Một số thế tán xạ cơ bản trong cơ học lượng tử

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

======

VŨ THỊ HẰNG

MỘT SỐ THẾ TÁN XẠ CƠ BẢN TRONG CƠ HỌC
LƯỢNG TỬ
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

Hà Nội. 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

======

VŨ THỊ HẰNG

MỘT SỐ THẾ TÁN XẠ CƠ BẢN TRONG CƠ HỌC
LƯỢNG TỬ
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

Người hướng dẫn khoa học

TS. Nguyễn Huy Thảo

Hà Nội. 2018


LỜI CẢM ƠN

Tư

ậ

lòng biế ơ sâ sắc t i TS. Nguyễn Huy Thảo

ố

ườ đã

ệ

bày tỏ

ú đỡ đị

nghiên cứu, cung cấp cho em những tài liệu quý báu, tậ

ư ng

ư ng dẫn, chỉ

bảo, tạo đ ều kiện tốt nhất trong quá trình hoàn thành khoá luận tốt nghiệp.
ờ
ọ sư

ạ

ả
N

ệ

ơ

2 đã

ả
ợ

Vậ
ú đỡ

ế

o

ờ

ườ
ọ ậ

ạ
ư

ậ

Cuối cùng, tôi xin cả

ơ s đ

ú đỡ nhiệt tình c

đ

bạn bè.
Là m t sinh viên lầ đầu tiên nghiên cứu khoa học nên khoá luận không
tránh khỏi s thiếu sót, vì vậy tôi rất mong nhậ được nhữ
c a thầy cô và bạ

è để khoá luậ được hoàn thiệ

đ

ơ

Tôi xin chân thành cảm ơ !
Hà Nội, tháng 05 năm 2018
Sinh Viên
Vũ Thị Hằng

ến


LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp c

e

o

ư is

ư ng dẫn tận tình c a

thầy giáo TS. Nguyễn Huy Thảo. Trong quá trình nghiên cứu hoàn thành bản
khóa luận em có tham khảo m t số tài liệu c a m t số tác giả đã

o

ần

tài liệu tham khảo.
E
trung th

đo
ư

ừ

ững kết quả nghiên cứu trong khoá luận hoàn toàn là
được công bố bởi bấ

ơ

o

á

ọi ngu n tài

liệu tham khảo đề được trích dẫn m t cách rõ ràng.
Hà Nội, tháng 05 năm 2018.
Sinh Viên
Vũ Thị Hằng


PHỤ LỤC
Hình 1.1: Mô tả mối liên hệ giữa hai vector sóng và góc tán xạ.
Hình 1.2: Mô tả s va chạm vào nhau c a hai hạt n và p.
Hình 1.3: So sánh thế Yukawa khi g=1 v i các giá trị m khác nhau.
Hình 1.4: Hiệu ứng Ramsauer-Townsend.


Hình 1.5: Mậ đ xác suất  (r có c
10
)
và giảm nhanh theo hàm số

r ă

đại tại r = a, 10(r)  tại r = 0
0

MỤC LỤC
PHẦN 1: MỞ ẦU.............................................................................................1
1. Lý do chọ đề tài:............................................................................................1
2. Mụ đ
3

ứu:......................................................................................1

ối ượng và phạm vi nghiên cứu: .................................................................1

4. Nhiệm vụ c
5 P ươ

đề tài: .......................................................................................1

á

6. Cấu trúc c

ứu: ...............................................................................1
đề tài:..........................................................................................2

PHẦN 2: NỘI DUNG .........................................................................................3
C ƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ T UYẾT .....................................................................3
I.1: Lý thuyế ơ ản tán xạ: ...............................................................................3
I.2: Hệ hạt chuyể đ ng m t chiều: ....................................................................8
I 3: ịnh lý quang học: .....................................................................................11
I.4: Thế Yukawa:...............................................................................................12
I.6: Hiệu ứng Ramsauer- Townsend: ................................................................14

I.7: Thế đối xứng cầu: .......................................................................................15
C ƯƠNG II MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÁN XẠ CƠ BẢN TRONG CƠ ỌC
LƯỢNG TỬ: ........................................................................................................19
II 1: B

oá

ềT ếY

w : ..........................................................................19

II.2: Bài toán về Hiệu ứng Ramsauer-Townsend: ............................................25
II.3: Bài toán về Thế đối xứng cầu: ..................................................................26
II.4. Bài toán về ịnh lý quang học: .................................................................29
PHẦN 3: KẾT LUẬN.......................................................................................32
TÀI LIỆU THAM KHẢO:.................................................................................33


PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Cơ ọ ượng tử được hình thành vào nử đầu thế kỷ 20 do Max Planck,
Albert Einstein, Niels Bohr, Werner Heisenberg, Erwin Schrödinger, Max Born,
John von Neumann, Paul Dirac, Wolfgang Pauli và m t số ười khác tạo nên.
Cơ ọ ượng tử là m t nhánh c a vật lý nghiên cứu về chuyể đ ng c a các vật
thể
á đạ ượng vậ
q
ư ă
ượ
e Cơ ọ ượng

tử được coi là nâng cao ơ ơ ọc Newton vì nó cho phép mô tả chính xác và
đú đắn rất nhiều các hiệ ượng vậ
ơ ọc Newton không thể giải thích
được. Các hiệ ượng này bao g m các hiệ ượng ở quy mô nguyên tử hay nhỏ
ơ Cơ ọc Newton không thể lý giải tại sao các nguyên tử lại có thể bền vững
đến thế, hoặc không thể giả
được m t số hiệ ượ
ĩ
ưs
ẫn,
siêu chả T o
á ường hợp nhấ đị
á định luật c
ơ ọ ượng tử
á định luật c
ơ ọc cổ đ ển ở mứ đ
á
o ơ
To

đ các thế tán xạ ơ ản là phần quan trọ

giúp nghiên cứu về hệ th c và các hệ

o

ơ ọ

ượng tử,

ưởng.

Chính vì vậy tôi đã chọ đề tài “ Một số thế tán xạ cơ bản trong cơ học
lượng tử ”

đề tài khóa luận tốt nghiệp.

2. Mục đích nghiên cứu:
Gi i thiệu m t số thế tán xạ ơ ả

o

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
Lý thuyết tán xạ, m t số khái niệ

ơ ọ ượng tử.

ươ

4. Nhiệm vụ của đề tài:
Tìm hiểu m t số thế tán xạ ơ ản.
5. Phương pháp nghiên cứu:
P ươ
á Vật lý lý thuyết, Vật lý toán.

1

á

q

6. Cấu trúc của đề tài:
Phần 1: Mở đầu
Phần 2: N i dung
C ươ

I: Cơ sở lý thuyết

C ươ

II: M t số bài toán về tán xạ ơ ả

Phần 3: Kết luận chung

2

o

Cơ ọ ượng tử


PHẦN 2: NỘI DUNG
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
I.1: Lý thuyết cơ bản tán xạ:
Lý thuyết tán xạ nghiên cứu và tìm hiểu về s tán xạ c a sóng và hạt. Sóng
tán xạ ươ ứng v i s va chạm và tán xạ c a sóng v i vật chất.
I.1.1: Định nghĩa tiết diện hiệu dụng:
T  
()d

ược gọi là tiết diện tán xạ hiệu dụng toàn phần [2].
Trong vật lí hạt nhân, các tâm tán xạ
ư c dài cỡ 1 012
cm, các tiết diện tán xạ hiệu dụng ườ
đượ đo ằ đơ  10
ị 13
barn hay
1barn  1024cm2 , 1mbarn
milibarn:

 1027cm2 .

V i bài toán tán xạ chúng ta chỉ xét các quá trình xảy ra do va chạ đ
h i, tức là các va chạm không dẫ đến s chuyển hoá các hạt hay là không làm
cho các trạng thái n i tại c a các hạ
đổi, mà
q
â đến các tâm
tán xạ
ư ấu trúc c a hạt.
Tác dụng c a các tâm tán xạ có thể o

ư á

ụng c a m t tâm l c mà

ường c a nó các hạt tán xạ chuyể đ ng. Kí hiệu V ) là thế ă
a
(r
hạt bị tán xạ o

ường c a tâm tán xạ đ
é r là bán kính vector c a hạt
bị tán xạ.
o

I.1.2: Biên độ tán xạ:

3


Xét bài toán về s tán xạ c a các hạt khố ượng m trên thế V (r) c a các
tâm tán xạ. C ú
i hạn rằng, các thế này tiến t i 0 đ nhanh khi
r   [2].
Giả sử E
hạt t

(

ă

ượng c a hạt, còn p  ka
đầu c a các hạt là v 

ư ậy vận tố

P ươ

S

o

e

a hạt:

4

ượ
ka
).
m

đầu c a các


2(r)  2mV (r)(r)
2

(r)


