Giáo trình giải tích hàm 1 biến trí dũng

Mục lục

1 TẬP HỢP - MỆNH ĐỀ - ÁNH XẠ
1.1

1.2

1.3

TẬP HỢP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.1

Các khái niệm mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.2

Các phép toán cơ bản trên các tập hợp . . . . . . . . . . . .

2

1.1.3

Các tính chất cơ bản của các phép toán . . . . . . . . . . . .

2

1.1.4

Tích Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

MỆNH ĐỀ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2.1

Khái niệm mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2.2

Các phép toán logic cơ bản trên mệnh đề . . . . . . . . . . .

3

1.2.3

Mệnh đề phụ thuộc biến và các lượng từ . . . . . . . . . . . .

4

ÁNH XẠ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3.1

Khái niệm ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3.2

Ảnh và ảnh ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3.3

Đơn ánh-toàn ánh-song ánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3.4

Ánh xạ ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3.5

Ánh xạ hợp-Ánh xạ thu hẹp . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2 TẬP HỢP SỐ THỰC
2.1

2.2

1

9

TIÊN ĐỀ HÓA TẬP HỢP SỐ THỰC . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.1.1

Các tiên đề đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.1.2

Các tiên đề thứ tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.1.3

Tiên đề về tính đầy đủ của tập số thực . . . . . . . . . . . .

15

Một số kết quả quan trọng

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.2.1

Các nguyên lý cơ bản trên tập các số tự nhiên N . . . . . . .

17

2.2.2

Các tính chất cơ bản của tập hợp các số hữu tỉ Q . . . . . .

19

i


MỤC LỤC

MỤC LỤC

3 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
3.1

3.2

3.3

24

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

3.1.1

DÃY SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

3.1.2

DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

3.1.3

DÃY SỐ BỊ CHẶN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

3.1.4

DÃY SỐ HỘI TỤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

3.1.5

DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC . . . . . . . . . . . . . . .

26

CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

3.2.1

LUẬT GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

3.2.2

LUẬT THỨ TỰ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

3.2.3

LUẬT SỐ HỌC

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3.2.4

LUẬT NGHỊCH ĐẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

3.2.5

ĐỊNH LÝ HỘI TỤ ĐƠN ĐIỆU . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

3.2.6

MỘT SỐ GIỚI HẠN CƠ BẢN . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

DÃY CON-DÃY CAUCHY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3.3.1

DÃY CON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3.3.2

DÃY CAUCHY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

4 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
4.1

39

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

4.1.1

LÂN CẬN

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

4.1.2

ĐIỂM GIỚI HẠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

4.1.3

ĐIỂM CÔ LẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

4.1.4

HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

4.1.5

ĐỊNH NGHĨA CHUNG VỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ . . .

40

4.2

CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

4.3

GIỚI HẠN MỘT PHÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

4.4

HÀM SỐ LIÊN TỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

4.4.1

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

4.4.2

HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT ĐOẠN

. . . . . . . . . .

46

4.4.3

HÀM SỐ LIÊN TỤC ĐỀU . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

5 PHÉP TÍNH VI PHÂN
5.1
ii

KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM

52
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

GV. Trần Trí Dũng


MỤC LỤC

MỤC LỤC

5.2

ĐẠO HÀM CẤP CAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

5.3

CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH . . . . . . . . . . . . . . .

54

5.3.1

Định lý Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

5.3.2

Định lý Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

5.3.3

Định lý Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

5.3.4

Định lý Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

5.4

QUY TẮC L’ HÔPITAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

5.5

KHAI TRIỂN TAYLOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

5.5.1

Khai triển Taylor với phần dư Peano . . . . . . . . . . . . . .

58

5.5.2

Khai triển Taylor với phần dư Lagrange . . . . . . . . . . . .

58

6 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN
6.1

6.2

TÍCH PHÂN RIEMANN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

6.1.1

Khái niệm tích phân Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

6.1.2

Tổng Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

6.1.3

Các tính chất cơ bản của tích phân xác định . . . . . . . . .

67

6.1.4

Định lý cơ bản của Giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

TÍCH PHÂN SUY RỘNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

6.2.1

Tích phân suy rộng với cận vô hạn . . . . . . . . . . . . . . .

69

6.2.2

Tích phân suy rộng của hàm số không bị chặn . . . . . . . .

72

7 CHUỖI SỐ-CHUỖI HÀM
7.1

7.2

64

77

CHUỖI SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

7.1.1

Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

7.1.2

Các dấu hiệu hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

CHUỖI HÀM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

7.2.1

Hội tụ điểm - Hội tụ đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

7.2.2

Ứng dụng của sự hội tụ đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

GV. Trần Trí Dũng

iii


MỤC LỤC

iv

MỤC LỤC

GV. Trần Trí Dũng


Chương 1

TẬP HỢP - MỆNH ĐỀ - ÁNH
XẠ
1.1
1.1.1

TẬP HỢP
Các khái niệm mở đầu

Trong toán học hiện đại, người ta coi tập hợp là một khái niệm cơ bản dùng để chỉ
một lớp các đối tượng nào đó, chẳng hạn tập hợp các thiên hà trong vũ trụ, tập hợp
các sinh viên năm nhất trong một trường đại học, tập hợp các khách sạn năm sao
ở Nha Trang, ...
Các tập hợp thường được kí hiệu bởi các chữ in hoa A, B, C, ..., còn các đối tượng
tạo nên tập hợp thường được kí hiệu bởi các chữ in thường a, b, c, ... và được gọi là
các phần tử của tập hợp. Khi a là một phần tử của tập hợp A thì ta kí hiệu a ∈ A
(đọc là: a thuộc A), ngược lại ta sẽ kí hiệu a ∈
/ A (đọc là: a không thuộc A). Tập
hợp không chứa phần tử nào cả được gọi là tập rỗng, kí hiệu ∅.
Cho hai tập hợp A và B. Nếu mọi phần tử của A đều là phần tử của B thì ta
nói A là tập hợp con hay tập con của B, kí hiệu A ⊂ B hoặc B ⊃ A (đọc là: A bao
hàm trong B, A chứa trong B hoặc B chứa A). Rõ ràng phép toán bao hàm ⊂ có
các tính chất sau đây:
• A ⊂ A, ∅ ⊂ A.
• Nếu A ⊂ B và B ⊂ C thì A ⊂ C.

Hai tập hợp A, B được gọi là bằng nhau nếu A ⊂ B và B ⊂ A.
Ví dụ 1.1.1 Tập hợp các số tự nhiên N = {1; 2; 3; ...} là tập con của tập hợp các số
nguyên Z = {0; ±1; ±2; ...}. Cả hai tập hợp N và Z đều là các tập con của tập hợp
các số hữu tỉ Q, trong đó Q = m
n : m ∈ Z, n ∈ Z, n = 0 .
1


1.1. TẬP HỢP

1.1.2

CHƯƠNG 1. TẬP HỢP - MỆNH ĐỀ - ÁNH XẠ

Các phép toán cơ bản trên các tập hợp

Từ các tập hợp A và B, ta có thể tạo ra những tập hợp mới bằng các phép toán
dưới đây:
a) Phép giao: Giao của hai tập hợp A và B, kí hiệu A ∩ B (đọc: A giao B), là
tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc đồng thời cả hai tập hợp đó.
Trong trường hợp A ∩ B = ∅, ta nói A và B là hai tập rời nhau.
b) Phép hợp: Hợp của hai tập hợp A và B, kí hiệu A ∪ B (đọc: A hợp B), là
tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập đó.
Chú ý: Tổng quát hơn, ta xét một họ các tập hợp {Ai } trong đó chỉ số i chạy
trên một tập I nào đó. Khi đó hợp và giao của các tập hợp Ai cũng được định nghĩa
tương tự như trên và được kí hiệu lần lượt là ∪ Ai và ∩ Ai . Đặc biệt, nếu I ≡ N
i∈I

i∈I

∞

∞

i=1

i=1

thì ta thường kí hiệu hợp và giao của các tập hợp Ai lần lượt là ∪ Ai và ∩ Ai .
c) Phép lấy hiệu: Hiệu của hai tập hợp A và B, kí hiệu A\B (đọc: A trừ B),
là tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B.
Thông thường các tập hợp được xét là các tập con của một tập toàn thể X nào đó.
Khi đó hiệu X\A còn được gọi là phần bù của A (trong X) và được kí hiệu lại là
Ac . Trong trường hợp này, rõ ràng ta có
A\B = A ∩ B c .
Ví dụ 1.1.2 Cho các tập hợp A = {1, 3, 4, 6, 8} , B = {2, 4, 6, 8, 10}. Khi đó A∪B =
{1, 2, 3, 4, 6, 8, 10}, A ∩ B = {4, 6, 8}, A\B = {1, 3} và B\A = {2, 10}.

