BÀI GIẢNG XÁC SUẤT THỐNG KÊ Y DƯỢC (DÀNH CHO SINH VIÊN Y - DƯỢC)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY ĐÔ

KHOA CƠ BẢN
-------  -------

BÀI GIẢNG

XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Y DƯỢC
(DÀNH CHO SINH VIÊN Y - DƯỢC)

Biên soạn: Bộ môn Toán

LƯU HÀNH NỘI BỘ

Cần Thơ – 2015



LỜI NÓI ĐẦU
Xác suất thống kê Y – Dược là môn học nhằm cung cấp cho sinh viên Y – Dược những kiến
thức Toán cơ bản, cần thiết và hữu ích về Xác suất và Thống kê nhằm giúp sinh viên học được các
kiến thức chuyên ngành.
Bài giảng gồm 8 chương:
Chương 1: Xác suất và các công thức tính xác suất.
Chương 2: Biến ngẫu nhiên.
Chương 3: Các phân phối xác suất thông dụng
Chương 4: Véctơ ngẫu nhiên
Chương 5: Tổng thể và mẫu
Chương 6: Ước lượng các tham số thống kê.
Chương 7: Kiểm định giả thuyết thống kê.

Chương 8: Tương quan và hồi qui.
Chương 1 gồm các kiến thức bao gồm các khái niệm và công thức cơ bản của xác suất như
khái niệm biến cố, các định nghĩa xác suất, công thức cộng và nhân xác suất, công thức xác suất đầy
đủ, công thức Bayes,…trong đó có một số phần sinh viên đã học ở phổ thông. Bên cạnh đó, do đặc
thù chuyên ngành, tài liệu bổ sung thêm phần xác suất trong chẩn đoán.
Chương 2 gồm các kiến thức về biến ngẫu nhiên bao gồm biến ngẫu nhiên rời rạc, biến ngẫu
nhiên liên tục; các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên như kỳ vọng, phương sai, mốt, trung
vị,…
Chương 3 gồm các phân phối xác suất thông dụng như phân phối nhị thức, phân phối siêu
bội, phân phối Poisson, phân phối chuẩn,….và các công thức tính xấp xỉ.
Chương 4 gồm các khái niệm về véctơ ngẫu nhiên như hệ số tương quan, hiệp phương sai, kỳ
vọng và phương sai có điều kiện, …
Chương 5 gồm khái niệm tổng thể và mẫu; các tham số đặc trưng của tổng thể, mẫu như
trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn,…; phân phối trung bình, tỷ lệ, phương sai của mẫu ngẫu
nhiên và các phương pháp tính các tham số của mẫu cụ thể.
Chương 6 gồm ước lượng điểm và ước lượng khoảng tin cậy các tham số (trung bình, tỷ lệ,
phương sai) của một tổng thể và hai tổng thể.
Chương 7 gồm kiểm định giả thuyết thống kê các tham số (trung bình, tỷ lệ, phương sai) của
một tổng thể và hai tổng thể. Bên cạnh đó, tài liệu còn bao gồm kiểm định phân phối, sự phù hợp.
đồng nhất, độc lập của các phân phối.
Chương 8 gồm các khái niệm tương quan và hồi qui của các biến ngẫu nhiên.
Trong bài giảng có những định lý yêu cầu sinh viên chấp nhận mà không chứng minh vì cách
chứng minh khá phức tạp hoặc chưa thực sự cần thiết. Chủ yếu làm thế nào để sinh viên hiểu và vận
dụng vào việc giải bài tập. Tuy nhiên, khi đã hiểu các kiến thức được trình bày trong bài giảng một
cách vững chắc thì sinh viên có thể tự trang bị thêm cho mình các kiến thức chuyên sâu về Xác suất
thống kê theo yêu cầu của công việc khi ra trường hoặc có nhu cầu học tập tiếp tục lên cao trong
tương lai.


Trong bài giảng có sử dụng một số ví dụ và bài tập trong cuốn [1], [2] và [3].

Chúng tôi rất mong đón nhận và chân thành biết ơn những đóng góp của người đọc về những
thiếu sót của bài giảng này cả về nội dung lẫn hình thức.
Mọi ý kiến đóng góp xin gởi về địa chỉ email


Mục lục

MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU ...................................................................................................................... 1
CHƯƠNG 0

CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .................................................................... 1

0.1. Giải tích tổ hợp .......................................................................................................................................................... 1
0.1.1. Quy tắc cộng....................................................................................................................................................... 1
0.1.2. Quy tắc nhân ...................................................................................................................................................... 1
0.1.3. Hoán vị................................................................................................................................................................ 1
0.1.4. Chỉnh hợp ........................................................................................................................................................... 1
0.1.5. Tổ hợp................................................................................................................................................................. 2
0.1.6. Nhị thức Newton ................................................................................................................................................ 2
0.2. Tập hợp ...................................................................................................................................................................... 2
0.2.1. Khái niệm ........................................................................................................................................................... 2
0.2.2. Các phép toán trên tập hợp .............................................................................................................................. 3

CHƯƠNG 1

XÁC SUẤT VÀ CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT............................... 4

1.1. Phép thử và biến cố: .................................................................................................................................................. 4
1.1.1. Phép thử.............................................................................................................................................................. 4

1.1.2. Biến cố................................................................................................................................................................. 4
1.1.3. Quan hệ giữa các biến cố................................................................................................................................... 5
1.2. Định nghĩa xác suất:.................................................................................................................................................. 7
1.2.1. Định nghĩa xác suất theo phương pháp cổ điển .............................................................................................. 7
1.2.2. Định nghĩa xác suất theo phương pháp thống kê............................................................................................ 9
1.2.3. Định nghĩa xác suất theo tiên đề..................................................................................................................... 10
1.3. Các công thức tính xác suất .................................................................................................................................... 10
1.3.1. Công thức cộng xác suất.................................................................................................................................. 10
1.3.2. Công thức nhân xác suất ................................................................................................................................. 12
1.3.3. Công thức xác suất đầy đủ - công thức Bayes ............................................................................................... 14
1.3.4. Công thức Bernoulli......................................................................................................................................... 17
1.4. Xác suất trong chẩn đoán ....................................................................................................................................... 18
1.4.1. Xác suất liên quan đến xét nghiệm T ............................................................................................................. 18
1.4.2. Tính xác suất hậu nghiệm ............................................................................................................................... 20
1.4.3. Mô hình ngưỡng (Threshold Model).............................................................................................................. 22
BÀI TẬP CHƯƠNG 1.................................................................................................................................................... 24

