Một số dạng bài toán về số nguyên tố

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC

VŨ THỊ THẢO MAI

MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN
VỀ SỐ NGUYÊN TỐ

TÓM TẮT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán Tiểu học

Người hướng dẫn khoa học

TS. NGUYỄN VĂN HÀO

HÀ NỘI - 2018


LỜI CẢM ƠN
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới TS. Nguyễn Văn Hào
người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn
thành khóa luận này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong
khoa Giáo dục Tiểu học, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ em
trong suốt quá trình học tập.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em trong quá
trình học tập và hoàn thành khóa luận.
Lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu khoa học và do thời gian
có hạn cùng năng lực của bản thân còn hạn chế nên không tránh khỏi những
thiếu sót. Em xin chân thành cảm ơn đã nhận được những ý kiến đóng góp

của các thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện
như hiện tại.
Hà Nội, tháng 5 năm 2018
Sinh viên

Vũ Thị Thảo Mai


LỜI CAM ĐOAN
Trong quá trình nghiên cứu khóa luận “Một số dạng bài toán về số
nguyên tố” em có sử dụng một số tài liệu tham khảo để hoàn thành khóa luận
của mình. Danh sách tài liệu tham khảo em đã đưa vào mục tài liệu tham khảo
của khóa luận.
Em xin cam đoan khóa luận được hoàn thành bởi sự cố gắng, nỗ lực của
bản thân cùng với sự hướng dẫn tận tình của TS. Nguyễn Văn Hào đề tài do
em thực hiện không trùng với đề tài của các tác giả khác.
Hà Nội, tháng 5 năm 2018
Sinh viên

Vũ Thị Thảo Mai


CÁC KÍ HIỆU VIẾT TẮT
ƯCLN

: Ước chung lớn nhất

BCNN

: Bội chung nhỏ nhất

ƯNT

: Ước nguyên tố


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU........................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài........................................................................................... 1
2. Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu................................................................. 1
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu................................................................. 2
4. Phương pháp nghiên cứu............................................................................... 2
CHƯƠNG I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ........................................... 3
1. Tập hợp đẳng lực........................................................................................... 3
1.1. Khái niệm và một số ví dụ về tập hợp đẳng lực ........................................ 3
1.2. Một số tính chất.......................................................................................... 3
2. Tập hợp hữu hạn và tập hợp vô hạn.............................................................. 5
2.1. Một số khái niệm và ví dụ.......................................................................... 5
2.2.

ột số t nh chất của tập hợp đẳng lực ....................................................... 5

3. Tập hợp số tự nhiên ¥ .................................................................................. 5
3.1. Bản số của tập hợp ..................................................................................... 5
3.2. Số tự nhiên. ................................................................................................. 6
3.3.

ột số v dụ................................................................................................ 6

3.4. Quan hệ thức tự trên ¥ .............................................................................. 6

3.4.1. Một số khái niệm..................................................................................... 6
3.4.2. Tính chất.................................................................................................. 7
3.5. Số tự nhiên liền sau .................................................................................... 8
3.5.1. Một số khái niệm và ví dụ....................................................................... 8
3.5.2.

ột số t nh chất của số tự nhiên liền sau................................................ 8

3.5.3. ản số của tập hợp số tự nhiên ............................................................. 10
3.6. Phép cộng và ph p nhân trên tập hợp số tự nhiên ................................... 10
3.6.1. Một số khái niệm................................................................................... 10


3.6.2. Các t nh chất của các ph p toán trên tập hợp số tự nhiên ..................... 11
3.7. Ph p tr .................................................................................................... 14
4. Số nguyên tố................................................................................................ 15
4.1. Khái niệm về số nguyên tố và hợp số ...................................................... 15
4.2. Sàng Eratosthene. ..................................................................................... 16
4.3. Định lý cơ bản về phân tích số nguyên tố................................................ 18
4.4. Sự phân tích tiêu chuẩn ............................................................................ 21
4.5. Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất ............................................. 22
CHƯƠNG II. MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN VỀ SỐ NGUYÊN TỐ ............. 24
1. Nhận biết số nguyên tố và sự phân bố số nguyên tố................................... 24
1.1. Kiểm tra một số có phải là số nguyên tố không....................................... 24
1.1.1. Kiến thức cần nhớ ................................................................................. 24
1.1.2. Một số ví dụ .......................................................................................... 24
1.2. Sự phân bố số nguyên tố trong tập hợp số tự nhiên................................. 28
1.2.1. Kiến thức cần nhớ ................................................................................. 28
1.2.2. Một số ví dụ .......................................................................................... 29
1.2.3. Bài tập áp dụng...................................................................................... 30

