Phép biến hình và ứng dụng giải toán dựng hình trong e2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

PHẠM THỊ TUYẾT CHINH

PHÉP BIẾN HÌNH VÀ ỨNG DỤNG
GIẢI TOÁN DỰNG HÌNH TRONG E
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

HÀ NỘI – 2018

2


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

PHẠM THỊ TUYẾT CHINH

PHÉP BIẾN HÌNH VÀ ỨNG DỤNG
GIẢI TOÁN DỰNG HÌNH TRONG E
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học
ThS. Nguyễn Thị Trà

HÀ NỘI – 2018

2


Möc löc
Líi

c£m

iv

Líi

v

Líi

ơn
cam

mð

đoan
đ¦u

1
1
4

Ki¸n thùc têng quan v· các

1.1

phép bi¸n hình

Phép bi¸n hình - Phép afin . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.1.1

Đành nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

1.1.2

Tính ch§t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

1.2 Phép díi hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6
1.2.1

Đành nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

1.2.2

Tính ch§t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

1.3 Phép tành ti¸n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
1.3.1

Đành nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

1.3.2

Tính ch§t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

1.3.3

Ví dö minh håa . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

1.4 Phép quay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
1.4.1

Đành nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
i


1.4.2

Tính ch§t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

i


Khóa luªn tèt nghi»p Фi håc

Ph¤m Thà Tuy¸t Chinh

1.4.3
V. . . . . . . . . . .
í
1. P đè . . . . . . . . .
5 hi
1 Đ. . . . . . . . .

. à
1 T. . . . . . . . .
. í
1. V . . . . . . . .
1. P5.đè .í . . . . . . . .
6 hi
1 Đ. . . . . . . . .
. à
1 T. . . . . . . . .
. í
1. V . . . . . . . .
1. P6.và .í . . . . . . . .
7 h tü
1 Đ. . . . . . . . .
. à
1 T. . . . . . . . .
. í
1. V . . . . . . . .
1. Ph7.g .í . . . . . . . .
8 ép h
1 Đ. . . . . . . . .
. à
1 T . . . . . . . . .
. í
1. V . . . . . . . .
8. í
2 Ùng döng phép bi¸n hình vào
hình trong E2
2.
1

2.
2
2.
3
2.
4
2.
5
2.
6

P
h
P
h
P
h
P
h
P
h
P
h

. . . . . . .
11
. . . . . . . . . . .
12
. . . . . . . . . . .
12

. . . . . . . . . . .
13
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 13
. .
15
. . . . . . . . . . .
15
. . . . . . . . . . .
15
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 16
. .
18
. . . . . . . . . . .
18
. . . . . . . . . . .
18
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 19
. .
20
. . . . . . . . . . .
20
. . . . . . . . . . .
21
. . . . . . . . . .
22
gi£i mët sè bài toán düng
26

. . . . . . .
2
. . . . . . .
3
. . . . . . .
3
. . . . . . .
3
. . . . . . .
3
. . . . . . .
3
ii


Khóa luªn tèt nghi»p Фi håc

Ph¤m Thà Tuy¸t Chinh

K¸t luªn

45

Tài li»u tham kh£o

46

3

Khúa luên tốt nghiằp Ôi hồc

PhÔm Th Tuyát Chinh

Lới cÊm n
Trợc khi trỡnh by nởi dung chớnh cừa khúa luên, em xin by
tọ lũng cÊm n tợi cỏc thƯy cụ khoa Toỏn, trớng Ôi Hồc S
PhÔm H Nởi 2, cỏc thƯy cụ trong tờ bở mụn Hỡnh hồc cng nh
cỏc thƯy cụ tham gia giÊng dÔy ó tên tỡnh truyãn Ôt nhỳng tri
thực quý bỏu v tÔo iãu kiằn thuên lủi em hon thnh tốt
nhiằm vử khúa hồc v khúa luên.
c biằt, em xin by tọ sỹ kớnh trồng v lũng biát n sõu sc
tợi ThS. Nguyạn Th Tr, ngới ó trỹc tiáp hợng dăn, ch bÊo
tên tỡnh giỳp ù em cú th hon thnh khúa luên ny.
Do thới gian, nng lỹc v iãu kiằn bÊn thõn cũn hÔn chá nờn
bÊn khúa luên khụng th trỏnh khọi nhỳng sai sút. Vỡ vêy, em rĐt
mong nhên ủc nhỳng ý kián gúp ý quý bỏu cừa cỏc thƯy cụ v
cỏc bÔn.
H Nởi, thỏng 5 nm 2018
Sinh viờn

