Sự hội tụ yếu trong không gian lp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

NGUYỄN THỊ THÚY LAN

SỰ HỘI TỤ YẾU
TRONG KHÔNG GIAN Lp
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

HÀ NỘI – 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

NGUYỄN THỊ THÚY LAN

SỰ HỘI TỤ YẾU
TRONG KHÔNG GIAN Lp

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học

ThS. Bùi Kiên Cường

HÀ NỘI – 2018

LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng kính trọng
và biết ơn sâu sắc tới TS. Bùi Kiên Cường - người thầy đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo
và tạo điều kiện tốt nhất cho em trong suốt quá trình hoàn thành bản khóa luận này.
Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong khoa
Toán, Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, đặc biệt là các thầy cô tổ giải tích đã trang
bị cho em nhiều kiến thức quý báu trong suốt 4 năm học dưới mái trường này, em xin
cảm ơn những ý kiến của thầy cô giúp cho bản khóa luận được hoàn thành.
Qua đây em cũng xin được gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè người thân đã luôn
ở bên cổ vũ, động viên và tiếp cho sức mạnh để em có thể học tập và hoàn thành khóa
luận một cách tốt nhất.
Hà Nội, ngày 10 tháng 5 năm 2018
Sinh viên

Nguyễn Thị Thúy Lan


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thúy Lan

LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan đề tài: "Sự hội tụ yếu trong không gian Lp " là sự nghiên
cứu của em dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Bùi Kiên Cường. Trong khi nghiên
cứu, em đã kế thừa những thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học, nhà nghiên
cứu với sự trân trọng và biết ơn.
Những phần sử dụng tài liệu tham khảo trong khóa luận đã được nêu rõ trong phần
Tài liệu tham khảo. Các kết quả trình bày trong khóa luận là hoàn toàn trung thực,

nếu sai em xin chịu mọi kỷ luật của khoa và nhà trường đề ra.
Hà Nội, ngày 10 tháng 5 năm 2018
Sinh viên

Nguyễn Thị Thúy Lan

i


Mục lục

Mở đầu

1

1 Không gian Lp

1

1.1

Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Toán tử và phiếm hàm tuyến tính . . . . . . . . . . . . .

2

1.3

Không gian Lp

3

1.4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.1

Không gian Lp

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3.2

Trường hợp p = ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3.3

Phiếm hàm và đối ngẫu trong không gian Banach

8

Không gian đối ngẫu của Lp . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.4.1

Không gian đối ngẫu của Lp khi 1 ≤ p < ∞ . . .

10

1.4.2

Định lí Hahn - Banach . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.4.3

Một vài hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2 Sự hội tụ yếu trong không gian Lp
2.1

2.2

17

Khái niệm hội tụ yếu trong không gian định chuẩn . . .

17

2.1.1

Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.1.2

Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.1.3

Ví dụ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

Sự hội tụ yếu của dãy trong không gian Lp . . . . . . . .

20

ii

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thúy Lan

2.2.1

Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.2.2

Các định lí

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.2.3

Một vài hành vi điển hình của dãy hội tụ yếu . .

25

2.2.4

Tính compact yếu trong L1 . . . . . . . . . . . .

30

Kết luận

39

Tài liệu tham khảo

41

iii


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thúy Lan

MỞ ĐẦU

1. Lý do lựa chọn đề tài
Trong toán học, các không gian Lp là các không gian hàm được xác định
bằng cách sử dụng khái quát hóa tự nhiên của chuẩn bình phương cho
các không gian véc tơ hữu hạn chiều. Chúng đôi khi được gọi là không
gian Lebesgue. Không gian Lp tạo thành một lớp không gian Banach
quan trọng trong giải tích hàm và trong giải tích toán học cũng như
trong lý thuyết xác suất và các ngành khác.
Nói đến giải tích hàm thì chúng ta không thể không nhắc tới sự hội
tụ yếu của dãy, nó giữ một vị trí quan trọng trong không gian Lp . Cho
nên từ niềm say mê của bản thân và sự giúp đỡ tận tình của thầy Bùi
Kiên Cường, em đã thực hiện luận văn với đề tài:
“Sự hội tụ yếu trong không gian Lp ”

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về lớp không gian Lp và sự hội tụ yếu dãy trong lớp không
gian đó.
3. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận.
- Phương pháp tổng kết tài liệu, phân tích, tổng hợp kiến thức phục vụ
cho mục đích nghiên cứu.