CHƯƠNG 2

BIẾN NGẪU NHIÊN ................................................................................ 29

2.1. Biến ngẫu nhiên ....................................................................................................................................................... 29
2.2. Biến ngẫu nhiên rời rạc........................................................................................................................................... 29
2.2.1. Định nghĩa ........................................................................................................................................................ 29
2.2.2. Bảng phân phối xác suất ................................................................................................................................. 29
2.2.3. Hàm mật độ xác suất (hay gọi tắt hàm mật độ) ............................................................................................ 30
2.2.4. Hàm phân phối xác suất (hay gọi tắt hàm phân phối).................................................................................. 30
2.3. Biến ngẫu nhiên liên tục.......................................................................................................................................... 31
2.3.1. Định nghĩa ........................................................................................................................................................ 31
2.3.2. Hàm phân phối xác suất (hay gọi tắt là hàm phân phối).............................................................................. 32

2.3.3. Một số công thức tính xác suất ....................................................................................................................... 32

-i-


Mục lục
2.4. Phân phối xác suất của hàm của biến ngẫu nhiên.................................................................................................34
2.4.1. X là biến ngẫu nhiên rời rạc ............................................................................................................................34
2.4.2. X là biến ngẫu nhiên liên tục ...........................................................................................................................35
2.5. Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên..........................................................................................................36
2.5.1. Kỳ vọng (E(X) - Expectation) ..........................................................................................................................36
2.5.2. Phương sai (V(X) - Variance)..........................................................................................................................37
2.5.3. Mốt (Mod(X) - Mode) ......................................................................................................................................38
2.5.4. Trung vị (Med(X) - Medium) ..........................................................................................................................38
2.5.5. Hàm gây moment .............................................................................................................................................40
BÀI TẬP CHƯƠNG 2 ....................................................................................................................................................41

CHƯƠNG 3

CÁC PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG ........................................ 44

3.1 Phân phối Bernoulli (B(p)) .......................................................................................................................................44
3.1.1. Định nghĩa.........................................................................................................................................................44
3.1.2. Tính chất: ..........................................................................................................................................................44
3.1.3. Mô hình có phân phối Bernoulli .....................................................................................................................44
3.2. Phân phối nhị thức (B(n;p)......................................................................................................................................45
3.2.1. Định nghĩa.........................................................................................................................................................45
3.2.2. Tính chất ...........................................................................................................................................................45
3.3. Phân phối siêu bội H(N; NA; n) ...............................................................................................................................47
3.3.1. Định nghĩa.........................................................................................................................................................48

3.3.2. Tính chất ...........................................................................................................................................................48
3.4. Phân phối Poisson P() ............................................................................................................................................49
3.4.1. Định nghĩa.........................................................................................................................................................49
3.4.2. Tính chất: ..........................................................................................................................................................49
3.5. Phân phối chuẩn N(; 2)........................................................................................................................................50
3.5.1. Phân phối chuẩn N(; 2) ................................................................................................................................50
3.5.2. Phân phối chuẩn tắc N(0; 1) ............................................................................................................................50
3.5.3. Cách tra bảng phân phối chuẩn tắc................................................................................................................51
3.5.4. Các công thức tính xác suất.............................................................................................................................53
3.5.5. Phân vị chuẩn mức  .......................................................................................................................................54
3.6. Phân phối “khi bình phương”.................................................................................................................................55
3.7. Phân phối Student....................................................................................................................................................56
3.8. Phân phối Fisher - Snedecor ...................................................................................................................................57
3.9. Luật số lớn ................................................................................................................................................................57
3.9.1. Khái niệm hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên.....................................................................................................57
3.9.2. Bất đẳng thức Markov .....................................................................................................................................58
3.9.3. Bất đẳng thức Tchebyshev...............................................................................................................................58
3.9.4. Định lý Tchebyshev ..........................................................................................................................................59
3.9.5. Định lý Bernoulli ..............................................................................................................................................59
3.10. Các công thức tính xấp xỉ ......................................................................................................................................60
3.10.1. Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối Poisson ....................................................................................60
3.10.2. Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối chuẩn ......................................................................................60
3.10.3. Xấp xỉ phân phối siêu bội bằng phân phối nhị thức....................................................................................61
BÀI TẬP CHƯƠNG 3 ....................................................................................................................................................63

- ii -


Mục lục
CHƯƠNG 4

VÉCTƠ NGẪU NHIÊN ............................................................................ 66

4.1. Véctơ ngẫu nhiên ..................................................................................................................................................... 66
4.1.1. Khái niệm ......................................................................................................................................................... 66
4.1.2. Mối quan hệ giữa hai thành phần của véctơ ngẫu nhiên.............................................................................. 66
4.2. Phân phối xác suất của véctơ ngẫu nhiên hai chiều.............................................................................................. 66
4.2.1. Bảng phân phối xác suất đồng thời ................................................................................................................ 66
4.2.2. Phân phối biên (phân phối lề) ......................................................................................................................... 67
4.2.3. Hàm mật độ xác suất ....................................................................................................................................... 68
4.3.4. Hàm phân phối xác suất.................................................................................................................................. 68
4.3. Các tham số đặc trưng của véctơ ngẫu nhiên V = (X,Y) ...................................................................................... 69
4.3.1. Kỳ vọng và phương sai của các thành phần .................................................................................................. 69
4.3.2. Hiệp phương sai (Covariance) ........................................................................................................................ 69
4.3.3. Hệ số tương quan (  X ,Y )................................................................................................................................ 70
4.3.4. Ma trận hiệp phương sai ................................................................................................................................. 70
4.3.5. Ma trận tương quan ........................................................................................................................................ 70
4.4. Kỳ vọng và phương sai có điều kiện....................................................................................................................... 71
4.4.1. Phân phối có điều kiện .................................................................................................................................... 71
4.4.2. Kỳ vọng và phương sai có điều kiện của hai biến X, Y rời rạc .................................................................... 71
BÀI TẬP CHƯƠNG 4.................................................................................................................................................... 74

CHƯƠNG 5

TỔNG THỂ VÀ MẪU............................................................................... 76

5.1. Các tham số đặc trưng của tổng thể....................................................................................................................... 76
5.1.1. Tổng thể ............................................................................................................................................................ 76
5.1.2. Các tham số đặc trưng của tổng thể............................................................................................................... 76
5.2. Các tham số đặc trưng của mẫu ............................................................................................................................. 77

5.2.1. Mẫu ................................................................................................................................................................... 77
5.2.2. Mẫu ngẫu nhiên ............................................................................................................................................... 78
5.2.3. Các đặc trưng của mẫu ngẫu nhiên................................................................................................................ 79
5.2.4. Phân phối mẫu ................................................................................................................................................. 81
5.3. Sắp xếp số liệu và phương pháp tính các tham số mẫu cụ thể............................................................................. 86
5.3.1. Trường hợp mẫu có kích thước nhỏ: ............................................................................................................. 87
5.3.2. Trường hợp mẫu có kích thước lớn: .............................................................................................................. 88
BÀI TẬP CHƯƠNG 5.................................................................................................................................................... 93

