Chuỗi fourier và ứng dụng trong việc tính tổng của một số chuỗi số

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

VŨ THỊ NGỌC DIỆU

CHUỖI FOURIER VÀ ỨNG DỤNG
TRONG VIỆC TÍNH TỔNG CỦA MỘT SỐ
CHUỖI SỐ
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích

HÀ NỘI – 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

VŨ THỊ NGỌC DIỆU

CHUỖI FOURIER VÀ ỨNG DỤNG
TRONG VIỆC TÍNH TỔNG CỦA MỘT SỐ
CHUỖI SỐ
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích

Người hướng dẫn khoa học
TS. NGUYỄN VĂN HÀO

HÀ NỘI – 2018

Mục lục
Lời cảm ơn

2

Lời cam đoan

3

Mở đầu

5

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

7

1.1

Chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.1. Một số khái niệm và ví dụ về chuỗi số và sự hội tụ
của chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.2. Điều kiện để chuỗi hội tụ . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.3. Tính chất về các phép toán của chuỗi hội tụ . . . . . 10
1.1.4. Dấu hiệu hội tụ của chuỗi số dương . . . . . . . . . 11
1.1.5. Dấu hiệu so sánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.6. Dấu hiệu Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.7. Dấu hiệu D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.8. Dấu hiệu tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.9. Chuỗi đan dấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1.10. Chuỗi hội tụ tuyệt đối và chuỗi bán hội tụ . . . . . . 17
1.1.11. Các tính chất của chuỗi hội tụ . . . . . . . . . . . . 18
1.2

Chuỗi hàm và sự hội tụ của chuỗi hàm . . . . . . . . . . . . 20
1.2.1. Khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.2. Sự hội tụ và hội tụ đều của chuỗi hàm . . . . . . . . 20
1.2.3. Các tiêu chuẩn hội tụ đều của chuỗi hàm số . . . . . 21
1


2

1.2.4. Tính chất của tổng của chuỗi hàm hội tụ đều . . . . 25
1.2.5. Chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2 CHUỖI FOURIER VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC TÍNH
TỔNG CỦA MỘT SỐ CHUỖI SỐ

32

2.1

Hệ hàm lượng giác trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2

Chuỗi lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3

Chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.1. Sự hội tụ của chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.2. Khai triển chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn . . . . . 35

2.4

Ứng dụng của chuỗi Fourier trong việc tính tổng của một
số chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Kết luận

41

Tài liệu tham khảo

42


Lời cảm ơn

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hào, người đã
định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành
luận văn này. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô
Khoa Toán trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ em trong suốt
quá trình học tập.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã luôn động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em trong suốt
quá trình học tập và hoàn thành khóa luận.
Trong quá trình thực hiện, em đã nhận được nhiều ý kiến đóng góp để bản
khóa luận được hoàn thiện như hiện tại.
Hà Nội, ngày 17 tháng 5 năm 2018
Sinh viên

Vũ Thị Ngọc Diệu

3


Lời cam đoan
Em xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào, khóa
luận tốt nghiệp ngành Toán giải tích với đề tài "Chuỗi Fourier và ứng
dụng trong việc tính tổng của một số chuỗi số" được hoàn thành
bởi nhận thức của bản thân.
Trong quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp, em đã thừa kế những
kết quả và thành tựu của các nhà khoa học với sự chân trọng và biết ơn.
Hà Nội, ngày 17 tháng 5 năm 2018
Sinh viên

Vũ Thị Ngọc Diệu

4


Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài. Chuỗi lượng giác được khảo cứu từ kết quả một
số nghiên cứu về vật lý đồng thời bởi các nhà toán học Gauss, Abel và
Cauchy. Các chuỗi khai triển theo các hàm sin và cosin cũng đã được xem
xét bởi hai anh em nhà toán học Bernoulli từ những năm 1701 – 1702, và
thậm chí sớm hơn bởi Viète. Ngoài ra, Euler, Larrange và một số nhà toán
học khác cũng tham gia vào hướng nghiên cứu này.
Năm 1807, Fourier đưa ra phương pháp biểu diễn hàm số liên tục qua
chuỗi lượng giác và sử dụng vào việc giải phương trình truyền nhiệt trong
vật thể chất rắn. Năm 1822, ông cho công bố công trình “Lý thuyết giải
tích của nhiệt” và mở ra một thời kỳ mới về ứng dụng toán học trong các
khoa học khác.
Trên thực tế, Euler là người đã đưa ra công thức tính các hệ số trong khai
triển, còn Fourier thì phát biểu và có một số cố gắng trong chứng minh
định lý tổng quát. Tuy nhiên, Fourier đã không đặt ra vấn đề hội tụ cho
chuỗi của mình, mà chính Cauchy đã nhìn ra vấn đề này và có đưa ra một
số kết quả. Thêm nữa, Poisson cũng đã xem xét vấn đề này nhưng từ một
khía cạnh khác. Kết quả của Poisson về sự hội tụ của chuỗi Fourier được
Cauchy chỉ ra là thiếu chặt chẽ. Tuy nhiên, chính công trình của Cauchy
về vấn đề này cũng được Dirichlet chỉ ra là sai. Vấn đề chỉ được giải quyết
một cách cơ bản bằng công trình của Dirichlet, đăng trên tạp chí Crelle
vào năm 1829. Với công trình này, nhiều người xem ông là người sáng lập
ra Lý thuyết chuỗi Fourier. Công trình nêu trên của Dirichlet sau đó được
chỉnh sửa và hoàn thiện thêm bởi Riemann vào năm 1854.

