Nghiên cứu ảnh hưởng của áp suất lên hằng số mạng của bán dẫn có cấu trúc kim cương bằng phương pháp thống kê momen

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

ĐINH THỊ KHUÊ

NGHIÊN CỨU ẢNH HƯỞNG CỦA ÁP SUẤT
LÊN HẰNG SỐ MẠNG CỦA BÁN DẪN CÓ CẤU
TRÚC KIM CƯƠNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP
THỐNG KÊ MOMEN
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

ĐINH THỊ KHUÊ

NGHIÊN CỨU ẢNH HƯỞNG CỦA ÁP SUẤT
LÊN HẰNG SỐ MẠNG CỦA BÁN DẪN CÓ CẤU
TRÚC KIM CƯƠNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP
THỐNG KÊ MOMEN
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Người hướng dẫn khoa học

TS. PHẠM THỊ MINH HẠNH

Hà Nội – 2018

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến TS Phạm Thị Minh Hạnh, người đã
tận tình hướng dẫn, giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi rất nhiều để hoàn thành
khóa luận.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Vật Lý và các thầy cô
trong tổ Vật lý lý thuyết- khoa Vật lý – trường ĐH Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo
điều kiện giúp đỡ tôi hoàn thành khóa luận này.
Tôi xin cảm ơn các bạn sinh viên lớp K40B – Sư phạm Vật lý – khoa
Vật lý – trường ĐH Sư phạm Hà nội 2 đã đóng góp thêm nhiều ý kiến quý
báu cho khóa luận.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã động viên và tạo mọi
điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành tốt khóa luận này.
Hà Nội, ngày , tháng 5, năm 2018
Sinh Viên

Đinh Thị Khuê


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan khóa luận này là kết quả nghiên cứu của riêng tôi
dưới sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của TS Phạm Thị Minh Hạnh. Tôi xin
cam đoan những kết quả nghiên cứu trong khóa luận là trung thực.
Hà Nội, ngày ,tháng 5 , năm 2018
Sinh Viên

Đinh Thị Khuê

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU........................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài........................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu..................................................................................... 1
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu................................................................. 2
4. Nhiệm vụ nghiên cứu. ................................................................................... 2
5. Phương pháp nghiên cứu............................................................................... 2
NỘI DUNG ....................................................................................................... 3
CHƯƠNG I SƠ LƯỢC VỀ BÁN DẪN CÓ CẤU TRÚC KIM CƯƠNG ....... 3
1.1. Cấu trúc tinh thể của bán dẫn có cấu trúc kim cương................................ 3
1.2. Một số ứng dụng của bán dẫn có cấu trúc kim cương. .............................. 4
1.3. Phương pháp momen trong nghiên cứu bán dẫn có cấu trúc kim cương. . 5
1.3.1. Các công thức tổng quát về momen........................................................ 5
1.3.2. Công thức tổng quát tính năng lượng tự do. ........................................... 8
1.3.3. Độ dịch chuyển của nguyên tử khỏi nút mạng. ...................................... 9
1.3.4. Năng lượng tự do của bán dẫn có cấu trúc kim cương. ........................ 15
1.4. Kết luận chương I..................................................................................... 17
CHƯƠNG II ẢNH HƯỞNG CỦA ÁP SUẤT LÊN HẰNG SỐ MẠNG CỦA
Ge .................................................................................................................... 18
2.1. Phương trình trạng thái của bán dẫn có cấu trúc kim cương. .................. 19
2.2. Thế năng tương tác giữa các hạt trong tinh thể........................................ 20
2.3. Hằng số mạng của Ge ở các áp suât khác nhau ....................................... 23
2.3.1. Cách xác định thông số. ........................................................................ 23
2.3.2. Giá trị hằng số mạng của Ge có các áp suất khác nhau. ....................... 24
2.4. Kết luận chương II. .................................................................................. 26
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 27
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................... 28


MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài.
Với sự phát triển mạnh mẽ của ngành khoa học công nghệ như hiện nay
thì việc quan tâm nghiên cứu nhằm nâng cao chất lượng của vật liệu là một
điều hết sức cần thiết. Trong tất cả các vật liệu chất rắn thì bán dẫn luôn đóng
vai trò quan trọng trong sự phát triển ngành khoa học vật liệu. Các nhà khoa
học đã quan tâm nghiên cứu các tính chất, cơ chế vật lý xảy ra trong chất các
chất bán dẫn để từ đó đưa vào làm cơ sở nghiên cứu chế tạo vật liệu mới, ứng
dụng vào trong khoa học, kỹ thuật cũng như ứng dụng vào trong đời sống của
con người như: dựa vào tính chất của các hạt mang điện electron, các ion và
các lỗ trống trong lớp điện tử trong lớp tiếp xúc này là cơ sở tạo nên các điot,
bóng bán dẫn và các thiết bị điện tử hiện đại như ngày nay. Và với những
thành tựu to lớn của việc nghiên cứu bán dẫn đem lại, nó đã thực sự làm một
cuộc cách mạng trong trong ngành công nghiệp điện tử nói riêng cũng như
trong nhiều ngành khoa học nói chung.
Tuy nhiên các tính chất vật lý bên trong bán dẫn luôn chịu ảnh hưởng
của các tác động bên ngoài như: nhiệt độ, áp suất, độ biến dạng…, làm cho
vật liệu có sự thay đổi nhất định nào đó. Vì vậy việc nghiên cứu ảnh hưởng
của áp suất lên hằng số mạng của bán dẫn là thực sự cần thiết và có ý nghĩa
khoa học. Dựa vào lý do trên em quyết định chọn đề tài nghiên cứu là:
Nghiên cứu ảnh hưởng của áp suất lên hằng số mạng của bán dẫn có cấu
trúc kim cương bằng phương pháp thống kê momen.
2. Mục đích nghiên cứu.
- Nghiên cứu ảnh hưởng của áp suất lên hằng số mạng của bán dẫn có cấu
trúc kim cương bằng phương pháp thống kê momen.

1


3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
- Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của đề tài là: nghiên cứu cấu trúc tinh thể

của bán dẫn có cấu trúc kim cương, nghiên cứu ảnh hưởng của áp suất lên
hằng số mạng Ge.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu.
Để đạt được mục đích nghiên cứu của đề tài ta cần thực hiện những
nhiệm vụ sau:
-Tìm hiểu, nghiên cứu cấu trúc tinh thể của bán dẫn có cấu trúc kim cương.
-Tìm hiểu về phương pháp thống kê momen, ứng dụng của phương pháp
thống kê momen trong nghiên cứu ảnh hưởng của áp suất lên hằng số mạng
của bán dẫn có cấu trúc kim cương.
-Nghiên cứu ảnh hưởng của áp suất lên hằng số mạng của Ge.
5. Phương pháp nghiên cứu.
-Sử dụng phương pháp thống kê momen để nghiên cứu ảnh hưởng của áp suất
lên hằng số mạng của bán dẫn có cấu trúc kim cương.


NỘI DUNG
CHƯƠNG I
SƠ LƯỢC VỀ BÁN DẪN CÓ CẤU TRÚC KIM CƯƠNG
1.1. Cấu trúc tinh thể của bán dẫn có cấu trúc kim cương.
Các bán dẫn có cấu tạo tinh thể có thể là các nguyên tố như Si, Ge, P,
As,… và các hợp chất như CuO, ZnO, GeTe, GeS,…
Ta xét đến cấu trúc tinh thể của vật liệu bán dẫn có cấu trúc kim cương:
Cấu tạo nguyên tử của chúng là có 4 electron hóa trị ngoài cùng, giữa các
nguyên tử ấy có sự liên kết đồng hóa trị, mỗi nguyên tử này sẽ liên kết với 4
nguyên tử xung quanh bằng cách chúng sẽ trao đổi các electron chung với
nhau.
Cấu trúc tinh thể của Silic và Germanni trong không gian ba chiều có
cấu trúc lập phương giống với cấu trúc của kim cương. Bán dẫn có cấu trúc
kim cương sẽ gồm hai mạng lập phương tâm diện lồng vào nhau, cách nhau ¼
đường chéo trong không gian (hình 1.1). Mỗi nguyên tử là tâm của một tứ