2. Sử dụng phương pháp phân t ch để giải quyết các bài toán về ước
chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất ............................................................ 31
2.1. Ước của một số ........................................................................................ 31
2.1.1. Kiến thức cần nhớ ................................................................................. 31
2.1.2. Một số ví dụ .......................................................................................... 31
2.1.3. Bài tập áp dụng...................................................................................... 35
2.2. Bài toán về ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất........................... 36
2.2.1. Kiến thức cần nhớ ................................................................................. 36
2.2.2. Một số ví dụ .......................................................................................... 36
2.2.3. Bài tập áp dụng...................................................................................... 39


3. Tìm số nguyên tố để thỏa mãn điều kiện đề bài ......................................... 41
3.1. Phương pháp chung.................................................................................. 41
3.2. Một số ví dụ.............................................................................................. 41
3.3. Bài tập áp dụng......................................................................................... 46
4. Các bài toán chứng minh có liên quan đến số nguyên tố............................ 49
4.1. Phương pháp chung.................................................................................. 49
4.2. Một số ví dụ.............................................................................................. 49
4.3. Bài tập áp dụng......................................................................................... 53
5. Các bài toán khác liên quan đến số nguyên tố ............................................ 54
5.1.

ột số v dụ.............................................................................................. 54

5.2. Bài tập vận dụng....................................................................................... 58
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 60
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................... 61

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài. Toán học là công cụ giúp học sinh học tập các môn
khác cả về kiến thức và tư duy. Đặc biệt môn Toán có tiềm năng phát triển
năng lực trí tuệ, rèn luyện tính linh hoạt, độc lập, sáng tạo, tính chính xác,
thẩm mĩ cùng sự kiên trì, nhẫn nại cho học sinh.
Trong chương trình toán học đa dạng và phong phú, các bài toán số học luôn
để lại những vấn đề mới mẻ đã làm say mê nhiều người, t những nhà toán
học vĩ đại trên thế giới tới đông đảo bạn đọc yêu toán. Trong đó điển hình là
các bài toán về số nguyên tố. Số nguyên tố đã hóa trang cho mình rồi lần
khuất trong các số tự nhiên khiến cho chúng ta rất khó nhận ra. Bởi vậy số
nguyên tố được ví như những đứa trẻ bướng bỉnh, nó nấp ở ph a Đông, chạy ở
phía Tây, trêu tức các nhà toán học. Vậy làm sao chúng ta có thể tìm ra được
các số nguyên tố và các số nguyên tố được phân bố như thế nào trong tập hợp
số tự nhiên? Điều này thực sự thú vị thôi thúc các nhà toán học tìm tòi, nghiên
cứu về „„những đứa trẻ bướng bỉnh này”.
Tuy nhiên, cho đến nay có rất nhiều lí thuyết về số nguyên tố vẫn chưa tìm
được quy luật của nó. Do vậy không thể tránh khỏi hiện tượng các bạn học
sinh, sinh viên lúng túng, lo sợ khi gặp các bài toán về số nguyên tố, đa phần
các bạn khó khăn trong việc định hình ra phương pháp giải. Số nguyên tố nói
riêng hay số học nói chung đều có những nét thú vị riêng, độc đáo riêng.
Để phục vụ cho việc dạy học sau này cũng như rèn luyện cho học sinh, sinh
viên năng lực tư duy và định hình ra phương pháp để giải quyết các dạng bài
toán về số nguyên tố, em quyết định chọn đề tài: ‘‘Một số dạng bài toán về số
nguyên tố”.
2. Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu. Tìm hiểu về tập hợp số tự nhiên để
bổ sung thêm một số kiến thức giúp cho việc giải quyết các bài toán trong
phần này.

1

Xây dựng hệ thống về tập hợp số tự nhiên và giới thiệu một số vấn đề cơ bản
về số nguyên tố và phân dạng các bài toán về số nguyên tố.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu. Số nguyên tố và một số dạng bài toán
về số nguyên tố.
4. Phương pháp nghiên cứu. Nghiên cứu tài liệu, phân tích, so sánh và
tổng hợp.

