Giáo Trình Giải Tích - KHTN - Chương 1

1
Chương 1
TẬP HP CÁC SỐ THỰC
Để khảo sát hàm số thực theo một biến số thực, nghóa là để khảo sát các ánh xạ
→
¡f : D
, trong đó D là một tập con
không rỗng của
¡
, ta cần nắm vững các tính chất căn bản của tập
¡
các số thực.
Do đó, trong phần 1, chúng ta giới thiệu tập
¡
thông qua một hệ thống các tiên đề. Từ các tiên đề, ta chứng minh
được các tính chất thường dùng trên tập số thực để từ đó xây dựng được hai cặp hàm sơ cấp cơ bản : hàm lũy thừa / căn
thức và hàm mũ / lôgarít. Một số khái niệm khác liên quan đến khoảng, lân cận, các hàm sơ cấp cơ bản ... cũng được giới
thiệu một cách có hệ thống trong phần 2 nhằm cung cấp các công cụ cần thiết trong việc khảo sát các hàm số trong suốt
phần còn lại của giáo trình.
1. TẬP
¡
CÁC SỐ THỰC
Tập các số thực, trên đó có trang bò hai phép toán, phép cộng và phép nhân, và một quan hệ thứ tự, ký hiệu
( )
+ ⋅ ≤¡ , , ,
,
thỏa các tiên đề sau, trong đó a, b, c là các số thực bất kỳ,
1.1. Tiên đề cho các phép toán
i) các phép toán đều có tính giao hoán :
+ = +a b b a
;

⋅ = ⋅a b b a
ii) các phép toán đều có tính kết hợp :
( ) ( )
+ + = + +a b c a b c
;
( ) ( )
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅a b c a b c
iii) phép cộng có phần tử trung hòa, ký hiệu 0 và phép nhân có phần tử trung hòa, ký hiệu 1 :
+ =a 0 a
;
⋅ =a 1 a
.
iv) mọi số thực x đều có số đối, ký hiệu
−x
, và mọi số thực
≠x 0
đều có số nghòch đảo, ký hiệu
−1
x
:
( )
+ − =x x 0
;
−
⋅ =
1
x x 1
.
2
v) phép nhân có tính phân bố đối với phép cộng :

( )
+ = +a b c ab ac
.
1.2. Tiên đề cho quan hệ thứ tự
vi) quan hệ thứ tự có tính phản xạ :
≤a a
vii) quan hệ thứ tự có tính phản đối xứng : nếu
≤a b
và
≤b a
thì
=a b
viii) quan hệ thứ tự có tính bắc cầu (truyền) : nếu
≤
a b
và
≤
b c
thì
≤a c
ix) quan hệ thứ tự có tính toàn phần : hoặc
≤a b
, hoặc
≤b a
x) quan hệ thứ tự bền đối với phép cộng : nếu
≤
a b
thì
+ ≤ +
a c b c

xi) quan hệ thứ tự bền đối với phép nhân các số dương : nếu
≤a b
và
≤0 c
thì
≤ac bc
. ª
Từ các tính chất nêu trên người ta suy ra mọi tính chất còn lại về phép toán cũng như quan hệ thứ tự trên tập các số
thực. Ta liệt kê một số tính chất thường dùng sau
xii)
⋅ =
a 0 0
;
( )
− ⋅ = −1 a a
;
xiii) nếu
=
ab 0
thì
=
a 0
hay
=
b 0
;
xiv) Phép trừ : phương trình
+ =
x a b
có nghiệm duy nhất

( )
= + − ≡ −x b a b a
;
xv) Phép chia : phương trình
⋅ =
a x b
, với
≠
a 0
, có nghiệm duy nhất
−
= ⋅ ≡
1
b
x b a
a
.
Ngoài ra, do các phép toán đều có tính kết hợp, ta có thể đònh nghóa tổng cũng như tích một số hữu hạn các số thực.
1.3. Đònh nghóa. Với dãy các số thực
1
a
,
2
a
, ...,
n
a
, ... Tổng n số hạng đầu của dãy này,
+ + + +
0 1 2 n

a a a ... a
, được viết
tắt bằng ký hiệu
∑
như sau
=
+ + + =
∑
n
1 2 n k
k 1
a a ... a a
3
(đọc là “tổng các
k
a
từ
=k 1
đến
=k n
”).
Trong cách viết này, chỉ số k của
k
a
được gọi là chỉ số câm, việc lựa chọn ký tự cho chỉ số câm không làm ảnh hưởng
đến giá trò của tổng. Chẳng hạn
= = =
= = = + +
∑ ∑ ∑
3 3 3

