên từ
1 – 100. Khi thầy vừa đọc và phân tích đầu bài thì Gauss đã lên tiếng:
- Thưa thầy, em giải xong rồi!
Thầy giáo không hề để ý đến Gauss, dạo quanh các bàn và nói chế
nhạo:
- Carl, chắc em sai rồi đấy, không thể giải quá nhanh một bài toán khó
như vậy đâu!
- Thầy tha lỗi cho em, em giải rất đúng ạ! Em nhận thấy ở dãy số này
có các tổng hai số của từng cặp số đứng cách đều phía đầu và phía
cuối của dãy số đều bằng nhau: 100 + 1 = 99 + 2 = 98 + 3 =… 50 =
51 = 101. Có 50 tổng như vậy nên kết quả sẽ là 1 = 2 = 3= … = 101 *
50 = 5050.
Thầy giáo hết sức ngạc nhiên khi thấy Gauss giải bài toán một cách
chính xác tuyệt đối, mà cách giải lại vô cùng độc đáo. Từ đó,Gauss
được mọi người biết đến như một thiên tài toán học.
Ngay trong những năm đầu tiên ở trường Đại học Tổng hợp Gottinghen,
Gauss đã đưa ra cách dựng đa giác đều 17 cạnh bằng thước kẻ và
compa. Đây là một phát hiện rất quan trọng, nên về sau người ta đã
theo di chúc của ông mà khắc trên mộ ông đa giác đều 17 cạnh nội
tiếp trong một đường tròn.
Sau này, nhờ có nghệ thuật tính toán mà Gauss đã phát hiện một hành
tinh mới. Vào đầu thế kỷ XIX, một nhà thiên văn học người Italia đã
phát hiện ra hành tinh mới gọi là Xexera. Ông quan sát được nó không
lâu, sau đó nó dịch lại gần mặt trời và bị lẫn vào những tia sáng mặt
trời. Những thí nghiệm của các nhà thiên văn đều không đạt kết quả
nữa, họ không nhìn thấy được nó ở chỗ mà theo dự đoán nó phải hành

trình đến. Các kính viễn vọng đều bất lực. Nhưng Gauss, với những số
liệu quan sát ban đầu, ông đã tính được quỹ đạo của hành tinh mới đó
và chỉ ra vị trí của nó với độ chính xác cao. Nhờ thế, các nhà thiên văn
đã tìm thấy Xexera. Về sau, theo cách này, người ta đã tìm ra nhiều
hành tinh mới khác. Sau công trình thiên văn kiệt xuất đó, Gauss được
xem như một nhà toán học vĩ đại của thế giới và được tôn là “Ông
hoàng toán học”.


C. F. Gauss thọ 78 tuổi, và cả cuộc đời ông là những cống hiến vĩ đại
cho ngành toán học của nhân loại. Cho đến tận ngày nay, câu chuyện
về khả năng tính toán thiên bẩm của Gauss vẫn còn được kể như là
những huyền thoại.

 Một số bài tập có giải
Bài 1: Tính A  5  6  7  ...  2013  2014
Hướng dẫn giải



Số số hạng là:


Tổng của dãy:

2014 – 5  : 1  1  2010
2014  5  .2010
 2029095
2

Bài 2: Cho S   7  9  11  ... 97  99
a) Tính tổng S trên.
b) Tìm số hạng thứ 33 của tổng trên.
Hướng dẫn giải
+ Số hạng đầu là: 7 và số hạng cuối là: 99.
+ Khoảng cách giữa hai số hạng là: 2
+ S có số số hạng được tính bằng cách:
Tổng của dãy:

S 

 99

 99 – 7  :

2  1  47

 7  .47 : 2  2491

(cách viết khác tôi hay sử dụng:

S



b) Số hạng thứ 33 của tổng trên là :

99  7  .47
 2491
2

)



