www thuvienhoclieu com trac nghiem oxyz (1)

www.thuvienhoclieu.com

LÝ THUYẾT CƠ BẢN
TỌA ĐỘ ĐIỂM – TỌA ĐỘ VECTƠ
I. Hệ trục tọa độ Oxyz: Gồm 3 trục

z

x 'Ox, y 'Oy , z 'Oz vng góc từng đơi tại điểm O.
r r r
rr rr r r
i = j = k = 1 i. j = i.k = j.k = 0


r
r
r
i = ( 1;0;0 ) j = ( 0;1;0 ) k = ( 0;0;1)



r
0 = ( 0;0;0 )

II.TỌA ĐỘ VECTƠ
x −1 y +1 z
d:
=
=
2
−1 1

Định nghĩa:
Công thức:
Trong kg Oxyz,cho:
r
r
a = (a1; a2; a3), b = (b1; b2; b3)

k

j

y

i
x

TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA 2 VECTƠ.
ĐN: kg Oxyz cho

r
r
a = ( x1 ; y1 ; z1 ) b = ( x2 ; y2 ; z2 )

r
r r  y
v =  a; b  =  1
 y2

,

z1

;

z1

z2 z2

x2

;

x1

x2 x2

y1 
÷
y2 

Tính chất:
r r
r r
r r
r r
r r r
r [a, b] = a
(
.
b

.sin
a
, b)
• [ a , b ] ⊥ a • [ a, b] ⊥ b •

1/ Tọa đợ vectơ tởng:
r r
a ± b = ( a1 ± b1;a2 ± b2;a3 ± b3 )
2.Tích của 1 số thực k với 1 véc tơ:
r
ka = (ka1; ka2; ka3)

•

(k∈R)

r r
a, b cùng phương H ( 0;0;0 )

• Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ:

r r r
a, bvà c đồng phẳng ⇔ H ( 1;0; −1)

3. Hai vectơ bằng nhau:
 a1 = b1
r
r

a = b ⇔  a2 = b2

a = b
 3
3

III. TỌA ĐỘ ĐIỂM

uuur r r
r
M ( x; y; z ) ⇔ OM = xi + y j + zk

4.Điều kiện 2 vectơ cùng phương:

a. Định nghĩa:
M ∈ Ox ⇒ M ( x;0;0 ) ;

M ∈ ( Oxy ) ⇒ M ( x; y;0 )

M ∈ Oz ⇒ M ( 0;0; z ) ;

M ∈ ( Oxz ) ⇒ M ( x;0; z )

M ∈ Oy ⇒ M ( 0; y;0 ) ;

r
r r r
r r
a , b cùng phương ⇔ a = kb ; b ≠ 0

a1 = kb1


⇔ ∃k ∈ R : a2 = kb2
a3 = kb3

M ∈ ( Oyz ) ⇒ M ( 0; y; z )

b. Công thức:

H ( 0; −1; −1) .
,…
uuu
r
1.Tọa độ vectơ: AB = ( xB − x A ; yB − y A ; z B − z A )
Cho các điểm

5.Biểu thức toạ độ của tích vô hướng

rr
a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3

2.Khoảng cách giữa 2 điểm A,B (độ dài đoạn thẳng AB)
uuu
r
x −1 y + 2 z
d:
=
=
AB
2
−3
−1

AB =
=

6.Độ dài vec tơ:
r
a = a12 + a22 + a32
7. Điều kiện 2vectơ vng góc
rr
r r
a ⊥ b ⇔ a.b = 0 ⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0

3.Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng:
M là trung điểm của đoạn AB

H ( 1;1;0 ) .

www.thuvienhoclieu.com

Trang 1


www.thuvienhoclieu.com

r r r

r

8.Góc giữa 2 vectơ a ≠ 0, b ≠ 0 : Gọi

rr

ϕ = a,b

( )

4.Tọa độ trọng tâm tam giác
G trọng tâm tam giác ABC
 x + xB + xC y A + yB + yC z A + zB + zC 
G A
;
;
÷
3
3
3



rr
r r
a.b
cos a, b = r r
a.b

( )

=

a1b1 + a2b2 + a3b3
a + a22 + a32 . b12 + b22 + b32
2

1

MỘT SỐ ỨNG DỤNG và CÔNG THỨC
1. Chứng minh 3 điểm A,B,C thẳng hàng; không thẳng
hàng:
uuu
r
uuu
r
⇔
AB
=
k
AC
3 điểm A,B,C thẳng hàng


hoặc:

d:

 3 điểm A,B,C thẳng hàng

x −1 y +1 z − 3
=
=
2
−1
1

3 điểm A,B,C không thẳng hàng

d:

d:

x −1 y + 2 z
=
=
−1
2
−3

A ( 4; −1;3)

x y
z
uuu
r
=
=
2 −3 −1 ≠ k AC

M 2; −5;3)
hoặc:3 điểm A,B,C không thẳng hàng (
uuu
r uuu
r
r
 AB, AC  ≠ 0



x −1 y z − 2
d:
= =
1
2
1 là đỉnh hình bình hành ABCD
2.
uuur uuu
r
M ( −1;0; 2 ) AD = BC
uuu
r uuu
r
SY ABCD =  AB, AD 
3.Diện tích hình bình hành ABCD:
uuu
r uuu
r
 AB, AC 
M 0; −1;2 ) 

hoặc: SY ABCD = (
r uuu
r
1 uuu
S∆ABC =  AB, AC  .

2

4.Diện tích tam giácABC:
5. Chứng minh 4 điểm A,B,C,D đồng phẳng, không đồng
phẳng
M 2; −3;5 )
4 điểm A,B,C,D đồng phẳng (
uuu
r uuu
r uuu
r
 AB, AC  . AD ≠ 0

4 điểmA,B,C,D không đồng phẳng ⇔ 
(A,B,C,D là đỉnh tứ diện ABCD)

www.thuvienhoclieu.com

Trang 2


www.thuvienhoclieu.com
VABCD =

1 uuur uuur uuur
 AB, AC  . AD .

6

6.Thể tích tứ diện ABCD:
7.Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’:
uuu

r uuu
r uuur
VABCD . A' B 'C ' D ' =  AB, AD  . AA'


KHOẢNG CÁCH
uuur
AB

AB =

=

( xB − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2 + ( z B − z A ) 2
8. Khoảng cách giữa 2 điểm A,B (độ dài đoạn thẳng AB):
9. Khoảng cách từ điểm

M ( x0 ; y0 ; z0 )

đến mặt phẳng

( α ) : Ax + By + Cz + D = 0
d ( M , (α ) ) =

Ax0 + By0 + Cz0 + D
A2 + B 2 + C 2

D − D'



Nếu 2 mp song song:

A2 + B 2 + C 2

 Nếu đường thẳng song song mp: 2 6
10. Khoảng cách từ điểm
uuuuuu
r r
M 0M , u


d ( M ;∆) =
r
u

Đường thẳng

M ( x0 ; y0 ; z0 )

đến đường thẳng ∆:

 qua M 0
r
∆:
VTCP u

∆ / / ∆ 2 ⇒ d ( ∆1 ; ∆ 2 ) = d ( M 1 ∈ ∆1 ; ∆ 2 ) = d ( M 2 ∈ ∆ 2 ; ∆1 )
 Nếu 2 đường thẳng song song : 1
11. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau:

( α ) : 3x − 3 y + 2 z − 5 = 0
 qua M 1
x +1 y − 3 z
ur
∆
:

1
d:
=
=
VTCP
u


1
2
4
3 chéo nhau
Đường thẳng

 qua M 2
uu
r
∆2 : 
VTCP u2

www.thuvienhoclieu.com

Trang 3


www.thuvienhoclieu.com
CƠNG THỨC GĨC

r r
r r
0
ϕ = a, b
ϕ
=
0
12.Góc giữa 2vectơ a ≠ 0,
: Gọi

( )

rr
r r
a.b
cos ϕ = cos a, b = r r
a . b ϕ = 450

( )

13.Góc giữa 2mặt phẳng:

14. Góc giữa 2đường thẳng:
ϕ = 600 là VTCP của 2 đường thẳng. Gọi

ur uu
r
ϕ = u1 , u2

(

ur uu
r
ur uu
r
n1 , n2 VTPT của 2 mặt phẳng. Gọi ϕ = n1 , n2
ur uu
r
n1 .n2
cos ϕ = ur uu
r
n1 . n2

(

)