CHƯƠNG 6

ƯỚC LƯỢNG CÁC THAM SỐ THỐNG KÊ ............................................ 96

6.1. Ước lượng điểm ....................................................................................................................................................... 96
6.1.1. Ước lượng không chệch................................................................................................................................... 96
6.1.2. Ước lượng hiệu quả ......................................................................................................................................... 96
6.1.3. Ước lượng vững................................................................................................................................................ 96
6.2. Ước lượng khoảng tin cậy ....................................................................................................................................... 97
6.2.1. Ước lượng khoảng tin cậy cho trung bình tổng thể  ................................................................................... 98
6.2.2. Ước lượng khoảng tin cậy cho tỷ lệ tổng thể p ............................................................................................ 102
6.2.3. Ước lượng khoảng tin cậy cho phương sai tổng thể 2 ............................................................................... 104
6.2.4. Ước lượng khoảng tin cậy về hai trung bình của hai tổng thể 1 và 2 ..................................................... 106
6.2.5. Ước lượng khoảng tin cậy về hai tỷ lệ của hai tổng thể p1 và p2 ................................................................ 109
BÀI TẬP CHƯƠNG 6.................................................................................................................................................. 111

- iii -


Mục lục
CHƯƠNG 7

KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ .................................................. 115

7.1. Các khái niệm.........................................................................................................................................................115
7.1.1. Khái niệm kiểm định giả thuyết thống kê ....................................................................................................115
7.1.2. Giả thuyết H0 và đối thuyết H1 ......................................................................................................................115
7.1.3. Sai lầm loại 1 (SLL1) và sai lầm loại 2 (SLL2) ............................................................................................116
7.1.4. Sơ lược về bài toán kiểm định giả thuyết thống kê......................................................................................118
7.2. Kiểm định có tham số ............................................................................................................................................119
7.2.1. Kiểm định giả thuyết về trung bình tổng thể ............................................................................................119
7.2.3. Kiểm định giả thuyết về tỷ lệ tổng thể p.......................................................................................................122
7.2.4. Kiểm định giả thuyết về phương sai tổng thể 2 ..........................................................................................124
7.2.5. Kiểm định giả thuyết về sự bằng nhau của 2 trung bình X và Y của 2 tổng thể X, Y............................125
7.2.6. Kiểm định giả thuyết về sự bằng nhau của 2 tỷ lệ pX và pY của hai tổng thể X và Y ...............................129
7.2.7. Kiểm định giả thuyết về sự bằng nhau của 2 phương sai X2,Y2 của hai tổng thể X ,Y..........................130
7.3. Kiểm định sự phù hợp của một phân phối...........................................................................................................131
7.3.1. Kiểm định một phân phối phù hợp với phân phối Poisson.........................................................................131
7.3.2. Kiểm định một phân phối phù hợp với phân phối chuẩn ...........................................................................132
7.4. Kiểm định sự phù hợp của phân phối lý thuyết và phân phối thực nghiệm .....................................................134
7.5. Kiểm định sự đồng nhất của các phân phối.........................................................................................................135
7.6. Kiểm định sự độc lập hay phụ thuộc của các phân phối ....................................................................................137
BÀI TẬP CHƯƠNG 7 ..................................................................................................................................................140

CHƯƠNG 8

TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI ................................................................. 143

8.1. Mối quan hệ của hai biến ngẫu nhiên...................................................................................................................143
8.1.1. Khái niệm biến ngẫu nhiên hai chiều ...........................................................................................................143
8.1.2. Mối quan hệ của hai biến ngẫu nhiên...........................................................................................................143

8.1.3. Đồ thị phân tán ...............................................................................................................................................143
8.2. Hệ số tương quan ...................................................................................................................................................143
8.2.1. Moment tương quan (Hiệp phương sai - Covarian)....................................................................................143
8.2.2. Hệ số tương quan............................................................................................................................................144
8.2.3. Ước lượng hệ số tương quan .........................................................................................................................144
8.2.4. Tính chất của hệ số tương quan ....................................................................................................................146
8.2.5. Tỷ số tương quan............................................................................................................................................148
8.3. Hồi qui.....................................................................................................................................................................148
8.3.1. Kỳ vọng có điều kiện ......................................................................................................................................148
8.3.2. Hàm hồi qui ....................................................................................................................................................149
8.3.3. Xác định hàm hồi qui .....................................................................................................................................149
BÀI TẬP CHƯƠNG 8 ..................................................................................................................................................155

PHỤ LỤC ............................................................................................................................. I
2

1  x2
Bảng tra 1: Bảng hàm Laplace f ( x ) 
e ;
2

1
Bảng tra 2: Hàm   z0  
2

z0

e



t2
2

f ( x)  f ( x) ;

...............................................................i

dt ;  ( z0 )  1   ( z0 ) ..........................................................................iii



- iv -


Mục lục
Bảng tra 3: Bảng phân vị Student tn;  với

P T  Tn;    ; T  T  n  ............................................................... v

Bảng tra 4: Bảng phân vị “khi bình phương”
Bảng tra 5: Bảng phân vị Fisher

 n2; 

với



P   2   n2;     ;  2   2 (n) ................................ vii



Fv1 ; v2 ; với P F  Fv1 ; v2 ;   ; F  F (v1 ; v2 ) ................................................ x

* TÍNH TOÁN CÁC THAM SỐ CỦA TỔNG THỂ VÀ MẪU BẰNG MÁY TÍNH CASIO

FX-570ES .......... xx

* TÍNH TOÁN HỆ SỐ TƯƠNG QUAN VÀ TÌM HỆ SỐ PHƯƠNG TRÌNH HỒI QUI Y = A + BX BẰNG MÁY
TÍNH CASIO FX-570 ES.............................................................................................................................................. xxi

TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................................... I

-v-



Chương 0: Các kiến thức chuẩn bị

Chương 0

CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
0.1. Giải tích tổ hợp
0.1.1. Quy tắc cộng
Giả sử công việc A nào đó có thể được thực hiện bằng một trong k phương án.
Có n1 cách thực hiện theo phương án thứ nhất, có n2 cách thực hiện theo phương án thứ
hai,…, có nk cách thực hiện theo phương án thứ k; và hai phương án khác nhau không có cách thực
hiện chung.
Khi đó, công việc A có n = n1 + n2 + … + nk cách thực hiện.