diện cấu tạo từ 4 nguyên tử gần nhất xung quanh. Trong cấu trúc kim cương
thì nguyên tử ở tâm và nguyên tử ở 4 đỉnh của tứ diện là cùng loại [2].

Hình 1.1. Cấu trúc tinh thể của bán dẫn có cấu trúc kim cương


1.2. Một số ứng dụng của bán dẫn có cấu trúc kim cương.
Có thể nói nhờ có các bán dẫn mà các kỹ thuật hiện đại như trong
ngành công nghiệp điện tử máy tính, thông tin,… ngày càng phát triển với
trình độ cao. Nhờ có các bán dẫn mà con người mới phát minh ra hàng loạt
các loại máy móc phục phụ nhu cầu sử dụng cho con người và xã hội.Trong
đó các bán dẫn có cấu trúc kim cương được sử dụng rộng rãi nhất trong việc
sản xuất chế tạo các linh kiện dùng trong các thiết bị điện, các thiết bị quang
học,... Các tính chất của bán dẫn có cấu trúc kim cương (như silic, germani)
dùng để sản xuất các bộ chỉnh lưu dòng điện, các loại Tranzitor, ... Do các
bán dẫn có thể chế tạo được các linh kiện vô cùng nhỏ nên người ta dùng nó
chế tạo các mạch tổ hợp (mạch IC) hoặc các mạch IC siêu lớn.
Silic là vật liệu quan trọng được sử dụng nhiều nhất trong công nghiệp
điện tử [2]. Nó cũng được dùng để sản xuất các dụng cụ bán dẫn như điot,
tranzitor, pin mặt trời, … Silic trong hợp kim với sắt được dùng dưới dạng
các thép tấm làm máy biến áp với mục đích giảm tổn thất trong lõi thép Silic
tinh thể dùng để làm các chất bán dẫn điện để sản xuất các loại máy tách
sóng, máy khuếch đại. Silic còn được sử dụng như chất như chất khử oxy
trong luyện kim. Germani là một bán dẫn được nghiên cứu ứng dụng rất sớm
cùng với silic để chế tạo các linh kiện điện tử như diode, transistor [2].
Germani dùng để sản xuất các bộ chỉnh lưu dòng điện xoay chiều với các
công suất khác nhau, các loại tranzitor. Germani còn dùng để chế tạo ra bộ
cảm biến sức điện động Hall và các hiệu ứng từ điện để đo cường độ từ
trường, dòng điện công suất,…Đối với tính chất quang của Germani cho phép
dùng nó để làm các Tranzitor quang, điện trở quang, thấu kính quang mạnh

(đối với tia hồng ngoại), các bộ lọc quang học, điều biến ánh sáng và sóng vô
tuyến ngắn. Germani có hiệu ứng quang điện cả trong trường hợp hấp thụ các
điện tử trung bình và nhanh cũng như khi hãm các nguyên tố khối lượng lớn.