1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thúy Lan

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Không gian Lp , sự hội tụ yếu trong không gian Lp .
5. Cấu trúc khóa luận
Bài khóa luận gồm 2 chương:
Chương 1 : Không gian Lp
Chương 2 : Sự hội tụ yếu dãy trong không gian Lp .
Do mới được làm quen với việc nghiên cứu khoa học nên những vấn
đề được trình bày trong bản khóa luận này không tránh khỏi những
thiếu sót. Vì vậy em rất mong nhận được nhiều ý kiến đóng góp của các
thầy cô và bạn đọc, để đề tài được hoàn thiện hơn.

2


Chương 1

Không gian Lp
1.1

Không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.1.1. Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến
tính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường P ( P = R hoặc
P = C) cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực R, ký hiệu là

·

và

đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề sau đây:
(1) (∀x ∈ X) x ≥ 0 , x = 0 ⇔ x = θ;
(2) (∀x ∈ X)(∀α ∈ P ) αx = |α| x ;
(3) (∀x, y ∈ X) x + y ≤ x + y .
Số x được gọi là chuẩn của véc tơ x. Ta cũng kí hiệu không gian
định chuẩn là X. Các tiên đề 1) 2) 3) gọi là hệ tiên đề chuẩn.
Ví dụ 1.1.1. Cho Rk = {x = (ξ1 , ξ2 , . . . , ξk ) | ξj ∈ R, j = 1, 2, .., k} . Do
Rk là không gian tuyến tính thực nên tồn tại
k

(ξ1 , ξ2 , . . . , ξk ) ∈ R .
Ta kiểm tra các tiên đề về chuẩn

1

x

= max |ξj |, x =
1≤j≤k


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thúy Lan

+ Tiên đề 1
∀x ∈ X, do |ξJ | ≥ 0, ∀j = 1, k ⇒ x = max |ξj | ≥ 0.
1≤j≤k

x = 0 ⇔ max |ξj | = 0 ⇔ |ξj | = 0∀j = 1, k ⇒ x = θ.
1≤j≤k

+ Tiên đề 2
∀x ∈ Rk , λ ∈ R, λx = max |λξj | = max(|λ||ξj |) = |λ|. max |ξj | =
1≤j≤k

1≤j≤k

|λ| x .
+ Tiên đề 3
∀x, y ∈ Rk , y = (ηj ), j = 1, k ta có
x + y = max |ξj + ηj | ≤ max (|ξj | + |ηj |)
1≤j≤k

1≤j≤k

≤ max |ξj | + max |ηj | = x + y .

1≤j≤k

1≤j≤k

⇒ x+y ≤ x + y .
Do đó . là một chuẩn trong Rk .
Định nghĩa 1.1.2. Dãy điểm (xn ) của không gian định chuẩn X gọi là
hội tụ tới điểm x ∈ X, nếu limn→∞ xn −x = 0. Ký hiệu limn→∞ xn = x
hay xn → x (n → ∞).

1.2

Toán tử và phiếm hàm tuyến tính

Định nghĩa 1.2.1. Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường
P (P là trường số thực R hoặc trường số phức C). Ánh xạ A từ không
gian X vào không gian Y gọi là tuyến tính, nếu ánh xạ A thỏa mãn các
điều kiện:
(1) (∀x, x ∈ X) A(x + x ) = Ax + Ax ;
2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thúy Lan

(2) (∀x ∈ X) (∀α ∈ P ) Aαx = αAx.
Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính.
Định nghĩa 1.2.2. Cho không gian định chuẩn X và Y . Toán tử tuyến
tính A từ không gian Xvào không gian Y gọi là bị chặn, nếu tồn tại hằng

số C > 0 sao cho
Ax ≤ C x , (∀x ∈ X)

(1.1)

Định lý 1.2.1. (Định lí ba mệnh đề tương đương về toán tử tuyến tính
liên tục)
Cho A : X → Y là toán tử tuyến tính giữa các không gian định chuẩn.
Khi đó ba mệnh đề sau là tương đương:
(1) A liên tục.
(2) A liên tục tại một điểm x0 ∈ X nào đó.
(3) A bị chặn.
Định nghĩa 1.2.3. Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian
định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y . Hằng số C ≥ 0 nhỏ nhất
thỏa mãn hệ thức (1.1) gọi là chuẩn của toán tử A và kí hiệu là A .

