Chương trình elliptic đều dạng không bảo toàn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

NGUYỄN THỊ HẰNG

PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC ĐỀU DẠNG
KHÔNG BẢO TOÀN
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

HÀ NỘI – 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

NGUYỄN THỊ HẰNG

PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC ĐỀU DẠNG
KHÔNG BẢO TOÀN
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học
TS. TRẦN VĂN BẰNG

HÀ NỘI – 2018

ớ ỡ
t õ ỷ ớ ỡ t
tr s s t ổ tr õ
tờ t õ r ữợ tr sốt q tr
ồ t r t trữớ ồ ữ ở
t ỷ ớ ỡ t t tợ t
r t t ữợ ú ù rt
tr q tr tỹ õ
ũ õ ố ữ tớ tự ỏ
õ ổ tr ọ ỳ t sõt
rt ữủ sỹ õ õ ỵ ừ qỵ t ổ
õ ữủ ỡ
t ỡ
ở t





▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥
❊♠ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔② ❧➔ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ q✉→ tr➻♥❤ t➻♠ ❤✐➸✉✱
♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ ❜↔♥ t❤➙♥ ❞÷î✐ sü ❤÷î♥❣ ❞➝♥ t➟♥ t➻♥❤ ❝õ❛ t❤➛② ❣✐→♦ ✲
❚❙✳ ❚r➛♥ ❱➠♥ ❇➡♥❣✳
◆❣♦➔✐ r❛✱ ✤➸ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ❡♠ ✤➣ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ♠ët sè t➔✐
❧✐➺✉ ❦❤♦❛ ❤å❝ ✈➔ ✤➣ ✤÷ñ❝ ❣❤✐ rã tr♦♥❣ ♣❤➛♥ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✳ ❊♠
①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ❜➔✐ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔② ❦❤æ♥❣ s❛♦ ❝❤➨♣ ❜➜t ❝ù ♠ët ✤➲ t➔✐
❦❤♦❛ ❤å❝ ♥➔♦ ❦❤→❝✱ ♥➳✉ s❛✐ ❡♠ ①✐♥ ❝❤à✉ ❤♦➔♥ t♦➔♥ tr→❝❤ ♥❤✐➺♠ ✈➲ ❧í✐
❝❛♠ ✤♦❛♥ ❝õ❛ ♠➻♥❤✳
❍➔ ◆ë✐✱ t❤→♥❣ ✵✺ ♥➠♠ ✷✵✶✽
❙✐♥❤ ✈✐➯♥

◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❍➡♥❣


▼ö❝ ❧ö❝
▲í✐ ♥â✐ ✤➛✉

✷

✶ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à

✹

✶✳✶ ▼ët sè ❦➼ ❤✐➺✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹

✶✳✷ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ▲❛♣❧❛❝❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺

✶✳✸ ❇➔✐ t♦→♥ ❜✐➯♥ ✤è✐ ✈î✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ▲❛♣❧❛❝❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✾

✷ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❊❧❧✐♣t✐❝ ✤➲✉ ❞↕♥❣ ❦❤æ♥❣ ❜↔♦ t♦➔♥

✶✷

✷✳✶ ✣→♥❤ ❣✐→ ♠➟t ✤ë tî✐ ❤↕♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✸

✷✳✷ ✣→♥❤ ❣✐→ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ♣❤è✐ ♥❣❤✐➺♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✷

✷✳✸ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❍❛r♥❛❝❦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✼

❑➳t ❧✉➟♥

✸✵

❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✸✶

❚⑨■ ▲■➏❯ ❚❍❆▼ ❑❍❷❖

✸✷

✐✐


õ tốt ồ

R

số tỹ

Rn

ổ tỹ n

P(Rn )

ồ tt t ừ Rn

x = (x1 , ã ã ã , xn ) P tỷ ừ Rn
|x|

ừ tỷ x,

xãy

ổ ữợ ừ x y,

BR (x0 )

t x0 Rn R

A

õ ừ t A

dist(x, A)

tứ x t A

trace M

t ừ tr M

C k ()

tử k tr

Du(x), D2 u(x)

rt ss ừ u t x

u(x)

ừ u t x

u(x)

