ÔN TẬP TOÁN CAO CẤP
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.03 MB, 42 trang )
Spring 2019
Page: Love NeverDies
Đề giữa kì & HD giải
Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU
PAGE: Love NeverDies
GROUP: Toán cao cấp – Tài liệu NEU
ĐỀ BÀI: SƯU TẦM
HD GIẢI: LND9492
SĐT: 0986.960.312
FB: />
GIỮA KÌ K57 (VỀ TRƯỚC)
ĐỀ BÀI – HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ
1
Thắc mắc liên hệ: />
Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312
Spring 2019
Page: Love NeverDies
Đề giữa kì & HD giải
Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU
LỜI NÓI ĐẦU
Chào các em, mình họ Hoàng Bá, tên Mạnh (1994 – chưa rõ)!
Mình viết tài liệu này mục đích là gì khỏi nói chắc các em cũng hiểu. Điều mình lo lắng nhất khi viết tài liệu này là
nó không đến được tay của các em, hoặc các em cầm trên tay mà không nhận được giá trị gì. Cảm giác đó, ngắn gọn
gọi là “thất bại”, khi mà mình tạo ra một sản phẩm không được cộng đồng đón nhận. Thốn lắm!
Bởi vậy nên để dùng nó hiệu quả, mình có để một vài lưu ý cho các em như sau:
(1) Đề giữa kì này khá cũ (từ K57 về trước), nhưng so sánh với các đề 58,59 thì mình khẳng định giá trị của nó
vẫn còn rất nhiều, cho dù là ôn luyện tổng hợp hay chia dạng - ôn luyện giữa kì hay cuối kì!
(2) Một vài nguyên nhân khiến mình không đề tên của thầy cô ra đề, chuyện đó mình nghĩ cũng không ảnh hưởng
gì tới việc luyện tập của các em
(3) Khác biệt lớn nhất là nội dung hiện tại có thể đã giảm tải nhiều phần. Các em chú ý trên lớp, hỏi bạn bè, thầy
cô về những phần đã lược bỏ nhé.
Ví dụ như: bài toán khai triển thì bỏ phần dư dạng Lagrange, chỉ viết dạng Peano. Cho nên bài nào viết
khai triển với phần dư Lagrange thì chúng ta đổi hết về dạng Peano là được
Tất nhiên lời giải sẽ còn những chỗ sơ sót, thay số sai,... nên khi gặp bất kì vấn đề nào còn vướng mắc, chưa rõ, sai rõ
ràng thì mong các em thông cảm, bình tĩnh gửi phản hồi về cho page Love NeverDies nhé. Mình rất đỗi cảm ơn và
chắc chắn giải đáp tận tình, chu đáo!
Ôn tập chăm chỉ và thi tốt các em nhé ^^
Sưu tầm & Soạn giải
LND9492
Manh163
2
Thắc mắc liên hệ: />
Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312
Spring 2019
Page: Love NeverDies
Đề giữa kì & HD giải
Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU
ĐỀ GIỮA KÌ K57 VỀ TRƯỚC & HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ
MỤC LỤC
PHẦN I: Đề giữa kì từ K57 về trước ............................................................................................................................................ 5
1.
Đề 1 ......................................................................................................................................................................... 5
2.
Đề 2 (quá rõ) ........................................................................................................................................................... 6
3.
Đề 4 (quá rõ) ........................................................................................................................................................... 7
4.
Đề 5 ......................................................................................................................................................................... 8
5.
Đề 6 ......................................................................................................................................................................... 8
6.
Đề 7 ......................................................................................................................................................................... 8
7.
Đề 8 ......................................................................................................................................................................... 9
8.
Đề 9 ......................................................................................................................................................................... 9
9.
Đề 10 ....................................................................................................................................................................... 9
10.
Đề 11 ................................................................................................................................................................. 10
11.
Đề 14 ................................................................................................................................................................. 10
12.
Đề 15 ................................................................................................................................................................. 10
13.
Đề 16 ................................................................................................................................................................. 11
14.
Đề 17 (quá rõ) .................................................................................................................................................... 11
15.
Đề 18 ................................................................................................................................................................. 11
16.
Đề 19 ................................................................................................................................................................. 11
17.
Đề 20 ................................................................................................................................................................. 12
18.
Đề 21 (quá rõ) .................................................................................................................................................... 12
19.
Đề 22 ................................................................................................................................................................. 12
20.
Đề 23 ................................................................................................................................................................. 13
21.
Đề 25 ................................................................................................................................................................. 13
22.
Đề 26 (Đủ nét) ................................................................................................................................................... 14
23.
Đề 28 ................................................................................................................................................................. 14
24.
Đề 29 ................................................................................................................................................................. 14
25.
Đề 30 ................................................................................................................................................................. 15
26.
