TOÁN CAO CẤP HÀM SỐ NHIỀU BIẾN

Page:

Love NeverDies

Lời giải:

Hoàng Bá Mạnh

Toán cho các nhà kinh tế
Giải bài tập giáo trình

CHƯƠNG 8
HÀM SỐ
NHIỀU
BIẾN

NEU – Winter 2019


1
Bài 1

f  0,1  13  3.03  2.1.02  1

f 1, 2   13  3  2   2.1.  2   19
3

f  a;2a   a3  3.  2a   2.a.  2 a   33a3
3

2

2

(tương tự cho các giá trị còn lại)

Bài 2
f  0;0;0  

0  2.0  3.0
0
02  02  02  1

f  a;2a;3a  

a  2  2a   3  3a 

14a
2
a   2a    3a   1 1  14a
2

2

2



Bài 3

 MXĐ:

a) Điều kiện: xy  0

 x; y  : x, y 

; xy  0

Biểu diễn trên hệ Oxy, miền này là góc phần tư thứ I và thứ II, không kể 2 trục tọa độ
b) Điều kiện: x  y  0  x  y  MXĐ:  x, y  : x, y  ; x  y
Biểu diễn trên hệ Oxy, miền này là phần hình phẳng nằm phía dưới đường thẳng y = x
x 2  y2
c) Điều kiện: 1 
 1  x 2  y2  4  MXĐ:  x, y   2 : x 2  y 2  4
4
Biểu diễn trên hệ Oxy, miền này tạo thành hình tròn tâm O, bán kính bằng 2 tính cả biên
2

1  x  1
1  x  0
d) Điều kiện: 

 MXĐ:  x, y   2 : 1  x  1; 2  y  2
2

2

y

2


4  y  0 
Biểu diễn trên hệ Oxy, miền này là hình chữ nhật tâm O, chiều dài 4 song song Oy, chiều rộng 2 song
song Ox, tính cả biên
Bài 4
a) x  y  z  0 :

Trên hệ Oxyz, toàn bộ phần không gian ngoài trừ mặt phẳng x + y + z = 0

b) x 2  y 2  z 2  1 :
Bài 5

Trên hệ Oxyz, là toàn bộ phía trong của khối cầu tâm O, bán kính bằng 1

u  A  u  0,1 

1 0 1

20 2

=> đường mức cần tìm là

x 2  y2 1

2x  6y 2

Bài 6

u  A  3

 đường mức cần tìm là x  y  z  3

Bài 7
w  u2  v 2   sin x  sin y  sin z    cos x  cos y  cos z 
2

2

 sin 2 x  sin 2 y  sin 2 z  2sin x sin y  2sin x sin z  2sin y sin z 
 cos2 x  cos2 y  cos2 z  2 cos x cos y  2 cos x cos z  2 cos y cos z
Bước tiếp theo sử dụng 3 công thức:
sin 2 a  cos2 a  1 ;

cos a  cos b  2 cos

ab
ab
cos
2
2

và cos a  cos b  2sin

ab
ab
sin
2
2

w  u2  v 2  3  cos  x  y   cos  x  y    cos  x  z   cos  x  z    cos  y  z   cos  y  z  
 cos  x  y   cos  x  y    cos  x  z   cos  x  z    cos  y  z   cos  y  z  

 3  2 cos  x  y   2 cos  y  z   2 cos  x  z 
Trang: Love NeverDies

Nhóm: Toán cao cấp – Tài liệu NEU

Hoàng Bá Mạnh


2
Bài 8
Đặt u  x  y; v  x  y , rút ngược lại ta có x 

uv
uv
. Thay vào f ta được:
;y 
2
2

2

2

1
1
 uv  uv uv
 uv 
f  x  y, x  y   f  u; v   



 2
 u2  v 2  uv


2
2
2
2
 2 
 2 

1
1
Vậy, f  x; y   x 2  y2  xy
2
2

Bài 9
a) Q  200  5 3 K L  200 (không được rút gọn, vì nếu rút gọn thì vế trái không còn là Q nữa)