5

6

Đến nay, lý thuyết chuỗi số và chuỗi hàm và sự hội tụ của chúng đã được
coi như hoàn chỉnh. Tuy nhiên, nhiều chuỗi số dễ nhận biết được sự hội tụ
của chúng, nhưng việc tính tổng của các chuỗi đó là không hề đơn giản.
Để hoàn thành khóa luân tốt nghiệp đại học chuyên ngành Toán giải tích,
em chọn đề tài "Chuỗi Fourier và ứng dụng trong việc tính tổng
của một số chuỗi số."
2. Mục đích nghiên cứu. Tìm hiểu về khái niệm, một số tính chất và
ứng dụng của chuỗi Fourier trong việc tính tổng của một số chuỗi số.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu về chuỗi Fourier
- Nghiên cứu về ứng dụng của chuỗi Fourier trong việc tính tổng của một
số chuỗi số.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng: Chuỗi Fourier và ứng dụng
- Phạm vi: Chuỗi số, chuỗi hàm và tính tổng của một số chuỗi số hội tụ.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lí luận và tài liệu tham khảo
- Phân tích, tổng hợp kiến thức phục vụ cho mục đích nghiên cứu
6. Cấu trúc. Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận
tốt nghiệp gồm hai chương
- Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
- Chương 2. Chuỗi Fourier và ứng dụng trong việc tính tổng của một số
chuỗi số


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1
1.1.1.

Chuỗi số
Một số khái niệm và ví dụ về chuỗi số và sự hội tụ của
chuỗi số

Định nghĩa 1.1.1. Cho dãy số {an }. Tổng vô hạn
∞

a1 + a2 + ... + an + ... =

an

(1.1)

n=1

được gọi là một chuỗi số. Trong chuỗi số trên người ta gọi
+ Phần tử an được gọi là số hạng tổng quát thứ n của chuỗi số
+ Tổng hữa hạn được xác định và kí hiệu dưới dạng
n

sn = a1 + a2 + ... + an =

ak

(1.2)

k=1

được gọi là tổng riêng thứ n và dãy số {sn } được gọi là dãy tổng riêng
thứ n của chuỗi (1.1).
Nếu tồn tại và hữu hạn giới hạn của dãy tổng riêng lim sn = s thì chuỗi
n→∞

được gọi là hội tụ và có tổng là s.
∞

an = s. Nếu lim sn = ±∞ hoặc không tồn tại

Khi đó ta cũng viết

n→∞

n=1

giới hạn này, thì chuỗi được gọi là phân kì.

7


Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

8

Một số ví dụ
Ví dụ 1. Xét chuỗi số
∞

q n = 1 + q + q 2 + ... + q n + ....
n=0

Tổng riêng của chuỗi số được xác định như sau

sn = 1 + q + q 2 + ... + q n−1 .
Ta xét các trường hợp

(i) Trường hợp q = 1. Ta có tổng riêng thứ n của chuỗi là
sn =

1 − qn
1
qn
=
−
.
1−q
1−q 1−q

+ Nếu |q| < 1 thì lim q n = 0. Do đó lim sn =
n→∞

n→∞

1
.
1−q

∞

1
.
1−q
n=0
+ Nếu |q| > 1 thì hiển nhiên giới hạn của dãy tổng riêng lim sn = ∞ và

Như thế, chuỗi số đã cho hội tụ và có tổng là

qn =

n→∞

như thế chuỗi đã cho phân kỳ.

(ii) Trường hợp q = 1. Ở đây, ta thấy rằng
lim sn = lim n = +∞.

n→∞

n→∞

Như vậy, chuỗi phân kỳ.

(iii) Trường hợp q = −1. Dãy tổng riêng có hai dãy con được xác định
như sau

sn =

0 khi n = 2k

1 khi n = 2k + 1

.

Bởi vì hai dãy con có các giới hạn khác nhau, nên dãy tổng riêng {sn }
không có giới hạn. Do đó, với |q| = 1 thì chuỗi đã cho cũng phân kỳ. Qua
việc xét như vậy, ta có kết luận cuối cùng là chuỗi trên chỉ hội tụ trong
trường hợp |q| < 1.


Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Ví dụ 2. Cho chuỗi số

∞

n=1

9

1
.
n(n + 1)

Ta có

1
1
+
+

1.2 2.3
1
= 1−
+
2
1
=1−
.
n+1

sn =

1
1
+ ... +
3.4
n(n + 1)
1 1
1 1
−
+
−
+ ... +
2 3
3 4

1
1
−
n n+1

Từ đó, suy ra lim sn = 1. Vậy chuỗi đã cho là hội tụ và có tổng bằng 1.
n→∞

1.1.2.

Điều kiện để chuỗi hội tụ

Định lý 1.1.1. (Tiêu chuẩn Cauchy). Chuỗi (1.1) hội tụ khi và chỉ khi
với mọi ε > 0 tồn tại số nguyên dương N sao cho với mọi n ≥ N và với
mọi số nguyên dương p ta có

|an+1 + an+2 + ... + an+p | < ε.

(1.3)

Chứng minh. Chuỗi (1.1) hội tụ khi và chỉ khi dãy tổng riêng {sn } hội tụ.
Theo tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của dãy số, với mọi ε > 0 tồn tại số
nguyên dương N sao cho với mọi n ≥ N và mọi số nguyên dương p ta có

|sn+p − sn | < ε.
Điều này tương đương với

|an+1 + an+2 + ... + an+p | < ε.

Hệ quả 1. (Điều kiện cần để chuỗi hội tụ). Nếu chuỗi (1.1) hội tụ, thì

lim an = 0.

n→∞

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

10

Thật vậy, theo (1.3) thì với mọi n ≥ N chọn p = 0 ta nhận được ngay

|an | < ε. Do đó, ta có
lim an = 0.

n→∞

Chú ý. Điều kiện này chỉ là điều kiện cần chứ không phải là điều kiện đủ.
Điều đó được chỉ ra qua các ví dụ dưới đây
∞
1
n
n
phân kỳ, vì lim
= .
a) Chuỗi
n→∞ 2n + 1
2
n=1 2n + 1
∞ 1
b) Ta xét chuỗi
. Mặc dù giới hạn của dãy số hạng tổng quát
n=1 n
1

lim = 0 nhưng chuỗi này phân kì. Để khẳng định điều đó trước hết ta
n→∞ n
có đánh giá sau
1
1
1
s2n − sn =
+
+ ... +
n+1 n+2
2n
1
1
1
>
+
+ ... +
2n 2n
2n
n
1
=
= .
2n 2
Như thế, nếu chuỗi này hội tụ thì các dãy tổng riêng sn và s2n phải cùng
tiến tới một giới hạn khi n → +∞ tức là lim (s2n − sn ) = 0. Tuy nhiên,
n→∞

điều này mâu thuẫn với đánh giá trên trên. Cũng từ tiêu chuẩn Cauchy ta
cũng dễ nhận được kết quả sau

Hệ quả 2. Chuỗi (1.1) và chuỗi nhận được từ chuỗi này bằng cách thêm
vào hay bỏ bớt đi một số hữu hạn các số hạng cùng hội tụ hoặc cùng phân
kì.

1.1.3.

Tính chất về các phép toán của chuỗi hội tụ
∞

∞

an ,

Định lý 1.1.2. Nếu chuỗi
n=1

∞

(an ± bn ) và

t thì các chuỗi
n=1

bn hội tụ và có tổng lần lượt là s và

n=1
∞

(λan ) cũng hội tụ và có tổng lần lượt
n=1

được xác định theo công thức dưới đây
∞

∞

(an ± bn ) = s ± t;
n=1

λan = λs.
n=1


Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

11

Chứng minh. Ký hiệu sn = a1 + a2 + ... + an ; tn = b1 + b2 + ... + bn .
∞

Khi đó {sn ± tn } là tổng riêng của chuỗi

(an ± bn ) và {λsn } là tổng
n=1

∞

(λan ). Theo tính chất của dãy số hội tụ ta có

riêng của chuỗi

n=1

lim (sn ± tn ) = lim sn ± lim tn = s ± t; lim λsn = λ lim sn = λs.

n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

Vậy có điều cần chứng minh.

1.1.4.

Dấu hiệu hội tụ của chuỗi số dương
∞

an được gọi là chuỗi dương nếu an ≥ 0;

Định nghĩa 1.1.2. Chuỗi số
n=1

với mọi n.
Định lý 1.1.3. Điều kiện cần và đủ để một chuỗi dương hội tụ là dãy tổng
riêng của nó bị chặn.
∞

an hội tụ nên dãy tổng riêng {sn } của nó

Chứng minh. Bởi vì, chuỗi
n=1

hội tụ. Do đó dãy (sn ) bị chặn. Ngược lại, do dãy tổng riêng của chuỗi số
dương là dãy {sn } tăng nên nếu {sn } bị chặn thì tồn tại giới hạn.
∞

an hội tụ.