PhÔm Th Tuyát
Chinh

4


Khúa luên tốt nghiằp Ôi hồc

PhÔm Th Tuyát Chinh

Lới cam oan
Em xin cam oan ã ti ny l do em thỹc hiằn, ú l kát quÊ
quỏ trỡnh nghiờn cựu cừa em dợi sỹ hợng dăn cừa ThS. Nguyạn
Th Tr v ã ti ny khụng trựng vợi cỏc khúa luên khỏc.
H Nởi, thỏng 5 nm 2018
Sinh viờn

PhÔm Th Tuyát
Chinh

5


Khúa luên tốt nghiằp Ôi hồc

PhÔm Th Tuyát Chinh

Lới m Ưu
1. Lý do chồn ã ti
Trong hỡnh hồc phng, phộp bián hỡnh luụn giỳ mởt vai trũ vụ
cựng quan trồng khụng ch bi nột àp riờng m cũn vã ựng dửng
rởng rói cừa nú. Cú th núi vợi phộp bián hỡnh cỏc bi toỏn hỡnh
hồc phng thớng cú lới giÊi rĐt ởc ỏo, sỏng tÔo v ụi khi ngn
gồn ngoi sực tng tủng. Bi vêy m ngay tứ lợp 11 hồc sinh ó
ủc hồc vã cỏc phộp bián hỡnh nh phộp tnh tián, phộp quay,
phộp ối xựng trửc, phộp ối xựng tõm, phộp v tỹ. é Ôi hồc
sinh viờn ủc nghiờn cựu sõu hn cỏc phộp bián hỡnh v c biằt
cũn ủc giợi thiằu thờm mởt phộp bián hỡnh nỳa l phộp nghch

Êo. Nởi dung cừa phộp bián hỡnh a vo chng trỡnh khụng ch
l cụng cử giÊi toỏn m cũn giỳp cỏc em lm quen vợi phng
phỏp t duy v suy luên mợi, biát nhỡn sỹ vêt hiằn tủng xung
quanh vợi quan im vên ởng bián ời, gúp phƯn rốn luyằn cho
hồc sinh tớnh sỏng tÔo trong hồc têp .
Hỡnh hồc phng cú nhiãu dÔng toỏn khú, mởt trong số ú l
bi toỏn dỹng hỡnh. PhƯn lợn nhỳng bi toỏn dỹng hỡnh hồc
phng ch dnh cho hồc sinh khỏ, giọi v dựng trong cỏc kỡ thi
Olympic hoc thi hồc sinh giọi Toỏn. ối vợi dÔng toỏn ny, quỏ
trỡnh i tứ bợc "Phõn tớch" án "Dỹng hỡnh" thớng khụng n
giÊn v dạ gõy nhƯm lăn. Lới giÊi cừa cỏc bi toỏn dỹng hỡnh hồc
phng thớng di v phực tÔp, tuy nhiờn khi biát cỏch ỏp dửng
1


Khóa luªn tèt nghi»p Фi håc

Ph¤m Thà Tuy¸t Chinh

phép bi¸n hình mët cách linh ho¤t vào trong nhúng líi gi£i đó thì
chúng trð nên ngn gån và d¹ hiºu