TC  wK K  wL L  C0  15K  8L  50

b) TR  pQ  4.5 3 K L  20 3 K L

  TR  TC  20 3 K L  15K  8L  50
Bài 10
Q  D  p   350  3 p  p 

350 1

 Q
3 3

350
1
 3503 1 
TR  pQ  
 QQ 
Q  Q2
3 
3
3
 3

TR  K, L  



 

350
1
40 3 K L  40 3 K L
3
3

Thay Q  40 3 K L vào ta được:



2



14000 3
1600 3 2
K L
K L
3
3

Bài 11
a) TC  Q1  4; Q2  2   3.42  2.4.2  4.22  48
b) Q1  D  p1   320  5 p1  p1  64  0,2Q1

Q2  D  p2   150  2 p2  p2  75  0,5Q2

TR  p1Q1  p2Q2   64  0,2Q1  Q1   75  0,5Q2  Q2  64Q1  75Q2  0,2Q12  0,5Q22

  Q1 ; Q2   TR  TC  64Q1  75Q2  3,2Q12  2Q1Q2  4,5Q22
Bài 12
a) U  4;3  4.3  4.3  24

 đường bàng quan U  24  xy  4 y  24
b) Nếu chi phí mua hai túi như nhau thì túi hàng mang lại lợi ích cao hơn sẽ được ưa chuộng hơn
U  4;3  24 > U  5;2   5.2  4.2  18   x  4, y  3 được ưa chuộng hơn
c) Chị ta sẽ đổi nếu chị thấy rằng lợi ích của mình không bị giảm xuống (bằng hoặc hơn cũ)
U  x  8; y  3  8.3  4.3  36
Lợi ích với giỏ hàng đã chọn:
Lợi ích khi đổi m hàng hóa A lấy 1 hàng hóa B là:

U  8  m;4   8  m  .4  4.4  48  4m

48  4m  36  m  3
Vậy,...
Bài 20
fx  0;0   lim
x 0

f  x,0   f  0,0 
x 0

 lim
x 0

x 0
 lim1  1
x 0
x

fy  0,0   lim
y 0

f  0, y   f  0,0 
y 0

3y  0
3
y 0
y

 lim

Bài 21
a) ux  3x 2 y  y3
Trang: Love NeverDies

uy  x 3  3y 2 x
Nhóm: Toán cao cấp – Tài liệu NEU

Hoàng Bá Mạnh


3
b) ux  3 5x 2 y  y2  7  5x 2 y  y2  7


u  3  5x y  y
2

x

2

y

c) ux 

 
 7   5x y  y

2

2

y


 7

2

2

 30 xy  5x 2 y  y 2  7 





 3 5x 2  2 y 5x 2 y  y 2  7

1 
1  1 y
 x  x  y     2
y
xx y x

uy  

x

x
x

 x  
1
1 
d) ux     e y    x x e y   e y
y
y
 yx

 y 
e) ux    .
xx

1
y
1  
x




u 
x

y
.
x2

x y

2

2

y
x  y2

uy 

2

x

2

x

x 2  y2

x

x 2  y2  x

2

x 1

y2 x

1
.
x

1
y
1  
x

2



x
x  y2
2

x 2  y 2  x  0 , do đó:

2

2

x 2  y2  x

y

x

1

x 2  y2  x



x 2  y2

1

x 2  y2  x

2



x 2  y2

y

x 2  y2

uy 

 y
1  
x



2

  x  y  x


 x
x  y  x




x 2  y2  x  ln
2

1



x
x
 x  
x 
uy     e y  2 e y
y
 yy

x 2  y2  x  x 2  x  x  x  0 , tương tự

f) Ta thấy rằng

u  ln



2

2

x 2  y2  x

x 2  y2



x 2  y2  x





1
1
2x



x 2  y 2  x 2  y 2  x
x 2  y 2  x  y x 2  y 2
y

Bài 22
a) ux  y  z

uy  x  z

uz  x  y

b) ux  3x 2  3y  1

uy  z 2  3x

uz  2 yz  1

x

c) ux 
d) u  ex

uy 

x 2  y2  z 2
3

3

uz 

x 2  y2  z 2





ux  3x 2  y 2  z 2 e x

 xy2  xz2

uz  2 xze x

y
3

z
x 2  y2  z2

uy  2 xye x

 xy2  xz2

3

 xy 2  xz 2

 xy2  xz2

Bài 23
zx  ux zu  vx zv  2 y cos x.u  3cos y.v 2  2 y cos x.  y sin x   3cos y  x cos y   2 y 2 cos x sin 2 x  3x 2 cos3 y
2

2

zy  uy zu  vy zv   sin x  .2u    x sin y  3v 2  2 y sin 2 x  3x 3 sin y cos2 y
Bài 24
z
 y. x 2  y2  . f  x 2  y2  2 xy. f  x 2  y 2
x
x















1 z
 2 y. f  x 2  y2
x x



z
 f x 2  y2  y x 2  y2  f  x 2  y2  f x 2  y2  2 y2 f  x 2  y 2

y
y



 













Vậy,







1 z 1
 f x 2  y2  2 y. f  x 2  y 2
y y y









1 z 1 z 1
z

 f x 2  y2  2 (dpcm)
x x y y y
y



Trang: Love NeverDies



Nhóm: Toán cao cấp – Tài liệu NEU

Hoàng Bá Mạnh


4
Bài 25
Tính: fy  x  y , xy 

2

f  x, y   xy  f y 

2









2 xy



x
2 xy

x 2  y2

 f y x 2  y 2 , xy 


Tính:  f x 2  y2 , xy 

y

 xy y

2

x

2

 y2



x 2  y2
xy

1

xy 2

Đặt u  x 2  y 2 và v  xy  f  u, v   uv

  f  u, v   y  uy . fu  vy fv  2 y.

v
u
 x.

2 uv
2 uv

xy 2

x

2



 y 2 xy

x 3  xy 2


2

x

2



 y 2 xy

x 3  3xy 2



x

2

2



 y 2 xy

Bài 26
u
 x 2  y2  f  x 2  y2  2 xf  x 2  y 2
x
x





y









u
 2 y. f  x 2  y2
y







u
u
x
 2 xy. f  x 2  y2  2 xy. f  x 2  y2  0 (dpcm)
x
y









Bài 27
u
 cos x   sin y  sin x x f   sin y  sin x   cos x  cos x. f  sin y  sin x 
x

u
  sin y  sin x y f   sin y  sin x   cos y. f   sin y  sin x 
y

u
u
cos x  cos y  cos x cos y. f   sin y  sin x   cos x cos y  cos x cos y. f  sin y  sin x   cos x cos y
y
x
Bài 28

df  x, y   fxdx  fydy  y 2 dx  2 xydy  df 1,1  dx  2dy
f 1,1  f 1  x;1  y   f 1,1  1  x 1  y   1
2

a) dx  x  0,1; dy  y  0,2 
dx  x  5; dy  y  2 

b)

f 1,1  1,1.1,22  1  0,584

df 1,1  0,1  2.0,2  0,5

f 1,1  6.32  1  53

df 1,1  5  2.2  9

Bài 29
a)