ữợ ừ u t x

E (x)

trữ ừ t ủ E

|E|

ở s n ừ t ủ E Rn



ỡ

Id

tỷ ỗ t tr Rn



x21 + ã ã ã + x2n
n
i=1 xi yi


▲í✐ ♥â✐ ✤➛✉
P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣ ❧➔ ♠ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ❧➽♥❤ ✈ü❝ ❝â ✈❛✐ trá
q✉❛♥ trå♥❣ tr♦♥❣ ♥❤✐➲✉ ù♥❣ ❞ö♥❣✳ ❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤å❝ ð ✤↕✐ ❤å❝✱
❝→❝ ❧î♣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝✱ ♣❛r❛❜♦❧✐❝ ✈➔ ❤②♣❡r❜♦❧✐❝ ✤➣ ✤÷ñ❝ ♥❣❤✐➯♥
❝ù✉ t❤æ♥❣ q✉❛ ❝→❝ ✤↕✐ ❞✐➺♥ t÷ì♥❣ ù♥❣ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
▲❛♣❧❛❝❡✱ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ tr✉②➲♥ ♥❤✐➺t ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ tr✉②➲♥ sâ♥❣✱ ①❡♠
❬✶❪✲❬✹❪✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤â ✤➲✉ ❝â ❤➺ sè ❤➡♥❣ ✈➔ ❝â ❞↕♥❣
❜↔♦ t♦➔♥✱ ✤✐➲✉ ♥➔② ❦❤æ♥❣ ♣❤↔✐ ❧ó❝ ♥➔♦ ❝ô♥❣ ❝â ✤÷ñ❝ tr♦♥❣ t❤ü❝ t➳✱
①❡♠ ❬✺❪✱ ❬✻❪ ✈➔ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ tr♦♥❣ ✤â✳ ❱➻ ✈➟② ✤➸ t➻♠ ❤✐➸✉ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
s➙✉ ❤ì♥ ✈➲ ✈➜♥ ✤➲ ♥➔②✱ ❞÷î✐ sü ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❝õ❛ t❤➛② ❣✐→♦ ✲ ❚❙✳ ❚r➛♥

P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❊❧❧✐♣t✐❝ ✤➲✉ ❞↕♥❣

❱➠♥ ❇➡♥❣ ❡♠ ✤➣ ❧ü❛ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐ ✧

❦❤æ♥❣ ❜↔♦ t♦➔♥✧ ❝❤♦ ❜➔✐ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ❝õ❛ ♠➻♥❤✳ ❈ö t❤➸
❦❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔② t➻♠ ❤✐➸✉ ✈➲ ♠ët sè ❦➳t q✉↔ ✤➣ ✤↕t ✤÷ñ❝ ✤è✐ ✈î✐ ♣❤÷ì♥❣
tr➻♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝ ✈î✐ ❤➺ sè ❜✐➳♥ t❤✐➯♥ ✈➔ ❝â ❞↕♥❣ ❦❤æ♥❣ ❜↔♦ t♦➔♥
n

aij (x)Dij u(x) = 0,

x ∈ Ω,

i,j=1

tr♦♥❣ ✤â Ω ⊂ Rn ❧➔ ♠ët ❤➻♥❤ ❝➛✉ ❤♦➦❝ ❤➻♥❤ ❧➟♣ ♣❤÷ì♥❣ ❝ö t❤➸✳
◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ❣ç♠ ❤❛✐ ❝❤÷ì♥❣✳ ❈❤÷ì♥❣ ✶ tr➻♥❤ ❜➔②
❝→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝➛♥ t❤✐➳t ❝❤♦ ✈✐➺❝ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣
s❛✉✱ ♥❤÷ ❝→❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ❝ì ❜↔♥ ✈➔ ♠ët sè ❦➳t q✉↔ ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ▲❛♣❧❛❝❡✳
✷


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❍➡♥❣

❈❤÷ì♥❣ ✷ ✤➲ ❝➟♣ tî✐ ♠ët sè ❦➳t q✉↔ ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝ ✤➲✉ ❞↕♥❣
❦❤æ♥❣ ❜↔♦ t♦➔♥ ♥❤÷ ❝→❝ ✤→♥❤ ❣✐→ ♠➟t ✤ë tî✐ ❤↕♥✱ ✤→♥❤ ❣✐→ ❤➔♠ ♣❤➙♥
♣❤è✐ ♥❣❤✐➺♠ ✈➔ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❍❛r♥❛❝❦✳
❉♦ tr➻♥❤ ✤ë ❝â ❤↕♥ ♥➯♥ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ❦❤æ♥❣ tr→♥❤ ❦❤ä✐ ❝â ♥❤ú♥❣ t❤✐➳✉
sât✳ ❘➜t ♠♦♥❣ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ þ ❦✐➳♥ ✤â♥❣ ❣â♣ ❝õ❛ ❝→❝ t❤➛② ❝æ ✈➔ ❝→❝ ❜↕♥

✤➸ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ✤÷ñ❝ ❤♦➔♥ t❤✐➺♥ ❤ì♥✳

✸


❈❤÷ì♥❣ ✶
❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à
✶✳✶ ▼ët sè ❦➼ ❤✐➺✉
❈❤♦ Ω ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ♠ð ❝õ❛ Rn ✈➔ u : Ω → R ❧➔ ❤➔♠ sè ①→❝ ✤à♥❤
tr➯♥ Ω. ❱î✐ x = (x1 , · · · , xn ) ∈ Rn , t❤➻
|x| =