1.3
1.3.1

Không gian Lp
Không gian Lp

(X, F, µ) là không gian độ đo σ-hữu hạn: X kí hiệu là không gian bên
dưới, F là σ - đại số của tập đo được và µ độ đo. Nếu 1 ≤ p < ∞, không
3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thúy Lan

gian Lp (X, F, X) gồm toàn bộ giá trị hàm đo được thỏa mãn
|f (x)|p dµ(x) < ∞

(1.2)

X

Viết ngắn gọn Lp (X, µ) hoặc Lp (X), hay đơn giản là Lp . Khi đó, nếu
f ∈ Lp (X, F, µ), ta định nghĩa chuẩn Lp của f bởi
(1/p)

f

Lp (X,F,µ)

p

=

(|f (x)|) dµ(x)

.

(1.3)

X

Ta cũng viết ngắn gọn là f
1.3.1.1

Lp (X) ,

f

Lp

hoặc f p .

Bất đẳng thức H¨
older’s và Minkowski

Nếu hai số mũ p và q thỏa mãn 1 ≤ p, q ≤ ∞ và mối quan hệ

1 1
+ = 1,
p q

chúng ta nói p và q là cặp số mũ liên hợp hoặc đối ngẫu.
1
Quy ước
= 0.
∞
Đôi khi chúng ta dùng p để chỉ số mũ liên hợp của p.
p = 2 là tự đối ngẫu, do p = q = 2; hơn nữa p = 1, ∞ lần lượt tương
ứng với q = ∞, 1.
Định lý 1.3.1 (H¨older). Giả sử 1 < p < ∞ và 1 < q < ∞ là số mũ liên
hợp. Nếu f ∈ Lp và g ∈ Lq thì f g ∈ L1 và f g

L1

≤ f

Lp

g

Lq .

Định lý 1.3.2 (Minkowski). Nếu 1 ≤ p < ∞ và f, g ∈ Lp , thì f +g ∈ Lp
và f + g
1.3.1.2

Lp

≤ f

lp

+ g

Lp .

Tính đầy đủ của Lp

Bất đẳng thức tam giác làm cho Lp trở thành không gian metric với
khoảng cách d(f, g) = f − g

Lp .

4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thúy Lan

Định lý 1.3.3 (Riesz-Fisher). Không gian Lp (X, F, µ) là đầy đủ.
p
Chứng minh. Cho {fn }∞
n=1 là một dãy Cauchy trong L , và xét dãy con

{fnk }∞
k=1 của {fn } với tính chất sau fnk+1 − fnk

Lp

≤ 2−k , ∀k ≥ 1.

Xét các chuỗi mà sự hội tụ được kiểm tra sau đây
∞

fnk+1 (x) − fnk (x)

f (x) = fn1 (x) +
k=1

và

∞

g(x) = |fn1 (x)| +

|fnk+1 (x) − fnk (x)|,
k=1

và tổng riêng tương ứng
K

fnk+1 (x) − fnk (x)

SK (f )(x) = fn1 (x) +
k=1

và

K

SK (g)(x) = |fn1 (x)| +

|fnk+1 (x) (x) − fnk (x)|.
k=1

Bất đẳng thức tam giác của Lp cho ta
K

SK (g)

Lp

≤ fn1

Lp

K

fnk+1 − fnk

+
k=1

Lp

≤ fn1

Lp

2−k .

+
k=1

Cho K tiến đến vô cùng, và áp dụng định lí sự hội tụ đơn điệu, ta có
g p < ∞, và do đó chuỗi xác định g, và chuỗi xác định f hội tụ hầu
khắp nơi, và f ∈ Lp .
Bây giờ ta chỉ ra f là giới hạn của dãy {fn }. Vì tổng riêng thứ (K −1)

5

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thúy Lan

của dãy là fnk , ta có
fnk (x) → f (x) hầu khắp nơi.
Để chứng minh fnk → f trong Lp , ta thấy
|f (x) − SK (f )(x)|p ≤ [2 max(|f (x)|, SK (f )(x))]p
≤ 2p |f (x)|p + 2p |SK (f )(x)|p
≤ 2p+1 |g(x)|p ,
với mọi K. Khi đó chúng ta có thể áp dụng định lí hội tụ trội để được
fnk − f

Lp

khi k tiến đến vô cùng.