Đề 31 ................................................................................................................................................................. 15
PHẦN II: HƯỚNG DẪN GIẢI & ĐÁP SỐ .................................................................................................................................... 16
3
Thắc mắc liên hệ: />
Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312
Spring 2019
Page: Love NeverDies
Đề giữa kì & HD giải
Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU
Đề 1 .............................................................................................................................................................................. 16
Đề 2 .............................................................................................................................................................................. 17
Đề 4 .............................................................................................................................................................................. 18
Đề 5 .............................................................................................................................................................................. 19
Đề 6 .............................................................................................................................................................................. 20
Đề 7 .............................................................................................................................................................................. 21
Đề 8 .............................................................................................................................................................................. 23
Đề 9 .............................................................................................................................................................................. 24
Đề 10 ............................................................................................................................................................................ 25
Đề 11 ............................................................................................................................................................................ 26
Đề 14 ............................................................................................................................................................................ 27
Đề 15 ............................................................................................................................................................................ 28
Đề 16 ............................................................................................................................................................................ 29
Đề 17 ............................................................................................................................................................................ 30
Đề 18 ............................................................................................................................................................................ 31
Đề 19 ............................................................................................................................................................................ 32
Đề 20 ............................................................................................................................................................................ 33
Đề 21 ............................................................................................................................................................................ 33
Đề 22 ............................................................................................................................................................................ 35
Đề 23 ............................................................................................................................................................................ 35
Đề 25 ............................................................................................................................................................................ 36
Đề 26 ............................................................................................................................................................................ 37
Đề 28 ............................................................................................................................................................................ 38
Đề 29 ............................................................................................................................................................................ 39
Đề 30 ............................................................................................................................................................................ 40
Đề 31 ............................................................................................................................................................................ 41
4
Thắc mắc liên hệ: />
Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312
Spring 2019
Page: Love NeverDies
Đề giữa kì & HD giải
Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU
PHẦN I: Đề giữa kì từ K57 về trước
1. Đề 1
(
Câu 1: Tính
đạo hàm y log 4 x −1 5 3 2 x − 2
=
2+ x
)
Câu 2: Tìm khoảng tăng giảm và cực trị hàm y = 5 ( 2 x + 3)( 3 x − 1)
3
Câu 3: Khai triển Mac Laurin hàm số: =
f ( x ) ln ( 3 x + 1)
Câu 4: Viết biểu thức vi phân toàn phần của hàm số: u =
Câu 5: Tính đạo hàm riêng cấp 1: f ( x; y ) =
−2 x 3
53 y
e2 x
x + 2 y y − 3z
tại x = 2, y = 8
Câu 6: Hàm sản xuất Q = 30 K 0,3 L0,5
a. Đánh giá hiệu quả của việc tăng quy mô sản xuất
b. Giả sử=
w L 5,=
wK 9 . Tìm sản lượng tối đa biết ngân sách sản xuất cố định là 120
Câu 7: Tìm cực trị hàm số u = 2 x 2 + y 2 + 3z 2 + 4 xz − 6 y + 6 z
5
Thắc mắc liên hệ: />
Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312
Spring 2019
2. Đề 2 (quá rõ)
Page: Love NeverDies
Đề giữa kì & HD giải
Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU
6
Thắc mắc liên hệ: />
Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312
Spring 2019
3. Đề 4 (quá rõ)
Page: Love NeverDies
Đề giữa kì & HD giải
Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU
7
Thắc mắc liên hệ: />
Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312
Spring 2019
Page: Love NeverDies
Đề giữa kì & HD giải
4. Đề 5
1
1
Câu 1: Tính lim sin + cos
x →∞
x
x
cotg
Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU
1
x
1 2
π
x −1
x + 1 arctan x − x 2 −
2
8
2
(
Câu 2: Tìm khoảng tăng, giảm và cực trị hàm y =
Câu 3: Cho hàm=
số u y. f ( x 2 − y 2 ) . Chứng tỏ rằng:
)
1 ∂u 1 ∂u u
+
=
x ∂x y ∂y y 2
−Q12 − 3Q22 − 7Q32 + 300Q2 + 1200Q3 + 4Q1Q3 + 20 . Xác định mức
Câu 4: Một doanh nghiệp có hàm lợi nhuận là: π =
sản lượng kết hợp Q1 , Q2 , Q3 sao cho doanh nghiệp thu được lợi nhuận tối đa.
px 8,=
py 5 và thu nhập cho tiêu
Câu 5: Cho hàm lợi ích tiêu dùng là: u = x 0,6 y0,25 ; giá các mặt hàng tương ứng là=
dùng là 680. Xác định lượng cầu với mỗi loại hàng hóa x, y để người tiêu dùng tối đa lợi ích
Câu 6: Tìm tất cả nguyên hàm của f ( x ) = cos6 x
3
Câu 7: Tính tích phân
∫ x log
1
3
x dx
3
5. Đề 6
2
dt
Câu 1: Xác định khoảng tăng giảm và cực trị hàm f ( x ) = ∫
2
8 x 2 ln 3t − 2t + 9
(
−1
Câu 2: Tính tích phân
∫ (4x
2
)
4
)
− 5 e6 x dx
−∞
Câu 3: Tìm cực trị hàm số: w =
−6 x 2 − 4 y 2 − 2 z 2 + 4 xz + 2 yz + 4 x − 2 z + 25
Câu 4: Sử dụng phương pháp nhân tử Lagange tìm cực trị z = 8 x − 6 y − 45 với điều kiện 2 x 2 + 3y 2 =
6
6. Đề 7
a =−
4 x , b =−
4 y , x, y là hai số cuối trong số thứ tự. Ví dụ: STT: 128 thì a = 4 − 2 = 2, 4 − 8 = 4
Câu 1: Cho hàm số =
y f ( x=
) 2 x − cos
x
a +1
a. Chứng minh rằng hàm số trên có hàm ngược. Tính f −1 ( a + 1) π
b. Tính ( f −1 )′ ( a + 1) π
Câu 2: Cho hàm số
y f=
=
(t )
t +a
dx
∫ (1 + x ) 1 +
(
0
2
20 b + 2
x
)
a. Khảo sát sự biến thiên và tìm cực trị hàm y = f ( t )
2
b. Tính giới hạn I = lim f ( t )
t →+∞
Câu 3: Tìm cực trị hàm số u = x 2 + ( 2 a + 1) xy − y 2 + z 2 − 12 x + 10 y − ( b + 1) z
8
Thắc mắc liên hệ: />
Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312
Spring 2019
Câu 4: Hàm sản xuất Q = K
a +1
10
b+2
10
L
Page: Love NeverDies
Đề giữa kì & HD giải
Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU
. Tìm mức sử dụng K và L thích hợp để doanh nghiệp đạt sản lượng cực đại.
Biết giá thuê 1 đơn vị K và L lần lượt là $(a+1) và $(b+2) và chi phí dành cho sản xuất là $(a+b+3)*100. Nếu chi
phí sản xuất tăng thêm 2% thì sản lượng tối ưu thay đổi như thế nào?