1.1.3

Các tính chất cơ bản của các phép toán

Với các tập hợp A, B, C và họ các tập hợp {Ai } tùy ý, ta luôn có các tính chất sau:
a) Tính giao hoán:
A ∪ B = B ∪ A; A ∩ B = B ∩ A.
b) Tính kết hợp:
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C);
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).
c) Tính phân phối:
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C);

2

GV. Trần Trí Dũng


CHƯƠNG 1. TẬP HỢP - MỆNH ĐỀ - ÁNH XẠ

1.2. MỆNH ĐỀ

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
d) Tính chất đối ngẫu De Morgan:
(∪ Ai )c = ∩ (Ai )c ;
i

i

(∩ Ai )c = ∪ (Ai )c .
i

i

Tính chất này có thể phát biểu như sau: Phần bù của một hợp bằng giao của các
phần bù; phần bù của một giao bằng hợp của các phần bù.

1.1.4

Tích Descartes

Cho hai tập hợp A và B. Ta gọi tích Descartes của hai tập hợp A, B theo thứ tự đó
là tập hợp, kí hiệu A × B, gồm tất cả các cặp có thứ tự (a, b), trong đó a ∈ A và

b ∈ B. Như vậy
A × B := {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B} .
Tổng quát, tích Descartes của n tập hợp A1 , A2 , ..., An theo thứ tự đó là tập
hợp, kí hiệu A1 × A2 × ... × An , gồm tất cả các bộ có thứ tự (a1 , a2 , ..., an ), trong
đó ak ∈ Ak , 1 ≤ k ≤ n. Đặc biệt, nếu tất cả các Ak đều bằng tập A nào đó thì ta
viết A × A × ... × A là An .

1.2
1.2.1

MỆNH ĐỀ
Khái niệm mệnh đề

Trong toán học, các mệnh đề, thường được kí hiệu bởi các chữ cái in thường p, q, r, ...,
là các khẳng định chỉ nhận một trong hai giá trị logic: đúng hoặc sai. Nếu mệnh đề
p nhận giá trị đúng, ta viết p ≡ 1; còn nếu mệnh đề p nhận giá trị sai, ta viết p ≡ 0.
Nếu hai mệnh đề p và q có cùng giá trị logic thì ta viết p ≡ q.
Ví dụ 1.2.1 Cho p là mệnh đề: 17 là số nguyên tố, còn q là mệnh đề:
tỷ. Khi đó p ≡ 1 và q ≡ 0.

1.2.2

√

2 là số hữu

Các phép toán logic cơ bản trên mệnh đề

Cho các mệnh đề p, q. Khi đó ta có các phép toán logic cơ bản sau đây:
a) Phép hội: Hội của p và q, kí hiệu bởi p ∧ q và đọc là p và q, là mệnh đề đúng

khi và chỉ khi p, q đều đúng. Nói cách khác
p ∧ q ≡ 1 ⇐⇒ p ≡ q ≡ 1.
GV. Trần Trí Dũng

3


1.2. MỆNH ĐỀ

CHƯƠNG 1. TẬP HỢP - MỆNH ĐỀ - ÁNH XẠ

b) Phép tuyển: Tuyển của p và q, kí hiệu bởi p ∨ q và đọc là p hoặc q, là mệnh
đề sai khi và chỉ khi p, q đều sai. Nói cách khác
p ∨ q ≡ 0 ⇐⇒ p ≡ q ≡ 0.
c) Phép suy ra: Mệnh đề p suy ra q, kí hiệu bởi p ⇒ q và đọc là nếu p thì q,
là mệnh đề sai khi và chỉ khi p đúng và q sai. Nói cách khác
p ⇒ q ≡ 0 ⇐⇒ p ≡ 1, q ≡ 0.
Chú ý: với mệnh đề p ⇒ q, ta cũng nói p là đủ để có q và q là cần để có p.
d) Phép tương đương: Mệnh đề p tương đương q, kí hiệu bởi p ⇐⇒ q và đọc
là p nếu và chỉ nếu q, là mệnh đề đúng khi và chỉ khi p, q cùng đúng hoặc cùng sai.
e) Phép phủ định: Phủ định của p, kí hiệu bởi p¯ và đọc là không p, là mệnh
đề đúng khi và chỉ khi p sai. Nói cách khác
p¯ ≡ 1 ⇐⇒ p ≡ 0.
Chú ý: Khi phát biểu hoặc chứng minh các khẳng định toán học, ta thường
dùng các quy tắc tương đương logic trong mệnh đề dưới đây:
Mệnh đề 1.2.2 Cho các mệnh đề p, q. Khi đó ta có:
• p ⇒ q ≡ q¯ ⇒ p¯ ≡ p¯ ∨ q.
• p ∧ q ≡ p¯ ∨ q¯, p ∨ q ≡ p¯ ∧ q¯.
• p ⇒ q ≡ p ∧ q¯.

1.2.3

Mệnh đề phụ thuộc biến và các lượng từ

Trong toán học, ta thường làm việc với các điều kiện P (x) phụ thuộc vào các phần
tử x trong không gian X nào đó. Nếu với mỗi phần tử cố định x ∈ X, P (x) luôn là
một mệnh đề thì ta gọi P (x) là mệnh đề phụ thuộc biến x. Tập các phần tử x ∈ X
thỏa mãn điều kiện P (x) (tức là P(x) nhận giá trị đúng) thường được kí hiệu bởi
{x ∈ X : P (x)} hoặc {x ∈ X|P (x)}.
Khi được cho một mệnh đề P (x) phụ thuộc biến x ∈ X, ta hay gặp hai trường hợp
quan trọng dưới đây:
• Có ít nhất một phần tử x ∈ X thỏa mãn P (x). Khi đó ta viết ∃x ∈ X : P (x)
và đọc là: tồn tại x sao cho P (x).
• Mọi phần tử x ∈ X đều thỏa mãn P (x). Khi đó ta viết ∀x ∈ X : P (x) và đọc
là: với mọi x đều có P (x).
4

GV. Trần Trí Dũng


CHƯƠNG 1. TẬP HỢP - MỆNH ĐỀ - ÁNH XẠ

1.3. ÁNH XẠ

Các kí hiệu ∃, ∀ tương ứng được gọi là lượng từ tồn tại, lượng từ phổ dụng. Khi đặt
một lượng từ trước một mệnh đề phụ thuộc một biến, ta thu được một mệnh đề
đúng hoặc sai. Ngoài ra, giữa các lượng từ có liên hệ sau đây:
• ∃x : P (x) ⇐⇒ ∀x : P (x). Nghĩa là, phủ định của mệnh đề: “Tồn tại x sao
cho P (x)" là mệnh đề “Với mọi x đều không có P (x)".
• ∀x : P (x) ⇐⇒ ∃x : P (x). Nghĩa là, phủ định của mệnh đề: “Với mọi x đều có

P (x)" là mệnh đề “Tồn tại x không thỏa P (x)".
Mệnh đề phụ thuộc nhiều biến được nghiên cứu tương tự như trường hợp một
biến. Để minh họa, ta xét mệnh đề P (x, y) phụ thuộc hai biến x và y. Khi đó nếu
đặt hai lượng từ theo hai biến x, y trước P (x, y), ta sẽ thu được một mệnh đề đúng
hoặc sai. Chú ý thêm rằng thứ tự của các lượng từ là quan trọng trong mệnh đề có
nhiều biến.
Ví dụ 1.2.3 Xét điều kiện P (x, y) là x = y, x, y ∈ Q. Khi đó ta có
• Mệnh đề (∀x ∈ Q)(∃y ∈ Q): x = y là đúng.
• Mệnh đề (∃y ∈ Q)(∀x ∈ Q): x = y là sai.
Ta cũng có thể dùng các dấu phẩy thay cho các dấu ngoặc trong mệnh đề có nhiều
lượng từ, chẳng hạn mệnh đề (∀x ∈ Q)(∃y ∈ Q): x = y có thể được viết thành
∀x ∈ Q, ∃y ∈ Q: x = y.
Để minh họa cho quy tắc phủ định tổng quát, bây giờ ta thử tìm phủ định của mệnh
đề sau: ∀x ∈ X, ∃y ∈ Y : P (x, y). Rõ ràng ta có
∀x ∈ X, ∃y ∈ Y : P (x, y) ≡ ∃x ∈ X, ∃y ∈ Y : P (x, y) ≡ ∃x ∈ X, ∀y ∈ Y : P (x, y).
Tổng quát ta có quy tắc:
Quy tắc phủ định mệnh đề có nhiều lượng từ: Ta thay mỗi lượng từ ∃ bằng
lượng từ ∀ và ngược lại, đồng thời phủ định điều kiện ràng buộc cho các biến.

