Định lý METRIC hóa các không gian tô pô

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

Phùng Thị Phượng

ĐỊNH LÝ METRIC HÓA CÁC KHÔNG GIAN TÔ PÔ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Hình học

Hà Nội – 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

Phùng Thị Phượng

ĐỊNH LÝ METRIC HÓA CÁC KHÔNG GIAN TÔ PÔ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học:
TS. Nguyễn Tất Thắng

Hà Nội – 2018

Lời cảm ơn
Tác giả khóa luận tốt nghiệp chân thành cảm ơn TS. Nguyễn Tất Thắng
đã tận tình hướng dẫn tác giả đọc các tài liệu, tập dượt nghiên cứu và đã
góp ý chi tiết về cách trình bày một số kết quả trong khóa luận tốt nghiệp.
Tác giả chân thành cảm ơn các thầy cô giáo Khoa Toán trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là tổ Hình học, đã tạo điều kiện thuận lợi cho
tác giả trong quá trình học Đại học và thực hiện bản khóa luận này.


Lời cam đoan
Dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy hướng dẫn TS. Nguyễn Tất Thắng
cùng với sự cố gắng của bản thân khóa luận tốt nghiệp của tôi được hoàn
thành. Các nội dung trình bày trong khóa luận là kết quả của quá trình
học tập, tổng hợp, tham khảo và kế thừa những thành quả nghiên cứu của
các nhà khoa học và các nhà nghiên cứu với sự trân trọng và lòng biết ơn
của tôi. Tôi xin cam đoan nội dung trong khóa luận này không có sự trùng
lặp với nội dung của các đề tài khác. Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách
nhiệm.


Mục lục
Lời cảm ơn
Mở đầu

1

1 Các khái niệm cơ sở và các tiên đề tách

4

1.1

1.2

Các khái niệm cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1

Không gian tô pô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.2

Cơ sở của tô pô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.3

Không gian tô pô con . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.4

Lân cận, tập đóng và tập mở . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.5

Tập hợp trù mật và không gian khả ly . . . . . . . . 12

1.1.6

Quan hệ thứ tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.7

Ánh xạ liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.1.8

Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1.9

Tô pô tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Các tiên đề tách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.1

Không gian T0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

PHÙNG THỊ PHƯỢNG

1.2.2

Không gian T1

1.2.3

Không gian T2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2.4

Không gian T3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2.5

Không gian T3 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.2.6

Không gian T4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.2.7

Tiên đề đếm được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Định lý metric hóa Urysohn

23

2.1

Bổ đề Urysohn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2

Định lý metric hóa Urysohn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3

Hệ quả của định lý metric hóa Urysohn . . . . . . . . . . . . 31

3 Định lý metric hóa Nagata-Smirnov
3.1

33

Định lý metric hóa Nagata-Smirnov . . . . . . . . . . . . . . 34

Tài liệu tham khảo

47

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Toán học có vai trò cực kì quan trọng trong thực tiễn đời sống cũng như
trong nghiên cứu khoa học. Nó là nền tảng và là cơ sở để nghiên cứu các
môn khoa học khác.
Hình học tô pô là một lĩnh vực chính của Toán học, trong đó các không
gian tô pô là đối tượng nghiên cứu cơ bản. Các không gian tô pô trên đó
có thể trang bị một "khoảng cách" mà sinh ra tô pô sẵn có được gọi là các
không gian tô pô metric hóa được. Chúng có đầy đủ các tính chất của một
không gian metric, chẳng hạn Hausdorff, paracompact, đếm được thứ nhất,
... . Đối với các không gian đó, việc nghiên cứu các tính chất tô pô, hình
học, giải tích trở nên thuận tiện hơn. Vì vậy, việc metric hóa một không
gian tô pô là một vấn đề quan trọng, đã được nhiều nhà Toán học quan
tâm, nghiên cứu. Nhận thấy tầm quan trọng của chủ đề này và mong muốn
được học hỏi, trau dồi kiến thức, em đã chọn đề tài "Định lý metric hóa
các không gian tô pô" cho khóa luận tốt nghiệp của mình.
Khóa luận gồm ba chương:

1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

PHÙNG THỊ PHƯỢNG

Chương 1 "Các khái niệm cơ sở và các tiên đề tách" trình bày một số
khái niệm và ví dụ cơ bản.
Chương 2 "Định lý metric hóa Urysohn" thảo luận điều kiện đủ để một
không gian tô pô là metric hóa được.
Chương 3 "Định lý metric hóa Nagata-Smirnov" thảo luận điều kiện

cần và đủ để một không gian tô pô là metric hóa được.

