Một số phương pháp đồng luân giải gần đúng phương trình vi phân thường

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

TRẦN THỊ HẢI YẾN

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP ĐỒNG LUÂN
GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN THƯỜNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

TRẦN THỊ HẢI YẾN

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP ĐỒNG LUÂN
GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN THƯỜNG

Chuyên ngành: Toán giải tích

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS. KHUẤT VĂN NINH

Hà Nội – Năm 2018


LỜI CẢM ƠN

Sau thời gian học tập nghiên cứu tại trường Đại Học Sư Phạm Hà
Nội 2, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô trong trường
và quý thầy cô trong khoa Toán, đã tận tình giúp đỡ chỉ bảo trong suốt
thời gian em theo học tại khoa và trong thời gian làm khóa luận.
Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Khuất
Văn Ninh – Giảng viên khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội
2, người trực tiếp hướng dẫn em, luôn tận tâm chỉ bảo và định hướng
cho em trong suốt quá trình làm khóa luận để em có thể hoàn khóa luận
tốt nghiệp.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng vì thời gian và kinh nghiệm bản
thân còn nhiều hạn chế nên khóa luận khó tránh khỏi những thiếu sót,
em rất mong nhận được sự đóng góp quý báu của các thầy cô giáo, các
bạn sinh viên và bạn đọc.
Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn tất cả mọi người đã giúp đỡ
và tạo điệu kiện thuận lợi cho em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp.
Em xin chân thành cảm ơn.

Hà Nội, tháng 05 năm 2018
Sinh viên

Trần Thị Hải Yến


LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân em dưới sự hướng
dẫn và chỉ bảo tận tình của thầy giáo PGS.TS. Khuất Văn Ninh.
Trong khi thực hiện đề tài nghiên cứu này em đã tham khảo một số
tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo. Em xin khẳng định kết
quả của đề tài “Một số phương pháp đồng luân giải gần đúng
phương trình vi phân thường” là kết quả của việc nghiên cứu, học
tập và nỗ lực của bản thân, không có sự trùng lặp với kết quả của các
đề tài khác. Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.

Hà Nội, tháng 05 năm 2018
Sinh Viên

Trần Thị Hải Yến


Mục lục

Lời mở đầu

1

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

3

1.1

Chuỗi hàm, chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

Định nghĩa chuỗi hàm . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

Khái quát về chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . .

4

1.1.3

Định nghĩa chuỗi Taylor . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Đồng luân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3

Khái quát về phương trình vi phân . . . . . . . . . . . .

6

1.3.1

Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3.2

Phương trình vi phân tuyến tính cấp n . . . . . .

9

2 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH ĐỒNG LUÂN GIẢI PHƯƠNG
TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN
2.1

2.2

11

Khái niệm cơ bản về phương pháp giải tích đồng luân và
phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

3 PHƯƠNG PHÁP NHIỄU ĐỒNG LUÂN VÀ PHƯƠNG
PHÁP TIỆM CẬN ĐỒNG LUÂN TỐI ƯU
i

23


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

3.1

Phương pháp nhiễu đồng luân (HPM) . . . . . . . . . . .
3.1.1

23

Khái niệm cơ bản về phương pháp nhiễu đồng luân
và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

Ví dụ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

Phương pháp tiệm cận đồng luân tối ưu (OHAM) . . . .

30

3.1.2
3.2

Trần Thị Hải Yến

3.2.1

3.2.2

Khái niệm cơ bản về phương pháp tiệm cận đồng
luân tối ưu và phương pháp giải . . . . . . . . . .