Ngoài ra Germani cũng là tác nhân trong sản xuất các hợp kim, các đĩa bán
dẫn với nền là Germani cho các tế bào quang điện hiệu suất cao đa kết nối
trong các ứng dụng cho tàu vũ trụ, ….
1.3. Phương pháp momen trong nghiên cứu bán dẫn có cấu trúc kim
cương.
1.3.1. Các công thức tổng quát về momen.
Ta có định nghĩa về momen trong lý thuyết xác suất và trong vật lý thống kê:
Tập hợp các biến cố ngẫu nhiên q1, q2,...q n tuân theo qui luật thống kê,
được mô tả bởi hàm phân bố  q1, q2, ..., qn  . Hàm này phải thỏa mãn điều kiện
chuẩn hóa. Người ta định nghĩa mô men cấp m trong lý thuyết xác suất như
sau:

 ... q q

q1 m 

m

1

1

(1.3.1)

, q2 ,..., qn

dq ...dqn

1
(q1 ,q2 ,...,qn )

momen này gọi là momen gốc. Momen trung tâm cấp m được định nghĩa:

q

1
1

 q
1



... q 
q  1

m

dq ..
q q , q ,..., .dq
m

1

1

n

1

n

(1.3.2)

q1 ,q2 ,...,qn 

Như vậy đại lượng trung bình thống kê q chính là momen cấp một và
2
phương sai q1  q1  là momen trung tâm cấp hai. Từ các định nghĩa trên
thấy rằng, nếu biết hàm phân bố  q ..., q  hoàn toàn có thể xác định được
1,
n
các momen.
Trong vật lý thống kê cũng có các định nghĩa tương tự như vậy. Riêng
^

đối với hệ lượng tử, được mô tả bởi toán tử thống kê  , các momen được xác
định như sau:
(̂

〈̂ 〉
̂)
〈( ̂

〈 ̂ 〉) 〉

*( ̂

〈 ̂ 〉)

̂+

(1.3.3) Với toán tử ̂ tuân theo phương trình Liouville lượng tử:


^

  ^ ^
i
 H, 
t

Với ...,... là dấu ngoặc Poisson lượng tử.
^

Như vậy nếu biết toán tử thống kê  thì có thể tìm được momen. Tuy
nhiên việc tính momen không phải là bài toán đơn giản. Ngay đối với hệ cân
^

bằng nhiệt động, dạng của  thường đã biết (phân bố chính tắc, hoặc chính
tắc lớn,v.v…), nhưng việc tìm các mô men cũng rất phức tạp.
Giữa các momen có quan hệ với nhau. Momen cấp cao có thể biểu diễn
qua momen cấp thấp hơn. Việc xây dựng tổng quát đối với hệ lượng tử để tìm
hệ thức liên hệ giữa các momen đã được xây dựng trong [17, 18]. Các hệ thức
liên hệ giữa các momen đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu tính

chất nhiệt động của tinh thể phi tuyến và được trình bày như sau:
Xét một hệ lượng tử chịu tác động của các lực không đổi a i theo hướng tọa độ
suy rộng Qi . Hamiltonian của hệ có dạng:
̂̂ a Q
 i i

^

(1.3.4)

i

Với ̂ là Hamiltonian của hệ khi không có ngoại lực tác dụng.
Từ một số phép biến đổi trong [17] các tác giả đã thu được hệ thức tổng quát
^

^

biểu thị mối liên hệ giữa toán tử bất kì F , và tọa độ Q k của hệ với
Hamiltonian H:
〈[ ̂ ̂ ] 〉
〈 ̂〉

〈 ̂〉 〈 ̂ 〉



B2 m

. /

 (1.3.5)
 2m !

(

〈

)

̂

〉

m0

Với
tuyệt đối.

là hệ số Becnouli,

, k B là hằng số Boltzman, T là nhiệt độ


Hệ thức này cho phép xác định sự tương quan giữa đại lượng F và tọa độ Qk .
^
(2m)

^

Muốn vậy phải biết được đại lượng

và

F
a

F
a k

. Đại lượng

^

xác

F
a

a
^
(2m)

F
định từ điều kiện cân bằng của hệ, còn
a k

từ phương trình động lực.
a

Trong trường hợp đặc biệt F  Qk , được biểu thức chính xác đối với phương
sai :
〈〈(̂

̂



i
  2m 
 
m0 2m !  