❝❤✉➞♥ ❝õ❛ x ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐

x21 + · · · + x2n

✈➔ ❜✐➸✉ t❤ù❝
x · y = x 1 y1 + · · · + x n yn

❧➔

t➼❝❤ ✈æ ❤÷î♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ ✈➨❝ tì x, y ∈ Rn. ❚➟♣ ❤ñ♣
BR (x0 ) = {x ∈ Rn : |x − x0 | < R}

❧➔

❤➻♥❤ ❝➛✉ t➙♠ x0 ❜→♥ ❦➼♥❤ R tr♦♥❣ Rn.
C k (Ω) ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❤➔♠ ❝â ✤↕♦ ❤➔♠ ✤➳♥ ❝➜♣ k ❧✐➯♥ tö❝

tr➯♥ Ω, k = 0, 1, 2, · · · . ❑❤✐ k = 0 t❛ t❤÷í♥❣ ✈✐➳t ✤ì♥ ❣✐↔♥ C 0 (Ω) ❜ð✐

C(Ω). ◆➳✉ u ∈ C 1 (Ω) t❤➻ Du(x) = (ux1 , · · · , uxn ) ❧➔ ❣r❛❞✐❡♥t ❝õ❛ ❤➔♠
u t↕✐ ✤✐➸♠ x ∈ Ω. ◆➳✉ u ∈ C 2 (Ω) t❤➻ D2 u(x) = [uxi xj ]n×n ❧➔ ✭♠❛ tr➟♥✮
✹


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❍➡♥❣

❍❡ss✐❛♥ ❝õ❛ ❤➔♠ u t↕✐ x ∈ Ω, Dij = ∂x∂ ∂xu
2

i

j

❧➔ ✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣ ❝➜♣ ❤❛✐

t❤❡♦ ❝→❝ ❜✐➳♥ xi ✈➔ xj .

✶✳✷ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ▲❛♣❧❛❝❡
❚r♦♥❣ ♠ö❝ ♥➔② ❝❤ó♥❣ t❛ t➻♠ ❤✐➸✉ ✈➲ ♠ët ✤↕✐ ❞✐➺♥ ❝õ❛ ❧î♣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
❡❧❧✐♣t✐❝✱ ✤â ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ▲❛♣❧❛❝❡✱ ❜❛♦ ❣ç♠ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ♥❣❤✐➺♠✱
t➼♥❤ ✤➦t ❝❤➾♥❤ ❝õ❛ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ✤è✐ ✈î✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤â✳ ◆❤✐➲✉
❦➳t q✉↔ ✤à♥❤ t➼♥❤ ✤è✐ ✈î✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♥➔② ❝â t❤➸ ♠ð rë♥❣ ✤è✐ ✈î✐ ❝→❝
♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝ ♥â✐ ❝❤✉♥❣✳

P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ▲❛♣❧❛❝❡ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✿
∆u := ux1 x1 + ux2 x2 + . . . + uxn xn = 0.

✭✶✳✶✮

P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♥➔② ♠æ t↔ ❤➛✉ ❤➳t ❝→❝ ❤➺ ✭❤✐➺♥ t÷ñ♥❣✮ ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ❱➟t
❧➼ ð tr↕♥❣ t❤→✐ ê♥ ✤à♥❤ ✭tù❝ ❧➔ ❦❤✐ ❤➺ ❦❤æ♥❣ ♣❤ö t❤✉ë❝ ✈➔♦ t❤í✐ ❣✐❛♥✮✱
❝❤➥♥❣ ❤↕♥✱ ❝→❝ q✉→ tr➻♥❤ tr✉②➲♥ ♥❤✐➺t✱ ❞❛♦ ✤ë♥❣✱ tr✉②➲♥ sâ♥❣✱ ❦❤✉➳❝❤
t→♥ ð tr↕♥❣ t❤→✐ ê♥ ✤à♥❤✳
❍➔♠ u(x) ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

❤➔♠ ✤✐➲✉ ❤á❛ t↕✐ ✤✐➸♠ x0 ♥➳✉ u ❝â ❝→❝ ✤↕♦

❤➔♠ r✐➯♥❣ ✤➳♥ ❝➜♣ ❤❛✐ ❧✐➯♥ tö❝ t↕✐ x0 ✈➔ t❤ä❛ ♠➣♥
∆u(x0 ) = 0.

❍➔♠ u ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

❤➔♠ ✤✐➲✉ ❤á❛ tr♦♥❣ ♠✐➲♥ ❣✐î✐ ♥ë✐ Ω ⊂ Rn ♥➳✉

u ❧➔ ❤➔♠ ✤✐➲✉ ❤á❛ t↕✐ ♠å✐ ✤✐➸♠ t❤✉ë❝ Ω.