3x  4 y  x  2 x  y    3 x  4 y  2 x  y  x

11y

ux 

2
2
2x  y
2x  y

du  ux dx  uy dy 

b) ux 





11ydx

2x  y



2



2 x x 2  y2  2 x x 2  y2

x

2

 y2

Trang: Love NeverDies



2

uy 

11x

2x  y

2

11xdy

2x  y



2

4 xy 2

x

2

 y2



2

uy 

Nhóm: Toán cao cấp – Tài liệu NEU

4 yx 2

x

2

 y2



2

Hoàng Bá Mạnh


5
4 xy 2

du  

x

 y2

2



dx 

2

c) du  ux dx  uy dy 

x

2

 y2



dy

2

ydx
xdy


2 2
1  x y 1  x 2 y2

 x  y 

d) ux  

 1  xy  x
uy 

4x2 y

1

 xy 
1 

 1  xy 
1  x2

1  xy    x  y 
2



2

1  y2

1

1  xy 

2

 xy 
1 

 1  xy 

 du 

2

2



1  y2

1  xy    x  y 
2

1  y2

1  xy    x  y 
2

2

dx 

2

1  x2

1  xy    x  y 
2

2

dy

Bài 30

2 xy3
3x 2 y 2
4 x 2 y3
dx

dy

dz
z4
z4
z5
b) du  ux dx  uy dy  uz dz  yzx yz 1dx  z. x yz ln x.dy  y. x yz ln x.dz
Bài 31
a) du  ux dx  uy dy  uzdz 

ux 2  12 x 2  8 y 2

uy  4 y3  8 x 2 y

a) ux  4 x 3  8xy2

uxy  uyx  16 xy



uy2  12 y 2  8 x 2







d 2 u  ux2 dx 2  2uxy dxdy  uy2 dy2  12 x 2  8y 2 dx 2  32 xydxdy  12 y 2  8x 2 dy 2
b) ux 

1
x  y2

uy 

uxy  uyx  

2y
x  y2

ux2  

x  y 
2

 x  2y
7 x  2y
uxy  uyx 
3
 x  2y

d) ux  

2

uy2  

d u
2

14 y

 x  2y

3

y
.
x2

x

 y2



2 xy

x

2

uy 

dx 2 

 x  2y

14  x  2 y 

 x  2y

3

 y2



x  y 

2

2

dx 2 

dx 

x  y 
2

ux2  

2

dxdy 

28 x

 x  2y 

3

2y

x  y 
2

14 y

2



2

dy 2

uy2 

 x  2y

3

28 x

 x  2y

 y2



 dxdy 

2





2 xy

x

2

 y2



2

3

dy2

2 xy
1
x
ux 2 
 2
2
2
y
x y
x 2  y2
1 2
x
x 2  y2  2 y2
y2  x 2

uxy  uyx  

2
2
x 2  y2
x 2  y2



2

x  y 

dxdy 

2

1
uy  .
x

2 y2  x 2

x

4y
2



2

2

2

1

7 x

1
y
 2
2
y
x  y2
1 2
x
2 xy

2

2



2

7y

d 2u  

x  y 

uy2 

2

2 x  y2

2y

d 2 u  ux2 dx 2  2uxy dxdy  uy2 dy 2  
c) ux 

1





2



dy 2

Bài 32
Trang: Love NeverDies

Nhóm: Toán cao cấp – Tài liệu NEU

Hoàng Bá Mạnh


6
fx  0, y   fx  0,0 

fxy  0,0   lim

y 0

y 0

f  x, y   f  0, y 

y  0 : fx  0, y   lim

x 0

x 0

y  0 : fx  0,0   lim

 lim
x 0

f  x,0   f  0,0 

 lim

x 0

x 0



xy x 2  y 2

x 0

x y
x
2

2

 0
 lim



y x 2  y2
x 2  y2

x 0

y

3

y2

 y

00
 lim 0  0
x 0
x

y  0
 lim  1  1
y 0
y 0
y

Tương tự, các bạn tự xử fyx  0,0   1

 fxy  0,0   lim
Bài 33
ux 

uy 

 x  a    y  b    x  a  .2  x  a    y  b    x  a 
2
2
 x  a  2   y  b  2 
 x  a  2   y  b  2 