30

Ví dụ

34

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

KẾT LUẬN

42

TÀI LIỆU THAM KHẢO

43

ii


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Hải Yến

LỜI MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trong toán học, phương trình vi phân không ngừng được phát triển
và đóng một vai trò quan trọng trong việc mô hình hóa nhiều quy trình
vật lý, kỹ thuật, công nghệ và sinh học. Chúng ta biết rằng, chỉ có một số
ít các phương trình vi phân có thể tìm được nghiệm chính xác, phần lớn
các phương trình vi phân nảy sinh từ các bài toán thực tiễn đều không
tìm được nghiệm chính xác. Do đó, vấn đề đặt ra là tìm cách để xác định
nghiệm gần đúng của phương trình vi phân. Xuất phát từ nhu cầu đó,
các nhà toán học đã tìm ra các phương pháp để giải gần đúng phương
trình vi phân, một số phương pháp đã được phát triển để đáp ứng nhu
cầu và nhằm đạt được các giải pháp tốt hơn và tốt hơn nữa. Phương
pháp giải tích đồng luân, Phương pháp nhiễu đồng luân, Phương pháp
tiệm cận đồng luân tối ưu là những phương pháp được ứng dụng nhiều
trong việc giải phương trình vi phân phi tuyến.
Vì lí lẽ đó, em chọn đề tài nghiên cứu: “Một số phương pháp đồng
luân giải gần đúng phương trình vi phân thường”.
2. Mục đích nghiên cứu
Trình bày và giải thích các phương pháp đồng luân để giải gần đúng
phương trình vi phân thường. Các phương pháp này là phương pháp giải
tích đồng luân, phương pháp nhiễu đồng luân và phương pháp tiệm cận
đồng luân tối ưu.
1

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Hải Yến

3. Phương pháp nghiên cứu
+ Phương pháp nghiên cứu lí luận.
+ Phương pháp nghiên cứu tổng kết tài liệu.
4. Cấu trúc khóa luận
Nội dung khóa luận gồm ba chương:
Chương 1 "Kiến thức chuẩn bị" trình bày một số kiến thức về chuỗi
hàm, chuỗi lũy thừa, đồng luân và khái quát về phương trình vi phân.
Chương 2 "Phương pháp giải tích đồng luân giải phương trình vi phân
phi tuyến". Mục đích của chương này là giới thiệu về phương pháp giải
tích đồng luân giải phương trình vi phân phi tuyến và môt một số ví dụ
áp dụng.
Chương 3 "Phương pháp nhiễu đồng luân và Phương pháp tiệm cận
đồng luân tối ưu". Mục đích của chương này là giới thiệu về phương pháp
nhiễu đồng luân, phương pháp tiệm cận đồng luân tối ưu giải phương
trình vi phân thường và một số ví dụ áp dụng.
Khóa luận được trình bày trên cơ sở các tài liệu tham khảo được liệt
kê trong phần tài liệu tham khảo. Em rất biết ơn các tác giả của tất cả
các tài liệu được trích dẫn.

2


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về chuỗi hàm, chuỗi lũy
thừa, đồng luân và khái quát về phương trình vi phân. Nội dung của
chương này được tham khảo trong các tài liệu [1], [2], [3].

1.1
1.1.1

Chuỗi hàm, chuỗi lũy thừa
Định nghĩa chuỗi hàm

Định nghĩa 1.1. Cho dãy hàm {un } xác định trên một tập U ⊂ R.
Chuỗi hàm là một tổng hình thức:
∞

u1 (x) + u2 (x) + . . . + un (x) + . . . =

un (x)

(1.1)

n=1
∞

Khi x = x0 (x0 ∈ U) thì chuỗi hàm (1.1) trở thành chuỗi số
∞

Nếu chuỗi số hội tụ thì ta nói x0 là điểm hội tụ, nếu

un (x0 ).
n=1

un (x0 ) phân kì
n=1

thì ta nói x0 là điểm phân kì của chuỗi hàm (1.1).
Tập hợp tất cả các điểm x mà chuỗi hàm hội tụ được gọi là miền hội
tụ của chuỗi hàm đó.
3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Hải Yến

n

Kí hiệu Sn (x) =

uk (x) là tổng riêng thứ n của chuỗi hàm.
k=1

Nếu tồn tại lim Sn (x) = S(x) thì S(x) gọi là tổng của chuỗi hàm.
n→∞

1.1.2

Khái quát về chuỗi lũy thừa

Định nghĩa 1.2. Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng
∞

an xn = a0 + a1 x + ...

n=0
∞

Nếu chuỗi lũy thừa có dạng

an (x − x0 )n bằng cách đặt X = x − x0

n=0

ta đưa chuỗi đó về dạng trên.
Định nghĩa 1.3. (Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa)
∞

Số r > 0 được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa

an xn nếu

n=0

chuỗi hội tụ (tuyệt đối) với mọi |x| < r và phân kì với mọi |x| > r. Nếu
∞

r = 0 thì

an xn chỉ hội tụ tại x = 0.