0.1.2. Quy tắc nhân
Giả sử công việc A nào đó được thực hiện tuần tự qua k giai đoạn.
Có n1 cách thực hiện giai đoạn thứ nhất, có n2 cách thực hiện giai đoạn thứ hai,…, và nk cách
thực hiện giai đoạn thứ k.
Khi đó, công việc A có n = n1.n2…nk cách thực hiện.
0.1.3. Hoán vị
Hoán vị của m phần tử là một nhóm có thứ tự gồm đủ m phần tử đã cho.
Số hoán vị của m phần tử được ký hiệu Pm
Công thức tính: Pm  m !
Ví dụ 0.1: Có 7 sinh viên. Có bao nhiêu cách sắp 7 sinh viên này:
a) ngồi thành hàng dài?
b) ngồi vào bàn tròn có đánh số?
Giải:
a) 7!
b) 7!
c) 6!

c) ngồi thành vòng tròn?

0.1.4. Chỉnh hợp
Chỉnh hợp chập k của n phần tử (k  n) là một nhóm có thứ tự gồm k phần tử khác nhau được
chọn từ n phần tử đã cho.
Số chỉnh hợp chập k của n phần tử được ký hiệu Ank
Công thức tính: Ank 

n!
 n(n  1)...(n  k  1)
(n  k )!

* Chỉnh hợp lặp: Chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là một nhóm có thứ tự gồm k phần tử

được chọn từ n phần tử đã cho, trong đó mỗi phần tử có thể có mặt 1,2,…,k lần trong nhóm.
k

Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử được ký hiệu An
k

Công thức tính: An  n k
Ví dụ 0.2: Có 6 chữ số 0,1,2,3,4,5. Có bao nhiêu cách sắp thành một số có 3 chữ số từ 6 chữ
số trên. Biết rằng số có 3 chữ số được sắp có các chữ số:
a) Khác nhau
b) Có thể giống nhau
Giải:
-1-


Chương 0: Các kiến thức chuẩn bị
2

a) 5 xA52  100 số

b) 5 x A6  180 số

0.1.5. Tổ hợp
Tổ hợp chập k của n phần tử (k  n) là một nhóm không phân biệt thứ tự gồm k phần tử khác
nhau được chọn từ n phần tử đã cho.
Số tổ hợp chập k của n phần tử được ký hiệu Cnk
Công thức tính: Cnk 

n!
n(n  1)...(n  k  1) Ank



k !(n  k )!
k!
k!

* Chú ý: + 0! = 1
+ Cnk  Cnn  k ; Cn0  Cnn  1; Cn1  n
+ Cnk  Cnk11  Cnk1
+ Cn0  Cn1  Cn2  ...  Cnn  2 n
Cn0  Cn1  Cn2  ...  (1)n Cnn  0
+ Ank  k !Cnk
Ví dụ 0.3: Một ngân hàng đề thi có 30 câu hỏi. Có bao nhiêu cách lập các đề thi khác nhau,
mỗi đề có 5 câu hỏi từ ngân hàng đề thi trên ?
Giải:
C305  142.506 (đề thi)

0.1.6. Nhị thức Newton
n

(a  b) n   Cnk a n  k b k
k 0

 Cn0 a n  Cn1 a n 1b  Cn2 a n  2b 2  ...  Cnk a n  k b k  ...  Cnn 1ab n 1  Cnnb n
với a, b  R; n  N
Chú ý: Với a  x, b  1 công thức trên có dạng
n

(1  x) n   Cnk x k  Cn0  Cn1 x  Cn2 x 2  ...  Cnk x k  ...  Cnn 1 x n 1  Cnn x n
k 0

- Lấy x = 1, ta được: 2n  Cn0  Cn1  Cn2  ...  Cnk  ...  Cnn 1  Cnn
- Lấy x = -1, ta được: 0  Cn0  Cn1  Cn2  ...  (1) n Cnn
0.2. Tập hợp
0.2.1. Khái niệm
Tập hợp là một khái niệm nguyên thủy, không định nghĩa. Tập hợp có thể hiểu tổng quát là
một sự tụ tập của một số hữu hạn hay vô hạn các đối tượng nào đó. Các đối tượng này được gọi là
các phần tử của tập hợp.
Người ta thường ký hiệu tập hợp bằng các chữ cái in hoa như A, B, C, … và các phần tử của
tập hợp được ký hiệu bằng các chữ cái thường như a, b, c, …
-2-


Chương 0: Các kiến thức chuẩn bị
Một phần tử a thuộc tập hợp A ký hiệu là aA và một phần tử b không thuộc tập hợp B được
ký hiệu là bB.
Tập hợp không có phần tử nào được gọi là tập rỗng, ký hiệu 
0.2.2. Các phép toán trên tập hợp
i) Tập con
Tập A được gọi là tập con của tập B, ký hiệu A  B, nếu mọi phần tử của tập hợp A cũng là
phần tử của tập hợp B.

B

tức là A  B   x, x  A  x  B 

A

Biểu đồ Venn của A  B

ii) Phép hợp
Hợp của hai tập hợp A và B, ký hiệu AB, là tập hợp tất cả phần tử thuộc ít nhất một trong
hai tập hợp A và B.

A

tức là A  B   x | x  A hoaëc x  B

B

Biểu đồ Venn của AB

iii) Phép giao
Giao của hai tập hợp A và B, ký hiệu AB, là tập hợp tất cả các phần tử vừa thuộc A vừa
thuộc B.

A

tức là A  B   x | x  Avà x  B

B

Biểu đồ Venn của AB

iv) Phép trừ
Hiệu của tập hợp A với tập hợp B, ký hiệu A\B, là tập hợp tất cả các phần tử thuộc A nhưng
không thuộc B.
A
B
tức là A \ B   x | x  Avà x  B

Biểu đồ Venn của A\B

Chú ý: A\B  B\A
* Phần bù: Cho AX. Khi đó, phần bù của A trong X, ký hiệu A hay CXA, là tập hợp các
phần tử thuộc X và không thuộc A.

X

tức là A  C X A   x | x  X và x  A

A

Biểu đồ Venn của

A

Ví dụ 0.4: Cho X = {1,2,3,4,5} ; A = {1,3,5} ; B = {1,2,3,6}
Ta có: AX ; BX ; AB = {1,3} ; AB = {1,2,3,5,6} ; A\B = {5} ; B\A = {2,6}

A  C X A  {2, 4}
-3-


Chương 1: Xác suất và các công thức tính xác suất

Chương 1

XÁC SUẤT VÀ CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT
1.1. Phép thử và biến cố:
1.1.1. Phép thử

