Đối ngấu trong một số không gian hàm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Trương Thị Ngọc Mai

ĐỐI NGẪU TRONG MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội - Năm 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Trương Thị Ngọc Mai

ĐỐI NGẪU TRONG MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM

Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã sinh viên: 145D1402090089

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
TS BÙI KIÊN CƯỜNG

Hà Nội - Năm 2018


LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện khóa luận, với sự cố
gắng của bản thân cũng như sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của
các thầy cô giáo và các bạn sinh viên, em đã hoàn thành khóa luận
này.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô công tác tại Khoa
Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 và các thầy cô đã trực
tiếp giảng dạy, truyền đạt cho em những kiến thức quý báu về chuyên
môn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu trong thời gian vừa qua.
Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo, tiến
sĩ Bùi Kiên Cường, người đã tận tình giúp đỡ, chỉ bảo cũng như
cung cấp cho em những kiến thức nền tảng để em hoàn thành khóa
luận này.
Em xin chân thành cám ơn!

Hà Nội, ngày 10 tháng 5 năm 2018
Sinh viên

Trương Thị Ngọc Mai


LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Bùi Kiên
Cường khóa luận của em được hoàn thành không trùng với bất kì đề
tài nào khác.

Trong khi thực hiện đề tài em đã sử dụng và tham khảo các
thành tựu của các nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng.

Hà Nội, ngày 10 tháng 5 năm 2018
Sinh Viên

Trương Thị Ngọc Mai

ii


Mục lục

MỞ ĐẦU

1

1 Đối ngẫu trong không gian Hilbert

3

1.1

Không gian tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.1

Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3

Phiếm hàm tuyến tính trong không gian Hilbert . . . .

6

1.4

Đối ngẫu của không gian Hilbert . . . . . . . . . . . .

11

2 Đối ngẫu trong không gian định chuẩn
2.1

13

Không gian định chuẩn, không gian Banach . . . . . .

13

2.1.1

Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . .

13

2.1.2

Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.2

Phiếm hàm tuyến tính trong không gian định chuẩn . .

14

2.3

Không gian đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.3.1

Không gian đối ngẫu thứ hai . . . . . . . . . . .

18

Định lý Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.4.1

. . .

19

Đối ngẫu của một số không gian Banach . . . . . . . .

26

Đối ngẫu trong Rn . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.4

2.5

2.5.1

Định lý Hahn-Banach trong thực và phức

i


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trương Thị Ngọc Mai
p (1

≤ p < ∞) . . . . . . . . . .

2.5.2

Đối ngẫu trong

27

2.5.3

Không gian đối ngẫu của Lp (1 ≤ p < ∞)

. . .

31

2.5.4

Đối ngẫu của C [a, b] . . . . . . . . . . . . . . .

33

KẾT LUẬN

36

Tài liệu tham khảo

37

ii


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trương Thị Ngọc Mai

LỜI MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài
Cho X là một không gian định chuẩn. Không gian đối ngẫu của
X, ký hiệu X ∗ là tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục
trên X. Với các phép toán cộng các phiếm hàm và nhân phiếm hàm
với một vô hướng X ∗ là một không gian vectơ. Hơn nữa, với mỗi phần
tử f thuộc X ∗ , công thức
f =

sup

|f (x)| f =

x∈X, x =1

sup

|f (x)|

x∈X, x =1

làm X ∗ trở thành một không gian định chuẩn đầy đủ, tức là không
gian Banach.
Mối liên hệ giữa X và X ∗ không rõ ràng lắm, trừ trường hợp X
là không gian định chuẩn có số chiều hữu hạn hoặc X là không gian
Hilbert. Để nghiên cứu sâu thêm về không gian đối ngẫu trong các lớp
không gian hàm khác nhau, cùng với niềm say mê của bản thân và
được sự giúp đỡ tận tình của thầy Bùi Kiên Cường, em đã thực hiện
khóa luận tốt nghiệp với đề tài:
“Đối ngẫu trong một số không gian hàm ”

1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trương Thị Ngọc Mai

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về đối ngẫu trong không gian Hilbert và một số
không gian Banach.
3. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý thuyết.
- Phương pháp giải tích hàm.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối ngẫu trong không gian Hilbert tổng quát và trong một số
không gian Banach cụ thể.
5. Cấu trúc khóa luận

Bài khóa luận gồm 2 chương:
Chương 1 : Đối ngẫu trong không gian Hilbert
Chương 2 : Đối ngẫu trong không gian Banach
Do mới được làm quen với việc nghiên cứu khoa học nên những
vấn đề được trình bày trong bản khóa luận này không tránh khỏi
những thiếu sót. Vì vậy em rất mong nhận được nhiều ý kiến đóng
góp của các thầy cô và bạn đọc, để đề tài được hoàn thiện hơn.