1.3
1.3.1

ÁNH XẠ
Khái niệm ánh xạ

Một ánh xạ f từ tập hợp X vào tập hợp Y là một quy tắc cho tương ứng mỗi phần
tử x của X với duy nhất một phần tử gọi là f (x) của Y . Ánh xạ này được kí hiệu
là f : X → Y . Tập X gọi là tập nguồn hay tập xác định, tập Y gọi là tập đích hay
tập giá trị của ánh xạ f . Với mỗi x ∈ X, phần tử f (x) được gọi là ảnh của x qua
ánh xạ f hoặc giá trị của f tại x.

Cho hai ánh xạ f : X → Y và g : X → Y . Ta nói hai ánh xạ đó là bằng nhau, kí
hiệu f = g, nếu f (x) = g(x) với mọi x ∈ X.
GV. Trần Trí Dũng

5


1.3. ÁNH XẠ

CHƯƠNG 1. TẬP HỢP - MỆNH ĐỀ - ÁNH XẠ

Ví dụ 1.3.1

1. Phép bình phương các số tự nhiên f1 là một ánh xạ từ N vào N.

2. Cho trước một số nguyên tố p. Quy tắc f2 cho tương ứng mỗi số nguyên với
tổng của p và số nguyên đó là một ánh xạ từ Z vào Z.
3. Quy tắc f3 cho tương ứng mỗi số tự nhiên với số các ước số nguyên dương của
nó là một ánh xạ từ N vào N.
4. Quy tắc cho tương ứng mỗi số tự nhiên với các ước số nguyên dương của nó
không phải là một ánh xạ vì vi phạm tính duy nhất của ảnh trong định nghĩa
ánh xạ.

1.3.2

Ảnh và ảnh ngược

Cho ánh xạ f : X → Y , A là tập con của X, B là tập con của Y . Ta định nghĩa
• f (A) := {f (x) : x ∈ A} = {y ∈ Y : ∃x ∈ A, y = f (x)} là ảnh của A bởi f .
• f −1 (B) := {x ∈ X : f (x) ∈ B} là ảnh ngược của B bởi f .

Nếu tập B chỉ có đúng một phần tử, chẳng hạn B = {b} thì ta sẽ viết f −1 (b)
thay cho f −1 ({b}) và gọi f −1 (b) là ảnh ngược của b bởi f . Rõ ràng f −1 (b) =
{x ∈ X : f (x) = b}.
Ví dụ 1.3.2 Xét ánh xạ f1 trong Ví dụ 1.3.1. Cho A = {1, 2, 3, 4}, B = {5}. Khi
đó f1 (A) = {1, 4, 9, 16} và f1−1 (B) = ∅.
Ví dụ 1.3.3 Cho ánh xạ f : X → Y , B, C là các tập con tùy ý của Y . Chứng minh
rằng: f −1 (B\C) = f −1 (B)\f −1 (C).
Lời giải: Ta có x ∈ f −1 (B\C) ⇐⇒ f (x) ∈ (B\C) ⇐⇒ f (x) ∈ B ∧ f (x) ∈
/ C
⇐⇒ x ∈ f −1 (B) ∧ x ∈
/ f −1 (C) ⇐⇒ x ∈ f −1 (B)\f −1 (C).
Vậy f −1 (B\C) = f −1 (B)\f −1 (C).
✷

1.3.3

Đơn ánh-toàn ánh-song ánh

Cho ánh xạ f : X → Y .
• Ánh xạ f được gọi là đơn ánh nếu ∀x, x ∈ X, x = x ⇒ f (x) = f (x ) (hoặc
tương đương f (x) = f (x ) ⇒ x = x ).
• Ánh xạ f được gọi là toàn ánh nếu f (X) = Y , tức là ∀y ∈ Y, ∃x ∈ X : y = f (x).
• Ánh xạ f được gọi là song ánh nếu nó vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh.
6

GV. Trần Trí Dũng


CHƯƠNG 1. TẬP HỢP - MỆNH ĐỀ - ÁNH XẠ

1.3. ÁNH XẠ

Ví dụ 1.3.4 Xét lại các ánh xạ ở Ví dụ 1.3.1.
- f1 là đơn ánh vì với hai số tự nhiên m, n tùy ý, n2 = m2 ⇒ n = m. Tuy nhiên
f1 không là toàn ánh vì f1 (N) là tập con thực sự của N.
- Dễ thấy f2 là song ánh.
- Rõ ràng f3 không phải là đơn ánh vì f3 (2) = f3 (3) = 2. Tuy nhiên f3 là toàn
ánh vì với số tự nhiên n bất kỳ, ta có f3 (2n−1 ) = n.

1.3.4

Ánh xạ ngược

Cơ sở để định nghĩa ánh xạ ngược của một song ánh là mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.3.5 Cho ánh xạ f : X → Y . Khi đó hai khẳng định sau là tương đương:
(i) f là một song ánh.
(ii) Với mọi phần tử y trong Y , tồn tại duy nhất một phần tử x trong X sao cho
y = f (x).
Chứng minh: (i) ⇒ (ii). Giả sử f là song ánh. Khi đó do f là toàn ánh nên với
mọi phần tử y ∈ Y , đều tồn tại một phần tử x ∈ X sao cho y = f (x). Rõ ràng phần
tử x này là duy nhất vì nếu có một phần tử x = x sao cho f (x ) = y thì ta suy ra
f (x) = f (x ). Điều này trái với giả thiết f là đơn ánh.
(ii) ⇒ (i). Theo (ii) ta có ngay f là toàn ánh. Xét x, x tùy ý trong X sao cho
f (x) = f (x ). Đặt y = f (x) = f (x ) và sử dụng tính duy nhất trong giả thiết (ii) ta
dễ dàng suy ra x = x . Nói cách khác, f là đơn ánh. Vậy f là song ánh.
✷
Theo mệnh đề trên thì nếu f : X → Y là song ánh thì có duy nhất một ánh xạ, kí
hiệu f −1 , sao cho f −1 : Y → X và ∀y ∈ Y, ∀x ∈ X, f −1 (y) = x ⇐⇒ y = f (x). Ta
gọi f −1 là ánh xạ ngược của f . Dễ thấy ánh xạ f −1 cũng là song ánh.
Ví dụ 1.3.6 Xét song ánh f2 ở Ví dụ 1.3.1. Ta có f2−1 (k) = m ⇐⇒ k = f2 (m) =

p + m ⇐⇒ m = k − p. Vậy f2−1 (k) = k − p với mọi k ∈ Z.