Có hai loại hiện tượng:
(i) Hiện tượng tất yếu: là những hiện tượng nếu được thực hiện ở những điều kiện giống nhau
thì kết quả giống nhau.
Ví dụ 1.1: Đun nước đến 1000C thì nước sôi.
Hiện tượng tất yếu là đối tượng nghiên cứu của Vật Lý, Hóa học.
(ii) Hiện tượng ngẫu nhiên: là những hiện tượng dù đã được quan sát ở điều kiện giống nhau
nhưng kết quả có thể khác nhau
Hiện tượng ngẫu nhiên là đối tượng nghiên cứu của xác suất.
- Phép thử ngẫu nhiên, hay gọi tắt là phép thử, là việc thực hiện một thí nghiệm hay quan sát
một hiện tượng nào đó mà không biết kết quả nào sẽ xảy ra nhưng có thể biết tất cả các kết quả có
thể xảy ra.
- Phép thử ngẫu nhiên được ký hiệu .
- Mỗi kết quả của phép thử  là một biến cố sơ cấp, ký hiệu . Biến cố sơ cấp là biến cố
không thể phân tích được nữa.
- Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là không gian mẫu hay còn
được gọi là không gian các biến cố sơ cấp, ký hiệu .
Ví dụ 1.2: + Xét phép thử “tung 1 xúc xắc cân đối và đồng chất”. Quan sát số chấm xuất hiện
trên mặt xúc xắc ta thấy có 6 kết quả có thể xảy ra là 1, 2, 3, 4, 5, 6.
 không gian mẫu  = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
+ Xét phép thử “tung 1 đồng xu”
 không gian mẫu  = {S, N}
với S : đồng xu xuất hiện mặt sấp; N : đồng xu xuất hiện mặt ngữa.
+ Xét phép thử “tung đồng thời 2 đồng xu”
 không gian mẫu  = {SS, SN, NS, NN}
+ Xét phép thử “tung một đồng xu nếu xuất hiện mặt sấp thì tung tiếp đồng xu đó lần thứ hai,
nếu xuất hiện mặt ngửa thì tung một con xúc xắc”.
 không gian mẫu   {SS , SN , N1, N 2, N 3, N 4, N 5, N 6}
1.1.2. Biến cố
- Tập con của không gian mẫu được gọi là biến cố, ký hiệu bằng các chữa cái A, B, …
- Xét biến cố A, khi thực hiện phép thử ta được kết quả :

+ Nếu   A, ta nói biến cố A xảy ra
+ Ngược lại, nếu   A, ta nói biến cố A không xảy ra
- Biến cố không thể, ký hiệu , là biến cố nhất định không xảy ra khi thực hiện phép thử.
-4-


Chương 1: Xác suất và các công thức tính xác suất
- Biến cố chắc chắn, ký hiệu , là biến cố nhất định xảy ra khi thực hiện phép thử.
- Mỗi kết quả  của phép thử  được gọi là kết quả thuận lợi cho biến cố A nếu biến cố A xảy
ra khi kết quả của  là .
Ví dụ 1.3: Trong phép thử “tung 1 xúc xắc cân đối và đồng chất”.
Ta có  = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Gọi A là biến cố xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm là chẳn. Ta thấy A có 3 kết quả thuận lợi
là 2, 4, 6.
 A = {2, 4, 6}
Gọi B là biến cố xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm là số nguyên tố. Ta thấy B có 3 kết quả
thuận lợi 2, 3, 5  B = {2, 3, 5}
Gọi C là biến cố xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm là 1 và 5  C = {1, 5}
Gọi D là biến cố xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn 6  D là biến cố không thể (tức
là D = )
Gọi E là biến cố xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn hoặc bằng 6  E là biến cố chắc
chắn (tức là E = )
Trong phép thử trên, nếu khi thực hiện phép thử kết quả là
+  = 4, ta nói biến cố A xảy ra
+  = 1, ta nói biến cố A không xảy ra
1.1.3. Quan hệ giữa các biến cố
Cho A, B là hai biến cố bất kỳ trong không gian mẫu .
i) Quan hệ kéo theo (A  B) : Nếu biến cố A xảy ra thì biến cố B xảy ra.
Ví dụ 1.4: Trong phép thử “tung 1 xúc xắc”
Gọi Ai là biến cố xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm là i, i  1, 6

và B là biến cố xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm là lẻ  B = {1, 3, 5}
Ta có: A1  B; A3  B; A5  B
A2  B; A4  B; A6  B
ii) Hai biến cố A và B được gọi là tương đương, ký hiệu A = B, nếu A xảy ra thì B xảy ra và
ngược lại.
A  B
A B
B  A
iii) Tổng (hay hội) của hai biến cố A và B là một biến cố xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra hoặc B
xảy ra, ký hiệu A  B (hoặc A+B)
Tổng quát: Tổng của n biến cố A1, A2, …, An là một biến cố xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất 1
biến cố Ai ( i  1, n ) xảy ra, ký hiệu

n

n

 A (hoặc  A ).
i 1

i

i 1

i

iv) Tích (hay giao) của hai biến cố A và B là một biến cố xảy ra khi và chỉ khi cả 2 biến cố A
và B cùng xảy ra, ký hiệu A  B (hoặc A.B)

-5-

Chương 1: Xác suất và các công thức tính xác suất
Tổng quát: Tích của n biến cố A1, A2, …, An là một biến cố xảy ra khi và chỉ khi tất cả n biến
cố A1,…, An cùng xảy ra.
vi) Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nhau nếu A và B không đồng thời xảy ra trong 1
phép thử. (tức là A  B   )
Tổng quát: n biến cố A1, A2, …, An được gọi là xung khắc từng đôi nếu
Ai  Aj   ; i, j  1, n
i j

Ví dụ 1.5: Trong phép thử “tung 1 xúc xắc”.
- Hai biến cố A = {2,4,6} và B = {1} xung khắc nhau vì A  B   (nhưng
A  B  {1, 2, 4, 6}   )

- Ba biến cố A = {2,4,6} ; B = {1} và C = {3} xung khắc từng đôi vì
A  B   ; A  C   ; B  C   (nhưng A  B  C  {1, 2,3, 4, 6}   )

vii) Biến cố đối lập của biến cố A, ký hiệu A , được xác định như sau: A xảy ra  A không
xảy ra. (tức là A  A   và A  A   )
Ví dụ 1.6: Trong phép thử “tung 1 xúc xắc”. Hai biến cố A = {2,4,6} và B = {1,3,5} là 2
biến đối lập nhau vì A  B   và A  B   . Khi đó, ký hiệu A  B hoặc B  A
v) Hiệu của hai biến cố A và B là một biến cố xảy ra khi biến cố A xảy ra và B không xảy ra,
ký hiệu A\B.
Chú ý: A \ B  A.B và B \ A  A.B
Ví dụ 1.7: Hai sinh viên cùng thi kết thúc môn Toán thống kê và Phép thử(TTK&PT).
Gọi Ai là biến cố sinh viên thứ i thi đạt môn TTK&PT, (i=1,2).
A1  A2 (hoặc A1  A2 ) là biến cố có ít nhất 1 sinh viên thi đạt môn TTK&PT.
A1  A2 (hoặc A1.A2) là biến cố cả 2 sinh viên thi đạt môn TTK&PT.