n=0

∞

Khoảng (−r, r) được gọi là khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừa

an xn .

n=0

1.1.3

Định nghĩa chuỗi Taylor

Định nghĩa 1.4. (Chuỗi Taylor)
Giả sử hàm f khả vi đến cấp n trong một lân cận nào đó của x0 ∈ U
và f (n) (x) liên tục tại x0 . Khi đó với x ở trong lân cận nói trên của x0
ta có
f (n) (x0 )
(x − x0 )n
n!
n=0
∞

T (x) =
hay
T (x) = f (x0 ) +

f (x0 )
f (n) (x0 )
(x − x0 ) + ... +
(x − x0 )n + o((x − x0 )n )

1!
n!
4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Hải Yến

Công thức trên được gọi là chuỗi Taylor của hàm f (x) tại điểm x0 .
Nếu x0 = 0 thì chuỗi
f (0)
f (n) (0) n
T (x) = f (0) +
x + ... +
x + ...
1!
n!
được gọi là chuỗi khai triển Mac – Laurin của hàm f (x).
Khai triển Mac – Laurin một số hàm sơ cấp cơ bản
∞ xn
x2 x3 x4
1. e = 1 + x +
+
+
+ ... =
;
2!
3!
4!

n=0 n!
x

−x

2. e

n
∞
x2 x3 x4
nx
−
+
− ... =
;
=1−x+
(−1)
2!
3!
4!
n!
n=0

∞ (−1)n
x2 x4
+
− ... =
x2n ;
3. cos x = 1 −
2!

4!
n=0 2n!
∞
x3 x5
(−1)n 2n+1
4. sin x = x −
+
− ... =
x
;
3!
5!
n=0 (2n + 1)!

x3 2x5 17x7
5. tan x = x +
+
+
+ o(x7 ).
3
15
315

1.2

Đồng luân

Định nghĩa 1.5. Một biến đổi đồng luân giữa hai ánh xạ liên tục f và
g từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y được định nghĩa là ánh
xạ liên tục

H : X × [0, 1] → Y
sao cho với mọi điểm x ∈ X ta có
H(x, 0) = f (x) và H(x, 1) = g(x).

5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.3
1.3.1

Trần Thị Hải Yến

Khái quát về phương trình vi phân
Một số khái niệm

Khái niệm phương trình vi phân thường
Phương trình vi phân thường là một phương trình trong đó có chứa
biến số độc lập, hàm phải tìm (ẩn hàm) là hàm một biến và đạo hàm
(hoặc vi phân) các cấp của ẩn hàm. Trong một phương trình vi phân
thường, có thể vắng mặt ẩn hàm và biến số độc lập nhưng bắt buộc phải
có mặt đạo hàm (hoặc vi phân) của ẩn hàm. Nếu ẩn hàm là hàm nhiều
biến (từ hai biến trở lên), phương trình được gọi là phương trình đạo
hàm riêng. Một phương trình vi phân thường có dạng tổng quát
F (x, y(x), y (x), ..., y (n) (x)) = 0

(1.2)

trong đó hàm F xác định trong miền D ⊂ Rn+2 , x là biến số độc lập,

y(x) là ẩn hàm, y (x), y (x),. . . là các đạo hàm của hàm y(x).
Từ phương trình (1.2) ta có thể giải được
y (n) = f (x, y, y , ..., y (n−1) ).

(1.3)

Cấp của phương trình vi phân là n nếu n là cấp cao nhất của đạo
hàm (hoặc vi phân) của ẩn hàm có mặt trong phương trình.
Khái niệm về nghiệm của phương trình vi phân thường cấp n
Nghiệm của phương trình vi phân thường cấp n là hàm y = ϕ(x)
khả vi n lần trên khoảng (a, b) sao cho:
(x, ϕ(x), ϕ (x), . . . , ϕn (x)) ∈ G, ∀x ∈ (a, b)

6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Hải Yến

F (x, ϕ(x), ϕ (x), . . . , ϕn (x)) = 0 trên (a, b).
Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân thường cấp n có dạng
y = y(x, c1 , c2 , ..., cn ) trong đó c1 , c2 , ..., cn là các hằng số tùy ý, mỗi giá
trị của hằng số đều cho một nghiệm.
Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân thường cấp n
Bài toán tìm nghiệm của phương trình (1.2) hoặc (1.3) thỏa mãn
(n−1)

