ôn tập hè cho khối 12

Giáo án ôn tập hè khối 11 ban KHTN Ngày soạn: 10/09/2013
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Phần 1. Lợng giác
1. Công thức lợng giác
a) Công thức cộng
( )
sin sin cos cos sin =
( )
cos cos cos sin sin = +
( )
cos cos cos sin sin + =
( )
tan tan
tan
1 tan tan

=
+
( )
tan tan
tan
1 tan tan
+
+ =

b) Công thức cung nhân đôi
sin 2 sin cos =
2 2
2
2
cos sin

cos2 1 2sin
2 cos 1

=

2
2 tan
tan 2
1 tan

=

c) Công thức góc nhân góc nhân ba
3
sin 3 3sin 4sin =
3
cos3 4cos 3cos =
3
2
3tan tan
tan3
1 3tan

=

d) Công thức biến đổi tổng thành tích
cos cos 2 cos cos
2 2
+
+ =

cos cos 2sin sin
2 2
+
=
sin sin 2sin cos
2 2
+
+ =
sin sin 2 cos sin
2 2
+
=
( )
sin
tan tan
cos cos
+
+ =

( )
sin
tan tan
cos cos

=

( )
sin
cot cot
sin sin

+
+ =

( )
sin
cot cot
sin sin

=

e) Công thức biến đổi tổng thành tích
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giáo viên: Trơng Ngọc Hạnh Trang 1
Giáo án ôn tập hè khối 11 ban KHTN Ngày soạn: 10/09/2013
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
( ) ( )
2 cos cos cos cos = + +
( ) ( )
2sin cos sin sin = + +
( ) ( )
2sin sin cos cos = +
A) Phơng trình lợng giác
Để giải phơng trình lợng giác ta thờng tiến hành theo các bớc sau:
1. Đặt điều kiện cho phơng trình có nghĩa
Phơng pháp 1. Xem phơng trình cần giải có thuộc dạng quen thuộc hay không?
Phơng pháp 2: Xem phơng trình cần giải có thể:
+) Đa về phơng trình tích đợc hay không?
+) Có thể đa về phơng trình phụ thuộc vào 1 hàm lợng giác hay không? Nếu đợc ta chọn
ẩn là hàm lợng giác đó
Phơng pháp 3: Sau khi không áp dụng đợc hai phơng pháp trên

Xem phơng trình có thuộc một trong các dạng sau:
+) A
2
+ B
2
= 0
+)
A B 0+ =
+) Dạng đối lập
A M
A M
B M
B M
A B


=




=


=

+) Dạng
1
1
1

1
1 1
A A
A A
B B
B B
A B A B


=




=


+ = +

Bài tập
Giải các phơng trình lợng giác sau
Dạng 1. Phơng trình lợng giác cơ bản
a) sin(2x+50
0
) = cos(x+120
0
)
b)
tan x cot x 0
5

+ =
ữ

Dạng 2. Phơng trình bậc nhất, bậc hai theo một hàm số lợng giác
a)
3 2sin 2x 0 =
b) tan3x.tanx=1
c) Giải và biện luận (4m-1)sinx = m sinx 8
d) sin
2
2x 2cos
2
x +
3
4
= 0
e)
4 2
tan x 4 tan x 3 0 + =
f) cos2x + 9cosx + 5 = 0
h) Giải và biện luận: m.cos2x 2m + 3 = (2m +3)cosx
Dạng 3. Phơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx : asinx + bcosx = c
a)
3 2
2sin x sin x
4 4 2

+ + =
ữ ữ

b)
2
2sin x 3 sin 2x+
c)
3 cos2x sin 2x 2sin 2x 2 2
6


+ + =
ữ

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giáo viên: Trơng Ngọc Hạnh Trang 2
Giáo án ôn tập hè khối 11 ban KHTN Ngày soạn: 10/09/2013
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Dạng 4. Phơng trình đối xứng, phơng trình đẳng cấp đối với sinx và cosx
a)
2 2
4sin x 3 3 sin 2x 2 cos x 4+ =
b)
3 2 3
sin x 2sin x cosx 3cos x 0+ =
c) Giải và biện luận
( )
2 2
msin x m 3 cos x msin x 1 0+ + + =
d)