❱➼ ❞ö ✶✳✷✳✶✳ ●å✐ ωn ❧➔ t❤➸ t➼❝❤ ❤➻♥❤ ❝➛✉ ✤ì♥ ✈à tr♦♥❣ Rn. ❱î✐ ♠é✐
✺


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❍➡♥❣

ξ ∈ Rn , ❤➔♠ Γ(x, ξ) ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐

Γ(x, ξ) = Γ(|x − ξ|) :=





1
n(2−n)ωn |x

− ξ|2−n , ♥➳✉ n > 2,

♥➳✉ n = 2


 1 ln |x − ξ|,
2π

❧➔ ❤➔♠ ✤✐➲✉ ❤á❛ t↕✐ ♠å✐ x ∈ Rn \ {ξ} ✈➔ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

✭✶✳✷✮

♥❣❤✐➺♠ ❝ì ❜↔♥

❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ▲❛♣❧❛❝❡✳

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✳ ●✐↔ sû Ω ❧➔ ♠ët ♠✐➲♥ ❣✐î✐ ♥ë✐ tr♦♥❣ Rn ✈î✐ ❜✐➯♥ ∂Ω ✤õ
trì♥✱ u ∈ C 2(Ω) ∩ C 1(Ω) ❧➔ ✤✐➲✉ ❤á❛ tr♦♥❣ Ω. ❑❤✐ ✤â t❛ ❝â
u(ξ) =

[u

∂Γ
∂u
(x, ξ) − Γ(x, ξ) ]dS.
∂ν
∂ν

✭✶✳✸✮

∂Ω

❉÷î✐ ✤➙② ❧➔ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t q✉❛♥ trå♥❣ ❝õ❛ ❤➔♠ ✤✐➲✉ ❤á❛✳ ❈→❝
✤à♥❤ ❧þ ♥➔② ❝â t❤➸ ①❡♠ ❧➔ ❝→❝ ❤➺ q✉↔ ❝õ❛ ❝→❝ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ●r❡❡♥✳ ●✐↔ sû
Ω ⊂ Rn ❧➔ ♠ët t➟♣ ♠ð✳

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✷ ✭●✐→ trà tr✉♥❣ ❜➻♥❤✮✳ ●✐↔ sû ❤➔♠ u ∈ C 2(Ω) t❤ä❛ ♠➣♥
❤➺ t❤ù❝ ∆u = 0 (∆u ≥ 0, ∆u ≤ 0) tr♦♥❣ Ω. ❑❤✐ ✤â✱ ✈î✐ ♠å✐ ❤➻♥❤ ❝➛✉
B = BR (ξ) ⊂⊂ Ω t❛ ❝â ❝→❝ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ s❛✉✮
u(ξ) = (≤, ≥)

1
nωn Rn−1

u(x)dS,

✭✶✳✹✮

∂B

u(ξ) = (≤, ≥)

1
ωn R n

u(x)dx,

✭✶✳✺✮

B

tr♦♥❣ ✤â ωn ❧➔ t❤➸ t➼❝❤ ❤➻♥❤ ❝➛✉ ✤ì♥ ✈à tr♦♥❣ Rn.
❈❤ó♥❣ t❛ ✤➣ ❜✐➳t r➡♥❣ ❤➔♠ u ✤✐➲✉ ❤á❛ t↕✐ ✤✐➸♠ x ♥➳✉ ∆u(x) = 0.
◆➳✉ ∆u(x) ≤ 0 ✭t÷ì♥❣ ù♥❣✿ ∆u(x) ≥ 0✮ t❤➻ t❛ ♥â✐ ❤➔♠ u
✻

❞÷î✐ ✤✐➲✉


õ tốt ồ

ỏ

tữỡ ự



tr ỏ t x. ỵ u

ỏ tữỡ ự ữợ ỏ tr ỏ t ồ x t
tr ừ u t ồ x tữỡ ự ợ ỡ
ọ ỡ tr tr ừ õ tr ồ

t t x tr . t tt ỳ
ỏ

ỵ ỵ ỹ tr sỷ u C 2() tọ
tự u

tr tỗ t s
u() = sup u (u() = inf u). õ u số
õ ồ ỏ tr , số ổ t t
tr ợ t tr ọ t t tr .
0 (u 0)

ứ ỵ ỹ tr t ữủ ỵ ỹ tr tr
s

ỵ ỵ ỹ tr tr Rn

ởt sỷ u C 2() C() ỏ tr .
õ
inf u u(x) sup u,


x .



q Rn ởt sỷ u, v C 2()
tọ tự u = v tr u = v tr .
õ u = v tr .

C()

q Rn ởt sỷ u C 2()
C()

u 0 tữỡ ự u 0 tr . õ
sup u = sup u (tữỡ






ự

inf u = inf u).