33 –1 .2  7  71

Bài 3: Cho dãy số 2;7;12;17;22;…
a) Nêu quy luật của dãy số trên.
c) Viết tập hợp B gồm 5 số hạng liên tiếp của dãy số đó, bắt đầu từ số
hạng thứ năm.


c) Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy số.
Hướng dẫn giải
Xét dãy số 2;7;12;17;22;…
a) Quy luật: Dãy số cách đều với khoảng cách 5
b)

B   22; 27;32;37; 42

c) Gọi số hạng thứ 100 của dãy là x, ta có: ( x  2) : 5  1  100
� x  497 . Do vậy tổng 100 số hạng đầu của dãy là:
(2  497) �
100 : 2  24950

Bài 4: Người ta viết liền nhau các số tự nhiên 123456…..
a) Hỏi các chữ số đơn vị của các số 53; 328; 1587 đứng ở hàng thứ bao
nhiêu?
b) Chữ số viết ở hang thứ 427 là chữ số nào?
Hướng dẫn giải

Viết liền nhau các số tự nhiên 123456…
a) 9 chữ số đầu tiên: 1, 2, …, 9
44 số có hai chữ số tiếp theo: 10, 11, …, 53.

� Chữ số hàng đơn vị của số 53 ở hàng số: 9  44.2  97
Tương tự, chữ số hàng đơn vị của số 328 ở hàng số 9  90.2  229.3  876 ;
chữ số hàng đơn vị của số 1587 ở hàng số 9  90.2  900.3  588.4  5241 .
b) Chữ số viết ở hàng thứ 427 là chữ số 1 (chữ số hàng trăm của số
179)
 Bài tập tự luyện
Bài 1: Tính tổng
A  1  2  3  �  2015

B  1  3  5  �  1017

C  2  4  6  �  2014

D  1  4  7  �  2008

Bài 2: Cho dãy số: 1; 4; 7; 10; ............................; 2014.


a, Tính tổng của dãy số trên?
b, Tìm số hạng thứ 99 của dãy?
c, Số hạng 1995 có thuộc dãy số trên không? Vì sao?
Bài 3: Tìm tổng các số chẵn có 3 chữ số ?
Bài 4: Tính tổng 60 số chẵn liên tiếp biết số chẵn lớn nhất trong dãy
đó là 2010?
Bài 5: Tính tổng 2014 số lẻ liên tiếp bắt đầu bằng số 1?
Bài 6: Tính tổng: 1 + 5+ 9 + 13 +....................... biết tổng trên có 100

số hạng?
Bài 7: Một dãy phố có 20 nhà. Số nhà của 20 nhà đó được đánh là các
số chẵn liên tiếp, biết tổng của 20 số nhà của dãy phố đó bằng 2000.
Hãy cho biết số nhà cuối cùng trong dãy phố đó là số nào?

b) Dạng toán có không có quy luật
Bài 1: Tính tổng:
0
1
2
3
10
a) A  2  2  2  2  �  2
1
2
3
2014
2015
b) B  1  2014  2014  2014  �.  2014  2014

c) Viết công thức tổng quát cách tính tổng trên.
Hướng dẫn giải
0
1
2
3
10
a) A  2  2  2  2  �  2

2 A  21  22  23  �..  210  211

-

A  20  21  22  23  �  210
2 A – A  211  20  

211  1
      
2 1

A  211 – 1  2047
1
2
3
2014
2015
b) B  1  2014  2014  2014  �.  2014  2014

-

2014.B  20141  20142  20143    2014 4  � 2014 2015  20142016
B   1       20141  20142  20143  �  20142014  20142015


2014.B – B  20142016  1
20142016  1 20142016  1
B

2014  1
2013

c)