2
k
To

đ :

k2

P ươ
và sóng phẳng t i:

2m
E k2
2
a
o
ệm dừ

ư i dạng ch ng chất các sóng tán xạ

r ()  eika 
r 
tx
Ở những khoảng cách r l n tính từ tâm tán xạ, hàm
 tx

phải có dạng cầu

và phân kì:
ik
 tx(r  )   tc e

rr

 A()
N ư ậy, ở những khoả

á

đ xa tâm tán xạ có dạng tiệm cận:

ikr
 (r)  e ika r  A() e
r

Thành phần thứ nhất trong vế phải là sóng phẳ
2
eika r  1
Ta có mậ đ dòng bằng vận tố

đơ sắc có mậ đ

đầu c a hạt:
*

ka

v
JT 
 T
m
( 2mi 
Thành phần này mô tả chùm hạt chuyể đ ng t do v i vận tốc v t i tâm
tán xạ (chùm t i).
*
T

   )

T  T


Thành phần thứ hai,  tc 
A()

ei k là sóng cầu phân kì, có mậ đ
rr


1
2 và mậ đ dòng (tán xạ)
A()
r2
J tx 

k

mr

eo ư ng Ω

ươ

ă

a r bằng

A() 2 (tính theo tọ đ cầu).
2

Thành phần này mô tả các hạt tán xạ theo
eo ư ng c a góc khối Ω (chùm tán xạ).
l

eo

ươ

Vì vậy số hạt bị tán xạ bởi tâm tán xạ đ q
â
ư i góc khối (Ω, Ω + dΩ) phải là:

e o r, đ

ỏi tâm

đ i cầu có bán kính rất

k
2
N  J txdS     J tx r 2d  A() d
m
Từ đ

ối liên hệ giữa tiết diện tán xạ hiệu dụng     và hàm A()
 ()  A() 2

ú

Hàm A() được gọ

đ tán xạ.

I.1.3: Phép gần đúng của Born:
ể tìm tiết diện tán xạ hiệu dụng cần phả
đ tán xạ. Trong phép
gầ đú Bo
đ
được tính nhờ lý thuyết nhiễu loạ T o đ
ễu
loạ được lấy là thế ă
a hạt tán xạ o
ường c a tâm tán xạ [2].



Ta coi V r  là m
T

ươ

tx

đạ ượng nhỏ.
o 
tx

 2 tx  k
2

tx
Nghiệm c

ươ

 tx

r 



2m
V r eik ar
2



ạ s
â
đ
ỏi tâm:
m ika r ik r  r 


V r  dV 

2
r  r
e


2


 là yếu tố thể tích lấ
To đ
vector dV.
r
Tại khoảng cách l n r r  đặt:

â

oq

đ ểm có bán kính


k r  r' 
k

 
r  r'

2

12
 2rr  
 rr  
kr
1


 kr 1 



2
2
r
r


r

 kr  k
r'
r

K

Hình 1.1: Mô tả mối liên hệ giữa hai vector sóng và góc tán xạ [2].
r
đặt kb  k , k b  k .
r

To

đ kb là vector sóng tán xạ.

ka là vector sóng t i.
Góc  là góc tán xạ (góc giữa vector k a và vector kb ).
Do đ

á ị tiệm cận c a

có dạng:

 tx





 tx    
tc


r



m

1  ik r


ikr

'



ik r

'

'


 e
2 2 r 
dV





a

b





V r



m
 V(


2

kb ) dV



2
So sánh v i dạng tiệm cận:

r )ei(ka

 rr






eikr
m
A    
Vr  ei ka kb r dV 

2







2

Tiết diện hiệu dụng:
2
2
i(k
m

r
V

k
)
 r   e a b dV 
  
2
4
4



Chú ý: Phép gầ đú
tán xạ đ l n.

a Born luôn thích hợ

ă

ượng c a các hạt

I.1.4: Phân biệt hệ tọa độ khối tâm và hệ phòng thí nghiệm:
Trong hệ tọ đ khối tâm, xung lượng c a hai hạ
ược chiề đâ
nhau: p  p1   p 2 p '  p 3   [3].
và
p4
Tiết diện tán xạ vi phân có dạng:
2 '
M
fi p
 d 


S

 d cm 64 2s p
To

đ : s
p



2
p   , d  d d cos ,  là góc
giữa
1
2

p và k1 .
1

Hình 1.2: Mô tả s va chạm vào nhau c a hai hạt n và p [1].
Trong hệ phòng thí nghiệm: xét hạt thứ
Ta có:

đứng yên p 2   m 2,0,0 

o


 d 

M fi

2

1



 
d lab 64 2m 
2 E1  m 2 

S
p E 3 cos lab

 



p'
To

p 2  m12 ,E 3  p '2  m32

đ : E1


Chú ý: Hệ phòng thí nghiệ
ườ được dùng cho tán xạ c a m t hạt có
khố ượng và m t hạt không khố ượng.
Góc tán xạ 
là góc giữ e o
ượng c e e o đ
o ở p và
lab
ee o đ

ở p .

