Tập lồi đa diện và ứng dụng trong quy hoạch toàn phương

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

LÃ HỒNG NHUNG

TẬP LỒI ĐA DIỆN VÀ ỨNG DỤNG
TRONG QUY HOẠCH TOÀN PHƯƠNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

LÃ HỒNG NHUNG

TẬP LỒI ĐA DIỆN VÀ ỨNG DỤNG
TRONG QUY HOẠCH TOÀN PHƯƠNG
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học
TS. TRẦN VĂN NGHỊ

HÀ NỘI – 2018


Lã Hồng Nhung

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lời cảm ơn
Để hoàn thiện khóa luận em đã nhận được sự giúp đỡ của các thầy cô
trong khoa Toán. Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến các thầy
cô, đặc biệt là TS.Trần Văn Nghị, người đã trực tiếp tận tình hướng
dẫn để em có thể hoàn thành khóa luận này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô
trong trường ĐHSP Hà Nội 2 đã tận tình dạy bảo em trong suốt quá
trình học tập tại trường.
Khóa luận chắc chắn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. Em rất
mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy cô và các bạn để
khóa luận được hoàn thiện hơn nữa.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 2 tháng 5 năm 2018
Sinh viên

Lã Hồng Nhung

i


Lời cam đoan
Khóa luận được hoàn thành sau quá trình tự tìm hiểu, nghiên cứu
của bản thân cùng với sự hướng dẫn của TS.Trần Văn Nghị.
Khóa luận có sự tham khảo các kết quả nghiên cứu của các nhà khoa
học trong và ngoài nước. Em xin cam đoan kết quả của khóa luận này
là không sao chép từ bất cứ khóa luận nào. Em xin chịu hoàn toàn trách

nhiệm về lời cam đoan của mình.
Hà Nội, ngày 2 tháng 5 năm 2018
Sinh viên

Lã Hồng Nhung


Mục lục

Mở đầu

1

1 Tập lồi đa diện

3

1.1

Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Tập lồi đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.2.1

Khái niệm tập lồi đa diện . . . . . . . . . . . . .

14

1.2.2

Điểm cực biên của tập lồi đa diện . . . . . . . . .

16

1.2.3

Phương vô tận và phương cực biên của tập lồi đa
diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.4

20

Cấu trúc của tập lồi đa diện không chứa đường
thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Ứng dụng trong quy hoạch toàn phương

21
24

2.1

Bài toán quy hoạch toàn phương . . . . . . . . . . . . .

24

2.2

Sự tồn tại nghiệm của bài toán quy hoạch toàn phương

27

2.2.1

Định lí Frank-Wolfe . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.2.2

Định lí Eaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

Điều kiện cực trị cho bài toán quy hoạch toàn phương . .

31

2.3.1

Điều kiện cực trị bậc nhất . . . . . . . . . . . . .

31

2.3.2

Điều kiện cực trị bậc hai . . . . . . . . . . . . . .

35

2.3

1


KẾT LUẬN

39

Tài liệu tham khảo

40


Lã Hồng Nhung

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Tập lồi đa diện là môt loại tập lồi đặc biệt. Đây là một đối tượng toán

học quan trọng, có nhiều ứng dụng trong khoa học và kỹ thuật. Từ xa
xưa, các nhà toán học trên thế giới đã tập trung vào khai thác các tính
chất đặc biệt của tập lồi đa diện và sử dụng các tính chất quan trọng
của nó để giải quyết các bài toán quan trọng trong tối ưu, điều khiển,
tin học, toán kinh tế và nhiều lĩnh vực khác. Trong quy hoạch toán học,
các bài toán quy hoạch toàn phương trên tập lồi đa diện đã thu hút được
nhiều nhà nghiên cứu trong nước và quốc tế và đạt được nhiều thành
tựu có ý nghĩa. Với mong muốn nghiên cứu sâu hơn về tính chất của
tập lồi đa diện và tầm quan trọng của nó, em đã chọn đề tài "Tập lồi
đa diện và ứng dụng trong quy hoạch toàn phương" làm đề tài
khóa luận tốt nghiệp.