S n  a 0  a1  a 2  a 3  �..  a n 

a n 1  1
  �; a 1; a  0 ).
a  1 ( nι�

Nhận xét:
Từ bài toán tổng quát này ta có thể vận dụng để giải các bài toán
tương tự nhưng tổng có nhều số hạng hơn nhanh chóng thuận tiện và
các bài toán liên quan khác.
* Một số lưu ý khi dạy bài toán dạng này:
- Ta thấy biểu thức cần tính là tổng một dãy số của các số hạng
có cùng cơ số, số mũ là dãy số cách đều tăng dần. Vấn đề đặt ra là
nhân hai vế của biểu thức đó với số nào để khi trừ cho biểu thức ban
đầu thì một loạt các lũy thừa bị triệt tiêu?
- Trong bài toán như trên ta thấy các số mũ liền nhau cách nhau 1
đơn vị nên ta nhân hai vế với cơ số của lũy thừa trong biểu thức rồi
thực hiện phép trừ biểu thức mới cho biểu thức ban đầu ta sẽ tìm được
tổng (có thể chỉ để dưới dạng 1 biểu thức) như câu a; câu b;
- Đối với các bài tập dạng này Hs nhận biết được cần nhân 2 vế của
biểu thức với chính cơ số.
2
3
4
n
*Công thức tổng quát: A  1  a  a  a  a  �  a
2

3
4
n
n 1
Nhân cả hai vế của A với a ta có a. A  a  a  a  a  ...  a  a

aA – A 



a – 1 A  a n 1 – 1.

Từ đó ta có công thức :

Vậy

b) B  1  4  42  43  ...  4100

với

a

�2

a n 1 – 1   a – 1  1  a  a 2  a 3  ...  a n 

* Bài tập vận dụng: Tính tổng.
a ) A  1  7  72  73  ...  72007

A   a n  1 – 1 :  a – 1

.


14
c) Chứng minh rằng : 14 – 1 Chia hết cho 13

d) Chứng minh rằng:

20152015 – 1 Chia hết cho 2014.

Bài 2: Tính tổng:
2
4
6
8
100
a) A  1  3  3  3  3  ...  3
3
5
7
9
99
b) B  7  7  7  7  7  ...  7

c) Viết công thức tổng quát cách tính tổng trên.
Hướng dẫn giải
Nhận xét: Vấn đề đặt ra là nhân cả hai vế của A với số nào để khi trừ
cho A thì một loạt các lũy thừa bị triệt tiêu ? Ta thấy các số mũ liền
2

nhau cách nhau 2 đơn vị nên ta nhân hai vế với 3 .
2
4
6
8
100
a) A  1  3  3  3  3  ...  3

-

32 A   32  34  36  38  ...  3100  3102
A  1  32  34  36  38  ...  3100
32 A  A  3102  1
A  3  1  3
2

Với

102

 1 � 8A  3

102

3102  1
 1� A 
8

3
5

7
9
99
b) B  7  7  7  7  7  ...  7

-

7 2 B  73  75  7 7  79  ...  7 99  7101
B   7  73  7 5  7 7  7 9  ...  799
7 2 B  B  7101  7

Với

B.  7 2  1  7101 – 7 � B 

7101 – 7
48

2
4
6
8
2n
c) * Công thức tổng quát: A  1  a  a  a  a  ...  a

-

a 2 A   a 2  a 4  a 6  a8  ...  a 2 n  a 2 n  2
A  1  a 2  a 4  a 6  a 8  ...  a 2 n
a 2 A  A  a 2n2  1

A.  a 2  1  a 2 n  2  1

Từ đó ta có công thức :
1  a 2  a 4  a 6  a 8  ...  a 2 n   a 2 n  2 –1 :  a 2  1
3
5
7
9
2 n 1
* Công thức tổng quát: B  a  a  a  a  a  ...  a

-

a 2 B   a 3  a 5  a 7  a 9  ...  a 2 n 1  a 2 n  3
B  a  a 3  a5  a 7  a9  ...  a 2 n 1
a 2 B  B  a 2 n 3  a
B  a 2  1  a 2 n  3  a

Từ đó ta có công thức:

a  a 3  a 5  a 7  a 9  ...  a 2 n 1 

a

2n  3

– a  :  a 2  1

* Bài tập vận dụng: Tính tổng.
C  1  22  24  26  28  210   ...  2 200
D  4  42  44  46  48  410   ...  4300
E  5  53  55  57  59  ...  5101
F  13  133  135  137  139  ...  13199

