Toán cao cấp hàm nhiều biến, đạo hàm, vi phân

1
CHƯƠNG 5: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
1. Khái niệm cơ bản
1.1. Định nghĩa
 Xét
12
, , , , 1,
n
ni
x x x x i n
.
Khoảng cách giữa 2 điểm
12
, , ,
n
M x x x
và
12
, , ,
n
M x x x
được tính bởi
.
 Cho
n
D
. Ánh xạ
:fD
gọi là 1 hàm n biến xác định trên D. Tập D gọi là
miền xác định của hàm f.
Chú ý: Nếu f cho bởi một biểu thức đại số thì miền xác định là

tập hợp các điểm
 
1
,,
n
xx
sao cho biểu thức có nghĩa .
Ví dụ. Tìm miền xác định của hàm
, lnz f x y x y
.
Hàm số xác định khi
0x y x y

Miền xác định
2
,D x y x y
.
Miền xác định D là miền gạch chéo.
Ví dụ. Tìm miền xác định của hàm
2 2 2
( , , ) 1u f x y z x y z

Hàm số xác định khi :
2 2 2
10x y z
.
Miền xác định D
3 2 2 2
, , 1D x y z x y z
(quả cầu tâm

, 0, 00
, bán kính 1,
kể cả biên).
1.2. Giới hạn
a) Giới hạn của dãy điểm. Trong R
2

ta nói dãy điểm M
n
(x
n
, y
n
) hội tụ về điểm A(a;b) nếu các
dãy số x
n
a; y
n
b

b) Giới hạn của hàm 2 biến. Ta nói hàm f(x,y) có giới hạn L khi (x,y)(x
0
, y
0
) nếu mọi
dãy điểm (x
n
, y
n
)(x

0
, y
0
) thì dãy số f(x
n
, y
n
) L.
Ký hiệu :
0
00
0
,,
lim , lim ,
xx
x y x y
yy
f x y f x y L
.
Chú ý (một số bất đẳng thức thường dùng)
 
2
22
2 4 3
2
2 2 2 2
22
sin 1, cos 1, 1,
1, 1,
x

tt
xy
y x x
x
x y x y
xy
  

  



1
2
2
1
( , ') '
n
ii
i
d M M x x






by
ax
baAyxM

n
n
nnn
);();(
2
c) Giới hạn lặp.
Ta gọi giới hạn lặp của hàm f(x,y) khi x  x
0
; yy
0
là các giới hạn sau đây:
00
lim lim ,
x x y y
f x y
và
00
lim lim ,
y y x x
f x y
.
Ví dụ. Cho
yx
yx
yxf



3
),(


1),(
limlimlim
000








x
x
yxf
xyx
;
3
3
),(
limlimlim
000









y
y
yxf
yxy
.

1.3. Sự liên tục
a) Hàm f(x,y) gọi là liên tục tại (x
0
, y
0
) nếu nó xác định tại (x
0
, y
0
) và
00
00
,,
lim ( , ) ( , )
x y x y
f x y f x y
.
b) Hàm f(x,y) gọi là liên tục trên miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc D.
c) Hàm f(x,y) gọi là gián đoạn tại (x
0
, y
0
) nếu nó không liên tục tại (x

0
, y
0
).
d) Các tính chất về giới hạn và liên tục của hàm nhiều biến cũng tương tự như đối với hàm 1
biến.
Bài tập
Bài 1. Tìm miền xác định của các hàm số sau và biểu diễn miền xác định đó.
a/
2
2z y x
b/
4
1
xy
z
xy




c/
22
22
4xy
z
x y xy




d/
22
22
ln
2
x y x
z
x x y







e/
 
arcsinz x y
f/
 
2
22
1
ln
4
z x y
xy
  

.

Bài 2. Tính các giới hạn sau đây (nếu có):
a/
33
22
1
1
lim
x
y
xy
xy




b/
2
2
0
0
lim
24
x
y
xy
xy



c/

2
22
0
0
lim
x
y
xy
xy




d/
22
0
0
lim
x
y
xy
xy



e/
0
0
lim
x

y
xy
xy



f/
0
0
lim
x
y
xy
xy







g/
5
lim 1
y
x
y
x
y







h/
2
42
0
0
lim
x
y
xy
xy



i/
 
2
2
0
2
lim 1
x xy
x
y
xy





.
j/
11
22
22
0
0




yx
yx
lim
y
x
k/
lim
x
y




(x
2
+ y

2
) sin

xy


Bài 3. Cho
 
2
22
khi (x,y) (0,0)
,
a khi (x,y) (0,0)
xy
f x y
xy









.Tìm hằng số a để f(x,y) liên tục tại (0,0).

