pheo'''' cong^. va` tru` 2 vecto

PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ HAI VÉCTƠ
1. Chứng minh
0AB BC CA+ + =
uuur uuur uuur r
.
2. Cho vectơ
a
r
và
b
r
. Từ điểm O cho trước, dựng
OA
uuur
=
a
r
,
AB
uuur
=
b
r
,
OC b=
uuur r
và
CD a=
uuur r
. Chứng minh
0BD =

uuur r
.
3. Cho hình vuông ABCD cạnh a . a) Tính độ dài của vectơ tổng của 2 vecto
và BCAB
uuuur uuur
b) Tính độ dài của vectơ tổng của 2 vecto
và ACAB
uuuur uuur
4. Chứng minh rằng nếu:
a và c , ì ab d th c b d
= = + = +
r r r ur r r r ur
5. Chứng minh rằng nếu
a b=
r r
ì a và th c b c+ = +
r r r r
ngược lại.
6. Gọi O là tâm của hình lục giác đều ABCDEF. Chứng minh:
0OA OB OC OD OE OF+ + + + + =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur r
7. Cho 2 vecto
a
r
và
b
r
sao cho
a
r

+
b
r
=
0
r
. a) Dựng
OA
uuur
=
a
r
và
OB
uuur
=
b
r
.Chứng minh O là trung điểm của AB. b) Dựng
OA
uuur
=
a
r
,
AB
uuur
=
b
r

. Chứng minh O
≡
B
8. Gọi O là tâm của tam giác đều ABC. Chứng minh :
0OA OB OC+ + =
uuur uuur uuur r
9. Gọi O là giao điểm 2 đường chéo của hình bình hành ABCD. Chứng minh
0OA OB OC OD+ + + =
uuur uuur uuur uuur r
10. Cho lục giác đều ABCDEFG tâm O. Liệt kê các vectơ nhận một trong các đỉnh của lục giác hoặc tâm làm điểm đầu hoặc điểm cuối là vectơ đối của vecto
AB
uuur
.
11. Cho 2 vecto
a
r
và
b
r
. Từ một điểm O bất kì, ta dựng
OA
uuur
=
a
r
và
OB
uuur
=
a−

r
. Tiếp theo, dựng
và BN .AM b b= = −
uuuur r uuuur ur
Chứng minh :
OM ON= −
uuuur uuur
12. Cho hình ngũ giác ABCDE. Chứng minh
AB BC CD AE DE+ + = −
uuur uuur uuur uuur uuur
.
13. Phát biểu một điều kiện đủ theo độ dài của các vectơ để giá của vectơ
OA OB+
uuur uuur
là phân giác của góc tạo bởi giá của 2 vecto
à OBOA v
uuuur uuuur
.
14. Vẽ hình biểu diễn tổng của 2 vectơ
à OBOA v
uuuur uuuur
, biết rằng giá của 2 vectơ này vuông góc với nhau và
3, 4OA OB= =
uuur uuur
. Tính độ dài của vectơ
OA OB+
uuur uuur
.
15. Cho 2 điểm A và B. Tìm tập hợp điểm M sao cho : a)
MA MB BA− =

uuur uuur uuur
b)
MA MB AB− =
uuur uuur uuur
c)
0MA MB+ =
uuur uuur r
d)
MA MB AB+ =
uuur uuur uuur
16. Cho các điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh:
AD BE CF AE BF CD AF BD CE+ + = + + = + +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
.
PHÉP NHÂN MỘT SỐ VỚI MỘT VÉC TƠ.
1.Tìm giá trị của m sao cho
.a m b=
r r
khi: a)
à ba v
uur r
khác
0
r
và bằng nhau. b)
à ba v
uur r
khác
0
r

và đối nhau. c)
, ba
uur r
cùng hướng và
20 , 5a cm b cm= =
r r
.
d)
, ba
uur r
ngược hướng và
5 , 15a cm b cm= =
r r
. e)
= 0 à b 0a v
≠
r r r r
g)
0 à b = 0a v
≠
r r r r
h)
= 0 à b = 0a v
r r r r
2. Chứng minh rằng : a) Nếu
= b ì m.a . ,a th m b m R= ∀ ∈
r r ur ur
b) Nếu
m.a . , à m 0 ì am b v th b= ≠ =
ur ur r r

c) Nếu
m.a . à 0 ì n a v a th m n= ≠ =
ur ur r r
3. Tam giác ABC có trọng tâm là G. Ba điểm M, N và P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và CA. Chứng minh
0GM GN GP+ + =
uuuur uuur uuur r
.
4. Chứng minh rằng : Hai tam giác ABC và A’B’C’ có các trọng tâm trùng nhau khi và chỉ khi
' ' ' 0AA BB CC+ + =
uuuur uuuur uuuur r
5. Cho tam giác ABC. Dựng
' , ' à BC'AB BC CA AB v CA
= = =
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur
.
a) Chứng minh A là trung điểm của B’C’. b) Chứng minh các đường thẳng AA’, BB’ và CC’ đồng quy .
6. Chứng minh rằng nếu 3 điểm A, B, C thẳng hàng thì sẽ có một số k sao cho
( )
1 . .MC k MA k MB= − +
uuuur uuur uuur
, với M là một điểm bất kì.
7. Chứng minh rằng nếu
( )
1 . .MC k MA k MB= − +
uuuur uuur uuur
thì 3 điểm A, B, C thẳng hàng.
8. Cho M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD của tứ giác ABCD. Chứng minh rằng:
2.AC BD AD BC MN+ = + =
uuur uuur uuur uuur uuuur
9. Cho M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD của tứ giác ABCD. Gọi G là trung điểm của MN.