Cuối cùng, vì {fn } là dãy cơ bản nên với ε > 0, tồn tại N sao cho
mọi n, m > N ta có fn − fm
nK > N , và fnk − f
fn − fLp ≤ fn − fnK

Lp
Lp

Lp

< ε/2. Nếu nk được chọn sao cho

< /2, thì bất đẳng thức tam giác bao gồm

+ fnk − f

Lp

< bất cứ khi nào n > N .

Định lí được chứng minh.
Mệnh đề 1.3.1. Nếu X có độ đo hữu hạn dương, và p0 ≤ p1 , thì
Lp1 (X) ⊂ Lp0 (X) và
1
f
µ(X)1/p0

Lp0

≤

1
f
µ(X)1/p1

Lp1 .

Chúng ta chỉ cần xét với p1 > p0 . Giả sử f ∈ Lp1 và đặt F = |f |p0 , G =
1, p = p1 /p0 > 1 và 1/p + 1/q = 1, áp dụng bất đẳng thức H¨older’s cho
F và G. Từ đó được
f

p0
Lp0

≤ (|f |p1 )p0 /p1 .µ(X)1−p0 /p1 .

6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đặc biệt ta nhận thấy f

Nguyễn Thị Thúy Lan
Lp0

< ∞. Ngoài ra lấy căn bậc p0 cả hai vế

bất phương trình trên, ta có bất đẳng thức cần chứng minh.
Mệnh đề 1.3.2. Nếu X = Z được trang bị độ đo đếm được, khi đó bao
hàm ngược xảy ra, cụ thể là Lp0 (Z) ⊂ Lp1 (Z) nếu p0 ≤ p1 . Hơn nữa
f

Lp1

≤ f

Lp0 .

Thật vậy, nếu f = {f (n)}n∈Z ,thì
supn |f (n)| ≤ f

|f (n)|p0 = f

p0
Lp0

p0
L.

Tuy nhiên |f (n)|p1 = |f (n)|p0 |f (n)|p1 −p0 ≤ {n |f (n)|}p1 −p0 f
Do đó f
1.3.2

Lp1

và

≤ f

p0
Lp0

≤ f

p1
Lp0 .

Lp0 .

Trường hợp p = ∞

Chúng ta ký hiệu không gian L∞ (X, F, µ) gồm toàn bộ (lớp tương

đương) các hàm đo được trên X, sao cho có số dương 0 < M < ∞,
với |f (x)| ≤ M hầu khắp nơi x.
Khi đó chúng ta định nghĩa f

L∞ (X,F,µ)

là cận dưới đúng của tất cả các

giá trị M thỏa mãn bất đẳng thức trên. Đại lượng f

L∞

đôi khi gọi là

cận trên cốt yếu của f .
Trong định nghĩa này, chúng ta có |f (x)| ≤ f

L∞ .

hầu khắp nơi x.

Thật vậy, nếu
E = {x : |f (x) > f

L∞ |}

và
En = {x : |f (x)| > f

L∞

1
+ }
n

thì chúng ta có µ(En ) = 0 và E = ∪En , do đó µ(E) = 0.
Định lý 1.3.4. Không gian véc tơ L∞ được trang bị .
7

L∞

là không gian


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thúy Lan

đầy đủ.
Mệnh đề 1.3.3. Giả sử f ∈ L∞ là có giá nằm trên tập hợp có độ đo
hữu hạn. Khi đó f ∈ Lp với mọi p < ∞, và f

Lp

→ f

L∞

khi p → ∞.

Chứng minh. Cho E là tập con đo được của X với µ(E) < ∞, sao cho f
triệt tiêu trong phần bù của E. Nếu mu(E) = 0 thì f

L∞

= f

= 0,

Lp

tức là có điều phải chứng minh. Bây giờ, giả sử ngược lại, lúc đó, theo
bất đẳng thức H¨older, ta có
1/p

f

Lp

p

|f (x)| dµ

=

1/p

≤

E

f (x)
E

p
L∞ dµ

≤ f

Vì µ(E)1/p → 1 khi p → ∞, chúng ta thấy lim sup f
p→∞

Mặt khác, với

> 0, ta có µ ({x : |f (x)| ≤ f

L∞

Lp

1/p
.
L∞ µ(E)

≤ f

L∞ .