A1 \ A2  A1. A2 là biến cố sinh viên thứ nhất thi đạt môn TTK&PT và sinh viên thứ hai
không thi đạt môn TTK&PT.
viii) Hai biến cố được gọi là độc lập với nhau nếu sự xuất hiện của biến cố này không ảnh
hưởng đến sự xuất hiện của biến cố kia và ngược lại.
Tổng quát: n biến cố A1, A2, …, An được gọi là độc lập toàn phần nếu một biến cố bất kỳ Ai
( i  1, n ) độc lập với tích (n-1) biến cố còn lại.
+ n biến cố A1, A2, …, An được gọi là độc lập từng đôi nếu hai biến cố bất kỳ Ai, Aj (i  j ;
i, j  1, 2,..., n ) độc lập với nhau

Chú ý : Nếu 2 biến cố A và B độc lập thì các cặp biến cố sau: A, B; A, B; A, B cũng độc lập.
ix) Một số lưu ý:
i) Biến cố sơ cấp là biến cố không thể biểu diễn thành tổng của các biến cố khác.
ii) Mọi biến cố bất kỳ A đều biểu diễn thành tổng của các biến cố sơ cấp. Các biến cố cố sơ
cấp này là các biến cố thuận lợi cho biến cố A.

-6-


Chương 1: Xác suất và các công thức tính xác suất
iii) Biến cố chắc chắn  là tổng của mọi biến cố sơ cấp có thể, nghĩa là mọi biến cố sơ cấp
đều thuận lợi cho . Do đó,  còn được gọi là không gian các biến cố sơ cấp.
iv) Các biến cố đồng khả năng là các biến cố có cùng khả năng xuất hiện như nhau trong
một phép thử ngẫu nhiên.
v) Các khái niệm về biến cố được xây dựng trên các khái niệm về tập hợp nên các tính chất
về tập hợp cũng đúng cho biến cố.
Chẳng hạn, cho hai biến cố bất kỳ A và B trong không gian mẫu . Khi đó ta có một số
tính chất sau:
A.( B  C )  A.B  A.C ; A  ( B.C )  ( A  B).( A  C )



A  B  A  B. A



A  B  B  A; A, B  A  B; A.B  A; A.B  A; A.B  A  B;...



A  A; A.B  A  B; A  B  A.B;...



 n  n
 n  n

;
A
A
i
 i  
  Ai    Ai
 i 1  i 1
 i 1  i 1

x) Biểu đồ Venn

B



A

A

Biến cố kéo theo A  B



A



B



B

Biến cố tổng A  B

A

A



B

Biến cố tích A  B

A

B
BA

Biến cố hiệu A \ B

A và B xung khắc

A và B đối lập

1.2. Định nghĩa xác suất:
Quan sát các biến cố đối với một phép thử, tuy không thể biết biến cố đó có xảy ra hay không
nhưng người ta có thể định lượng khả năng xuất hiện khách quan của một biến cố, ta gọi nó là xác
suất của biến cố đó.
Xác suất của một biến cố là một con số đo lường khả năng xảy ra khách quan của biến cố đó
khi thực hiện phép thử ngẫu nhiên.
Xác suất của biến cố A được ký hiệu là P(A).
1.2.1. Định nghĩa xác suất theo phương pháp cổ điển
- Xét phép thử  với các kết quả có thể xảy ra đồng khả năng và không gian mẫu  có hữu
hạn các biến cố sơ cấp (tức là   {1 ,..., n };|  |  )
-7-


Chương 1: Xác suất và các công thức tính xác suất
Khi đó, xác suất của biến cố A là
P( A) 

| A | Soá bieán coá sô caá p cuû a bieán coá A


Soá bieán coá sô caá p cuû a Ω
||

- Các tính chất:
i) 0  P( A)  1 , với mọi biến cố A.
ii) P ( )  0; P()  1
iii) Nếu A  B thì P(A)  P(B)
iv) P( A)  P( A)  1 hay P( A)  1  P( A)
Chú ý: i) Xác suất của biến cố A là một con số P(A) ( 0  P( A)  1 ) . Khi P(A) càng gần 1 thì
khả năng xuất hiện của biến cố A càng lớn và khi P(A) càng gần 0 thì khả năng xuất hiện của biến
cố A càng nhỏ.
ii) Định nghĩa xác suất theo phương pháp cổ điển có ưu điểm là tính được chính xác
giá trị của xác suất mà không phải thực hiện phép thử. Tuy nhiên, định nghĩa xác suất theo phương
pháp này chỉ áp dụng được trong trường hợp không gian mẫu gồm hữu hạn biến cố sơ cấp đồng khả
năng.
Ví dụ 1.8: Một hộp đựng 15 bi trong đó có 5 bi xanh và 10 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 bi từ hộp
trên. Tính xác suất trong 3 bi lấy ra có
a) 3 bi xanh
b) ít nhất 1 bi xanh
c) nhiều nhất 1 bi xanh
d) không có bi xanh nào
Giải:
Ta có: |  | C153  455
a) Gọi A là biến cố trong 3 bi lấy ra có 3 bi xanh.
| A | C53  10  P( A) 

| A | 10

 0, 022
|  | 455

b) Gọi B là biến cố trong 3 bi lấy ra có ít nhất 1 bi xanh
| B | C51C102  C52C101  C53  355  P( B) 

Hoặc P( B)  1  P( B)  1 

| B | 355

 0, 7363
|  | 455

C3
|B|
 1  103  0,7363
||
C15

c) Gọi C là biến cố trong 3 bi lấy ra có nhiều nhất 1 xanh
| C | C103  C51C102  345  P(C ) 

| C | 345

 0, 7582
|  | 455

d) Gọi D là biến cố trong 3 bi lấy ra không có bi xanh nào
D  B  P ( D)  P ( B )  1  P ( B )  0, 2637

Ví dụ 1.9: Một người gọi điện thoại nhưng lại quên 2 số cuối của số điện thoại cần gọi. Tìm
xác suất để người đó quay ngẫu nhiên một lần trúng số cần gọi ?