Bài 3: Tính tổng:
a) A  1.2  2.3  3.4  4.5  5.6  6.7  7.8 + 8.9
   98.99
b) B  9.10  10.11  11.12  �

c) Viết công thức tổng quát cách tính tổng trên.
Hướng dẫn giải
Nhận xét : Khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng dạng này là
1. Nên ta nhân 2 vế của A với 3 lần khoảng cách này.
a) Ta có:

3 A  3.  1.2  2.3  3.4  4.5  5.6  6.7  7.8 + 8.9 

 1.2.  3  0   2.3.  4  1  3.4.  5  2   4.5.  6  3   5.6.  7  4   ...  8.9.  10  7 


  1.2.3  1.2.3  2.3.4  2.3.4  3.4.5  � -7.8.9 +8.9.10
 8.9.10  720 .

Vậy A  720 : 3  240
Ta chú ý tới đáp số 720  8.9.10 , trong đó 8.9 là số hạng cuối cùng của
A và 10 là số tự nhiên kề sau của 9, tạo thành tích ba số tự nhiên liên
tiếp.
   98.99

b) Cách 1: B  9.10  10.11  11.12  �

Với C  1.2  2.3  �  9.10  10.11  11.12  �  89.99 ta có: C  A  B � B  C  A
Dễ dàng tính được 3C  98.99.100 , theo câu a ta có 3. A  8.9.10.  720
Vậy

B

98.99.100  8.9.10
 323160
3

Cách 2:

3B  3.  9.10  10.11  11.12  �
   98.99 

= 9.10(11  8)  10.11(12  9)  11.12(13  10)  �
   98.99(100  97)

=  8.9.10  9.10.11  9.10.11  10.11.12  10.11.12  11.12.13  �
   97.98.99  98.99.100
 98.99.100  8.9.10

B

98.99.100  8.9.10
 323160
3

c) *Công thức tổng quát:

A  1.2  2.3  �
  

n

 1 .n   n  1 .n.  n  1  : 3

* Bài tập vận dụng: Tính tổng.
A  1.2  2.3  3.4  �  199.200
B  1.3   3.5   5.7  �   97.99
C  2.4   4.6   6.8  �   98.100
D  51.52  52.53  53.54  �  99.100

(Gợi ý: Bài B và C khoảng cách giữa các thừa số trong mỗi số hạng là 2)


Hướng dẫn giải câu B
6 B  6  1.3   3.5   5.7  �   97.99 

6 B  1.3 .6   3.5.6   5.7.6  �   97.99.6
6 B  1.3.(5  1)   3.5.(7  1)   5.7.(9  3)  �   97.99.(101  95)

6 B  1.3.1  1.3.5  1.3.5   3.5.7   3 .5.7  5.7.9  3  �  95.97.99   97.99.101
6 B  3   97.99.101 � B  161651

Bài 4: Tính tổng:
2
2

2
2
2
a) A  1  3  5  7  �  99
2
2
2
2
b) C  2  4  6  �  100

c) Viết công thức tổng quát cách tính tổng trên.
Hướng dẫn giải
2
2
2
2
2
a) A  1  3  5  7  �  99

Xét B  1.2  2.3  3.4  �  99.100
B  0.1  1.2  2.3  3.4  �  99.100
B  1.  0  2   3.  2  4   5.  4  6   �  99.  98  100 

B  1.1.2  3.3.2  5.5.2  �  99.99.2
B   12  32  52  �  992  .2  2. A

Theo cách giải Bài 3 ta có

Vậy

B 

B 

99.100.101
3

99.100.101
  12  32  52  �  992  .2  A.2
3

Vậy ta có:

A

B 99.100.101

 166650
2
6

2
2
2
2
b) C  2  4  6  �  100


Xét D  1.2  2.3  3.4  4.5  5.6  6.7  ...  100.101
  1.2  2.3   3.4  4.5    5.6  6.7 