− }) ≥ σ với một

σ > 0 nào đó, do đó
|f |p dµ ≥ σ ( f

L∞

− )p .

X

Do đó lim inf f
p→∞

f

L∞ .

1.3.3

Lp

≥ f

L∞

− ,

là tùy ý, do đó lim inf f
p→∞

Do đó giới hạn lim tồn tại và bằng f

p→∞

Lp

≥

L∞ .

Phiếm hàm và đối ngẫu trong không gian Banach

Giả sử B là không gian Banach trên R được trang bị một chuẩn . . Một
phiếm hàm tuyến tính là ánh xạ tuyến tính l từ B tới R,tức là l : B → R
mà thỏa mãn
l (αf + βg) = αl(f ) + βl(g)
với mọi α, β ∈ R và f, g ∈ B.
Phiếm hàm tuyến tính l là liên tục nếu với
8

> 0, tồn tại δ > 0 sao cho


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

|l(f ) − l(g)| ≤

Nguyễn Thị Thúy Lan

bất cứ khi nào f − g ≤ δ. Chúng ta nói phiếm hàm

tuyến tính bị chặn nếu có M > 0 với |l(f )| ≤ M f với mọi f ∈ B.

Tính chất tuyến tính của l cho thấy hai khái niệm này trong thực tế là
tương đương.
Mệnh đề 1.3.4. Phiếm hàm tuyến tính trong không gian Banach là liên
tục khi và chỉ khi nó bị chặn.
Tập của tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên B là không
gian véc tơ, từ đó chúng ta có thể cộng vào phiếm hàm tuyến tính và
nhân với tích vô hướng (l1 + l2 )(f ) = l1 (f ) + l2 (f ) và (αl)(f ) = αl(f ).
Không gian véc tơ này có thể được trang bị chuẩn như sau.
Chuẩn l của phiếm hàm tuyến tính liên tục l là cận dưới đúng của
tất cả giá trị M theo đó |l(f ) ≤ M f với mọi f ∈ B. Từ đó định nghĩa
và tính chất tuyến tính của l rõ ràng là
f = sup |l(f )| = sup |l(f )| = sup
f ≤1

f =1

f =0

|l(f )|
.
f

Không gian véc tơ của tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên B
trang bị . được gọi là không gian đối ngẫu của B và kí hiệu là B ∗ .
Định lý 1.3.5. Không gian véc tơ B ∗ là không gian Banach.
Chứng minh. Rõ ràng . xác định một chuẩn, vì vậy ta chỉ cần chứng
minh B ∗ là đủ. Giả sử {ln } là dãy Cauchy trong B ∗ . Thì với mỗi f ∈ B,
dãy {ln (f )} là Cauchy, từ đó hội tụ tới giới hạn, ta kí hiệu l(f ). Rõ ràng
ánh xạ l : f → l(f ) là tuyến tính. Nếu có M sao cho ln ≤ M với mọi
n, ta thấy

|l(f )| ≤ |(l − ln )(f )| + |ln (f )| ≤ |(l − ln )(f )| + M f ,
9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thúy Lan

vì vậy trong giới hạn khi n → ∞ ta có |l(f )| ≤ M f với mọi f ∈ B.
Do đó l bị chặn.
Cuối cùng ta chỉ ra ln hội tụ đến l trong B ∗ . Cho

> 0, chọn N sao

cho ln − lm ≤ /2 với n, m > N . Khi đó nếu n > N , ta thấy với mọi
m > M và bất kì f
|(l − ln )(f )| ≤ |(l − lm )(f )| + |(lm − ln )(f )| ≤ |(l − lm )(f )| +

2

f .

Chúng ta có thể chọn m rất lớn (và phụ thuộc vào f ) sao cho ta có
|(l − lm )(f )| ≤

f /2.

Cho n > N , ta thấy
|(l − ln )(f )| ≤

f .

Khi đó chứng minh được l − ln → 0.