k i j 1 2 3
k 1 i 1 j 1
a a a a a a
Hơn nữa, ta có thể thay đổi vùng giá trò của các chỉ số với điều kiện duy nhất là giá trò chỉ số đầu phải nhỏ hơn hay
bằng giá trò của chỉ số cuối. Chẳng hạn
=
= + + +
∑
5
k 2 3 4 5
k 2
a a a a a
nhưng ký hiệu
=
∑
2
k 5 k
a
không được xác đònh.
Tương tự, ta viết
=
⋅ ⋅ ⋅ =
∏
n
1 2 n k
k 1
a a ... a a
(đọc là “tích các
k
a

từ
=k 1
đến
=k n
”).
Ví dụ 1.
=
= + + + + =
∑
n
k 1
k 1 2 3 ... n
tổng n số nguyên tự nhiên đầu tiên;
=
= + + + +
∑
n
k 1
1 1 1 1
1 ...
k 2 3 n
;
4
=
= + + + +
∑
n
k 2 n
k 0
q 1 q q ... q

, với quy ước
=
0
q 1
và
=
1
q q
;
=
+ = + + + + + =
∑
n
k 0
(2k 1) 1 3 5 ... (2n 1)
tổng
+n 1
số nguyên lẻ đầu tiên;
=
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ≡
∏
n
k 1
k 1 2 3 ... n n!
(đọc là “n giai thừa”);
=
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ≡
∏
1 4 4 2 4 43
n

n
n lần
k 1
x x x x ... x x
.
Chú ý : Tổng hữu hạn
=
∑
n
k
k 1
a
và tích hữu hạn
=
∏
n
k
k 1
a
được đònh nghóa bằng quy nạp trên n như sau :
Với
=n 1
, đặt
=
=
∑
1
k 1
k 1
a a

;
=
=
∏
1
k 1
k 1
a a
và
+
+
= =
= +
∑ ∑
n 1 n
k k n 1
k 1 k 1
a a a
và
+
+
= =
 
 
= ⋅
 
 
∏ ∏
n 1 n
k k n 1

k 1 k 1
a a a
.
Chẳng hạn, ta có
=
= =
∑
0
k 0
k 0
q q 1
và
+
+
= =
= +
∑ ∑
n 1 n
k k n 1
k 0 k 0
q q q
.
Đặc biệt,
5
=
= =
∏
1
k 1
1! k 1

và
( ) ( ) ( )
+
= =
 
 
+ = = + = ⋅ +
 
 
∏ ∏
n 1 n
k 1 k 1
n 1 ! k k n 1 n! n 1
,
=
= =
∏
1
1
k 1
x x x

và
+
+
= =
 
 
= = = ⋅

 
 
∏ ∏
n 1 n
n 1 n
k 1 k 1
x x x x x x
.
Nhắc lại rằng ta có quy ước
=
0! 1
và
=
0
x 1
, với mọi
∈ ¡x
,
và với mọi
∈
¥n
,
=k 0,1,...,n
, ta đònh nghóa
( )
=
−
k
n
n!

C
k! n k !
.
1.4. Mệnh đề.
i) Nếu
λ
là số thực độc lập với các chỉ số của tổng hữu hạn, ta có
=
λ = λ
∑
n
k 1
n
;
= =
λ = λ
∑ ∑
n n
k k
k 1 k 1
a a
6
ii)
( )
= = =
+ = +
∑ ∑ ∑
n n n
k k k k
k 1 k 1 k 1

a b a b
;
( )
= = =
  
  
⋅ =
  
  
∏ ∏ ∏
n n n
k k k k
k 1 k 1 k 1
a b a b
iii)
= = =
 
 
=
 
 
∑ ∑∑
2
n n n
k i k
k 1 i 1 k 1
a a a
iv) Với
( )
=

=
ij
i 1,2,...,n
j 1,2,...,m
a
là họ gồm
×n m
số thực, ta có
= = = =
=
∑∑ ∑∑
n m m n
ij ij
i 1 j 1 j 1 i 1
a a
v)
= =
0 n
n n
C C 1
, với mọi
∈ ¥n
và
−
+
+ =
k k 1 k
n n n 1
C C C
, với mọi

∈ ¥n
và
=k 1,2,...,n
.
Chứng minh. Chú ý rằng tổng cũng như tích hữu hạn được đònh nghóa bằng quy nạp trên n. Do vậy, một cách tự nhiên là
ta chứng minh các tính chất trên bằng quy nạp. Chẳng hạn, với đẳng thức iii), khi
=n 1
, ta có
= = =
 
 
= =
 
 
∑ ∑∑
2
1 1 1
2
k i k 1
k 1 i 1 k 1
a a a a
,
nghóa là đẳng thức iii) đúng khi
=n 1
.
Giả sử đẳng thức iii) đúng với một
∈ ¥n
, nghóa là
= = =
 