1.3.5

Ánh xạ hợp-Ánh xạ thu hẹp

a) Ánh xạ hợp: Cho các ánh xạ f : X → Y và g : Y → Z. Khi đó ta gọi ánh xạ
hợp (hoặc ánh xạ tích) của g và f , kí hiệu g ◦ f , là ánh xạ sao cho g ◦ f : X → Z và
(g ◦ f )(x) = g[f (x)], ∀x ∈ X.
b) Ánh xạ thu hẹp: Cho ánh xạ f : X → Y , A ⊂ X. Ta gọi thu hẹp của f trên
A, kí hiêu f |A , là ánh xạ sao cho f |A : A → Y và f |A (x) = f (x), ∀x ∈ A.
✷
GV. Trần Trí Dũng

7


1.3. ÁNH XẠ

CHƯƠNG 1. TẬP HỢP - MỆNH ĐỀ - ÁNH XẠ

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG 1
1) Chứng minh các tính chất đã nêu ở mục 1.1.3.
2) Cho các tập hợp A, B, C. Chứng minh:
a) A ∩ (B\A) = ∅

b) A ∪ (B\A) = A ∪ B

c) (A ∩ B) ∪ (A\B) = A

d) A\(B\C) = (A\B) ∪ (A ∩ C)
e) Ac ∩ B c = B c và B ⊂ A khi và chỉ khi A = B.
3) Cho A, B là các tập con của X và C, D là các tập con của Y . Chứng minh:
a) (A × C) ∩ (B × D) = (A ∩ B) × (C ∩ D).
b) (A × C) ∪ (A × D) = A × (C ∪ D).
c)* (A × C) ∪ (B × D) ⊂ (A ∪ B) × (C ∪ D). Cho ví dụ chỉ đẳng thức không xảy ra.
4) Bằng cách lập bảng giá trị logic 0 và 1, hãy chứng minh Mệnh đề 1.2.2.
5) Xét p, q là các mệnh đề trong Ví dụ 1.2.1. Hãy phát biểu và xét tính đúng, sai
của các mệnh đề sau đây: p ∨ q, p ∧ q, p ⇒ q, p¯, p¯ ⇒ q, p ⇐⇒ q.
6) Trong các phát biểu dưới đây, phát biểu nào là mệnh đề. Hãy nêu tính đúng, sai
của từng mệnh đề.
a) ∀k ∈ Z : k 2 − k ≥ 0.

b) ∀z ∈ Z, ∃r ∈ Q : z 2 − rz + r ≥ 1.

c) Tồn tại một hành tinh có khối lượng lớn hơn Trái Đất.
d) Tất cả các con chó có đôi cánh đều có bộ lông màu trắng.
e)* Với mọi số nguyên không âm x, y, z, nếu x2015 + y 2015 = z 2015 thì x + y ≥ z.
7) Cho ánh xạ f : X → Y . Giả sử A1 , A2 là các tập con của X còn B1 , B2 là các
tập con của Y . Chứng minh
a) f −1 (B1 ∪ B2 ) = f −1 (B1 ) ∪ f −1 (B2 );
b) f (A1 ∪ A2 ) = f (A1 ) ∪ f (A2 );

f −1 (B1 ∩ B2 ) = f −1 (B1 ) ∩ f −1 (B2 ).

f (A1 ∩ A2 ) ⊂ f (A1 ) ∩ f (A2 ).

c) Nếu f đơn ánh thì f (A1 ∩ A2 ) = f (A1 ) ∩ f (A2 ).
8)* Cho ánh xạ f : X → Y . Khi đó các phát biểu a) và b) sau là tương đương:
a) f đơn ánh.

b) Với mọi tập con A của X, ta đều có A = f −1 (f (A)).
Các phát biểu c) và d) sau cũng tương đương:
c) f là toàn ánh.
d) Với mọi tập con B của Y , ta đều có B = f (f −1 (B)).
9) Cho các ánh xạ f : X → Y và g : Y → Z. Chứng minh:
a) Nếu g ◦ f là đơn ánh thì f là đơn ánh.
b) Nếu g ◦ f là toàn ánh thì g là toàn ánh.
c) Nếu f và g song ánh thì g ◦ f cũng song ánh. Khi đó các ánh xạ f, g, g ◦ f đều
có các ánh xạ ngược thỏa mãn tính chất sau: (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1 .

8

GV. Trần Trí Dũng


Chương 2

TẬP HỢP SỐ THỰC
2.1

TIÊN ĐỀ HÓA TẬP HỢP SỐ THỰC

Tập hợp các số thực R là một tập hợp trên đó có:
• Một phép toán cộng + : R × R → R cho tương ứng mỗi cặp số thực (x, y) với
một số thực x + y.
• Một phép toán nhân · : R × R → R cho tương ứng mỗi cặp số thực (x, y) với
một số thực x · y.
• Một quan hệ thứ tự ≤ trên R.
Ngoài ra, các phép toán cộng, phép toán nhân và quan hệ thứ tự nêu trên thỏa mãn
các tiên đề sau đây.

2.1.1

Các tiên đề đại số

Tập hợp R cùng với hai phép toán cộng và nhân lập thành một trường đại số. Nói
một cách cụ thể, hai phép toán đó thỏa mãn các tiên đề như sau.
1. Với mọi x, y ∈ R, x + y = y + x. (Tính giao hoán)
2. Với mọi x, y và z, (x + y) + z = x + (y + z). (Tính kết hợp)
3. Tồn tại phần tử 0 ∈ R sao cho với mọi x ∈ R, 0 + x = x. (Phần tử đơn vị)
4. Với mọi x ∈ R, tồn tại y ∈ R sao cho x + y = 0. (Phần tử nghịch đảo)
Nhận xét 2.1.1 Chú ý rằng
a) Phần tử 0 trong tiên đề 3 là duy nhất vì nếu có a ∈ R thỏa a + x = x với
mọi x ∈ R thì 0 = a + 0 = 0 + a = a. Ta gọi 0 là phần tử đơn vị của phép toán
cộng.
9


2.1. TIÊN ĐỀ HÓA TẬP HỢP SỐ THỰC

CHƯƠNG 2. TẬP HỢP SỐ THỰC

b) Đối với mỗi x cho trước, phần tử y trong tiên đề 4 là duy nhất vì nếu có
y ∈ R thỏa x + y = 0 thì y = 0 + y = (x + y ) + y = (y + x) + y = y + (x + y) =
y + 0 = y . Khi đó y được gọi là phần tử nghịch đảo của x qua phép toán cộng,
kí hiệu y = −x.
c) Ta định nghĩa phép toán trừ − như sau: y − x := y + (−x).
5. Với mọi x, y ∈ R, x · y = y · x. (Tính giao hoán)
6. Với mọi x, y và z, (x · y) · z = x · (y · z). (Tính kết hợp)
7. Tồn tại phần tử 1 = 0 sao cho với mọi x ∈ R, 1 · x = x. (Phần tử đơn vị)

8. Với mọi x ∈ R, x = 0, tồn tại y ∈ R sao cho x · y = 1. (Phần tử nghịch đảo)
Nhận xét 2.1.2 Chú ý rằng
a) Phần tử 1 trong tiên đề 7 là duy nhất vì nếu có a ∈ R thỏa a · x = x với
mọi x ∈ R thì 1 = a · 1 = 1 · a = a. Ta gọi 1 là phần tử đơn vị của phép toán
nhân.
b) Đối với mỗi x = 0 cho trước, phần tử y trong tiên đề 8 là duy nhất vì nếu có
y ∈ R thỏa x·y = 1 thì y = 1·y = (x·y )·y = (y ·x)·y = y ·(x·y) = y ·1 = y .
Khi đó y được gọi là phần tử nghịch đảo của x qua phép toán nhân, kí hiệu
y = x−1 hay y = 1/x.
c) Ta định nghĩa phép toán chia / như sau: y/x := y · x−1 .
Để liên kết phép cộng và phép nhân, ta cần một tiên đề đảm bảo rằng phép
nhân phân phối đối với phép cộng.
9. Với mọi x, y và z, x · (y + z) = (x · y) + (x · z).
Thông thường nếu không sợ nhầm lẫn, ta hay viết xy thay cho x · y.
Mệnh đề 2.1.3 a) Với mọi x ∈ R, ta đều có 0 · x = x · 0 = 0.
b) Cho x, y ∈ R. Khi đó xy = 0 ⇐⇒ x = 0 ∨ y = 0.
Chứng minh: a) Đặt a = 0 · x, ta có:
a = 0 · x = (0 + 0) · x = 0 · x + 0 · x = a + a.
Do đó 0 = a + (−a) = a + a + (−a) = a + [a + (−a)] = a + 0 = a. Tính giao hoán
cho ta x · 0 = 0 .
b) Chiều đảo của mệnh đề cần chứng minh là đúng do a). Ngược lại, giả sử ta
có xy = 0 và cả x và y đều khác 0. Khi đó
xy = 0 ⇒ x−1 xy = x−1 0 ⇒ 1y = 0 ⇒ y = 0.
Điều này mâu thuẫn với y = 0. Vậy phải có x = 0 hoặc y = 0 khi xy = 0.
✷
10