2


Chương 1
Đối ngẫu trong không gian Hilbert
1.1

Không gian tích vô hướng

Định nghĩa 1.1. Cho không gian véc tơ X trên trường P (P là trường
số thực R hoặc trường số phức C). Tích vô hướng trên X là một ánh
xạ từ tích Descartes X × X vào trường P, kí hiệu (·, ·) thỏa mãn các
tiên đề:
1. (∀x, y ∈ X)(y, x) = (x, y);
2. (∀x, y, z ∈ X)(x + y, z) = (x, z) + (y, z);
3. (∀x, y ∈ X)(∀α ∈ P)(αx, y) = α(x, y);
4. (∀x ∈ X)(x, x) > 0, nếu x = θ (θ là ký hiệu phần tử không),
(x, x) = 0, nếu x = 0.
Số (x, y) gọi là tích vô hướng của hai véc tơ x và y. Không gian
X cùng với một tích vô hướng trên đó được gọi là một không gian tích
vô hướng hay không gian tiền Hilbert.
Ví dụ 1.1.1. Cho Rk là không gian véc tơ thực k chiều. ∀x, y ∈ Rk :

3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trương Thị Ngọc Mai

x = (x1 , x2 , ...xk ) y = (y1 , y2 , ...yk ).
n

Đặt x, y = x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn =

xj yj

(1.1)

j=1

Thì Rk cùng với hệ thức trên thỏa mãn tiên đề về tích vô hướng
Thật vậy:
Kiểm tra 4 tiên đề tích vô hướng.
∀x = (x1 , x2 , ...xk ) ∈ Rk , ∀y = (y1 , y2 , ...yk ) ∈ Rk
Ta có (y, x) =

k
j=1 yj xj

= (x, y)

Vậy tiên đề 1 được thỏa mãn.

∀x = (x1 , x2 , ...xk ) ∈ Rk , ∀y = (y1 , y2 , ...yk ) ∈ Rk
∀z = (z1 , z2 , ..., zk ) ∈ Rk .Ta có
(x + y, z) = (x1 , x2 , .., xk ) , (z1 , z2 , ..., zk ) + (y1 , y2 , ..., yk ) , (z1 , z2 , .., zk )
Suy ra (x + y, z) =

k
j=1 xj zj

+

k
j=1 yj zj

Suy ra (x + y, z) = (x, z) + (y, z)
Vậy tiên đề 2 được thỏa mãn.
∀x = (x1 , x2 , ...xk ) ∈ Rk , ∀y = (y1 , y2 , ...yk ) ∈ Rk , ∀α ∈ R. Ta có
(αx, y) = (α (x1 , x2 , .., xk ) , (y1 , y2 , .., yk ))
= α (x1 , x2 , ..,k ) , (y1 , y2 , .., yk )
Suy ra (αx, y) = α

k
j=1 xj yj .

Suy ra (αx, y) = α (x, y).
Vậy tiên đề 3 được thoản mãn.
∀x = (x1 , x2 , ...xk ) ∈ Rk , ta có:
4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trương Thị Ngọc Mai

(x, x) = (x1 , x2 , .., xk ) , (x1 , x2 , .., xk )
k
2
j=1 xj

Suy ra (x, x) =
Ta có (x, x) =

k
2
j=1 xj

≥ 0 ⇒ (x, x) ≥ 0 nếu x = θ

⇒ x2j = 0 ⇔ xj = 0 ⇔ x = θ.