7. Đề 8
Câu 1: Cho hàm số y = 4 x 2 e −3 x +1 . Tính y′ (1)
Câu 2: Tìm khoảng tăng giảm và cực trị hàm
=
y e −3 x ( 4 x + 1)
Câu 3: Viết biểu thức vi phân toàn phần của hàm
=
w 3x 2 ( 4 x + 5y 4 )
Câu 4: Tính tích phân
2
∫ ( 3x − 5) ln ( 2 x + 1) dx
Câu 5: Tìm cực trị hàm w = x 3 − 4 xy + 2 y 2 + x + 3
Câu 6: Dùng phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực trị hàm w = 4 x − 3 y + 2 với điều kiện 4 x 2 + 3y 2 =
7
8. Đề 9
1
5
4
; x ≠ −3
( x + 3) cos
Câu 1: Cho hàm số f ( x ) =
. Tính f ′ ( x )
x +3
0
; x = −3
) ( y ) với f và g là các hàm khả vi cấp 2. Tính vi phân toàn phần của
(
Câu 2: Cho hàm =
số u ( x; y ) g log y x + f
∂2u
u ( x; y ) và tính
∂x∂y
Câu 3: Tìm cực trị hàm w= 10 x 2 + 9 y 2 + z 2 − 18 xy + 4 x + 2 z
Câu 4: Tìm cực trị hàm w
= 3 x + 2 y với điều kiện x 2 + 2 y 2 =
16 bằng phương pháp nhân tử Lagrange
− 2
Câu 5: Tính tích phân suy rộng
∫ (x
−∞
4
xdx
− 2 x + 2 arctan x 2 − 1
2
)
(
)
9. Đề 10
1
4
3
; x≠2
( x − 2 ) sin
Câu 1: Cho hàm số f ( x ) =
. Tính f ′ ( x )
x −2
0
; x=2
x2
u ( x; y ) g ( log x y ) + x. f
Câu 2: Cho hàm số=
với f và g là các hàm khả vi cấp 2. Tính vi phân toàn phần của
y
∂2u
u ( x; y ) và tính
∂x∂y
Câu 3: Tìm cực trị hàm w =
− x 2 − 2 y 2 − 9 z 2 + 4 xz + 2 y − 3z − 4
Câu 4: Tìm cực trị hàm w = x 0,3 y0,6 với điều kiện x + 2 y =
9 bằng phương pháp nhân tử Lagrange
( 3x + 8) dx
∫1 x ( x + 4 ) ln x x + 4
(
)
+∞
Câu 5: Tính tích phân suy rộng
9
Thắc mắc liên hệ: />
Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312
Spring 2019
Page: Love NeverDies
Đề giữa kì & HD giải
10. Đề 11
Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU
1
6
5
; x≠3
( x − 3) arctan
Câu 1: Cho hàm số f ( x ) =
. Tính f ′ ( x )
x −3
0
; x =3
(
Câu 2: Cho hàm số
=
u ( x; y ) g log
u ( x; y ) và tính
x
y
y + x2 f
với f và g là các hàm khả vi cấp 2. Tính vi phân toàn phần của
x
)
∂2u
∂x∂y
Câu 3: Tìm cực trị hàm w= 17 x 2 + 9 y 2 + 4 z 2 + 24 xy − 2 x + 24 z
Câu 4: Tìm cực trị hàm w
= 2 x + 3 y với điều kiện 2 x 2 + 3 y 2 =
20 bằng phương pháp nhân tử Lagrange
(1 + 2
+∞
∫
Câu 5: Tính tích phân suy rộng
e−1
( x +1+ x
)
x + 1 ) ln ( x +
x + 1 dx
x +1
)
11. Đề 14
1
4
3
; x≠2
( x − 2 ) arctan
Câu 1: Cho hàm số f ( x ) =
. Tính f ′ ( x )
x −2
0
; x=2
(
)
y
Câu 2: Cho hàm số
=
u ( x; y ) g log y 3 y + x. f
với f và g là các hàm khả vi cấp 2. Tính vi phân toàn phần
x
của u ( x; y ) và tính
∂2u
∂x∂y
Câu 3: Tìm cực trị hàm w = x 2 + 5 y 2 + z 2 + 4 xy + 4 x − 3z
Câu 4: Tìm cực trị hàm w = x 0,4 y0,6 với điều kiện 2 x + 3 y =
15 bằng phương pháp nhân tử Lagrange
+∞
Câu 5: Tính tích phân suy rộng
∫x
2
dx
x − 1 arctan x − 1
12. Đề 15
a, b chắc là hai số cuối trong số thứ tự
Câu 1: Cho f ( x ) =
2 x +b
∫
a
dt
t4 +1
a. Tìm khoảng tăng giảm và cực trị hàm số y = f ( x )
2
b. Tìm nghiệm x0 của phương trình f ( x ) = 0 . Viết khai triển Tay-lor của f ( x ) tại x0 đến lũy thừa ( x − x0 )
(
)
)
2 ( b + 1) xy x 2 − a 2 + 1 y 2
, x 2 + y2 ≠ 0
2
2
2
Câu 2: Cho hàm f ( x; y ) =
. Hỏi fxy′′ ( 0;0 ) = fyx′′ ( 0;0 ) hay không?
x + a +1 y
0
, x= y= 0
(
Câu 3: Tìm cực trị=
z 4 ( 7a + 1 − 3b ) x − 12 ( a − b − 1) y − 14 x 2 + 12 xy − 6 y 2
10
Thắc mắc liên hệ: />
Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312
2
Spring 2019
Page: Love NeverDies
Đề giữa kì & HD giải
13. Đề 16
Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU
Câu 1: Xét hàm số ϕ ( x ) = f ( x; y0 ) với f ( x; y ) là hàm hai biến xác định trong lân cận của điểm M0 ( x0 ; y0 ) . Sử
dụng định nghĩa, hãy chứng minh rằng nếu hàm số ϕ ( x ) có đạo hàm tại điểm x0 thì fx′ ( x0 ; y0 ) = ϕ ′ ( x0 )
Câu 2: Tìm các điểm cực trị của hàm u =x 2 + 2 y 2 + 7 z 2 − 4 xz − 16 y − 12 z + 3
Câu 3: Giả sử, với cơ cấu mua sắm gồm hai mặt hàng, người tiêu dùng có hàm lợi ích U = x 0,8 y0,6 . Giá hai loại
px 10,
=
py 6 và thu nhập khả dụng là 420. Xác định túi hàng (x;y) cho lợi ích tối đa.
hàng là=
Câu 4: Hàm số ϕ ( x ) = f ( x ) g ( x ) có đạo hàm tại điểm x0 hay không nếu f ( x ) có đạo hàm tại x0 , lim f ( x ) ≠ 0
x → x0
và g ( x ) không có đạo hàm tại x0 . Hãy chứng minh câu trả lời của bạn, căn cứ vào các mệnh đề đã biết.