2


CHƯƠNG I
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1. Tập hợp đẳng lực
1.1. Khái niệm và một số ví dụ về tập hợp đẳng lực
Định nghĩa. Ta nói tập hợp A tương đương hay đẳng lực với tập hợp B và
viết là A : B , nếu có một song ánh f : A ® B .
Một số v

ụ

1. Tập hợp các ngón tay của bàn tay trái đẳng lực với các ngón tay của bàn
tay phải.
2. Giả sử A B và BC là hai đoạn thẳng có độ dài tùy ý chung đầu mút B và
ba điểm A, B,C không thẳng hàng. ý hiệu [A B ] và [CB ] tương ứng là tập
hợp các điểm của hai đoạn thẳng này. Ta s chứng tỏ [A B ] [CB ]. Thật vậy,
:
ta x t ánh xạ f : [A B ]
®

[CB ] được xác định như sau: với mỗi điểm

X Î [A B ] ta cho tương ứng như sau
+ f (X ) = C nếu X = A;

+ f (X ) = B nếu X = B ;
+ f (X ) = X ¢ mà X X ¢P A
C

nếu X ¹ A và X ¹ B .

dàng thấy r ng f là một song ánh t [A B ] lên [CB ]. ậy [A B ] [CB ].
:
3.

t hai đường tr n V 1 và V đồng tâm O .
2

ý hiệu éêVë ù và éê2 úùû tương
1 úû
ứng
ë
V

là tập hợp các điểm của hai đường tr n này. Ta thiết lập tương ứng
éV ù như sau: với mỗi điểm M éV ù tia OM cắt ù tại M ¢ ta
f : éV1
2
ù®
éV

Î
1
2
3


đặt M ¢ = f (M ) .
t

thấy f là một song ánh

éêV ù lên é ù .
ë
ê2 ú û
1 úû
ậy
ë
V

é

ê1 ú
:
ëû
V

1.2. Một số tính chất. uan hệ đẳng lực " : " có các t nh chất sau:
a) T nh chất phản ạ. ới m i t p h p A t

4

u n

A : A.

ù é

ê2

ù
ëú û
V.


Thật vậy, với mọi tập hợp A có song ánh

fA : A ® A
x a x
b) T nh chất đối ứng.

ới m i t p h p A và B mà A : B th B : A .

Thật vậy, nếu A : B thì tồn tại song ánh f : A ® B .
f-

1

hi đó, ánh xạ ngược

: B ® A cũng là một song ánh. Như vậy ta cũng có B : A .

ởi t nh chất này, nên khi A đẳng lực với B ta nói A và B là hai tập hợp
đẳng lực với nhau.
c) T nh chất ắc cầu. ới m i t p h p A, B,C n u A
:

B và B : C th

A : C . Thật vậy, nếu nếu A : B và B : C thì tồn tại các song ánh

f : A ® B và g : B ® C .

hi đó ánh xạ t ch g o f : A ®
C

cũng là một

song ánh. Như vậy, ta cũng thấy r ng A : C .
Như vậy, quan hệ đẳng lực là một quan hệ tương đương. o đó, khi A :

B ta

cũng nói A tương đương với B và theo quan hệ tương đương ta có thể nói về
lớp các tập hợp đẳng lực.
Ta giới thiệu nhưng không chứng minh định lý sau
Định

1(Cantor). ới h i t p h p A và B b t

, u n

y r một trong h i

B đ ng

với một bộ ph n

trư ng h p s u:
(i) A đ ng

với một bộ ph n

B ; ho

A.
(ii) N u

Nhận

y r đ ng th i

h i trư ng h p tr n th A và B đ ng

với nh u

t. Khi A đẳng lực với một bộ phận B 1 của B , thì tồn tại một song

ánh f : A ® B 1 .

hi đó, nếu coi f là một ánh xạ t A đến B , thì f là ánh

xạ đơn ánh. Ngược lại, nếu có một đơn ánh f t A vào B , thì khi đặt
B 1 = f (A) Ð B ta có A : B 1 . Như vậy, khi A đẳng lực với một bộ phận của

B thì cũng có thể nói là có một đơn ánh t A vào B .