2


Khúa luên tốt nghiằp Ôi hồc

PhÔm Th Tuyát Chinh

hn rĐt nhiãu. Bờn cÔnh ú, viằc sỷ dửng cụng cử phộp bián hỡnh

vo bi toỏn dỹng hỡnh cng cho thĐy mởt cỏch giÊi ởc ỏo m
nhiãu ối tủng hồc sinh cú th t duy v tiáp cên ủc.
Vợi nhỳng nột àp trờn cừa phộp bián hỡnh cựng sỹ hợng dăn
cừa ThS. Nguyạn Th Tr, em ó mÔnh dÔn nghiờn cựu ã ti
"Phộp bián hỡnh v ựng dửng giÊi toỏn dỹng hỡnh trong E2 " .
Trong khúa luên ny, em ó nghiờn cựu, tỡm hiu v trỡnh by
nhỳng kián thực c bÊn vã cỏc phộp bián hỡnh. Bờn cÔnh ú, em
cng a ra mởt số vớ dử, bi têp liờn quan án cỏc bi toỏn dỹng
hỡnh m cú th ựng dửng phộp bián hỡnh giÊi. Thụng qua bi
toỏn dỹng hỡnh, ta cú th thĐy ủc sỹ vÔn nng cừa phộp bián
hỡnh. Tứ ú, em mong muốn ngới ồc, cỏc bÔn sinh viờn, hồc
sinh yờu thớch mụn Toỏn v cú thờm sỹ hựng thỳ vợi cỏc bi toỏn
hỡnh hồc.
2.
Mửc ớch nghiờn
cựu
Tỡm hiu vã cỏc phộp bián hỡnh v ựng dửng phộp bián hỡnh
vo giÊi mởt số bi toỏn dỹng hỡnh trong mt phng.
3. ối tủng nghiờn cựu, phÔm vi nghiờn
cựu
ối tủng nghiờn cựu: Phộp bián hỡnh v ựng dửng giÊi toỏn
dỹng hỡnh trong E2 .
PhÔm vi nghiờn cựu: Trong E2 .
4. Nhiằm vử
cựu

nghiờn

3

Khúa luên tốt nghiằp Ôi hồc

PhÔm Th Tuyát Chinh

Tỡm hiu cỏc nh ngha, nh lý, tớnh chĐt v vớ dử vã cỏc

phộp bián hỡnh trong khụng gian E2 .
Tỡm hiu cỏch giÊi mởt số bi toỏn dỹng hỡnh trong E2 ựng
dửng
phộp
hỡnh.

bián

4


Khúa luên tốt nghiằp Ôi hồc

PhÔm Th Tuyát Chinh

a ra mởt số bi têp dỹng hỡnh chồn lồc cú th giÊi bơng cỏch
sỷ dửng phộp bián hỡnh.
5. Phng phỏp nghiờn cựu
Nghiờn cựu lý luên, phõn tớch, tờng hủp, ỏnh giỏ.
Nghiờn cựu sỏch giỏo trỡnh, sỏch tham khÊo v cỏc ti liằu
liờn quan án vĐn ã ny.
6. CĐu trỳc khúa luên Khúa luên gỗm hai chng.
Chng 1: Kián thực tờng quan vã cỏc phộp bián hỡnh

Chng 2: ng dửng phộp bián hỡnh vo giÊi mởt số bi toỏn
dỹng hỡnh trong E2

5


Chng 1
Kián thực tờng quan vã cỏc
phộp bián hỡnh
Trong chng ny em a ra nh ngha, cỏc tớnh chĐt c bÊn v vớ
dử cừa cỏc phộp bián hỡnh trong mt phng. PhƯn chựng minh
chi tiát chỳng ta cú th tham khÊo ti liằu [1], [3], [4].

