Kinh tế lượng - Chương 8

Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004
Phương pháp phân tích
Bài đọc
Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 8: Phương sai của sai số thay đổi

Ramu Ramanathan Thục Đoan/Hào Thi
1

CHƯƠNG 8

Phương Sai Của Sai Số Thay Đổi

Trong việc tính toán các giá trò ước lượng bình phương tối thiểu thông thường (OLS) cũng
như các giá trò ước lượng thích hợp cực đại (MLE), chúng ta đã thiết lập giả thuyết cho
rằng các số hạng sai số u
i
có phân phối giống nhau với trò trung bình bằng không và
phương sai
σ
2
như nhau (Xem Giả Thuyết 3.5 của Chương 3 đã phát biểu rằng Var(u
i
|x
t
=
σ
2
cho tất cả các t). Giả thuyết phương sai bằng nhau được hiểu là phương sai của sai số
không đổi (có nghóa là phân tán như nhau). Phương sai

σ
2
là một đại lượng đo lường mức
độ phân tán của các số hạng sai số t, xung quanh giá trò trung bình zero. Một cách tương
đương, đó là một đại lượng đo lường mức độ phân tán của giá trò biến phụ thuộc quan sát
được (Y) xung quanh đường hồi qui
β
1
+
β
2
X
2
+… +
β
k
X
k
. Phương sai của sai số không đổi
có nghóa là mức độ phân tán như nhau cho tất cả các quan sát.
Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp thông thường có liên quan đến những dữ liệu
chéo, giả thuyết này có thể sai. Ví dụ, giả sử như chúng ta tiến hành điều tra một mẫu
ngẫu nhiên các hộ gia đình và thu được thông tin về tổng chi phí tiêu dùng của từng hộ
gia đình và thu nhập của họ trong một năm cho trước. Những hộ gia đình với mức thu
nhập thấp không có nhiều linh động trong chi tiêu. Phần lớn thu nhập sẽ tập trung vào
các nhu cầu căn bản chẳng hạn như thức ăn, chỗ ở, quần áo, và đi lại. Do vậy, mẫu hình
chi tiêu giữa những hộ gia đình có thu nhập thấp như thế sẽ không khác nhau nhiều lắm.
Mặt khác, những gia đình giàu có có sự linh động rất lớn trong chi tiêu. Một vài gia đình
là những người tiêu dùng lớn; những người khác có thể là những người tiết kiệm nhiều và
đầu tư nhiều vào bất động sản, thò trường chứng khoán, …. Điều này hàm ý rằng tiêu dùng

thực có thể khác nhiều so với mức thu nhập trung bình. Hay nói cách khác, rất có khả
năng những hộ gia đình có thu nhập cao có mức độ phân tán xung quanh giá trò tiêu dùng
trung bình lớn hơn những hộ gia đình có thu nhập thấp. Trong trường hợp như thế, biểu
đồ phân tán giữa tiêu dùng và thu nhập sẽ chỉ ra những điểm của mẫu gần với đường hồi
qui hơn cho những hộ gia đình thu nhập thấp nhưng những điểm phân tán rộng hơn cho
những hộ gia đình thu nhập cao (xem Hình 8.1). Hiện tượng như vậy được gọi là phương
sai của sai số thay đổi (có nghóa là phân tán không như nhau). Hình 3.A.2 trong Phụ lục
Chương 3 có một đồ thò về phương sai của sai số thay đổi trong tổng thể.
Ví dụ thứ hai xét đến một mẫu ngẫu nhiên của những thành phố mà chúng ta sẽ liên
hệ mức độ tội phạm thường gặp của những thành phố đó với số lượng nguồn lực sẵn có
của từng thành phố trong việc chống tội phạm. Chúng ta có thể kỳ vọng rằng sự phân tán
của những điểm quan sát được có thể phân tán rộng hơn đối với những thành phố lớn hơn
khi so sánh với những thành phố nhỏ hơn. Ở đây một lần nữa giả thuyết về phương sai
của sai số không đổi có thể bò vi phạm.
Phương sai của sai số thay đổi cũng xuất hiện khi sử dụng dữ liệu nhóm thay vì sử
dụng dữ liệu cá nhân. Ví dụ, chúng ta có thể không có dữ liệu của từng công ty nhưng
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004
Phương pháp phân tích
Bài đọc
Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 8: Phương sai của sai số thay đổi

Ramu Ramanathan Thục Đoan/Hào Thi
2
thay vào đó chúng ta có thể sử dụng dữ liệu trung bình của ngành. Trong trường hợp này,
mô hình có thể là
t
Y =
α

+ β
t
X+
t
u , với những thanh ngang biểu thò giá trò trung bình
cho ngành công nghiệp thứ
t
. Phương sai của số hạng sai số giờ đây sẽ là
Var
(
t
u) =
σ
2
/n
t
, với n
t
là số lượng công ty trong ngành công nghiệp thứ
t
. Bởi vì số lượng công ty có
thể khác nhau, nên phương sai của các số hạng sai số cũng sẽ khác nhau, do đó dẫn đến
hiện tượng phương sai của sai số thay đổi.