GV. Trần Trí Dũng

CHƯƠNG 2. TẬP HỢP SỐ THỰC

2.1.2

2.1. TIÊN ĐỀ HÓA TẬP HỢP SỐ THỰC

Các tiên đề thứ tự

Cho hai số thực x và y tùy ý. Ta định nghĩa x ≤ y (đọc là: x nhỏ hơn hoặc bằng y,
cũng có thể đọc là y lớn hơn hoặc bằng x và viết là y ≥ x) nếu 0 ≤ y − x. Quan hệ
thứ tự “≤" này thỏa mãn các tiên đề sau đây.
10. Với mọi số thực x, y, ta có x ≤ y hoặc y ≤ x. Nếu xảy ra đồng thời x ≤ y và
y ≤ x thì x = y.
11. Với mọi số thực x, y, nếu 0 ≤ x, 0 ≤ y thì 0 ≤ x + y và 0 ≤ xy.
Trường số thực R cùng với các tiên đề thứ tự nêu trên sẽ lập thành một trường được
sắp thứ tự toàn phần. Ta chứng minh được các tính chất cơ bản sau đây.
Định lý 2.1.4 Giả sử x, y và z là các số thực tùy ý. Khi đó ta có:
a) Nếu x ≤ y và y ≤ z thì x ≤ z.
b) x ≤ y nếu và chỉ nếu x + z ≤ y + z.
c) Nếu x ≤ y và 0 ≤ z thì xz ≤ yz.
Chứng minh: a) Ta viết z − x = (z − y) + (y − x) và chú ý là do giả thiết 0 ≤ z − y
và 0 ≤ y − x. Áp dụng tiên đề 11 ta suy ra 0 ≤ z − x, tức là x ≤ z.
b) Chú ý là (y + z) − (x + z) = y − x.
c) Ta viết yz − xz = (y − x)z rồi áp dụng tiên đề 11 cho hai số y − x và z.
✷
Trong trường hợp x ≤ y và x = y thì ta ghi là x < y (đọc là x nhỏ hơn y, cũng
đọc là y lớn hơn x và viết là y > x) và có một quan hệ thứ tự chặt “<". Hiển nhiên
x < y ⇐⇒ 0 < y − x. Ta gọi x là số dương nếu 0 < x và x là số âm nếu x < 0.
Quan hệ < có các tính chất tương tự như ≤.
Định lý 2.1.5 a) Với mọi số thực x, y, chỉ có duy nhất một trong ba khả năng sau

xảy ra: x < y, x = y hoặc y < x.
b) Với mọi số thực x, y, nếu 0 < x, 0 < y thì 0 < x + y và 0 < xy.
Chứng minh: a) Trước tiên ta chứng minh rằng với mọi số thực x, y, một trong
ba khả năng sau là xảy ra: x < y, x = y hoặc y < x. Thật vậy, theo tiên đề 10 ta
luôn có x ≤ y hoặc y ≤ x. Do đó nếu x = y thì ta suy ra x < y hoặc y < x. Trường
hợp còn lại rõ ràng là x = y.
Mặt khác nếu có hai trong ba khả năng đó xảy ra đồng thời thì hai khả năng x < y
và x = y không thể đồng thời xảy ra được. Tương tự hai khả năng y < x và x = y
cũng không thể đồng thời xảy ra được. Vậy x < y và y < x phải đồng thời xảy ra.
Tuy nhiên khi đó ta suy ra x ≤ y và y ≤ x, rồi áp dụng tiên đề 10 ta được x = y
(mâu thuẫn với x < y). Vậy với mọi số thực x, y, chỉ có duy nhất một trong ba khả
năng sau xảy ra: x < y, x = y hoặc y < x.
GV. Trần Trí Dũng

11


2.1. TIÊN ĐỀ HÓA TẬP HỢP SỐ THỰC

CHƯƠNG 2. TẬP HỢP SỐ THỰC

b) Theo tiên đề 11, ta suy ra ngay: nếu 0 < x, 0 < y thì 0 ≤ x + y và 0 ≤ xy.
Nếu x + y = 0 thì y = −x. Do 0 < y nên 0 < −x. Chú ý rằng x < 0 ⇐⇒ 0 < −x
nên ta sẽ có 0 < x và x < 0 đồng thời xảy ra (mâu thuẫn với phần a) ở trên). Vậy
phải có 0 < x + y.
Nếu xy = 0 thì theo Mệnh đề 2.1.3 ta suy ra x = 0 hoặc y = 0, mâu thuẫn với giả
thiết 0 < x và 0 < y. Vậy phải có 0 < xy.
✷
Một hệ quả trực tiếp của Định lý 2.1.5 là kết quả sau:
Hệ quả 2.1.6 Giả sử x, y và z là các số thực tùy ý. Khi đó ta có:

a) Nếu x < y và y < z thì x < z.
b) x < y nếu và chỉ nếu x + z < y + z.
c) Nếu x < y và 0 < z thì xz < yz. Nếu x < y và z < 0 thì yz < xz.
Đến đây xuất hiện một câu hỏi thú vị là: Liệu phần tử 0 và 1 có so sánh được với
nhau hay không? Ví dụ sau cho câu trả lời khẳng định.
Ví dụ 2.1.7 Chứng minh rằng: 0 < 1.
Lời giải: Theo phần a) của Định lý 2.1.5 và do 0 = 1 nên ta chỉ có hai khả năng:
hoặc 0 < 1, hoặc 1 < 0. Nếu xảy ra 1 < 0 thì theo phần c) của Hệ quả 2.1.6 ta suy
ra 0 · 1 < 1 · 1 hay 0 < 1. Vậy hai khả năng 1 < 0 và 0 < 1 xảy ra đồng thời, mâu
thuẫn với phần a) của Định lý 2.1.5. Nói cách khác phải có 0 < 1.
✷
Sử dụng các tiên đề đại số và các tiên đề thứ tự nêu trên, ta có thể chứng minh các
tính chất đại số hay thứ tự khác trên R.
Ví dụ 2.1.8 Cho x, y và z là các số thực. Chứng minh rằng:
a) x2 ≥ 0.
b) 0 < x ⇐⇒ 0 < x−1 .
c) Nếu 0 < z thì x < y ⇐⇒ xz < yz.
Lời giải: a) Theo tiên đề 10, ta có 0 ≤ x hoặc x ≤ 0. Nếu 0 ≤ x thì áp dụng tiên
đề 11 ta suy ra 0 ≤ xx = x2 . Nếu x ≤ 0 thì 0 ≤ −x. Áp dụng tiên đề 11 ta suy ra
0 ≤ (x)(−x). Chú ý là (−x)(−x) = xx = x2 (xem bài tập 1 cuối chương). Vậy ta
cũng có 0 ≤ x2 nếu x ≤ 0.
b) Nếu 0 < x thì x = 0, do đó x−1 tồn tại. Ta có x−1 = xx−1 x−1 = x(x−1 )2 . Do
0 < x và 0 ≤ (x−1 )2 nên theo tiên đề 11 ta suy ra 0 ≤ x−1 . Dễ thấy x−1 = 0 (do
xx−1 = 1). Vậy 0 < x−1 .
12

GV. Trần Trí Dũng


CHƯƠNG 2. TẬP HỢP SỐ THỰC

2.1. TIÊN ĐỀ HÓA TẬP HỢP SỐ THỰC

Đảo lại, nếu 0 < x−1 thì theo phần thuận vừa chứng minh, ta suy ra 0 < (x−1 )−1 = x.
c) Giả sử 0 < z. Khi đó áp dụng phần c) của Hệ quả 2.1.6 ta có ngay: x < y ⇒
xz < yz.
Đảo lại, nếu xz < yz thì cũng theo phần c) của Hệ quả 2.1.6 ta có xzz −1 < yzz −1
(do 0 < z nên 0 < z −1 ). Suy ra x < y.
✷
Các tập hợp sau rất thường gặp trong R.
Định nghĩa 2.1.9 Một tập con I của R đươc gọi là một khoảng nếu nó có một
trong các dạng dưới đây với a và b là các số thực nào đó.
• [a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b};