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu vấn đề metric hóa các không gian tô pô. Cụ thể hơn, tìm hiểu
các điều kiện để có thể trang bị cho một không gian tô pô một metric mà
sinh ra tô pô sẵn có.

3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu: Các không gian tô pô.
• Phạm vi nghiên cứu: Các định lý metric hóa trong không gian tô pô.

4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về các định lý metric hóa trong không gian tô pô, cụ thể là
định lý metric hóa Urysohn và định lý metric hóa Nagata-Smirnov từ đó
đưa ra điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ để một không gian tô pô là metric
hóa được.

2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

PHÙNG THỊ PHƯỢNG

5. Phương pháp nghiên cứu
Trước hết tìm và tham khảo tài liệu, sách giáo khoa, sách giáo trình có liên
quan về hình học, tô pô đại cương.
Phân tích và tổng hợp các ví dụ và bài tập minh họa, tham khảo ý kiến
giáo viên hướng dẫn.

6. Ý nghĩa khoa học, thực tiễn của đề tài
Là tài liệu tham khảo cho các sinh viên chuyên ngành toán học.

Hà Nội, ngày .../.../2018.
Tác giả khóa luận

Phùng Thị Phượng

3


Chương 1

Các khái niệm cơ sở và
các tiên đề tách
1.1

Các khái niệm cơ sở

1.1.1

Không gian tô pô

Định nghĩa 1.1. Một tô pô trên X là một họ các tập con τ của X sao
cho:
(1) ∅ và X ∈ τ .
(2) Với tập con bất kỳ {Uα }α∈J của τ thì ∪α∈J Uα ∈ τ .
(3) Cho tập con hữu hạn bất kì {U1 , ..., Un } của τ thì
U1 ∩ ... ∩ Un ∈ τ .

4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

PHÙNG THỊ PHƯỢNG

Một không gian tô pô là một cặp (X, τ ), trong đó, X là tập hợp và tô
pô τ cho trước. Đôi khi ta nói X là không gian tô pô khi tô pô τ đã biết.
Các tập con U ∈ τ được gọi là mở. Chú ý rằng định nghĩa đó chỉ tính
chất của tập mở. Với thuật ngữ đó, các tiên đề trên khẳng định rằng:
(1) ∅ và X là mở (như các tập con của X).
(2) Hợp của một họ tùy ý các tập hợp mở là một tập mở.
(3) Giao hữu hạn của các tập mở là một tập mở.
Cho tập X bất kì.
Ví dụ 1.1.1. (Tô pô rời rạc) Tô pô rời rạc trên X là tô pô τdisc mà tất cả
mọi tập con U ⊂ X được định nghĩa là mở. Do đó, họ các tập con mở bằng
lũy thừa của tập X là τdisc := P (X) (họ các tập con của X). Rõ ràng, các
tiên đề của một tô pô là thỏa mãn. Ta gọi (X, τdisc ) là không gian tô pô rời
rạc.
Chú ý rằng, cho mỗi điểm x ∈ X, tập chỉ gồm một phần tử duy nhất
{x} là tập con của X, do đó là mở trong tô pô rời rạc. Với hai điểm x, y
phân biệt thì được tách nhau bởi hai tập mở {x}, {y}.
Ví dụ 1.1.2. (Tô pô tầm thường) Tô pô tầm thường trên X là tô pô τtriv
mà chỉ các tập con ∅ và X được định nghĩa là mở. Do đó, τtriv := {∅, X}.
Nó thỏa mãn các tiên đề của một tô pô. Vì có rất ít họ các tập con là mở
nên chúng ta gọi (X, τtriv ) là không gian tô pô tầm thường (một vài tài liệu
gọi đó là tô pô không rời rạc).
Ví dụ 1.1.3. Nếu X là một tập hữu hạn và τ là tô pô trên X, ta gọi (X, τ )
là không gian tô pô hữu hạn.