〈̂ 〉 ) 〉

〉

^

2m

B

Q
(2m)

(1.3.6)

k
k

a
a

Qk không phụ thuộc tường minh vào a k nên đối với hệ cổ điển công thức

(1.3.6) trở nên đơn giản hơn :
〈 ̂

〈( ̂
〈̂ 〉 ) 〉
(1.3.7)

〉

Công thức trên là công thức trong cơ học thống kê cổ điển [19].
Từ công thức (1.3.5) chúng ta còn xác định được hàm tương quan giữa F và
Qk

đối với hệ có Hamiltonian H 0 :
^


1 ^

^



^

^

k



F







B

^ 2m 



2m



F

 i



F,Q   F
2 
 k 

Q


 ak



a











2m

m0

2m!     


a0

ak



(1.3.8)



a0
^

trong đó <…> biểu thị trung bình theo tập hợp cân bằng với Hamiltian H 0 .
Các tác giả thu được hệ thức chính xác khác từ công trình [17]:
^

^

1



2m

 

^ (2mn)

1 

F Q (n)



B2 m

n



i

F



 

2
,
 

k

 1
 a

 2m!


m0



(1.3.9)

a
k
a


^
.

^

Trong trường hợp đặc biệt: F  Q , chúng ta được hệ thức cho phép xác
định thăng giáng của xung lượng:
^
.

Q

B

^

2m



k

(2m1)

Q

i 
 

m0 
a
2m! 

2

2m

k

a k

(1.3.10)
a



Biểu thức (1.3.5) được sử dụng để viết công thức truy chứng đối với mô men
tương quan cấp cao [13]. Tác giả đưa vào định nghĩa toán tử tương quan cấp
n:
1

^

Kn 

2

^

n1

^

^

^

(1.3.11)

] 3...Q
] n
[...[Q 1,Q
]2Q 

n1

^

^

Trong công thức (1.3.5) thay F = K n thu được:
〈〈[ ̂ ̂ 〉̂ ] 〉



〈̂ 〉 〈̂ 〉

B2 m

( )

2m
!
m0 

Thay k = n+1, ta thu được công thức truy chứng :

〈̂
〉
〈̂ 〉 〈̂
〉
2m
. /
B
〈 ̂ 〉
〈


m0

〈

(

̂

 2m !

̂(

)

〉

)

〉
(1.3.12)

Công thức (1.3.12) là công thức tổng quát về mô men cho phép xác
định các mô men cấp tùy ý. Đây là công thức xác định mô men cấp cao qua
mô men cấp thấp hơn, có thể biểu diễn qua cả mô men cấp 1.
1.3.2. Công thức tổng quát tính năng lượng tự do.
Giả sử Hamilton của hệ lượng tử có dạng :
̂

1.3.13) Với

như đã
biết.

̂

̂

là thông số, ̂ là một toán tử tùy ý, ̂ toán tử Hamilton xem


Dựa vào biểu thức đã thu được bằng phương pháp mô men đối với hệ
cân bằng nhiệt động trong [17] :
〈̂ 〉


Từ đó thu được biểu thức :
(

〈 〉

(1.3.14)

Năng lượng tự do của hệ :


( )



V

)

(1.3.15)


0

là năng lượng tự do của hệ với Hamiltonian ̂ xem như đã biết.

Với

Ta tìm được 〈 〉

thì từ (1.3.15) ta thu được biểu thức với năng lượng tự do

( ).
^

Nếu Hamiltonian H có dạng phức tạp thì tách thành:
^

^

H  H 0



^

i

Vi

(1.3.16)

i

^

sao cho H 0   1
V1

^

^

 2 V2

Giả sử biết năng lượng tự do  0 ứng với Hamilton ̂ của hệ, khi đó
^

^

^

năng lượng tự do  1 ứng H1  H 0   1 V1 , tiếp theo tìm năng lượng tự do  2
ứng
^

^

^

H 2  H1   2 V2 v.v…Cuối cùng thu được biểu thức đối với năng lượng tự do 

của hệ.
1.3.3. Độ dịch chuyển của nguyên tử khỏi nút mạng.
Ta xét tinh thể bán dẫn có cấu trúc kim cương, tương tác giữa các
nguyên tử ngoài tương tác cặp, thì còn kể đến đóng góp của tương tác 3 hạt.
Do vậy khi sử dụng phương pháp quả cầu phối vị, thế năng tương tác có dạng:
E