2. Mục đích nghiên cứu
Bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu hơn
về tập lồi đa diện.

1


Lã Hồng Nhung

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng: Tập lồi đa diện.
- Phạm vi nghiên cứu: Ứng dụng của tập lồi đa diện trong bài toán quy
hoạch toàn phương.

4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Trình bày cơ sở lý thuyết về tập lồi, tập lồi đa diện và ứng dụng trong

bài toán quy hoạch toàn phương nhờ tính chất của tập lồi đa diện.

5. Phương pháp nghiên cứu
Phân tích và tổng hợp kiến thức.

6. Cấu trúc khóa luận
Khóa luận gồm 2 chương:
Chương 1: Tập lồi đa diện.
Chương 2: Ứng dụng trong quy hoạch toàn phương.

2


Chương 1
Tập lồi đa diện
Nội dung chính của chương này đề cập đến tập lồi và tập lồi đa diện.
Tập lồi và các tính chất của tập lồi được trình bày trong Mục 1.1. Khái
niệm và các tính chất của tập lồi đa diện được trình bày trong Mục 1.2.

1.1

Tập lồi

Định nghĩa 1.1. Tập C ⊂ Rn được gọi là tập lồi nếu ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈
[0; 1] thì λx + (1 − λ) y ∈ C.
Nhận xét 1.1. Tập ∅ và tập chỉ có một phần tử được xem là tập lồi.
Định nghĩa 1.2. Đoạn thẳng nối x1 và x2 là tập hợp được định nghĩa
như sau
[x1 , x2 ] = {x ∈ C : x = λx1 + (1 − λ) x2 , λ ∈ [0; 1]}.
Nhận xét 1.2. Nếu tập C là lồi, thì mọi đoạn thẳng nối 2 điểm bất kì

thuộc C cũng thuộc C.
Định nghĩa 1.3. Tập C ⊂ Rn được gọi là tập affine nếu ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈
R thì λx + (1 − λ) y ∈ C.
3


Lã Hồng Nhung

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Định nghĩa 1.4. Cho tập A ⊂ Rn , giao của tất cả các tập affine chứa
A được gọi là bao affine của A.
Kí hiệu: affA.
Ví dụ 1.1.1. Trong R2 , đoạn thẳng, tia, đường thẳng, hình tam giác
(nói chung đa giác lồi), hình tròn là các tập lồi. Hình cầu đơn vị trong
không gian Banach là tập lồi. Các nửa không gian cũng là các tập lồi.
Định lý 1.1. Giao của một số bất kì các tập lồi là một tập lồi.
Chứng minh. Gọi Ci là các tập lồi, I là tập chỉ số tùy ý.
∀x1 , x2 ∈ C = ∩ Ci , ∀λ ∈ [0; 1], suy ra x1 , x2 ∈ Ci , ∀i ∈ I. Vì Ci là các
i∈I

tập lồi nên
λx1 + (1 − λ) x2 ∈ Ci , ∀i ∈ I.
Do đó
λx1 + (1 − λ) x2 ∈ ∩ Ci = C.
i∈I

Hệ quả 1.1. Cho ai ∈ Rn và αi ∈ R với i ∈ I, trong đó I là một tập
chỉ số tùy ý. Khi đó, tập
C = {x ∈ Rn : x, ai ≤ αi , ∀i ∈ I}

là lồi.
Chứng minh. Với mỗi i ∈ I, đặt Ci = {x ∈ Rn : x, ai ≤ αi }. Khi đó, Ci
là một nửa không gian đóng hoặc ∅ hoặc Rn . Do đó C = ∩ Ci là lồi.
i∈I

4


Lã Hồng Nhung

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nhận xét 1.3. Kết quả trên vẫn đúng nếu thay dấu “ ≤” bằng “ ≥ ”,
“ < ”, “ > ” hoặc “ = ”.
Định nghĩa 1.5. Giả sử x1 , x2 , ..., xm là các điểm trong không gian. Tổ
hợp lồi của m điểm x1 , x2 , ..., xm được xác định như sau
m

x=

αi x i
i=1

m

với αi ≥ 0,

αi = 1.
i=1

Định lý 1.2. Tập C ⊂ Rn là lồi khi và chỉ khi nó chứa mọi tổ hợp lồi
của những điểm thuộc nó. Tức là, C lồi khi và chỉ khi
m