14. Đề 17 (quá rõ)
15. Đề 18
Câu 1: Cho hàm số: f (=
x)
3
( x − 3)
2
arctan
1
khi x ≠ 3 và f ( 3) = 0 . Tính f ′ ( x ) , x ∈
3− x
Câu 2: Khai triển Mac Laurin hàm số g ( x ) =
x
đến số hạng chứa x 3 với phần dư dạng Lagrange
2x − x + 3
2
x −1
Câu 3: Xác định khoảng tăng, giảm và các điểm đạt cực trị của hàm =
F ( x ) ∫ 5t 4 − t 2 + 3dt
0
2
2
16. Đề 19
11
Thắc mắc liên hệ: />
Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312
Spring 2019
Page: Love NeverDies
Đề giữa kì & HD giải
Câu 1: Cho hàm số: f (=
x)
5
(1 − 2 x )
4
arccot
Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU
( )
1
khi x ≠ 1 và f 1 = 0 . Tính f ′ ( x ) , x ∈
2
2
2x −1
Câu 2: Khai triển Taylor hàm số g ( x ) =−
( x 1) 3 x 2 + 7 đến số hạng chứa ( x − 1) với phần dư dạng Lagrange
3
5 3 6
Câu 3: Xác định khoảng tăng, giảm và các điểm đạt cực trị của hàm F=
( x ) ∫ t − 2t 3 + 4dt
4 x 2 +1
4
17. Đề 20
Câu 1: Cho hàm số: f (=
x)
5
(4 − 2x )
6
arccot
Câu 2: Khai triển Taylor hàm số g ( x ) =
3
khi x ≠ 2 và f ( 2 ) = 0 . Tính f ′ ( x ) , x ∈
x −2
x +1
5
x −2
2
đến số hạng chứa ( x + 1) với phần dư dạng Lagrange
3
3 x −5 3 2
Câu 3: Xác định khoảng tăng, giảm và các điểm đạt cực trị của hàm=
F ( x ) ∫ 2t − 3t + 4 dt
−1
2
2
18. Đề 21 (quá rõ)
19. Đề 22
Câu 1: Tìm cực trị hàm số f ( x; y ) =1 + 6 x − x 2 − xy − y 2
∞
Câu 2: Tính tích phân sau:
∫x
2
4
xdx
− 2x2 +1
Câu 3: Giải phương trình vi phân y′ =
y2
xy − x 2
12
Thắc mắc liên hệ: />
Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312
Spring 2019
Page: Love NeverDies
Đề giữa kì & HD giải
20. Đề 23
Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU
20
Câu 1: Tính giới hạn: lim ( cos12 x ) tan2 2 x
x →0
1
Câu 2: Tính
∫ ( 4 x − 8) e
2x
dx
−∞
3 x −2 6 2
x
Câu 3: Tìm khoảng tăng giảm và cực trị hàm số F=
( ) ∫ t − 4t + 10dt
1
8
Câu 4: Tìm cực trị của hàm w =
−3 x 2 − y 2 − 14 z 2 + 12 xz + 8z + 12 y + 20
1
2
1
3
=
py 15 và thu nhập cho tiêu dùng 4800. Xác
Câu 5: Một người tiêu dùng có hàm lợi ích: U = 30 x y =
, px 96,
định cơ cấu tiêu dùng cho lợi ích tối đa. Nếu ngân sách tiêu dùng tăng thêm 1 đơn vị thì lợi ích tối đa thay đổi như
thế nào? Tại sao?
21. Đề 25
Câu 1: Tính lim
x →0
ln ( sin 2017 x )
ln ( sin 2018 x )
1
2
2
; x 2 + y2 ≠ 0
x + y sin 2
2
x +y
Câu 2: Tìm các đạo hàm riêng của hàm số: f ( x; y ) =
0
; x= y= 0
(
)
Câu 3: Tìm cực trị của hàm số u =x 2 + 3y 2 + 4 z 2 − 2 xy + 3xz − 2 z + 3
Câu 4: Khai triển Mac Laurin hàm số f ( x ) =
1 − 3x
đến lũy thừa bậc 3 của x với phần dư Peano
e2 x
13
Thắc mắc liên hệ: />
Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312
Spring 2019
Page: Love NeverDies
Đề giữa kì & HD giải
22. Đề 26 (Đủ nét)
Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU
23. Đề 28
Câu 1: Một doan nghiệp có hàm sản xuất Q = 15 3 K L .
a. Đánh giá hiệu quả của việc tăng quy mô sản xuất
b. Giả sử giá thuê một đơn vị tư bản là 15$, giá thuê 1 đơn vị lao động là 6$. Xác định số lượng tư bản và lao
động được sử dụng để doanh nghiệp tối thiểu hóa chi phí sản xuất nhưng vẫn đạt 150 đơn vị sản lượng.
c. Nếu sản lượng tăng 1% thì chi phí tối thiểu của doanh nghiệp thay đổi như thế nào?
y 2 − 5 xy
; x 2 + y2 ≠ 0
. Xác định hàm số fy′ ( x; y )
Câu 2: Cho hàm f ( x; y ) = x + 4 y
0
; x= y= 0
Câu 3: Cho hàm ẩn x = x ( x; y ) xác định bởi phương trình −3x 2 + 5y 4 + 9z 2 + 2 xz − 3xy + 5x − 7 y + 5 =
0
Viết biểu thức vi phân toàn phần của z tại x =
−2; y =
1; z =
−1
Câu 4: Cho hàm số f ( x ) = 3 x −
1
′
+ 1 . Chứng minh rằng hàm số đó có hàm ngược f −1 và tính f −1 ( 3) .
3
x
( )
24. Đề 29
(
Câu 1: Tính lim sin 6 x + 5 − sin 6 x + 1
x →+∞
)
Câu 2: Một doanh nghiệp cạnh tranh sản xuất ba sản phẩm với hàm chi phí kết hợp TC =Q12 + 2Q22 − 4Q1Q3 + 5Q32 .
14
Thắc mắc liên hệ: />
Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312
Spring 2019
Page: Love NeverDies
Đề giữa kì & HD giải
Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU
Hãy xác định số lượng các sản phẩm để tổng lợi nhuận daonh nghiệp thu được là lớn nhất trong điều kiện giá
trị trường của ba sản phẩm lần lượt là:=
p1 9,=
p2 20,=
p3 10 .
Câu 3: Một gia đình có hàm lợi ích tiêu dùng là U = 3x10,4 x20,6 .
a. Xác định các hàm cầu Hick của người tiêu dùng.
b. Với mức giá tương ứng của hai mặt hàng là=
p1 2,=
p2 3 , hãy xác định túi hàng có chi phí nhỏ nhất để gia
đình này đảm bảo được mức lợi ích U0 = 32
Câu 4: Cho hàm số f ( x ) =
−2 xe x + x 2 − 3 . Viết khai triển Taylor của hàm số đó tại x0 = 1
25. Đề 30
Câu 1: Cho hàm số w = ( 2 x 2 + 5 y 2 ) .arctan ( 4 x 2 + 10 y 2 + 2 ) . Tính 5 y.w′x − 2 x.w′y
2
Câu 2: Cho hàm ẩn y = f ( x ) xác định trong lân cận điểm ( x; y ) = (1;3) thỏa mãn F ( x; y ) = 8 x 3 + y 2 − 3 xy − 2 y = 2
. Tính f ′ (1) và f ′′ (1) .