5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

PHÙNG THỊ PHƯỢNG

Khi X là hữu hạn, họ các tập con P (X) của X và tô pô bất kỳ τ ⊂
P (X) chỉ gồm hữu hạn phần tử. Do đó, việc lấy hợp hữu hạn hay hợp tùy
ý các tập con của X không đóng vai trò quan trọng. Do đó, để kiểm tra
điều kiện (2) và (3) cho một tô pô, ta cần kiểm tra rằng: với U1 , U2 ∈ τ thì
U1 ∪ U2 ∈ τ và U1 ∩ U2 ∈ τ .
Ví dụ 1.1.4. Cho X := {a, b, c}. Có 29 tô pô khác nhau trên X. Đây là 9
tô pô trong số đó:
(1) Tô pô tầm thường τ1 = τtriv = {∅, X}.
(2) τ2 = {∅, {a}, X}.
(3) τ3 = {∅, {a, b}, X}.
(4) τ4 = {∅, {a}, {a, b}, X}.
(5) τ5 = {∅, {a, b}, {c}, X}.
(6) τ6 = {∅, {a}, {b}, {a, b}, X}.
(7) τ7 = {∅, {a}, {a, b}, {a, c}, X}.
(8) τ8 = {∅, {a}, {c}, {a, b}, {a, c}, X}.
(9) Tô pô rời rạc τ9 = τdisc = P (X) (với 8 phần tử).
Dễ kiểm tra rằng mỗi tập là hợp và giao các bao đóng. Các tô pô còn
lại trên X sinh ra bởi hoán vị các phần tử a, b, c.
Định nghĩa 1.2. Không gian tô pô X gọi là compact nếu mỗi phủ mở của
X đều có một phủ con hữu hạn, tức là, với mỗi phủ mở (Us )s∈S của X đều
k

tồn tại một tập hợp hữu hạn S = {s1 , ..., sk } ⊂ S sao cho X =

Usi . Tập
i=1

A của không gian tô pô X gọi là compact nếu không gian con A ⊂ X là
một không gian compact, tức là, A là không gian compact với tô pô cảm
6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

PHÙNG THỊ PHƯỢNG

sinh.

1.1.2

Cơ sở của tô pô

Định nghĩa 1.3. Cho X là một tập. Tập hợp B gồm các tập con của X
là cơ sở cho một tô pô τ nếu:
(1) Cho mỗi x ∈ X tồn tại B ∈ B với x ∈ B.
(2) Nếu B1 , B2 ∈ B và x ∈ B1 ∩ B2 thì tồn tại B3 ∈ B sao cho
x ∈ B3 ⊂ B1 ∩ B2 .
Các tập B ∈ B trong cơ sở được gọi là các phần tử cơ sở.
Chú ý rằng, các phần tử cơ sở là các phần tử trong B và là các tập con
của X.
Định nghĩa 1.4. Cho B là cơ sở cho tô pô trên X. Tô pô τ sinh bởi B
là họ các tập con U ⊂ X sao cho với mỗi x ∈ U tồn tại B ∈ B với x ∈ B
⊂ U.