( )
2sin 2x 3 3 sin x cos x 8 0 + + =
e)
cos x sin x 3sin 2x 1 0 + =
f) Xác định m để phơng trình sau có nghiệm:
sin x cosx sin x cosx m 0 + =

về ptlg cơ bản, ptlg gần cơ bản
về pt bậc nhất đối với sinx và cosx
Bài 1: Giải phơng trình lợng giác
1) cos(x-2) = - cos(5x+2)
2) tanx = cot(x+60
o
), x(0
o
; 270
o
)
3) sinx
2
= cosx
2

4) cos(x
2
-x) = sin(x-

/2)
5) tan3x + cot2x = 0
6) tan(

cosx) = tan(2

cosx), x[0
o
; 360
o
)
7*) sin(cosx) = cos(sinx)
Bài 2: Giải phơng trình lợng giác
1) cos(2x+1)= 1/2
2) tan
2
x = cot
2
x, x(0; 7

)
3) sin
2
(6x-

/3) + cos
2
(x+

) = 1
4*) cot3x.tan2x = 1
Bài 3: Giải và BL phơng trình
1) sin

2
x + (2m-1)cos
2
(x+

) = m
2) m(tanx + cotx) = 2cotx
Bài 4: Giải phơng trình lợng giác
1) sinx - cosx =
2
31
+
, x(0; 2

)
2) sin
2
x - 2sinxcosx = 5
3) 2sin
2
5x +(3+
3
)sin5xcos5x +
+ (
3
-1) cos
2
5x = -1
4)
3

cos4x - 2sin2xcos2x = 2
5)
3
(cos4x + sin3x) = cos3x sin4x
6) 2- tanx = 2/ cosx
Bài 2: Tìm m để phơng trình sau có
nghiệm (2m-1)sinx + (m-1)cosx = m-3
Bài 3: Cho PT mcos2x + sin2x = 2
1. GPT với m = 2
2. m = ? PT có nghiệm.
Bài 4: Giải và BL phơng trình
msin(x/3) + (m+2)cos(x/3) = 2
Bài 5: Tìm GTLN, GTNN của hàm số

xx
x
y
sincos2
cos2
+
+
=
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giáo viên: Trơng Ngọc Hạnh Trang 3
Giáo án ôn tập hè khối 11 ban KHTN Ngày soạn: 10/09/2013
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài 6: Tìm m để mọi nghiệm của phơng trình sinx + mcosx = 1
đều là nghiệm của phơng trình
msinx + cosx = m
2

##
đại số hoá ptlg
Bài 1: Giải phơng trình lợng giác
1) sin
2
x +
3
cos
2
x +
3
cosxsinx = -
2
1
sin2x
2) 2
2
sin
2
x -
3
sin2x =
2
-
6

3) 2sin
2
x + sin 2x =-1
4) cosx + sinx - 4sin

3
x = 0
5) sinx(2cosx + sinx) = 2cos
2
x +1/2
6) 5sinx 2 = 3(1- sinx)tan
2
x
Bài 2: Giải phơng trình lợng giác
1) cos2xsin
2
x + 1 = 0
2) 2- tan
2
x = 2/ cos
2
x
3) 4(tanx + cotx) + 3(tan
2
x + cot
2
x)=-2
4) tan2x - tanx = 0,5sin2x
5) tan2x + cotx = 4cos
2
x
6) tan(x+/4) = 1+ sin2x
7) tanx +tan
2
x+ tan

3
x +cotx +cot
2
x+ cot
3
x =6
8)
1tan2
2cos1
2cos1
=
+

x
x
x
Bài 3: Giải phơng trình lợng giác
1) 1+ sin2x = cosx + sinx
2) 1+ cosx + sinx + cos2x + sin2x = 0
4) sin
3
x - cos
3
x = cos2x
5) sin
3
x + cos
3
x = cosx + sinx+ sin2x
6) cosx - sinx + 4sin2x = 1

