CPCasio phụ lục 2 tổng hợp công thức giải nhanh 3

Công phá kĩ thuật Casio

More than a book

Vấn đề 07: Các vật thể tròn xoay trong không gian
h



Sxq  2 Rh   r 2  h 2

r

Chỏm cầu




h  h 2
V  h2  R   
h  3r 2
3
6





R



Sxq  R  h1  h2 
Hình trụ cụt

h2
h1
R

Hình nêm loại 1

R

h h 
V  R2  1 2 
 2 

2
V  R3 tan 
3

α
R

R

Hình nêm loại 2

 2
V     R3 tan 
 2 3

R
α

R

R

R

R
h
a

Sparabol 

a
x

Parabol bậc hai

3

3
S  x   a 

   ;
S  h   R 
1
Vparabol  R2 h

2

Parabol tròn xoay
R

4
Rh;
3

R

h

Selip  ab
Diện tích elip và thể
tích khối tròn xoay
sinh bởi elip

b
a

a
b

4
Vquay quanh 2 a  ab2
3
4
Vquay quanh 2b  a2 b
3

LOVEBOOK.VN| 497


Phụ lục II: Tuyển tập công thức giải nhanh trắc nghiệm toán

r

The best or nothing

R

Diện tích hình vành khăn:



S   R2  r 2
Hình xuyến



Thể tích hình xuyến (phao):

V

2
2
R  r  R  r 

4

Vấn đề 08: Các dạng toán số phức hay và khó
1. Nếu quỹ tích của M  z  là đường tròn tâm I  a; b  bán kính R đồng thời module của số phức cần tìm

max  IJ  R
max-min là JM thì: 
.
min  IJ  R

x2 y 2
2. Nếu z  c  z  c  2a thì quỹ tích của M  z  là elip 2  2  1 trong đó b2  a2  c2
a
b



f z 2f z f z
 
  
2

3. Nếu z  k thì  z  a  a2  k 2  2ax

2
2
2
 z  a  a  k  2ax

4. z là một số thực nếu z  z và z là một số thuần ảo nếu z  z
5. Nếu az2  bz  c  0 với a, b, c 
2

2

nhau, đồng thời z1  z2  z1 z2 
6. 1  i   2i , 1  i 
2

có hai nghiệm phức thực sự z1 ; z2 thì đây là hai số phức liên hợp của

c
a
3

2

1
3 
 2i ,  
i   1
2 2 



ni
i n 1  1
7. Một số tổng đặc biệt: 1  i  i  ...  i 
và 1  2i  3i 2  ...   n  1 i n 
i 1
2

n

2

2



2

8. Một số đẳng thức đặc biệt: z1  z2  z1  z2  2 z1  z2
9. Nếu

2

z
là số thuần ảo thì OMM là tam giác vuông tại O.
z

LOVEBOOK.VN| 498

n 1

  n  1 i n  1

 i  1

 và zz  zz  2OM.OM

2

Công phá kĩ thuật Casio

More than a book

Vấn đề 09: Các công thức tính thể tích tứ diện khó
Dạng hình chóp

Công thức tính nhanh

Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng

VSABC 

a, cạnh bên bằng b.
Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng
a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng .
Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng
a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng .
Cho hình chóp S.ABC có SA; SB; SC đôi một
vuông góc và AB  a; BC  b; CA  c

1
V
12

a

2

a 2 3b 2  a 2
12

VS. ABC 

a3
. tan 
24

VS. ABC 

a3
.tan 
12

 b2  c 2

 a

2

 c 2  b2

 b

2

 c 2  a2



2

Cho hình chóp S.ABC có ba mặt phẳng

SAB ; SAC  ; SBC 

đôi một vuông góc và

V

có diện tích lần lượt là S1 ; S2 ; S3
Cho tứ diện ABCD có
𝑆∆𝐴𝐵𝐶 = 𝑆1 ; 𝑆∆𝐴𝐵𝐷 = 𝑆2 ; 𝐴𝐵 = 𝑎
{
(𝐴𝐵𝐷)) = 𝛼
((𝐴𝐵𝐶), ̂
Cho hình chóp SABC có
SA = a; SB = b; SC = c
{̂
̂ = β; CSA
̂=γ
ASB = α; BSC

V

VSABC 

{

Cho hình chóp đều SABCD có cạnh bên bằng
a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 

2S1S2 sin 
3a

1
VABCD  abd sin 
6

Cho hình chóp S.ABC có
SA = a; SB = b; SC = c
{ ((SAB),(SAC)) = α
̂ = β; ASC
̂=γ
ASB

(𝐴𝐵𝐶)) = 𝛽
((𝑆𝐶𝐴), ̂
(𝐴𝐵𝐶)) = 𝛾
((𝑆𝐴𝐵), ̂

3

abc
1  cos2   cos2   cos2   2 cos  cos  cos 
6

Cho hình chóp ABCD có

AB = a; CD = b
{
̂
d (AB, CD) = d (AB,
CD) = α

Cho hình chóp S.ABC có
𝐵𝐶 = 𝑎; 𝐶𝐴 = 𝑏; 𝐴𝐵 = 𝑐
(𝐴𝐵𝐶)) = 𝛼
((𝑆𝐵𝐶), ̂

2S1 .S2 .S3

VSABC 

V

abc
.sin .sin .sin 
6

2S2
S  SABC 
3  a.cot   b.cot   c.cot  

4a 3 tan 

V
3

 2  tan  
2

3

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy
bằng a và góc ở đáy của mặt bên bằng  với
 
  ; 
4 2

VSABCD 

a 3 tan 2   1
6

Cho lăng trụ tam giác có thể tích là V. Khi đó, thể tích của tứ diện tạo bởi 4 đỉnh bất kì không đồng
phẳng là:

V
3

LOVEBOOK.VN| 499


Phụ lục II: Tuyển tập công thức giải nhanh trắc nghiệm toán

The best or nothing

Cho khối hộp ABCD.ABC D có thể tích V.