điều kiện ban đầu y(x0 ) = y0 , y (x0 ) = y0 ,... y (n−1) (x0 ) = y0

được gọi

là bài toán Cauchy.
Nghiệm của phương trình mà tại mỗi điểm của nó tính duy nhất
nghiệm của bài toán Cauchy bị phá vỡ được gọi là nghiệm kì dị.
Điều kiện Lipchitz
Xét phương trình
y = f (x, y)
f xác định trong miền G ⊂ R2 . Ta nói rằng, trong miền G hàm f (x, y)
thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến y nếu tồn tại hằng số L sao cho
đối với hai điểm (x, y1 ) ∈ G, (x, y2 ) ∈ G bất kì, ta có bất đẳng thức
|f (x, y1 ) − f (x, y2 )| ≤ L |y1 − y2 | .
Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Giả sử hàm f (x, y) thỏa mãn điều kiện sau đây:
+ f (x, y) liên tục trong miền G;
+ f (x, y) thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo y trong G.
Khi đó ứng với mỗi điểm trong (x0 , y0 ) ∈ G tồn tại duy nhất một
nghiệm y = y(x) của phương trình y = f (x, y) thỏa mãn điều kiện ban
7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Hải Yến

đầu y(x0 ) = y0 . Nghiệm này xác định trên đoạn [x0 − h, x0 + h], trong
đó h được xác định trong phần xây dựng dãy xấp xỉ Picar.
Một số phương trình vi phân đã biết cách giải
a. Phương trình biến số phân ly
+ Phương trình

dy
= f (x) có nghiệm y =
dx

+ Phương trình

dy
= f (y) có nghiệm
dx

f (x)dx + C.

dy
= x + C.
f (y)

+ Phương trình M1 (x).N1 (y)dx + M2 (x).N2 (y)dy = 0
suy ra

M1 (x)
N2 (y)
dx +
dy = 0 với N1 (y).M2 (x) = 0.
M2 (x)
N1 (y)

b. Phương trình vi phân cấp một thuần nhất
dy
Phương trình

= f (x, y) gọi là phương trình thuần nhất nếu
dx
f (tx, ty) = tk f (x, y) (t > 0)
Để giải phương trình này ta đặt u =

y
sau đó đưa về giải phương trình
x

vi phân có biến số phân ly.
c. Phương trình vi phân tuyến tính cấp một
Dạng tổng quát là
y + p(x)y = q(x)
nghiệm tổng quát của phương trình trên là
y = e−

p(x)dx

.

q(x).e

p(x)dx

dx + C , với C là hằng số.

d. Phương trình Bernoulli
Dạng tổng quát là
dy
+ P (x).y = Q(x).y α

dx
8

(1.1.4)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Hải Yến

+ Nếu α = 1 thì phương trình được gọi là phương trình thuần nhất
cấp một.
+ Nếu α = 0 thì phương trình được gọi là phương trình không thuần
nhất cấp một.
+ Nếu α = 0, α = 1 chia cả hai vế của phương trình cho y α sau đó
đặt z = y 1−α và đưa về phương trình tuyến tính không thuần nhất.
1.3.2

Phương trình vi phân tuyến tính cấp n

Phương trình vi phân tuyến tính cấp n có dạng tổng quát là
a0 (x)y (n) + a1 (x)y (n−1) + ... + an (x)y = g(x)

(1.4)

Như vậy ở đây hàm F trong định nghĩa dạng tổng quát của phương
trình vi phân cấp cao phụ thuộc một cách tuyến tính theo y, y , ..., y (n) .
Ta giả thiết các hàm a0 (x), a1 (x),..., an (x), g(x) liên tục trên khoảng
(a, b) và a0 (x) = 0 trên (a, b) khi đó chia hai vế của (1.4) cho a0 (x) ta
được phương trình

y (n) + p1 (x)y (n−1) + ... + pn (x)y = f (x)

(1.5)

ai (x)
g(x)
, f (x) =
(i = 1, 2, ..., n) là những hàm liên
a0 (x)
a0 (x)
tục trên khoảng (a, b).
trong đó pi (x) =