õ tốt ồ



q u ỏ tr t
tr ợ t tr ọ t ừ u s t ữủ tr ừ .
õ ự ử rt q trồ tr tỹ t t
ổ tr t tr t ờ õ t
st t ở tr ừ t ữủ t ừ

t ở tr t

ỵ t tự r sỷ u ởt ỏ

ổ tr . õ ợ ộ
tỗ t ởt số C = C(n, , ) s



sup u C inf u.




ỵ sỷ B = BR() t R

ỏ số tr B tr ọ
u
t t ởt x0 B. t x0 tỗ t à
ợ
à ữợ ủ ợ tỡ t ừ B t x0 ởt õ
ồ t

u C(B)

u
(x0 ) < 0.
à

ỵ sỷ ợ trỡ u C 1()

ỏ tr . õ

u
dS = 0.



ỵ t u ố t tr t ờ
t tờ ỏ t tr r t ữợ tỡ
t tr t ổ 0.



õ tốt ồ



ỡ ỳ R1 , R2 số ữỡ s BR1 (y)
BR2 (y) ự tr R1 < R2 . õ ử ỵ
ố ợ u(x) = (x, y) BR2 (y) \ BR1 (y)
t ữủ
(x, y)
dS.


(x, y)
dS =

BR2 (y)

BR1 (y)

õ tờ ữủ t q ởt t t
ợ t t y t ữợ tỡ t ợ ố t
tr \ {y} (x, y), ởt số y ợ
ố t (x, y) õ t ữủ t ữ ỗ t tọ r ởt
ữủ t
(x, y)
dS = 1.

B (y)

t ố ợ ữỡ tr
sỷ tr Rn .


t tự t rt t t u

C 2 () C() ừ ữỡ tr tr tọ


u | = ,

õ tử tr .


t tự t t u

C 2 () C 1 () ừ ữỡ tr tr tọ

õ tốt ồ




u
| = ,


õ tử tr .


t tự ộ ủ

t t u

C 2 () C 1 () ừ ữỡ tr tr tọ


(

u
+ au) | = ,


õ a tử tr .

ố ợ t t õ ởt số t q s

ỵ sỷ u C 2() C() ừ t

tự t ố ợ ữỡ tr tr . õ t õ
|u(x)| max ||,


x .



õ t tự t ố ợ ữỡ tr õ ổ
q ởt tr C() ử tở tử ỳ
.

ỵ sỷ trỡ ợ ộ x0 tỗ t ởt

BR R s x0 BR BR t t
tr õ t ừ t tự ố ợ
ữỡ tr s ởt số

ỵ sỷ tọ ừ

ỵ u C 2() C 1() ừ t tự ố
ợ ữỡ tr õ tỗ t số C = C(), M =



õ tốt ồ

M ()



s
|u(x) C| M max ||,


x .



ố ợ t tự t õ t q s

ỵ sỷ trỡ tỗ t số a0 > 0 s

tr , u C 2() C 1() ừ t tự
ố ợ ữỡ tr õ t õ t
a(x) a0

|u(x)|

1
max ||,
a0

x .

sỹ tỗ t t õ

ỵ sỷ tử tr BR. õ u



u() =


2
2


Rn||
nR

BR

udS
|x|n ,

BR
BR



(),

tở C 2(BR) C(BR) tọ ữỡ tr u = 0 tr BR
u ừ t rt ố ợ ữỡ tr
tr BR.




❈❤÷ì♥❣ ✷
P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❊❧❧✐♣t✐❝ ✤➲✉ ❞↕♥❣
❦❤æ♥❣ ❜↔♦ t♦➔♥
❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ❝❤ó♥❣ t❛ ①➨t t♦→♥ tû t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝â ❞↕♥❣
n

Lu =

aij (x)Dij u(x),
i,j=1

tr♦♥❣ ✤â ♠❛ tr➟♥ ❝→❝ ❤➺ sè A(x) = (aij (x)) ❧➔ ✤è✐ ①ù♥❣ ✈➔ ❡❧❧✐♣t✐❝ ✤➲✉✱
♥❣❤➽❛ ❧➔
λ|ξ|2 ≤ A(x)ξ, ξ ≤ Λ|ξ|2 ,

✈î✐ ♠å✐ ξ ∈ Rn ✈➔ x ∈ Ω ⊂ Rn . ❈❤ó♥❣ t❛ ❣✐↔ sû r➡♥❣ ❝→❝ ❤➺ sè aij ❧➔
❝→❝ ❤➔♠ trì♥✱ ♥❤÷♥❣ ❝→❝ ÷î❝ ❧÷ñ♥❣ ❝❤ó♥❣ t❛ s➩ t❤✐➳t ❧➟♣ ✤ë❝ ❧➟♣ ✈î✐
t➼♥❤ ❝❤➼♥❤ q✉② ❝õ❛ ❝→❝ ❤➺ sè ✈➔ ❝❤➾ ♣❤ö t❤✉ë❝ ✈➔♦ ❝→❝ ❤➡♥❣ sè ❡❧❧✐♣t✐❝
λ, Λ ✈➔ sè ❝❤✐➲✉ n. ❑❤✐ ✤â t❛ ♥â✐