Vậy tiên đề 4 được thỏa mãn.
Vậy Rk cùng với hệ thức (1.1) là một tích vô hướng.
Một số tính chất đơn giản

1)(∀x ∈ X)(0, x) = 0, vì (0, x) = (0.x, x) = 0.(x, x) = 0;
2)(∀x, y ∈ X)(∀α ∈ P)(x, αy) = α(x, y). Thật vậy (x, αy) = (αy, x) =
α(y, x) = α(y, x) = α(x, y);
3)(∀x, y, z ∈ X)(x, y + z) = (x, z) + (y, z). Thật vậy
(x, y + z) = (y + z, x) = (y, x) + (x, z) = (x, y) + (x, z).
Công thức x| =

(x, x) là một chuẩn trên không gian tiền Hilbert.

Ta gọi chuẩn này là chuẩn sinh bởi tích vô hướng.

1.2

Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.2. Một không gian tiền Hilbert H được gọi là một không
gian Hilbert, nếu với chuẩn sinh bởi tích vô hướng, H làm thành một
không gian Banach.
Ta gọi là không gian con của không gian Hilbert, mọi không gian
tuyến tính con đóng của nó.
Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian
Hilbert H là không gian Hilbert con của không gian H.
5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.2.1

Trương Thị Ngọc Mai

Một số ví dụ

Ví dụ 1.2.1. Rk là không gian Hilbert, với tích vô hướng là
k

(x, y) =

ζi ηi .
i=1

Ví dụ 1.2.2. Không gian L2 (E, µ) cũng là không gian Hilbert, với tích
vô hướng:
(x, y) =

x(t)y(t)dµ.
E

Tích phân này tồn tại và hữu hạn vì theo bất đẳng thức H o¨lder:

|x|2

|xy| ≤
E

1
2

|y 2 |

.

1
2

<∞

E

E

với mọi x, y ∈ L2 (E, µ).

1.3

Phiếm hàm tuyến tính trong không gian Hilbert

Định lý 1.1 (F.Riesz). Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không
gian Hilbert H đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng:
f (x) = (x, a), x ∈ H

(1.2)

trong đó phần tử a ∈ H được xác định duy nhất bởi phiếm hàm f và
f = a .

(1.3)

Chứng minh. Giả sử a là phần tử cố định tùy ý thuộc không gian H,

6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trương Thị Ngọc Mai

nhờ các tính chất của tích vô hướng và bất đẳng thức Schwarz, công
thức:
f (x) = (x, a), x ∈ H
xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian H.
Giả sử f là phiếm hàm tuyến tính liên tục bất kì trên H. Kí hiệu
H0 = {x ∈ H : f (x) = 0}. Ta thấy H0 là không gian tuyến tính con
của không gian H, vì ∀x, y ∈ H0 , ∀a, b ∈ P ta có:
f (ax + by) = af (x) + bf (y) = 0 ⇒ ax + by ∈ H0
Đồng thời H0 là một tập con đóng trong H. Thật vậy nếu dãy điểm
(xn ) ⊂ H0 hội tụ tới x ∈ H, nhờ tính liên tục của phiếm hàm f ta có
f (x) = lim f (xn ) = 0 ⇒ x ∈ H0 .
n→∞

Do đó H0 là một không gian con của không gian H.
Nếu H = H0 thì chọn phần tử a = θ, ta nhận được biểu diễn (1.2)
f (x) = (x, θ), x ∈ H
Giả sử H = H0 , nhờ định lí về hình chiếu lên không gian con, tồn tại
phần tử x0 ∈ H

H0 , do đó x0 = θ và f (x0 ) = 0.

Với mỗi phần tử x ∈ H ta đặt y = xf (x0 ) − x0 f (x) thì
f (y) = f (x0 )f (x) − f (x)f (x0 ) = 0 ⇒ y ∈ H0 .

7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trương Thị Ngọc Mai

Từ đó suy ra
0 = (y, x0 ) = f (x0 )(x, x0 ) − f (x)(x, x0 )
f (x0 ))
⇒ f (x) = (x, (x
x0 ) = (x, a), trong đó a =
0 ,x0 )

f (x0 )
(x0 ,x0 ) x0

∈ H Do đó

phiếm hàm f có dạng (1.2). Giả sử phiếm hàm f có hai cách biểu diễn
f (x) = (x, a) = (x, a ), x ∈ H
⇒ (x, a − a ) = 0, (∀x ∈ H) ⇒ a = a , nghĩa là phần tử a trong biểu
diễn (1.2) được xác định một cách duy nhất bởi phiếm hàm f . Cuối
cùng ta chứng minh hệ thức (1.3) nhờ bất đẳng thức Schwarz, ta có:
|f (x)| = |(x, a)| ≤ x

a , ∀x ∈ H ⇒ f ≤ a

Mặt khác,
|f (a)| = |(a, a)| = a

a ⇒ f ≥ a

vì vậy f = a . Vậy định lí được chứng minh.