Bổ đề 1.1. Tập hợp τ sinh bởi cơ sở B là tô pô trên X.
Chứng minh. Gọi τ là họ các tập con của tập hợp X mà mỗi tập hợp là hợp
của một họ nào đó những tập hợp thuộc B, tức là, với mỗi A ⊂ X, A ∈ τ
Us , trong đó, {Us }s∈S là một họ con nào đó của B.

khi và chỉ khi A =
s∈S

Ta cần chứng minh τ là tô pô. Thật vậy, ∅ ∈ τ vì ∅ là hợp của họ rỗng
những tập hợp thuộc B, X ∈ τ nên từ điều kiện (1) suy ra rằng X là hợp
của tất cả các tập hợp thuộc B. Hiển nhiên, hợp của một họ tùy ý những
tập hợp thuộc τ là một tập hợp thuộc τ . Bây giờ, giả sử U, V ∈ τ , khi đó,
7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học
U=

Vt , Us ∈ B, Vt ∈ B, với mọi s, t thỏa mãn s ∈ S, t ∈ T .

Us , V =
s∈S

PHÙNG THỊ PHƯỢNG

t∈T

Ta có: U ∩ V =

(Us ∩ Vt ). Vậy muốn chứng minh U ∩ V ∈ τ ta chỉ

s∈S t∈T

cần chỉ ra rằng Us ∩ Vt ∈ τ với mọi s ∈ S, t ∈ T . Từ điều kiện (2), suy ra,
với mỗi x ∈ Us ∩ Vt , tồn tại một Ux ∈ B sao cho:
x ∈ Ux ⊂ Us ∩ Vt .
Do đó, Us ∩ Vt =

Ux . Vậy Us ∩ Vt ∈ τ với mọi s ∈ S, t ∈ T . Từ cách
x∈Us ∩Vt

xây dựng τ , ta thấy ngay rằng B là một cơ sở của τ . Tô pô xác định như
trên gọi là tô pô xác định bởi cơ sở B.
Ví dụ 1.1.5. Cho X := R2 là mặt phẳng. Cho B là họ của tất cả các hình
cầu mở trong mặt phẳng R2 .
Đó là họ của tất cả ε - các hình cầu trong R2 liên quan đến metric Euclid
d(x, y) := y − x trong mặt phẳng.
Ví dụ 1.1.6. Cho X := R2 là xy - mặt phẳng và cho B là họ tất cả các
hình chữ nhật mở:
(a, b) × (c, d) ⊂ R × R
Với a < b và c < d. Đó là hình chữ nhật bị chặn bởi các đường thẳng đứng
x = a và x = b, các đường nằm ngang y = c và y = d.
Ví dụ 1.1.7. X là một tập và B là họ của các tập chỉ gồm một phần tử
duy nhất {x} với x ∈ X. Dễ thấy, đó là cơ sở cho tô pô rời rạc τdisc trên X.

8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.1.3

PHÙNG THỊ PHƯỢNG

Không gian tô pô con

Định nghĩa 1.5. Cho (X, τ ) là không gian tô pô và Y ⊂ X là tập con. Họ
JY := {Y ∩ U | U ∈ J}
các tập con của Y được gọi là không gian tô pô con trên Y . Với tô pô đó,
(Y, τY ) được gọi là không gian con của X.

1.1.4

Lân cận, tập đóng và tập mở

Định nghĩa 1.6. (Tô pô chuẩn) Cho R là tập tất cả các số thực. Cho B
là họ tất cả các khoảng mở
(a, b) := {x ∈ R | a < x < b}
thì B là cơ sở cho tô pô và tô pô sinh bởi B là tô pô chuẩn của R.
Cho R2 là họ tất cả các cặp thứ tự của các số thực. Cho B là họ tích Đề các của tất cả các khoảng mở (a, b) × (c, d) thì B là cơ sở cho tô pô và tô
pô sinh bởi B là tô pô chuẩn của R2 .
Định nghĩa 1.7. (Lân cận) Cho X là không gian tô pô, U ⊂ X là tập con
và x ∈ X là điểm.
Ta nói rằng U là lân cận của x nếu tồn tại tập mở B sao cho x ∈ B và
B ⊂ U.
Ta nói rằng A có giao khác rỗng với tập B nếu A ∩ B = ∅. Sau đây là
tiêu chuẩn để kiểm tra điểm x ∈ X nằm trong bao đóng của A.