❝→❝ ❤➡♥❣ sè ✤â ❝❤➾ ♣❤ö t❤✉ë❝ ✈➔♦

❝➜✉ tró❝✳ ❉➵ t❤➜② ❧➔✱ ♥➳✉ A ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ✤ì♥ ✈à t❤➻ Lu = ∆u ❧➔ t♦→♥ tû

▲❛♣❧❛❝❡✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ✤÷ñ❝ t❤❛♠ ❦❤↔♦ tø t➔✐ ❧✐➺✉
❬✻❪✳

✶✷


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❍➡♥❣

✷✳✶ ✣→♥❤ ❣✐→ ♠➟t ✤ë tî✐ ❤↕♥
✣à♥❤ ❧þ ✷✳✶✳ ❚ç♥ t↕✐ ❝→❝ ❤➡♥❣ sè M0 > 1 ✈➔ 0 <

❝❤➾ ♣❤ö t❤✉ë❝
✈➔♦ ❝➜✉ tró❝✱ s❛♦ ❝❤♦ ✈î✐ ❜➜t ❦➻ u ≥ 0 ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ Lu ≤ 0 tr♦♥❣
❤➻♥❤ ❝➛✉ B2R(x0) t❤ä❛ ♠➣♥
< 1,

inf u ≤ 1,
BR (x0 )

❝❤ó♥❣ t❛ ❝â
|{x ∈ B7R/4 (x0 ) : u(x) < M0 }| ≥ |B7R/4 (x0 )|.

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ▲➜② y ∈ BR/4(x0) ✈➔ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❤➔♠ sè
|x − y|2
R2
u(x) +
.
φy (x) =

4
2
5
◆➳✉ x ∈ BR (x0 ), t❤➻ |x − y| ≤ R ✈➔ ❜ð✐ ✈➟②
4
R2
φy (x) ≤
u(x) +
4

❉♦ ✤â

5
R
4

2

1
,
2

R2
inf φy (x) ≤
+
4
BR (x0 )

5
R

4

✈î✐ ♠å✐ x ∈ BR (x0 ).

2

1 33 2
= R.
2 32

▼➦t ❦❤→❝✱ ♥➳✉ x ∈ B2R (x0 )\B7R/4 (x0 ), t❤➻ |x−y| ≥ |x−x0 |−|x0 −y| ≥
6
R, ✈➔ ✈➻ u ≥ 0,
4
36
φy (x) ≥ R2 .
32

✶✸


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❍➡♥❣

❙✉② r❛
inf
B2R (x0 )\B7R/4 (x0 )

φy (x) ≥

36 2 33 2
R > R ≥ inf φy (x),
32
32
BR (x0 )

✈➔ ❤➺ q✉↔ ❧➔
inf φy (x) =

B2R (x0 )

inf
B7R/4 (x0 )

φy (x).

◆❤÷ ✈➟②✱ tç♥ t↕✐ z ∈ B7R/4 (x0 ) s❛♦ ❝❤♦
inf φy (x) = φy (z).

B2R (x0 )

❈❤ó♥❣ t❛ ①➨t t➟♣
H = {z ∈ B7R/4 (x0 ) : ∃y ∈ BR/4 (x0 ) s❛♦ ❝❤♦ φy (z) = inf φy (x)}.
B2R (x0 )

◆â✐ ❝→❝❤ ❦❤→❝✱ H ❧➔ t➟♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ✤✐➸♠ z ∈ B7R/4 (x0 ) s❛♦ ❝❤♦ ❣✐→
trà ♥❤ä ♥❤➜t ❝õ❛ φy (x) tr♦♥❣ B2R (x0 ) ✤↕t ✤÷ñ❝ t↕✐ z ✈î✐ ♠ët sè y ∈
BR/4 (x0 ). ❇➙② ❣✐í ✤➸ þ r➡♥❣
Dφy (z) = 0

D2 φy (z) ≥ 0.
R2
R2
Du(z) + z − y, s✉② r❛ y =
Du(z) + z.
❉♦ ✤â✱ 0 = Dφy (z) =
4
4
❈❤ó♥❣ t❛ ①→❝ ✤à♥❤ →♥❤ ①↕
R2
Φ(z) =
Du(z) + z.
4