Áp dụng định lí Riesz vào không gian Lp [a, b] ta được định lí

sau:
Định lý 1.2. Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian
Lp [a, b] (p > 1) đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng
b

f (x) =

x(t)y(t)dt,
a

8

x(t) ∈ Lp [a, b] .

(1.4)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trương Thị Ngọc Mai

trong đó hàm só y(t) ∈ Lq [a, b], ( p1 +

1
q

= 1) được xác định duy nhất

q

.

bởi phiếm hàm f và
f = y

(1.5)

Chứng minh. Ta xét p = 2, ∀x(t), y(t) ∈ L2 [a, b] ta đặt
b

(x, y) =

x(t)y(t)dt

(1.6)

a

Dễ dàng kiểm tra công thức (1.6) xác định một tích vô hướng trên
không gian L2 [a, b], mặt khác ta lại có
b

x =

(x, x) =

|x(t)|2 dt

a

do đó chuẩn sinh ra bởi tích vô hướng trùng với chuẩn xuất phát, nên
không gian L2 [a, b] cùng với tích vô hướng (1.6) là một không gian
Hilbert. Giả sử f là một phiếm hàm tuyến tính liên tục bất kì trên
không gian Lp [a, b] (p > 1).
Ta xét trường hợp 1 < p < 2. Ta có L2 [a, b] ⊂ Lp [a, b], có thể xem
Lp [a, b] là không gian con đóng của Lp [a, b], khi đó có thể coi f tác
dụng lên L2 [a, b].
Theo định lí Riesz, tồn tại duy nhất một hàm số y(t) ∈ L2 [a, b] sao
cho
b

x(t)y(t)dt, x(t) ∈ L2 [a, b]

f (x) =

(1.7)

a

Giả sử hàm số y(t) không tương đương với 0 trên đoạn [a, b]. Đặt

9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trương Thị Ngọc Mai

y(t)

nếu |y(t)| ≤ n

n sign y(t)

nếu |y(t)| > n, n = 1, 2, ...

yn (t) =
Hiển nhiên các hàm số yn (t)(n = 1, 2, ..) đo được, bị chặn và |yn (t)| ≤
|y(t)| , (∀t ∈ [a, b]), nên yn (t) ∈ Lq [a, b] , p1 +
xn (t) = |yn (t)|q−1 sign y(t),

1
q

= 1, p > 1. Ta đặt

(n = 1, 2, ..)

Các hàm số xn (t), n = (1, 2, ..) đo được, bị chặn trên đoạn [a, b], do
đó xn (t) ∈ Lp [a, b] và xn (t) ∈ L2 [a, b].
b

xn

p

=

1
p

|xn (t)|p dt

b

=

1
p

|yn (t)|q dt

a

a

đồng thời ta có
b

f (xn ) =

b

|yn (t)|

xn (t)y(t)dt =
a

q−1

b

|y(t)| dt ≥

a

|yn (t)|q dt

a

Mặt khác
b

f (xn ) ≤ f

xn

p

⇒

b

|yn (t)|q dt ≤ f

a

1
p

|yn (t)|q dt

(1.9)

a

Vì y(t) không tương đương với 0 nên đoạn [a, b] nên yn (t) cũng không
tương đương với 0 trên đoạn [a, b] n = (1, 2, ..). Chia cả hai vế của bất
đẳng thức (1.9) cho tích phân trong vế phải ta được :
b

1
q

|yn (t)|q dt

a

10

≤ f .

(1.10)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trương Thị Ngọc Mai

Chuyển qua giới hạn trong bất đẳng thức (1.10) khi n → ∞ ta được :

b

1
q

|y(t)|q dt

≤ f ⇒ y(t) ∈ Lq [a, b]

a

Ta lập phiếm hàm
b

x(t)y(t)dt, x(t) ∈ Lp [a, b]

g(x) =

(1.11)

a

Hệ thức (1.11) xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên
Lp [a, b] và g = y q . Hiển nhiên g(x) = f (x), (∀x(t) ∈ L2 [a, b]).
Vì không gian C[a,b] trù mật khắp nơi trong không gian Lp [a, b] đặc
biệt không gian C[a,b] trù mật khắp nơi trong không gian L2 [a, b] nên g
là thác triển liên tục duy nhất của phiếm hàm f từ không gian L2 [a, b]
trên toàn không gian Lp [a, b] và theo định lí Hahn-Banach
g

Lp [a,b]

= f

L2 [a,b]

= y

q

.