1
Wijk ,
6 i, j,k

(1.3.17)

Ei  1  ij 1 Wijk
6 j,k
2 j

(1.3.18)

 E  1 ij
i

i

2

i, j



Với E i là thế năng tương tác của hạt thứ i;  là thế năng tương tác giữa hạt
ij


thứ i và hạt thứ j; Wijk là thế năng tương tác giữa các hạt thứ i, j, k.


Trong trường hợp dao động mạnh, có thể khai triển thế năng E i theo độ
dời u i . Ở phép gần đúng cấp 4, thế năng tương tác của hạt i có dạng:
2
  E3 i

  Ei
1 
1
 u ju j   
 u ju ju
E i  Ei   
2  ,  u j u j 
6 ,  ,  u j u j u j
0

j

eq

 eq





1


 u u u u

 E4 i

j
j

j

24 ,  , ,  u j u j uj u j 
eq
1
 ,  ,  ,  x, y, z;

 



1

E i0  E i a j   ij a j
2



6
j,k

 ...

j

(1.3.19)

 

Wijk a j

j

Với a j là vị trí cân bằng của hạt thứ j
  2 Ei 
Dạng
của 
vv... được xác định như trong [16]:

 u u 
j
j  eq


2
  Ei

   2 E a a

 j u j 
u

 eq




u


u j u




u


i



j

j



i

 

  3 Ei a j a j a  2 E i a j   a j   a j 


 
 



 E3 i
j



 E

j







j
eq

  4 Ei a j a j a j a j
(1.3.20)






j u j u j u j  eq
 3Ei a j a j    a j a j    a j  a j a j    a j a j    a j a j    
4
i
E

 a
2

j





E i             a  

trong đó:


E i  1   a1 j   1 1 W  a 




ij
ijk
j
a j
3 k



2

 E
i
j

2 

 1

ij
aj 



3

1 

a

2

2 

W
ijk

j

a  



1 

a

ij
a 
3
jj



k

 1

1

3



W 1 a



ijk

j





k

 3E  1   a3 j  1 3 W  a   3   a2    1 2  W  a 






 i a 3  ij

j
ijk
j
j
ij
ijk
4
3 k
3 k

j a
j 
 3
a5j 
4

 Ei 

1 
ij


a 4j 

a   31   W a

1
ij

ijk

k

4




j

1a W   a 6 
3
 a
4
ijk

j

j

k

15  2 
a
6   ij
aj j 



1

j

5

j

1 3 
a
ij

 j 3



 
  1 W

a
  

15  1

7   ija
a jj 

2

ijk

3

j



k

 
 W a
ijk

3



k

 1

ijk

3

k

(1.3.21)

j





W 1 a
j 


Với các ký hiệu (1), (2), (3), (4) là đạo hàm các cấp tương ứng.
Tổng lực của tất cả các hạt tác dụng lên hạt thứ i:
2

  Ei


 u

 u  u  


j

j

 eq

j



1





 u u

3

 Ei

2  u  u  u  
,
 eq 

j

j

j

j


j

1

4

(

6 
, ,

E

i

) u u u
eq

j

j

j

u j u j u j u j

Nếu hạt thứ i còn chịu tác dụng của lực phụ không đổi p  thì ở trạng
thái cân bằng nhiệt động ta có phương trình:
3
  2E 
 Ei 
1 




u j u j
  u i  u j a  2    
a
u
u
u
u
 

 ,
j
j
j
j
 eq

j

 eq
4

E
1

u ju u j  p   0
   i
a
6  , , j j u j

j

u
 eq
u

(1.3.22)

