Đ.thi HSG toán cấp tỉnh và trường

CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CẤP TỈNH VÀ CẤP TRƯỜNG LỚP 11 VÀ 12
SỞ GD –ĐT BÌNH ĐỊNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
………………………….. LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2004- 2005
------------------------
Đề chính thức Môn : Toán
(Bảng B) Thời gian làm bài 150 phút (Không kể thời gian phát đề)
Ngày thi ; 18-03-2005
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài 1: (5đ) .
Chứng minh rằng tổng các bình phương của tất cả các ước số của số tự nhiên n
(n >2) nhỏ hơn
nn .
2
.
Bài 2; (5đ) .
Cho sinx= 2sin(x+y) . chứng minh rằng :
2cos
sin
)(
−
=+
y
y
yxtg
.
Bài 3; (5đ)
Giải phương trình :
2
3
4
2

2
3
3
881
−+−=−
xxxx
.
Bài 4: (5đ)
Cho hình lập phương ABCD.A
’
B
’
C
’
D
’
cạnh a . Chứng minh rằng khoảng cách từ
các điểm B,C,D,A
’
,B
’
,D
’
tới đường chéo AC
’
bằng nhau . Tính khoảng cách đó .
--------------------------o0o---------------------------
SỞ GD –ĐT BÌNH ĐỊNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
………………………….. LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2005- 2006
------------------------

Đề chính thức Môn : Toán - Bảng B
Thời gian làm bài: 150 phút
( Không kể thời gian phát đề )
Ngày thi :18-03-2006
---------------------------------------------------------------
Câu 1:(5 điểm)
Chứng minh rằng nếu một cấp số nhân có n số hạng (n ≥ 3 ) là các số tự nhiên phân
biệt và có công bội cũng là một số tự nhiên thì tổng của tất cả n số hạng đó không
thể là lũy thừa của 5.
Câu 2:(5 điểm)
Tìm số hạng tổng quát của dãy số sau:



≥=
=
+
)1(2
3
,1
1
nuu
u
nn
Câu 3:(5 điểm)
Chứng minh rằng phương trình: 16x
5
-20x
3
+5x +2 = 0 có nghiện duy nhất và tìm

Tỉnh Bình Định 1 Nguyễn Cơng Mậu
CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CẤP TỈNH VÀ CẤP TRƯỜNG LỚP 11 VÀ 12
nghiệm đó
Câu 4:(5điểm)
Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối trong mộ tứ diện đều cạnh a.
------------------------------Hết---------------------------
SỞ GD –ĐT BÌNH ĐỊNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
………………………….. LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2006- 2007
------------------------
Đề chính thức Môn : Toán
(Bảng B) Thời gian làm bài: 150 phút
(Không kể thời gian phát đề)
Ngày thi :18-03-2007
---------------------------------------------------------------
Câu 1:(5 điểm)
Chứng minh rằng dãy số (u
n
) với u
n
=n
2
không phải là một cấp số cộng.
Câu 2:(5 điểm)
Chứng minh rằng nếu (a+c)(a+b+c) < 0 thì :
(b-c)
2
> 4a(a+b+c).
Câu 3:(5 điểm)
Giải phương trình:

.
2
1
cos
2
3
cos
16
9
cos
2
1
cos
16
1
2424
=−++−+
xxxx

Câu 4:(5điểm)
Tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp một hình chóp tam giác đều có cạnh đáy
bằng a và có cạnh bên bằng b
------------------------------Hết---------------------------
Tỉnh Bình Định 2 Nguyễn Cơng Mậu
CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CẤP TỈNH VÀ CẤP TRƯỜNG LỚP 11 VÀ 12
SỞ GD –ĐT BÌNH ĐỊNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
………………………….. LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2004- 2005
------------------------
Đề chính thức Môn : Toán
( Bảng B) Thời gian làm bài 180 phút

( Không kể thời gian phát đề )
Ngày thi : 12-12-2004
--------------------------------------------------------------------------------------
Bài 1: (4đ) .
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì :
n
n
n
2
1
+<
Bài 2; (5đ) .
Chứng minh rằng dãy (u
n
) xác đònh sau đây là dãy số tăng :





≥+=
+
=
1,2
1
2
1
n
n
u

n
u
u
Bài 3; (5đ)
Tìm giá trò nhỏ nhất , giá trò lớn nhất của hàm số :
2cos
1sin2
+
+
=
x
x
y