 
=
 
 
∑∑ ∑
2
n n n
i k k
i 1 k 1 k 1
a a a
.
Khi đó, ta có
7
+ + +
+
= = = =
 
 
= +
 
 
∑∑ ∑ ∑
n 1 n 1 n 1 n
i k i k i n 1
i 1 k 1 i 1 k 1
a a a a a a
+ + + +
= = =
 
 

= + + +
 
 
∑ ∑ ∑
n n n
i k i n 1 n 1 k n 1 n 1
i 1 k 1 k 1
a a a a a a a a
+ + +
= = = =
= + + +
∑∑ ∑ ∑
n n n n
2
i k n 1 i n 1 k n 1
i 1 k 1 i 1 k 1
a a a a a a a
+
+ +
= =
 
 
= + +
 
 
∑ ∑
2
n 1 n
2
k n 1 k n 1

k 1 k 1
a 2a a a
+
+
= =
   
   
= + =
   
   
∑ ∑
2 2
n n 1
k n 1 k
k 1 k 1
a a a
,
nghóa là đẳng thức iii) cũng đúng cho
+n 1
. Vậy do phép chứng minh quy nạp, đẳng thức iii) đúng với mọi
∈
¥n
.
Chứng minh các đẳng thức còn lại được coi như bài tập. ª
1.5. Đònh lý. Với
∈ ¡a, b
và
∈ ¥n
, ta có
i) Công thức khai triển nhò thức Newton

( )
−
=
+ =
∑
n
n
k n k k
n
k 0
a b C a b
ii)
( )
− −
=
− = −
∑
n
n n n k k 1
k 1
a b a b a b
Chứng minh. i) Quy nạp trên n. Khi
=n 1
, đẳng thức
8
( )
− − −
=
+ = + = + =
∑

n
1
0 0 1 0 1 1 1 1 k k 1 k
1 1 1
k 0
a b a b C a b C a b C a b
đúng. Giả sử đẳng thức i) đúng với một
∈
¥n
, nghóa là
( )
−
=
+ =
∑
n
n
k n k k
n
k 0
a b C a b
.
Khi đó, ta có
( ) ( ) ( ) ( )
+
−
=
+ = + + = +
∑
n

n 1 n
k n k k
n
k 0
a b a b a b a b C a b
( )
(
− −
= + + + +
0 n 0 0 1 n 1 1
n n
a b C a b C a b ...
( )
− −
− − −

+ +


n n 1
n 1 n 1 n n n n
n n
C a b C a b
( )
+ − −
+ − + − − −
= + + + +
n 1 n 1
0 n 1 0 0 1 n 1 1 1 n 1 n 1
n n n

C a b C a b ... C a b
+ − − + − +
+ + + +
n n 1 n n 0 n 0 0 1 1 n 1 1 1
n n n
C a b C a b C a b
( )
− −
− − + − +
+ + +
n n 1
n 1 n 1 1 n n n n 1
n n
... C a b C a b
(
)
+ − + −
= + + + +
0 n 1 0 0 1 0 n 1 1 1
n n n
C a b C C a b ...
(
)
− + − − +
+ + +
n n 1 n 1 n n n n n n 1
n n n
C C a b C a b
+ − + −
+ +

= + + +
0 n 1 0 0 1 n 1 1 1
n 1 n 1
C a b C a b ...
( )
+ − +
+ − + +
+ +
+ +
n 1 n 1
n n 1 n n n 1 n 1
n 1 n 1
C a b C a b
9
+
+ −
+
=
=
∑
n 1
k n 1 k k
n 1
k 0
C a b
,
nghóa là đẳng thức i) cũng đúng cho
+n 1
.
ii)

( )
− −
=
− =
∑
n
n k k 1
k 1
a b a b
( )
(
− − − −
= − + + +
n 1 1 1 n 2 2 1
a b a b a b ...
( ) ( )
− − − −
− −

+ +


n n 1 n 1 1
n n n 1
a b a b
− − −
= + + + +
n n 1 2 n 2 n 1
a a b ... a b ab
(

)
− − −
− + + + +
n 1 n 2 2 n 1 n
a b a b ... ab b
= −
n n
a b
. ª
Bằng cách viết
( )
− = + −a b a b
và
( )
+ = − −
n
n n n
a b a b
khi n là số nguyên lẻ, ta được
1.6. Hệ quả. Với
∈ ¡a, b
và
∈ ¥n
, ta có
i)
( ) ( )
−
=
− = −
∑

n
n k
k n k k
n
k 0
a b 1 C a b
.
ii) Khi
n
là số lẻ, ta có
( ) ( )
−
− −
=
+ = + −
∑
n
k 1
n n n k k 1
k 0
a b a b 1 a b
.
1.7. Đònh lý.
i) Bất đẳng thức Cauchy : Với
∈ ¡a, b
,
≥a, b 0
, ta có