Để đơn giản cách viết, ta kí hiệu
L[y] = y (n) + p1 (x)y (n−1) + ... + pn (x)y
trong đó L[y] được gọi là toán tử vi phân tuyến tính.
9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Hải Yến

Toán tử L[y] có các tính chất sau:
+ Đối với y1 (x) , y2 (x) khả vi n lần liên tục ta có
L[y1 + y2 ] = L[y1 ] + L[y2 ]
+ Đối với hàm khả vi liên tục n lần, y(x) và hằng số C bất kỳ ta có
L[Cy] = CL[y].
Nếu trong phương trình (1.5) hàm f (x) = 0 ta có phương trình
L[y] = 0

được gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất cấp n.
Hàm f (x) = 0 ta gọi phương trình (1.5) là phương trình tuyến tính
không thuần nhất cấp n.

10


Chương 2
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH
ĐỒNG LUÂN GIẢI PHƯƠNG
TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN
Chương này trình bày về phương pháp giải tích đồng luân (Homotopy
Analysis Method - HAM) và một số ví dụ áp dụng giải phương trình vi
phân. Nội dung của chương được tham khảo trong các tài liệu [3], [5].

2.1

Khái niệm cơ bản về phương pháp giải tích đồng
luân và phương pháp giải

Xét phương trình vi phân phi tuyến sau:
N (u(x)) = 0

(2.1)

ở đó N là toán tử phi tuyến, x là biến độc lập, u(x) là một hàm chưa
biết. Lấy u0 (x) là một xấp xỉ ban đầu của nghiệm chính xác u(x) và L
là một toán tử tuyến tính phụ thỏa mãn

11

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Hải Yến

L(f ) = 0 ⇒ f = 0

(2.2)

Giả sử X, Y là các không gian tôpô, ta xây dựng một đồng luân
H(φ(x; q); q) : X × [0, 1] → Y
thỏa mãn
H(φ(x; q); q) = (1 − q)L(φ(x; q) − u0 (x)) − hH(x)qN (φ(x; q))

(2.3)

ở đó H(x) là một hàm phụ, h là một tham số phụ được gọi là tham số
điều khiển hội tụ, q ∈ [0, 1] gọi là tham số nhúng, φ(x; q) là một nghiệm
xấp xỉ của phương trình (2.1).
Phương trình H(φ(x; q); q) = 0 gọi là phương trình đồng luân.
Lưu ý: từ phương trình (2.3) nghiệm tìm được từ phương pháp này
phụ thuộc vào bốn yếu tố chính: phép xấp xỉ ban đầu u0 (x); toán tử
tuyến tính L; hàm phụ H(x) và tham số phụ h.
Khi q = 0 phương trình đồng luân trở thành phương trình biến dạng
bậc không
L(φ(x; 0) − u0 (x)) = 0
Từ giả thiết (2.2) suy ra
φ(x; 0) = u0 (x)
Khi q = 1 phương trình đồng luân trở thành

N (φ(x; 1)) = 0

12

(2.4)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Hải Yến

⇔

φ(x; 1) = u(x).

(2.5)

Như vậy ta tìm được nghiệm chính xác của phương trình (2.1) nhờ biểu
thức (2.5).
Khi tham số q tăng dần từ 0 đến 1, phương trình đồng luân thay
đổi từ một phương trình tuyến tính dễ dàng giải được đến phương trình
cần giải (2.1). Hơn nữa nghiệm φ(x; q) thay đổi từ nghiệm xấp xỉ ban
đầu u0 (x) của phương trình (2.4) đến nghiệm chính xác u(x) của phương
trình (2.5). Đó là ý tưởng sâu sắc của phép đồng luân.
Xác định đạo hàm cấp m sau:
(m)
u0 (x)

∂m
= m (φ(x; q))|q=0

∂q

Khai triển hàm φ(x; q) thành chuỗi Taylor theo q ta có chuỗi sau:
∞

(m)

u0 (x) m
q
φ(x; q) = φ(x; 0) +
m!
m=1

(2.6)

(m)

u (x)
Đặt um (x) = 0
và sử dụng đẳng thức (2.4), đẳng thức (2.6) trở
m!
thành
∞

um (x)q m .