9

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

PHÙNG THỊ PHƯỢNG

Định nghĩa 1.8. (Tập con đóng) Tập con A của không gian tô pô X được
gọi là đóng khi (và chỉ khi) phần bù X − A là mở. Nói cách khác, các tập
con đóng của X là các tập con có dạng X − U mà U là mở.
Ví dụ 1.1.8. Khoảng [a, b] := {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} là đóng trong R (với
tô pô chuẩn), suy ra, phần bù R −[a, b] = (-∞, a) ∪ (b, ∞) là mở.
Định nghĩa 1.9. (Điểm trong) Giả sử A là một tập hợp con của không
gian tô pô X. Điểm xo của X gọi là một điểm trong của tập hợp A nếu
A chứa một lân cận của xo . Hiển nhiên, nếu xo là điểm trong của A thì
xo ∈ A.
Mệnh đề 1.1. (Tập mở) Tập hợp G là mở khi và chỉ khi mỗi điểm của G
đều là một điểm trong của nó.
Ví dụ 1.1.9. Không gian X và ∅ là các tập mở. Hình cầu mở là một tập
hợp mở.
Cho X là không gian tô pô và A ⊂ X là tập con.
Định nghĩa 1.10. (Phần trong) Phần trong IntA của A là hợp của họ các
tập con mở của X được chứa trong A.
Định nghĩa 1.11. (Bao đóng) Bao đóng ClA = A¯ là giao của họ các tập
con đóng của X chứa A.
Hợp của họ các tập mở là mở, giao của họ các tập đóng là đóng. Các
bổ để sau là hiển nhiên.
10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

PHÙNG THỊ PHƯỢNG

Bổ đề 1.2. (1) Bao đóng ClA là tập con đóng của X.
(2) A ⊂ ClA.
(3) Nếu A ⊂ K ⊂ X với K− đóng thì ClA ⊂ K.
Bổ đề 1.3. (1) Phần trong IntA là tập con mở của X.
(2) IntA ⊂ A.
(3) Nếu U ⊂ A ⊂ X với K mở thì U ⊂ IntA.
Ví dụ 1.1.10. Cho X = R và A = [a, b) với a < b thì bao đóng của A
là khoảng đóng [a, b] và phần trong của A là khoảng mở (a, b). Bao đóng
không thể là tập nhỏ hơn nên [a, b) là không đóng, phần trong không thể
là tập lớn hơn nên [a, b) là không mở.
Bổ đề 1.4. Phần bù của bao đóng là phần trong của phần bù và phần bù
của phần trong là bao đóng của phần bù, tức là:
X − ClA = Int(X − A)
X − IntA = Cl(X − A)
Mệnh đề 1.2. Cho A là tập con của không gian tô pô X. Điểm x ∈ X
nằm trong bao đóng A¯ khi và chỉ khi A có giao khác rỗng với mỗi tập mở
U trong X mà chứa x. Tương đương x ∈ A¯ khi và chỉ khi A có giao khác
rỗng với U với mỗi U là lân cận của x.
Chứng minh. Xem xét phần bù X − A và phần trong của nó. Ta có x ∈
Int(X − A) khi và chỉ khi tồn tại U mở với x ∈ U sao cho U ⊂ X − A.
¯ Phủ định của
Phủ định của x ∈ Int(X − A) là x ∈ X − Int(X − A) = A.
U ⊂ X − A là A ∩ U = ∅. Phủ định của "tồn tại U mở với x ∈ U sao cho
11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