3
Bài 4. Cho hàm số
 

   
   
33
22
os , , 0,0
,
, , 0,0
xy
c x y
xy
f x y
A x y













.
Tìm A để hàm số
f
liên tục trên
2

.

2. Đạo hàm riêng và vi phân
2.1. Đạo hàm riêng
Cho hàm f(x,y) xác định trong lân cận điểm (x
0
,y
0
)
Ta định nghĩa:
0 0 0 0
0 0 0 0
0
0 0 0 0
0 0 0 0
0
( ; ) ( , )
( ; ) ' ( ; ) lim
( ; ) ( , )
( ; ) ' ( ; ) lim
x
x
y
y
f x x y f x y
f
x y f x y
xx
f x y y f x y
f

x y f x y
yy

Ví dụ. Cho hàm
 
   
   
33
22
2
, , 0,0
,
0, , 0,0
xy
xy
xy
f x y
xy










.
Tính

   
0,0 ; 0,0
ff
xy


.
Giải
   
00
0 ,0 0,0
2. 0
lim lim 2
xx
f x f
x
xx
   
  



, suy ra
 
0,0 2
f
x




.


   
00
0,0 0,0
0
lim lim 1
yx
f y f
x
yx
   
  



, suy ra
 
0,0 1
f
y



.

2.2. Vi phân toàn phần
Cho hàm z=f(x,y) xác định trong lân cận điểm (x
0

,y
0
).
Ta gọi số gia toàn phần của hàm số tại (x
0
,y
0
) là:
f(x
0
, y
0
) = f(x
0
+ x; y
0
+ y) – f(x
0
;y
0
)
Hàm f(x,y) gọi là khả vi tại (x
0
,y
0
) nếu:
f(x
0
, y
0

) = A.x +B.y +0()
A; B là hằng số chỉ phụ thuộc vào (x
0
;y
0
) ;
Biểu thức A.x + B.y gọi là vi phân toàn phần của hàm f(x,y) tại (x
0
,y
0
) và ký hiệu là
df(x
0
,y
0
) hoặc dz(x
0
,y
0
).
Vậy df(x
0
;y
0
) = A.x + B.y
Ta có các tính chất sau đây :
Tính chất 1. Nếu hàm f(x,y) khả vi tại (x
0
,y
0

) thì nó liên tục tại (x
0
,y
0
)
Tính chất 2. Nếu hàm f(x,y) khả vi tại (x
0
,y
0
) thì nó có các đạo hàm riêng tại (x
0
,y
0
) và

 
2
2
)( yx 

0 0 0 0
( ; ) ; ( , )
ff
x y A x y B
xy



4
Do đó :

Tính chất 3. Nếu hàm f(x,y) có các đạo hàm riêng liên tục trong lân cận điểm (x
0
, y
0
) thì hàm
f(x,y) khả vi tại (x
0
,y
0
).
Nếu f(x,y) = x thì
Nếu f(x,y) = y thì
Vậy

ff
df dx dy
xy




Các quy tắc tính vi phân.
()d f g df dg  
;
( . ) . .d f g f dg g df

( . ) .d f df


;

2.3. Đạo hàm hàm hợp; hàm ẩn
a) Đạo hàm hàm hợp.

Cho z = f(x, y); x = x(t); y = y(t) thì z = f[x(t); y(t)] là hàm hợp theo biến t. Ta có:

dz z dx z dy
dt x dt y dt
.

Cho z = f(x, y); x = x(u,v); y = y(u,v) thì z = f[x(u,v); y(u,v)] l hm hợp theo biến u,v. Ta cĩ:

z z x z y
u x u y u
;
v v v

z z x z y
xy


b) Đạo hàm hàm ẩn.