 7.8  8.9  ...   99.100  100.101

 2  1  3  4  3  5   6  5  7   ...  100  99  101

 2.4  4.8  6.12  ...  100.200
 2.2.2  2.4.4  2.6.6  ...  2.100.100

=

2.22  2.42  2.62  ...  2.100 2  2.  2 2  42  6 2  ...  1002 

D  2.  22  42  62  ...  1002   2.C

Theo cách giải Bài 3 ta có ta có:
C

D 

100.101.102
3

D 100.101.102

 171700
2
6

c)
* Công thức tổng quát:

A  12  32  52  7 2  �   2n  1   2n  1  2n  2   2n  3  : 6
2

*Công thức tổng quát:
C  22  42  62  �   2n   2n.  2n  1 .  2n  2   : 6
2

* Bài tập vận dụng: Tính tổng.
M  112  132  152  �  20192
N  202  222  �  482  50 2
P   n 2   n  2    n  4   �   n  100 
2

2

2

;

 n ��*


Bài 5: Tính tổng:
2
2
2
2
a) A  1  2  3  �  100
2
2

2
2
b) B  1  2  3  �  99

c) Viết công thức tổng quát cách tính tổng trên.
Hướng dẫn giải
2
2
2
2
a) A  1  2  3  �  100
2
2
2
2
Cách 1: A  1  2  3  �  100

A   12  32  52  �  992    22  42  62  �  100 2 

Theo kết quả Bài 4 ta có

A 

 99.100.101

 100.101.102  : 6

A  100.101.  99  102  : 6  100.101.  2.100  1 : 6

Cách 2:

A  12  22  32  �  100 2

A  1.1  2.2  3.3  4.4  �  100.100 
A  1.  2  1  2  3  1  3  4  1  �  �100 �
 100  1  1�
�
�

A  1.2  1  2.3  2  3.4  3  4.5  4  ...+100.(100+1)  100 
A  1.2  2.3  3.4  4.5  �  100.  100  1



– ( 1  2  3  4  �  100)

A  100.101.102 : 3 – 100.101: 2  100.101.  2.100  1 : 6
2
2
2
2
b) B  1  2  3  �  99
2
2
2
2
Cách 1: B  1  2  3  �  99

B   12  32  52  �  992    22  42  62  �  982 

B   99.100.101  98.99.100  : 6
B  99.100.  98  101 : 6  99.100.  2.99  1 : 6
2
2
2
2
Cách 2: B  1  2  3  �  99

B  1.1  2.2  3.3  4.4  �  99.99
B  1.  2  1  2  3  1  3  4  1  �  �99 �
 99  1  1�
�
�

B  1.2  1  2.3  2  3.4  3  4.5  4  ...+99.(99+1)  99
B  1.2  2.3  3.4  4.5  �  99  99  1



– ( 1  2  3  4  �  100)

B  99.100.101: 3 – 99.100 : 2  99.100.  101: 3 – 1: 2   99.100.  2.99  1 : 6
c)

*Công thức tổng quát:

A 1 2  22  32  �  n 2  n.  n  1  2n  1 : 6

* Bài tập vận dụng: Tính tổng.
M   1  22  32  42  52  �  999 2

P  1  4  9  16  25  36  ...  10000
Q   12  22 – 32  4 2  �  19 2  20 2.