PHÙNG THỊ PHƯỢNG

U ⊂ X − A" là "với mỗi U mở với x ∈ U ta có A ∩ U = ∅". Do đó, x thuộc
bao đóng của A khi và chỉ khi A có giao khác rỗng với mỗi lân cận U của
x.
Mệnh đề 1.3. Cho B là cơ sở cho tô pô trên X và cho A ⊂ X là tập con.
Điểm x ∈ X nằm trong A¯ khi và chỉ khi A có giao khác rỗng với mỗi phần
tử cơ sở B ∈ B với x ∈ B.
Chứng minh. Nếu tồn tại U mở với x ∈ U sao cho U ⊂ X − A thì tồn tại
phần tử cơ sở B ∈ B với x ∈ B sao cho B ⊂ X − A và ngược lại. Do đó,
ta có thể thay thế "U mở" bởi "phần tử cơ sở B" trong chứng minh ở định
lý trên.
1
¯ vì mỗi phần tử cơ sở
| n ∈ N}. Thì 0 ∈ A,
n
(a, b) có tô pô chuẩn trên R với 0 ∈ (a, b) chứa (-ε, ε), với mỗi ε > 0, do đó
1
1
cũng chứa ∈ A với mỗi n > . Bao đóng của A là A¯ = {0} ∪ A. Đó là
n
ε
1
tập con đóng của R, vì phần bù là hợp của các tập mở (-∞, 0), (
,
(n + 1)
1
) với n ∈ N và (1, ∞).
n
Ví dụ 1.1.11. Cho A = {

1.1.5

Tập hợp trù mật và không gian khả ly

Định nghĩa 1.12. (Tập trù mật) Cho (X, τ ) ⊂ X, A ⊂ X được gọi là trù
¯
mật trong B nếu B ⊂ A.
Định nghĩa 1.13. A trù mật khắp nơi trong X nếu A¯ = X.

12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

PHÙNG THỊ PHƯỢNG

Định nghĩa 1.14. (Không gian khả ly) Không gian tô pô (X, τ ) là không
gian khả ly (tách được) nếu tồn tại một tập A ⊂ X sao cho A đếm được
và A¯ = X.
Ví dụ 1.1.12. R với tô pô tự nhiên là không gian khả ly.

1.1.6

Quan hệ thứ tự

Định nghĩa 1.15. Một quan hệ hai ngôi R trên tập hợp A được gọi là
quan hệ thứ tự nếu nó thỏa mãn ba tính chất: phản xạ, đối xứng, bắc cầu.
Người ta thường kí hiệu quan hệ thứ tự bởi

và nếu a

b hoặc b

a thì

ta nói 2 phần tử a và b là so sánh được với nhau. Tập A với quan hệ thứ
tự được gọi là tập sắp thứ tự.
Thứ tự R được gọi là thứ tự thực sự nếu với mọi a, b mà aRb thì a = b.
Quan hệ < trên A là quan hệ thứ tự thỏa mãn:
(1) Nếu a = b thì a < b hoặc b < a;
(2) Nếu a < b, b < c thì a < c;
(3) Nếu a < b thì a = b.
Ví dụ 1.1.13. Quan hệ bao hàm ⊆ giữa các tập con của một tập hợp X
là quan hệ thứ tự trên tập P (X)− tập tất cả các tập con của X.
Định nghĩa 1.16. (Tập sắp thứ tự tốt) Một tập hợp được gọi là sắp thứ
tự tốt nếu nó là được sắp thứ tự < và mọi tập con khác rỗng của nó đều
có phần tử bé nhất.
Ví dụ 1.1.14. Tập các số tự nhiên với quan hệ thứ tự
tập sắp thứ tự tốt.
13

thông thường là


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

PHÙNG THỊ PHƯỢNG

Định nghĩa 1.17. (Phần tử bé nhất) Giả sử X là một tập sắp thứ tự.
Một phần tử a ∈ X được gọi là phần tử bé nhất của X nếu từ mọi x ∈ X

đều có a ≤ x.