1.1
1.1.1
ngha

Phộp bián hỡnh - Phộp afin
nh

Trợc khi nghiờn cựu vã phộp bián hỡnh chỳng ta cƯn hiu khỏi
niằm "hỡnh" theo ngha toỏn hồc. Cỏc mụn toỏn hồc thớng ủc
xõy dỹng dỹa trờn lớ thuyát têp hủp nờn khỏi niằm "hỡnh" cng
ủc hiu vợi nh ngha sau:
nh ngha 1.1. Mởt têp hủp im khỏc rộng l mởt
hỡnh.
nh ngha 1.2. GiÊ sỷ cho mởt hỡnh P . Mởt song ỏnh tứ P
vo chớnh nú ủc gồi l mởt phộp bián hỡnh cừa P .
4

Như vªy cho mët phép bi¸n hình f : P → P là cho mët quy tc đº
vîi

5


Khúa luên tốt nghiằp Ôi hồc

PhÔm Th Tuyát Chinh

bĐt kỡ im M thuởc P , ta tỡm ủc mởt im M 0 = f (M ) hon
ton
xỏc nh thọa món hai iãu kiằn
sau:
(i)Náu M, N lƯn lủt l hai im bĐt kỡ phõn biằt cừa P thỡ f (M
),
f (N ) l hai im phõn biằt thuởc P .
(ii)Vợi mội im
cho

M 0 thuởc P luụn cú mởt im M thuởc P sao

f (M ) = M 0 .
Khi ú im f (M ) ủc gồi l Ênh cừa im M , im M ủc gồi
l tÔo Ênh cừa f (M ) qua phộp bián hỡnh f .
Náu H l mởt hỡnh no ú cừa P thỡ ta xỏc nh têp
hủp
f (H) = {f (M )/M H} gồi l Ênh cừa hỡnh H v hỡnh H gồi l
tÔo

Ênh cừa f (H) qua phộp bián hỡnh
f.
nh ngha 1.3. Trong hỡnh hồc ta thớng phÊi thỹc hiằn nhiãu
phộp bián hỡnh liờn tiáp nhau. Náu ta dựng mởt phộp bián hỡnh f :
P P bián mởt im M bĐt kỡ cừa P thnh mởt im M 0 rỗi lÔi
dựng tiáp mởt phộp bián hỡnh thự hai g : P P bián M 0 thnh
M . Ta cú:
M 0 = f (M ); M = g(M
0
).

6


Khóa luªn tèt nghi»p Фi håc

Ph¤m Thà Tuy¸t Chinh

Khi đó phép bi¸n hình h bi¸n M thành M ” gåi là tích cõa hai
phép bi¸n hình f và g. Kí hi»u: h = g.f . Ta có:
h(M ) = (g.f )(M ) = M ” = g(M 0 ) = g[f (M
)].
Nói chung tích g.f và tích f.g là hai phép bi¸n hình khác
nhau.

7


Khóa luªn tèt nghi»p Фi håc

Ph¤m Thà Tuy¸t Chinh

Đành nghĩa 1.4. Mët phép bi¸n hình trong không gian Ơclit
En
(n = 2, 3) bi¸n đưíng th¯ng thành đưíng th¯ng gåi là phép bi¸n
hình afin hay phép afin.
1.1.2
ch§t

Tính

1.Phép afin bi¸n ba điºm không th¯ng hàng thành ba điºm
không th¯ng hàng.
2.Phép afin bi¸n đưíng th¯ng thành đưíng th¯ng, m°t ph¯ng
thành m°t ph¯ng, tia thành tia, đo¤n th¯ng thành đo¤n th¯ng,
đa giác thành đa giác có cùng sè c¤nh, góc thành góc.
3.Phép afin b£o toàn tính song song cõa hai đưíng th¯ng.
4.Phép afin bi¸n vectơ têng thành têng các vectơ tương ùng.
5.Phép afin b£o toàn t sè đơn cõa ba điºm th¯ng hàng.
6.Phép afin b£o toàn trung điºm cõa đo¤n th¯ng và b£o toàn t
sè cõa các đo¤n th¯ng song song vîi nhau.