Do đó chuỗi
n=1

Trong phần tiếp theo, để xét sự hội tụ của chuỗi số dương ta ngầm hiểu
∞

∞

an và

việc xét qua hai chuỗi số dương sau
n=1

1.1.5.

bn .
n=1

Dấu hiệu so sánh

Định lý 1.1.4. (Dấu hiệu so sánh thứ nhất). Giả sử tồn tại số nguyên
dương n0 và một hằng số C > 0 sao cho

an ≤ Cbn ; với mọi n ≥ n0 .


Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

12

Khi đó, ta có các khẳng định sau
∞

(i) Nếu chuỗi

∞

bn hội tụ thì, kéo theo chuỗi
n=1
∞

an hội tụ.
n=1

∞

bn phân kỳ.

an phân kỳ, thì kéo theo chuỗi

(ii) Nếu chuỗi

n=1

n=1

Chứng minh. Như đã nói trong hệ quả 2 mục (1.1.2), không mất tính tổng
quát ta có thể giả thiết n0 = 1. Gọi sn và tn lần lượt là tổng riêng thứ n
∞

∞

an và

của các chuỗi
n=1

bn .
n=1

Khi đó, theo giả thiết ta có sn ≤ Ctn ; với mọi n ≥ 1.
Như vậy, nếu dãy {tn bị chặn thì dãy {sn } cũng bị chặn vả nếu dãy {sn }
không bị chặn thì dãy {tn } cũng không bị chặn.
Từ đó suy ra kết luận của định lý.

an
= k. Khi đó,
n→∞ bn

Định lý 1.1.5. (Dấu hiệu so sánh thứ hai) Giả sử lim
ta có các khẳng định sau

∞

(i) Nếu 0 ≤ k < ∞ thì từ sự hội tụ của chuỗi

bn kéo theo sự hội tụ của
n=1

∞

an .

chuỗi
n=1

∞

(ii) Nếu 0 < k ≤ +∞ thì từ sự phân kì của chuỗi

bn kéo theo sự phân
n=1

∞

an .

kì của chuỗi

n=1

an
= k và 0 ≤ k < +∞ nên tồn tại số nguyên
n→∞ bn
dương n0 để với mọi n ≥ n0 ta có
Chứng minh. (i) Bởi vì lim

an
≤ k + 1 ⇔ an ≤ (k + 1)bn .
bn
∞

Theo định lý 1.1.4, thì chuỗi

an hội tụ
n=1


Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

13
∞

bn phân kì. Khi đó, ta có
(ii) Trường hợp 0 < k ≤ +∞ và chuỗi
n=1

 1 khi k = +∞
bn

∗
k
lim
=k =
n→∞ an
 0 khi k = +∞
tức là 0 ≤ k ∗ < +∞. Theo phần chứng minh trên, nếu chuỗi
∞
n=1

an hội tụ
n=1

∞

bn cũng phải hội tụ. Do đó, chuỗi

thì chuỗi

∞

an phân kì.
n=1

Một số ví dụ
Ví dụ 1. Xét chuỗi

∞

n=1

1
.
n2

Với mọi số nguyên dương n ta có
1
1
1
1
1
sn = 1 + 2 + ... + 2 ≤ 1 +
+
+ ... +
2
n
1.2 2.3
(n − 1)n
1 1 1
1
1
= 1 + 1 − + − + ... +
−
2 2 3
n−1 n
1
= 2 − < 2.
n
Vì dãy tổng riêng bị chặn nên chuỗi hội tụ theo định lý 1.1.3.
Ví dụ 2. Chuỗi

∞

n tan
n=1

π
2n+1

.

Dễ dàng kiểm tra rằng tan x ≤ 2x; với mọi x ∈ 0,

n tan

π
2n+1
∞

Theo ví dụ 1, chuỗi

≤ n.

π
. Do đó, ta có
4

2π
n
=

π.
; với mọi n ≥ 1.
2n+1
2n

1
hội tụ, thêm nữa vì
2
n=1 n
n
n2
n
lim 2 = lim n = 0;
n→∞ 1
n→∞ 2
n2


Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

14

∞

nên theo định lý 1.1.5, chuỗi

n
hội tụ.
n
n=1 2

∞

n tan

Từ đó, theo định lý 1.1.4, ta có chuỗi
n=1

1.1.6.

π
2n+1

hội tụ.