7) tanx+cotx+cosx+sinx = - 2 -
xx sin
1
cos
1

Bài 4: Giải phơng trình lợng giác
1) 3sin3x -
3
cos9x = 1+ 4sin
3
3x
2) 8cos
4
x = 3+5 cos4x
3)






++=+
2
sin
2
sin
sin
4
sin

2
2
x
x
x
x
4) 2cos
2
(6x/5) + 1 = 3cos(8x/5)
5)
6
1sin4cos3
6
sin4cos3
=
++
++
xx
xx
6) sin
4
x +(1+ sinx)
4
= 17
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giáo viên: Trơng Ngọc Hạnh Trang 4
Giáo án ôn tập hè khối 11 ban KHTN Ngày soạn: 10/09/2013
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ptlg đa về dạng tích
Bài 1: Giải phơng trình lợng giác

1) cosxsinx(1+ tanx)(1+ cotx) = 1
2) (1+ tanx +
xcos
1
) (1+ tanx -
xcos
1
) = 2
3
3) cos(10
0
-x)sin(20
0
+x) = 1/2
4) (2cosx - 1)(2sinx + cosx) = sin2x - sinx
5) cotx 1 = sin
2
x -
2
1
sin2x +
x
x
tan1
2cos
+
6) cos3x - 2cos2x + cosx = 0
Bài 2: Giải phơng trình lợng giác
1) sin
2

x + sin
2
2x+ sin
2
3x = 3/2
2) cos
2
3xcos2x - cos
2
x = 0
3) cos
3
xcos3x +sin
3
x sin3x =
2
/4
4) cos
3
xcos3x +sin
3
x sin3x = cos
3
4x
5) sin
4
x + cos
4
x + cos(x-/4)sin(3x-/4) = 3/2
6) cos

2
x = cos(4x/3)
7) 2cos
2
(3x/5) + 1 = 3cos(4x/5)
8) sin
8
x + cos
8
x = (17/16) cos
2
2x
Bài 5: Giải phơng trình
x
x
x
x
x
x
tan1
tan1
2sin1)2
sin1
cos1
tan)1
2

+
=+

+
=
x
x
x
3
3
2
sin1
cos1
tan)3


=
4) tan20
0
tanx+ tan40
0
tanx + tan20
0
tan40
0
=1
5) tan2x- tan3x- tan5x = tan2xtan3xtan5x
6) tan
2
2x- tan
2
3x- tan
2

5x = tan
2
2xtan
2
3xtan
2
5x
7) (
3
/cosx)- (1/sinx) = 8sinx
Bài 6: Giải phơng trình
1) sin
2
x + sin
2
y + sin
2
(x +y)=9/4
2) tan
2
x + tan
2
y + cot
2
(x +y)=1
Bài 7: Tính các góc của tam giác ABC
không tù thoả mãn
Cos2A + 2
2
cosB + 2

2
cosC = 3.
Ptlg chứa tham số
Bài 1: Tìm m để phơng trình có nghiệm
msin2x + cos2x + sin
2
x + m = 0
Bài 2: Cho phơng trình
msinx + (m+1)cosx = m/cosx
1) Giải phơng trình với m = 1/2
2) Tìm m để phơng trình có nghiệm ?
3) Tìm m để phơng trình có nghiệm x(0;

/2) ?
Bài 3: Cho phơng trình
(1-m)tan
2
x -2(1/cosx) +1+3m = 0
1) Giải phơng trình với m = 1/2
2) Tìm m để phơng trình có nhiều hơn một nghiệm x(0;

/2) ?
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giáo viên: Trơng Ngọc Hạnh Trang 5
Giáo án ôn tập hè khối 11 ban KHTN Ngày soạn: 10/09/2013
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài 4: Tìm m để phơng trình có nghiệm
m(tanx - cotx) = tan
2
x + cot

