Chuyen de tim chu so tan cung cua mot luy thua

TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA LUỸ THỪA
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Các dạng toán liên quan đến luỹ thừa trong chương trình số học 6 có thể khai thác
ở nhiều khía cạnh. Ngoài những dạng toán như so sánh luỹ thừa, tính giá trị các
biểu thức luỹ thừa, tìm x thoả mãn một đẳng thức luỹ thừa, chứng minh tính chia
hết,… thì tìm chữ số tận cùng của luỹ thừa cũng là một trong những dạng toán hay
có thể khai thác để giúp học sinh nắm chắc, hiểu sâu hơn các công thức liên quan
đến luỹ thừa, một mặt vừa luyện được kỹ năng biến đổi biểu thức hợp lý, vừa vận
dụng được những kiến thức các em được học ở tiểu học biết xác định chữ số tận
cùng của một tổng , một tích, vừa có thể liên hệ với việc xác định quan hệ chia hết
hay chia có dư với các số đặc biệt như 5, 10, 25, 100,..
Khai thác được các kỹ năng đó góp phần bồi dưỡng năng lực toán học cho học
sinh, rèn luyện tư duy linh hoạt, sáng tạo.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Nội dung chuyên đề
Dạng 1 :Tìm chữ số tận cùng của An, n ¹ 0
*Nhận xét:
“Nếu chữ số tận cùng của A là a, thì chữ số tận cùng của A n cũng là chữ số tận
cùng của an”.
Từ nhận xét suy ra:
1)Nếu A có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6 thì An có chữ số tận cùng tương ứng là 0, 1,
5, 6
2)Nếu A có chữ số tận cùng là 4, 9 thì A2k có chữ số tận cùng tương ứng là 6, 1
3)Nếu A có chữ số tận cùng là 2, 3, 7, 8 thì A 4k có chữ số tận cùng tương ứng là 6,
1, 1, 6
*Áp dụng:
VD1: Tìm chữ số tận cùng của luỹ thừa sau:
192008; 12100; 12103
Lời giải:
a) 192008 =192.1004 =(192)1004
=3611004

3611004có tận cùng là 1
⇒ 192008 có tận cùng là 1
b) 12100=124.25=(124)25
1


124 có tận cùng là 6
⇒ (124)25 có tận cùng là 6
Vậy 12100 có tận cùng là 6
c) 12103=123. 12102 có tận cùng là 8.
VD2: Tìm chữ số tận cùng của luỹ thừa sau:
172007, 1921; 131003
Lời giải:
Ta sẽ tìm cách liên hệ các luỹ thừa trên với luỹ thừa dạng A2k, A4k để vận dụng
các ý trong nhận xét ở trên đ ây.
Thật vậy, 172007=17. 172006=17. 174.501 =17.(174)501
174 có tận cùng là 1
(174)501 có tận cùng là 1
17.(174)501 có tận cùng là 7
Vậy 172007có tận cùng là 7.
Tương tự
1921=19. 192.10 suy ra 1921 có tận cùng là 9.
131003=133. 134.250 suy ra 131001 có tận cùng là 7.
VD3: Chứng minh rằng 3366 +7755 – 2 chia hết cho 5
Lời giải:
Ta chứng minh 3366 +7755 -2 có tận cùng là 0 sau đó vận dụng dấu hiệu chia hết
cho 5
Thật vậy, 3366 có cùng chữ số tận cùng với 366, mà 366=933=9.92.16 suy ra 366 có tận
cùng là 9, 7755có cùng chữ số tận cùng với 755, vì 755=73.74.13 nên 755 có tận cùng là
3. Do đó 3366, 7755 có chữ số tận cùng lần lượt là 9, 3 suy ra 33 66 +7755 – 2 tận cùng

là 0 (đpcm)
Dạng 2:Tìm hai chữ số tận cùng của An, n ¹ 0
*Nhận xét:
1) Giả sử A có hai chữ số tận cùng là ab , B có hai chữ số tận cùng là cd
Khi đó A.B và ab . cd có cùng hai chữ số tận cùng.
2) “Nếu hai chữ số tận cùng của A là ab , thì hai chữ số tận cùng của A n cũng là hai
n
chữ số tận cùng của ab ”
Đặc biệt các số có tận cùng bằng 01, 25, 76 nâng lên luỹ thừa nào khác 0 cũng có
tận cùng lần lượt bằng 01, 25,76.
*Áp dụng:

2


4001

VD1:Tìm hai chữ số tận cùng của 7 2
4001
3999
3999
Lời giải: Ta có 7 2 = 7 4.2 = 24012 có hai chữ số tận cùng là 01
VD2: Chứng minh rằng

72

4 n+1

+ 43

4 n+1

- 65 chia hết cho 100

Lời giải: Ta sẽ chứng minh hai chữ số cuối cùng của

72

Thật vậy,
Mặt khác

4

4 n+1

3

4n

72

4 n+1

+ 43

4n

4 n+1

= 43.81 = 410 l +3 =43.

n

410l = 64. 410l ,

có hai chữ số tận cùng là 76, do đó

4 n+1

10 l
4 = 64. 4 và 64.76 có cùng hai chữ số tận cùng suy ra
tận cùng là 64.

Vì vậy

7

24 n+1

- 65 sẽ là 00.

= 7 2.2 = 7 2.2 = 7 4.k = 2401k có hai chữ số tận cùng là 01

410l = 10242l , 242l = 576l , mà 76l
3

4 n+1

+ 43

4 n+1

4

3

4 n+1

có hai chữ số

- 65 có hai chữ số tận cùng là 00

Dạng 3: Tìm ba chữ số tận cùng của An, n ¹ 0
*Nhận xét:
“Nếu 3 chữ số tận cùng của A là abc , thì ba chữ số tận cùng của A n cũng là ba chữ
số tận cùng của abcn ”
Đặc biệt các số có tận cùng bằng 001, 376, 625 nâng lên luỹ thừa nào khác 0 cũng
có tận cùng lần lượt bằng 001, 376, 625
*Áp dụng:
VD: Tìm 3 chữ số tận cùng của 52008
Lời giải:
52008 =54.502=(54)502
54 có tận cùng là 625
suy ra (54)502 có tận cùng là 625
Vậy 52008 có 3 chữ số tận cùng là 625
Bài tập:
1. Chứng minh: 175+244-1321 M10
2. Chứng minh:
a) 74n-1M5
b) 92n+1+1M10
3. Chứng minh: 71999-43M10

3