I.1.5: Mối liên hệ giữa số hiện tượng và tiết diện tán xạ:
N fi   fiLT
To
f

đ N fi là số hiệ
L

đ

đặc

ượng mà i 

ư

[3].

ụ thu c vào các máy (L đặ

1031cm 2 1
s ).

T là thời gian chạy máy (m

ă

ư

107s ).

I.2: Hệ hạt chuyển động một chiều:
P ươ
s o
e
o
t hạt [2].
Phươ

o
e
c chấ
ă
ượng, là m
ươ
ơ ản c a vậ
ượng tử mô tả s biế đổi trạ
á ượng tử c a m t hệ vật
lý theo thời gian, thay thế o á định luật Newton và biế đổ G eo o
ơ
học cổ đ ển.
I.2.1: Thiết lập phương trình Schrodinger tổng quát:
Giả xử Hamilton c a m t hạ đượ

To

đ W là m t hàm l

ođ

o ư i dạng [2]:

ụ thu c vào ⃗ ⃗…

ời gian t.


S
⃗⃗

đ

̂ = iħ

ển

=

̂

+̂ cho hai vế á đ ng vào hàm ψ(

.
T

đượ

â
ươ
o
ường l c tổ
theo thời gian t.

ươ

ổng quát:

s

̂

(⃗

=[
]ψ( ⃗

o

e

q á

̂ ⃗

ổng quát, mô tả chuyể đ ng c a hạt
ă
ượ
á định do hàm H biế đổi

I.2.2: Phương trình schrodinger cho một hạt chuyển động trong trường thế
(W = U(⃗⃗)):
K

đ

W = U( ⃗)

o

ươ

s

o

e ổ

q á

được


[2]:
⃗⃗
ặt ψ( ⃗

) = ψ( ⃗)exp{

( Do ta thấy vế á
riêng theo tọ đ ).
K

=[

̂

̂ ⃗ ]ψ( ⃗

)

} v i E là hằng số bất kì.
đạo hàm riêng theo thời gian t, vế phả

đạo hàm

ψ( ⃗) thảo mãn:

đ

̂ ⃗ ]
⃗

[
Toán tử ̂ = [

⃗ = ̂

⃗ =E

̂ ⃗ ]

Trong đ

đ

ă

⃗̂ là thế ă
Vậy suy ra E

ă

ượng trong trạng thái chuyể đ ng

To
ường hợp hạt chuyể đ ng m t chiều U( ⃗) = U(x)
trên trở thành:
ψ”(x) +

[E - U(x)]ψ(x) = 0

⃗ c a hạt.
ươ


ối v i hệ n hạt chuyể đ
o
ươ
S o
e ừng có dạng:

ường thế U(q) = U(⃗⃗ ⃗

⃗)


n  2  2mk E  U
(q)


 k
k  1
v iE

ă





2

 (q)  0



ượng c a hệ hạt.

Hàm sóng Hamilton có dạng: ̂
M t số định luật bảo toàn:
Từ ươ
S o
e
được biểu diễ q

có thể suy ra m t số định luật bảo toàn

ươ

ục:

⃗⃗
(2.1)

ể đư đế
chuyể đ

ươ

ư c hế

é

ường l c U = U( ⃗, t). Cá

o

ường hợ đơ

ản, hạt

ường hợp phức tạp khác sẽ xét

ường hợp trên toán tử ̂ có dạng:

trong những bài toán cụ thể T o

⃗̂
P ươ

s

o

e:
(2.2)

ħ
Cò

ươ

ợp phức v i nó là:
(2.3)

-ħ
Nhân hai vế

ươ

(2.2) v i

, nhân hai vế

ươ

(2.3) v i

.
đ

S đ
được:

ế trái trừ vế trái, vế phải trừ vế phải c
{

ươ

Rú
} =0

ọn