V
.
6

Khi đó thể tích của tứ diện tạo bởi 4 đỉnh bất kì không đồng phẳng là

V
.
3

Thể tích của tứ diện tạo bởi hai đường chéo của hai mặt phẳng đối diện là

Vấn đề 10: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
S

S

S

E
H

I

A

P

F

C

B

P

P

K

G
D

̂ ) = SAH
̂ (Góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy)
1. Góc loại 1: (SA,(P)
̂ ) = BSF
̂ (Góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đứng chứa đường cao SI)
2. Góc loại 2: (SB,(SIC)
̂ ) = KSG
̂ (Góc giữa đường cao SK và mặt bên SDE )
3. Góc loại 3: (SK,(SDE)

Vấn đề 11: Góc giữa hai mặt phẳng
S

S

S

P

B
A

D
P

A

B

J

O
H

C
C

D

K

N

M

̂ ) = SCD
̂ (Góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy)

1. Góc loại 1: ((SAB),(P)
̂
̂ (Góc giữa hai mặt bên có hai cạnh song song AB và CD)
2. Góc loại 2: ((SAB),(SCD)
) = KSJ
̂
̂ (Góc giữa mặt bên và mặt phẳng đứng chứa đường cao SH).
3. Góc loại 3: ((SMN),(SHN)
) = OPM

Vấn đề 12: Các công thức về mặt cầu
1. Mặt cầu loại 1: Các đỉnh A, B, D cùng nhìn SC dưới một góc vuông thì bán kính mặt cầu R 

SC
2

S

S

A

C

A
B

B

2. Mặt cầu loại 2: Nếu SA vuông góc với đáy thì R2  RD2 

D
C

SA2
. Các vấn đề cần chú ý về RD (bán kính
4

đường tròn ngoại tiếp mặt đáy):
a. Nếu đáy là tam giác vuông thì RD 
LOVEBOOK.VN| 500

a 3
1
cạnh huyền và nếu đáy là tam giác đều thì RD 
.
3
2


Công phá kĩ thuật Casio

More than a book

b. Nếu đáy là hình vuông thì RD 

D

a 2
.

2

c. Nếu đáy là hình chữ nhật thì RD 

1
đường chéo .
2

d. Nếu đáy là tam giác cân có góc 1200 cạnh bên bằng a thì cạnh

C

A

đáy bằng a 3 còn RD  a .
e. Nếu đáy là tam giác thường thì áp dụng công thức Herong

RD 

abc

4 p  p  a  p  b  p  c 

B

.

3. Mặt cầu loại 3: Nếu O.ABC là tam diện vuông tại O thì R2 





1
OA2  OB2  OC 2 .
4

4. Mặt cầu loại 4: Nếu chóp có các cạnh bên bằng nhau (hình chóp đều) thì R 

SA 2
. Trong đó O là tâm
2SO

của đáy và:
a. Nếu đáy là tam giác đều thì O là trong tâm, trực tâm.
b. Nếu đáy là tam giác vuông thì O là trung điểm cạnh huyền.
c. Nếu đáy là hình vuông, hình O là giao điểm hai đường chéo và là trung điểm mỗi đường.
5. Mặt cầu loại 5: Nếu hai mặt vuông góc với nhau (mặt bên vuông góc mặt đáy) thì R2  R12  R22 

AB2
4

trong đó AB là giao tuyến.
6. Mặt cầu loại 6: Chóp S.ABC tổng quát có chiều cao SH và tâm đáy là O thì ta giải phương trình

SH  x 

2

 OH 2  x 2  RD2 để tìm x. Với x tìm được ta có R2  x 2  RD2 .

7. Mặt cầu loại 7: Bán kính mặt cầu nội tiếp r 

3V
.
Stp

8. Một số vấn đề khác của mặt cầu:
a. Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện gần đều R 
b. Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều: R 

2 2
a  b2  c 2 .
3

a 6
a 6
và mặt cầu nội tiếp tứ diện gần đều: r 
.
12
4

c. Cho tứ diện ABCD với các kích thước như hình vẽ bên.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là
R

trong đó p 

p  p  a.a  p  b.b  p  c.c 
6V

a.a  b.b  c.c
.
2

LOVEBOOK.VN| 501


Phụ lục II: Tuyển tập công thức giải nhanh trắc nghiệm toán

The best or nothing

Vấn đề 13: Những điều cần nhớ về đa diện
Khối đa diện đều

Số đỉnh

Số cạnh

Số mặt

Loại

MPĐX

Tứ diện đều

4

6

4

3; 3

6

Lập phương

8

12

6

4; 3

9

8 mặt đều

6

12

8

12 mặt đều

20

30

12

LOVEBOOK.VN| 502

9