2. Tập hợp hữu hạn và tập hợp vô hạn
2.1. Một số khái niệm và ví dụ
Định nghĩa. Tập hợp không đẳng lực với một bộ phận thực sự nào của nó gọi
là một tập hợp hữu hạn. Tập hợp không hữu hạn gọi là tập hợp vô hạn.
Nói cách khác, tập hợp vô hạn là tập hợp đẳng lực với một bộ phận thực sự
của nó. Một số v

ụ

1. Tập hợp Æ là một tập hợp hữu hạn vì Æ không có bộ phận thực sự nào.
2. Tập hợp một phần tử {x} là một tập hợp hữu hạn vì nó chỉ có một bộ phận
thực sự duy nhất là Æ. Nhưng r ràng tập hợp {x} không đẳng lực với tập
hợp Æ.
3. Tập hợp [A B ] các điểm của đoạn thẳng A
B

(A ¹ B ) là một tập hợp vô

hạn. Thật vậy, giả sử M là một điểm bất k n m trong đoạn A B mà M ¹ A
và M ¹ B . hi đó, r ràng [A M ] là một bộ phận thực sự của [A B ]. Lấy C là
một điểm n m ngoài đường thẳng A B . Như phần trên, ta biết r ng
[A B ] [A C ] và cũng vậy [A M ] [A C ]. o quan hệ đẳng lực là một quan hệ
:

:
tương đương nên [A B ] : [A M ]. Như thế, tập hợp [A B ] là một tập hợp vô hạn.
2.2. Một số tính chất c a tập hợp đẳng ực
1. Tập hợp đẳng lực với một tập hợp hữu hạn là một tập hợp hữu hạn.
2. Tập hợp con của một tập hợp hữu hạn là tập hợp hữu hạn.
3. Hợp của hai tập hợp hữu hạn là tập hợp hữu hạn.
4. T ch ecartess của hai tập hợp hữu hạn là một tập hợp hữu hạn.
3. Tập hợp số tự nhiên ¥
3.1. Bản số c a tập hợp.
lớp các tập hợp đẳng lực.

ản số là khái niệm đặc trưng về số ư ng cho
ỗi tập hợp A đều có một bản số, ký hiệu là

cardA hay A sao cho
cardA = cardB Û A : B .


3.2. Số tự nhiên. ản số của một tập hợp hữu hạn gọi là một số tự nhiên. Các
số tự nhiên cũng lập thành một tập hợp. Tập hợp các số tự nhiên ký hiệu là ¥ .
Như vậy, a là số tự nhiên nếu và chỉ nếu tồn tại tập hợp hữu hạn A sao cho
a = cardA .
3.3. Một số v

ụ

1. Ta biết tập hợp Æ là một tập hợp hữu hạn.

o đó cardÆ Î ¥ và ký hiệu

0 = cardÆ.
2. Tập hợp một phần tử {x} là một tập hợp hữu hạn.

o đó card{x} Î ¥ và

ký hiệu 1 = card{x} .
3.4. Quan hệ thức tự trên ¥
3.4.1. Một số khái niệm
Định nghĩa. Giả sử a và b là hai số tự nhiên với a = cardA,b = cardB . Ta
nói a nhỏ hơn hoặc b ng b và viết là a £ b , nếu A tương đương với một bộ
phận của B .
Nếu a £ b và a ¹ b thì ta viết a < b và đọc là a nhỏ hơn b .
Hiển nhiên, định nghĩa trên không phụ thuộc vào việc chọn các tập hợp A và
B để a = cardA,b = cardB . Thật vậy, giả sử A ¢ và B ¢ là hai tập hợp hữu
hạn sao cho ta cũng có a = cardA ¢,b
=
có A : A ¢ và B
:

cardB ¢.

hi đó, theo định nghĩa ta

B ¢. o đó, tồn tại các song ánh
f : A ® A ¢ và g : B ® B ¢.

Nếu A tương đương với một bộ phận của B thì tồng tại đơn ánh h : A ® B .
hi đó, ta có sơ đồ sau
f
A ¢¾ ¾ ® A ¾ ¾h ® ¾ ¾g ® B ¢.

B
nh xạ t ch g o (h o f ) là một đơn ánh t A ¢ vào B ¢. Như vậy, ta cũng có A
¢
tương đương với một bộ phận của B ¢.