Dấu hiệu Cauchy
∞

Định lý 1.1.6. (Dấu hiệu Cauchy). Cho chuỗi số dương
√
lim n an = c. Khi đó, ta có các khẳng định sau

an . Giả sử
n=1

n→∞

(i) Nếu c < 1 thì chuỗi đã cho là hội tụ.
(ii) Nếu c > 1 thì chuỗi đã cho là phân kỳ.
Chứng minh. (i) Nếu c < 1 thì tồn tại số p để c < p < 1. Vì lim

n→∞

√
n

an = c

nên tồn tại n0 để

√
n
∞

Bởi vì chuỗi

an < p ⇔ an < pn ; với mọi n ≥ n0 .

pn hội tụ, nên chuỗi

∞

an hội tụ theo định lý 1.1.4.
n=1

n=1

(ii) Nếu c > 1 thì tồn tại n0 để
√
n

an > 1 ⇔ an > 1; với mọi n ≥ n0 .

Như vậy, chuỗi phân kỳ theo hệ quả 1 của định lý 1.1.1.

1.1.7.

Dấu hiệu D’Alembert
∞

Định lý 1.1.7. ( Dấu hiệu D’Alembert). Cho chuỗi dương
an . Giả sử
n=1
an+1
tồn tại giới hạn lim
= d. Khi đó, ta có các khẳng định sau
n→∞ an
(i) Nếu d < 1 thì chuỗi đã cho là hội tụ.

(ii) Nếu d > 1 thì chuỗi đã cho là phân kỳ.
an+1
= d nên
n→∞ an

Chứng minh. Nếu d < 1 thì tồn tại p để d < p < 1. Vì lim
tồn tại số nguyên dương n0 để mọi n ≥ n0 và

an+1
< p ⇔ an+1 < pan .
an

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

15

Từ đó, ta có

an0 +1 < an0 q
an0 +2 < an0 +1 q 2 < an0 q 2
............
an0 +k < an0 q k
............
∞

∞

k

an0 q hội tụ nên chuỗi

Vì chuỗi
n=1

∞

an0 +k hội tụ, nghĩa là chuỗi

an
n=1

k=1

hội tụ theo định lý 1.1.1.
Nếu d > 1 thì tồn tại n0 để mọi n ≥ n0 và

an+1 > an ≥ an0 .

an+1
> 1 hoặc
an

Vậy không có lim an = 0 nên chuỗi phân kỳ.
n→∞

1.1.8.

Dấu hiệu tích phân
∞

an .

Định lý 1.1.8. (Dấu hiệu tích phân Cauchy). Cho chuỗi số dương
n=1

Giả sử f (x) là một hàm đơn điệu giảm và liên tục trên [1; +∞) sao cho

f (n) = an ; với mọi n = 1, 2, .... Khi đó, ta có các khẳng định sau
x

(i) Nếu tồn tại lim

x→+∞ 1
x

(ii) Nếu lim

x→+∞ 1

∞

f (t)dt hữu hạn thì chuỗi

an hội tụ.
n=1

∞

f (t)dt = +∞ thì chuỗi

an phân kỳ.
n=1

Chứng minh. Từ giả thiết của định lý, với mọi x ∈ [k, k + 1] với k là số tự
nhiên và k ≥ 1 ta đều có

ak+1 = f (k + 1) ≤ f (x) ≤ f (k) = ak .

(1.4)

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

16

k+1

Từ đó, ta có ak+1 ≤

f (x)dx ≤ ak .
1

Lấy tổng tích phân theo k từ 1 đến n ta nhận được
k+1

n+1

ak+1 ≤
k=1

n

f (x)dx ≤

ak .
k=1

1

Hay
n+1

sn+1 − a1 ≤

f (x)dx ≤ sn ;

(1.5)

1
∞

trong đó sn là tổng riêng thứ n của chuỗi

ak . Từ bất đẳng thức kép
k=1
n+1

(1.5) ta thấy rằng dãy tổng riêng {sn } của chuỗi và tích phân

f (x)dx
1

cũng bị chặn hoặc không cùng bị chặn. Điều đó cho ta khẳng định của
định lý.
Chú ý. Khi áp dụng dấu hiệu D’Alembert hay dấu hiệu Cauchy nếu
an+1
√
= 1 hoặc lim n an = 1 thì chưa kết luận được gì về sự hội tụ
lim
n→∞
n→∞ an

hay phân kỳ của chuỗi. Tuy nhiên, nếu từ một số n0 nào đó trở đi mà
an+1
≥ 1 thì có thể suy ra
an

am ≥ an0 ; với mọi m ≥ n0 .
Điều đó cho ta khẳng định rằng dãy an không tiến đến 0 khi n → +∞ và
∞

an phân kỳ.

như vậy chuỗi
n=1

1.1.9.

Chuỗi đan dấu
∞

Định nghĩa 1.1.3. Chuỗi số có dạng

(−1)n−1 an trong đó các số an

n=1

cùng dấu được gọi là chuỗi đan dấu.
Định lý 1.1.9. (Dấu hiệu Leibniz) Giả sử dãy {an } là đơn điệu giảm và
∞

giới hạn của dãy lim an = 0. Khi đó, chuỗi

n→∞

n=1

(−1)n−1 an hội tụ.


Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

17

Chứng minh. Gọi {sn } là dãy tổng riêng của chuỗi. Bởi vì

s2m = (a1 − a2 ) + (a3 − a4 ) + ... + (a2m−1 − a2m ).
Các số hạng trong ngoặc đều không âm nên dãy {s2m } đơn điệu tăng.
Mặt khác, ta lại có thể viết

s2m = a1 − [(a2 − a3 ) + (a4 − a5 ) + ... + (a2m−2 − a2m−1 ) + a2m ].
Do đó s2m ≤ a1 với mọi m. Vậy {s2m } hội tụ theo tiêu chuẩn đơn điệu.
Từ đó, nếu lim s2m = s thì với mọi ε > 0 tồn tại số nguyên dương N1 để
m→∞
N1
ta đều có
với mọi m ≥
2
ε
|s2m − s| < .
2
Lại vì lim an = 0 nên với mọi ε > 0 tồn tại số nguyên dương N2 để với
n→∞

mọi n ≥ N2 ta có

ε
|an | < .
2

Đặt N = max{N1 , N2 } thì với mọi n ≥ N ta có |sn − s| <

ε
với n chẵn
2

Với n lẻ thì n + 1 chẵn ta cũng có

|sn − s| = |sn+1 − s − an+1 | ≤ |sn+1 − s| + |an+1 | <

ε ε
+ = ε.
2 2

Như thế , với mọi n ≥ N ta đều có

|sn − s| < ε.
Vậy lim sn = s, tức là chuỗi đã cho hội tụ và có tổng bằng s. Chuỗi đan
n→∞

dấu thỏa mãn điều kiện của định lý 1.1.1 gọi là chuỗi Leibniz.
Vậy chuỗi Leibniz là hội tụ.

1.1.10.

Chuỗi hội tụ tuyệt đối và chuỗi bán hội tụ
∞

an được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi

Định nghĩa 1.1.4. Chuỗi số
∞

∞

|an | hội tụ. Nếu chuỗi
n=1

n=1

∞

|an | phân kỳ, thì

an hội tụ nhưng chuỗi
n=1

n=1


Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

18

chuỗi được gọi là bán hội tụ.
Mối quan hệ giữa tính chất hội tụ tuyệt đối và hội tụ của chuỗi được khẳng
định như sau.
Định lý 1.1.10. Một chuỗi hội tụ tuyệt đối là hội tụ.
Chứng minh. Trước hết, ta có đánh giá

|an+1 + an+2 + ... + an+p | ≤ ||an+1 | + |an+2 | + ... + |an+p || .
∞

|an | hội tụ nên với mọi ε > 0 tồn tại số

Theo định lý 1.1.1, chuỗi
n=1

nguyên dương N để với mọi n ≥ N và mọi p ∈ N∗ ta có

|an+1 | + |an+2 | + ... + |an+p | < ε.
∞

an .

Từ hai kết quả trên, ta nhận được sự hội tụ của chuỗi
n=1

Một số ví dụ

∞

1

hội tụ theo dấu hiệu Leibniz. Tuy nhiên,
n
n=1
∞ 1
ta đã biết chuỗi trị tuyệt đối của nó
phân kỳ. Như vậy, chuỗi
n=1 n
∞
1
(−1)n+1 là bán hội tụ.
n
n=1
∞ sin nx
Ví dụ 2. Chuỗi
. Ta có
2
n=1 n
Ví dụ 1. Chuỗi

(−1)n+1

|sin nx|
1
≤
; với mọi n = 1, 2, 3, ....
n2
n2
∞ 1
Mặt khác , ta cũng đã biết chuỗi
hội tụ, nên chuỗi

2
n=1 n
∞ sin nx
tụ. Vậy chuỗi
hội tụ tuyệt đối.
2
n=1 n
1.1.11.

∞

|sin nx|
hội
n2
n=1

Các tính chất của chuỗi hội tụ
∞

an hội tụ và có

Tính chất 1.1.1. (Tính chất kết hợp). Nếu chuỗi
n=1

tổng là s thì chuỗi (a1 + a2 + ... + an1 ) + (an1 +1 + an1 +2 + ... + an2 ) + ...

+(ank−1 +1 + ank−1 +2 + ... + ank ) + ...; (∗) cũng hội tụ và có tổng là s.


Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

19

Chứng minh. Gọi tk là tổng riêng thứ k của chuỗi (∗) và sn là tổng riêng
∞

thứ n của chuỗi

an . Khi đó, hiển nhiên rằng
n=1

tk = s n k .
Do đó, từ lim sn = s suy ra lim tk = lim snk = s.
n→∞

n→∞

k→∞

Vậy ta có điều phải chứng minh.
∞

an hội tụ tuyệt

Tính chất 1.1.2. (Tính chất giao hoán). Nếu chuỗi số
n=1

∞

bn nhận được bằng cách đổi chỗ tùy ý các

đối và có tổng là s thì chuỗi
n=1

∞

an cũng hội tụ và có tổng bằng s.

số hạng của chuỗi số
n=1

∞

∞

|an | hội tụ, nên

an hội tụ tuyệt đối nên chuỗi

Chứng minh. Vì chuỗi
n=1

n=1

theo định lý 1.1.1, với mọi ε > 0 tồn tại số nguyên dương n1 để
ε
|ai | < ;
2
i∈F
với mọi tập con hữu hạn F ⊂ {n ∈ N : n > n1 }. Gọi sn và tn lần lượt là

∞

tổng riêng thứ n của chuỗi

∞

an và chuỗi
n=1

bn . Giả sử lim sn = s. Khi
n=1

n→∞

đó tồn tại n2 ≥ n1 sao cho

ε
|sn − s| < ; với mọi n ≥ n2 .
2
Chọn n3 ≥ n2 sao cho các số hạng a1 , a2 , ..., an2 có đủ mặt trong các số
hạng b1 , b2 , ..., bn3 . Khi đó với mọi n ≥ n3 , ta có

|tn − s| = |tn − sn0 + sn0 − s| ≤ |tn − sn0 | + |sn0 − s| <

ε ε
+ = ε.
2 2

Vậy ta cũng có lim tn = s.
n→∞

∞

an

Định lý trên chỉ đúng với chuỗi hội tụ tuyệt đối. Còn nếu chuỗi số
n=1

bán hội tụ thì ta có thể thay đổi thứ tự của các số hạng của nó để thu
được chuỗi hội tụ và có tổng bằng một số bất kỳ cho trước hoặc trở nên
phân kỳ.


Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.2

20

Chuỗi hàm và sự hội tụ của chuỗi hàm

1.2.1.

Khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.2.1. Cho dãy hàm {un (x)} cùng xác định trên tập X ⊂ R.
Ta gọi tổng vô hạn
∞

u1 (x) + u2 (x) + ... + un (x) + ... =

un (x)

(1.6)

n=1

là một chuỗi hàm xác định trên X.
+ Hàm un (x) gọi là số hạng thứ n của chuỗi.
+ Tổng của n hàm đầu tiên của chuỗi sn (x) = u1 (x) + u2 (x) + ... + un (x)
được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi hàm.

1.2.2.

Sự hội tụ và hội tụ đều của chuỗi hàm

Điểm x ∈ X gọi là điểm hội tụ hay phân kì của chuỗi (1.6) nếu dãy tổng
riêng {sn (x)} của nó hội tụ hay phân kỳ tại điểm này.
Nếu X0 là tập hợp các điểm hội tụ của dãy {sn (x)} thì ta cũng gọi X0 là
miền hội tụ của chuỗi (1.6).
Nếu lim sn (x) = u(x) trên X0 , thì ta cũng viết
n→∞

∞

un (x) = u(x); với x ∈ X0
n=1

và gọi u(x) là tổng của chuỗi hàm trên X0 .
Sự hội tụ trên được gọi là hội tụ điểm của chuỗi hàm. Theo ngôn ngữ

Cauchy, ta có thể phát biểu như sau
Chuỗi hàm (1.6) được gọi là hội tụ trên tập hợp X và có tổng là u(x)
nếu với mọi số ε > 0 và với mỗi x ∈ X tồn tại một số nguyên dương

n0 = n0 (ε, x) sao cho
|sn (x) − u(x)| < ε; với mọi n ≥ n0 .


Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

21

Khi tìm được chỉ số nguyên dương n0 chỉ phụ thuộc vào số ε > 0 mà không
phụ thuộc vào giá trị của x ta nói chuỗi hàm hội tụ đều. Chính xác hơn
ta có
Định nghĩa 1.2.2. Chuỗi hàm (1.6) được gọi là hội tụ đều trên tập hợp

X và có tổng là hàm u(x) nếu với mọi số ε > 0 tồn tại một số nguyên
dương n0 = n0 (ε) sao cho

|sn (x) − u(x)| < ε; với mọi n ≥ n0 và với mọi x ∈ X.
1.2.3.

Các tiêu chuẩn hội tụ đều của chuỗi hàm số
∞

un (x) hội tụ đều

Định lý 1.2.1. (Tiêu chuẩn Cauchy). Chuỗi hàm số
n=1

trên tập hợp X khi và chỉ khi với mọi số ε > 0 tồn tại số nguyên dương

n0 sao cho với mọi n ≥ n0 và mọi số nguyên dương p ta có
|sn+p (x) − sn (x)| < ε; với mọi x ∈ X.
Chứng minh. Thật vậy, chuỗi hàm hội tụ đều khi và chỉ khi dãy các tổng
riêng {sn (x)} hội tụ đều. Theo tiêu chuẩn Cauchy của dãy hàm hội tụ
đều, điều này xảy ra khi và chỉ khi với mọi số ε > 0 cho trước tồn tại số
nguyên dương n0 sao cho khi n ≥ n0 và mọi số nguyên dương p ta có

|sn+p (x) − sn (x)| < ε; với mọi x ∈ X.