} Hình 8.1 Một Ví Dụ Về Phương Sai Của Sai Số Thay Đổi

Trong chương này, chúng ta nới lỏng giả thuyết phương sai của sai số có giá trò
không đổi và giả thuyết có phương sai của sai số thay đổi. Chính thức hơn, chúng ta hiệu
chỉnh Giả Thuyết 3.5 như sau:

GIẢ THUYẾT 3.5a

u
t

là một biến ngẫu nhiên với
E
(
u
t
|

X
t
) = 0 và Var(
u
t

|
X
t
) =
E
(
2
t
u
|
X
t
) =
2
t
σ
, với
t
= 1, 2, …,
n.

Do đó, mỗi quan sát có một phương sai sai số khác nhau. Tất cả các giả thuyết khác
về số hạng nhiễu ngẫu nhiên vẫn được giữ lại. Hình 3.A.2 minh họa một biểu diễn ba
chiều về phương sai của sai số thay đổi và Hình 3.A.1 cũng minh họa biểu diễn ba chiều

về phương sai của sai số không đổi.

Thu nhập
Tiêu dùng
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004
Phương pháp phân tích
Bài đọc
Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 8: Phương sai của sai số thay đổi

Ramu Ramanathan Thục Đoan/Hào Thi
3
Phương sai của sai số thay đổi cũng có thể xuất hiện trong dữ liệu chuỗi thời gian.
Vấn đề này sẽ được thảo luận trong chương kế tiếp.

} VÍ DỤ 8.1
DATA3-11 cho biết mức lương hàng năm và số năm có bằng tiến só của 222 giáo sư từ
bảy trường đại học. Chúng ta thấy rằng mô hình lôgarít-wage là mô hình thích hợp đối
với mô hình tiền công (wages) và tiền lương (salaries). Đồ thò trong Hình 8.2 biểu diễn
lôgarít của tiền lương đối với số năm nhận được bằng tiến só tương ứng. Chúng ta lưu ý
độ rộng xung quanh quan hệ đường thẳng trung bình là không đồng dạng, dẫn đến vi
phạm giả thuyết thông thường về phương sai của sai số không đổi của các số hạng sai
số. Điều đáng chú ý ở đây là phương sai xung quanh quan hệ trung bình có điều kiện
mới đầu tăng khi số năm tăng nhưng sau đó giảm dần. Không có gì ngạc nhiên cả, bởi vì
mức lương hiện thời của các tiến só khá cạnh tranh trên thò trường việc làm và do vậy
chúng ta không thể mong đợi những chênh lệch cao về mức lương. Tuy nhiên, mức
lương của những giáo sư trong biên chế có thể khác nhau nhiều phụ thuộc vào năng lực
và uy tín của họ. Sau một số năm, mức lương tăng theo chiều hướng ổn đònh và do đó
phương sai có khả năng giảm bớt. Chúng ta sẽ đi sâu vào ví dụ này một cách chi tiết hơn

trong Phần 8.2 về việc kiểm đònh phương sai của sai số thay đổi.

} Hình 8.2 Phương Sai Của Sai Số Thay Đổi Trong Lôgarít-Salary

















Giả sử chúng ta bỏ qua phương sai của sai số thay đổi và sử dụng thủ tục OLS để
ước lượng các tham số. Tính chất của chúng là gì? Chúng có bò thiên lệch, không hiệu
quả hay không nhất quán không? Những kiểm đònh thống kê có tiếp tục còn hiệu lực hay
không? Có một thủ tục nào đó mà có lưu ý một cách rõ ràng đến phương sai của sai số

Lô
garít của tiền lương
Số năm có bằng Tiến Só
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004

Phương pháp phân tích
Bài đọc
Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 8: Phương sai của sai số thay đổi

Ramu Ramanathan Thục Đoan/Hào Thi
4
thay đổi và cho ra những giá trò ước lượng tốt hơn? Những vấn đề này lần lượt sẽ được đề
cập ngay sau đây.

} 8.1 Các Kết Quả Của Việc Bỏ Qua Phương Sai Của Sai Số Thay Đổi

Đầu tiên chúng ta nghiên cứu đến những quan hệ của việc sử dụng thủ tục OLS để ước
lượng các hệ số hồi qui khi có sự hiện diện phương sai của sai số thay đổi. Mô hình là

Y
t
=
β
1
+
β
2
X
t2
+ … +
β
k
X
tk

+ u
t


với Var (
u
t
|x
t
) =
2
t
σ
và
t
= 1, 2, …,
n
. Thay đổi duy nhất là các phương sai của sai số sẽ
khác nhau đối với những giá trò
t
khác nhau và những giá trò này chưa biết.

Tác Động Lên Tính Chất Của Các Ước Lượng

Những chứng minh của Tính Chất 3.1 và 3.2 (phát biểu rằng các ước lượng OLS là
không thiên lệch và nhất quán) chỉ phụ thuộc vào Giả Thuyết 3.3 và 3.4 (mà
u
t
có giá trò
trung bình bằng không và không tương quan với

X
t
) và không phụ thuộc vào Giả Thuyết
3.5 hay 3.5a. Do vậy, các tính chất của sự không thiên lệch và sự nhất quán không bò vi
phạm do việc bỏ qua hiện tượng phương sai của sai số thay đổi và sử dụng OLS để ước
lượng
α
và
β
. Tuy nhiên, trong khi chứng minh đònh lý Gauss-Markov, chúng ta đã sử
dụng giả thuyết cho rằng Var (
u
t
|x
t
) =
2
σ
nhằm làm cực tiểu phương sai của một kết hợp
tuyến tính giữa các giá trò
Y
. Bởi vì giả thuyết đó không còn đúng nữa, nên không thể
khẳng đònh rằng ước lượng OLS hiệu quả hơn. Điều này có nghóa là ước lượng OLS hiện
giờ là không hiệu quả. Có thể tìm một ước lượng tuyến tính không thiên lệch khác mà
có giá trò phương sai thấp hơn ước lượng OLS. Phần phụ lục của chương này minh họa
điều này đối với mô hình hồi qui tuyến tính đơn.

Tác Động Lên Các Kiểm Đònh Giả Thuyết

Có thể thấy rằng (xem Phụ Lục 8.A) các phương sai và đồng phương sai ước lượng của

các ước lượng OLS cho các giá trò
β
i
là thiên lệch và không nhất quán khi phương sai
của sai số thay đổi hiện hữu nhưng bò bỏ qua (xem Kmenta, 1986, tr. 276–279). Do đó,
các kiểm đònh giả thuyết không còn giá trò nữa.

Tác Động Lên Việc Dự Báo

Chúng ta vừa chứng tỏ rằng các ước lượng OLS vẫn không thiên lệch. Từ đó dẫn đến
các dự báo dựa trên những giá trò ước lượng này cũng sẽ không thiên lệch. Nhưng vì lý
do các ước lượng là không hiệu quả, nên các dự báo cũng sẽ không hiệu quả. Nói cách
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004
Phương pháp phân tích
Bài đọc
Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 8: Phương sai của sai số thay đổi

Ramu Ramanathan Thục Đoan/Hào Thi
5
khác, độ tin cậy của những dự báo này (đo lường bằng phương sai của chúng) sẽ kém
hơn một ước lượng thay thế khác có hiệu quả hơn.
Kết quả nhận được trong phần này được tóm tắt trong Tính Chất 8.1.

Tính Chất 8.1 Nếu ta bỏ qua phương sai của sai số thay đổi giữa những số hạng nhiễu ngẫu
nhiên trong một mô hình hồi qui và sử dụng thủ tục OLS để ước lượng các tham
số, thì các tính chất sau có hiệu lực:
a. Các ước lượng và dự báo dựa trên các ước lượng đó vẫn không thiên lệch và
nhất quán

b. Ước lượng OLS không còn là BLUE và sẽ không hiệu quả. Các dự báo cũng
sẽ không hiệu quả
c. Phương sai và đồng phương sai ước lượng của các hệ số hồi qui sẽ thiên lệch
và không nhất quán, và do đó các kiểm đònh giả thuyết (tức là kiểm đònh
t
và
F
) không còn hiệu lực)

} 8.2 Kiểm Đònh Phương Sai Của Sai Số Thay Đổi

Bởi vì chúng ta biết rằng phương sai của sai số thay đổi làm mất hiệu lực của các kết
quả kiểm đònh, nên ta sẽ mong muốn kiểm đònh một cách chính thức việc phương sai
của sai số thay đổi có hiện hữu hay không. Trong phần này, chúng ta giới thiệu các kiểm
đònh được sử dụng phổ biến nhất đối với phương sai của sai số thay đổi.
Tuy nhiên, trước khi đi vào thực hiện bất kỳ kiểm đònh chính thức nào, khá là hữu
ích khi kiểm tra những phần dư của mô hình bằng cái nhìn bề ngoài để có được một cảm
giác tự tìm xem phương sai của sai số thay đổi có hiện hữu hay không. Thực hiện việc
này bằng cách biểu diễn trên đồ thò bình phương của các phần dư có được từ việc áp
dụng OLS vào mô hình đang xem xét. Sử dụng bình phương các phần dư OLS bởi vì
trong một mô hình hồi qui, phần dư
t
u
)
là một giá trò ước lượng không thiên lệch của số
hạng sai số tổng thể
u
t
, ngay cả đối với sự hiện diện của phương sai của sai số thay đổi.
Do đó, một giá trò ước lượng dễ nhận thấy, mặc dù không hoàn hảo, của phương sai sai

số
2
t
σ
=
E
(
2
t
u
|
x
t
) là
2
ˆ
t
u
. Nói cách khác, các phần dư bình phương có thể được sử dụng
để ước lượng
2
t
σ
. Tiếp đến chúng ta thể hiện chúng trên đồ thò theo một biến mà biến
này được nghi ngờ là nguyên nhân gây ra phương sai của sai số thay đổi. Nếu mô hình
có nhiều biến giải thích, ta có thể vẽ
2
ˆ
t
u

theo từng biến này hoặc tốt hơn là vẽ chúng
theo
t
Y
)
, là giá trò thích hợp của biến phụ thuộc sử dụng giá trò ước lượng OLS. Tuy
nhiên, ta nên thấy rằng kỹ thuật đồ thò này chỉ
có tính gợi ý
về phương sai của sai số
thay đổi và không thay thế được kiểm đònh chính thức.

} VÍ DỤ 8.2
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004
Phương pháp phân tích
Bài đọc
Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 8: Phương sai của sai số thay đổi

Ramu Ramanathan Thục Đoan/Hào Thi
6
Sử dụng bộ dữ liệu DATA3-11 đã được đề cập trong Ví Dụ 8.1, chúng ta thu được mô
hình lôgarít bình phương sau đây (xem Phần Thực Hành Máy Tính 8.1 để kiểm tra lại
kết quả trong phần này):

ln (SALARY) = 3,809365 + 0,043853 YEARS – 6,273475e-04 YEARS
2

(92,15) (9,08) (-5,19)

2
R
= 0,532 d.f. = 219

Giá trò trong ngoặc đơn là trò thống kê
t
, cho thấy có ý nghóa rất cao. Số hạng bình
phương cho phép có khả năng xảy ra lợi nhuận biên giảm dần theo kinh nghiệm. Hệ số
âm ý nghóa mạnh của YEARS
2
ủng hộ giả thuyết này. Đối với việc kiểm tra bằng đồ thò
khả năng phương sai của sai số thay đổi, chúng ta thu được bình phương các phần dư
của phương trình và biểu diễn chúng theo kinh nghiệm. Từ Hình 8.3 cho thấy các phần
dư bình phương có xu hướng tăng lên theo số năm rồi sau đó giảm dần, một dạng mẫu
hình đã được giải thích trong Ví Dụ 8.1. Mặc dù không đưa ra ở đây (thực hiện Phần
Thực Hành 8.1 cho điều này), đồ thò phần dư bình phương theo giá trò dự báo của
ln(SALARY) cho thấy một sự tăng nhiều hơn rõ rệt của phương sai. Do đó có một bằng
chứng có tính gợi ý về phương sai của sai số thay đổi trong mô hình. Trong phần kế tiếp,
sẽ tiến hành một kiểm đònh chính thức đối với việc này.

} Hình 8.3 Phương Sai Của Sai Số Thay Đổi Của Các Phần Dư Trong Ví Dụ 8.2



Phần dư bình phương
Số năm có bằng Tiến Só
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004
Phương pháp phân tích
Bài đọc

Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 8: Phương sai của sai số thay đổi

Ramu Ramanathan Thục Đoan/Hào Thi
7
Kiểm Đònh Nhân Tử Larrange (LM) Đối Với Phương Sai Của Sai Số Thay Đổi
Có một số kiểm đònh đối với phương sai của sai số thay đổi và chúng khác nhau về
nguyên tắc và năng lực kiểm đònh. Trong những kiểm đònh đó, phương pháp kiểm đònh
LM trở nên phổ biến trong những năm gần đây. Bởi vì kiểm đònh thống kê này dễ tính
toán và nó có thể bao quát được nhiều phương án. Trong phần này, chúng ta thảo luận
kiểm đònh LM đối với phương sai của sai số thay đổi theo ba phương án giả thuyết về
nguyên nhân gây ra phương sai của sai số thay đổi. Đặt mô hình là

Y
t
=
β
1
+
β
2
X
t2
+
β
3
X
t3
+ … +
β

k
X
tk
+
u
t
(8.1)

với phương sai sai số là
2
t
σ
=
E
(
2
t
u
|
x
t
). Nếu chúng ta không chỉ rõ dạng của
α
t
, thì sẽ có
n,

σ
và
k

hệ số hồi qui để ước lượng, tức là,
n + k
tham số để ước lượng. Chỉ với
n
quan
sát, đây là nhiệm vụ không thực hiện được. Do đó chúng ta cần thiết phải đơn giản hóa
những giả thuyết về phương sai sai số. Ba phương án sau đây bao quát hầu hết các
trường hợp đã thảo luận trong lý thuyết:

2
t
σ
=
α
1
+
α
2
Z
t2
+
α
3
Z
t3
+ … +
α
p
Z
tp

(8.2a)

σ
t
=
α
1
+
α
2
Z
t2
+
α
3
Z
t3
+ … +
α
p
Z
tp
(8.2b)
ln(
2
t
σ
) =
α
1

+
α
2
Z
t2
+
α
3
Z
t3
+ … +
α
p
Z
tp
(8.2c)

điều này tương đương với

2
t
σ
= exp (
α
1
+
α
2
Z
t2

+
α
3
Z
t3
+ … +
α
p
Z
tp
)

với exp viết tắt của hàm mũ,
p
là số hệ số chưa biết, và các giá trò
Z
là các biến với
những giá trò đã biết (một vài hoặc tất cả các
Z
có thể là các giá trò
X
trong mô hình).
Chúng ta tham khảo những phương trình này như những phương trình phụ cho phương
sai của sai số. Kiểm đònh Breusch-Pagan (Breusch và Pagan, 1979) sử dụng biểu thức
(8.2a), Kiểm đònh Glesjer (Glesjer, 1969) sử dụng biểu thức (8.2b) và kiểm đònh
Harvey-Godfrey (Harvey, 1976, và Godfrey, 1978) sử dụng biểu thức (8.2c). Kiểm
đònh cuối cùng được gọi là phương sai của sai số thay đổi bội bởi vì phương sai sai số
được xác đònh như tích số của một số các số hạng. Kiểm đònh Park (Park, 1966) là một
trường hợp đặc biệt của kiểm đònh Harvey-Godfrey và không được đề cập đến một cách
riêng rẽ ở đây. Dễ thấy rằng

giả thuyết không
của phương sai của sai số thay đổi có
p
–
1 ràng buộc và được cho bởi
α
2
=
α
3
= … =
α
p
= 0. Theo
giả thuyết không
phương sai sẽ
không đổi, có nghóa là phương sai của sai số thay đổi không tồn tại. Lưu ý rằng trong tất
cả các biểu thức trên, chúng ta giả đònh rằng các biến đã biết
Z
chòu trách nhiệm đối với
phương sai của sai số thay đổi.
Bởi vì chúng ta không biết
σ
t
, nên chúng ta sử dụng giá trò ước lượng có được từ
việc áp dụng OLS vào Phương Trình (8.1). Do đó, chúng ta sẽ sử dụng
2
ˆ
t
u

cho
2
t
σ
,
t
u
ˆ

Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004
Phương pháp phân tích
Bài đọc
Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 8: Phương sai của sai số thay đổi

Ramu Ramanathan Thục Đoan/Hào Thi
8
(giá trò tuyệt đối của
u
t
) cho
σ
t
và ln(
2
ˆ
t
u
) cho ln(

2
t
σ
). Các bước tiến hành kiểm đònh LM
như sau:
Bước 1 Hồi qui
Y
theo một số hạng không đổi,
X
2
,
X
3
, … , và
X
k
, và nhận được giá trò
ước lượng OLS của các hệ số
β
.
Bước 2 Tính toán phần dư
t
u
ˆ
=
Y
t
-
β
ˆ

1
-
β
ˆ
2
X
t2
-
β
ˆ
3
X
t3
- … -
β
ˆ
k
X
tk
.
Bước 3a Bình phương các phần dư và hồi qui
2
ˆ
t
u
theo một số hạng không đổi,
Z
t2
,

Z
t3
,…,

và
Z
tp
, và nhận được giá trò ước lượng OLS cho các hệ số
α
. Đây chính
là hồi qui phụ tương ứng với Phương Trình (8.2a).
Bước 3b Tính toán giá trò tuyệt đối và hồi qui
t
u
ˆ
theo một số hạng không đổi,
Z
t2
,

Z
t3
,…,

và
Z
tp
, và nhận được giá trò ước lượng OLS cho các hệ số
α
. Đây chính

là hồi qui phụ tương ứng với Phương Trình (8.2b).
Bước 3c Lấy lôgarít của bình phương các phần dư và hồi qui ln(
2
ˆ
t
u
) theo một số hạng
không đổi,
Z
t2
,
Z
t3
,…,

và
Z
tp
, và nhận được giá trò ước lượng OLS cho các hệ số
α
. Đây chính là hồi qui phụ tương ứng với Phương Trình (8.2c).
Bước 4 Tính toán kiểm đònh thống kê LM =
nR
2
, với
n
là số quan sát được sử dụng
trong việc ước lượng hồi qui phụ và
R
2

là
R
2

chưa hiệu chỉnh từ hồi qui này.
Bước 5 Tính giá trò
p
= Prob(
2
1−p
χ
>LM), đó là phần diện tích ở phía bên phải của LM
trong phân phối Chi bình phương với bậc tự do df là
p
– 1.
Bước 6 Bác bỏ
H
0
:
α
i

= 0 với (
i
= 2, 3, …,
p
) và kết luận rằng phương sai của sai số
thay đổi có ý nghóa nếu giá trò
p
nhỏ hơn mức ý nghóa. Hoặc là, tra bảng Chi

bình phương đối với bậc tự do df là
p
-1 cho giá trò tới hạn
2
1−p
χ
(
α
), với
α
là
mức ý nghóa. Bác bỏ
H
0
nếu LM >
2
1−p
χ
(
α
). Nếu không bác bỏ kiểm đònh, thì
không có bất kỳ bằng chứng nào ủng hộ phương sai của sai số thay đổi.
Trong trường hợp này, OLS là thủ tục ước lượng được chấp nhận.

Trò thống kê
nR
2

được đề cập đến ở đây không phải là trò thống kê kiểm đònh được
đưa ra bởi những tác giả đầu tiên của những kiểm đònh này. Ví dụ, kiểm đònh Glesjer

không phải là một kiểm đònh Wald. Harvey đưa ra một kiểm đònh tỉ lệ thích hợp (xem
Phụ Lục Chương 6 về kiểm đònh tỉ lệ thích hợp). Các kiểm đònh Breusch-Pagan và kiểm
đònh Godfrey kiến nghò một nửa tổng bình phương hồi qui (đònh nghóa trong Chương 3)
về hồi qui phụ là một kiểm đònh thống kê, mà nó có phân phối giống như
2
1−p
χ
. Như
Engle (1984) đã chỉ ra, bởi vì tất cả các kiểm đònh này là những kiểm đònh mẫu lớn, cho
nên tất cả kiểm đònh đề xuất bởi nhiều tác giả khác nhau đều tương đương về mặt thao
tác với kiểm đònh nhân tử Lagrange vừa được đề cập ở trên. Bởi vì phân phối chính xác
của những kiểm đònh thống kê này chưa được biết (đặc biệt là với cỡ mẫu nhỏ), do vậy
chúng khác nhau về năng lực của kiểm đònh. Kiểm đònh biết rõ nguyên nhân gây nên
phương sai của sai số thay đổi càng chính xác, thì năng lực của kiểm đònh đó càng cao.
Do kiểm đònh LM gần tương đương với những kiểm đònh khác (tức là, dành cho những
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004
Phương pháp phân tích
Bài đọc
Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 8: Phương sai của sai số thay đổi

Ramu Ramanathan Thục Đoan/Hào Thi
9
cỡ mẫu lớn), trò thống kê
nR
2
là thích hợp nhất và nó là kiểm đònh đề nghò được sử dụng.
Người đọc với những kiến thức về đại số ma trận được khuyến khích nghiên cứu chi tiết
hơn những vấn đề về kiểm đònh và ước lượng đối với sự hiện diện của phương sai của

sai số thay đổi trong những bài báo đầu tiên của các tác giả đã trích dẫn trong bài. Cũng
nên tham khảo Chương 12 quyển sách của Green (2000) có một tóm tắt xuất sắc về
những vấn đề này.

} VÍ DỤ 8.3
Trong Ví Dụ 8.1, chúng ta đã sử dụng mô hình bình phương-lôgarít về lương của những
giáo sư với dữ liệu lấy từ DATA3-11 và minh họa bằng đồ thò sự hiện diện của phương
sai của sai số thay đổi, với các phương sai sai số lúc đầu tăng theo số năm từ khi họ lấy
được bằng Tiến só và sau đó giảm dần. Điều này gợi ý những mô hình bình phương cho
cấu trúc sai số sau đây:

(a) Breusch-Pagan:
2
t
σ
=
α
1
+

α
2
YEARS
t
+

α
3
2
YEARS

t

(b) Glesjer:
t
σ
=
α
1
+
α
2
YEARS
t
+
α
3
2
YEARS
t

(c) Harvey-Godfrey: ln(
2
t
σ
) =
α
1
+
α
2

YEARS
t
+
α
3
2
YEARS
t


Giả thuyết không về phương sai của sai số thay đổi tương đương với H
0
:
α
2
=
α
3
= 0. Từ
Phần Thực Hành Máy Tính 8.2 và Bảng 8.1, chúng ta thấy rằng các trò thống kê kiểm
đònh LM tương ứng là 16,587, 28,923, và 35,303. Từ bảng chi-bình phương, giá trò tới
hạn với bậc tự do df là 2 và mức ý nghóa 0,001 là 13,816. Tất cả trò thống kê của kiểm
đònh LM đều lớn hơn giá trò này, và do vậy chúng ta bác bỏ giả thuyết không cho tất cả
các trường hợp và kết luận rằng có phương sai của sai số thay đổi. Như Bảng 8.1 cho
biết, dấu của giá trò
α
2
ước lượng là dấu dương và dấu của giá trò
α
3

ước lượng là dấu âm
trong cả ba kiểm đònh, khẳng đònh rằng mẫu hình đồ thò của việc đầu tiên phương sai
tăng dần và sau đó giảm dần.

Kiểm Đònh Goldfeld-Quandt
Goldfeld và Quandt (1965) đưa ra một kiểm đònh khác dựa trên khái niệm cho rằng nếu
phương sai của sai số là như nhau cho tất cả các quan sát (tức là, nếu chúng có tính chất
phương sai của sai số không đổi), thì phương sai cho một phần của mẫu cũng sẽ tương tự
như phương sai cho một phần khác cũng của mẫu đó. Do vậy ta có thể kiểm đònh sự
bằng nhau giữa những phương sai của sai số bằng việc sử dụng một kiểm đònh F. Kiểm
đònh trở thành một tỉ số của hai phương sai mẫu. Chia mẫu của những quan sát thành ba
phần, và loại bỏ những quan sát ở giữa. Tiếp đến mô hình sẽ được ước lượng cho từng
cặp quan sát và tính toán phương sai phần dư. Những bước chính thức thực hiện kiểm
đònh
Goldfeld-Quandt
như sau:
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004
Phương pháp phân tích
Bài đọc
Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 8: Phương sai của sai số thay đổi

Ramu Ramanathan Thục Đoan/Hào Thi
10
}

Bảng 8.1 Kết Quả Riêng Phần Của Các Kiểm Đònh LM Trong Ví Dụ 8.3 Sử Dụng DATA3-
11

[Đầu tiên lấy hồi qui của ln(SALARY) theo một hằng số, YEARS, và YEARS
2
. Tiếp theo phát ra
các biến: usq =
2
ˆ
t
u , absuhat =
t
u
ˆ
, và lnusq = ln(
2
ˆ
t
u ). Hồi qui phụ cho ba kiểm đònh LM được cho
dưới đây, bắt đầu bằng kiểm đònh Breusch-Pagan. Giả thuyết không là giả thuyết mà các hệ số của
YEARS và YEARS
2
đều bằng không.]

Dependent variable: usq
VARIABLE COEFFICIENT STDERROR T STAT 2 Prob (t > | T|)
0) const -0.0111 0.0135 -0.823 0.411484
2) YEARS 0.0061 0.0016 3.866 0.000146 ***
4) YRS2 -0.0001288 0.0000394 -3.271 0.001246 ***

Unadjuste R-squared 0.075 Adjusted R-squared 0.066
Chi-square(2): area to the right of (LM =) 16.586551 = 0.000250

[Giá trò p thấp cho biết bởi vì khả năng bác bỏ một giả thuyết đúng là thấp, nên chúng ta có thể bác
bỏ một cách an toàn giả thuyết không về phương sai của sai số thay đổi và kết luận rằng có phương
sai của sai số thay đổi một cách ý nghóa. Tiếp đến là hồi qui phụ cho kiểm đònh Glesjer.]

Dependent variable: absuhat
VARIABLE COEFFICIENT STDERROR T STAT 2 Prob (t > | T|)
0) Const 0.0312 0.0241 1.296 0.196278
2) YEARS 0.0144 0.0028 5.118 0.000001 ***
4) YRS2 -0.0002975 0.0000704 -4.227 0.000035 ***

Unadjuste R-squared 0.130 Adjusted R-squared 0.122
Chi-square(2): area to the right of (LM =) 28.922794 = 0.000001

[Giá trò p thấp như vậy cho biết sự hiện hữu của phương sai của sai số thay đổi. Tiếp theo là hồi qui
phụ đối với kiểm đònh Harvey-Godfrey cũng với giá trò p thấp, cho biết sự hiện hữu của phương sai
của sai số thay đổi]

Dependent variable: lnusq
VARIABLE COEFFICIENT STDERROR T STAT 2 Prob (t > | T|)
0) Const -6.5627 0.3592 -18.268 0.000000 ***
2) YEARS 0.2356 0.0420 5.614 0.000000 ***
4) YRS2 -0.0048 0.0011 -4.548 0.000009 ***

Unadjuste R-squared 0.159 Adjusted R-squared 0.151
Chi-square(2): area to the right of (LM =) 35.302998 = 0.000000
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004
Phương pháp phân tích
Bài đọc
Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng

Chương 8: Phương sai của sai số thay đổi

Ramu Ramanathan Thục Đoan/Hào Thi
11

Bước 1
Xác đònh một biến (VD là Z) mà phương sai của sai số
2
t
σ
quan hệ với nó. Ví
dụ, giả đònh rằng
2
t
σ
nghi ngờ quan hệ đồng biến với Z
t
. Sắp đặt lại bộ dữ
liệu theo giá trò tăng dần của Z
t
(Z
t
có thể là một trong những giá trò X trong
hồi qui, chẳng hạn như thu nhập hay dân số).
Bước 2
Chia mẫu có n quan sát thành n
1
đầu tiên và n
2
cuối cùng, do vậy loại bỏ tất

cả các quan sát ở phần giữa từ n
1
+ 1 đến n - n
2
. Số quan sát được loại bỏ là
tùy ý và thường thường là giữa một phần sáu hoặc một phần ba. Lưu ý rằng
n
1
và n
2
phải lớn hơn số hệ số được ước lượng
Bước 3
Ước lượng những hồi qui riêng biệt cho các quan sát từ 1 đến n
1
và từ n – n
2


+ 1 đến n.
Bước 4
Thu được tổng bình phương sai số như sau:
ESS
1
=
∑
=
1
1
2
n

t
t
u
ˆ
và ESS
2
=
∑
+−=
n
nnt
t
u
1
2
2
ˆ


Từ Tính Chất 4.1c chúng ta biết rằng ESS/
2
t
σ
tuân theo phân phối chi-bình
phương. Từ Phần 2.7, chúng ta biết rằng tỉ số giữa hai giá trò chi-bình phương
độc lập chính là một phân phối F. Điều này gợi ý cho bước kế tiếp.
Bước 5
Tính toán

F

c
=
)/(
)/(
ˆ
ˆ
11
2
2
1
2
2
kn
kn
−
−
=
ESS
ESS
2
σ
σ

với k là số hệ số hồi qui bao gồm luôn cả số hạng hằng số. Theo giả thuyết
không về phương sai của sai số không đổi, giá trò F
c
tuân theo phân phối F
với bậc tự do df là n
2
– k và n

1
– k. Nếu F
c
> F
*
, điểm nằm trên phân phối F
mà diện tích về phía bên phải là 5 phần trăm, thì bác bỏ giả thuyết không về
phương sai của sai số không đổi và kết luận rằng có phương sai của sai số
thay đổi. [Lưu ý: Nếu F
c
< 1, thì sử dụng 1/F
c
. Bởi vì giả thuyết thay thế
thường là
2
2
σ
>
2
1
σ
.]

} VÍ DỤ 8.4
Đối với dữ liệu tiền lương mà chúng ta đang sử dụng ở đây, đầu tiên sắp xếp lại dữ liệu
theo trật tự tăng dần theo YEARS và kế đến ước lượng mô hình bình phương-lôgarít cho
75 quan sát đầu tiên và quan sát cuối cùng, loại bỏ 72 quan sát ở giữa. Từ kết quả trong
Phần Thực Hành Máy Tính 8.3 ta có được

2

1
ˆ
σ
= 0,015416
2
2
ˆ
σ
= 0,050608 F
c
= 3,283