1.4
1.4.1

Không gian đối ngẫu của Lp
Không gian đối ngẫu của Lp khi 1 ≤ p < ∞

Giả sử 1 ≤ p ≤ ∞ và q là số mũ liên hợp của p, tức là 1/p + 1/q = 1,
Bất đẳng thức H¨older’s cho thấy mỗi hàm g ∈ Lq tạo nên phiếm hàm
tuyến tính bị chặn trên Lp bởi
l(f ) =

f (x)g(x)dµ(x)

(1.4)

X

và f

≤ g

Lq .

Do đó, nếu liên kết g với l ở trên thì ta thấy rằng

Lq ⊂ (Lp )∗ khi 1 ≤ p ≤ ∞. Kết quả chính trong phần này là để chứng

minh khi 1 ≤ p < ∞, mọi phiếm hàm tuyến tính trong Lp là dạng (1.4)
với một g ∈ Lq nào đó. Điều này nói rằng (Lp )∗ = Lq khi 1 ≤ p < ∞.
10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thúy Lan

Kết quả này không đúng trong trường hợp p = ∞; đối ngẫu của L∞
chứa L1 .
Định lý 1.4.1. Giả sử 1 ≤ p < ∞, và 1/p + 1/q = 1. Thì với B = Lp
ta có B ∗ = Lq theo nghĩa với mỗi phiếm hàm tuyến tính bị chặn l trong
Lp đều tồn tại duy nhất g ∈ Lq sao cho l(f ) =
f ∈ Lp .
Hơn nữa, l

f (x)g(x)dµ(x), mọi
X

B∗

= g

Lq .

Để chứng minh Định lý này, ta cần một Bổ đề sau:
Bổ đề 1.4.1. Giả sử 1 ≤ p, q ≤ ∞ là các số mũ liên hợp.
i) Nếu g ∈ Lq , thì g

= sup |

Lq

f

f g|.

Lp ≤1

ii) Giả sử g là khả tích trên mọi tập độ đo hữu hạn, và
sup |
f

Khi đó g ∈ Lq và g

Lq

f g| = M < ∞.

Lp ≤1

= M.

Để chứng minh Bổ đề, chúng ta nhớ lại dấu của số thực xác định bằng



1, x > 0



sign(x) = −1, x < 0



 0, x = 0
Chứng minh. i) Dễ thấy g = 0 luôn thỏa mãn
Giả sử g = 0 do đó g

Lq

= 0. Từ bất đẳng thức H¨older ta có
g

Lq

≥ sup |
f

Lp ≤1

11

f g|


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thúy Lan

Để chứng minh bất đẳng thức ngược, chúng ta xét một vài trường hợp
1) Nếu q = 1 và p = ∞, ta có thể lấy f (x) = signg(x)
Thì ta có f

L∞

= 1 và

fg = g

L1 .

2) Nếu 1 < p, q < ∞ thì ta đặt f (x) = |g(x)|q−1 signg(x)/ g
Chúng ta thấy f
q và

fg = g

p
Lp

|g(x)|p(q−1) dµ/ g

=

p(q−1)
Lq

q−1
Lq .

= 1 vì p(q − 1) =

Lq .

3) Nếu q = ∞ và p = 1, cho

> 0 và E là tập độ đo hữu hạn

dương, trong đó |g(x)| ≥ g

L∞

− . Khi đó nếu ta đặt f (x) =

χE (x)signg(x)/µ(E), trong đó χE là hàm đặc trưng của tập E, ta
thấy f

L1

= 1 và
fg =

1
µ(E)

E

|g|∞ − .

ii) Ta có thể tìm thấy dãy {gn } của hàm số đơn giản sao cho |gn (x)| ≤
|g(x)| và gn (x) → g(x) với mọi x. Khi p > 1(q < ∞), ta đặt fn (x) =
|gn (x)|q−1 signg(x)/ gn

q−1
Lq .