2
x
Bài 5: Chứng minh với mọi m, phơng trình sau luôn có nghiệm
1) sin
4
x + cos
4
x+m cosxsinx = 1/2
2) (1/cosx)- (1/sinx) = m
Phn 2: PHNG TRèNH LNG GIC KHễNG MU MC
Phng phỏp 1: Dựng cỏc cụng thc lng giỏc a v phng trỡnh dng tớch.
Vớ d 1. Gii phng tỡnh: sin
2
x + sin
2
3x = cos
2
2x + cos
2
4x (1).
Gii
Phng trỡnh (1) tng ng vi:
1 cos 2 1 cos6 1 cos4 1 cos8
2 2 2 2
x x x x + +
+ = +
cos2x+cos4x+cos6x+cos8x = 0
2cos5xcosx+2cos5xcos3x = 0
2cos5x(cos3x+cosx) = 0
4cos5x.cos2x.cosx = 0

5
10 5
2
cos5 0
cos2 0 2 , ( , , )
2 4 2
cos 0
2 2

k

x
x k
x
l
x x k x k l n
x

x k x n


= +
= +


=

= = + = +




=





= + = +




Â
Vớ d 2. Gii phng trỡnh: cos
6
x+sin
6
x = 2 ( cos
8
x+sin
8
x) (2).
Gii
Ta cú (2) cos

6
x(2cos
2
x1) = sin
6
x(12sin
2
x)
cos2x(sin
6
xcos
6
x) = 0
cos2x(sin
2
xcos
2
x)(1+sin
2
x.cos
2
x) = 0
cos2x = 0

2 ,( )
2 4 2
k
x k x k= + = + Â
Vớ d 3: Gii phng trỡnh:
6 3 4

8 2 cos 2 2 sin sin 3 6 2 cos 1 0x x x x+ =
(3).
Gii
Ta cú:
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giáo viên: Trơng Ngọc Hạnh Trang 6
Giáo án ôn tập hè khối 11 ban KHTN Ngày soạn: 10/09/2013
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3 3 3
2 2
2
(3) 2 2 cos (4cos 3cos ) 2 2 sin sin 3 1 0
2cos .2cos cos3 2sin .2sin sin 3 2
(1 cos2 )(cos2 cos 4 ) (1 cos2 )(cos2 cos4 ) 2
2(cos2 cos 2 cos4 ) 2
2
cos 2 (1 cos 4 )
2
2
cos 2 .cos 2
4
2
cos 2
2 8
x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x
x x
x x

x x
+ =
+ =
+ + + =
+ =
+ =
=
= = ,( )k k+ Â
Phng phỏp 2: t n ph a phng trỡnh lng giỏc v phng trỡnh i s:
Vớ d 4. Gii phng trỡnh lng giỏc:
8 8
17
sin cos
32
x x+ =
(4).
Gii
Ta cú (4)
4 4
4 2
1 cos 2 1 cos 2 17 1 17
(cos 2 6 cos 2 1)
2 2 32 8 32
x x
x x
+

+ = + + =
ữ ữ

t cos
2
2x = t, vi t[0; 1], ta cú
2 2
1
17 13
2
6 1 6 0
13
4 4
2
t
t t t t
t

=

+ + = + =


=


Vỡ t[0;1], nờn
2
1 1 cos 4 1 1
cos 2
2 2 2 2
x

t x
+
= = =
cos4x = 0
4 ,( )
2 8 4

x k x k k= + = + Â
Vớ d 5. Gii phng trỡnh lng giỏc: 2sin
3
x cos2x + cosx = 0 (5)
Gii
Ta cú (5) 2(1 cos
2
x)sinx + 2 2 cos
2
x + cosx 1 = 0
(1 cosx )[2(1 + cosx)sinx + 2(1 + cosx) 1] = 0
(1 cosx)(2sinx+ 2cosx + 2sinxcosx+1) = 0
cos 1 2 ,( )
2sin 2cos 2sin cos 1 0 (*)
x x k k
x x x x
= =