∞

un (x).

Định lý 1.2.2. (Tiêu chuẩn Weierstrass). Cho chuỗi hàm số
n=1

Nếu với mọi số nguyên dương n ta có

|un (x)| ≤ Cn ; với mọi x ∈ X
∞

Cn hội tụ thì chuỗi hàm đã cho hội tụ tuyệt đối và hội tụ

và chuỗi số
n=1

đều trên X.

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

22

Chứng minh. Với mọi x ∈ X theo dấu hiệu so sánh ta có các chuỗi số
∞

∞

|un (x)| hội tụ. Đặt

un (x) và
n=1

n=1
∞

∞

u(x) =

|un (x)|.

un (x); σn =
n=1

n=1

∞

Cn hội tụ nên với mọi số ε > 0 cho trước tồn tại số nguyên

Vì chuỗi
n=1

dương n0 sao cho khi n ≥ n0 và mọi số nguyên dương p ta có

ε
Cn+1 + Cn+2 + ... + Cn+p < .
2
Cho p → ∞ ta được
∞

Cn+1 = Cn+1 + Cn+2 + ... < ε.
n=1

Từ đó, với mọi n ≥ N ta có
∞

n

u(x) −

∞

un+i (x) ≤

uk (x) =

i=1

k=1

|un+i (x)|
i=1
∞

n

= σ(x) −

|un+i (x)| ≤
i=1

Cn+i < ε.
i=1

Do đó định lý được chứng minh
Một số ví dụ
Ví dụ 1. Chuỗi hàm số
Vì ta có

∞

cos nx
hội tụ tuyệt đối và đều trên R.
2
2
n=1 n + x

| cos nx|
1
≤ 2 ; với mọi n và với mọi x ∈ R
2
2
n +x
n
∞ 1
và chuỗi số
hội tụ.
2
n=1 n
∞
xn
√ hội tụ tuyệt đối và đều trên [ − 1; 1].
Ví dụ 2. Chuỗi hàm số
n=1 n n
Vì ta có
|x|n
1
√ ≤ √ n; với mọi x ∈ [ − 1; 1]
n n n n


Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

23

∞

và chuỗi

1
3 hội tụ.
n=1 n 2

Định lý 1.2.3. (Dấu hiệu Dirichlet). Cho hai dãy hàm {an (x)} và {bn (x)}
cùng xác định trên tập X . Giả thiết

∞

(i) Dãy tổng riêng sn (x) của chuỗi hàm

an (x) bị chặn đều trên X có
n=1

nghĩa là tồn tại số M > 0 sao cho
n

|sn (x)| =

ak (x) ≤ M ; với mọi n và với mọi x ∈ X.
k=1

(ii) Dãy hàm {bn } đơn điệu có nghĩa là với mỗi x ∈ X dãy bn (x) là dãy
số đơn điệu và dãy hàm {bn } hội tụ đều trên X đến không.
∞

an (x)bn (x) hội tụ đều trên X.

Khi đó chuỗi hàm
n=1

Chứng minh. . Ta có thể xem {bn } là dãy đơn điệu giảm và dãy hàm {bn }
hội tụ đều trên X đến không . Khi đó với ε > 0 tồn tại số tự nhiên

n0 = n0 (ε) sao cho
ε
; với mọi n > n0 và với mọi x ∈ X.
2M
Từ bất đẳng thức này đồng thời kết hợp với giả thiết của định lý ta được
0 < bn (x) <

n+m

n+m

bk (x)[sk (x) − sk−1 (x)]

bk (x)ak (x) =
k=n

k=n

= |−bn (x)sn−1 (x) + [bn (x) − bn−1 (x)]sn (x)| +
... + [bn+m−1 (x) − bn+m (x)]sn+m−1 (x) + bn+ (x)sn+m (x)
≤ M [bn (x) + (bn (x) − bn+1 (x)) + ... + (bn+m−1 (x) − bn+m (x)) + bn+m (x)]
= 2M bn (x) < ε; với mọi x ∈ X; với mọi n > n0 và với mọi m ∈ N∗ .
∞

an (x)bn (x) hội tụ đều trên X.

Vậy chuỗi hàm
n=1

Định lý 1.2.4. (Dấu hiệu Abel). Cho hai dãy hàm {an (x)} và {bn (x)}
cùng xác định trên tập X và

|bn (x)| ≤ M ; với mọi n ∈ N∗ và với mọi x ∈ X.