Theo định nghĩa, nếu a £ b thì A tương đương với một bộ phận A1 Ð B . hi
đó, ta cũng có a = cardA1 . Như vậy, ta cũng có thể phát biểu định nghĩa
quan hệ £ như sau: với a,b Î ¥ ,a £ b nếu tồn tại các tập hữu hạn A, B sao
cho A Ð B và a = cardA,b = cardB .
3.4.2. Tính chất.

u n h " £ " à một qu n h thứ t toàn ph n trong t p

h p số t nhi n ¥ .
Chứng

inh. Trước hết ta kiểm tra quan hệ " £ " thỏa mãn ba tiên đề của

một quan hệ thứ tự
(i) Phản xạ.

ới mọi a Î ¥ ,a = cardA ta luôn có a £ a vì A Ð A .

(ii) Phản đối xứng. Giả sử a,b Î ¥ và a = cardA,b = cardB . Nếu a £ b và

b £ a , thì theo định nghĩa A tương đương với một bộ phận của B và ngược
lại B tương đương với một bộ phận của A .

hi đó, theo định lý Cantor, A

tương đương với B . Như vậy a = b .
(iii)

ắc cầu. Giả sử a,b,c Î ¥ và a = cardA,b = cardB,c = cardC . Nếu

a £ b và b £ c , thì A tương đương với một bộ phận của B và B tương
đương với một bộ phận của C . Nói cách khác, tồn tại các đơn ánh f và g
sao cho
f

A ¾ ¾ ® B ¾ ¾g ® C .
hi đó, ánh xạ t ch g o f là một đơn ánh t A vào C . Như vậy, ta có a £ c .
Tiếp theo ta chứng minh quan hệ trên là một quan hệ sắp thứ tự toàn phần. ới
mọi cặp số tự nhiên a,b,a = cardA,b = cardB . Theo định lý Cantor, giữa hai
tập hợp A và B luôn có hoặc A tương đương với một bộ phận của B , hoặc

B tương đương với một bộ phận của A . Nghĩa là a £ b hoặc b £ a .


3.5. Số tự nhiên iền sau
3.5.1. Một số khái niệm và ví dụ
Định nghĩa. Giả sử a và b là hai số tự nhiên, ta nói b là số kề sau a nếu tồn
tại các tập hữu hạn A và B sao cho a = cardA,b = cardB và A Ð B, B \ A
là tập hợp đơn tử hay card(B \ A) = 1 . ý hiệu số kề sau của a là a ¢.
Khi b là số liền sau của a , ta cũng nói a là số liền trước của b .
V

ụ. Số tự nhiên 1 là số liền sau của số tự nhiên 0 . Thật vậy, ta có

0 = cardÆ,1
=

card{x} và ÆÐ {x},{x} \ Æ = {x} là một tập hợp đơn tử.

3.5. . Một số t nh chất c a số tự nhiên iền sau
T nh chất . M i số t nhi n đều một số t nhi n iền s u uy nh t
Chứng inh. Giả sử a là một số tự nhiên và a = cardA . Lấy một phần tử
x Ï A , đặt tập hợp B = A È {x} .

hi đó B là một tập hợp hữu hạn hợp của

hai tập hợp hữu hạn là một tập hợp hữu hạn và r ràng ta có
A Ð B, B \ A = {x} là một tập hợp đơn tử. o đó, nếu đặt b = cardB thì b
là số tự nhiên liền sau a . ậy mọi số tự nhiên đều có số liền sau.
Tiếp theo ta chứng minh số tự nhiên liền sau a là duy nhất. Thật vậy, giả sử
số tự nhiên a có hai số tự nhiên liền sau là b1 và b . ởi vì b và b là các số
2

1

2

tự nhiên liền sau của a , nên tồn tại các tập hợp hữu hạn B 1 và B sao cho
2

b1 = cardB 1, A Ð B 1 và B 1 \ A = {x 1} là một tập hợp đơn tử.
b2 = cardB 2, A Ð B 2 và B 1 \ A = {x 2 } là một tập hợp đơn tử.
Ta xây dựng ánh xạ g : B 1 ® B được xác định như sau
2

íï

khi t Î A
.
t a g(t ) = ï
t
ì
ïî x 2 khi t = x 1
Hiển nhiên g là một song ánh. ậy B 1 : B hay cardB = cardB .
1
2
2


T nh chất . ố 0 h ng à số t nhi n iền s u

b t

số t nhi n nào M i

số t nhi n há 0 đều à số t nhi n iền s u
một số t nhi n uy nh t
Chứng inh. ởi vì 0 = cardÆ và tập hợp Æ không có một bộ phận thực
sự nào, nên số 0 không là số tự nhiên liền sau của bất k số tự nhiên nào.
Giả sử a ¢ là số tự nhiên khác 0 và a
¢=

cardA ¢.
¢¹

o đó, tồn tại phần tử x Î A ¢. Đặt A
=

ởi vì a

0 nên A ¢¹ Æ.