Khi đó fn

Lp

= 1. Tuy nhiên

|gn (x)|q
fn g =

gn

q−1
Lq

= gn

Lq

và nó không vượt quá M . Từ bổ đề Fatou suy ra
g ∈ Lq , với g

Lq

≤ M . Hướng g

Lq

|g|q ≤ M q , nên

≥ M là tất nhiên bởi bất đẳng

thức H¨older. Khi đó bổ đề được chứng minh.
Chứng minh. Sau khi chứng minh được Bổ đề, chúng ta quay về chứng
minh Địnhlý. Xét trường hợp thứ nhất đơn giản hơn khi không gian nền
12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thúy Lan

có độ đo hữu hạn. Trong trường hợp này, với l là phiếm hàm đã cho trên
Lp , chúng ta có thể định nghĩa tập hợp hàm ν bằng
ν(E) = l( χE ),
trong đó E là tập độ đo bất kì. Định nghĩa này là có nghĩa vì bây giờ χE
là tự động thuộc Lp vì không gian có độ đo hữu hạn. Ta quan sát thấy
|ν(E)| ≤ c(µ(E))1/p ,

(1.5)

trong đó c là chuẩn của phiếm hàm tuyến tính, phải chú ý đến việc
χE

Lp

= (µ(E))1/p .

Bây giờ tính chất tuyến tính của l suy ra hàm ν là hữu hạn cộng tính.
Ngoài ra nếu {En } là đếm được tính được của tập đo được rời nhau, ta
đặt
∗
∞
E = ∪∞
n=1 En , En = ∪n=N +1 En

thì hiển nhiên

N

χE = χEN∗ +

χEN .
n=1

N

Do đó ν(E) =

ν(EN∗ )

ν(En ). Tuy nhiên ν(En∗ ) → 0 khi N → ∞,

+

n=1

vì (1.5) và giả định p < ∞. Điều này cho thấy ν là cộng tính đếm được,
ngoài ra (1.5) cũng cho thấy ν liên tục tuyệt đối đối với µ.
Định lí Lebesgue - Radon - Nykodim là then chốt của độ đo liên tục
tuyệt đối, nó đảm bảo sự hiện hữu của hàm khả tích g sao cho ν(E) =

13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thúy Lan

gdµ mỗi tập hợp E đo được. Do đó chúng ta có l(χE ) =

χE gdµ.

X

Mở rộng phép biểu diễn l(f ) =

f gdµ để hàm f đơn giản, và bằng

đoạn đến giới hạn, với mọi f ∈ Lp , từ đó hàm đơn giản là trù mật trong
Lp , 1 ≤ p < ∞. Cũng từ Bổ đề trên ta suy ra g

Lq

= l . Trường hợp

độ đo của tập nền là vô hạn, chúng ta không trình bày ở đây.
1.4.2

Định lí Hahn - Banach

Định lý 1.4.2. Giả sử p là một nửa chuẩn trên không gian tuyến tính
V , V0 là không gian con tuyến tính của V và cho phiếm hàm tuyến tính
l0 trên V0 thỏa mãn l0 (ν) ≤ p(ν), mọi ν ∈ V0 .
Khi đó l0 có thể mở rộng tới phiếm hàm tuyến tính l trên V thỏa mãn
l(ν) ≤ p(ν), mọi ν ∈ V .
1.4.3

Một vài hệ quả

Mệnh đề 1.4.1. Giả sử B là một không gian Banach và f0 là phần tử
đã cho của B với f0 | = M . Khi đó tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên
tục l trên B sao cho l(f0 ) = M và l

B∗

= 1.

Chứng minh. Định nghĩa l0 trên không gian con một chiều {αf0 }α∈R
bằng l0 (αf0 ) = αM , với mỗi α ∈ R. Chú ý nếu ta tập hợp p(f ) = f
cho mỗi f ∈ B, hàm số p là một nửa chuẩn, tức là


p(aν) = ap(ν)
α ≥ 0, ν ∈ V

p(ν + ν ) ≤ p(ν ) + p(ν ) ν , ν ∈ V
1

2

1

2

1

2

Ta thấy |l0 (αf0 )| = |α|M = |α| f0 = p(αf0 ), do đó l0 (f ) ≤ p(f ). Bằng
định lí mở rộng, l0 mở rộng đến l xác định trên B với l(f ) ≤ p(f ) = f ,
14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thúy Lan

mọi f ∈ B. Từ đó bất đẳng thức này cũng cố định f trong vị trí của f
ta được |l(f )| ≤ f , và do đó l
l

B∗

B∗

≤ 1.

≥ 1 là đúng do định nghĩa l(f0 ) = f0 .