Nếu y là hàm ẩn của biến x xác định bởi phương trình F(x;y) = 0 thì :

Nếu z=z(x,y) là hàm ẩn 2 biến xác định bởi phương trình F(x,y,z) = 0 thì

2.4. Đạo hàm và vi phân cấp cao
a) Cho hàm z= f(x;y). Ta định nghĩa các đạo hàm riêng cấp 2 như sau
22
2

22
2
;
;
yx xx
xy yy
z f z f
ff
y x x y x x x
z f z f
ff
x y y x y y y

     

 
   


      



     

 
   


      




Định lý Schwarz. Nếu hàm f(x,y) có các đạo hàm riêng
,
xy yx
ff
trong lân cận thì chúng bằng
nhau.
0 0 0 0 0 0
( , ) ( , ). ( ; )
ff
df x y x y x x y y
xy

   

1. 0.df dx x y dx x       
0. 1.df dy x y dy y       
2
f gdf fdg
d
gg





'
'

()
x
y
F
dy
yx
dx F

  
'
'
''
;
y
x
zz
F
F
zz
x F y F

   

5
b) Cho hàm z = f(x,y). Vi phân toàn phần của df(x,y) gọi là vi phân toàn phần cấp 2 của z
và ký hiệu là
2
dz
.
Vậy :

=

Đây là công thức tính vi phân cấp 2 của hàm z = f(x,y). Ta thường dùng công thức lũy thừa
tượng trưng như sau:

Tổng quát ta định nghĩa : d
n
z

= d(d
n-1
z) và được tính như sau :

n
n
d z dx dy z
xy
.
Bài tập
Bài 5. Tính vi phân cấp 1 của các hàm số sau
a)
 
33
,f x y x y y x
b)
arctan
y
z
x


c)
23
w 2 2 15x y z x y z    

d)
33
22
xy
z
xy



e)


22
lnz x x y  
f)
y
zx


Bài 6
a) Cho
cos
sin
xr
yr








, tính
,
xx
r
JJ
yy
r







.
b) Cho
cos sin
sin sin
cos
xr
yr
zr












, tính
,
x x x
r
y y y
JJ
r
z z z
r



  
  
  

  
  
  
.
(Dùng cho toán A3).

Bài 7. Tìm hàm
 
,f x y
biết
22
;
ff
x y y x
xy

   

.
2
()
zz
d z d dz d dx dy
xy


  



z z z z
dx dy dx dx dy dy
x x y y x y
   
     

  
   
     
   
2
2
d z dx dy z
xy






2
dz
=
2 2 2
22
22
2
z z z
dx dxdy dy
x x y y
  

   
6
Bài 8. Cho hàm
 

   
   
2
22
, 0,0
,
0 , 0,0
xy
khi x y
f x y
xy
khi x y









. Chứng minh
f
liên tục trên
2
và
tính các đạo hàm riêng của
f
.
Bài 9. Cho

 
33
3
,f x y x y
. Tính
 
0,0
f
x


và
 
0,0
f
y


.
Bài 10. Tính vi phân
a)
 
1,2,1df
với
 
22
,,
z
f x y z
xy



.
b)
 
1,1df
với
   
,
xy
f x y x y e
.
Bài 11. Tính vi phân toàn phần cấp hai của các hàm số sau tại (1,1)

a)
2 cos
x
z y e y
b)
22
os sinz c y x

c)
 
lnz x y
d)
xy
ze

Bài 12. Tính đạo hàm của các hàm hợp sau

a) Cho
2xy
ue


,
sinxt
,
3
yt
. Tính
du
dt
.
b) Cho
 
3
arcsin , 3 , 4z x y x t y t   
. Tính
dz
dt
.
c) Cho
2
lnz x y
,
u
x
v


,
32y u v
. Tính
z
u


và
z
v


.
d) Cho
 
 
, ln
xy
f x y e e
với
3
1
3
y x x
. Tính
f
y


và

df
dx
.
Bài 13. Tính đạo hàm theo biến x của các hàm ẩn y=y(x) xác định bởi phương trình
a)
33
1x y xy
b)
arctan
22
x y y





c)
0
y x xy
xe ye e  
d)
xy
yx

Bài 14. Cho hàm ẩn y = y(x) xác định bởi phương trình
xy
x y e


.