1.2
1.2.1
nghĩa

Phép díi hình
Đành

Mët phép bi¸n hình f : P → P đưñc gåi là mët phép díi hình

n¸u trong m°t ph¯ng P vîi hai điºm M, N b§t kì và hai £nh cõa
8


Khóa luªn tèt nghi»p Фi håc
0

chúng l¦n lưñt là M

Ph¤m Thà Tuy¸t Chinh

= f (M ), N 0 = f (N ) ta luôn có M 0 N 0 =

MN.

9


Khóa luªn tèt nghi»p Фi håc

1.2.2

Ph¤m Thà Tuy¸t Chinh

Tính ch§t

1.Phép díi hình là phép afin.
2.Phép díi hình bi¸n mët hình H thành mët hình H0 b¬ng H
và cùng hưîng vîi H.
3.Phép díi hình bi¸n đưíng th¯ng thành đưíng th¯ng, tia

thành tia, đo¤n th¯ng thành đo¤n th¯ng b¬ng đo¤n th¯ng đã
cho, góc thành góc b¬ng và cùng hưîng góc đã cho, đưíng
tròn thành đưíng tròn cùng bán kính.

1.3
1.3.1

Phép tành ti¸n
Đành nghĩa

Trong E2 cho vectơ ~v = ~0, phép tành ti¸n bi¸n méi điºm M
thành

1
0


điºm M 0 sao cho

−− →0
M = ~v gåi là phép tành ti¸n theo ~v.

Khóa luªn tèt nghi»p Фi håc

Ph¤m Thà Tuy¸t Chinh

Kí hi»u: T~v .

1
1

1.3.2

Tính ch§t

1.Phép tành ti¸n là mët phép díi hình nên nó có đ¦y đõ các
tính ch§t cõa mët phép díi hình.
2.Qua phép tành ti¸n theo vectơ ~v = ~0 điºm M bi¸n thành
điºm
M 0 thì phép tành ti¸n bi¸n điºm M 0 thành điºm M vîi vectơ
tành


tián l ~v. Khi ú ta cú: ~T =
. Suy ra T~1 ã
1
v
v
T~v T

~
v

= e (e l

phộp ỗng nhĐt).
3.Tớch cừa hai phộp tnh tián

T~v v Tv~0 l mởt phộp tnh tián

vợi vect tnh tián bơng ~v + v~0 .
4.Phộp tnh tián hon ton ủc xỏc nh náu ta biát ủc
vect tnh tián ~v cừa nú.
1.3.3
hồa

Vớ

dử minh

Vớ dử 1.3.1. Tứ nh B cừa hỡnh bỡnh hnh ABCD k cỏc ớng
cao BK

v BH cừa nú. Biát rơng KH = a, BD = b. Tớnh

khoÊng cỏch tứ im B án trỹc tõm cừa tam giỏc BKH.

Lới giÊi.
Gồi trỹc tõm cừa 4BKH l H1 . Vỡ HH1 KH v HH1 BH
nờn HH1 song song AD v KH1 song song DC. Tực l tự giỏc
HH1 KD l hỡnh bỡnh hnh.
Do ú qua phộp tnh tián theo
vect


H1 im K bián thnh
im

D, im B bián thnh mởt im P no ú.

Do BH1 KH nờn P H KH. Ta cng cú P H = BH1 .


Trong tam giác vuông P KH bi¸t KP = BD = b và KH = a. Ta
√
suy ra BH1 = P H = b2 − a2 .
Ví dö 1.3.2. Hai làng A và B n¬m ð hai bên sông. C¦n ph£i xây
c¦u M N ð ché nào đº đưíng AM N B tø làng A đ¸n làng B ngn
nh§t? (hai bí sông đưñc coi là hai đưíng th¯ng song song, c¦u
vuông góc vîi bí).

9


Líi gi£i.
Gi£ sû A0 là £nh cõa A qua phép tành ti¸n theo
vectơ

−→
N . Khi
đó

A0 N = AM , do đó đë dài đưíng AM N B b¬ng A0 N + N B + M N .
Vì

10