Bài 4: (5đ) Cho n điểm trong mặt phẳng , với n > 4 , trong số đó không có ba điểm nào thẳng
hàng . chứng minh rằng có ít nhất
2
)4)(3(
−−
nn
tứ gác lồi tạo thành có đỉnh nằm trong số n điểm
đã cho .
----------------------o0o----------------------------
TRƯỜNG THPT VÂN CANH
--------------------
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2004- 2005
------------------------
Môn : Toán
Thời gian làm bài 150 phút ( Không kể thời gian phát đề)

Ngày thi :
---------------------------------------------------------------------------------------------------
I/ ĐẠI SỐ VÀ LƯNG GIÁC :
Bài 1: (4đ) .
Cho
1
≤
c
. Chứng minh bất đẳng thức :
baabccba ,;0
222
∀≥+++
Bài 2; (4đ) .
Giải phương trình :
( )
9
2
25
2
.12
+−=++
xxxx
.
Bài 3; (4đ)
Tỉnh Bình Định 3 Nguyễn Cơng Mậu
CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CẤP TỈNH VÀ CẤP TRƯỜNG LỚP 11 VÀ 12
Cho A,B,C là ba góc của một tam giác . Tìm giá trò lớn nhất của biểu thức :
M= 3cosA+ 2(cosB+cosC)
II/ HÌNH HỌC ( 8đ)
Bài 4: (4đ)

Cho tam giác Abc có trung tuyến AM và đường phân giác trong AD . Đương tròn
ngoại tiếp tam giác AMD cắt AB tại E và cắt AC tại F . Chứng minh BE=CF .
Bài 5: (4đ)
Cho tứ diện ABCD . trên cạnh AD lấy trung điểm M ; trên cạnh BC lấy điểm N
bất kỳ . Gọi
( )
α
là mặt phẳng chứa đường thẳng MN và sông với CD .
Hãy xác đònh vò trí của điểm N trên BC sao cho thiết diện tạo bỡi
( )
α
với tứ diện
ABCD là hình bình hành .
----------------------o0o----------------------------

SỞ GD-ĐT BÌNH ĐỊNH
TRƯỜNG THPT VÂN CANH KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2006-2007
---------o0o----------

Môn thi : Toán
Thời gian:120 phút ( Không kể thời gian phát đề )
Ngày thi : 15/10/2006
Bài I: Chứng minh rằng:
1) tga+tgb =
)cos()cos(
)sin(2
baba
ba
−++

+
với mọi a,b,a+b,a-b
≠
π
π
k
+
2
k
∈
Z.
2) cos(sinx) > o với mọi x
∈
(o,
π
)
3) sinx.cosx
≤
2
1
với mọi x
∈
R
Bài II: Rút gọn các biểu thức sau:
1) A = COS
2
12
π
+ COS
2

12
3
π
+ COS
2
12
5
π
+ COS
2
12
7
π
+ COS
2
12
9
π
+ COS
2
12
11
π
2) B=
x8cos
2
1
2
1
2

1
2
1
2
1
2
1
+++
. với mọi x
∈






16
;0
π
Bài III: Trong tam giác ABC chứng minh rằng:
Tỉnh Bình Định 4 Nguyễn Cơng Mậu
CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CẤP TỈNH VÀ CẤP TRƯỜNG LỚP 11 VÀ 12
1) Nếu
3
=
++
++
CosCCosBCosA
SinCSinBSinA
thì tam giác ABC có ít nhất một góc bằng 60

ο
2) CosA.CosB.CosC
≤

8
1
Bài IV: Cho hình chóp tam giác ABC với ABC là tam giác vuông tại A .Biết AB=a ,SB= a ,M là
một điểm trên cạnh AB sao cho BM = x (0 < x < a), O là trung điểm của cạnh BC.
1) Tìm thiết diện của mặt phẳng (
α
) đi qua M và song song với cạnh SB và OA.Chứng minh
thiết diện này là hình thang
2) Cho biết MQ là đường cao của hình thang thiết diện này.Tính diện tích hình thang theo a
và x .Tìm x để diện tích này đạt giá trò lớn nhất.


-----------------------------------o0o-----------------------------------
Tỉnh Bình Định 5 Nguyễn Cơng Mậu