Câu 3: Một doanh nghiệp độc quyền bán sản phẩm với hàm cầu Q=
10 − 0,5 p . Biết hàm chi phí sản xuất
d
TC= 0,2Q3 − 3Q 2 + 15Q + 10 . Hãy tìm mức giá p0 để doanh nghiệp có lợi nhuận tối đa và tính hệ số co dãn của
cầu theo giá tại p0 .
Câu 4: Tìm các điểm cực trị của hàm số w = 2 x 2 + 3y 2 + z 2 − 2 xy + 2 xz − 4 y
∞
1
1
Câu 5: Tính tích phân ∫
−
dx
2
2
x
+
1
4
12
x
−
x
4
26. Đề 31
Câu 1: Cho hàm số: f (=
x)
5
( x + 2)
4
arctan
8
khi x ≠ −2 và f ( −2 ) =
0 . Tính f ′ ( x ) , x ∈
x+2
Câu 2: Khai triển Taylor hàm số g ( x ) =
( x + 2 ) ln ( 2 x 2 + 3) đến số hạng chứa ( x + 2 ) với phần dư dạng Lagrange
3
−3
dt
Câu 3: Xác định khoảng tăng, giảm và các điểm đạt cực trị của hàm F ( x ) = ∫
4
4 3t − 2 sin 4t + 8
2 x −5
4
15
Thắc mắc liên hệ: />
Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312
Spring 2019
Page: Love NeverDies
Đề giữa kì & HD giải
Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU
PHẦN II: HƯỚNG DẪN GIẢI & ĐÁP SỐ
Đề 1
Đ C
Hướng dẫn giải
(
Đáp số
)
5
53 2x − 2
y log 4 x −1 =
=
(
2+ x
)
(
)
ln 5 3 2 x − 2
ln 5 3 2 x − 2
=
4 x − 1 ln ( 4 x − 1) + ln 2 + x
ln
2+ x
1
u ′
v
Dùng công thức =
y′ =
2
2 5 ( 3 x − 1)
3
5 5 ( 2 x + 3)
4
+
(
y′ =
5x − 3 ( 2 x )
2
ln
4x −1
2+ x
(
1
4
3
−
+
ln 5 2 x − 2
4
1
x
−
2x + 4 x
(
)
35 2x + 3
5 5 ( 3 x − 1)
2
=
7
; +∞ , giảm
12
12 x + 7
5 5 ( 2 x + 3) ( 3 x − 1)
4
Khoảng tăng −
2
du = u′x dx + u′y dy + uz′ dz
4
7
12
2
=
du
(
( x + 2y
(
)
)
(
(
)
)
(
1
−
−6 x 2
2
2x3
− x 3 y 3 ⇒ f x′ ( x; y ) =
f ( x; y ) =
; f y′ ( x; y ) =
5
53 y
15 3 y 4
a. Với t > 1 có:
0,3
0,5
=
Q ( tK ; tL ) 30 ( tK
=
) ( tL ) t 0,8 30 K 0,3 L0,5 < t.Q ( K ; L )
6
b.
120
Tìm ( K ; L ) để tối đa Q với điều kiện 9 K + 5 L =
)
− 3z )
2 e 2 x x + 2 y y − 3z − e 2 x
y
e 2 x x + 2 y y − 3z ′
2e2 x e y ln y ′
y
y
3e2 x
−
=
−
=
u′y =
...
2
2
+
y
y
x + 2 y − 3z
x + 2 y − 3z
x + 2 y y − 3z
(
5
7
−∞; − 12
x
x
−1) 33.2!
(
3
32
f ( x ) = 3 x − 32. + 33 + ... +
′
′′
′′′
−
=
; f (x) =
;
;
f (x) =
f
x
(
)
2
3
2
3
3x + 1
( 3x + 1)
( 3x + 1)
n
x
n −1
n −1 n
+ ( −1) 3n
+ o ( xn )
−
−
1
3
1
!
n
(
)
(n) ( )
n
f
n
( 3x + 1)
2
1
2
u′v − v′u
v2
Cực tiểu: xCT = −
3
)
ln ( 4 x − 1) + ln 2 + x
2
)
2
3
dx −
2e2 x (1 + ln y ) y y
( x + 2y
y
− 3z
)
2
dy +
dz
12
1
f x′ ( 2;8 ) =
− ; f y′ ( 2;8 ) =
5
15
a. Hiệu quả giảm theo quy mô
5;15) , λ 5−0,7.150,5
b. Điểm dừng =
( K ; L ) (=
thỏa mãn là cực đại của Q trong ràng buộc
ngân sách sản xuất
=l 30 K 0,3 L0,5 + λ (120 − 9 K − 5L )
Hàm Lagrange:
7
)
;z)
Điểm dừng ( x; y=
( 3;3; −3)
Là cực tiểu của u , giá trị cực tiểu
uCT = −18
16
Thắc mắc liên hệ: />
Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312
Spring 2019
Page: Love NeverDies
Đề giữa kì & HD giải
Đề 2
Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU
Hướng dẫn giải
Đáp số
tan ( sin x )
ln
2
x
tan ( sin x ) x
=
=
⇔
y
y
ln
2
x
x
1
tan ( sin x )
ln
x
lim ln y lim
=
2
x →0
x →0
x
tan ( sin x ) − x
(* )
x
= lim
=
x →0
x2
1
MXĐ: D = ; y′ =
3
( x + 1)
2
Lopitan 1 lần và tách thành 3 giới hạn nhỏ:
tan 2 ( sin x )
cos x − 1
L1 lim
L2 lim
=
= ...;
=
= ...;
x →0
x →0
3x 2
x2
cos x
L3 lim
= ...
tan ( sin x ) − x =
x →0
3
ln 1 +
x
1
lim
1
2
x2
x
tan
sin
x →0
(
)
x
6
Kết quả lim
e
=
x →0
x
L)
(
tan ( sin x ) − x
lim
...