2

xa

 x  a   y  b
2

ux2 

2

2

 x  a   y  b
2

uy2

2

2

 x  a    y  b    y  b  .2  y  b    x  a    y  b 

2
2
 x  a  2   y  b  2 

 x  a  2   y  b  2 




2

yb

2

2

2

2

 ux2  uy2  0 (dpcm)
Bài 34

ux  3x 2 y2 z 4

uy  2 x 3 yz 4

uz  4 x 3 y2 z3

ux 2  6 xy 2 z 4

uz2  12 x 3 y 2 z 2

uxy  uyx  6 x 2 yz 4

uyz  uzy  8 x 3 yz 3

uxz  uzx  12 x 2 y2 z3

uy2  2 x 3 z 4

 6 xy 2 z 4 6 x 2 yz 4 12 x 2 y 2 z 3 


Ma trận Hess: H   6 x 2 yz 4
2 x3z4
8 x 3 yz 3 
12 x 2 y 2 z 3 8 x 3 yz 3 12 x 3 y 2 z 2 



d 2 u  6 xy 2 z 4 dx 2  2 x 3 z 4 dy 2  12 x 3 y 2 z 2 dz 2  12 x 2 yz 4 dxdy  24 x 2 y 2 z 3dxdz  16 x 3 yz 3dydz
Bài 35
1
1
1  x   x  z
1  x z
fx  .       
z yxy
yz  y 
1

1

1

1
1
1  x   x  z
x  x z
fy        2  
z yy y
zy  y 
1

1

1

1
1
x
1  x z
x
 1   x  z
fz      ln     2   ln
z  y
y
zz y
y
1

1

1

1

1

1

1  x z
x  x z
1  x z
x
df  x, y, z     dx  2   dy  2   ln dz
yz  y 
zy  y 
z y
y
1

1  1  x z
fx2  2   1   
y z  z  y 
1

2

 df 1,1,1  dx  dy
1

 fx2 1,1,1  0

1

1

1

1

 f y2 1,1,1  2

1

2  x z
x 1  x z
x
fz2  3   ln  4   ln 2  fz2 1,1,1  0
z y
y z y
y
Trang: Love NeverDies

1

2x  x z
x2  1   x z
fy2  2    4   1   
zy  y 
zy  z   y 

(thôi không làm nữa đâu dài vcl  )

Nhóm: Toán cao cấp – Tài liệu NEU

Hoàng Bá Mạnh


7
Bài 36
Q 8 L

 MPPK 125;100   16
K 3 K
Ý nghĩa: tại điểm (K=125, L =100) khi giữ nguyên L và tăng dùng K thêm 1 đơn vị thì sản lượng thu
được tăng xấp xỉ 16 đơn vị

a) MPPK 

Q 6 3 K 2
 MPPL 125;100   15

L
L
Ý nghĩa: tại điểm (K=125, L =100) khi giữ nguyên K và tăng dùng L thêm 1 đơn vị thì sản lượng thu
được tăng xấp xỉ 15 đơn vị
b) L không đổi tức nó là hằng số. MPPK giảm khi K tăng nghĩa là MPPK nghịch biến theo K
Tương tự như hàm số 1 biến, ta sử dụng đạo hàm để chỉ ra điều này:
MPPL 

MPPK
8 L
 1 
8 L 3  
 0  K, L  0
K
 K K
33 K 4
=>K tăng thì MPPK giảm dần
c) Các bạn xử lý tương tự ý b). Tính (MPPL)′L sẽ thấy < 0

Bài 37
a) Lợi ích cận biên của hàng hóa A: MUx 

U
 0,4 x 0,6 y0,7
x

MUx
 0,24 x 1,6 y0,7  0  x, y  0 => x tăng thì MUx giảm dần, nghĩa là hàm lợi ích U phù hợp
x
với quy luật lợi ích cận biên giảm dần
(Các bạn xử lý tương tự cho MUy)
U x
x
.  0,4. x 0,6 y0,7 . 0,4 0,7  0,4
b)  x 
x U
x y
Vậy, khi x tăng 1% và y không đổi thì lợi ích tăng xấp xỉ 0,4%

Bài 38

MC1  TCQ 1  125  12Q1Q22  2,4Q12

MC2  TCQ 2  84  12Q12Q2  3,6Q22

Bài 39
a)  pD 

Q p
p
0, 4 p
.  0, 4.

p Q
35  0, 4 p  0,15m  0,12 ps 35  0, 4 p  0,15m  0,12 ps

b)  mD 

Q m
0,15m
. 
m Q 35  0, 4 p  0,15m  0,12 ps

c)  pDs 

0,12 ps
Q ps
. 

ps Q 35  0, 4 p  0,15m  0,12 ps

Bài 40
1

1

a)  t  0 ta có: f  tx; ty   3 2  tx   3  ty   t 3 3 2 x  3y  t 3 f  x, y 
 f  x, y  là hàm thuần nhất bậc 1/3

b)  t  0 ta có: f  tx; ty   2  tx  ty  3  ty  tx  t

3
2

2x



3
2

y  3y x  t f  x , y 

 f  x, y  là hàm thuần nhất bậc 3/2





c) t  0 ta có: f  tx, ty, tz    tx    tx   ty    ty   tz    tz   t 3 x 3  x 2 y  y 2 z  z 3  t 3 . f  x, y, z 
3

Trang: Love NeverDies

2

2

3

Nhóm: Toán cao cấp – Tài liệu NEU

Hoàng Bá Mạnh


8
 f  x, y  là hàm thuần nhất bậc 3

d) t  0 ta có: f  tx, ty, tz  

 tx    ty    tz 
 tx  ty  tz 
3

4

3

3

3

9

t 4 4 x 3  y3  z3
4


t
f  x, y, z 
t 3 xyz

 f  x, y  là hàm thuần nhất bậc -9/4

Bài 41
Công thức Euler: x. fx  y. f y  zfz  s. f  x, y, z 
a) u  x , y  là hàm thuần nhất bậc 2.

ux  4 x  3y

uy  3x  10 y

x.ux  y.uy  x  4 x  3y   y  3x  10 y   4 x 2  6 xy  10 y 2  2u (thỏa mãn công thức Euler)

b) u  x, y, z  là hàm thuần nhất bậc 0
x2

x 2  y2  z2 

x 2  y2  z2
y2  z2

x 2  y2  z2
x 2  y2  z2 x 2  y2  z2

ux 



uy  

xy





 xy

uz  

 x  y  z  x  y  z
x  y  z   xy  xz
xu  yu  zu 
 0  0.u
x  y  z  x  y  z
x

x

y

2

 y2  z2

z

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

x

xz
2

 y2  z 2



x 2  y2  z 2

2

2

2

(thỏa mãn công thức Euler)

2

Bài 42
Theo bài có: f  tx; ty   t s . f  x, y 
Xét 1 điểm  x0 , y0  bất kì thuộc miền xác định của f x , và t  0 , ta có:
fx  tx0 , ty0   lim

f  x, ty0   f  tx0 , ty0 
x  tx0

x tx0

 t s 1 lim

x  tu

 lim

tu  tx0

x tx0 u  x0
 u  x0

f  u, y0   f  x0 , y0 
u  x0

u  x0

f  tu, ty0   f  tx0 , ty0 

 t s 1 lim

 lim

u  x0

f  x, y0   f  x0 , y0 
x  x0

x  x0

t s f  u, y0   t s f  x0 , y0 
t  u  x0 

 t s 1 fx  x0 , y0 

Từ đó suy ra: fx  tx, ty   t s 1 f x  x, y  => f x  x, y  là hàm thuần nhất bậc s - 1
Bài 43
a)  t  1 (tăng quy mô) ta có: Q  tK , tL   20  tK 

0,4

 tL 

0,3

 t 0,7 .20 K 0,4 L0,3  t 0,7Q  K , L   t.Q  K , L 

Vậy, hàm sản xuất của hiệu quả giảm theo quy mô
0,6
0,8
b) t  1 ta có: Q  tK , tL   5  tK   tL   ...  t1,4Q  K , L   t.Q  K , L 
Vậy, hàm sản xuất có hiệu quả tăng theo quy mô
c) Các bạn xử lí tương tự, trường hợp này là hiệu quả tăng
Bài 44
 y  x   

a) Đặt F  x, y   x 3 y  y3 x  a 4



b) Đặt F  x, y   x 2  y2

Trang: Love NeverDies



2



 a2 x 2  y 2

Fx
3x 2 y  y3
 3
Fy
x  3y 2 x



Nhóm: Toán cao cấp – Tài liệu NEU

Hoàng Bá Mạnh

9











2.2 x x 2  y 2  2a2 x a2 x  2 x x 2  y 2
Fx


Fy
2.2 y x 2  y 2  2a2 y 2 y x 2  y 2  a2 y

 y  x   





e  ye  ye xy
c) Đặt F  x, y   xe  ye  e
xe y  e x  xe xy
y
arctan

y
d)
x 2  y2  ae x  ln x 2  y2  ln a  arctan
x
y

x

 y  

xy

y

x

x

x  y2

y

 y2 
x 2 1  2 
 x    x  y 1
 y  x   
y
1
yx


2
2
2
x y

y 
x 1  2 
 x 
2

Đặt F  x, y   ln x 2  y2  ln a  arctan

y
x

Bài 45

p
2 p p
y
p2
y


y 

y   p. 2   p. 2   3
2y
y
y

y
y
2x  y 2x  y
y  

x  2y x  2y

a) Đặt F  x, y   y 2  2 px
b) Đặt F  x, y   x 2  xy  y 2
y 

 2 x  y   x  2 y    2 x  y  x  2 y    2  y x  2 y    2 x  y 1  2 y  3xy  3y
2
2
2
 x  2y
 x  2y
 x  2y
3 x.


2x  y
 3y
x  2y

 x  2y

2



6 x 2  6 xy  6 y 2

 x  2y

3

c) Đặt F  x, y   y 2  2 ln y  x 4

y  

4 x 3
2x3y

2 1  y2
2y 
y

2 x y  1  y   2 x y 1  y   6 x y  2 x y 1  y   4 x y . y

y 

1

y
 
1  y 
6 x y 1  y    2 x  2 x y  4 x y  y 6 x y 1  y    2 x  2 x y



1  y 
1  y 
6 x y 1  y   2 x y  2 x  2 x y  4 x y 

1  y 
3

2

3

2

2

2

2

2

2

3 2

2

2

3 2

2

2

2

3

2

2

2

2

2



 4 x 3 y2 .

2x3y
1  y2

2

3 2

3

d) Đặt F  x, y   x 2 y 2  x 4  y 4  a 4
2

2

2

2

 2 xy
y  

2

2

2

2

2

2

2

2

2

y  

2 xy 2  4 x 3
2 x 2 y  4 y3

 4 x 3  2 x 2 y  4 y3  2 xy 2  4 x 3 2 x 2 y  4 y 3 



 



2x y  4y 
 2 x y  4 y    2 xy  4 x  4 xy  2 x y  12 y y
2x y  4y 
2

 4 xyy  12 x


2

2

3

3

2

2

Trang: Love NeverDies



2

3

3

2

2

2

Nhóm: Toán cao cấp – Tài liệu NEU

Hoàng Bá Mạnh


10



 





 





12 x 2 2 x 2 y  4 y3  2 xy 2  4 x 3 4 xy   4 xy 2 x 2 y  4 y 2  2 x 2 y  4 x 3 2 x 2  12 y 2  y


 2 x y  3y 
2





3

2



8 x 4 y  40 x 2 y3  8 x 5  4 x 4 y  40 x 3 y 2  24 x 2 y3  16 xy3 y

 2 x y  3y 
2

3

2

(Thôi, vui thế đủ rồi, không thay y′ vào đâu =.= )

Trang: Love NeverDies

Nhóm: Toán cao cấp – Tài liệu NEU

Hoàng Bá Mạnh