+ + + =

Â

Gii (*): t sinx + cosx = t, iu kin
| | 2t
, khi ú phng trỡnh (*) tr thnh:
2t + t
2
1 + 1 = 0 t
2
+ 2t = 0
0
sin -cos ,( )
2 (
4
t

x x x n n
t lo
=

= = +

=

Â
ại)

Vy nghim ca phng trỡnh ó cho l:
4

x n= +
;

2 , ( , ) x k n k= Â
Phng phỏp 3: Quy phng trỡnh lng giỏc v vic gii h phng trỡnh lng giỏc
bng cỏch ỏnh giỏ, so sỏnh, s dng bt ng thc.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giáo viên: Trơng Ngọc Hạnh Trang 7
Giáo án ôn tập hè khối 11 ban KHTN Ngày soạn: 10/09/2013
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Vớ d 6. Gii phng trỡnh:
|sin |
cos
x
x=
(6).
Gii
iu kin: x 0
Do
| sin | 0,x
nờn
|sin | 0
1
x
=
, m |cosx| 1.
Do ú
2 2 2
0
| sin | 0 ,( )
(6)
0
| cos | 1 ,( )

k n
x k k n
x x k k
x
x n x n
x x n n
+

= =

= =

= =



=
= =
= =




Â
Â
(Vỡ k, n
Â
). Vy phng trỡnh cú nghim duy nht x = 0.
Phng phỏp 4: S dng tớnh cht hm s.
Vớ d 7: (H S phm 2) Gii phng trỡnh:

2
1 cos
2
x
x =
.
Gii
t
2
( )= cos
2
x
f x x +
. D thy f(x) = f(x),
x

Ă
, do ú f(x) l hm s chn vỡ vy trc
ht ta ch xột vi x 0.
Ta cú: f(x)=sinx+x, f(x) = cosx+1, x0 f(x) l hm ng bin, do ú f(x)f(0),
vi x0 f(x) ng bin vi x0 .
Mt khỏc ta thy f(0)=0, do ú x=0 l nghim duy nht ca phng trỡnh.
Vớ d 8: (H Bỏch Khoa) Vi n l s t nhiờn bt kỡ ln hn 2, tỡm x thuc khong
0;
2


ữ

tho món phng trỡnh:

2
2
sin cos 2
n
n n
x x

+ =
.
Gii
t f(x) = sin
n
x + cos
n
x, ta cú : f(x) = ncosx.sin
n-1
x nsinx.cos
n-1
x.
= nsinx.cosx(sin
n-2
x cos
n-2
x)
Lp bng bin thiờn ca f(x) trờn khong
(0; )
2

, ta cú minf(x) = f(
4

) =
2
2
2
n

Vy x =
4

l nghim duy nht ca phng trỡnh ó cho.
BI TP
Gii cỏc phng trỡnh sau:
1. cos
3
x+cos
2
x+2sinx2 = 0 (Hc Vin Ngõn Hng) S:
2 ; 2
2
x k x n


= = +
2. tanx.sin
2
x2sin
2
x=3(cos2x+sinx.cosx) (H M a Cht)
HD: Chia hai v cho sin

2
x S:
; 2
4 3
x k x n


= + = +
3. 2sin3x(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (H Thng Mi)
S:
7
; ; .
4 4 12 12
x k x n x m


= + = + = +
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giáo viên: Trơng Ngọc Hạnh Trang 8
Giáo án ôn tập hè khối 11 ban KHTN Ngày soạn: 10/09/2013
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
4. |sinxcosx| + |sinx+cosx|=2 (H Quc Gia H Ni) S:
2
x k

=
.
5. 4(sin3xcos2x)=5(sinx1) (H Lut H Ni)
S:
2 ; 2 ; 2 ;

2
x k x n x l


= + = + = +
vi
1
sin
4

=
.
6. sinx4sin
3
x+cosx =0 (H Y H Ni) S:
4
x k


= +
.
7.
sin 3 sin 2 .sin
4 4
x x x


= +
ữ ữ

; (Hc Vin BCVT) S:
4 2
x k

= +
8. sin
3
x.cos3x+cos
3
x.sin3x=sin
3
4x
HD: sin
2
x.sinx.cos3x+cos
2
x. cosx.sin3x=sin
3
4x S:
12
x k