=
x →0
x3
+
2
2x
3 x +1
3
5x + 3
=
3
5
3 x +1
cực đại
f ( x ) =( x + 2 ) =e
x
3
2
x ln ( x + 2 )
3
5
Tăng ( −∞; −1) , − ; +∞ ; giảm −1; −
3
xCD = −1 , cực tiểu
xCT = −
3
5
Khai triển cần viết:
,
x x ln( x + 2 )
x
f ′ ( x=
e
f (x)
= ln ( x + 2 ) +
) ln ( x + 2 ) +
x + 2
x + 2
f (x) =
1 + x ln 2 +
1
1 + ln 2 2 x 2 + o x 2
2
( )
1
x
2
+
f ( x ) + ln ( x + 2 ) +
f ′′ ( x ) =
f ′( x )
2
x + 2
x + 2 ( x + 2 )
+)
4
Thay ( x; y ) = ( 0;1) vào ta được:
∂2w
w′′yz =
( x; y ) =
( w′y )′x
∂y∂x
(
)
(
+) w′y =
−2 f x 2 + 2 y 2 + 4 y ( x − 2 y ) . f ′ x 2 + 2 y 2
+)
∂2w
−4 x. f ′ x 2 + 2 y 2 + 4 y. f ′ x 2 + 2 y 2
( x; y ) =
∂y∂x
)
(
(
+ 8 xy ( x − 2 y ) f ′′ x 2 + 2 y 2
5
)
Điểm dừng M 1; −
(
)
∂2w
( 0;1) = 4
∂y∂x
)
16 23
;
19 19
M là cực tiểu của
w,
giá trị cực tiểu w ( M )
=
D1 60
=
x 4 ; D2 600
=
x 4 ; D3 4560 x 4
(
2
Hàm Lagrange: L = 4 x + 7 y + λ u0 − x 3 y
6
7
2
4
49
1
3
)
u0 3 ; u0 3
=
Điểm
dừng: ( x; y ) =
, λ 6 3
Kết hợp mua sắm cần tìm là:
( x; y ) = u0 3
7
2
7 3 4
; u0
2
49
17
Thắc mắc liên hệ: />
Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312
Spring 2019
Page: Love NeverDies
Đề giữa kì & HD giải
Đề 4
Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU
Hướng dẫn giải
Đáp số
3
− 3
2
f ( x; −2 ) − f (1; −2 )
x
fx′ (1; −2 ) lim
=
= lim = ...
x →1
x →1
x −1
x −1
quy
đồng
fy′ (1; −2 ) =
−
1 mẫu
=
fy′ (1; −2 ) lim
y →−2
fx′ (1; −2 ) =
−2 3
f (1; y ) − f (1; −2 )
1− y − 3
= lim= ... nhân liên
y →−2
y+2
y+2
1
2 3
hợp
0
1
−
b.
=
I
e x 1 − e2 x dx
ln (1 − x )
∫
1
−
x
lim ln x. ln=
= lim− =
(1 − x ) xlim
− ln 2
x →1−
→1−
x →1
1
1
−
x
ln x
x ln 2 x
e=
I
sin t ⇒ e x dx= cos tdt ⇒ =
1
2 ln x
ln 2 x ( L )
lim−
lim− x
0
=
=
=
−2 lim− x ln x =
0
x →1 1
x →1
x →1
1
π
1 + cos 2t
3
−1
− 2
=
− −
dt =
∫
x
x
2
12 8
π
( L)
a.
2
4
0
∫ cos
π
6
6
(
; F ′ ( x ) =
D=
2 −3 x 2
)
1
5
2 + 3x 6
∫
5
2 + 3t 2 dt
x3
3
x = 0
F′ ( x ) = 0 ⇔
3
1 − x
(
ε
)
Khoảng tăng: (1;+∞ ) , giảm ( −∞;1)
x = 0
⇔
2
5
2 + 3ε =
0
x = 1
Cực tiểu duy nhất
xCT = 1
là giá trị nào đó nằm giữa 1 và x 3 (ĐL giá trị trung bình)
x 2 y2
L = 2 x − 3 y + λ 36 −
−
4
9
216
97
64
;−
4 Điểm dừng M1
, λ1 =
16
97
97
Xét điều kiện đủ ta được:
97
64 216
M2 −
−
;
, λ2 =
16
97 97
M1 là cực tiểu, M2 là cực đại
18
Thắc mắc liên hệ: />
Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312
2
tdt=
Spring 2019
Page: Love NeverDies
Đề giữa kì & HD giải
Đề 5
1
1
Câu 1: lim sin + cos
x →∞
x
x
cotg
1
x
=lim ( sin t + cos t )
cotgt
t →0
. Đặt y =
Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU
( sin t + cos t )
cotgt
⇔ ln y =
ln ( sin t + cos t )
tan t
1
cos t − sin t
cotg
x
1
1
ln ( sin t + cos t ) ( L )
sin t + cos t 1 ⇒ lim sin + cos
e1 =
e
=
=
=
lim ln y lim = lim
2
x
→∞
t →0
t →0
t →0 1 + tan t
x
x
tan t
1 π
2 4
1
2
x−
x arctan x −
Câu=
2: y′ x arctan x + − =
π
; y′ = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1
4
Hàm số tăng trên ( −∞;0 ) và (1;+∞ ) , giảm trên ( 0;1) ; cực đại
Câu 3:
xCD = 0 , cực tiểu xCT = 1
∂u
∂u
= 2 xy. f ′ x 2 − y 2 ; = f x 2 − y 2 − 2 y 2 f ′ x 2 − y 2 , thay vào rồi biến đổi là xong!