Do mạng tinh thể có cấu trúc kim cương có tính đối xứng nên các số hạng sau
đều bằng không:
  2E





3

 E

 3 E 




 u
u
j

i

i 


 0;

0;
 0;

 u 2

 u 3

j
u
j
j 

 j
eq
 eq
4

  4  eq


E
E

i
i





 0;
0
 j3
2



u
u
u
u
u


j

j
j  eq
j

 eq
i

(1.3.23)

Từ công thức tổng quát về momen (1.3.12), có thể biểu diễn momen bậc 4



j

u j  u j u



j

u

; momen bậc 3  u

u j u

j

; mô men bậc 2  u



j

j
j

u



; qua bậc

1 như sau:
u ju j





j 

u j





 u j



a







cth

2m

 u

j 



j 

j

j 

p

 u

p

j

u j


4

2

u j

 u j
p




 3



j

 u j

p

a j a j a

p

2

a j a

3

3

p



2


2m

2

2

u j

u

p

j

p



j



6

u j

p



u j



cth
2m

a a


  u j

u








2

m

2

p

 u j
p

a
j

2



2



a

eq

u j u j u j
u j

 2 u j


 3
u

u

2

2

 u j
u u u
uj j j




m


 u j

u
j

p



(1.3.24)

a j


2
p





2

m

2

u j

p

j

Từ (1.3.24) và dựa vào tính đối xứng của tinh thể (1.3.23), lúc này (1.3.22)
được viết lại như sau:
2

dy
d y
 y  3 y   22

2
dp
dp m
3

 

dy




2





xcthx 1 y   y 
2

(1.3.25)

xcthx 1  ky 

p0
dp m

Với:




2




4



4

 



3




 Ei
 Ei
1 
2

; 
k


 6
Ei m ;  




2
2 



 jx 2
 jx 4
u
6
u
u
u



 eq
 eq
 jx jy  eq




 Ei



u jx u jy u jz  eq

Phương trình (1.3.25) nhận được khi coi rằng:
u j = u
= u j  = u  .
j 


(1.3.26)


Để giải (1.3.25) thực hiện phép biến đổi mới bằng cách đặt:
'

(1.3.27)

y y


3

Lúc này (1.3.25) có dạng:

'
2 '

'3
' dy

2 d y
 

xcthx 1y '  Ky 
y  3y

p 0
dp 
dp 2
k

(1.3.28)

Trong đó :
2
Kk
;
3





p  pK K
;


k  2






2

 27
k




1 2

3

xcthx

2 1
3k

(1.3.29)




Phương trình (1.3.28) là phương trình vi phân phi tuyến, chúng ta sẽ tìm
nghiệm của nó dưới dạng gần đúng. Do ngoại lực p  là tùy ý và nhỏ nên có
thể tìm nghiệm dưới dạng đơn giản:
'

'

y  y  A p  A
2
0 p 1
2

(1.3.30)

trong đó y 0 là độ dời tương ứng với trường hợp không có ngoại lực p 
Thay (1.3.30) vào (1.3.28), thu được phương trình đối với A1 , A2
2 2 A  3y '  ' y '3 
2 A
0 1 Ky 0
6y' 0 A2 
3A1

2


0


k

xcthx 1 y '

0

0

 3y 0 A1  KA1 xcthx 1A1 1  0
k


(1.3.31)

'2

Lúc này thu được nghiệm:

1  22 2  xcthx

1
1 xcthx
 1 4K

K
2



'3
'
'
y
xxcthx
3y A
Ky

'
0 1
0
0 1 y
A2 



2 
2 2
2k

A 1

2

(1.3.32)
0

2

Khi xcthx  1 , thì (1.3.28) trở về dạng quen thuộc trong [3]:
2 '
'
2 d y
' dy
'3
 3y
 y  Ky 



p 0

(1.3.33)


dp

2

dp



Nghiệm của (1.3.33) đã được đưa ra trong [3]: