CPCasio phụ lục 2 tổng hợp công thức giải nhanh 4

Πηụ λụχ ΙΙ: Τυψểν τậπ χνγ τηứχ γιảι νηανη τρắχ νγηιệm το〈ν

Τηε βεστ ορ νοτηινγ

ςấn đề 16: Μộτ σố m ηνη τổνγ θυ〈τ
1. Μ ηνη τ νγ θυ〈τ κη ι ν⌠ν τρονγ χ〈χ κη ι
Τ σ τη τχη
Κη ι ν⌠ν  Ν  τρονγ κη ι

3

Ρ
ςΣ  4  η 
  
Ρ
ς Ν 
2 1
η

χ υ Σ 

Bán kính đáy

Κη ι ν⌠ν νγο ι τι π τ

2 ξ 3 ξ 3

Ρ .
3 2
3

δι n đ υ χ νη ξ

Bán kính đáy

Κη ι ν⌠ν ν ι τι π τ δι ν

1 ξ 3 ξ 3

Ρ .
3 2
6

đ υ χ νη ξ

Bán kính đáy Ρ 
Κη ι ν⌠ν ν ι τι π κη ι λ π
ph

ng c νη ξ

Τ σ τη τχη

λ p ph

ng c νη ξ

2. Μ ηνη m τ χ υ ν ι τι π

ng c νη ξ

ςν 

ςλπ 6

Β〈ν κνη Ρ 

ξ 2
2

Τ σ τη τχη

ςχ  2

ςλπ
3

Β〈ν κνη Ρ 

ξ
2

Τ σ τη τχη

ςχ 

ςλπ 6

νγο ι τι π χ〈χ κη ι

Κη ι χ υ ν ι τι π ηνη λ π

ph

ng c νη ξ

Κη ι χ υ νγο ι τι π ηνη
η π χη νη τ

ΛΟςΕΒΟΟΚ.ςΝ| 504

ξ 2
2

Τ σ τη τχη

Κη ι χ υ νγο ι τι π ηνη
λ p ph

ςν


ςλπ 12

Bán kính đáy Ρ 

Κη ι ν⌠ν νγο ι τι π ηνη

ξ
2

Β〈ν κνη Ρ 

α2  β2  χ 2
2


Công phá kĩ thuậτ Χασιο

Κη ι χ υ νγο ι τι π κη ι
β〈τ δι n đ υ

Μορε τηαν α βοοκ

Β〈ν κνη Ρ 

ξ 2
2

Τ σ τη τχη

ςχ

ςβδđ

Β〈ν κνη Ρ 

ξ 6
4

Τη τχη κη ι χ υ

4 ξ 6
ς  

3  4 

Κη ι χ υ νγο ι τι π τ
δι n đ υ χ νη ξ

3

 Ν υ χ νη τ δι n tăng gi m)
ν λ ν τη τη τχη κη ι χ υ νγο ι
τι p nó tăng gi m) ν3 λ ν.
Τ σ τη τχη

ςχ 3 3

ςτδ
2

Β〈ν κνη ρ 

ξ 6
12

Τ σ τη τχη

ςχ  3

18

ςτδ

Κη ι χ υ ν ι τι π τ δι ν
đ υ χ νη ξ

Κη ι χ υ νγο ι τι π τ
δι ν ϖυνγ

Κη ι χ υ νγο ι τι π κη ι
chóp đ u đáy là t γι〈χ)

Κη ι χ υ νγο ι τι p lăng
τρ đ ng có đáy là tam
γι〈χ ϖυνγ

Β〈ν κνη Ρ 

α2  β2  χ 2
2

Β〈ν κνη Ρ  ΣΗ 
Τ σ τη τχη

Đ

ξ 2
2

ςχ



ςχηοπ 2

νγ χαο λ◊ χ, ηαι χ νη γ⌠χ

ϖυνγ χ a đáy là α,β.
Β〈ν κνη Ρ 

α2  β2  χ 2
2

Bán kính đáy hình tr λ◊ ρ, χηι υ
χαο η
Κη ι χ υ ν ι τι π κη ι τρ

Β〈ν κνη Ρχ  ρ 
Τ σ τη τχη

η
2

ςχ 2

ςτ 3
ΛΟςΕΒΟΟΚ.ςΝ| 505


Πηụ λụχ ΙΙ: Τυψểν τậπ χνγ τηứχ γιảι νηανη τρắχ νγηιệm το〈ν

Τηε βεστ ορ νοτηινγ

Bán kính đáy hình tr λ◊ ρ, χηι υ
χαο η

Κη ι χ υ νγο ι τι π κη ι

2

η
Β〈ν κνη Ρχ     ρ 2
2

τρ

ςấn đề 17: Χνγ τηứχ ϖề τỉ σố τηể τχη

Σ

1. Χ τ κη ι χη⌠π β ι m τ m τ πη νγ σονγ σονγ ϖ i đáy
Ξτ κη ι χη⌠π Σ.Α1 Α2 ...Αν . Μ τ πη νγ    σονγ σονγ ϖ i đáy và c τ χ νη

ΣΑ1 τ i đi m Μ τη α mν

ΣΜ
 κ. Khi đó    χηια κη i chóp ban đ υ
ΣΑ1

Μ

Α1

τη◊νη ηαι κη i đa di n trong đó kh i đa di ν χη a đ νη Σ χ⌠ τη τχη ς 
Α3

Α2

ς
ϖ◊
 κ 3 (ς λ◊ τη τχη κη i chóp ban đ υ).
ς

C

A

2. Χ τ κη i lăng tr ταm γι〈χ β ι m τ m τ πη νγ
Χηο κη i lăng tr
ΑΑ, ΒΒ, ΧΧ  λ n l

B

ΑΒΧ.ΑΒΧ χ⌠ τη τχη ς. Μ τ πη νγ    χ τ χ〈χ χ νη

Μ
Π

ΑΜ
ΒΝ
ΧΠ
τ τ ι Μ, Ν, Π σαο χηο:

 ξ;
 ψ;
 ζ.
ΑΑ
ΒΒ
ΧΧ

Ν

L u

Χ〈χ χνγ τη c trên đ u đúng đ ι ϖ i lăng tr đ ng và lăng tr th

Χ

Α

ςΜ.ΒΧΠΝ ψ  ζ
ς
ς
ξψζ
ξ
ϖ◊ ΑΒΧ . ΜΝΠ 
.
Khi đó Μ. ΑΒΧ  ϖ◊

ς
ς
3
3

ς
3

Β

νγ.
B

3. Χ τ κη ι η π β ι m τ m τ πη νγ
Ξτ m τ πη νγ    χ τ β ν χ νη βν ΑΑ, ΒΒ, ΧΧ, DD χ α κη ι η π
ΑΒΧD. ΑΒΧD λ n l

Khi đó ξ  ζ  ψ  τ ϖ◊

ςΑΒΧD . ΜΝΠΘ
ς ΑΒΧD. ΑΒΧ D

ξ ψζτ

.
4

Ν

Ο
Α

D

Σ

Ν

τ τ ι β n đi m Μ, Ν, Π, Θ σαο χηο:

Μ

ΛΟςΕΒΟΟΚ.ςΝ| 506

Π
Ι

Θ

Β

ΣΜ
ΣΝ
ΣΠ
ΣΘ
 ξ;
 ψ;
 ζ;
 τ.
ΣΑ
ΣΒ
ΣΧ
ΣD
ς
ξψζτ  1 1 1 1 

1 1 1 1
   ϖ◊ Σ. ΜΝΠΘ 
    .
ξ ζ ψ τ
ςΣ. ΑΒΧD
4 ξ ψ ζ τ

Χ

Β

Χηο ηνη χη⌠π Σ.ΑΒΧD có đáy là hình bình hành M τ πη νγ    χ τ 4

Khi đó

Π

Ι
Θ

Μ

4. Χ τ κη ι χη⌠π τ giác đ〈ψ λ◊ ηνη βνη η◊νη) β ι m τ m τ πη νγ
χ νη ΣΑ, ΣΒ, ΣΧ, ΣD λ n l

D

A

τ τ ι β n đi m Μ, Ν, Π, Θ σαο χηο:

ΑΜ
ΒΝ
ΧΠ
DΘ
 ξ;
 ψ;
 ζ;
 τ.
ΑΑ
ΒΒ
ΧΧ
DD

C

O

Χ
Ο

Α

D


Công phá kĩ thuậτ Χασιο

Μορε τηαν α βοοκ

ςấn đề 18: Χ〈χ ϖấn đề cơ bảν χủα Οξψζ
Xác đ nh đi m τηνγ θυα η τη χ ϖεχτορ:

 2  ξ Α  ξ Μ   3  ξΒ  ξ Μ   0

∗ Λ τηυψ t c b ν: 2 ΜΑ  3ΜΒ  0 τη 2  ψ Α  ψ Μ   3  ψΒ  ψ Μ   0

2  ζ Α  ζΜ   3  ζΒ  ζΜ   0
2 Α  3Β
ϖ◊ β m ΧΑΛΧ ϖ◊ νη π λ n l
23
χ ψ Μ ϖ◊ νη π ζ Α , ζΒ ta đ χ ζ Μ

Tuy nhiên đ τm τ a đ Μ đ n gi n h n tα β m m〈ψ:
ta đ

χ ξΜ . T

ng t nh v ψ ν υ νη π ψ Α , ψ Β ta đ

τ ξ Α , ξΒ

Xác đ νη τ a đ các đi m đ χ βι τ τρονγ ταm γι〈χ:
 ΗΑ.ΒΧ  0; ΗΒ.ΑΧ  0

1. Τ a đ τρ χ τm Η λ◊ νγηι m χ α η : 
 ΑΒ, ΑΧ  .ΑΗ  0




2. Χηο ΒΧ  α, ΑΧ  β, ΑΒ  χ ta có Chân đ

νγ πην γι〈χ τρονγ D χ α γ⌠χ Α: βDΒ  χDΧ  0

3. Χηο ΒΧ  α, ΑΧ  β, ΑΒ  χ ta có Chân đ

νγ πην γι〈χ νγο◊ι Ε: βΕD  χΕΧ  0

4. Χηο ΒΧ  α, ΑΧ  β, ΑΒ  χ τα χ⌠: Τm ν ι τι π: αΙΑ  βΙΒ  χΙΧ  0
Χ〈χ νγ δ νγ χ a tích có h

νγ:

1. Βα ϖεχ−t đ νγ πη νγ:  α , β  .χ  0 (Ν υ  0 là không đ νγ πη νγ)
 
2. Β n đi m đ νγ πη νγ:  ΑΒ, ΑΧ  .ΑD  0 (Ν υ  0 là không đ νγ πη νγ)


3. Τη τχη: ςΑΒΧD 

1
1
ΑΒ, ΑΧ  .ΑD , δι ν τχη ταm γι〈χ: ΣΑΒΧ   ΑΒ, ΑΧ 


6
2

4. Τη τχη ηνη η π: ς ΑΒΧD . Α ∋ Β ∋ Χ ∋ D ∋   ΑΒ , ΑD  . ΑΑ



Χη : Ν υ m τ ηνη η π χη νη τ βι τ δι ν τχη βα m τ τη τη τχη χ α ν⌠: ς  Σ1Σ2Σ3
5. Κηο νγ χ〈χη γι a hai đ

6. Κηο νγ χ〈χη τ

υ , υ  .ΑΒ
 1 2
νγ τη νγ: δ  δ1 , δ2  
ϖ ι Α  δ1 , Β  δ2 .
υ , υ 
 1 2

đi m τ i đ

νγ τη νγ: δ  Α; δ  

υ , ΑΜ 
 δ

υδ

 Μ  δ

Μ ι θυαν η σονγ σονγ ϖ◊ ϖυνγ γ⌠χ:
1. Μ ι θυαν η σονγ σονγ: Π // Π  ν  ν, δ // δ  υ  υ, Π // δ  ν  υ
2. Μ ι θυαν η ϖυνγ γ⌠χ: Π  Π  ν  ν, δ  δ  υ  υ, Π  δ  ν  υ
Ν υ δ  Π  υ  υ, Α, Β  Π  ν  ΑΒ
3. Μ ι θυαν η ϖυνγ γ⌠χ χ α 2 χ π ϖεχτορ: α  β, α  χ  α  β, χ 

 
T

ng giao m τ πη νγ ϖ◊ m τ χ υ:

Χηο m τ πη νγ  Π  : αξ  βψ  χζ  δ  0 ϖ◊ m τ χ υ  Σ  :  ξ  ξ0    ψ  ψ0    ζ  ζ0   Ρ 2 .
2

1. Tr



2

2



νγ η π 1:  Π  κηνγ χ τ Σ  ν υ δ Ι ;  Π   Ρ.
ΛΟςΕΒΟΟΚ.ςΝ| 507


Πηụ λụχ ΙΙ: Τυψểν τậπ χνγ τηứχ γιảι νηανη τρắχ νγηιệm το〈ν



Τηε βεστ ορ νοτηινγ



νγ η π 2:  Π  τι π ξχ ϖ ι Σ  ν υ δ Ι ;  Π   Ρ và khi đó ti p đi m σ λ◊ ηνη χηι υ ϖυνγ γ⌠χ

2. Tr

χ α τm Ι τρν m τ πη νγ  Π 





νγ τρ∫ν γιαο τυψ ν κηι δ Ι ;  Π   Ρ Khi đó tâm đ

νγ η π 3:  Π  χ τ m τ χ υ Σ  τηεο m t đ

3. Tr

τρ∫ν σ λ◊ ηνη χηι υ ϖυνγ γ⌠χ χ α τm Ι τρν m τ πη νγ  Π  đ νγ τη ι β〈ν κνη ρ χ a đ





νγ

νγ τρ∫ν τη α

mν η τη χ: Ρ2  ρ 2  δ Ι ;  Π  
T ng giao đ νγ τη νγ ϖ◊ m τ χ υ:
1. Đ

2



2. Χη  1: Η τη χ λιν η



đi m πην βι τ Α ϖ◊ Β κηι ϖ◊ χη κηι δ Ι ;  δ   Ρ

νγ τη νγ δ χ τ m τ χ υ τ i





2
1
ΑΒ2  δ Ι ;  δ  


4

Ρ2 



3. Χη  2: Ν υ ΑΒΙ ϖυνγ χν τη Ρ  2δ Ι ;  δ 
4. Χη  3: Ν υ ΑΒΙ đ υ τη Ρ 

2
3



δ Ι; δ





Cách xác đ νη ηνη χηι υ ϖυνγ γ⌠χ χ α Α τρν  Π  :

αξΑ  βψ Α  χζΑ  δ

∗B

χ 1: Xác đ νη γι〈 τρ τ  

∗B

χ 2: Τ a đ ηνη χηι υ Η λ◊: Η  ατ  ξΑ ; βτ  ψΑ ; χτ  ζΑ 

Χ〈χ δ νγ το〈ν ϖ ph

α2  β2  χ 2

ng trình m τ χη ν:

Γι σ m τ πη νγ  Π  θυα Μ ϖ◊ χ τ χ〈χ τρ χ τ a đ τ ι Α  α;0;0  , Β  0; β;0  , Χ 0;0; χ . Khi đó

1. Ν υ Μ λ◊ τρ νγ τm ταm γι〈χ ΑΒΧ τη: α  3ξΜ , β  3 ψΜ , χ  3ζΜ
2. Ν υ Μ λ◊ τρ χ τm χ α ταm γι〈χ ΑΒΧ τη ΟΜ  νΠ
3. Ν υ ςΟ . ΑΒΧ mιν τη Μ λ◊ τρ νγ τm χ α ταm γι〈χ ΑΒΧ

1
1
1
mιν τη Μ λ◊ τρ χ τm χ α ταm γι〈χ ΑΒΧ


2
2
ΟΑ ΟΒ ΟΧ 2
1 2
α β χ
5. Τm m τ χ υ νγο ι τι π τ δι ν ΟΑΒΧ λ◊ Ι  ; ;  . Β〈ν κνη: Ρ 
α  β2  χ 2 .
2
2
2
2


4. Ν υ

Χη  ϖ ταm δι ν ϖυνγ: Τ ng bình ph

ng di ν τχη χ〈χ m τ βν β ng bình ph

ng di ν τχη m τ χ∫ν

2
2
2
2
 ΣΟΒΧ
 ΣΟΧΑ
 ΣΑΒΧ
λ ι: ΣΟΑΒ

ςấn đề 19: Χ〈χ β◊ι το〈ν χựχ τρị τρονγ Οξψζ
1. ςι τ  Π  χη α δ σαο χηο d

P

λ ν νη τ: νΠ  υδ , υδ , υδ  

 

2. ςι τ δ ν m τρονγ  Π  σαο χηο d d
3. ςι τ  Π  χη α δ σαο χηο

P

νη νη τ: υδ  νΠ , νΠ , υδ  

 

νη νη τ: νΠ  υδ , υδ , νΘ  


 

Q

4. ςι τ δ ν m τρονγ  Π  ϖ◊ θυα Α σαο χηο δ  Μ , δ  νη νη τ: υδ  νΠ , νΠ , ΑΜ  

 





5. ςι τ  Π  χη α δ σαο χηο δ Μ ,  Π  λ ν νη τ: νΠ  υδ , υδ , ΑΜ   ϖ ι Α β τ κ τρν δ

 
6. ςι τ δ ν m τρονγ  Π  ϖ◊ θυα Α σαο χηο δ  Μ , δ  λ ν νη τ: υδ  νΠ , ΑΜ 


ΛΟςΕΒΟΟΚ.ςΝ| 508