✶✹


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❍➡♥❣

◆➳✉ y ∈ BR/4 (x0 ), t❤➻ tç♥ t↕✐ z ∈ H s❛♦ ❝❤♦ Φ(z) = y. ❑❤✐ ✤â
|BR/4 (x0 )| ≤

dx ≤
Φ(H)

|JΦ (x)|dx.
H

R2 2
D u(x) + Id ✈➔ ✈➻ D2 φy (x) ≥ 0 ✈î✐ x ∈ H,
❇➙② ❣✐í JΦ (x) = det
4
❝❤ó♥❣ t❛ ❝â
R2 2
2
D u(x) + Id ≥ 0,
D φy (x) =
4

✈î✐ x ∈ H. ❉♦ ✤â
R2 2
|BR/4 (x0 )| ≤
det
D u(x) + Id dx
4
H
det A(x)
R2 2
=
det
D u(x) + Id dx
4
H det A(x)
R2 2
1
trace A(x)
D u(x) + Id
≤n−n

det
A(x)
4
H
=n−n
H

1
det A(x)

R2
Lu(x) + trace A(x)
4

+

n

dx

n

dx.

❈❤ó♥❣ t❛ ÷î❝ ❧÷ñ♥❣ t➟♣ H. ❱î✐ z ∈ H; tç♥ t↕✐ y ∈ BR/4 (x0 ) ✈î✐
φy (z) =

min
x∈B2R (x0 )

φy (x).

❱➻ inf BR (x0 ) u ≤ 1, ♥➯♥ tç♥ t↕✐ x1 ∈ BR (x0 ) s❛♦ ❝❤♦ u(x1 ) ≤ 1. ❑❤✐ ✤â
R2
|z − y|2
R2
u(z) ≤ u(z) +
= φy (z)
4
4
2
R2
|x1 − y|2
≤φy (x1 ) =
u(x1 ) +
4
2
2
2
R
5
1 33 2
≤
+
R
= R.
4
4
2 32

✶✺


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❍➡♥❣

❉♦ ✈➟②✱ ♥➳✉ z ∈ H, t❤➻ u(z) ≤ 33/8 ♥❣❤➽❛ ❧➔
H ⊂ {x ∈ B7R/4 (x0 ) : u(x) ≤ 33/8}.

✣✐➲✉ ♥➔② ❝❤♦ t❛ ✤→♥❤ ❣✐→
|BR/4 (x0 )|
≤ n−n

1
{x∈B7R/4 (x0 ):u(x)≤33/8} det A(x)

R2
Lu(x) + trace A(x)
4

+

n

◆â✐ r✐➯♥❣✱ ✈➻ Lu ≤ 0 ♥➯♥ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â
|B7R/4 (x0 )| ≤ 7n n−n

1
(trace A(x))n dx,

{x∈B7R/4 (x0 ):u(x)≤33/8)} det A(x)

✈➔ ✈➻ t♦→♥ tû ❧➔ ❡❧❧✐♣t✐❝ ❝❤➦t ♥➯♥ t❛ ❝â ✤→♥❤ ❣✐→
|B7R/4 (x0 )| ≤ 7

n

Λ
λ

n

|{x ∈ B7R/4 (x0 ) : u(x) ≤ 33/8}|

✤à♥❤ ❧þ ❤♦➔♥ t♦➔♥ ✤÷ñ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

✣à♥❤ ❧þ ✷✳✷✳ ❚ç♥ t↕✐ ♠ët ❤➡♥❣ sè 0 < γ ≤ 1, ❝❤➾ ♣❤ö t❤✉ë❝ ✈➔♦ ❝➜✉

tró❝✱ s❛♦ ❝❤♦ ♥➳✉ u > 0 ❧➔ ♠ët ♥❣❤✐➺♠ ❜➜t ❦➻ ❝õ❛ Lu ≤ 0 tr♦♥❣ Ω ✈î✐
u|B (x ) ≥ 1 ✈➔ B3R (x0 ) ⊂ Ω, t❤➻
R

0

u|B2R (x0 ) ≥ γ.

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❱î✐ 0 <

< 1 ✈➔ ①➨t u . ❈❤ó♥❣ t❛ ❝â

L(u ) = ( − 1)u −2 ADu, Du + u −1 Lu.

✶✻

dx.


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❍➡♥❣

❉♦ ✤â✱ ♥➳✉ Lu(z) ≤ 0, t❤➻ ❞ü❛ ✈➔♦ t➼♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â
L(−u )(z) ≥ λ (1 − )u(z) −2 |Du(z)|2 .

✭✷✳✶✮

❳➨t ❤➔♠ sè
h(x) =

1
(4R2 − |x − x0 |2 ).
2
8R

❑❤✐ ✤â
1
0 ≤ h(x) ≤ ,
2

✈➔ ✈➻ Dh(x) =

tr♦♥❣ B2R (x0 ),

1
(x0 − x),
4R2

1
1
≤ |Dh(x)| ≤
,
4R
2R

✈î✐ R ≤ |x − x0 | ≤ 2R.