∂x
∂y
(
)
(
)
(
)
Câu 4: Giải như cực trị tự do: ( Q1 ; Q2 ; Q3 ) = ( 400;50;200 )
L x 0,6 y0,25 + λ ( 680 − 8 x − 5y ) . Cực đại ( x; y ) = ( 60;40 ) và λ = 0,05.600,6.40−0,75
Câu 5: Hàm Lagrange:=
3
1
1 + cos 2 x
2
3
Câu 6: ∫ cos xdx =
∫ 2 dx =8 ∫ 1 + 3cos 2 x + 3cos 2 x + cos 2 x dx =
(
6
)
1
1 + cos 4 x 3cos 2 x + cos6 x
5 x 15sin 2 x 3sin 4 x 3sin 6 x
=
1 + 3cos 2 x + 3
+
dx =+
+
+
+C
∫
8
2
4
16
64
64
192
3
Câu 7:
∫
1
3
1
3
1
3
1
1
x log3 x dx =
− ∫ x log3 xdx + ∫ x log3 xdx =
−
x ln xdx +
x ln xdx =
∫
∫
ln
3
ln
3
1
1
1
1
3
Tích phần từng phần và ta được kết quả:
3
1 16 40
− + ln 3
ln 3 9 9
19
Thắc mắc liên hệ: />
Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312
Spring 2019
Page: Love NeverDies
Đề giữa kì & HD giải
Đề 6
2
dt
∫
′
Câu 1: f ( x ) = 4
2
2
ln 3 8 x 2 − 2 8 x 2 + 9 8 x 2 ln 3t − 2t + 9
( −16 x )
( )
( )
(
)
Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU
3
x = 0
x = 0
2 − 8x 2
0⇔
f ′( x ) =
⇔
0
=
x = ±2
ln 3ε 2 − 2ε + 9
(
)
( ε là giá trị nào đó nằm giữa 2 và 8x 2 ; ĐL giá trị trung bình)
Khoảng tăng: ( −2;0 ) ; ( 2; +∞ ) , khoảng giảm ( −∞; −2 ) ; ( 0;2 )
Một cực đại xCD
−2; xCT 2 =
2
= 0 , hai cực tiểu: xCT1 =
−1
−1
−1 4
1
1
Câu 2: I ( t ) =∫ ( 4 x 2 − 5) e6 x dx = ∫ ( 4 x 2 − 5) d ( e6 x ) = ( 4 x 2 − 5) e6 x
− ∫ xe6 x dx =
t
6
6
3
t
t
=
5 −6 1
e −
36t 2 − 12t − 43 e6 t
54
54
(
)
1
36t 2 − 12t − 43
5
5 −6 1
lim I ( t=
lim e −6 −
36t 2 − 12t − 43 e6 t =
lim
e
−
)
54
t →−∞
t →−∞ 54
54
54 t →−∞
e −6 t
(
)
Lopitan 2 lần ta được kết quả của tích phân suy rộng là
−1
∫ (4x
−∞
1
2
7
Câu 3: Điểm dừng ( x; y; z ) = ; − ; − là cực đại của
22 22 11
w,
2
5 −6
− 5 e6 x dx =
e
54
)
giá trị cực đại wCD =
6229
242
Câu 4: Hàm Lagrange: L = 8 x − 6 y − 45 + λ ( 6 − 2 x 2 − 3 y 2 )
24 1 24
24 1 24
11
11
;−
−
;
;
cực đại: M2 −
, λ1 =
, λ2 =
6
6
11 2 11
11 2 11
Cực tiểu: M1
20
Thắc mắc liên hệ: />
Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312
Spring 2019
Page: Love NeverDies
Đề giữa kì & HD giải
Đề 7
Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU
Câu 1:
a.
f −1 ( a + 1) π =
( a + 1)
π
2
. Dưới đây là ví dụ cho trường hợp a= b= 0
f ′ ( x ) = 2 + sin x > 0∀ x ∈ ⇒ f ( x ) đơn điệu tăng trên nên nó có hàm ngược f −1 ( x )
π
π
f −1 (π ) =t ⇔ π = f ( t ) ⇔ π =2t − cos t ⇔ t = . Tức là ta có f −1 (π ) =
2
2
b.
( ) . Dưới đây sử dụng định nghĩa để tính cho trường hợp a=
( f )′ ( a + 1) π =
2 ( a + 1) + 1
a +1
−1
b= 0
π
′ π
( )
(f )
−1
f −1 ( x ) −
f −1 ( x ) − f −1 (π )
2
lim
= lim
x →π
x →π
x −π
x −π
−1
π
Đặt u = f ( x ) ⇒ x = f ( u ) = 2u − cos u và x → π ⇒ u → , thay lại giới hạn trên ta được:
2
⇒ f −1 ′ (π )= lim
( )
u→
π
2
u−
π
( L)
1
1
2
= lim
=
π
2u − cos u − π u→ 2 + sin u 3
2
21
Thắc mắc liên hệ: />
Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312
Spring 2019
Page: Love NeverDies
Đề giữa kì & HD giải
Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU
Câu 2
t +a
Vì
dx
∫ (1 + x ) 1 +
(
2
0
20 b + 2
x
)
(
1 + ( t + a ) 1 +
2
> 0 (do
=
Vậy ta được khoảng tăng: D
t +a
2
= =
a. D
f ′ (t ). f (t )
[0; +∞ ) , y′ 2=
)(
(
20 b + 2
1
1 + x 2 1 + 20 b + 2 x
dx
∫
t + a ) (1 + x ) (1 +
2
0
)
a
[0; +∞ ) , giá trị nhỏ nhất y ( 0 ) = ∫
f ( t ) lim
=
=
b. I lim
t →+∞
t →+∞
1
u
+∞
dx
dx
∫ (1 + x ) 1 +=
∫ (1 + x ) 1 +
x)
(
(
20 b + 2
2
0
1
u
Đặt x =⇒ dx =
− 2 du và x
2
0
x
)
> 0 và a ≥ 0 ) nên y′ ≥ 0
0
t +a
20 b + 2
20 b + 2
x
dx
(1 + x ) (1 +
2
20 b + 2
x
)
)
+∞
0
, thay lại ta được:
⇒u
0
+∞
1
0
+∞
+∞
− 2 du
20 b + 2
20 b + 2
20 b + 2
u
u
x
u
I ==
du
du
dx
−
=
=
∫+∞ 1
∫
∫
∫
2
2
2
20
2
20
2
20 b + 2
b
b
+
+
1
1
1
1
u
u
x
+
+
+
0 1+ u
0 1+ x
−∞ 1 + u
1 + u 2 1 + 20 b + 2
u
0
)(
(
+∞
⇒=
I+I
0
+∞
1
∫ (1 + x ) 1 +
(
2
)
20 b + 2
x
)
dx +
20 b + 2
∫ (1 + x )
(
0
2
)(
(
+∞
x
=
dx
1 + 20 b + 2 x
)
)
dx
∫ 1=
+x
2
0
(
)(
+∞ π
x
arctan =
0
2
π
⇒I=
4
b +1
20a − 14
24 a + 32
Câu 3: Điểm dừng M ( x; y; z ) với: x =
−
;y =
;z =
2
2
2
4 + ( 2 a + 1)
4 + ( 2 a + 1)
D1 =2; D2 =−4 + ( 2 a + 1) ; D3 =2 D2
2
⇒ M là cực tiểu với những bạn có a = 1,2,3,... , M không là cực trị với a = 0
22
Thắc mắc liên hệ: />
Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312
)
Spring 2019
l K
=
Câu 4: Hàm Lagrange:
a +1
10
b+2
10
L
Page: Love NeverDies
Đề giữa kì & HD giải
Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU
+ λ 100 ( a + b + 3) − ( a + 1) K − ( b + 2 ) L
a + b −7
1
Cực đại ( K ; L ) = (100;100 ) với λ = .100 10
10
Hệ số co dãn của sản lượng cực đại
∂C0 Qm
Qm
a + b −8
a + b +3
1
10
.100 10 ;=
C0 100 ( a + b + 3) ; Q
=
100
m
10
λ
Từ bài có=
⇒ε
∂Qm C0
C
Qm theo chi phí sản xuất C=
= λ. 0
0 là: ε
a + b −7
100 ( a + b + 3) a + b + 3
1
10
.100
.