a) Chứng minh
0GA GB GC GD+ + + =
uuur uuur uuur uuur r
b) Chứng minh
( )
1
4
OG OA OB OC OD= + + +
uuur uuur uuur uuur uuur
, với điểm O bất kì.
c) Chứng minh rằng nếu có một điểm O sao cho
( )
1
4
OG OA OB OC OD= + + +
uuur uuur uuur uuur uuur
thì G là trung điểm của MN.
10. Cho lục giác đều ABCDEG tâm O cạnh a. a) Biểu diễn vecto
AD
uuur
theo 2 vecto
AB
uuur
và
AG
uuur
. b) Tính độ dài của vecto
1 1
. .
2 2

AB BC+
uuur uuur
theo a.
11. Cho 2 vecto không cùng phương
a
r
và
b
r
. Dựng vectơ: a)
2a b+
r r
b)
2a b−
r r
c)
1
.
2
a b− +
r r
12. Tam giác ABC có trung tuyến là AM (M là trng điểm của BC). Phân tích vectơ
AM
uuuur
theo 2 vecto
và ACAB
uuur uuur
13. M, N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC. Chứng minh rằng
0AM BN CP+ + =
uuuur uuur uuur r

14. Cho tứ giác ABCD. Biết và
2AB DC=
uuur uuur
. Tính diện tích tứ giác ABCD.
15. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng
2u MA MB MC= + −
r uuur uuur uuuur
là 1 vectơ không phụ thuộc vào vị trí của điểm M .
16. G là trọng tâm của tam giác đều ABC. Gọi L, M và N lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ điểm O tùy ý xuống các cạnh của tam giác ABC. Chứng minh
3
2
OL OM ON OG+ + =
uuur uuuur uuur uuur
BÀI TẬP TỔNG HỢP VỀ CÁC PHÉP TOÁN VÉC TƠ.
1. Cho hình bình hành ABCD, tâm O. Gọi M là trung điểm cạnh BC. AM cắt BD tại H.
a) Tính vectơ tổng
HA HB HC+ +
uuur uuur uuur
b) Gọi K đối xứng của H qua O. Chứng minh
BH HK KD= =
uuur uuuur uuur
. Tìm quan hệ điểm K đối với tam giác ACD.
2. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H là trung điểm bốn cạnh AB, BC, CD, DA, ; M, N là trung điểm hai đường chéo BD, AC và O là trung điểm của EG. Chứng
minh: a)
AB CD AD CB+ = +
uuur uuur uuur uuur
b)
2AB CD NM+ =
uuur uuur uuuuuur
c)

4AB AC AD AO+ + =
uuur uuur uuur uuur
và
0OA OB OC OD+ + + =
uuur uuur uuur uuur
d)
0OM ON+ =
uuuur uuur r
và
0OH OF+ =
uuuur uuur r
. Kết luận về quan hệ 3 đoạn thẳng EG, FH, MN
3. Cho
∆
ABC. Xét 2 điểm M, N định bởi
0MA MB+ =
uuur uuur r
và . Gọi E, F là trung điểm của MN và BC. Chứng minh :
1 1
4 3
EF AB AC= +
uuur uuur uuur
.
4. Cho 2 đường tròn bằng nhau, tâm O, O’ tiếp xúc ngoài tại I. Gọi A và A’ là 2 điểm đối xứng của I qua O và O’. MON và EO’F là 2 đường trung bình tùy ý của
2 đường tròn. Xác định vecto tổng
IM IN IE IF+ + +
uuur uur uur uur
5. a) Gọi G và G’ là trọng tâm các tam giác ABC và A’B’C’. Chứng minh :
' ' ' 3 'AA BB CC GG+ + =
uuuur uuuur uuuur uuuur

.
b) Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P ,Q ,R, S lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh 2 tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm
6. Cho
∆
ABC có trung tuyến AD. Xét 2 điểm M, N cho bởi
1
2
AM AB=
uuuur uuur
và
1
4
AN AC=
uuur uuur
. Tìm điểm H
∈
AD sao cho M, H, N thẳng hàng.
7. Cho hình bình hành ABCD. Gọi M chia đoạn CB theo tỉ số 1-m. N chia đoạn DB theo tỉ số: -m (m
≠
0, m
≠
-1).Chứng minh A, M, N thẳng hàng.
8. Cho
∆
ABC. Xét 3 điểm M, N, P thỏa:
3 à 3 à 0MB MC v NA NC v PA PB= = − + =
uuur uuuur uuur uuur uuur uuur r
. Chứng minh M, N, P thẳng hàng.
9. Cho
∆

ABC cố định. Tìm tập hợp các điểm M thỏa:
a)
MA k MB k MC+ =
uuur uuur uuuur
. b)
(1 ) (1 ) 0MA k MB k MC+ − + + =
uuur uuuur uuuur r
c)
(1 ) 0MA k MB k MC+ − − =
uuur uuuur uuuur r
d)
2 3MA MB MC k BC+ + =
uuur uuur uuuur uuur
e)
2 4MA MB MC k BC− + =
uuur uuur uuuur uuur
(k là số thay đổi)
10. Cho
∆
ABC. Tìm tập hợp các điểm M thỏa: a)
2 3MA MB MC MB MC+ + = +
uuur uuur uuuur uuur uuuur
b)
2MA MB MC MB MC+ − = +
uuur uuur uuuur uuur uuuur
c)
MA MB MC MA MB MC+ − = − −
uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur
d)
2 2MC MB MA MC+ = +

uuuur uuur uuur uuuur
e)
2 2MC MB MA MC− = −
uuuur uuur uuur uuuur