Khi đó mệnh đề được chứng minh.
Mệnh đề 1.4.2. Cho B1 , B2 là cặp không gian Banach và S ⊂ B1 là
không gian con tuyến tính trù mật của B1 . Giả sử T0 là phép biến đổi
tuyến tính từ S tới B2 thỏa mãn T0 (f )

B2

≤M f

B1

mọi f ∈ S. Thì T0

có mở rộng duy nhất T tới toàn bộ của B1 sao cho T (f )

B2

≤M f

B1

mọi f ∈ B1 .
Chứng minh. Nếu f ∈ B1 , cho {fn } là dãy trong S mà hội tụ đến f .
Thì từ đó T0 (fn ) − T0 (fm )

B2

≤ M fn − fm

B1

cho nên T0 (fn ) là dãy

Cauchy trong B2 , và do đó hội tụ tới một giới hạn, chúng ta định nghĩa
được T (f ). Định nghĩa của T (f ) không phụ thuộc vào việc chọn dãy
{fn } và phép biến đổi T có toàn bộ tính chất cần có.
Bây giờ chúng ta nói đến tính đối ngẫu của phép biến đổi tuyến tính.
Ta có phép biến đổi tuyến tính T từ không gian Banach B1 tới không
gian Banach B2 , nó cảm sinh phép biến đổi đối ngẫu T ∗ của B2∗ tới B1∗ ,
có thể định nghĩa như sau:
Định nghĩa 1.4.1. Giả sử l2 ∈ B2∗ (là phiếm hàm tuyến tính liên
tục trong B2 ), khi đó l1 = T ∗ (l2 ) ∈ B1∗ , được định nghĩa bởi l1 (f1 ) =
l2 (T (f1 )), mọi f1 ∈ B1 . Tức là
T ∗ (l2 )(f1 ) = l2 (T (f1 ))

(1.6)

Định lý 1.4.3. Toán tử T ∗ định nghĩa ở (1.6) là phép biến đổi tuyến
15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thúy Lan

tính bị chặn từ B2∗ tới B1∗ và thỏa mãn T = T ∗ .

Chứng minh. +) Nếu f1

B1

≤ 1 ta có

|l1 (f1 )| = |l2 (T (f1 ))| ≤ l2 (T (f1 ))

B2

≤ l2

Do đó lấy cận trên đúng toàn bộ f1 ∈ B1 với f1

B1

T .

≤ 1, ta thấy ánh xạ

l2 → T ∗ (l2 ) = l1 có chuẩn ≤ T .
+) Để chứng minh bất đẳng thức ngược ta phải chỉ ra với bất kì > 0 tồn
tại f1 ∈ B với f1

B1

= 1 và T (f1 )

B2

≥ T − . Với f2 = T (f1 ) ∈ B2 .

Từ Mệnh đề 1.4.3 (với B = B2 ) có l2 trong B2∗ sao cho l2

b∗2

= 1

nhưng l2 (f2 ) ≥ T − . Do đó từ (1.6) có một T ∗ (l2 )(f1 ) ≥ T − ,
và do đó f1

B1

= 1. Chúng ta kết luận T ∗ (l2 )

T ∗ ≥ T − , mọi

> 0.

Khi đó định lí được chứng minh.

16

B1∗

≥ T − . Từ đó


Chương 2
Sự hội tụ yếu trong không gian Lp

2.1

Khái niệm hội tụ yếu trong không gian định
chuẩn

2.1.1

Khái niệm

Dãy {xn } trong không gian định chuẩn X gọi là hội tụ tới véc tơ x ∈ X
nếu x − xn → 0 khi n → ∞. Trong trường hợp này ta viết xn → x và
x gọi là giới hạn của dãy (xn ).
Ta nói dãy {xn } trong không gian định chuẩn X là hội tụ yếu tới véc
w

tơ x và viết xn −
→ x nếu f (xn ) → f (x) với mỗi phiếm hàm tuyến tính
f ∈X
Véc tơ x được gọi là giới hạn yếu của dãy (xn ).
Một dãy (fn ) trong đối ngẫu X ∗ của không gian định chuẩn X hội
tụ yếu tới phiếm hàm tuyến tính f ∈ X ∗ nếu F (fn ) → F (f ) với mỗi
F ∈ X ∗∗ .
Ta nói dãy (fn ) trong đối ngẫu X ∗ của không gian định chuẩn X hội tụ
yếu

∗

w∗

tới phiếm hàm tuyến tính f ∈ X ∗ và viết fn −→ f nếu fn (x) →

17