φ(x; q) = u0 (x) +
m=1

Với việc lựa chọn thích hợp tham số nhúng h, hàm phụ H(x), xấp xỉ

ban đầu u0 (x), và toán tử tuyến tính phụ L. Giả sử chuỗi lũy thừa của
nghiệm hội tụ khi q = 1 khi đó chuỗi nghiệm trở thành
∞

φ(x; 1) = u0 (x) +

um (x)
m=1

Ta cần tìm các hàm um (x) với m = 1, 2, ...
13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Hải Yến

Lấy đạo hàm m lần phương trình biến dạng bậc không theo biến q,
(m)
u0 (x)
chia hai vế cho m! và thay q = 0, sử dụng các kí hiệu um (x) =
m!
ta được phương trình
−
L(um (x) − χm um−1 (x)) = hH(x)Rm (→
u m−1 (x))

(2.7)

Phương trình (2.7) được gọi là phương trình biến dạng bậc m trong đó

−
Rm (→
u m−1 (x)) =

∂ m−1
1
(N (φ(x; q)))|q=0
(m − 1)! ∂q m−1

và

 0, m ≤ 1
.
χm =
 1, m > 1
Sau khi xác định um (x) với m = 1, 2, ... nghiệm chính xác của phương
trình (2.1) là
∞

um (x).

u(x) = u0 (x) +
m=1

Nghiệm xấp xỉ của phương trình (2.1) là
k

u(x) ≈ u0 (x) +

um (x).

m=1

Sự mềm dẻo của HAM là có thể lựa chọn được các hệ hàm cơ bản
dùng trong biểu diễn nghiệm. Giả sử nghiệm của bài toán phi tuyến biểu
thị được bởi các hàm cơ bản {en (x) | n = 1, 2, 3...}. Sử dụng “nguyên tắc
biểu thị nghiệm” để xác định các hàm cơ bản dựa vào các đặc trưng vật
lí của đối tượng hoặc điều kiện biên hoặc điều kiện ban đầu của bài toán.
Khi các hàm cơ bản được xác định, ta giả sử nghiệm của bài toán là
∞

u(x) =

cm em (x)
m=0

14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Hải Yến

trong đó cm là các hệ số chưa biết cần được xác định.
Hơn nữa, nghiệm xấp xỉ ban đầu được lấy như sau:
M

u0 (x) =

am em (x)
m=0

trong đó M là một số nguyên và am là các hệ số chưa biết cần được xác
định.
Ví dụ xét bài toán:
u + ε(u − u3 ) = 0; u(0) = u(π) = 0.
Từ điều kiện ban đầu ta chọn hệ các hàm tuần hoàn là các hàm lượng
giác, cụ thể là các hàm cơ bản sau:
{sin ((2m + 1)x) | m = 0, 1, 2...}
Từ đó ta có
∞

u(x) =

cm sin((2m + 1)x)
m=0

và
M

am sin((2m + 1)x).

u0 (x) =
m=0

Hơn nữa, toán tử tuyến tính phụ được chọn theo cách mà nghiệm của
phương trình L(ω(x)) = 0 phải biểu thị được dưới dạng một tổng của
các hàm cơ bản, nghĩa là
M0

ω(x) =

bn en (x)
n=0

trong đó M0 là một số nguyên được xác định bởi đạo hàm cấp cao nhất
của toán tử tuyến tính và bn là các hệ số chưa biết cần được xác định.
Tiếp đến là “nguyên tắc ergodicity”, nguyên tắc này chỉ rõ rằng bậc
của phép xấp xỉ tiến tới vô cùng, mỗi hàm cơ bản sẽ xuất hiện trong
15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Hải Yến

biểu thức nghiệm và mỗi hệ số có thể được điểu chỉnh. Sử dụng nguyên
tắc này và các nguyên tắc trước đó, hàm phụ có thể được xác định duy
nhất.
Từ phương trình (2.7) cho thấy phương trình biến dạng bậc cao
chuyển đổi bài toán phi tuyến thành vô số các bài toán con tuyến tính.
“Nguyên tắc tồn tại nghiệm” thu hẹp phạm vi lựa chọn nghiệm xấp xỉ
ban đầu, toán tử tuyến tính phụ và hàm phụ. Nguyên tắc này chỉ rõ
rằng hàm phụ và toán tử tuyến tính phụ được lựa chọn sao cho tất cả
các phương trình biến dạng bậc cao có nghiệm, để bài toán ban đầu có
một nghiệm.