a) Tính
dy
dx
,
 
1
dy
dx
.
b) Tính
2
2
dy
dx
, từ đó tính
 
2
2
1
dy
dx
biết
 
11y 
.
Bài 15.
a) Cho hàm ẩn
 
,z z x y
xác định bởi

 
ln 0
2
xy
z x z  
. Tính
,
zz
xy


.
b) Cho hàm ẩn
 
,z f x y
xác định bởi phương trình
 
sin 0x y z xyz   
với
 
0,0 0f 
.
Tính
 
0,0
f
x


và

 
0,0
f
y


.
7
c) Cho hàm số
xz
u
yz



, tính
' ; '
xy
uu
biết
z
là hàm ẩn của x, y được xác định bởi phương
trình
z x y
ze xe ye
.
Bài 16.
Cho hàm ẩn
 
,z z x y

xác định bởi phương trình
x y z
x y z e
  
  
.
Tính
2
,dz d z
.


3. Cực trị
3.1. Cực trị tự do
 Ta nói hàm f(x,y) đạt cực tiểu tại điểm (x
0
, y
0
) nếu tồn tại 1 lân cận V của điểm (x
0
, y
0
) sao
cho:
00
( , ) ( , ) ( , )f x y f x y x y V  
và .
 Ta nói hàm f(x,y) đạt cực đại tại điểm (x
0
, y

0
) nếu tồn tại 1 lân cận V của điểm (x
0
, y
0
) sao
cho:
00
( , ) ( , ) ( , )f x y f x y x y V  
và .
 Hàm f(x,y) đạt cực đại hoặc cực tiểu tại (x
0
,y
0
) thì gọi là đạt cực trị tại (x
0
, y
0
). Điểm (x
0
,y
0
)
gọi là điểm cực trị của hàm f(x,y).
Ví dụ. Hàm
 
22
,f x y x y
đạt cực tiểu tại
 

0,0
vì
   
22
, 0 0,0f x y x y f   
với mọi
   
, 0,0xy 
.

Định lý. Nếu hàm f(x,y) đạt cực trị tại (x
0
, y
0
) và tồn tại các đạo hàm riêng tại (x
0
,y
0
) thì các
đạo hàm riêng đó bằng 0.
Từ định lý trên ta suy ra rằng Các điểm có khả năng đạt cực trị của hàm f(x,y) là các điểm mà
tại đó các đạo hàm riêng bằng 0 hoặc không tồn tại. Ta gọi các điểm ấy là điểm dừng.
Định lý. Giả sử z=f(x,y) có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục trong lân cận điểm dừng (x
0
,y
0
).
Khi đó:
+Nếu d
2

f (x
0
,y
0
) >0 thì hàm số đạt cực tiểu tại (x
0
,y
0
)
+Nếu d
2
f (x
0
,y
0
) <0 thì hàm số đạt cực đại tại (x
0
,y
0
)
+Nếu d
2
f(x
0
,y
0
) không xác định dấu thì hàm số không đạt cực trị tại (x
0
,y
0

).
Hệ quả: Giả sử
 
00
,xy
là điểm dừng của
 
,f x y

     
2 2 2
2
0 0 0 0 0 0
22
, , , , , ,
f f f
A x y B x y C x y AC B
x x y y
  
     
   
. Khi đó
+ Nếu
0, 0A  
thì f đạt cực tiểu tại
 
00
,xy
.
+ Nếu

0, 0A  
thì f đạt cực đại tại
 
00
,xy
.
+ Nếu
0
thì f không đạt cực trị tại
 
00
,xy
.
Sơ đồ khảo sát cực trị hàm
 
,f x y

(1) Tìm điểm dừng
   
1 1 1 2 2 2
0
, , , ,
0
x
y
f
P x y P x y
f










(2) Tính
,,
xx xy yy
f f f
  

(3) Khảo sát từng điểm dừng
Tại
 
1 1 1
,P x y
:
     
2
1 1 1
, , ,
xx xy yy
A f P B f P C f P AC B
  
     

00
( , ) ( , )x y x y

00
( , ) ( , )x y x y
8
+ Nếu
0, 0A  
thì
1
P
là điểm cực tiểu.
+ Nếu
0, 0A  
thì
1
P
là điểm cực đại.
+ Nếu
0
thì
1
P
không là điểm cực trị.
+ Nếu
0
thì xt
1
P
bằng định nghĩa.
3.2. Cực trị có điều kiện :
Ta nói hàm f(x,y) đạt cực tiểu có điều kiện (x,y) tại điểm (x
0