[a, ∞) := {x ∈ R : a ≤ x};

• (a, b) := {x ∈ R : a < x < b};

(a, ∞) := {x ∈ R : a < x};

• (a, b] := {x ∈ R : a < x ≤ b};

(−∞, a] := {x ∈ R : x ≤ a};

• [a, b) := {x ∈ R : a ≤ x < b};

(−∞, a) := {x ∈ R : x < a};

• (−∞, ∞) := R.
Trong phần tiếp theo, ta sẽ chỉ ra rằng tập hợp các số hữu tỉ Q có thể được “nhúng"

vào tập hợp các số thực R theo nghĩa có một đơn ánh từ Q vào R sao cho đơn ánh
này bảo toàn các phép cộng, phép nhân và quan hệ thứ tự trên Q. Do đó ta sẽ xem
Q như là một tập con của R.
Ta xét ánh xạ f : Q → R, r → r · 1, 1 ∈ R, xác định bởi

0,
khi r = 0




1 + 1 + · · · + 1 = n1, khi r = n ∈ N




n lần
r·1=
(−1) + (−1) + · · · + (−1) = m1, khi r = n ∈ Z\(N ∪ {0})






(−m) lần


(m1)(n1)−1 ,
khi r = m

n , n = 0, m, n ∈ Z.
Nhận xét 2.1.10 a) Từ cách xác định ánh xạ như trên, ta dễ dàng chứng minh kết
quả sau: với mọi số nguyên m và n ta luôn có (m1)(n1) = (mn)1 và m1 + n1 =
(m + n)1.
p
−1 = (p1)(q1)−1 ,
b) Nếu m
n = q , trong đó m, n, p, q ∈ Z và n, q = 0 thì (m1)(n1)
tức là quy tắc f đúng là một ánh xạ. Thật vậy, ta có (m1)(n1)−1 = (p1)(q1)−1 ⇐⇒
(m1)(n1)−1 (n1)(q1) = (p1)(q1)−1 (n1)(q1) ⇐⇒ (m1)(q1) = (p1)(n1) ⇐⇒ (mq)1 =
(np)1 (đúng do mq = np).

Mệnh đề 2.1.11 Ánh xạ f xác định như trên có các tính chất sau: Với mọi r, s ∈ Q
GV. Trần Trí Dũng

13


2.1. TIÊN ĐỀ HÓA TẬP HỢP SỐ THỰC

CHƯƠNG 2. TẬP HỢP SỐ THỰC

a) f (r + s) = f (r) + f (s),
b) f (rs) = f (r)f (s),
c) Nếu r < s thì f (r) < f (s).
Chứng minh: a) Giả sử r =

m
n,

s = pq . Khi đó r + s =

mq+np
nq .

Do đó

f (r + s) = f (r) + f (s) ⇐⇒ [(mq + np)1][(nq)1]−1 = (m1)(n1)−1 + (p1)(q1)−1
⇐⇒ (mq + np)1 = (m1)(n1)−1 (nq)1 + (p1)(q1)−1 (nq)1
⇐⇒ (mq + np)1 = (m1)(q1) + (p1)(n1) (do phần a) của Nhận xét 2.1.10)
⇐⇒ (mq + np)1 = (mq)1 + (np)1 = (mq + np)1 (do phần a) của Nhận xét 2.1.10).
b) Chứng minh tương tự như a).
p
c) Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử r = m
n , s = q và các số n, q ∈ N.
p
Nếu r < s thì m
n < q hay mq < np. Suy ra 1 + mq ≤ np và np = mq + k với k là
một số tự nhiên. Mặt khác do 0 < n1 và 0 < q1 nên

f (r) < f (s) ⇐⇒ (m1)(n1)−1 < (p1)(q1)−1
⇐⇒ (m1)(n1)−1 (n1)(q1) < (p1)(q1)−1 (n1)(q1)
⇐⇒ (m1)(q1) < (n1)(p1) ⇐⇒ (mq)1 < (np)1
⇐⇒ (mq)1 < (mq + k)1 ⇐⇒ 0 < k1.
Chú ý rằng bất đẳng thức cuối cùng là đúng vì k là một số tự nhiên. Vậy nếu r < s
thì f (r) < f (s).
✷
Định nghĩa 2.1.12 (Giá trị tuyệt đối của một số thực) Cho số thực x. Khi
đó giá trị tuyệt đối của x, kí hiệu |x|, được định nghĩa như sau:
|x| =

x, nếu x ≥ 0
−x, nếu x < 0.

Ta có các tính chất sau đây.
Mệnh đề 2.1.13 Cho x, y là các số thực tùy ý. Khi đó ta có
• |x| ≥ 0 và |x| = 0 ⇐⇒ x = 0.
• −|x| ≤ x ≤ |x|.
• |x + y| ≤ |x| + |y| (bất đẳng thức tam giác).
• ||x| − |y|| ≤ |x − y|.
14

GV. Trần Trí Dũng


CHƯƠNG 2. TẬP HỢP SỐ THỰC
• |xy| = |x||y| và

x
y

=

2.1. TIÊN ĐỀ HÓA TẬP HỢP SỐ THỰC

|x|
|y| .

• |x| < y ⇐⇒ −y < x < y. Tương tự |x| ≤ y ⇐⇒ −y ≤ x ≤ y.
Chứng minh: Xem như bài tập.

2.1.3

Tiên đề về tính đầy đủ của tập số thực

Để có thể phát biểu tiên đề về tính đầy đủ, trước hết ta cần một số các khái niệm
sau.
Định nghĩa 2.1.14 Cho E là một tập con của R.
a) E được gọi là bị chặn trên nếu có một số thực M sao cho x ≤ M với mọi
x ∈ E. Khi đó ta nói E bị chặn trên bởi M và M là một cận trên của E.
b) E được gọi là bị chặn dưới nếu có một số thực m sao cho m ≤ x với mọi
x ∈ E. Khi đó ta nói E bị chặn dưới bởi m và m là một cận dưới của E.
c) E được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên và vừa bị chặn dưới.
Ví dụ 2.1.15 a) Theo định nghĩa, tập hợp E = [0, 1] là bị chặn trên bởi 1 và bị
chặn dưới bởi 0. Vậy E bị chặn trong R.
b) Tập hợp E = [0, ∞) là bị chặn dưới bởi 0 nhưng không bị chặn trên. Vì
nếu [0, ∞) bị chặn trên bởi một số thực M nào đó thì nói riêng 0 ≤ M . Do đó
M + 1 ∈ [0, ∞). Vậy ta phải có M + 1 ≤ M , mà điều này thì tương đương với 1 ≤ 0
(vô lý).
c) Tương tự tập hợp E = (−∞, 0] là bị chặn trên bởi 0 nhưng không bị chặn dưới
(tại sao?).
d) Tập hợp R = (−∞, ∞) không bị chặn trên, cũng không bị chặn dưới (tại
sao?).
Định nghĩa 2.1.16 Cho E là một tập con của R.
a) Ta nói a ∈ E là phần tử nhỏ nhất của E, kí hiệu a = min E, nếu a ≤ x với
mọi x ∈ E. Tương tự, ta nói a ∈ E là phần tử lớn nhất của E, kí hiệu a = max E,
nếu x ≤ a với mọi x ∈ E.
b) Phần tử nhỏ nhất trong tập hợp tất cả các cận trên của E (nếu có) được gọi
là cận trên đúng của E, kí hiệu sup E.
c) Phần tử lớn nhất trong tập hợp tất cả các cận dưới của E (nếu có) được gọi

là cận dưới đúng của E, kí hiệu inf E.
Ví dụ 2.1.17 Cho E là một tập con của R.
a) Giả sử tồn tại a = max E. Chứng minh rằng sup E cũng tồn tại và sup E =
max E = a.
b) Giả sử tồn tại a = min E. Chứng minh rằng inf E cũng tồn tại và inf E =
min E = a.
GV. Trần Trí Dũng