1.1.7

Ánh xạ liên tục

Định nghĩa 1.18. Cho X và Y là các không gian tô pô. Ánh xạ f : X → Y
được gọi là liên tục nếu mỗi tập mở V trong Y có nghịch ảnh
f −1 (V ) = {x ∈ X | f (x) ∈ V }
là mở trong X.
Định nghĩa 1.19. (Ánh xạ mở) Ánh xạ f : X → Y từ không gian tô pô
X vào không gian tô pô Y . Ánh xạ f được gọi là ánh xạ mở nếu ảnh f (A)
của mỗi A ⊂ X là mở trong Y .
Định nghĩa 1.20. (Phép đồng phôi) Song ánh f : X → Y từ không gian
tô pô X vào không gian tô pô Y . Song ánh f được gọi là phép đồng phôi
nếu f và ánh xạ ngược f −1 của nó đều liên tục.
Ví dụ 1.1.15. Ánh xạ đồng nhất id : X → X là một phép đồng phôi.
Định nghĩa 1.21. Cho X và Y là các không gian tô pô, ánh xạ f : X → Y
liên tục khi và chỉ khi với mỗi x ∈ X và mỗi lân cận V của f (x) có lân cận
U của x thỏa mãn f (U ) ⊂ V .
Định nghĩa 1.22. Ta nói rằng f liên tục tại x nếu mỗi lân cận V của f (x)
có lân cận U của x với f (U ) ⊂ V . Do đó, f : X → Y là liên tục khi và chỉ
khi nó liên tục tại mối x ∈ X.
14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.1.8

PHÙNG THỊ PHƯỢNG

Không gian metric

Định nghĩa 1.23. Một metric trên tập X là một hàm số d : X × X → R
sao cho :
(1) d(x, y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ X và d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y.
(2) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ X.
(3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) với mọi x, y, z ∈ X (Bất đẳng thức tam
giác).
Một không gian metric là một cặp (X, d) với tập hợp X và một metric
d cho trước. Đôi khi ta nói X là không gian metric nếu metric d đã biết.
Định nghĩa 1.24. Cho (X, d) là một không gian metric. Với mỗi điểm x
∈ X và mỗi số thực dương ε > 0, họ:
Bd (x, ε) := {y ∈ X | d(x, y) < ε}
là hình cầu quanh x trong X, bán kính ε.
Định nghĩa 1.25. Cho (X, d) là một không gian metric. Tô pô τd sinh bởi
metric d trên X là họ các tập con U ⊂ X thỏa mãn: cho mỗi x ∈ U tồn tại
ε > 0 sao cho Bd (x, ε) ⊂ U .
Định nghĩa 1.26. (Metric hóa) Không gian tô pô (X, τ ) được gọi là metric
hóa được nếu tồn tại một metric d : X × X → R sao cho tô pô τd sinh bởi
d trùng với tô pô τ . Tức là, τ ≡ τd .

15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.1.9

PHÙNG THỊ PHƯỢNG

Tô pô tích

Định nghĩa 1.27. Cho hai không gian tô pô X và Y . Tô pô tích (hay còn
gọi là tô pô Tikhônôp) trên X × Y là tô pô sinh bởi cơ sở
B = {U × V ⊂ X × Y | U mở trong X và V mở trong Y }.
Bổ đề 1.5. Họ B (như trong định nghĩa trên) là cơ sở cho tô pô trên X ×Y .
Chứng minh. (1) X × Y là phần tử cơ sở của chính nó.
(2) Đặt B1 := U1 × V1 và B2 := U2 × V2 là hai phần tử cơ sở. Ta có
(U1 × V1 ) ∩ (U2 × V2 ) = (U1 ∩ U2 ) × V1 ∩ V2 )
Đặt B1 ∩ B2 := B3 với B3 = U3 × V3 là phần tử cơ sở được đưa ra bởi tích
của hai tập mở U3 = U1 ∩ U2 và V3 = V1 ∩ V2 .
Hợp của hai phần tử cơ sở
(U1 × V1 ) ∪ (U2 × V2 )
không là một phần tử cơ sở. Các tập mở trong tô pô tích trên X × Y là
hợp
(Uα × Vα )
α∈J

của họ tùy ý {Bα = Uα × vα }α∈J của các phần tử cơ sở.
Định nghĩa 1.28. Cho J là tập chỉ số. Cho tập X, ta gọi J bộ các phần
tử của X là ánh xạ x : J → X. Nếu α ∈ J, giá trị của x tại α được kí hiệu
là xα , kí hiệu này thừơng được sử dụng hơn kí hiệu là x(α); ta gọi đó là
tọa độ thứ α của x. Ánh xạ x thường được kí hiệu
16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

PHÙNG THỊ PHƯỢNG
(xα )α∈J .