)

ur uu
r
u1 .u2
cos ϕ = ur uu
r
u1 . u2

15.Góc giữa đường thẳng; mặt phẳng:

r r
r
r
ϕ = n, u
n VTPT mp; u VTCP đường thẳng. Gọi
rr
n.u
sin ϕ = r r
n.u

( )

1.Phương trình mặt cầu:
2
Dạng 1:Mặt cầu (S), tâm I(a;b;c), bán kinh r có phương trình: ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = r .
2

2

2

2
2
2
2
Mặt cầu tâm O, bán kính r: x + y + z = r
2

2
2
2
2
2
Dạng 2:Phương trình dạng x + y + z − 2ax − 2by − 2cz = 0 ; điều kiện a + b + c − d > 0

là phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c), bán kính r = a + b + c − d .
II. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu:
a/
Trong k.g Oxyz Cho : mặt cầu (S),tâm I(a;b;c), bán kinh r và
mặt phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = 0
2

2

2

Gọi H(x;y;z) là hình chiếu vng góc của tâm I(a;b;c) trên m ( α ) .
Ta có:
b/

IH = d ( I , ( α ) ) =

Aa + Bb + Cc + D
A2 + B 2 + C 2

.

a/ IH > r : mp ( α ) và mặt cầu (S) khơng có điểm chung.

b/ IH = r : mp ( α ) và mặt cầu (S) có 1 điểm chung duy nhất
( mp ( α ) tiếp xúc mặt cầu (S) tại điểm H )
 H : Gọi là tiếp điểm

c/



mp ( α )

: Gọi là tiếp diện

Điều kiện mp ( α ) : Ax + By + Cz + D = 0 tiếp xúc mặt cầu (S), tâm I(a;b
d ( I,( α ) ) = r

c/ IH < r : mp ( α ) cắt mặt cầu (S) theo 1 đường trịn (C) có

www.thuvienhoclieu.com

Trang 4


www.thuvienhoclieu.com
 x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0

Ax + By + Cz + D = 0
phương trình: (C): 

(C) có tâm H, bán kính
 Khi

R = r 2 − IH 2 .

IH = d ( I , ( α ) ) = 0 : mp ( α )

cắt mặt cầu (S) theo đường
tròn lớn tâm H ≡ I , bán kính R = r

Đề thử nghiệm Bộ - lần 1
Câu 44: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z − 1) = 9 . Tìm
2

2

r r r
I ( −1;2;1)
I ( 1; −2; −1)
r
=
3
r
tọa đợ tâm I và bán kính của (S). A.
và
B.
và x = u − v
r
u = ( 1; −2;3)
và
D. I ( −1; −2; −1) và r = 9

2

r r r r
v
C. = 2i + 2 j − k

Câu 48: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu(S) có tâm I ( 2;1;1) và mặt phẳng
r
x = ( 3;0;2 )

Biết mặt phẳng (P)cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là mợt đường trịn có bán kính bằng 1. Viết
phương trình mặt cầu (S).
A.

( S ) : ( x + 2)

2

+ ( y + 1) + ( z + 1) = 8
2

r
x = ( 1; −4; −4 )

2

D. (

B. ( S ) : ( x + 2 ) + ( y + 1) + ( z + 1) = 10
2

2

2

S ) : ( x − 2 ) + ( y − 1) + ( z − 1) = 10
2

2

2

C.
Đề thử nghiệm Bộ - lần 2
Câu 46: Trong khơng gian với hệ tọa đợ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt
cầu tâm I ( 1;2; −1)
và tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) : x − 2 y − 2 z − 8 = 0 ?
A.
C.

( x − 1)

2

r
x = ( −1;4;4 )

+ ( y − 2 ) + ( z + 1) = 9
2

B. ( x − 1)

2

D.

2

+ ( y − 2 ) + ( z + 1) = 3
2

2

r
x = ( 2; −4; −3)

Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét các điểm A ( 0;0;1) , B ( m;0;0 ) , C ( 0; n;0 ) và D ( 1;1;1) ,
với m > 0,n > 0
và m + n = 1. Biết rằng khi m,n thay đổi, tồn tại một mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng (ABC)
và đi qua D.Tính bán kính R của mặt cầu đó ?A. R = 1 B.
r r ur
u = v + 3w

R=

2
2

C.

R=

3
2

D.

BÀI TẬP

Câu 1. Trong không gian Oxyz cho

r
r
a = ( a1 ; a2 ; a3 ) ; b = ( b1 ; b2 ; b3 )

. Cho các phát biểu sau:

www.thuvienhoclieu.com

Trang 5


www.thuvienhoclieu.com
a1 a2 a3
rr
r r
= =
b
b2 b3
a

.
b
=
a
.
b
+
a
.
b
+
a
.
b
a
,
b
1
1
1
2
2
3
3
I.
II.
cùng phương
 a1 = k .b1
r r


a = b ⇔  a2 = k .b1 (k ∈ R )
r r
 a, b  = ( a2b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a2b1 )
 a = k .b
3
 3
III.  
IV.
rr
r r
a.b
cos a, b = r r
r r
rr
a.b
V.
VI. a ⊥ b ⇔ a.b = 0

( )

Có bao nhiêu phát biểu đúng trong các phát biểu trên ?
A. 2
B. 4
C. 5
Câu 2. Trong không gian Oxyz cho 4 điểm: A, B, C, D. Có các phát biểu sau:

D. 6

r uuu
r

uuu
r uuu
r uuu
r
1 uuu
uuu
r uuu
r uuu
r
 AB, AC  . AD = 0
AB. AC
⇔


I. Diện tích tam giác ABC là: 2
II. AB, AC , AD đồng phẳng
r uuu
r uuu
r
1  uuu
uuu
r uuu
r
AB, AC  . AD

III. Thể tích tứ diện ABCD là: 6 
IV. ABCD là hình bình hành AB = CD

Có bao nhiêu phát biểu đúng trong các phát biểu trên ?
A. 1

B. 2
C. 3

D. 4

Câu 3.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho A( xA ; y A ; z A ), B( xB ; yB ; z B ) . Chọn công thức đúng.
uuu
r
AB
= ( x A + xB ; y A + yB ;z A + zB ) .
A.
uuu
r
AB = ( xB − x A ) 2 + (y B − y A ) 2 + (z B − z A ) 2

uuu
r
AB
= ( xB − xA ; y B − y A ;z B − z A ) .
B.
uuu
r
AB
= ( x A − xB ; y A − yB ;z A − zB ) .
C.
.
D.
r
r
r

r
r r
r
Câu 4.Cho 3 vectơ a = (1; −2;3), b = ( −2;3; 4), c = ( −3;2;1) . Toạ độ của vectơ n = 2a − 3b + 4b là:
r
r
r
r
n
=
(
−
4;
−
5;
−
2)
n
=
(
−
4;5;
2)
n
=
(4;
−
5;
2)
n

A.
B.
C.
D. = (4; −5; −2)
r
r
r
r
r
Câu 5. Cho u = 3i − 3k + 2 j Tọa độ vectơ u là:

A. (-3; -3; 2)

B. (3; 2; 3)

C. (3; 2; -3)

r
r
a
=
(
−
4;2;4)
b
Câu 6.Góc tạo bởi 2 vectơ
và = (2 2; −2 2;0) bằng:

A. 30

0

0

B. 45

C. 90

0

D. (-3; 3; 2)
0

D. 135

Câu 7. Tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD với A ( 1;0;0 ) , B ( 0;2;0 ) , C ( 0;0;3) , D ( 3; −2;5 ) là:
A. (1;0;2).

B. (1;1;2).

C. (1;0;1).

1 1
( ;1; ).
D. 2 2

Câu 8. Cho A(1;0;0), B(0;0;1), C (2; −1;1) . Độ dài đường cao kẻ từ A của tam giác là
6
3
.

.
A. 2
C. 2
D. 5
Câu 9.Cho hình bình hành ABCD : A(2;4; −4), B(1;1; −3), C ( −2;0;5), D( −1;3;4) . Diện tích của hình này
30
B. 10

bằng:
www.thuvienhoclieu.com

Trang 6


www.thuvienhoclieu.com
A. 245 đvdt

C. 615 đvdt
B. 345 đvdt
D. 618 đvdt
Câu 10.Cho tứ diện ABCD : A(0;0;1), B (2;3;5), C (6;2;3), D(3;7;2) . Hãy tính thể tích của tứ diện?
A. 10đvdt
B. 20đvdt
C. 30đvdt
D. 40đvdt

r
r
r
a

=
(
−
1;1;0),
b
=
(1;1;0),
c
= (1;1;1) , hình hộp
Câu 11. Trên hệ trục toạ độ Oxyz cho 3 vectơ
uur r uuu
r r uuu
r r
OACB.O ' A ' C ' B ' thoả mãn điều kiện OA = a, OB = b, OC = c . Hãy tính thể tích của hình hộp trên?