Bài 6: Tính tổng:
a) A  1.2.3  2.3.4  �  7.8.9  8.9.10
b) B  1.3.5   3.5.7  �   5.7.9  �   95.97.99
c) Viết công thức tổng quát cách tính tổng của A.
Hướng dẫn giải

Nhận xét: ta nhân hai vế của A với 4 lần khoảng cách đó vì ở đây mỗi
hạng tử có 3 thừa số .Ta giải được bài toán như sau :
a) A  1.2.3  2.3.4  �  7.8.9  8.9.10


4 A   1.2.3  2.3.4  3.4.5  4.5.6  5.6.7  6.7.8  7.8.9  8.9.10  .4
4A  �
1.2.3.  4 – 0   2.3.4.  5 –1  �  8.9.10.  11 – 7  �
�
�
4 A   1.2.3.4 – 1.2.3.4  2.3.4.5 – 2.3.4.5  � – 7.8.9.10  8.9.10.11

4 A  8.9.10.11 . Vậy A  8.9.10.11: 4  1980 : 4  495

b) B  1.3.5   3.5.7  �   5.7.9  �   95.97.99
8 B  1.3.5.8   3.5.7.8   5.7.9.8  �   95.97.99.8
8 B  1.3.5  7  1    3.5.7  9  1    5.7.9  11  3   �   95.97.99  101  93

8 B  1.3.5.7  15  3.5.7.9  1.3.5.7  5.7.9.11  3.5.7.9  � 95.97.99.101  93.95.97.99
8B  15  95.97.99.101

c)
*Công thức tổng quát:
A  1.2.3  2.3.4  3.4.5  �   n –1 .n.  n  1 

 n  1 .n.  n  1 (n  2)
4

* Bài tập vận dụng: Tính tổng.
A  1.2.3  2.3.4  3.4.5  ...   99.100.101
B  9.10.11  ...   99.100.101
C  1.3.5   3.5.7  �   5.7.9  �   .2015.2017.2019
D  2.4.6  4.6.8  ......  96.98.100.

Bài 7: Tính tổng:
a) A  1³  2³  3³  4³  5³  �  100³
b) Viết công thức tổng quát cách tính tổng của A.
Hướng dẫn giải


Nhận xét: Ta có:

n2 – 1 

n

– 1  n  1

n3 – n  n.  n 2 – 1  n.  n – 1 .  n  1   n – 1 .n.  n  1

a)
A  1³  2³  3³  4³  5³  �  100³
A  13 – 1  23 – 2  33 – 3  43 – 4  53 – 5  �  1003 –100   1  2  3   �  100



A  0  2  2 2 –1  3  32 –1  4  42 –1  �  100  100 2 –1   1  2  3  4  �  100 
A  0  1.2.3  2.3.4  3.4.5  4.5.6  �   100 –1 .100.  100  1   1  2  3  4  �  100 

Theo kết quả Bài 6 ta có:
2

A

(100  1).100.(100  1).(100  2) 100.(100  1)
100(100  1) �
�

 ....  �
�
4
2
2
�
�

Theo kết quả Bài 6 ta có:
1.2.3  2.3.4  3.4.5  � 

 n –1 .n.  n  1 

 n  1 .n.  n  1 (n  2)
4
2

(100  1).100.(100  1).(100  2) 100.(100  1)
100(100  1) �
�
A

 ....  �
�
4
2
2
�
�
Vậy

A

 n  1 n  n  1  n  2   n  n  1
4

2

�
 n  1  n  2   1 �
 n  n  1 �
�

4
2�
�
2

A  n(n  1).

n2  n  2  2
n( n  1) n 2 (n  1) 2 �
n( n  1) �
 n(n  1) �

�
2
4
4
2
� 2 �
�

n  n  1
 1    2   3   4   �   n
2
Nhận xét . Với
nên ta có công thức tổng quát sau:

A  1³  2³  3³  4³  5³  �  n³  ( 1  2  3  4  5  �  n )²


Bài 8: Tính tổng:

A  1.22  2.32  3.42  �  99.1002  
Hướng dẫn giải
A  1.2.  3  1  2.3  4  1  3.4  5  1  �  99.100.  101  1

 1.2.3  1.2  2.3.4  2.3  3.4.5  3.4  �  99.100.101  99.100
   1.2.3  2.3.4  �  99.100.101   1.2  2.3  3.4  �  99.100 