Suy ra f (x) = g(x), ∀x(t) ∈ Lp [a, b], nghĩa là phiếm hàm f biểu
diễn duy nhất dưới dạng (1.4), f được xác định bằng hệ thức (1.5)
Trường hợp p > 2 được chứng minh hoàn toàn tương tự như trên.
Vậy định lí được chứng minh.

1.4

Đối ngẫu của không gian Hilbert
Một phiếm hàm tuyến tính đặc biệt trong H là f (x) = (x, y)

với y ∈ H. Từ định lí Cauchy-Schwarz, |f (x)| ≤ x

y .

Lấy x = y ta thấy rằng f = y . Ngược lại,ta có định lí sau.

11

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trương Thị Ngọc Mai

Định lý 1.3 (Riesz-Fréchet). Nếu f ∈ H ∗ , có duy nhất y ∈ H sao
cho f (x) = (x, y), ∀x ∈ H và f = y .
Chứng minh. Nếu f = 0, định lí là tầm thường. Giả sử f = 0, tập
N ={x ∈ H : f (x) = 0} là đóng và không bằng H. Từ H = N

N ⊥,

lấy một z ∈ N ⊥ − {0} hạn chế nó sao cho f (z) = 1. Chúng ta sẽ chỉ
ra rằng y là bội số của z.
Cho x ∈ H, ta có x − f (x)z ∈ N từ đó f (x − f (x)z) = 0.
Do z ⊥ N, ta có (x − f (x)z, z) = 0 hoặc (x, z) = f (x)(z, z), do đó
y = z/ z 2 .
Nếu (x, y1 ) = (x, y2 ) với ∀x ∈ H thì y1 = y2 , điều đó chứng tỏ y là
duy nhất.
Như vậy, mọi không gian Hilbert là tự đối ngẫu.

12


Chương 2
Đối ngẫu trong không gian định
chuẩn
2.1
2.1.1

Không gian định chuẩn, không gian Banach
Không gian định chuẩn

Định nghĩa 2.1. Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến
tính định chuẩn) là không gian tuyến tính E trên trường P (P = R
hoặc P = C) cùng với một ánh xạ từ E vào tập số thực R kí hiệu là
· đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề sau:
1. (∀x ∈ E) x ≥ 0, x = 0 ⇔ x = θ( θ là phần tử không ).
2. (∀x ∈ E)(∀α ∈ P) αx = |α| x .
3. (∀x, y ∈ E) x + y ≤ x + y .
Nếu . là chuẩn trên E, ta nói (E, . ) là không gian vecto định chuẩn
(còn đọc tắt là không gian định chuẩn)

13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

2.1.2

Trương Thị Ngọc Mai

Không gian Banach

Định nghĩa 2.2. Không gian Banach được định nghĩa là không gian
vecto định chuẩn đầy đủ, nghĩa là một không gian Banach là một không
gian vecto V trên trường số thực hay số phức với một chuẩn . sao
cho mọi dãy Cauchy có giới hạn trong V.
Mệnh đề 2.1. Nếu M là một không gian con đóng của một không gian
Banach X, thì không gian thương X/M là một không gian Banach.

Ví dụ 2.1.1. ∀x ∈ R đặt x = |x|.
Công thức trên cho một chuẩn trên R.Không gian dịnh chuẩn tương
ứng kí hiệu là Rl , dễ thấy Rl là không gian Banach.

2.2

Phiếm hàm tuyến tính trong không gian định
chuẩn

Định nghĩa 2.3. Trong một không gian vecto thực V , f : V → R là
một phiếm hàm tuyến tính nếu ∀x, y ∈ V, α, β ∈ R:
f (αx + βy) = αf (x) + βf (y).
Ví dụ 2.2.1. Trong Rn , mọi phiếm hàm tuyến tính đều có dạng f (x) =
n
k=1 αk xk ,

trong đó x = (x1 , .., xn ).