15


2.1. TIÊN ĐỀ HÓA TẬP HỢP SỐ THỰC

CHƯƠNG 2. TẬP HỢP SỐ THỰC

Lời giải: a) Theo định nghĩa, a = max E thuộc E và là một cận trên của E. Ta
sẽ chứng minh a là cận trên nhỏ nhất trong các cận trên của E, do đó sup E = a.
Thật vậy, lấy b là một cận trên tùy ý của E, chú ý rằng a ∈ E nên a ≤ b.
b) Chứng minh tương tự phần a)
✷
Ví dụ 2.1.18 Cho E = {1, 3, 5, 7}. Theo trên, ta có sup E = max E = 7 và inf E =
min E = 1.
Ví dụ 2.1.19 Cho E = [0, 1). Rõ ràng, ta có inf E = min E = 0. Dễ thấy E không
có phần tử lớn nhất (tại sao?), tuy nhiên sup E = 1. Thật vậy, với mọi x thuộc [0, 1)
thì x < 1. Suy ra x ≤ 1, tức 1 là một cận trên của [0, 1).
Lấy M là một cận trên bất kì của E. Nếu M < 1 thì ta suy ra 0 ≤ M < M2+1 < 1.
Do đó M2+1 ∈ E và M2+1 ≤ M , mâu thuẫn với M < M2+1 . Vậy ta phải có 1 ≤ M .
✷
Mệnh đề sau cho ta một đặc trưng đơn giản nhưng rất hữu dụng của các cận trên
đúng và cận dưới đúng.

Mệnh đề 2.1.20 Cho E là một tập con khác rỗng của R và a ∈ R là một cận trên
của E. Khi đó, hai khẳng định sau là tương đương.
(i) a = sup E.
(ii) Với mọi

> 0, tồn tại x ∈ E sao cho a − < x ≤ a.

Tương tự, cho E là một tập con khác rỗng của R và b ∈ R là một cận dưới của E.
Khi đó, hai khẳng định sau là tương đương.
(iii) b = inf E.
(iv) Với mọi

> 0, tồn tại x ∈ E sao cho b ≤ x < b + .

Chứng minh: Xem bài tập 7 cuối chương.
✷
Tiên đề sau đây là tiên đề rất quan trọng trong Giải tích. Tiên đề này cho ta
tính đầy đủ của trường số thực, một tính chất mà trường các số hữu tỉ Q không có.
Rất nhiều các định lý, các kết quả sâu sắc sau này trong Giải tích, chẳng hạn như
Định lý về sự hội tụ của các dãy Cauchy, Định lý Bolzano-Weierstrass về các dãy bị
chặn, Định lý giá trị trung gian của các hàm số liên tục ..., đều là hệ quả của tính
chất đầy đủ của R.
12. Tiên đề đầy đủ (còn được gọi là Nguyên lý Supremum): Trường các
số thực R là đầy đủ theo nghĩa: Mọi tập con E khác rỗng bị chặn trên của R đều
có cận trên đúng thuộc R.
16

GV. Trần Trí Dũng

CHƯƠNG 2. TẬP HỢP SỐ THỰC

2.2. MỘT SỐ KẾT QUẢ QUAN TRỌNG

Định lý 2.1.21 Mọi tập con E khác rỗng bị chặn dưới của R đều có cận dưới đúng
thuộc R.
Chứng minh: Giả sử E bị chặn dưới bởi a. Đặt −E = {−x : x ∈ E} thì −E khác
rỗng và bị chặn trên bởi −a. Theo tiên đề đầy đủ, −E có một cận trên đúng là b.
Ta dễ dàng kiểm tra −b sẽ là cận dưới đúng của E.
✷
Như vậy là ta đã hoàn thành công việc tiên đề hóa tập hợp các số thực. Toàn bộ
các tiên đề nêu trên sẽ làm R trở thành một trường được sắp thứ tự toàn phần và
đầy đủ. Hơn nữa, các nhà toán học còn chứng minh được rằng nếu có một trường F
cũng được sắp thứ tự toàn phần và đầy đủ, tức là F cũng thỏa mãn các tiên đề 1-12,
thì F tương đương với R, theo nghĩa là sẽ có một song ánh giữa hai trường này, và
song ánh này bảo toàn các tính chất của các phép toán cộng, phép toán nhân và
quan hệ thứ tự.

2.2
2.2.1

Một số kết quả quan trọng
Các nguyên lý cơ bản trên tập các số tự nhiên N

Định lý 2.2.1 (Nguyên lý sắp thứ tự tốt)
Mọi tập con E khác rỗng của N đều có phần tử nhỏ nhất.
Chứng minh: Do E khác rỗng nên có một số tự nhiên N ∈ E.
Đặt F = {n ∈ E : n ≤ N } thì F khác rỗng và chỉ có hữu hạn các phần tử. Do đó F
sẽ có phần tử nhỏ nhất gọi là k. Khi đó k cũng là phần tử nhỏ nhất của E. Thật
vậy, lấy n bất kì trong E. Nếu n ∈ F thì n ≥ k, còn nếu n ∈

/ F thì n > N ≥ k.
✷
Định lý 2.2.2 Cho E ⊂ N thỏa mãn hai tính chất sau:
(i) 1 ∈ E;
(ii) Với mỗi n ∈ N, nếu n ∈ E thì n + 1 ∈ E.
Khi đó E = N.
Chứng minh: Gọi E c là phần bù của E trong N, tức là E c = {n ∈ N : n ∈
/ E}. Ta
sẽ chứng minh E c là tập rỗng. Thật vậy, giả sử ngược lại E c khác rỗng. Khi đó, theo
Nguyên lý sắp thứ tự tốt thì E c có phần tử nhỏ nhất gọi là N . Chú ý rằng do 1 ∈ E
nên N ≥ 2. Rõ ràng khi đó N − 1 ∈ E vì nếu N − 1 ∈ E c thì N − 1 ≥ N (vô lý).
Tuy nhiên từ N − 1 ∈ E và theo giả thiết (ii) ta lại suy ra N ∈ E, mâu thuẫn với
N ∈ Ec.
GV. Trần Trí Dũng

17


2.2. MỘT SỐ KẾT QUẢ QUAN TRỌNG

CHƯƠNG 2. TẬP HỢP SỐ THỰC
✷

Nhận xét 2.2.3 a) Trong định lý trên, nếu ta giữ nguyên giả thiết (i) và thay giả
thiết (ii) bởi giả thiết (ii’) sau
(ii’) Với mỗi n ∈ N, nếu {1, 2, ..., n} ⊂ E thì n + 1 ∈ E,
thì kết luận vẫn là E = N (tại sao?). Nguyên lý tương ứng được gọi là Nguyên lý
quy nạp mạnh.
b) Trong định lý trên, nếu ta giữ nguyên giả thiết (ii) và thay giả thiết (i) bởi
giả thiết (i’) sau

(i’) N ∈ E với N là số tự nhiên cho trước,
thì kết luận sẽ là {n ∈ N : n ≥ N } ⊂ E (tại sao?).
Ví dụ 2.2.4 (Bất đẳng thức Bernoulli)
Chứng minh rằng: Với mọi a ≥ −1, với mọi n ∈ N, ta có (1 + a)n ≥ 1 + na.
Chứng minh: Lấy a ≥ −1 tùy ý. Đặt E = {n ∈ N : (1 + a)n ≥ 1 + na}.
Rõ ràng ta có 1 ∈ E. Giả sử ta có n ∈ E, tức là (1 + a)n ≥ 1 + na. Khi đó
(1 + a)n+1 = (1 + a)n (1 + a) ≥ (1 + na)(1 + a) = 1 + (n + 1)a + na2 .
Suy ra (1 + a)n+1 ≥ 1 + (n + 1)a (do na2 ≥ 0) hay n + 1 ∈ E. Tức là E thỏa mãn
hai giả thiết của Nguyên lý quy nạp, nên E = N.
✷
Ví dụ 2.2.5 Chứng minh rằng: n! > 2n , với mọi số tự nhiên n ≥ 4.
Chứng minh: Ta có thể chứng minh tương tự như Ví dụ 2.2.4 bằng cách đặt
E = {n ∈ N, n ≥ 4 : n! > 2n }. Tuy nhiên, ta thường thực hành như sau.
• Kiểm tra bước cơ sở: Với n = 4 thì 4! = 24 > 24 = 16 nên bất đẳng thức
cần chứng minh đúng với n = 4.
• Chứng minh bước quy nạp: Giả sử bất đẳng thức đúng với n (n ≥ 4), tức
là ta có n! > 2n (giả thiết quy nạp). Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng
với n + 1. Thật vậy ta có
(n + 1)! = n!(n + 1) > 2n (n + 1) (do giả thiết quy nạp)
> 2n+1 (vì n + 1 > 2).
• Kết luận: Bất đẳng thức n! > 2n đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 4.
✷
18