, y
0
) nếu:
f(x,y)>f(x
0
,y
0
) (x,y) (x
0
,y
0
) và (x, y) = 0; (x
0
;y
0
)=0
Định nghĩa tương tự cho trường hợp cực đại có điều kiện.
Sơ đồ khảo sát cực trị hàm
 
,f x y
với điều kiện
 
,0xy



(1) Lập hàm Lagrange
     
, , . ,L x y f x y x y




(2) Tìm điểm dừng
 
 
 
1 1 1 1
2 2 2 2
,,
0
0 , ,
,0
x
y
P x y
L
L P x y
xy


















(3) Tính
,,
xx xy yy
L L L
  

(4) Khảo sát từng điểm dừng
 
1 1 1 1
, , :P x y



       
2 2 2
1 1 1 1
2
xx xy yy
d L P L P dx L P dxdy L P dy
  
  

Với lưu ý
   
11

0
xy
P dx P dy



và dx, dy không đồng thời bằng không.
Kết luận :
+ Nếu
 
2
1
0d L P 
thì
1
P
là điểm cực tiểu.
+ Nếu
 
2
1
0d L P 
thì
1
P
là điểm cực đại.
+ Nếu
 
2
1

d L P
không xác định dấu thì
1
P
không là điểm cực trị.
3.3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên miền đóng và bị chặn.
Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm f(x,y) trên miền đóng và bị chặn D ta
thực hiện như sau:
(1) Tìm trong D:
+ Tìm các điểm dừng của f
0
0
x
y
f
f








+ Loại các điểm dừng không là điểm trong của D. Tính giá trị của f tại những điểm dừng
còn lại.
(2) Tìm trên biên D:
+ Nếu biên D có phương trình
 
,0xy



thì lập hàm Lagrange
     
, , . ,L x y f x y x y


. Tìm điểm dừng của L
 
0
0
,0
x
y
L
L
xy











. Tính giá trị của f tại
những điểm dừng này.

9
+ Nếu biên D là những đoạn thẳng thì từ phương trình đoạn thẳng rút y theo x (hoặc x
theo y) thay vào hàm
 
,f x y
, ta có hàm một biến. Tìm GTLN, GTNN của hàm này,
tính f của những giá trị này.
(3) So sánh giá trị của f ở các bước (1) và (2) để tìm được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

Bài tập
Bài 17. Tìm cực trị của các hàm số sau
a)
 
22
4z x y x y   
b)
22
1z x xy y x y     

c)
y
z x y xe  
d)
4 4 2 2
22z x y x y   

e)
 
 
22

22
xy
z x y e


f)
2yz
ux
x y z
   

g)
2 2 2
4 6 2u x y z x y z     
h)
 
33
,3f x y x y xy  

i)
 
33
, 2 24 16f x y x xy y  
k)
 
2 2 2
, , 2 2 4f x y z x y z xy z x     

l)
 

32
, 3 15 12f x y x xy x y   

m)
 
3 2 2
, , 2 2 3 1f x y z x xy y xz z y      


Bài 18. Tìm cực trị có điều kiện
a)
11
z
xy

với điều kiện
22
1 1 1
4xy

.
b)
22
z x y
với điều kiện
1
23
xy

.

c)
22
12 2z x xy y  
với điều kiện
22
4 25xy
.
d)
22
4z x y xy x y     
nếu
30xy  
.
e)
u x y z  
với điều kiện
1 1 1
1
x y z
  
.
f)
22u x y z  
với điều kiện
2 2 2
36x y z  
.
g)
 
23

,,f x y z xy z
nếu
2 3 1x y z  
(trong đó
, , 0x y z 
).
h)
 
, , 2 5f x y z x y z  
với điều kiện
2 2 2
30x y z  
.
Bài 19. Tìm GTNN và GTLN của
a)
22
z x y
trong hình tròn
22
4xy

b)
 
2
4z x y x y  
trong miền giới hạn bởi
0, 0, 6x y x y   
.
c)
 

33
,3f x y x y xy  
trong miền D:
02
12
x
y



  

.
d)
 
22
,f x y x y xy x y    
trong miền D:
0
0
3
x
y
xy









.
e)
 
22
,f x y x xy y  
trong miền
:1D x y
.
f)
 
22
,1f x y x y  
trong hình tròn
   
22
1 1 1xy   
.