Trong C [0, 1], f (x) = x
Trong L2 (a, b),f (x) =

1
2

là một phiếm hàm tuyến tính.

b
a x(t)y(t)dt,

đối với mọi y ∈ L2 (a, b), là

một phiếm hàm tuyến tính.
Định nghĩa 2.4. Một phiếm hàm tuyến tính f trong không gian định
14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trương Thị Ngọc Mai

chuẩn V là bị chặn nếu có một số M > 0 sao cho |f (x)| ≤ M x ,
với ∀x ∈ V . Hằng số M nhỏ nhất thỏa mãn bất đẳng thức trên được
gọi là chuẩn của f , ký hiệu f .
Định lý 2.1. Cho f là một phiếm hàm tuyến tính trong không gian
định chuẩn V . Các mệnh đề sau là tương đương:
(1) f liên tục.
(2) f liên tục tại 0.
(3) f bị chặn.
Ví dụ 2.2.2. Trong l0 (không gian của các dãy hữu hạn) với chuẩn
là tổng các giá trị tuyệt đối các thành phần của nó, ta xác định phiếm
hàm cho bởi x = (x1 , .., xn , 0, 0, ...) ∈ l0 , f (x) =

n
k=1 kxk .

Phiếm hàm

tuyến tính đó là bị chặn.

2.3

Không gian đối ngẫu

Định nghĩa 2.5. Nếu E là một không gian định chuẩn trên trường
K, không gian đối ngẫu của E là
E ∗ = B(E, K) = T : E −→ K : T liên tục và tuyến tính
Mệnh đề 2.2. Nếu E là không gian định chuẩn, thì E ∗ là không gian
Banach.
Chứng minh. Mệnh đề trên được chứng minh từ một kết quả tổng
quát hơn sau (do lấy F = K).
Định lý 2.2. Cho E là một không gian định chuẩn và F là một không
gian Banach. Cho B(E, F ) là kí hiệu của không gian tất cả các toán
15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trương Thị Ngọc Mai

tử tuyến tính bị chặn T : E −→ F . Chúng ta có thể lập B(E, F ) là
một không gian vecto với quy tắc T + S và λT (T, S ∈ B(E, F ), λ ∈ K)
như sau:
(T + S)(x) = t(x) + S(x), (λT )(x) = λ(t(x)) với x ∈ E.
khi đó toán tử định chuẩn là một chuẩn trên B(E, F ) và lập nó thành
không gian Banach.
Chứng minh. B(E, F ) là một không gian vecto và toán tử "định chuẩn"
hiển nhiên là chuẩn trên không gian đó. Điểm chính cho thấy rằng đây
là một không gian đầy đủ.
Lấy một dãy Cauchy {Tn }∞
n=1 trong (B(E, F ), ·

op ).

Với mỗi

x ∈ E không đổi, {Tn (x)}∞
n=1 là dãy Cauchy trong F bởi
Tn (x) − Tm (x)

F

≤ Tn − Tm

op

x

E

là đúng nếu n và m đều lớn. Vì F là không gian đủ, nên điều đó tồn
tại trong F (với mỗi x ∈ E). Nó cho phép chúng ta xác định một ánh
xạ T : E −→ F bởi
T (x) = lim Tn (x).
n→∞

chứng minh sẽ hoàn thành khi ta chỉ ra rằng T ∈ B(E, F ) và
lim Tn − Tm

n→∞

op

=0

(tức là Tn → T là chuẩn của B(E, F )).
Theo điều kiện Cauchy, ta thấy rằng có thể tìm được N sao cho
Tn − Tm

op

< 1 với mọi n, m ≥ N . Vì lấy x ∈ E, x
16

E

≤ 1. Do đó,


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trương Thị Ngọc Mai

với n, m ≥ N ta có
Tn (x) − Tm (x)

F

= (Tn − Tm )(x)

F

= Tn − Tm

op

< 1.