GV. Trần Trí Dũng


CHƯƠNG 2. TẬP HỢP SỐ THỰC

2.2. MỘT SỐ KẾT QUẢ QUAN TRỌNG

Các định lý ở phần tiếp theo là những hệ quả của Nguyên lý Supremum.
Định lý 2.2.6 N không bị chặn trên.
Chứng minh: Giả sử ngược lại N bị chặn trên. Khi đó theo Nguyên lý Supremum,
tồn tại a = sup N. Suy ra a − 1 không phải là cận trên của N, do đó có một số tự
nhiên n sao cho n > a − 1. Khi đó n + 1 > a, mâu thuẫn với a = sup N.
✷
Định lý 2.2.7 (Nguyên lý Archimedes)
Với mọi a > 0, với mọi b ∈ R, tồn tại n ∈ N: na > b.
Chứng minh: Dùng phản chứng, giả sử ngược lại, nếu có a > 0, có b ∈ R sao cho
với mọi n ∈ N : na ≤ b. Khi đó với mọi n ∈ N ta có n ≤ b/a, mâu thuẫn với N không
bị chặn trên.
✷
Ví dụ 2.2.8 Cho E = {x = 1 − 1/n : n ∈ N}. Tìm sup E.
Lời giải: Rõ ràng nếu x ∈ E thì x ≤ 1. Vậy 1 là cận trên của E. Ta sẽ áp dụng
Mệnh đề 2.1.20 để chứng minh sup E = 1. Lấy > 0 tùy ý, ta cần chỉ ra tồn tại
x = 1 − 1/n > 1 − . Điều này tương đương với có n ∈ N sao cho n > 1/ . Chú ý
rằng số n như vậy tồn tại theo Nguyên lý Archimedes ứng với a = , b = 1.
✷

2.2.2

Các tính chất cơ bản của tập hợp các số hữu tỉ Q

Trước tiên ta sẽ chỉ ra rằng có những số thực nhưng không phải là số hữu tỉ. Nói
cách khác, Q là tập con thực sự của R. Do đó, phần bù Qc của Q trong R là khác
rỗng và Qc được gọi là tập hợp các số vô tỉ.
2
Mệnh đề 2.2.9 Tồn tại duy nhất
√ một số thực x > 0 sao cho x = 2. Số x đó được

gọi là căn bậc hai của 2, kí hiệu 2.

Chứng minh: Dễ thấy tính duy nhất của x là đúng vì nếu có y > 0 sao cho y 2 = 2
thì x2 = y 2 . Suy ra (x − y)(x + y) = 0, do đó x = y (vì x + y > 0).
Để chứng minh sự tồn tại của số x như trên, ta đặt E = s > 0 : s2 ≤ 2 . Rõ ràng E
khác rỗng (do 1 ∈ E) và bị chặn trên bởi 2 chẳng hạn. Theo Nguyên lý Supremum,
tồn tại số thực x = sup E. Dễ thấy x ≥ 1, ta sẽ chứng minh x2 = 2.
GV. Trần Trí Dũng

19


2.2. MỘT SỐ KẾT QUẢ QUAN TRỌNG

CHƯƠNG 2. TẬP HỢP SỐ THỰC

• Xét trường hợp x2 > 2. Theo Nguyên lý Archimedes, ta có số tự nhiên n sao
cho n > x22x−2 . Khi đó với mọi s ∈ E, ta có
(x − 1/n)2 = x2 − 2x/n + 1/n2 > x2 − 2x/n > 2 ≥ s2
do cách chọn n. Suy ra x − 1/n > s, tức là x − 1/n là một cận trên của E,
mâu thuẫn với x = sup E.
• Xét trường hợp x2 < 2. Theo Nguyên lý Archimedes, ta có số tự nhiên m sao
cho m > 2x+1
. Khi đó
2−x2
(x + 1/m)2 = x2 + 2x/m + 1/m2 ≤ x2 +

2x + 1
<2
m

do cách chọn m. Suy ra x + 1/m thuộc E, mâu thuẫn với x = sup E.
Vậy phải có x2 = 2.
✷
Mệnh đề 2.2.10

√
2 không phải là số hữu tỉ.

Chứng minh: Giả sử ngược lại rằng tồn tại số hữu tỉ r =
(tức
√m/n ở dạng 2tối giản
2 . Khi
là ước số chung lớn nhất của m và n là 1) sao cho m
=
2.
Suy
ra
m
=
2n
n
đó m2 chia hết cho 2, do đó m cũng chia hết cho 2 (tại sao?). Vậy m = 2k với k là
số nguyên nào đó. Thay m = 2k vào đẳng thức m2 = 2n2 , ta suy ra n2 = 2k 2 . Lập
luận tương tự như trên, ta suy ra n = 2l với l là số nguyên nào đó. Vậy cả m và n
đều chia hết cho 2, điều này là mâu thuẫn với giả thiết r = m/n ở dạng tối giản.
✷
Định lý 2.2.11 (Tính trù mật của Q trong R)
Cho a, b là các số thực bất kì và a < b. Khi đó, tồn tại r ∈ Q sao cho a < r < b.
Chứng minh: Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử là 1 < a < b (trường hợp

tổng quát thay a, b bởi a + n, b + n với n ∈ N được chọn sao cho 1 < a + n).
Theo Nguyên lý Archimedes, ta chọn n ∈ N sao cho n > 1/(b − a) hay 1/n < b − a.
Cố định số n này và đặt E = {k ∈ N : k > na} thì E khác rỗng do Nguyên lý
Archimedes. Theo Nguyên lý sắp thứ tự tốt của N, E có một phần tử nhỏ nhất gọi
là m và m > na > 1. Khi đó
m − 1 ≤ na ⇒

m
1
m−1
≤a⇒
≤a+ n
n
n

do cách chọn n. Vậy r = m/n là số hữu tỉ sao cho a < r < b.
✷
20

GV. Trần Trí Dũng


CHƯƠNG 2. TẬP HỢP SỐ THỰC

2.2. MỘT SỐ KẾT QUẢ QUAN TRỌNG

Định lý 2.2.12 (Tính trù mật của Qc trong R)
Cho a, b là các số thực bất kì và a < b. Khi đó, tồn tại x ∈ Qc sao cho a < x < b.
√

Chứng minh: Theo Định lý 2.2.11, có số hữu tỉ r sao cho a < r < b. Xét x = r +
√

với n ∈ N được chọn sao cho n >

2
b−r .

2
n

Khi đó x ∈ Qc và a < x < b.
✷

Ví dụ 2.2.13 Cho E = r ∈ Q : 0 < r <

√
√
2 . Chứng minh rằng: sup E = 2.

√
Lời giải: Theo định nghĩa của E, ta có ngay 2 là√một cận trên của E. Giả sử√M
là một cận trên của E, ta cần chứng minh M ≥ 2. Thật vậy, giả sử M < 2.
Khi đó, theo
√ Định lý 2.2.11 về tính trù mật của Q, tồn tại một số hữu tỉ r sao cho
M < r < 2. Suy ra r ∈ E và M < r, mâu thuẫn với M là một cận trên của E.
√
Vậy sup E = 2.
✷

Chú ý: Ví dụ 2.2.13 cũng chỉ ra rằng Q không thỏa mãn tiên đề đầy đủ (Nguyên
lý Supremum).

GV. Trần Trí Dũng

21