A ¢\ {x thì A Ð A ¢ và A ¢\ A
=
}

{x}

là một tập hợp đơn tử. hi đó a = cardA là một số tự nhiên liền trước a ¢.
Giả sử a ¢ có hai số tự nhiên liền trước a 1 và a .
2

hi đó, tồn tại các tập hợp

hữu hạn A1 và A sao cho
2

cardA1 = a1, A1 Ð A ¢, A A1 = {x}
¢\

và

cardA2 = a2, A2 Ð

A ¢, A

¢\

A2 = {y} .

Ta xây dựng ánh xạ

f : A1 = A ¢\ {x}
®
íï
t a f (t ) = t ï
ì
îï y
T nh chất 3. i s
Chứng

A2 = A ¢\ {y}

khi t Î A
khi t = x

a và b à h i số t nhi n

hi đ , n u a < b th a ¢£ b .

inh. Nếu a < b thì tồn tại các tập hợp hữu hạn A và B sao cho

A Ð B và a = cardA,b = cardB .

hi đó, bởi vì B \ A ¹ Æ nên tồn tại

x Î B \ A . Đặt A ¢ = A È {x} thì A Ð A ¢Ð B .

a ¢=

a ¢£

hi đó, số tự nhiên
cardA ¢ là số tự
nhiên liền sau a


và bao
b.
hàm
thức A
¢Ð
Hệ quả.
n nào há

B chứng tỏ r ng

iữ số t nhi n a và số iền s u a ¢

n

h ng

số t nhi

Chng

inh. Gi s ngc li cú s t nhiờn b sao cho a < b < a Â. Theo

t nh cht 3, t a < b ta suy ra a ÂÊ b . iu ú mõu thun vi gi thit b < a Â.
Tp hp s t nhiờn Ơ vi quan h th t cú t nh cht trờn c gi l mt
tp sp th t ri rc.

i cỏc t nh cht trờn õy, tp hp s t nhiờn c vit

thnh mt dóy nh sau 0,1, 2, 3,...
3.5.3. n s c a tp hp s t nhiờn
nh 2. p h p s t nhi n Ơ v hn
Chng inh. t Ơ * = Ơ \ {0} , thỡ r rng Ơ * l mt b phn thc s ca
Ơ . t tng ng
f :Ơ* đ Ơ
n a nÂ
Trc ht f l mt ỏnh x vỡ mi s t nhiờn n cú duy nht mt s t nhiờn
lin sau n  ạ 0 . t khỏc, theo t nh cht 2 mi s t nhiờn khỏc 0 u l s
lin sau ca mt s t nhiờn duy nht.

o ú f v a l n ỏnh v a l ton

ỏnh. Nh vy, tp hp s t nhiờn Ơ tng ng vi mt b phn thc s
ca nú, ngha l Ơ l mt tp hp vụ hn.
nh ngha. Lc lng ca tp hp s t nhiờn l v hn m .
lng hu hn hay vụ hn m c gi chung l

t lc

ng m

3.6. Phộp cng v ph p nh n trờn tp hp s t nhiờn
3.6.1. Mt s khỏi nim
nh ngha. Gi s a v b l hai s t nhiờn vi a = cardA,b = cardB v
A ầ B = ặ. Ta nh ngha
Ph p cng ca a vi b l s t nhiờn c ký hiu bi a + b v c xỏc
nh bi
a + b = card (A ẩ B )


Ph p nhân của a với b là số tự nhiên được ký hiệu bởi a.b và được xác
định bởi
a.b = card (A ´ B ) .