=
a + b +3
10
10
100 10
⇒ Khi chi phí sản xuất tăng thêm 2% thì sản lượng tối ưu tăng xấp xỉ
a+b+3
%
5
Đề 8
Câu 1: y′ ( x ) =
−4e −2
(8x − 12 x 2 ) e−3x +1 ⇒ y′ (1) =
Câu 2: D = ; y′ = (1 − 12 x ) e −3 x = 0 ⇔ x =
Khoảng tăng −∞;
1
.
12
1
1
1
, khoảng giảm ; +∞ ; cực đại xCD =
12
12
12
2
Câu 3: dw = w′x dx + w′y dy = 6 x ( 4 x + 5 y 4 ) + 24 x 2 ( 4 x + 5 y 4 ) dx + 120 x 2 y 3 ( 4 x + 5 y 4 ) dy
Câu 4:
dùng tích phân từng phần và tích phân của phân thức, ta được kết quả
∫ ( 3x − 5) ln ( 2 x + 1) dx =
3x 2
3 x 2 − 17 x 17
−
5
x
ln
2
x
+
1
−
− ln ( 2 x + 1) + C
)
(
4
8
2
23
Thắc mắc liên hệ: />
Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312
Spring 2019
Page: Love NeverDies
Đề giữa kì & HD giải
Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU
6 x −4
1 1
Câu 5: D = 2 , điểm dừng: M1 (1;1) và M2 ; . =
D1 6 x; =
D2
= 24 x − 16
−4 4
3 3
⇒ M1 là cực tiểu của
w,
wCT = 3 ; chưa có kết luận về M2
Câu 6: L = 4 x − 3 y + 2 + λ ( 7 − 4 x 2 − 3 y 2 ) . Điểm dừng M1 (1; −1) ; λ1 =
và M2 ( −1;1) ; λ2 =
−
1
2
0
g1
g2
g1
−8λ
0
g2
(
−λ 8g22 + 6 g12
0 =
−6λ
)
1
2
⇒ M1 là cực tiểu, M2 là cực đại
Đề 9
Câu 1: x ≠ −3 : f ′=
(x)
54
1
+
x + 3 cos
4
x +3
x=
−3 : f ′ ( −3) =lim
f ( x ) − f ( −3)
x →−3
x +3
1
5 4
4 x + 3 cos x + 3 +
⇒ f ′( x ) =
0
ln x
Câu
2: u g
=
+ f
2 ln y
du
= u′x dx + u′y dy
=
1
4
( x + 3)
3
sin
=lim 4 x + 3 cos
x →−3
1
4
1
x +3
( x + 3)
3
sin
1
1
≤1
0 vì lim 4 x + 3 =
=
0 và cos
x →−3
x +3
x +3
1
; x ≠ −3
x +3
; x = −3
( y)
ln x
ln x
ln x 1
1
g′
dx
+
g′
f′
−
+
2
2 x ln y 2 ln y
2 y ln y 2 ln y 2 y
y dy
( )
ln x
ln x
∂2u
1
ln x
=
u′y )′ =
−
g′
−
g ′′
(
2
3
x
∂y∂x
2 xy ln y 2 ln y 4 xy ln y 2 ln y
Câu 3: Cực tiểu ( x; y; z ) =( −2; −2; −1) , giá trị cực tiểu wCT = −5
24
Thắc mắc liên hệ: />
Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312
Spring 2019
Page: Love NeverDies
Đề giữa kì & HD giải
Câu 4: L = 3 x + 2 y + λ (16 − x 2 − 2 y 2 )
Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU
4
11
4
11
12
12
−
;−
;
; λ2 =
, λ1 = 8 và M2 −
8
11
11
11 11
Điểm dừng: M1
Cực tiểu M1 , cực đại M2
− 2
Câu 5: I ( t ) = ∫
t
(
xdx
1
− 2 1 π 1
2
=
ln
arctan
x
−
1
= ln − ln arctan t 2 − 1
4
2
2
2 4 2
x − 2 x + 2 arctan x − 1 2
t
)
(
(
)
)
(
)
1
1 π 1
1 π 1 π
lim I ( t ) =
lim ln − ln arctan t 2 − 1 =ln − ln =
− ln 2
t →−∞
t →−∞ 2
4 2
2
2 4 2 2
(
)
1
2
Kết quả tích phân suy rộng bằng − ln 2
Đề 10
2 : f ′(2) =
lim
Câu 1: x =
x →2
f ( x ) − f (2)
x −2
lim 2 x − 2 sin
=
x →2
1
1
≤1
0 vì lim 3 x − 2 =
=
0 và sin
x →2
x −2
x −2
1
1
1
4 3
cos
; x≠2
3 x − 2 sin x − 2 − 3
2
x −2
Đạo hàm với x ≠ 2 và kết hợp ta có f ′ ( x ) =
( x − 2)
0
; x=2
x2
ln y
=
Câu
2: u g
+ x. f
ln x
y
ln y
ln y
du =
u′x dx + u′y dy =
g′
−
+
2
x ln x ln x
1
x 2 2 x 2 x 2
x 2
x3
ln y
′
f
f ′
dx +
g′
f
+
−
dy
y
y y
y ln x ln x 2 y y y
2
x2 x4 x2
∂2u
1
ln y
ln y
ln y 3x
′
′
′
′′
′
u
g
g
f
=
=
−
−
−
( x)y
− f ′′
∂x∂y
xy ln 2 x ln x xy ln 3 x ln x 2 y y y y 2 y
25
Thắc mắc liên hệ: />
Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312