2.2

Ví dụ

Ví dụ 2.1. Sử dụng phương pháp giải tích đồng luân giải bài toán sau:
(1 + εu)u + u = 0;

u(0) = 1.

(Phương trình này được sử dụng trong nghiên cứu phương pháp làm
mát một hệ thống gộp với biến nhiệt đặc biệt)
Lời giải
Từ điều kiện ban đầu và mô tả vật lí của bài toán, dạng thích hợp
của các hàm số cơ bản là
{e−nx ; n = 1, 2, 3...}
Nghiệm u(x) được cho bởi dạng
∞

u(x) =
n=0

16

an e−nx


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Hải Yến

Chọn
L(u) = u + u ;
N (u) = (1 + εu)u + u.
Xây dựng phương trình đồng luân sau:

H(φ(x; q); q) = (1 − q)(L(φ(x; q) − u0 (x)) − hH(x)qN (φ(x; q)) = 0
trong đó q ∈ [0, 1] là một tham số nhúng.
Từ điều kiện ban đầu chọn u0 (x) = e−x , khi đó ta có φ(x; 0) = e−x .
Xét phương trình biến dạng bậc một sau:
−
L(u1 (x) − χ1 u0 (x)) = hH(x)R1 (→
u0 (x))

(2.8)

1
−
Thay χ1 = 0 và R1 (→
u0 (x)) = N (φ(x; 0)) vào phương trình (2.8) khi đó
0!
ta có
L(u1 (x)) = hH(x)N (φ(x; 0))
kết hợp φ(x; 0) = e−x ta được
u1 + u1 = −εhH(x)e−2x ;

u1 (0) = 0.

Chọn H(x) = 1, thay vào và giải bài toán trên thu được
u1 (x) = εh(e−2x − e−x )
Tương tự, xét phương trình biến dạng bậc hai tìm được
u2 (x) = e

−x

ε2 2

3
− εh(1 + h) + h + (εh(1 + h) − 2ε2 h2 )e−2x + ε2 h2 e−3x
2
2

Vậy nghiệm của bài toán là
u(x) = u0 (x) + u1 (x) + u2 (x) + ...
17


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Hải Yến

Chú ý: trong Ví dụ (2.1) nghiệm có chứa tham số h nhà toán học
ShiJun Liao đã chứng minh rằng tham số h ảnh hưởng tới miền hội tụ
và tốc độ hội tụ của chuỗi nghiệm. Do đó, h được xác định theo cách
mà chuỗi nghiệm hội tụ nhanh hơn và có một miền hội tụ rộng hơn. Để
đạt được điều này S.J. Liao đã đề xuất một lớp đường cong nhất định
được gọi là đường cong h. Đường cong h: ta biết rằng hầu hết các bài
toán chứa một vài thông số vật lí quan trọng, chẳng hạn như: ma sát
ngoài, tần số của một dao động phi tuyến,... các đường cong thu được
bằng cách vẽ các thông số vật lý (đánh giá tại x = 0) như là một hàm
của h, được gọi là đường cong h. Nhà toán học ShiJun Liao đã chứng
minh rằng nếu nghiệm của bài toán là duy nhất thì tất cả các đường
cong này đều hội tụ với cùng một giá trị. Do đó, tồn tại một đoạn thẳng
nằm ngang chỉ ra phạm vi của h mà tại đó chuỗi nghiệm hội tụ. Bây
giờ, với bất kì giá trị nào của h trong phạm vi này, được gọi là miền hội
tụ thì chuỗi nghiệm tương ứng hội tụ.
Tìm miền hội tụ của h trong Ví dụ 2.1: để tìm miền hội tụ của h, ta

vẽ đường cong h của u (0).

18


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Hải Yến

Hình 2.1: Đồ thị của u (0) đối với h với ε = 0.4 (đường nét đứt),
ε = 0.8 (đường nét liền).
Nhận xét: từ Hình 2.1 ta thấy miền hội tụ là khoảng −0.7 < h < −0.3.
Ví dụ 2.2. Sử dụng phương pháp giải tích đồng luân giải bài toán sau:
u − xu = 0;

u(0) = 1.

Lời giải
Chọn
L(u) = u ;
N (u) = u − xu ;
H(x) = 1.
Xây dựng phương trình đồng luân sau:
19