Nhận t. Định nghĩa trên không phụ thuộc vào việc chọn các tập hợp A và
B . Ta d dàng chứng minh được r ng A, B, A ¢, B ¢ là những tập hợp hữu
hạn
sao cho
a = cardA,b = cardB,a ¢= cardA ¢,b
¢=
thì

cardB ¢, A Ç = Æ, A ¢Ç B ¢= Æ,
B

card (A È B ) = card (A ¢È B và card (A ´ B ) = card (A ¢ B ¢)
¢)
´
3.6.2. Các t nh chất c a các ph p toán trên tập hợp số tự nhiên

T nh chất 1 T nh chất giao hoán . ới m i số t nhi n a và b t

u n

a + b = b + a và a.b = b.a .
Chứng

inh. ởi vì A È B = B È A nên ta có ngay a + b = b + a .

ặt khác, d thấy ánh xạ

f :A´ B ® B´ A
(x,y) a (y, x)

là một song ánh.

o đó A ´ B : B ´ A hay card (A ´ B ) = card (A ¢ B ¢) .
´

T đó suy ra a.b = b.a .
T nh chất 2 T nh chất kết hợp . ới m i số t nhi n a,b và c t
a + (b + c) = (a + b) + c và a.(b.c) = (a.b).c .
Chứng

inh. ởi vì A È (B È C ) = (A È B ) È
C

nên ta có ngay

a + (b + c) = (a + b) + c .

ặt khác, d thấy ánh xạ
f : A ´ (B ´ C ) ® (A ´ B )´ C

(x,(y, z)) a ((x,y), z )

u n


là một song ánh. o đó A ´ (B ´ C ) : (A ´ B )´ C
hay card (A ´ B ) = card (A ¢ B ¢) . T đó suy ra a.(b.c) (a.b).c .
´
=
T nh chất 3 Phần tử trung lập của các ph p toán . ới m i số t nhi n a t
u n
a + 0 = 0 + a = a và a.1 = 1.a .
Ngh

à: số 0 à ph n t trung

p

p

ph p ộng và số 1 à ph n t trung

ph p nh n.

Chứng

inh. ởi vì A È Æ = ÆÈ A; với mọi tập hợp A nên ta có ngay
a + 0 = 0 + a = a; với mọi a Î ¥ .

ặt khác, d thấy ánh xạ
f : {x}´ A ® A
(x,a) a a

là một song ánh.

o đó {x}´ A : A hay card ({x}´ A ) = card A . T đó

suy ra a.1 = 1.a .
T nh chất 4 Sự phân phối của ph p nhân đối với ph p cộng . ới á số t
nhiên a,b,c t y , t u n
a.(b + c) = a.b +
a.c
Chứng

và (b + c).a = b.a + c.a

inh. Ta có A ´ (B È C ) = (A ´ B ) È (A ´ C )

và (B È C )´ A = (B ´ A) È (C ´ A) .
T đó, ta suy ra điều phải chứng minh.
T nh chất 5 Luật giản ước . ho á số t nhi n a,b,c t y
á

h ng đ nh s u

(i) T đ ng thứ a + c = b + c ta suy ra a = b,

(ii) T đ ng thứ a.c = b.c; với c ¹ 0 ta suy ra a = b.

hi đ , t


Chứng

inh. Thực vậy, giả sử a ¹ b . hi đó, do t nh bình đẳng của a và b

nên ta có thể giả sử r ng a < b . Tiếp theo, ta lấy các tập hợp hữu hạn A, B,C
đại diện tương ứng cho các số tự nhiên a,b,c như dưới đây
cardA = a,
= b,
= c và A ÇC = Æ = B ÇC .
cardB cardC
(i) Theo giả thiết phản chứng, do a < b nên A È C Ð B È
C

. T đó, suy ra

a + c = card(A È C ) < card(B È C ) = b + c

Điều này mâu thuẫn với giả thiết và ta nhận được điều phải chứng minh.
(ii) Do A là tập con thực sự của B nên tồn tại phần tử y Î B,y Ï A và hiển
nhiên A ´ C Ð B ´ C . Thêm nữa, do C ¹ Æ nên tồn tại phần tử z Î C . hi
đó, r ràng (y, z) Î B ´ C nhưng (y, z) Ï A ´ C .