Tập J bộ các phần tử của X được kí hiệu là X J .
Định nghĩa 1.29. Gọi {Aα }α∈J là một họ được đánh chỉ số theo J, kí hiệu
X=

α∈J

Aα . Tích Đề - các của họ đó
Aα
α∈J

được xác định từ tập các phần tử (xα )α∈J của J bộ các phần tử của X sao
cho với mỗi α ∈ J thì xα ∈ Aα . Họ các ánh xạ
x:J →

α∈J

Aα

thỏa mãn x(α) ∈ Aα , với mọi α ∈ J.
Cho
X α → Xβ

πβ :
α∈J

là ánh xạ gán biến mỗi phần tử của không gian tích với thành phần tọa độ
thứ β:

πβ ((xα )α∈J ) = xβ ;
nó được gọi là ánh xạ chiếu liên kết với chỉ số β.
Định nghĩa 1.30. Cho Sβ là họ xác định bởi
Sβ = {πβ−1 (Uβ )|Uβ mở trong Xβ },
và cho S là hợp của các họ đó,
17


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

PHÙNG THỊ PHƯỢNG
Sβ .

S=
β∈J

Xα sinh bởi cơ sở con S được gọi là tô pô tích.

Tô pô
α∈J

∞

Đặt Rw :=

:= {(x1 , x2 , ...) : xi ∈ R}. Tô pô tích trên Rw được định
i=1

nghĩa tương tự như trên.
Nhận xét: Tô pô tích là tô pô thô nhất mà chứa ít tập mở nhất.

1.2

Các tiên đề tách

Mục này trình bày một số khái niệm về các tiên đề tách và đưa ra ví dụ
minh họa.

1.2.1

Không gian T0

Định nghĩa 1.31. Không gian tô pô (X, τ ) gọi là một không gian T0 nếu
với hai phần tử bất kì x1 và x2 của X, tồn tại một tập mở U chứa x1 nhưng
không chứa x2 hoặc tồn tại một tập mở V chứa x2 nhưng không chứa x1 .
Ví dụ 1.2.1. Đường thẳng thực là không gian T0 .

1.2.2

Không gian T1

Định nghĩa 1.32. Không gian tô pô (X, τ ) gọi là một không gian T1 nếu
với hai phần tử bất kì x1 và x2 của X, tồn tại một tập mở U chứa x1 nhưng
không chứa x2 và tồn tại một tập mở V chứa x2 nhưng không chứa x1 .
18


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

PHÙNG THỊ PHƯỢNG

Ví dụ 1.2.2. Không gian tô pô phản rời rạc có ít nhất hai phần tử không
phải là một không gian T1 .

1.2.3

Không gian T2

Định nghĩa 1.33. Không gian tô pô X gọi là một không gian T2 hoặc
không gian Hausdoff nếu với mỗi cặp điểm khác nhau x1 , x2 ∈ X, tồn tại
một lân cận U của x1 và một lân cận V của x2 sao cho U ∩ V = ∅.
Mỗi không gian T2 đều là một không gian T1 . Tên không gian tách cũng
được sử dụng.
Ví dụ 1.2.3. Không gian khả ly là một không gian T1 nhưng không phải
là một không gian T2 .

1.2.4

Không gian T3

Định nghĩa 1.34. Không gian tô pô X gọi là một không gian T3 hoặc
không gian chính quy nếu X là một không gian T1 và với mỗi điểm x ∈ X
và mỗi tập hợp đóng F sao cho x ∈
/ F , tồn tại các tập hợp mở U và V sao
cho x ∈ U , F ⊂ V và U ∩ V = ∅.
Mỗi không gian T3 đều là một không gian T2 . Đảo lại, có những không gian
Hausdorff không phải là không gian chính quy.
Ví dụ 1.2.4. ([2]) Giả sử X là tập các số thực. Đặt
Y := {

1
| k ∈ Z, k = 0}
k
19