∀x1 , x2 , ..., xm ∈ C, ∀αi ≥ 0,

m

αi = 1 ⇒
i=1

αi xi ∈ C.
i=1

Chứng minh. Điều kiện đủ là hiển nhiên từ định nghĩa tập lồi. Ta chứng
minh điều kiện cần bằng quy nạp.
Với m = 2: ∀x1 , x2 ∈ C, ∀λ ∈ [0; 1] ⇒ λx1 + (1 − λ) x2 ∈ C theo định
nghĩa tập lồi.
Giả sử kết luận đúng với m = k − 1 ≥ 2, ta sẽ chứng minh kết luận đúng
với m = k.
k

∀x1 , x2 , ..., xk ∈ C, ∀αi ≥ 0,

αi = 1, ta chứng minh
i=1
k

αi xi ∈ C.

x=
i=1

Trong số các αi i = 1, k phải có một số khác 1 (vì nếu αi = 1, ∀i = 1, k
k

k−1

αi = k ≥ 3, trái giả thiết). Giả sử αk = 1. Đặt ζ =

thì
i=1

αi . Ta có:
i

5


Lã Hồng Nhung

Khóa luận tốt nghiệp Đại học
k−1

x=

k−1

αi xi + αk xk = ζ
i

i

αi
xi + αk xk .
ζ

Với mỗi i = 1, k − 1, ta có:
αi
=
ζ

αi

=

k−1

αi

αi
≥0
1 − αk

i

và

k−1

i

1
αi
=
ζ
ζ

k−1

αi = 1.
i

Theo giả thiết quy nạp
k−1

y :=
i

αi
xi ∈ C.
ζ

Do đó
x = ζy + αk xk ∈ C.

Nhận xét 1.4. Nếu A, B là các tập lồi trong Rn , và C là tập lồi trong
Rm thì các tập sau là lồi:
A ∩ B := {x : x ∈ A, x ∈ B};
αA + βB = {x : x = αa + βb, a ∈ A, b ∈ B};

A × C = {x ∈ Rn+m : x = (a, c) : a ∈ A, c ∈ C}.
Định nghĩa 1.6. Cho tập A ⊂ Rn , giao của tất cả các tập lồi chứa A
được gọi là bao lồi của tập A.
Kí hiệu: convA.
Định lý 1.3. Cho tập A ∈ Rn , khi đó convA là tập lồi nhỏ nhất chứa
A.
6


Lã Hồng Nhung

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Chứng minh. Thật vậy, theo định nghĩa, convA là tập lồi chứa A. Mặt
khác, nếu C ⊂ Rn là một tập lồi bất kì chứa A thì convA ⊆ C. Do đó
convA là tập lồi nhỏ nhất chứa A.
Hệ quả 1.2. Bao lồi của hữu hạn các tập con {b0 , ..., bm } ⊂ Rn gồm tất
m

cả các vectơ có dạng λ0 b0 + ... + λm bm , với αi ≥ 0, ∀i = 0, m,

αi = 1.
i=0

Định nghĩa 1.7. Bao lồi của hữu hạn các điểm x1 , x2 , ..., xk ∈ Rn được
gọi là một hình đa diện.
Bao lồi của r + 1 điểm độc lập gọi là một r-đơn hình.
Định nghĩa 1.8. Tập C được gọi là nón nếu ∀x ∈ C, ∀λ > 0 thì λx ∈ C.
Ví dụ 1.1.2. Tập
C = {x ∈ R : x = 0}

là một nón nhưng không lồi.
Một nón được gọi là nón nhọn nếu nó không chứa đường thẳng, khi
đó ta nói 0 là đỉnh của nón. Một nón đồng thời là một tập lồi được gọi
là một nón lồi.
Ví dụ 1.1.3. a) Rn+ = {x ∈ Rn : x ≥ 0} là nón lồi.
b) Nón Loentz Ln = x ∈ Rn : xn ≥

x21 + ... + x2n−1

là nón lồi.

Định lý 1.4. Nếu C1 , C2 là các tập lồi trong Rn thì tổng C1 + C2 cũng
là tập lồi, trong đó
C1 + C2 = {x : x = x1 + x2 , x1 ∈ C1 , x2 ∈ C2 }.
Chứng minh. Với mọi x, y ∈ C, ∃x1 , y1 ∈ C1 và x2 , y2 ∈ C2 sao cho
x = x1 + x2 , y = y1 + y2 .
7


Lã Hồng Nhung

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Với mọi λ ∈ [0; 1], ta có
λx + (1 − λ) y = [λx1 + (1 − λ) y1 ] + [λx2 + (1 − λ) y2 ].
Vì C1 , C2 là các tập lồi nên
[λx1 + (1 − λ) y1 ] ∈ C1 , [λx2 + (1 − λ) y2 ] ∈ C2 .
Do đó λx + (1 − λ) y ∈ C.
Nhận xét 1.5. Ta có một số tính chất sau:
C1 + C2 = C2 + C1 ;

C1 + (C2 + C3 ) = (C1 + C2 ) + C3 ;
λ1 (λ2 C) = λ1 λ2 C;
λ (C1 + C2 ) = λC1 + λC2 .
Định lý 1.5. Nếu C là một tập lồi và λ1 ≥ 0, λ2 ≥ 0 thì
(λ1 + λ2 ) C = λ1 C + λ2 C.
Chứng minh. Với mọi y ∈ (λ1 + λ2 ) C : ∃x ∈ C sao cho
y = (λ1 + λ2 ) x = λ1 x + λ2 x ∈ λ1 C + λ2 C.
Ngược lại, nhờ sự tương quan của tính lồi, ta có
C⊃

λ1
λ1 + λ2

C+

λ2
λ1 + λ2

C.

Nhân biểu thức trên với λ1 + λ2 , với điều kiện (λ1 + λ2 ) > 0. Nếu λ1
hoặc λ2 bằng 0, thì sự khẳng định của định lí là hiển nhiên.

Cho 2 tập lồi C1 và C2 trong Rn , khi đó C1 ∩ C2 là tập lồi lớn nhất
chứa cả 2 tập C1 ,C2 và conv (C1 ∩ C2 ) là tập lồi nhỏ nhất chứa cả 2 tập
8


Lã Hồng Nhung

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

này. Điều này đúng với một cặp nhưng không đúng với một họ bất kì
{Ci , i ∈ I}.

Định lý 1.6. Cho {Ci : i ∈ I} là tập gồm các tập lồi tùy ý khác rỗng
trong Rn và C là bao lồi. Khi đó,
C=∪

λi Ci
i∈I

là hợp của hữu hạn các tổ hợp lồi.
Định nghĩa 1.9. Cho một ánh xạ tuyến tính f : Rn → Rm , ta có các
định nghĩa sau:
f (C) = {f (x) : x ∈ C} , C ∈ Rn
là ảnh của C dưới f và
f −1 (D) = {x : f (x) ∈ D} , D ∈ Rm
là nghịch ảnh của D dưới f .
Định lý 1.7. Cho f : Rn → Rm là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó, f (A)
là một tập lồi trong Rm với mọi tập lồi A ⊂ Rn và f −1 (B) là một tập
lồi trong Rn với mọi tập lồi B ⊂ Rm .
Hệ quả 1.3. Phép chiếu vuông góc của một tập lồi C lên một không
gian con L cũng là một tập lồi.
Chứng minh. Phép chiếu vuông góc ánh xạ lên L là một ánh xạ tuyến
tính quy định mỗi điểm x có duy nhất y ∈ L sao cho (x − y) ⊥L.
9


Lã Hồng Nhung

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Định lý 1.8. Cho C, D là các tập lồi tương ứng trong Rn và Rm . Khi
đó, tổng trực tiếp của chúng là lồi trong Rm+n và
C ⊕ D = {x = (y, z) : y ∈ C, z ∈ D} .
Định lý 1.9. Cho tập A ⊂ Rn , khi đó: bao lồi của tập A là tổ hợp lồi
của các điểm thuộc nó.
Chứng minh. Đặt:
k

k

αi xi : k ∈ N, x1 ,x2 , ..., xk ∈ A, α1 , ..., αk ∈ [0; 1] ,

B=
i=1

αi = 1 .
i=1

Ta chứng minh: convA = B.
Nếu Aα là lồi và Aα ⊃ A thì Aα phải chứa tất cả các tổ hợp lồi của A.
Suy ra B ⊂ Aα với mọi α. Do đó B ⊂ ∩ Aα = convA.
α

Mặt khác, B là tập lồi, do:
k

αi xi + (1 − λ)

λ
i=1

m

k

m

αi + (1 − λ)

có λ

βj xj

i=1

j=1

m

k

với xi , yi ∈ A và hệ số β, αi , ξi ∈ [0; 1],

αi = 1,
i=1

βi = 1,

j=1

βj = 1, suy ra B lồi
j=1

và A ⊂ B. Do đó convA ⊂ B.
Vậy convA = B.

Nhận xét 1.6. Tập A là lồi khi và chỉ khi A = convA.
Định nghĩa 1.10. Cho các tập A, B ⊂ Rn và α, β ⊂ R, tập
αA + βB = {αx + βy : x ∈ A, y ∈ B}
được gọi là một tổ hợp tuyến tính (tổ hợp Minkowski) của hai tập A và
10


Lã Hồng Nhung

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

B. Phép toán “+” được gọi là tổng vectơ (tổng Minkowski). Các trường
hợp khác có tên như sau:
A + B: Tập tổng;
A + x (khi B = x): Phép tịnh tiến của A;
αA: Bội của A;
αA + x (α ≥ 0): Ảnh qua phép vị tự của A;
−A := (−1) A: Đối của A;
A − B := A + (−1) B: Hiệu của A và B.
Định lý 1.10. Cho các tập lồi A ⊂ Rn , B ⊂ Rm và ánh xạ affine
f : Rn → Rm . Khi đó
f (A) := {f (x) : x ∈ A}

và
f −1 (B) := {x ∈ Rn : f (x) ∈ B}
là lồi.
Hệ quả 1.4. Hình chiếu của một tập lồi lên không gian affine con là
lồi.
Định nghĩa 1.11. Một điểm x thuộc hình đa diện P được gọi là một
đỉnh của P nếu x ∈
/ P \ {x}. Kí hiệu tập các đỉnh của P là vertP.
Định lý 1.11. Cho hình đa diện P ⊂ Rn và x1 , x2 , ..., xn ∈ Rn là các
điểm phân biệt. Khi đó,
i, Nếu P = conv {x1 , x2 , ..., xk } thì x1 là đỉnh P khi và chỉ khi x1 ∈
/
conv {x1 , x2 , ..., xk };
ii, P là bao lồi của các đỉnh đó.
11


Lã Hồng Nhung

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Định lý 1.12. Một tập lồi A ⊂ Rn là đơn hình nếu và chỉ nếu tồn tại
x0 , x1 , ..., xk ∈ A sao cho mỗi một x ∈ A có duy nhất một biểu diễn là
tổ hợp lồi của x0 , x1 , ..., xk .
Định lý 1.13. (Radon) Cho x1 , x2 , ..., xm ∈ Rn là các điểm độc lập
affine. Khi đó tồn tại một sự tách
{1, ..., m} = I ∪ J, I ∩ J = ∅
sao cho
conv {xi : i ∈ I} ∩ conv {xj : j ∈ J} = ∅.
Chứng minh. Cho x1 , x2 , ..., xm ∈ Rn là các điểm độc lập affine. Khi đó,

tồn tại α1 , α2 , ..., αm ∈ Rm không đồng thời bằng 0 sao cho

m

αi xi = 0
i=1

m

αi = 0.

và
i=1

Đặt I := {i ∈ {1, ..., m} : αi ≥ 0} và J := {1, ..., m} \I. Khi đó
α :=

αi =
i∈I

(−αj ) > 0.
j∈J

Do đó
y :=
i∈I

αi
xi =
α

j∈J

−αj
xj ∈ conv {xi : i ∈ I} ∩ conv {xj : j ∈ J}
α

Định lý 1.14. (Helly) Cho X1 , X2 , ..., Xm là các tập lồi trong Rn , trong
đó m > n. Nếu giao của một bộ n + 1 tập là khác rỗng thì giao của tất
cả các tập đó khác rỗng, nghĩa là
m

∩ Xj = ∅.

j=1

12


Lã Hồng Nhung

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Định lý 1.15. (Caratheodory) Cho A là tập m-chiều trong Rn và x ∈
convA. Khi đó, x có thể biểu diễn là một tổ hợp lồi của không quá m + 1
điểm thuộc A.
Chứng minh. Vì x ∈ convA nên x là tổ hợp lồi của hữu hạn các điểm
k

k

thuộc A. Giả sử x =

λi xi với
i=1

λi = 1 là tổ hợp lồi có số vectơ k nhỏ
i=1

nhất có thể của x.
Giả sử k > m + 1. Khi đó, các vectơ x1 , ..., xk không thể độc lập affine
vì dimA = m. Do đó các vectơ x2 − x1 , ..., xk − x1 là phụ thuộc tuyến
tính, tức là tồn tại α2 , ..., αk không đồng thời bằng 0 sao cho
k

αi (xi − x1 ) = 0.
i=2
k

Đặt α1 := −

αi , ta có
i=2
k

k

αi xi = 0,
i=1

αi = 0.
i=1

Như vậy
k

x=

k

λi x i =
i=1

(λi + tαi ) xi

(∗)

i=1

với mọi số thực t. Ta chọn
λi
,
αi <0 |αi |

t = min

khi đó hệ số dương trong tổ hợp lồi (*) sẽ ít hơn số hệ số dương trong
tổ hợp ban đầu, mâu thuẫn với giả thiết k là nhỏ nhất.

13

Lã Hồng Nhung

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.2

Tập lồi đa diện

1.2.1

Khái niệm tập lồi đa diện

Định nghĩa 1.12. Tích vô hướng của hai vectơ x, y ∈ Rn được xác định
như sau
x, y = x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn ,
trong đó x = (x1 , x2 , ..., xn ) , y = (y1 , y2 , ..., yn ).
Định nghĩa 1.13. Siêu phẳng trong không gian Rn là tập hợp các điểm
có dạng {x ∈ Rn : a, x = b}, trong đó a ∈ Rn là một vectơ khác 0 và
b ∈ R.
Một siêu phẳng sẽ chia không gian thành hai nửa không gian.
Ví dụ 1.2.1. Siêu phẳng trong không gian 2 chiều là đường thẳng, trong
không gian 3 chiều là mặt phẳng.
Nhận xét 1.7. Siêu phẳng là một tập affine.
Định nghĩa 1.14. Nửa không gian đóng trong Rn là tập hợp các điểm
có dạng {x ∈ Rn : a, x ≤ b}, trong đó a ∈ Rn là một vectơ khác 0 và
b ∈ R.
Ví dụ 1.2.2. Trong R2 , tập v = (x; y) ∈ R2 : 2x + y ≤ 3 là nửa không
gian đóng.

Trong R3 , tập

v = (x; y; z) ∈ R3 : x − y + z ≤ 0

là nửa không gian

đóng.
Nhận xét 1.8. Nửa không gian đóng là một tập lồi và đóng.
14


Lã Hồng Nhung

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Định nghĩa 1.15. Tập D ⊂ Rn được gọi là tập lồi đa diện nếu nó là
giao của một số hữu hạn các nửa không gian đóng.
Ví dụ 1.2.3. Trong R2 , gọi D là tập nghiệm của hệ bất phương trình
sau



x + x2 ≤ 1

 1
−x1 − x2 ≤ 0



 −x ≤ 0

1

Khi đó, D là một tập lồi đa diện.
Nhận xét 1.9. Tập lồi đa diện là một tập lồi và đóng. Theo định nghĩa,
tập lồi đa diện D có thể được biểu diễn như sau
m

D = ∩ Hi
i=1

trong đó, Hi là các nửa không gian đóng.
Hi = {x ∈ Rn : ai , x ≤ bi },
với ai = (ai1 , ai2 , ..., ain ).
Đặt


a
. . . a1n
 11

A =  ... . . . ...

am1 · · · amn





b


 1


 , b =  ...


bm




.


Khi đó, ta có thể biểu diễn D dưới dạng
D = x ∈ Rn : ai , x ≤ bi , ∀i = 1, m
hoặc
D = {x ∈ Rn : Ax ≤ b} .
15


Lã Hồng Nhung

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Tập lồi đa diện cũng là một tập lồi đóng. Do đó nó cũng có các khái
niệm điểm cực biên, phương vô tận và phương cực biên.
1.2.2

Điểm cực biên của tập lồi đa diện

Định nghĩa 1.16. Cho A là một tập lồi và đóng. Điểm x ∈ A được gọi
là điểm cực biên của A nếu không tồn tại các điểm y, z ∈ A, y = z và
λ ∈ (0; 1) sao cho x = λy + (1 − λ)z.
Như vậy, x là điểm cực biên của A khi và chỉ khi đẳng thức x =
λy + (1 − λ)z với y, z ∈ A và λ ∈ (0; 1) chỉ xảy ra khi x = y = z.
Kí hiệu: extA là tập hợp các điểm cực biên của A.
Ví dụ 1.2.4. Trong R2 , nếu tập lồi là đoạn thẳng thì hai đầu mút là
điểm cực biên của nó, nếu tập lồi là một hình đa giác lồi thì các đỉnh là
các điểm cực biên của nó. Nếu tập lồi là hình tròn thì nó có vô số điểm
cực biên.
Bổ đề 1.1. Cho D là tập lồi đa diện khác rỗng và không chứa đường
thẳng. Khi đó, nếu x ∈ D và x không phải là điểm cực biên thì tồn tại
y ∈ D thỏa mãn:
i, Nếu ai , x = bi thì ai , y = bi ;
ii, Tồn tại i ∈ 1, m sao cho ai , x < bi và ai , y = bi .
Chứng minh. i, Vì x ∈
/ extD nên tồn tại y, z ∈ D, y = z và λ ∈ (0; 1)
sao cho
x = λy + (1 − λ) z.
Nếu ai , x = bi thì ta có
16


Lã Hồng Nhung

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

ai , x = ai , λy + (1 − λ) y ≤ bi .
Do y, z ∈ D, suy ra

bi ≥ λ ai , y = ai , x − (1 − λ) ai , z ≥ bi − (1 − λ) bi = bi .
Do đó
ai , y = b i .
Tương tự đối với z. Vậy
ai , x = ai , y = ai , z = bi .
ii, Trước hết ta chứng minh tồn tại i ∈ 1, m sao cho ai , x < bi .
Giả sử ai , x = bi , ∀i ∈ 1, m. Theo chứng minh trên
ai , x = ai , y = ai , z = bi , ∀i ∈ 1, m.
Vậy với mọi λ > 0, ta có
ai , λy + (1 − λ) z = λ ai , y − (1 − λ) ai , z = bi , ∀i = 1, m.
Suy ra D chứa đường thẳng đi qua y, z. Mâu thuẫn với giả thiết là D
không chứa đường thẳng. Vậy tồn tại i ∈ 1, m sao cho ai , x < bi .
Do D không chứa đường thẳng nên đoạn [y, z] không thể kéo dài mãi về
2 phía. Không mất tính tổng quát, ta coi đường thẳng qua y, z thoát ra
khỏi D tại y.
Giả sử với mọi i ∈ 1, m, nếu ai , x < bi thì ai , y = bi . Không mất tính
tổng quát ta giả sử
ai , y = ai , x = bi , ∀i = 1, k,
ai , y < bi , ai , x = bi , ∀i = k + 1, m.

17


Lã Hồng Nhung

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Với mỗi t > 0, ta đặt yt = y + t (y − x). Với mỗi i ∈ k + 1, m, chọn
bi < bi sao cho ai , y < bi .
Khi đó, với t > 0 đủ nhỏ, ta có

ai , yt = ai , y + t ai , y − x < bi + t ai , y − x < bi , ∀i = k + 1, m
Mặt khác ai , yt = bi , ∀i = 1, k do ai , y = ai , x = bi , ∀i = 1, k. Do đó
yt ∈ D với t > 0 đủ nhỏ. Như vậy đoạn thẳng [y, z] có thể kéo dài về
phía y tới yt sao cho nó vẫn nằm trong D. Điều này mâu thuẫn với giả
sử đường thẳng qua y, z thoát ra khỏi D tại y.
Định lý 1.16. Tập lồi đa diện khác rỗng nếu không chứa đường thẳng
thì có điểm cực biên.
Chứng minh. Xét tập lồi đa diện D khác rỗng và không chứa đường
thẳng. Chọn x ∈ D bất kì. Nếu x ∈ extD, định lí được chứng minh. Giả
sử x ∈
/ extD. Theo Bổ đề 1.1, có x1 ∈ D sao cho tồn tại i ∈ 1, m thỏa
mãn
ai , x < bi và ai , x1 = bi .
Đặt Hi = {x ∈ Rn : ai , x = bi }. Ta có x ∈
/ Hi . Đặt D1 = Hi ∩ D.
Giả sử dim D1 = dim D. Vì D1 ⊂ D nên af f D1 ⊂ af f D. Lại có
dim D1 = dim D nên af f D1 = af f D. Vì D1 ⊂ Hi nên af f D1 ⊂
af f Hi = Hi . Do đó af f D ⊂ Hi . Mà x ∈ D ⊂ af f D. Suy ra x ∈ Hi , vô
lí. Vậy dim D1 < dim D.
Ta chứng minh extD1 ⊂ extD. Xét x ∈ extD1 . Giả sử x ∈
/ extD. Khi
đó, tồn tại các điểm y, z ∈ D, y = z và λ ∈ (0; 1) sao cho x = λy+(1−λ)z.
Vì x ∈ D1 = Hi ∩D nên ai , x = bi . Suy ra λ ai , y +(1 − λ) ai , z = bi .
Vì λ ∈ (0; 1) nên ai , y = ai , z = bi . Suy ra y, z ∈ D ∩ Hi = D1 .
18


Lã Hồng Nhung

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vậy tồn tại các điểm y, z ∈ D1 , y = z và λ ∈ (0; 1) sao cho x = λy +
(1 − λ)z, hay x ∈
/ extD1 , mâu thuẫn với giả thiết. Do đó extD1 ⊂ extD.
Vậy nếu x1 là điểm cực biên của D1 thì x1 cũng là điểm cực biên của D.
Ta có điều phải chứng minh.
Ngược lại, nếu x1 không là điểm cực biên của D1 thì ta tiếp tục lập
luận như trên và giảm được dim D1 vì D1 cũng là tập lồi đa diện khác
rỗng và không chứa đường thẳng. Quá trình lập luận này sẽ dừng lại ở
bước k nào đó mà xk là điểm cực biên của Dk . Do extDk ⊂ ... ⊂ extD1 ⊂
extD nên xk là điểm cực biên của D.
Định lý 1.17. Cho D là tập lồi đa diện khác rỗng. Nếu x là điểm cực
biên của D thì tồn tại hệ gồm n vectơ độc lập tuyến tính {aj1 , aj2 , ..., ajn }
lấy từ hệ {a1 , a2 , ..., am } sao cho aji , x = bji , ∀i = 1, n.
Chứng minh. Giả sử có tối đa k < n vectơ độc lập tuyến tính
{aj1 , aj2 , ..., ajk } lấy từ hệ {a1 , a2 , ..., am } sao cho aji , x = bji , ∀i = 1, k.
Đặt L = aj1 , aj2 , ..., ajk . Ta có dim L⊥ = n − dim L = n − k ≥ 1 nên
tồn tại h ∈ L⊥ , h = 0. Do đó, với ε đủ nhỏ, ta có
ai , x ± εh = ai , x ≤ bi
nếu ai ∈ L và
ai , x ± εh = ai , x < bi
nếu ai ∈
/ L.
Vậy x ± εh ∈ D và x + εh = x − εh do h = 0. Mặt khác, ta có
x=

1
1
(x + εh) + (x − εh).
2

2

19