✭✷✳✷✮

❈❤ó þ r➡♥❣ u(x) ≥ h(x) tr♦♥❣ BR (x0 ). ❈❤å♥
δ = min {u(x) − h(x) : x ∈ B2R (x0 )},

tr♦♥❣ ✤â

✤➣ ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤✳ ❚❤❡♦ t➼♥❤ ❧✐➯♥ tö❝✱ tç♥ t↕✐ P ∈ B2R (x0 )

s❛♦ ❝❤♦
δ = u(P ) − h(P ).

❚r÷í♥❣ ❤ñ♣ ✶✳ ●✐↔ sû P ∈ B2R(x0) \ BR(x0). ❑❤✐ ✤â ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â
u(P ) = δ + h(P )

D(u )(P ) = Dh(P )
D2 (u )(P ) ≥ D2 h(P ).

✶✼


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❍➡♥❣

❚ø ✭✷✳✶✮ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â
L(−u )(P ) ≥ λ (1 − )u(P ) −2 |Du(P )|2 .

✭✷✳✸✮

◆❤÷♥❣
D(u )(P ) = u(P ) −1 Du(P ) = Dh(P );

✈➔
L(−u )(P ) = trace(A(P )(−D2 (u )(P ))) ≤ trace(A(P )(D2 (−h)(P ))).

❚ø ✭✷✳✸✮ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â
1−

trace(A(P )(D2 (−h)(P ))) ≥ λ

❱➻ D2 h(x) =

1
|Dh(P )|2 .

u(P )

−1
Id, s✉② r❛
4R2
trace(A(P )(D2 (−h)(P ))) ≤

nΛ
.
4R2

❑➳t ❤ñ♣ ❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ♥➔② ✈➔ ✭✷✳✷✮ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â
u(P ) ≥

λ
Λ

1−

1
4n

,

♥➯♥
δ + h(P ) ≥

λ
Λ

1
4n

1−

.

❱➻ P ∈ B2R (x0 ) \ BR (x0 ), ♥➯♥ h(P ) ≤ 3/8. ❱➻ ✈➟② ❝❤å♥ > 0 ✤õ ♥❤ä
❝❤ó♥❣ t❛ ❝â
δ≥

λ
Λ

1
4n

1−

✶✽

−

3
= C > 0.
8


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❍➡♥❣

❉♦ ✤â
u(x) ≥ C + h(x) ≥ C ,

❱➻ ✈➟②
✈î✐ ♠å✐ x ∈ B2R (x0 ).

u(x) ≥ C 1/ ,

❚r÷í♥❣ ❤ñ♣ ✷✳ ●✐↔ sû r➡♥❣ P

∈ BR (x0 ). ❱î✐ P ♥➔② ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â

1
h(P ) ≤ , ♥➯♥
2

1
δ = u(P ) − h(P ) ≥ 1 − h(P ) ≥ .
2

❉♦ ✤â
u(x) ≥

✈➔ ✈➻ ✈➟②
u(x) ≥

1
2

1
1
+ h(x) ≥ ,
2
2

1/

,

✈î✐ ♠å✐ x ∈ B2R (x0 ).

❚r÷í♥❣ ❤ñ♣ ✸✳ ●✐↔ sû P ∈ ∂B2R(x0). ❱➻ h(P ) = 0 ✈î✐ P ∈ ∂B2R(x0), δ =
u(P ) . ❉♦ ✤â
u(x) ≥ u(P ) + h(x) ≥ h(x).

◆➳✉ x ∈ B3R/2 (x0 ), t❤➻ h(x) ≥ 7/32 ✈➔ ❞♦ ✤â
u(x) ≥

7
32

1/

,

✈î✐ ♠å✐ x ∈ B3R/2 (x0 ).

✶✾

õ tốt ồ



q tr t ự trữớ ủ ú t õ
ợ ồ x B3R/2 (x0 ),

u(x) C > 0,



ợ tt u 1 tr BR (x0 ).
u
u
ớ tứ s r
1 tr B3R/2 (x0 )
ụ ởt
C
C
tr ữỡ ừ Lu = 0, sỷ ử
trữợ õ ú t õ ữủ
u
C
C

õ r u C

2

ợ ồ x B9R/4 (x0 ),

tr B2R (x0 ) t õ ự

ỵ ỗ t số M1 > 1 0 <

ử tở
trú s ợ t u 0 ừ Lu 0 tr
B3R(x0) tọ
< 1,

inf u 1,
B2R (x0 )

ú t õ
|{x BR (x0 ) : u(x) < M1 }| |BR (x0 )|.

ờ qt ỡ inf B

2k R (x0 )

u 1,

t

|{x BR (x0 ) : u(x) < M0 / k+1 }| |BR (x0 )|,

ợ k = 1, 2, ..., ợ M0 số tr ỵ