1
2
C. 2đvtt
D. 6đvtt
A. 3 đvtt
B. 3 đvtt
Câu 12. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu ?
(I):

( x − a)

2

+ ( y − b) + ( z − c) = R2
2

2

(II): Ax + By + Cz + D = 0

x − x0 y − y0 z − z0
=
=
a2
a3 (IV): x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 với a 2 + b2 + c 2 − d > 0
(III): a1
A. (I)
B. (IV)
C. (III)D. Cả A và B đều đúng.
Câu 13. Phương trình mặt cầu tâm I(1;2;3) và đi qua gốc tọa độ O là:

( x + 1) + ( y + 2 ) + ( z + 3)
2

A.

2

2

( x + 1) + ( y + 2 ) + ( z + 3)
C.
2

2

x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3) = 14
B. (

= 14
2

2

2

2

( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3)
D.
2

= 14

2

2

= 14

Câu 14. Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB với A(1;2;-2), B(-3;2;6).

( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z + 2 )
A.

2

x − 1)
C. (

2

2

2

2

( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z − 2 )
B.

= 20

2

( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z − 2 )
D.
2

+ ( y + 2) + ( z + 2) = 2 5
2

2

2

2

2

= 20

= 20

Câu 15. Cho A(1;3;-2) và (P): 2x-y+2z-1=0. Mặt cầu tâm A và tiếp xúc với (P) có phương trình là:

( x − 1)

2

( x − 1)

2

C.

+ ( y − 3) + ( z − 2 ) = 4

( x − 1)

2

A.

+ ( y + 4 ) + ( z − 1) = 14

B. (

( x − 1)

2

C.

+ ( y + 4 ) + ( z − 1) = 14

D.

A.

+ ( y − 3) + ( z + 2 ) = 4
2

2

B.

( x − 1)

2

+ ( y − 3) + ( z + 2 ) = 2
2

2

( x − 1) + ( y − 3) + ( z + 2 ) = 2 .
D.
x −1 y z +1
= =
1
−1 và điểm A(1;-4;1). Mặt cầu tâm A và tiếp xúc với d
Câu 16. Cho đường thẳng d: 2
có phương trình là:
2

2

2

2

2

2

2

2

2

x + 1) + ( y − 4 ) + ( z + 1) = 14
2

( x − 1)

2

2

2

+ ( y + 4 ) + ( z − 1) = 41
2

2

.

Câu 17. Cho mặt cầu (S): x + y + z − 2 x + 2 y − 2mz + 2 = 0 . Tìm m để bán kính mặt cầu (S) đạt giá trị
nhỏ nhất.
A. m = 0
B. m ≠ 0
C. m > 0
D. m < 0
Câu 18. Cho bốn điểm A(6;-2;3), B(0;1;6), C(2;0;-1), D(4;1;0). Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp
diện ABCD là.
2

2

2

A. I ( 2; −1;3) , R= 17 B. I ( 2;1;3) , R= 17

C. I ( −2;1; −3) , R= 17 D. I ( 2; −1;3) , R=17
www.thuvienhoclieu.com

Trang 7


www.thuvienhoclieu.com
2
2
2
Câu 19. Thể tích khới cầu có phương trình x + y + z − 2 x − 4 y − 6 z = 0 là:

A.

V=

56π 14
3

B.

V=

65π 14
3

C.

V=

56 14
3

D.

V=

π 14
.
3

2.PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG:

r
r r
α) ⇔ n ⊥ (α) .
(
n
≠
0
Vectơ
được gọi là VTPT của mp
r r r r
( α ) được
a
2/ + Cặp vectơ ≠ 0; b ≠ 0 không cùng phương và có giá nằm trên ( α ) hoặc song song với
gọi là
(α)
cặp VTCP của mp

r
r r
r r


n
=
a
α
a , b là cặp VTCP của mp ( ) thì :
 ; b  là 1 VTPT của mp ( α ) .
+ Nếu
r
α)
M ( x0 ; y0 ; z0 )
n = ( A; B; C )
(
3/ Mặt phẳng
đi qua điểm
,VTPT
có phương trình tổng quát dạng
A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0
⇔ Ax + By + Cz + D = 0 : phương trình tổng quát của mặt phẳng
4/ Chú ý: Các trường hợp đặc biệt của phương trình mặt phẳng
Tính chất của mặt phẳng (P)
Phương trình các mặt phẳng tọa đợ

Phương trình của mặt phẳng (P)
r
Oxy ) : z = 0

k = ( 0;0;1) .
(
mp
- VTPT

r
Oxz ) : y = 0
j = ( 0;1;0 ) .
(
mp
- VTPT

r
Oyz ) : x = 0
i = ( 1;0;0 ) .
(
mp
- VTPT


(P) qua gốc O

Ax + By + Cz = 0

(P) // Ox hay (P) chứa Ox

By + Cz + D = 0,

(P) // Oy hay (P) chứa Oy

Ax + Cz + D = 0, Ax+ Cz = 0

(P) // Oz hay (P) chứa Oz

Ax + By + D = 0,

(P) // mp(Oxy)

Cz + D = 0 (C.D ≠ 0) hay z = m

(P) // mp(0xz)

By + D = 0 (B.D ≠ 0) hay y = n

(P) // mp(0yz)

Ax + D = 0 (A.D ≠ 0) hay x = p

(P)qua các điểm A(a ; 0 ; 0), B(0 ; b ; 0),C(0 ; 0 ; c)
(abc ≠ 0)

By + Cz = 0

Ax + By = 0

x y z
+ + =1
a b c

5/ Vị trí tương đối giữa 2 mặt phẳng:

www.thuvienhoclieu.com

Trang 8


www.thuvienhoclieu.com
ur
n
= ( A1 ; B1 ; C1 )
A
x
+
B
y
+
C
z
+
D
=
0
1
1
1
Cho 2 mặt phẳng (P): 1
có VTPT 1
ur
n
= ( A2 ; B2 ; C2 )
A

x
+
B
y
+
C
z
+
D
=
0
2
2
2
(Q): 2
có VTPT 1
ur
uu
r
⇔ n1 ≠ k n2 ⇔ ( A1 ; B1; C1 ) ≠ ( A2 ; B2 ; C2 )
a. (P) cắt (Q)
ur
uu
r
 n1 = k n2
A B C
D
⇔
⇔ 1 = 1 = 1 ≠ 1
A2 B2 C2 D2

 D1 ≠ kD2
b. (P) P (Q)
( A2 ; B2 ; C2 đều khác 0)
ur
uu
r
A
B C
D
 n1 = k n2
⇔
⇔ 1 = 1 = 1 = 1
A2 B2 C2 D2
 D1 = kD2
c. (P) ≡ (Q)
( A2 ; B2 ; C2 đều khác 0)
ur uu
r
ur uu
r
⇔
n
⊥
n
⇔
n
.
n
1
2

1 2 =0
Chú ý: (P) ⊥ (Q)
Đề thử nghiệm Bộ - lần 1
1 2 1
H  ; − ; ÷.
Câu 43: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  3 3 3  . Vectơ nào dưới đây
uu
r
uu
r
n1 = ( −1;0; −1)
n2 = ( 3; −1;2 )

là một vectơ pháp tuyến của (P) ?
 1 2 1
H  − ; ; − ÷.
 3 3 3

D.

A.

B.

C.

uur
n4 = ( 3;0; −1)

Câu 45: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : 3 x + 4 y + 2 z + 4 = 0 và điểm

A ( 1; −2;3)

. Tính khoảng

Cách d từ A đến (P)

A.

d=

5
9

B. M ( 1; −1;1)
d=

( P ) : x − 2 y − 3z + 14 = 0

C.