-8-


Chương 1: Xác suất và các công thức tính xác suất
a) Biết rằng người đó nhớ 2 số cuối của số điện thoại là khác nhau ?
b) Người đó không nhớ gì về đặc điểm của 2 số cuối của số điện thoại cần gọi ?
Giải
Gọi A, B lần lượt là các biến cố người đó quay ngẫu nhiên một lần trúng số điện thoại cần gọi
trong các trường hợp câu a) và câu b)
a) |  | A102  90 ; | A | 1  P( A) 

| A| 1

|  | 90

2

b) |  | A10  10 2  100 ; | A | 1  P( A) 

| A|
1

|  | 100

1.2.2. Định nghĩa xác suất theo phương pháp thống kê
Giả sử phép thử  có thể được lặp lại nhiều lần một cách độc lập trong những điều kiện giống
hệt nhau. Nếu trong n lần thực hiện phép thử  mà quan sát thấy biến cố A xuất hiện k lần thì tỷ số
k
được gọi là tần suất xuất hiện của biến cố A.
n

Người ta chứng minh được rằng: Khi n   thì

k
k
 P( A) tức là lim  P( A)
n

n
n

Trong thực tế với n đủ lớn, người ta lấy tần suất của biến cố A làm giá trị gần đúng cho xác
suất của biến cố A.
Chú ý: Định nghĩa xác suất theo phương pháp thống kê giải quyết được nhược điểm của định
nghĩa xác suất theo phương pháp cổ điển, nghĩa là nó giải quyết được trong trường hợp không gian
mẫu có vô hạn biến cố sơ cấp và không cần giả thiết tính đồng khả năng.
Ví dụ 1.10: Để nghiên cứu khả năng xuất hiện mặt số khi tung một đồng tiền, Buffon và
Pearson tiến hành nhiều lần và kết quả cho bởi bảng sau:
Người thực hiện
Buffon
Pearson (đợt 1)
Pearson (đợt 2)

Số lần
thực hiện

Số lần xuất hiện
mặt số

Tần suất

4.040
12.000
24.000

2.048
6.019
12.012

0,5080
0,5016
0,5005

Ta đã biết xác suất xuất hiện mặt số khi tung đồng tiền là 0,5. Qua kết quả trên, ta thấy khi số
lần tung càng tăng thì tần suất xuất hiện mặt số càng tiến dần về 0,5.
Nhận xét: Phương pháp này khắc phục nhược điểm của phương pháp tính xác suất theo
phương pháp cổ điển, tức là tính được xác suất dựa trên quan sát thực tế, không đòi hỏi phép thử
phải có hữu hạn biến cố đồng khả năng, do đó phương pháp tính xác suất này được ứng dụng rộng
rãi trong thực tế. Tuy nhiên, do phương pháp tính xác suất theo phương pháp thống kê dựa trên kết
quả quan sát nên yêu cầu phép thử phải thực hiện nhiều lần, vì thế trong nhiều bài toán thực tế
không cho phép do điều kiện kinh phí để thực hiện phép thử.
-9-


Chương 1: Xác suất và các công thức tính xác suất
Ví dụ 1.11: Một xạ thủ bắn 1000 viên đạn vào một mục tiêu có 70 viên trúng mục tiêu. Khi
70
 7%
1000
Ví dụ 1.12: Thống kê 10.000 thanh niên trưởng thành ở địa phương A thì thấy có 300 thanh

đó, xác suất để xạ thủ bắn trúng mục tiêu là

niên mắc bệnh B. Khi đó, ta nói xác suất để một thanh niên địa phương A mắc bệnh B là 3%.
1.2.3. Định nghĩa xác suất theo tiên đề
* Giả sử  là biến cố chắc chắn. Gọi  là họ các tập con của  thỏa các điều kiện sau:
i)  chứa 
ii) Nếu A, B thì A , A+B, A.B 
Họ  thỏa i) và ii) thì  được gọi là đại số
iii) Nếu A1 , A2 , … , An , …. là các phần tử của  thì tổng và tích vô hạn
A1+A2+…+An+… và A1A2…An… cũng thuộc 
Nếu  thỏa i) , ii) và iii) thì  được gọi là -đại số
* Xác suất trên (,) là một hàm số P xác định trên  có giá trị trong đoạn [0;1] và thỏa 3
tiên đề sau:
i) P() = 1
ii) P(A+B) = P(A) + P(B) (với A, B xung khắc)
iii) Nếu dãy {An} có tính chất A1  A2 … An … và A1A2…An… =  thì
lim P ( An )  0
n 

1.3. Các công thức tính xác suất
1.3.1. Công thức cộng xác suất
Cho A, B là 2 biến cố bất kỳ trong không gian mẫu 
P ( A  B )  P ( A)  P ( B )  P( A.B)
Chứng minh
Gọi n là số phần tử của không gian mẫu 
n1 là số phần tử của A\B ; n2 là số phẩn tử của AB ; n3 là số phần tử của B\A
Ta có: nA B  n1  n2  n3  n1  n2  n2  n3  n2  nA  nB  nA B

n A  B n A nB n A  B




n
n
n
n
 P( A  B)  P ( A)  P( B)  P( A.B)


Chú ý:
i) Nếu A, B xung khắc (tức là A.B = ) thì
P ( A  B )  P ( A)  P ( B )

- 10 -


Chương 1: Xác suất và các công thức tính xác suất
ii) Cho 3 biến cố bất kỳ A, B, C trong không gian mẫu 
P ( A  B  C )  P ( A)  P ( B )  P(C )  P ( AB)  P( AC )  P( BC )  P( ABC )

iii) Cho n biến cố bất kỳ A1 , A2 , …, An trong không gian mẫu 
n

P( A1  A2  ...  An )   P( Ai )   P( Ai Aj ) 
i 1

i j

 P( A A A )  ...  (1)

i

i j k

j

k

n 1

P ( A1 A2 ... An )

iv) Nếu A1 , A2 , …, An xung khắc từng đôi (tức là Ai.Aj =  với i  j) thì
 n
 n
P   Ai    P  Ai 
 i 1  i 1
x.k

v) Ta có: A  B  A  A.B  P( A  B)  P( A  A.B)  P( A)  P( A.B)
x .k

Mặt khác: B  A.B  A.B  P( B)  P( A.B  A.B)  P( A.B)  P( A.B)
 P( A.B)  P( B)  P( A.B)
Ví dụ 1.13: Trong một lớp có 50 sinh viên trong đó 20 sinh viên có chứng chỉ A Ngoại ngữ,
22 sinh viên có chứng chỉ A Tin học và 10 sinh viên có cả hai chứng chỉ trên. Chọn ngẫu nhiên 1
sinh viên trong lớp trên, tính xác suất sinh viên được chọn
a) có ít nhất 1 chứng chỉ? (chứng chỉ A Ngoại ngữ hoặc chứng chỉ A Tin học)
b) không có chứng chỉ nào?
c) không có chứng chỉ A Ngoại ngữ hoặc không có chứng chỉ A Tin học?

d) có chứng chỉ A Ngoại ngữ nhưng không có chứng chỉ A Tin học?
e) không có chứng chỉ A Ngoại ngữ nhưng có chứng chỉ A Tin học?
Giải:
Gọi A là biến cố sinh viên được chọn có chứng chỉ A Ngoại ngữ.
Gọi B là biến cố sinh viên được chọn có chứng chỉ A Tin học.
20
22
10
 0, 4; P ( B ) 
 0, 44; P ( A.B ) 
 0, 2
50
50
50
a) Xác suất sinh viên được chọn có ít nhất 1 chứng chỉ
P ( A  B )  P ( A)  P ( B)  P( A.B)  0, 4  0, 44  0, 2  0, 64