Lấy n = N và m → ∞ và sử dụng tính liên tục của chuẩn trên F ta
có kết luận
TN (x) − T (x)

F

≤1

Khẳng định trên dúng với mọi x ∈ E với chuẩn x

E

≤ 1 và ta sử

dụng nó để kết luận rằng
sup T (x)

F

x∈E
x 1

≤ sup TN (x)

x∈E
x 1

≤ TN (x)

op

F

+ sup T (x−)TN (x)
x∈E
x 1

F

+1

Ta thấy vì T bị chặn nên T ∈ B(E, F ).
Ta lặp lại vài bước cuối cùng với một số ε > 0 tùy ý mà đã
có 1 trước. Theo điều kiện Cauchy ta có thể tìm được N sao cho
Tn − Tm

op

< ε với mọi n, m ≥ N . Vì lấy x ∈ E, x

E

≤ 1. Như

trên, ta nhận được
Tn (x) − Tm (x)

F

= (Tn − Tm )(x)

F

≤ Tn − Tm

F

≤ Tn − Tm

op

< ε.

với n, m ∈ N, x ≤ 1. Cho bất kì n ≥ N và cho m → ∞ ta được
Tn (x) − T (x)

F

≤ ε.

Ta có khẳng định trên đúng với mọi x là chuẩn tối đa 1 và mọi n ≥ N .

17

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trương Thị Ngọc Mai

Nên
Tn − T =

T (x − Tn (x))

sup
x∈E, x ≤1

F

≤ε

với n ≥ N . điều đó chứng minh rằng Tn → T trong B(E, F ) là một
không gian Banach. Điều đó đã chỉ ra hướng của chứng minh trên là
tương tự với chứng minh (với không gian Topo X)(BC(X), ·

∞)

là

đủ .
2.3.1

Không gian đối ngẫu thứ hai
Cho x ∈ V , ký hiệu x, x∗ := x∗ (x) (tương tự như một tích

trong). Ký hiệu này cũng cho phép xác định một hàm f trên V ∗ (với
x ∈ V xác định):
f (x∗ ) = x, x∗ ,

x∗ ∈ V ∗ ,

trong đó f là tuyến tính, và |f (x∗ )| = | x, x∗ | ≤

x

x∗ , nên

f ≤ x , và theo Hahn-Banach, có một x∗ ∈ V ∗ sao cho | x, x∗ | =
x

x∗ , do đó f = x .

Định nghĩa 2.6. V ∗∗ = (V ∗ )∗ , không gian đối ngẫu thứ hai của một
không gian định chuẩn V , là tập các phiếm hàm tuyến tính bị chặn
trên V ∗ .
Ta thấy, có một ánh xạ ϕ : V → V ∗∗ , cho bởi ϕ(x) = x∗∗ , trong
đó x∗∗ , x∗ = x, x∗ . Ánh xạ này là tuyến tính và "bảo toàn chuẩn":
ϕ(x) = x . Tuy nhiên, ϕ không phải luôn là toàn ánh, nghĩa là, có
thể có x∗∗ ∈ V ∗∗ không được biểu diễn bởi các phần tử của V .

18


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trương Thị Ngọc Mai

Định nghĩa 2.7. Một không gian định chuẩn V là phản xạ nếu ϕ là
toàn ánh. Khi đó, ta viết V = V ∗∗ .
Ví dụ 2.3.1.
1.

p

và Lp (1 < p < ∞) là các không gian phản xạ, vì ( p )∗∗ =

( q )∗ =
2.

1

p,

trong đó 1/p + 1/q = 1.

và L1 không phải là các không gian phản xạ.

3. Mọi không gian Hilbert đều là không gian phản xạ.

2.4
2.4.1

Định lý Hahn-Banach
Định lý Hahn-Banach trong thực và phức

Định lý 2.3 (Định lý Hahn-Banach thực). Cho E là một không gian
vecto trên R và M là một không gian vecto con. Giả sử p : E → [0, ∞)
là một nửa chuẩn trên E và là α là một phiếm tuyến tính trên M thỏa
mãn
|α(x)| ≤ p(x) ∀x ∈ M.
Khi đó tồn tại một mở rộng tuyến tính β : E → R của α và thỏa mãn
(i) β(x) = α(x) với mọi x ∈ M (tức là β thác triển α).
(ii) |β(x)| ≤ p(x) với mọi x ∈ E.
Trường hợp thường xuyên xảy ra khi E là một không gian định
chuẩn và α là một hàm tuyến tính liên tục trên không gian vecto con
M vì thế α ∈ M ∗ và |α(x)| ≤ α
có p(x) = α

x

x .
19

(x ∈ M ). Sử dụng định lý, ta