Áp dụng kiến thức các Bài 3, Bài 6 trên ta có:
1.2.3  2.3.4  3.4.5  � 

1.2  2.3  �
  

Vậy

A

n

 n –1 .n.  n  1 

 n  1 .n.  n  1 (n  2)
4

 1 .n   n  1 .n.  n  1  : 3

99.100.101.102 99.100.101

4
3

.

c) Phương pháp dự đoán và quy nạp
Trong một số trường hợp khi gặp bài toán dạng tổng hữu hạn
S n  a1  a2  .... an   Bằng cách nào đó ta biết được kết quả (dự đoán, hoặc

bài toán chứng minh khi đã cho biết kết quả). Thì ta nên sử dụng
phương pháp này để giải quyết bài toán
Ví dụ : Tính tổng

S n  1  3  5  ... 

 2n  1

Hướng dẫn giải

Thử trực tiếp ta thấy :

S1  1
S2  1  3  22
S3  1  3  5  9  32

...

...

...


 Sn  n 2

Ta dự đoán

Với n  1; 2; 3� ta đều thấy kết quả đúng, giả sử với n  k ( k  �1) ta có:
Sk  k 2     (2)

Ta cần chứng minh

S k 1   k  1

2

(3)

Thật vậy ; cộng hai vế của (2) với 2k  1  ta có
1  3  5  ... 

vì

 2k

k 2   2k  1 

– 1 

k

 1



2k  1  k 2 

 2k

 1

2

nên ta có (3) tức là

S k 1   k  1

2

Theo nguyên lí quy nạp bài toán được chứng minh
Vậy

S n  1  3  5  ... 



2n  1  n 2

Tương tự ta có thể chứng minh các kết quả sau đây bằng phương pháp
quy nạp toán học:
n(n  1)
2
n(n  1)(2n  1)
12  22  .....  n 2 

6
2
n(n  1) �
�
3
3
3
1  2  .....  n  �
� 2 �
�
1
2
15   25  ....  n5   n 2  n  1   2n 2  2n –1
12
1  2  3  ....  n 

Bài tập áp dụng tổng hợp
Dạng 1: Tính tổng
A  13 – 23  33 – 43  ...  993 –1003

B  12  42  7 2  �.  100 2.


C  1.32    3.52    5.7 2   �   97.992.
E  1.3  5.7  9.11  �   97.101   
G  1.99  3.97  5.95  �  49.51
I  1.992  2.982  3.97 2  �  49.512
K  1  2  22  23  .....  262   263   
M  7  10  13  ....  76

P  1.4  2 .5  3.6  4.7  ....  n  n  3

D
F
H
J

 1.99  2.98  3.97  �  49.51  50.50
1 .3.5 – 3.5.7  5.7.9 – 7.9.11  �  97.99.101
 1.33  3.53  5.73  �  49.513
 2  6  10  14  .....  202

L  5  52  53   .....  599    5100

N  49  64  81  ....  169

 với n ��*

Dạng 2:
Bài 1: Chứng minh :
A  4  22  23  24  .....  220 là lũy thừa của 22

a,
b,

B  2  22  23  ......  260 M
  3 ; 7; 15

3
5

1991
 13 ; 41
c, C  3  3  3  ....  3 M

9
8
7
M5
d, D  11  11  11  ......  11  1   
2
3
4
100
Bài 2: Cho A  3  3   3  3  .....3
n
Tìm số tự nhiên n biết rằng 2 A  3  3
2
3
4
100
Bài 3: Cho M  3  3   3  3  .....3

Hỏi :
a. M có chia hết cho 4, cho 12 không ? vì sao?
n
b.Tìm số tự nhiên n biết rằng 2M  3  3

2
3
118

119
Bài 4: Cho biểu thức: M  1  3  3  3  �  3  3

a) Thu gọn biểu thức M.
b) Biểu thức M có chia hết cho 5, cho 13 không? Vì sao?
Bài 5: Cho A  1 – 2  3 – 4  ....... 99 – 100
a) Tính A.


b) A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không ?
c) A có bao nhiêu ước tự nhiên. Bao nhiêu ước nguyên?