5
3

D.
Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ có phương trình:
x − 10 y − 2 z + 2
=
=
5
1

1 xét mặt phẳng M ( −1;3;7 ) ,m là tham số thực.Tìm tất cả các giá trị của m để
mp(P) vng góc với đường thẳng ∆

A.

m = −2

C. M ( 1; −3;7 )

B. m = 2

D. m = 52

Câu 47: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A ( 0;1;1) và M ( 2; −3; −2 ) .Viết phương
trình mặt phẳng (P) đi qua A và vng góc với đường thẳng AB.
x + y + 2z − 3 = 0
B. x + y + 2 z − 6 = 0
A.
Đề thử nghiệm Bộ - lần 2

C. M ( 2; −1;1)

D. x + 3 y + 4 z − 26 = 0

Câu 45: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A ( 1;0;0 ) , B ( 0; −2;0 ) và C ( 0;0;3) .
Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng (ABC) ?
www.thuvienhoclieu.com

Trang 9

www.thuvienhoclieu.com

A.

x − 2 y −1 z + 3
=
=
2
−1
1

x y z
+ + =1
B. −2 1 3

x y z
+
+ =1
C. 1 −2 3

D.

x y z
+ +
=1
3 1 −2
d:

x +1 y z − 5

=
=
1
−3
−1 và mặt phẳng ( P ) : 3 x − 3 y + 2 z + 6 = 0 Mệnh đề nào

Cho đường thẳng:
Câu 47:
dưới đây đúng?
A. d cắt và khơng vng góc với (P) B. d vng góc với (P) C. d song song với (P) D. d
nằm trong (P)
Câu 49: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) song song và cách
đều hai đường thẳng
d1 :

A.

x−2 y z
x y −1 z − 2
= = , d2 : =
=
−1
1 1
2
−1
−1

( P) : 2x − 2z + 1 = 0

B. ( P ) : 2 y − 2 z + 1 = 0

C.

d:

x −1 y +1 z
=
=
2
−1 1

D. O ( 0;0;0 )

BÀI TẬP

Câu 1. Cho mặt phẳng (P) có phương trình 3x − 2 y + z − 1 = 0 . Véctơ nào sau đây không là véc tơ
pháp tuyến của (P)?
1 1
( ; − ;1).
C. 3 2

1 1 1
( ; − ; ).
D. 2 3 6

A. (3; −2;1). B. (−6;4; −2).
Câu 2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2 ; 3 ; 5) và vng góc với vectơ
r
n = (4;3;2) là:
A. 4x+3y+2z+27=0 .

B. 4x-3y+2z-27=0 .
C. 4x+3y+2z-27=0 .
D. 4x+3y-2z+27=0 .
Câu 3.Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2 ; 3 ; -1) và song song với mặt
phẳng (Q) : 5 x − 3 y + 2 z − 10 = 0 là:
A. 5x-3y+2z+1=0 .
B. 5x+5y-2z+1=0 .
C. 5x-3y+2z-1=0 .
D. 5x+3y-2z-1=0 .
Câu 4.Viết phương trình mặt phẳng (α) qua A(2, −1,3) và vuông góc với Oy
A. (α) : x − 2 = 0

B. (α) : y + 1 = 0 C. (α) : z − 3 = 0

D. (α) : 3 y + z = 0

Câu 5.Viết phương trình mặt phẳng (α) qua A(3, 2, 2) và A là hình chiếu
vuông góc của O lên (α) .
A. (α) : 3x + 2 y + 2 z − 35 = 0 B. (α) : x + 3 y + 2 z − 13 = 0 C. (α) : x + y + z − 7 = 0 D.
(α) : x + 2 y + 3 z − 13 = 0

Câu 6.Cho A(2;-1;1) và

d:

x − 2 y −1 z − 2
=
=
1

−3
2 . Phương trình mặt phẳng qua A vng góc với d là:

www.thuvienhoclieu.com

Trang 10


www.thuvienhoclieu.com
A. x − 3 y + 2 z − 7 = 0 B. x − 3 y + 2 z − 5 = 0
C. x − 3 y + 2 z − 6 = 0 D. x − 3 y + 2 z − 8 = 0 .
Câu 7.Viết phương trình mặt phẳng (P) trình là mặt phẳng trung trực
của đoạn AB với A(1, −1, −4) , B(2,0,5)
A. ( P ) : 2 x + 2 y + 18 z + 11 = 0 B. ( P) : 3 x − y + z − 11 = 0
C. ( P ) : 2 x + 2 y + 18 z − 11 = 0
D. ( P) : 3 x − y + z + 11 = 0
Câu 8.Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng chứa điểm M(1 ; -2 ; 3) và có cặp vectơ chỉ
r
r
v
=
(0;3;4),
u
= (3; −1; −2) ?
phương
A. 2x+12y+9z+53=0
B. 2x+12y+9z-53=0

C. 2x-12y+9z-53=0
D. 2x-12y+9z+53=0

Câu 9.Mặt phẳng qua 3 điểm A(1;0;0), B(0;-2;0), C(0;0,3) có phương trình là:
x y z
x y z
+
+ =6
+ +
=1
A. x − 2 y + 3z = 1
B. 1 −2 3
C. −1 2 −3 D. 6 x − 3 y + 2 z = 6
Câu 10.Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua G (1,2,3) và cắt các trục
tọa độ tại A, B, C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC.
A. (α) : 6 x + 3 y + 2 z − 6 = 0 B. (α ) : 6 x + 3 y + 2 z + 18 = 0 C. (α) : 6 x + 3 y + 2 z + 6 = 0 D.
(α) : 6 x + 3 y + 2 z − 18 = 0

Câu 11.Trong không gian cho 4 điểm : A(5;1;3), B(1;6;2), C(5;0;4), và D(4;0;6). Viết phương trình
mặt phẳng (P) qua AB và song song với CD.
A. (P): 10x +9y -5z +74=0
B. (P): 10x +9y -5z -74=0
C. (P): 10x +9y +5z +74=0
D. (P): 10x +9y +5z -74=0
Câu 12.Cho A(–1; 2; 1), B(–4; 2; –2), C(–1; –1; –2). Pt mp(ABC) là:
A. x + y – z = 0
B. x – y + 3z = 0
C. 2x + y + z –1 = 0
D. 2x + y –2z + 2 = 0
Câu 13. Cho A(1;-1;0) và
A. x + 2 y + z + 1 = 0

d:

x +1 y −1 z
=
=
2
1
−3 . Phương trình mặt phẳng chứa A và d là:

B. x + y + z = 0 C. x + y = 0

D. y + z = 0 .

Câu 14.Vieát phương trình mặt phẳng (α) qua điểm A(1,1,3) và chứa truïc Ox
A. (α) : 3 y − z = 0

B. (α) : 3 y + z − 6 = 0 C. (α) : x + y − 2 = 0
D. (α) : y − 2 z + 5 = 0
Câu 15. Cho A(1;0;-2), B(0;-4;-4), (P): 3 x − 2 y + 6 z + 2 = 0 Ptmp (Q) chứa dường thẳng AB và ⊥
(P) là:
A.2x – y – z – 4 = 0B.2x + y – z – 4 = 0C.2x – z – 4 = 0D.4x + y –4 z – 12 = 0
Câu 16.Lập phương trình của mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ O và vng góc với hai mặt phẳng:
(R ): 2x –y +3z –1=0; (π): x +2y +z =0.
A. (P): 7x –y –5z =0
B. (P): 7x –y +5z =0
C. (P): 7x +y –5z =0
D. (P): 7x +y
+5z =0

3.PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG :
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

www.thuvienhoclieu.com

Trang 11


www.thuvienhoclieu.com
r r
1/ Vec tơ chỉ phương: Vec tơ u ≠ 0 và có giá song song hoặc nằm trên đường thẳng ∆ được gọi là vectơ
chỉ phương của đường thẳng ∆
r
r
Nếu u là vectơ chỉ phương của ∆ thì k u ( k ≠ 0 ) cũng là VTCP của ∆ .
2/ Phương trình tham số của đường thẳng:
 x = x0 + u1t

(t ∈ ¡ )
 y = y0 + u 2 t
r
z = z + u t
0
3
Đường thẳng ∆ đi qua điểm M0(x0;y0;z0),VTCP u = (u1 ; u2 u3 ) có phương trình tham số: 
x − x0 y − y0 z − z0
=
=
u2
u3 với u1 , u2 , u3 đều khác 0
3/Phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ là: u1
4/ Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng :

Cách 1 : ( đưa 2 đt về phương trình tham số )
ur
uu
r  d1
⇔ u1 = ku2
d
a/ d1//d2
và  2 vô nghiệm
 d1
ur
uu
r

d
b/ d1≡d2 ⇔ u1 = ku2 và  2 có vơ số nghiệm

Cách 2 :

d
ur
uu
r  1
t; t '
d
c/ d1 cắt d2 ⇔ u1 ≠ ku2 và  2 có nghiệm duy nhất
 d1
ur
uu
r


d
d/ d1,d2 chéo nhau ⇔ u1 ≠ ku2 và  2 vô nghiệm

( )

ur uu
r
u
.
u
1
2 =0
Chú ý : d1⊥d2 ⇔
4/ Vị trí tương đốigiữa đường thẳng và mặt phẳng:

 x = x0 + u1t

 y = y0 + u 2 t ( t ∈ ¡
z = z + u t
0
3


Cho đường thẳng d:
 d

( P )
Gi
ả
i

h
ệ
:
Cách 1:

)
,


 qua M
r
d :

VTCP u

⇒ A ( x0 + u1t ) + B ( y0 + u2t ) + C ( z0 + u3t ) + D = 0 ( 1)
+ Nếu (1) vơ nghiệm thì d //(P)
+ Nếu (1) có vơ số nghiệm thì d ⊂ (P)
+ Nếu (1) có nghiệm duy nhất t = t0 thì d cắt (P).
Thay t = t0 vào (d) ta tìm được (x;y;z).
Kết luận d cắt (P) tại điểm M (x;y;z).

 qua M 1
 qua M 2


uu
r ; d2 
uu
r

d1 
r ur uu
r
VTCP u1
VTCP u2


n
=
[
u
,
u


1
2]
Cho
Tính
ur uu
r r
Nếu [u1 , u2 ] = 0

ur uuuuuu
r r
[u1 , M 1 M 2 ] ≠ 0
d1//d2
ur uuuuuu
r r
[u1 , M 1 M 2 ] = 0

d1≡d2
ur uu
r r
 Nếu [u1 , u2 ] ≠ 0
ur uu
r uuuuuu
r
[u1 , u2 ].M 1 M 2 = 0
d1 cắt d2
ur uu
r uuuuuu
r
[u1 , u2 ].M 1M 2 ≠ 0
d1 và d2 chéo nhau

r

và mp(P): Ax + By + Cz + D = 0 có VTPT n
rr
 u.n = 0
⇔
 M ∉ ( P )
Cách 2: + d // (P)
rr
 u.n = 0
⇔
M ∈( P)
+ d ⊂ (P) 
rr
+ d cắt (P) ⇔ u.n ≠ 0

Chú ý : Nếu đề yêu cầu tìm giao điểm của
đường

www.thuvienhoclieu.com

Trang 12


www.thuvienhoclieu.com
thẳng và mặt phẳng thì giải hệ (cách 1)

Một số cách xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng:

r

uuu
r

 Đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt A và B thì d có vtcp là u = AB.

uu
r
r uu
r
u
u
=
u
.
∆

∆
 Cho đường thẳng ∆ có vtcp . Nếu d//∆ thì vtcp của đường thẳng d là
uuur
r uuur
n( P )
u = n( P ) .

 Cho mp(P) có vtpt

, nếu đường thẳng d⊥(P) thì d có vtcp là:

r r r r
r
r
 vectơ a ≠ 0 , b ≠ 0 không cùng phương. Đường thẳng d vng góc với giá 2vect ơ a và b thì d

r r r
u
có vtcp là: = [a, b ] .

uuur
uur
n( P )
u
∆
 Đương thẳng ∆ có vtcp
, mp(P) có vtpt
.đường thẳng d song song với (P) và d vng

góc với ∆ thì d có vtcp là

r uu
r uuur
u = [u∆ , n( P ) ].

 Cho hai mp (P) và (Q) có vtpt lần lượt là
có vtcp là:

uuur uuur
n( P ) , n(Q ) .

r uuur uuur
u = [n( P ) , n( Q ) ].

Nếu d là giao tuyến của 2 mp (P),(Q) thì d

ur uu
r

2 đt d1 và d2 lần lượt có vtcp là u1 , u2 khơng cùng phương.Nếu d vng góc với d 1 và d2 thì

r ur uu
r
u
=
[
u
,
u
1

2 ].
d có vtcp là:

BÀI TẬP

Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:
dưới đây là một vecto chỉ phương của đường thẳng d?
A.

ur
u1 = ( 2;3;4 ) .

B.

uu
r
u2 = ( 0;2; −7 )

.

C.

uu
r
u3 = ( 2;2; −7 )

.

D.

x = 2

 y = 3 + 2t
 z = 4 − 7t


uu
r
u4 = ( 2; −2; −7 )

(t∈¡ )
. Véc tơ nào

.

x + 3 y +1 z − 3
=
=
1
1 . Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng d:
Câu 2. Cho đường thẳng d: 2
C. C(–2; –1; –1)
D. D(1; 1; 5)
r
Câu 3. Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(2;0;-1) và có vecto chỉ phương a = (4; −6;2)
Phương trình tham số của đường thẳng ∆ là:
A.(2; 1; 1)

 x = −2 + 4t


 y = −6t
 z = 1+ 2t


B. B(3; 1; –3)

 x = −2 + 2t

 y = −3t
 z = 1+ t


A.
B.
C.
Câu 4. Phương trình trục x’Ox là:

 x = 2 + 2t

 y = −3t
 z = −1 + t


D.

 x = 4 + 2t

 y = −3t
 z = 2+t


www.thuvienhoclieu.com

Trang 13


www.thuvienhoclieu.com

x = t

y = 0
z = 0
A. 
B.

x = 0

y = t
z = 0


x = 0

y = 0
z = t
C. 

x = 0

y = t

z = t
D. 

Câu 5. Viết phương trình đường thẳngd đi qua điểm A(4; –2; 2), song song với Δ:
x + 2 y −5 z −2
=
=
4
2
3 .
x+4 y−2 z+2
x +4 y+2 z−2
=
=
=
=
2
3
2
3
A. (d): 4
B. (d): 4
x−4 y+2 z+2
x−4 y+2 z−2
=
=
=
=
2
3

2
3
C. (d): 4
D. (d): 4
Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x+y+z-2=0. Phương trình nào
dưới đây là phương trình của đường thẳng đi qua điểm A(1;2;3) và vng góc với mặt phẳng (P)?
x = 1+ t

y = 2 + t ( t ∈¡ ) .
z = 3 + t
A. 

x = 1 + t
 x = −1 − t
 x = −1 + t



 y = 1 + 2t ( t ∈ ¡ ) .
 y = −2 − t ( t ∈ ¡ ) .  y = −2 + t ( t ∈ ¡ )
 z = 1 + 3t
 z = −3 − t
 z = −3 + t
B. 
C. 
D. 
.

Câu 7. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(5;5;0), B(4;3;1) là:
x +1 y + 2 z −1

x+5 y+5 z
=
=
=
=
4
3
1
2
−1
A.
B. 1

x + 4 y + 3 z +1 x − 4 y − 3 z −1
=
=
=
=
−2
1 D. 1
2
−1
C. −1

Câu 8. Cho tứ diện A(3; –2; –2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1), D(–1; 1; 2). Pt đường cao vẽ từ A của tứ
diện ABCD là:

x −3 y + 2 z + 2
x +3 y−2
=

=
=
=
2
3 B. 1
2
A. 1
x +1
x −1 y − 2 z − 3
=
=
=
3
−
2
−
2
3
C.
D.

z−2
3
y +2 z +3
=
−2
−2

A ( 1; −1;1) , B ( −1;2;3)

∆:

x +1 y − 2 z − 3
=
=
−2
1
3 . Đường

Câu 9. Cho hai điểm
và đường thẳng
thẳng d đi qua A, vuông góc với hai đường thẳng AB và ∆ có phương trình là:

x −1 y +1 z −1
=
=
2
4
A. 7

x−7 y−2 z −4
=
=
−1
1
B. 1

x +1 y −1 z +1
=
=

2
4
C. 7

x+7 y+2 z+4
=
=
−1
1
D. 1

Câu 10. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(1;4;-2) và song song với hai mặt phẳng
(P): 3x-5y-2z – 1=0, (Q): 6x+2y+2z – 5=0.
 x = −1 + t
x = 1 + t
x = 1 + t
x = 1 + t




y
=
−
4
+
3
t

 y = 4 + 3t

 y = 4 + 3t
 y = 4 + 3t
 z = 2 − 6t
 z = −2 − 6t
 z = 2 − 6t
 z = −2 + 6t
A. 
B. 
C. 
D. 
www.thuvienhoclieu.com

Trang 14


www.thuvienhoclieu.com
Câu 11. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(0;1;-1) song song với (P): x – y – z – 1=0 và

x + 1 y −1 z − 2
=
=
2
1
3 .
vng góc với d:
x −1 y −1 z + 2
x −1 y −1 z + 2
=
=
=

=
−5
3
−5
3 B. −2
A. −2

x −1 y −1 z + 2
x −1 y −1 z + 2
=
=
=
=
−5
3
−5
3
C. −2
D. −2

Câu 12. Viết phương trình đường thẳng(d) đi qua điểm A(1; 2; –2), đồng thời vng góc và cắt
đường thẳng
x y −1 z
=
=
1
2
Δ: 1
x +1 y + 2 z − 2
x +1 y + 2 z − 2

=
=
=
=
1
−1
−1
−1
A. 1
B. 1
x −1 y − 2 z + 2
x −1 y − 2 z + 2
=
=
=
=
1
1
−1
−1
−1
D. 1
C.
Câu 13. Phương trình đường thẳng qua A(2; –5; 6), cắt Ox và song song với mp (P): x + 5y– 6z =
0 là :

x = 2 + t

x − 2 y + 5 z − 6  y = −5
=

=
−
61
5
− 6 B. 
z = 6
A.

x = 2

 y = − 5 + 18t
 z = 6 + 15t
C. 

D.

x−2 y−5 z−6
=
=
1
5
−6

4.HÌNH CHIẾU – ĐỐI XỨNG – GÓC – KHOẢNG CÁCH:
Câu 1. Cho mặt phẳng ( P) : x + y + 5 z − 14 = 0 và điểm M (1;- 4;- 2) . Tìm toạ độ hình chiếu H của
điểm M lên mặt phẳng ( P) ?
A. H (2;3;3)
B. H (2;3; −3)
C. H (2; −3;3)
D. H (−2; −3;3)

Câu 2. Cho điểm A(2;3; −1) . Hãy tìm toạ độ điểm A ' đối xứng với A qua mặt phẳng
( P) : 2 x − y − z − 5 = 0 ?

C. A '(−4;2; −2)
D. A '(−4;2;2)
 x = 6 − 4t

 y = −2 − t
 z = −1 + 2t
Câu 3. Cho điểm A(1; 1; 1) và đường thẳng (d): 
. Tìm tọa đợ hình chiếu vng góc của
A lên đường thẳng (d).
A. (2; –3; –1)
B. (2; 3; 1)
C. (2; –3; 1)
D. (–2; 3; 1)
x − 2 y −1 z
( ∆) :
=
=
1
2
1 . Gọi M’ (a,b,c) là điểm đối xứng của M qua
Câu 4. Cho điểm M (1;0;0) và
A. A '(4;2;2)

B. A '(4; 2; −2)

( ∆) .

www.thuvienhoclieu.com

Trang 15


www.thuvienhoclieu.com
Giá trị a – b + c là :
A.1
B.-1

D.-2
Câu 5. Khoảng cách từ điểm M ( −2; −4;3) đến mặt phẳng (α ) : 2 x − y + 2 z − 3 = 0 bằng bao nhiêu?
A. 11
B. 1
C. 2
D. 3
Câu 6. Khoảng cách giưã 2 mặt phẳng (P) x+2y+2z+11=0 và (Q) x+2y+2z+2=0 là
A. 3.
B. 5.
C. 7.
D. 9.
x −1 y − 2 z + 3
=
=
2
1 . Tính khoảng cách từ A đến (Δ).
Câu 7. Cho A(–2; 2; 3) và đường thẳng (Δ): 2
A. 3 5

C.3

B. 5 3

C. 2 5

D. 5 2

Câu 8. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song
bằng:

d1 :

x y −3 z −2
x − 3 y +1 z − 2
=
=
d2 :
=
=
1
2
1 và
1
2
1

5 6
A. 6

5 3

5 30
5 5
B. 6
C. 6
D. 6
Câu 9. Nếu điểm M (0;0; t ) cách đều điểm M 1 (2;3;4) và mặt phẳng ( P ) : 2 x + 3 y + z − 17 = 0 thì t có

giá trị bằng bao nhiêu?
A. t = 3

B. t = −3

C. t = 3
D. t = − 3
Câu 10. Phương trình các mặt phẳng song song với mặt phẳng ( P ) : x + 2 y − 2 z + 5 = 0 và cách điểm
B (2; −1;4) một khoảng bằng 4 là:
A. x + 2 y − 2 z + 4 = 0 và x + 2 y + 2 z + 20 = 0

B. x + 2 y − 2 z + 20 = 0 và x + 2 y − 2 z − 4 = 0
C. x − 2 y + 2 z + 20 = 0 và x − 2 y + 2 z + 4 = 0
D. x − 2 y + 2 z + 20 = 0 và x − 2 y + 2 z − 4 = 0
Câu 11. Xác định góc (φ) của hai mặt phẳng (P): x +2y +2z –3=0 và(Q): 16x +12y –15z +10=0.
A.φ= 30º
B.φ= 45º C. cosφ = 2/15
D.φ= 60º

d1 :

Câu 12. Cho hai đường thẳng

x − 2 y +1 z + 3
x −1 y −1 z + 1
=
=
d2 :
=
=
1
2
2 và
1
2
2 . Khoảng

cách giữa d1 và d 2 bằng :
A. 4 2

4 2
B. 3

4
C. 3

4 3
D. 2

 x = 1 + 2t


d1 :  y = −2 − 2t

x − 3 y −1 z − 2
z = 3
d2 :
=
=


2
−1
2 ?
Câu 13. Tính góc giữa 2 đường thẳng
và

π
A. 6

π
B. 3

π
C. 4

www.thuvienhoclieu.com

π
D. 2

Trang 16

www.thuvienhoclieu.com
Câu 14. Để 2 mặt phẳng (α ) : mx − y + mz + 3 = 0 và ( β ) : (2m + 1) x + (m − 1) y + (m − 1) z − 6 = 0 hợp với
π
nhau mợt góc 6 thì m phải bằng bao nhiêu?
1
3
1
3
m=
m=
m=m=2
2
2
2
A.
B.
C.
D.
Câu 15. Cho mặt phẳng: (P): 2x -y +2z -3=0 và điểm A(1;4;3). Lập phương trình của mặt phẳng (π)
song song với mp(P) và cách điểm A đã cho một đoạn bằng 5.
A. (π): 2x -y +2z -3 =0 B. (π): 2x -y +2z +11=0
C. (π): 2x -y +2z -19=0 D. B, C đều đúng.
S : x2 + y2 + z2 − 2x + 6y − 8z − 10 = 0;
Câu 16. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( )

và mặt phẳng (
tiếp xúc với
A.

Viết phương trình các mặt phẳng

( Q)

song song với

( P)

và

( S) .

( Q ) : x + 2y − 2z + 25 = 0 và ( Q ) : x + 2y − 2z + 1= 0.
1

B. (
C.

P ) : x + 2y − 2z + 2017 = 0.

2

Q1 ) : x + 2y − 2z + 31= 0

và

( Q ) : x + 2y − 2z − 5 = 0.
2

( Q ) : x + 2y − 2z + 5 = 0 và ( Q ) : x + 2y − 2z − 31= 0.
1

2

D. ( 1 )
và ( 2 )
Câu 17. Cho mặt phẳng (P): 4x-3y-7z+3=0 và điểm I(1;-1;2). Phương trình mặt phẳng (Q) đối xứng
với (P) qua I là:
A. 4x – 3y – 7z – 3 = 0
B. 4x – 3y – 7z + 11 = 0
C. 4x – 3y – 7z – 11 = 0 D. 4x – 3y –
7z+5=0
x −1 y z + 1
d:
=
=
A ( −1;1;0 )
1
−2
1 .Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao
Câu 18. Cho điểm
và đường thẳng
Q : x + 2y − 2z − 25 = 0

Q : x + 2y − 2z − 1= 0.

cho độ dài đoạn AM = 6
M ( −1;0;1) M ( 0; 2; −2 )
M ( 1;0; −1) M ( 0; −2; 2 )
A.
,

B.
,
M ( 1; 0; −1) M ( 0; 2; −2 )
M ( −1;0;1) M ( 0; −2; 2 )
C.
,
D.
,
Câu 19. Cho P(1;1;1), Q(0;1;2), (α ) : x − y + z + 1 = 0 . Tọa đợ điểm M có tung đợ là 1, nằm trong
( α ) thỏa mãn MP = MQ có hồnh đợ là:
1
A. 2

−1
B. 2

C. 1

D. 0

5.VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI :

www.thuvienhoclieu.com

Trang 17


www.thuvienhoclieu.com
Câu 1. Cho điểm I(2;6;-3) và 3 mặt phẳng (P): x –2 =0 ; (Q):y – 6 = 0 ; (R): z + 3 = 0.Trong các
mệnh đề sau tìm mệnh đề sai :

A. (P) đi qua I
B. (Q) // (xOz)
C.(R) // Oz
D. (P) ⊥ (Q)
Câu 2. Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng (α ) : x − 2 y + 3 z − 7 = 0 và ( β ) : −2 x + 4 y − 6 z + 3 = 0
.Trong các khẳng định sau đây khẳng định nào là đúng ?
A. (α ),(β ) trùng nhau. B. (α ) / /( β ). C . (α ) cắt (b) .

D. (α ) cắt và vng góc ( β ) .

Câu 3. Tìm giá trị của m, n để 2 mặt phẳng (α ) : (m + 3) x + 3 y + (m − 1) z + 6 = 0 và
( β ) : ( n + 1) x + 2 y + (2n − 1) z − 2 = 0 song song với nhau?
5
2
m = ,n =
2
3
A.

5
2
m = ,n = −
2
3
B.

( P ) : 3 x + 3 y − z + 1 = 0;
Câu 4. Cho hai mặt phẳng
m để hai mặt phẳng (P), (Q) vng góc với nhau.
−1

1
m=
m=
2 .
2.
A.
B. m = 2 .
C.

5
2
m = − ,n =
2
3
C.

5
2
m = − ,n = −
2
3
D.

( Q ) : ( m − 1) x + y − ( m + 2 ) z − 3 = 0 .Xác định
D.

m=

−3
2 .

x = 1+ t

d : y = 2 −t
 z = 1 + 2t
( α ) : x + 3 y + z + 1 = 0 . Trong các khẳng

Câu 5. Cho đường thẳng
và mặt phẳng
định sau, tìm khẳng định đúng
A.

d / /(α )

( α ) C. d ⊂ ( α )
B. d cắt

D.

d ⊥ (α )

x −1 y + 2 z
=
=
2m − 1 2 vng góc với (P): x + 3y –2z–5 = 0 là:
Câu 6. Giá trị của m để (d) : m
C.m = –1

D.m = –3
x+1 y-2 z+3

=
=
m
-2 song song với mp(P): x – 3y +6z
Câu 7. Định giá trị của m để đường thẳng d: 3
=0
A. m=-4
B.m =-3
C. m=-2
D.m =-1
x y +1 z - 4
=
=
- 3
1 trong các mặt phẳng sau
Câu 8. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : 5
A.m = 1 B.m = 3

đây, mặt phẳng nào song song với đường thẳng (d) ?
5x - 3y + z - 2 = 0 .B. x + y + 2z + 9 = 0.C. 5x - 3y + z + 2 = 0 D. 5x - 3y + z - 9 = 0
A.
Câu 9. Tọa độ giao điểm M của đường thẳng

( P ) : 2x + y − 2z −1 = 0
15 
1
M  ;3; − ÷
2
A.  2

d:

x−2
y
z +3
=
=
1
−2
3 và mặt phẳng

là:

 7 3
M  − ;3; ÷
B.  2 2 

3
7
M  ; −3; ÷
2
C.  2

3
7
M  ;3; − ÷
2
D.  2

www.thuvienhoclieu.com

Trang 18


www.thuvienhoclieu.com

x = 1+ t
 x = 1 + 2t '


d :  y = 2 + t d :  y = −1 + 2t '
z = 3 − t
 z = 2 − 2t '

Câu 10. vị trí tương đối giữa hai dường thẳng
và 
A. d cắt d '
B. d ≡ d '
C. d chéo với d '
D. d / / d '
Câu 11. Tìm m để 2 đường thẳng
A. m=1
B. m=2

d1 :

x y
z
x +1 y + 5 z
=

=
d2 :
=
=
2 −3 m và
3
2
1 cắt nhau?
D. m=4
C. m=3

2
2
2
Câu 12. Cho mặt cầu (S): x + y + z − 2 x − 4 y − 6 z = 0 . Tìm k để mặt phẳng x+y – z+k=0 tiếp xúc
với mặt cầu (S).

A. k = 42

B. k > 42

C. k < 42

x = 1+ t

 y = 2 − 2t
z = 0


D. k = 42 ∨ k = −42.

) (
) (
)
Câu 13. Đường thẳng d:
cắt mặt cầu (S): (
tại mấy điểm ?
A. Vô số điểm
B. Một điểm
C. Hai điểm
D. Không có điểm nào.
Câu 14. Tìm tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến của mặt cầu (S):
2

x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 2 y − 6 z − 11 = 0 với mặt phẳng 2x – 2y – z – 4=0.
H ( 3;0;2 ) , R = 4
H ( 3;1;2 ) , R = 4
H ( 3;0;2 ) , R = 2

A.

B.

2

2

x − 1 + y − 2 + z − 3 = 14

C.

D. H ( 3;0;2 ) , R = 44

) (
) (
)
Câu 15. Cho mặt cầu (S): (
và mặt phẳng (P): 3x+y – z+m=0. Tìm m
để mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến là mợt đường trịn có bán kính lớn nhất.
A. m = −20
B. m = 20
C. m = 36
D. m = 6
2

x −4 + y −7

2

2

+ z + 1 = 36

Câu 16. Hãy lập phương trình mặt cầu tâm I ( −5;1;1) và tiếp xúc với đường thẳng
d:

x − 2 y −1 z + 3
=
=
2

−1
1 ?

2
2
2
A. x + y + z + 2x + 4y + 12z + 36 = 0
2
2
2
C. x + y + z + 2x + 4y - 12z - 36 = 0

2
2
2
B. x + y + z + 2 x − 4 y + 12 z − 36 = 0

2
2
2
D. x + y + z − 2 x − 4 y + 12 z + 36 = 0
Câu 17. Hãy xét vị trí tương đối giữa mặt phẳng ( P) : 2 x − 3 y + 6 z − 9 = 0 và mặt cầu

( S ) : ( x − 1) 2 + ( y − 3) 2 + ( z + 2) 2 = 16 ?

A. Không cắt nhau
C. Tiếp xúc nhau

B. Cắt nhau
D. ( P ) đi qua tâm của mặt cầu ( S )

2
2
2
Câu 18. Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S): x + y + z + 2 x − 4 y − 6 z + 5 = 0 tại
điểm M(1;1;1) là.

A. 2 x − y − 2 z + 1 = 0

B. 2 x − y − 2 z + 2 = 0 C. 2 x − y − 2 z − 1 = 0

D. −2 x + y + 2 z + 1 = 0

2
2
2
Câu 19. Lập phương trình mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu ( S ) : x + y + z − 6 x + 4 y − 2 z − 11 = 0 ,
biết mặt phẳng đó song song với mặt phẳng (α ) : 4 x + 3z − 17 = 0 ?

www.thuvienhoclieu.com

Trang 19


www.thuvienhoclieu.com
A. 4 x + 3 z + 10 = 0 và 4 x + 3z − 40 = 0 B. 4 x + 3 z + 10 = 0 và 4 x + 3z − 40 = 0
C. 4 x + 3 z + 10 = 0 và 4 x + 3z + 40 = 0 D. 4 x + 3z − 10 = 0 và 4 x + 3z − 40 = 0
2
2
2

S ) : ( x − 1) + ( y − 3) + ( z + 2 ) = 4
(
Câu 20. Cho
và (P): 2x-y+2z-1=0. Tiếp điểm của (P) và (S) là:
 7 7 2
 − ; ;− ÷
A.  3 3 3 

7 7 2
 ; ; ÷
B.  3 3 3 

7 2 2
 ;− ;− ÷
C.  3 3 3 

7 7 2
 ; ;− ÷
D.  3 3 3 

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Vị trí tương đối
Câu 1. Trong khơng gian Oxyz, cho (P) có phương trình x − 3 y + 2z = 0 và (Q) có phương trình
2 x − 2 y − 4z+1 = 0 . Chọn khẳng định đúng.

A.(P) và (Q) cắt nhau nhưng khơng vng góc.
B. (P) song song với (Q).
C. (P) và (Q) vng góc nhau.
D. (P) trùng với (Q).

www.thuvienhoclieu.com

Trang 20


www.thuvienhoclieu.com
Bg:
…………………………………………………………………………………………………………
……
…………………………………………………………………………………………………………
……
Câu 2. Cho mp (P): 2x + y +mz –2 = 0 và (Q): x +ny + 2z + 8 = 0. (P) // (Q) khi:
1
A.m = 2 và n = 2

1
B.m = 4 và n = 4

1
C.m = 4 và n = 2

1
D.m = 2 và n = 4

Bg:
…………………………………………………………………………………………………………
……
…………………………………………………………………………………………………………
……
Câu 3. Tìm giá trị của m để 2 mặt phẳng (α ) : (2m − 1) x − 3my + 2 z + 3 = 0 và

(b) : mx + (m - 1)y + 4z - 5 = 0 vuông góc với nhau?
m = 4

A.  m = -2

m = 4

B.  m = 2

 m = -4

C.  m = -2

 m = -4

D.  m = 2

Bg:
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
……

d:

x −1 y −1 z − 2
=
=
1
2
−3 và mặt phẳng ( α ) : x + y + z − 4 = 0 . Trong các

Câu 4. Cho đường thẳng
khẳng định sau, tìm khẳng định đúng

d / /(α )

A.
Bg:

B. d cắt

(α)

C.

d ⊂ (α )

D.

d ⊥ (α )

…………………………………………………………………………………………………………
…
…………………………………………………………………………………………………………
…
x − 10 y − 2 z + 2
=
=
1
1 và mặt

Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (Δ): 5
phẳng

www.thuvienhoclieu.com

Trang 21


www.thuvienhoclieu.com
(P): 10x + 2y + mz + 11 = 0, m là tham số thực. Tìm giá trị của m để (P) vng góc với (Δ).
A. m = –2
B. m = 2
C. m = –52
D. m = 52
Bg:
…………………………………………………………………………………………………………
…
…………………………………………………………………………………………………………
……
x +1
y - 2 z +3
=
=
m
-2 song song với mặt phẳng (P): x Câu 6. Giá trị của m để đường thẳng d: 3
3y + 6z = 0 là:
A. m = - 4
B. m = - 3
C. m = - 2
D. m = - 1

Bg:

…………………………………………………………………………………………………………
……
…………………………………………………………………………………………………………
……
d1 :

x −1 y + 3 z − 2
x − 2 y −1 z + 4
=
=
, d2 :
=
=
2
2
3
3
2
4 ta

Câu 7. Xét vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng
được kết quả nào?
A. Cắt nhau
B. Song song
C. Chéo nhau
Bg:

D. Trùng nhau

…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…
x = 1 + mt
x = 1 − t '


d : y = t
d :  y = 2 + 2t '
z = −1 + 2t
z = 3 − t '


Câu 8. Tìm m để hai đường thẳng sau đây cắt nhau
và

m = 0 B. m = 1

A.
Bg:

C. m = −1

D. m = 2

…………………………………………………………………………………………………………
……
…………………………………………………………………………………………………………
……...

www.thuvienhoclieu.com

Trang 22


www.thuvienhoclieu.com
x = 1 + t

 y = 2 − 2t
2
2
2
z = 0
Câu 9. Giao điểm của đường thẳng d: 
và mặt cầu (S): ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3) = 14 là :

A. A ( 2;0;0 ) , B ( 0;4;0 ) B. A ( −2;0;0 ) , B ( 0; −4;0 ) C. A ( 0;2;0 ) , B ( 4;0;0 ) D. A ( 0;2;0 ) , B ( 4;0;0 )
Bg:
…………………………………………………………………………………………………………
……
…………………………………………………………………………………………………………
……
Câu 10. Tìm tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến của mặt cầu (S):

( x − 3)

2

+ ( y + 2 ) + ( z − 1) = 100
2

A. I ( −1;2;3) , R=8
Bg:

2

với mặt phẳng 2x – 2y – z + 9 = 0.

B. I ( 1; −2; −3) , R=8

C. I ( −1;2;3) , R=64

D. I ( −1; 2;3) , R=2 2

………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…
x − 1)
Câu 11. Cho mặt cầu (S): (

2

+ ( y − 2 ) + ( z − 3) = 6
2

2

và mặt phẳng (P): x+y+z+m=0. Tìm m để
(P) cắt (S) theo giao tuyến là mợt đường trịn có bán kính lớn nhất.
A. m = − 6

Bg:

B. m = 6

C. m = 6

D. m = −6

…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
……
x = t

d : y =1− t
z = 2 − t


Câu 12. Bán kính của mặt cầu tâm I (1;3;5) và tiếp xúc với đường thẳng
bằng bao
nhiêu?
C. R = 14
A. R = 7
D. R = 14
B. R = 7
Bg:
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
……

www.thuvienhoclieu.com

Trang 23


www.thuvienhoclieu.com
2
2
2
Câu 14. Cho mặt cầu ( S ) : ( x − 2) + ( y − 1) + ( z + 1) = 36 và điểm M (- 2;- 1;3) . Hãy lập phương

trình mặt phẳng tiếp diện của ( S ) tại điểm M ?
A. 2x+y+2z+11=0
Bg:

B. 2x-y+2z+11=0

C. 2x-y-2z+11=0

D. 2x+y-2z+11=0

…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
………
Câu 15. Tiếp điểm của mặt cầu ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3) = 2 và mặt phẳng (P): 4x+y-z-1=0 là:
2

A. ( 1; −2;1)
Bg:

1 7 8

 ; ; ÷
B.  3 3 3 

2

2

1

 ;0;0 ÷

D.  4

C. ( 0;1;0 )

…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…

Phương trình đường thẳng
x −1 y + 2 z − 3
=
=
2
3 . Vecto nào
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: 1

dưới đây là một vecto chỉ phương của đường thẳng d?
A.

ur
u1 = ( 1; −2;3) .

B.

uu
r
u2 = ( −1; 2; −3)

.
 x = 1+ t

 y = 2 − 2t
z = 3+ t


C.

uu
r
u3 = ( 1;2;3)

. D.

uu
r
u4 = ( 1;3;2 )

.

Câu 2. Cho đường thẳng (∆) :
(t∈R). Điểm M nào sau đây thuộc đường thẳng (∆).
A. M(1; –2; 3)
B. M(2; 0; 4)
C. M(1; 2; – 3)
D. M(2; 1; 3)
Câu 3. Lập phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm A(2;3;-5) và có vecto chỉ phương

r
u = (−4;8;10)

x-2 y-3 z+5 x-2 y-3 z+5 x-2 y-3 z+5
x-2 y-3 z+5
=
=
=
=
=
=
=
=
4
5 C. 1
-1
2 B. -2
3
-2 D. 2
4
5
A. 3

Câu 4. Lập phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M(1;-2;3) và song song với đường
thẳng
 x = −1 + 2t

:y = 2+t
 z = −3 − t
Δ 
www.thuvienhoclieu.com

Trang 24


www.thuvienhoclieu.com

A.

 x = 1 + 2t

d :  y = −2 − t
z = 3 − t


B.

 x = 1 + 2t

d :  y = −2 + t
z = 3 + t


Câu 5. Cho d là: đường thẳng qua
Phương trình tham số của d là:

 x = 1 + 3t

 y = −2 + 4t
 z = 3 − 7t
A. 

C.

 x = 1 + 2t

d :  y = −2 + t
z = 3 − t


M ( 1; −2;3)

 x = 1 + 4t

 y = −2 + 3t
 z = 3 − 7t
B. 

D.

 x = 1 + 2t

d :  y = −2 − t

 z = −3 + t


và vng góc với

mp ( Q ) : 4 x + 3 y − 7 z + 1 = 0

.

 x = 1 + 4t  x = 1 − 4t


 y = 2 + 3t  y = −2 + 3t
 z = 3 − 7t  z = 3 − 7 t
C. 
D. 

Câu 6. Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A(1;-1;0), B(0;1;2).
x = 1− t

 y = −1 + 2t
 z = 2t


A.
Bg:

B.

x = 1− t


 y = 1 + 2t
 z = 2t


C.

x = 1− t

 y = −1 − 2t
 z = 2t


D.

x = 1− t

 y = −1 + 2t
 z = −2t


…………………………………………………………………………………………………………
…………................................................................................................................................................
...........
Câu 7. Viết phương trình đường thẳng(d) đi qua điểm A(1; 0; 5), đồng thời vng góc với hai
đường thẳng (d1):
x −1 y − 3 z −1
x −1 y − 2 z − 3
=
=

=
=
2
−2
1 và (d2): −1
1
−3

A.(d):
Bg:

 x = 1 + 5t

 y = 5t
 z = 5 + 4t


B.(d):

x = 1 + t

y = t
z = 5


C.(d):

 x = −1 + t

y = t

 z = −5


D.(d):

x = 1 − t

y = t
z = 5


…………………………………………………………………………………………………………
……
…………………………………………………………………………………………………………
…
…………………………………………………………………………………………………………
……
Câu 8. Viết phương trình đường thẳng qua A(0;-3;2) và song song với 2 mặt phẳng (P): x-2y+3z1=0, (Q): x+y-z+1=0.
www.thuvienhoclieu.com

Trang 25