ậy A ´ C là một tập con

thực sự của B ´ C hay a.c = card(A ´ C ) < card(B ´ C ) = b.c . Điều mâu

thuẫn này, chứng tỏ điều cần chứng minh.
T nh chất 6 về số phần tử trung lập . ới m i số t nhi n a , t

u n

(i) a + 1 = a ¢
(ii) a.0 = 0 .
Chứng inh. (i) Giả sử a = cardA và x Ï A .

hi đó, ta có

a + 1 = card (A È {x}).
Thế nhưng, r ràng A Ð A È {x} và (A È {x}) \ A = {x} là tập hợp đơn tử.
o đó, theo định nghĩa của số liền sau ta có
a + 1 = a ¢.
(ii)

ởi vì A ´ Æ = Æ nên a.0 = card(A ´ Æ)
=

cardÆ = 0 .

T nh chất 7 Sự tương th ch của thứ tự và ph p cộng . ới m i số t nhi n

a,b,c t y , t
(i) N u a < b, th a + c < b + c;


(ii) N u a + c < b + c, th a < b.

Chứng

inh. (i) Giả sử a = cardA,b = cardB,c = cardC . Theo giả thiết

a < b nên A Ð B và do đó A È C Ð B È
C

. Như vậy, ta nhận được

a + c = card(A È C ) Ð card(B È C ) = b + c .
(ii) Ta chứng minh b ng phản chứng. Giả sử ngược lại r ng b £ a .

hi đó,

theo phần (i) ta có b + c £ a + c . Điều này mâu thuẫn với giả thiết và chứng
tỏ điều phải chứng minh.
T nh chất 8 Sự tương th ch của thứ tự và ph p nhân . ới m i số t nhi n
a,b,c (c ¹ 0) t y , t
(i) N u a < b, th a.c < b.c;
(ii) N u a.c < b.c,
th

Chứng

a < b.

inh. (i) Giả sử a = cardA,b = cardB,c = cardC . Theo giả thiết

a < b nên A Ð B và do đó A ´ C Ð B ´ C . Như vậy, ta nhận được
a.c = card(A ´ C ) Ð card(B ´ C ) = b.c .

(ii) Ta chứng minh b ng phản chứng. Giả sử ngược lại r ng b £ a .

hi đó,

theo phần (i) ta có b.c £ a.c . Điều này mâu thuẫn với giả thiết và chứng tỏ
điều phải chứng minh.
3.7. Ph p tr
Định

3. i s a và b à á số t nhi n N u a £ b th t n tại số t nhi n

uy nh t c sao cho a + c = b .
Chứng inh. Giả sử A và B là các tập hợp hữu hạn sao cho a = cardA và

b = cardB . ởi vì a £ b nên A Í B . hi đó, ta thấy r ng B \ A là một tập
hợp hữu hạn và c = card(B \ A) là một số tự nhiên. Hơn nữa, hiển nhiên
r ng A Ç (B \ A) = Æ nên ta có
a+c=


card (A È (B \

A)) Ð

card = b .
B


Để chứng minh t nh duy nhất, ta giả sử cũng tồn tại số tự nhiên c ¢ sao cho

a + c ¢= b .
hi đó, ta có a + c ¢= a + c . Theo luật giản ước của ph p cộng ta suy ra
c ¢= c .
Định nghĩa. Số tự nhiên duy nhất c thỏa mãn đẳng thức a + c = b được gọi
là hiệu của b và a , ký hiệu là c = b - a đọc là c b ng b tr a ).
T nh chất ph n phối c a ph p nh n với ph p tr .

ới m i số t nhi n

a,b,c mà c £ b t
(i) a.(b - c) = a.b - b.c
(ii) (b - c).a = b.a - c.a .

Chứng

inh (i) Theo định nghĩa của ph p tr , ta có c + (b - c) = b .

o đó

a.[c + (b - c)] = a.b

Theo t nh chất phân phối của ph p nhân đối với ph p cộng, ta nhận được
[a.c + a.(b - c)] = a.b .
Nhưng đẳng thức này chứng tỏ a.(b - c) là hiệu của a.b và a.c .

o đó, ta

nhận được điều phải chứng minh
a.(b - c) = a.b - b.c .
(ii) Đẳng thức này được suy ra t đẳng thức (i) và t nh chất giao hoán của

ph p nhân.
4. Số nguyên tố
4.1. Khái niệm về số nguyên tố và hợp số
Định nghĩa. Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 chỉ có hai ước là 1 và
chính nó. Những số tự nhiên có hơn hai ước được gọi là hợp số.
Tập hợp các số nguyên tố ký hiệu là Ã .
Một số ví dụ
(i) Một vài số nguyên tố đầu tiên