=
.
9.
1 1 7
4sin
3
sin 4
sin

2
x
x
x



+ =
ữ



ữ

S:
4
8
5
8
x k
x k
x k

= +




= +



= +


10.
3 3 2 2
sin 3 cos sin cos 3sin cosx x x x x x =
HD: Chia hai v cho cos
3
x S: x =
3
k


+
,
4
x k


= +
11.2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx

HD: a v cung x t tha s S:
2
2 ( )
4 3
x k x k k


= + = + Â
12.Gii phng trỡnh lng giỏc:
( )
2 cos sin
1
tan cot 2 cot 1
x x
x x x

=
+
Gii
iu kin:
( )
cos .sin 2 .sin . tan cot 2 0
cot 1
x x x x x
x
+

T (1) ta cú:
( )
2 cos sin
1 cos .sin 2
2 sin
sin cos2 cos
cos
1
cos sin 2 sin
x x
x x
x
x x x
x
x x x

= =
+
2sin .cos 2 sinx x x =
( )
2
2
4
cos
2
2
4
x k
x k

x k





= +

=


= +


Â
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giáo viên: Trơng Ngọc Hạnh Trang 9
Giáo án ôn tập hè khối 11 ban KHTN Ngày soạn: 10/09/2013
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
So vi iu kin, ta c h nghim ca phng trỡnh ó cho l
( )
2
4
x k k


= + Â
13.Gii phng trỡnh:
( )
4 4

sin cos 1
tan cot
sin 2 2
x x
x x
x
+
= +
Gii
( )
4 4
sin cos 1
tan cot
sin 2 2
x x
x x
x
+
= +
(1)
iu kin:
sin 2 0x
2
1
1 sin 2
1 sin cos
2
(1)
sin 2 2 cos sin
x

x x
x x x


= +
ữ

2
2
1
1 sin 2
1 1
2
1 sin 2 1 sin 2 0
sin 2 sin 2 2
x
x x
x x

= = =
Vy phng trỡnh ó cho vụ nghim.
14.Gii phng trỡnh:
xxx tansin2)
4
(sin2
22
=

.
Gii

Pt
xxx tansin2)
4
(sin2
22
=

(cosx
)0

xxxxx sincos.sin2cos)]
2
2cos(1[
2
=


(1sin2x)(cosxsinx) = 0

sin2x = 1 hoc tanx = 1.
15.Gii phng trỡnh:
( )
( )
3
sin 2 cos 3 2 3 os 3 3 os2 8 3 cos sinx 3 3 0x x c x c x x+ + =
.
Gii
3
2 3 2
sin 2 (cos 3) 2 3.cos 3 3.cos 2 8( 3.cos sin ) 3 3 0

2sin .cos 6sin .cos 2 3.cos 6 3 cos 3 3 8( 3.cos sin ) 3 3 0
x x x x x x
x x x x x x x x
+ + =
+ + + =
0)sincos3(8)sincos3(cos.6)sincos3(cos2
2
=+
xxxxxxxx
2
2
( 3 cos sin )( 2cos 6cos 8) 0
tan 3
3 cos sin 0
cos 1
cos 3cos 4 0
cos 4 ( ai)
x x x x
x
x x
x
x x
x
+ =

=

=

=

+ =



=

lo
,
3
2
x k
k
x k




= +



=

Z
16.Gii phng trỡnh: cosx=8sin
3
6
x

+
ữ

Gii
cosx=8sin
3
6
x


+
ữ


cosx =
( )
3
3 sin cosx x+

3 2 2 3
3 3 sin 9sin cos 3 3sin cos cos cos 0x x x x x x x+ + + =
(3)
Ta thy cosx = 0 khụng l nghiờm
(3)
3 2
3 3 tan 8tan 3 3 tan 0x x x+ + =
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giáo viên: Trơng Ngọc Hạnh Trang 10