Ta có: P( A) 

b) Xác suất sinh viên được chọn không có chứng chỉ nào
P ( A  B)  1  P( A  B )  1  0, 64  0, 36  P ( A.B)

c) Xác suất sinh viên được chọn không có chứng chỉ A Ngoại ngữ hoặc không có chứng chỉ
A Tin học
P ( A  B)  P( A)  P( B)  P( A.B)  0, 6  0, 54  0,36  0, 78

d) Xác suất sinh viên được chọn có chứng chỉ A Ngoại ngữ nhưng không có chứng chỉ A Tin
học
P ( A.B)  P( A \ B)  P( A)  P ( A.B)  0, 4  0, 2  0, 2

e) Xác suất sinh viên được chọn không có chứng chỉ A Ngoại ngữ nhưng có chứng chỉ A Tin
học
- 11 -


Chương 1: Xác suất và các công thức tính xác suất
P ( A.B )  P ( B \ A)  P ( B )  P ( A.B)  0, 44  0, 2  0, 24

1.3.2. Công thức nhân xác suất
1.3.2.1. Xác suất có điều kiện
Cho A, B là 2 biến cố bất kỳ trong không gian mẫu 
- Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất của biến cố A
với điều kiện B, ký hiệu P ( A | B )
P( A | B) 

P( AB)
; P( B)  0
P ( B)

- Xác suất của biến cố B với điều kiện biến cố A đã xảy ra được gọi là xác suất của biến cố B
với điều kiện A, ký hiệu P ( B | A)
P( B | A) 

P( AB)
; P( A)  0
P ( A)

Chứng minh:
Ta chứng minh P( A | B ) 

P( AB)
; P( B)  0
P( B)

Gọi  là không gian mẫu chứa hai biến cố A, B
Gọi n là số phần tử của ; nB là số phần tử của biến cố B; nAB là số phần tử của biến cố AB
Giả sử B đã xảy ra, khi đó B là biến cố chắc chắn nên ta có thể chọn B là không gian mẫu thu gọn.
Biến cố A xảy ra sau khi biến cố B đã xảy ra, ký hiệu A|B
Trong không gian mẫu , biến cố A|B xảy ra khi vả chỉ khi AB xảy ra

n A B
nA  B
n  P ( AB)
Khi đó: P( A | B) 

nB
nB
P( B)
n

Chú ý: Khi cố định biến cố B thì xác suất có điều kiện P( A | B) có các tính chất sau:
i) P ( A | B )  [0;1] , với mọi biến cố A
ii) P(B | B) = 1
iii) P( A | B )  1  P ( A | B)
iv) P( A1  A2 | B)  P( A1 | B)  P( A2 | B)  P( A1 A2 | B)
và P( A1  A2 | B)  P( A1 | B)  P( A2 | B) nếu A1. A2  
Ví dụ 1.14: Lấy ngẫu nhiên 1 lá bài trong bộ bài 52 lá. Tính lá bài lấy ra có số nút nhỏ hơn 5
biết rằng lá bài lấy ra có màu đỏ?
Giải:
Gọi A là biến cố lá bài lấy ra có số nút nhỏ hơn 5.

Gọi B là biến cố lá bài lấy ra có màu đỏ.
Ta có: P  A | B  

8
P ( A.B)
 52  0,3077
26
P( B)
52

- 12 -


Chương 1: Xác suất và các công thức tính xác suất
Ví dụ 1.15: Xét phép thử “tung 1 xúc xắc với điều kiện xúc xắc được sơn màu xanh trên các
mặt có số chấm là lẻ và sơn màu đỏ trên các mặt có số chấm là chẳn”. Tính xác suất xúc xắc xuất
hiện mặt có số chấm nhỏ hơn 4 biết rằng xúc xắc xuất hiện mặt có màu xanh?
Giải:
Gọi A là biến cố xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn 4.
Gọi B là biến cố xúc xắc xuất hiện mặt có màu xanh.
Ta có : P( A | B) 

2
P( AB)
 6  0, 6667
3
P( B)
6

1.3.2.2. Công thức nhân xác suất

Cho A, B là 2 biến cố bất kỳ trong không gian mẫu . Khi đó, ta có
P ( A.B)  P( A) P ( B | A)  P( B) P( A | B)

Chú ý:
i) Nếu A, B độc lập (tức là P ( A | B )  P ( A) và P( B | A)  P( B) ) thì P( A.B)  P( A) P( B)
ii) Tổng quát: Cho n biến cố bất kỳ A1 , A2 , …, An trong không gian mẫu .
P( A1 A2 ... An )  P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 )...P( An | A1 A2 ... An 1 )
iii) Nếu A1 , A2 , …, An độc lập toàn phần khi và chỉ khi
P( A1 A2 ... An )  P( A1 ) P( A2 )...P ( An )
Nhận xét: Từ định nghĩa và các công thức trên suy ra
 Hai biến cố A , B độc lập  P(A.B) = P(A).P(B)
 n biến cố A1 , A2 , …, An được gọi là độc lập từng đôi
 P( Ai . A j )  P( Ai ) P( Aj ) ; i  j , i, j  1, n
 n biến cố A1 , A2 , …, An được gọi là độc lập toàn phần
 P( A1. A2 .... An )  P( A1 ) P( A2 )...P( An )
 Ba biến cố A, B, C độc lập nhau nếu:
P( AB)  P( A).P( B) (1)

P ( AC )  P( A).P(C ) (2)

P( BC )  P( B).P(C ) (3)

P( ABC )  P( A).P( B).P(C ) (4)

Ba hệ thức (1), (2), (3) diễn tả sự độc lập từng đôi. Hệ thức (4) diễn tả sự độc lập toàn phần.
Chú ý: Ba biến cố độc lập từng đôi nhưng chưa chắc độc lập toàn phần.
Ví dụ 1.16: Xét phép thử  “tung ngẫu nhiên hai đồng tiền”. Gọi S1, C1 lần lượt là biến cố đồng
tiền thứ nhất xuất hiện mặt số, mặt chữ; S2, C2 lần lượt là biến cố đồng tiền thứ hai xuất hiện mặt số,
mặt chữ
Ta thấy phép thử trên có 4 kết quả có thể xảy ra (hay phép thử có 4 biến cố sơ cấp)

Gọi 1 = {S1S2}; 2 = {S1C2}; 3 = {C1S2}; 4 = {C1C2}.
Đặt A = {1, 2}; B = {1, 3}; C = {1, 4}
- 13 -


Chương 1: Xác suất và các công thức tính xác suất
Khi đó, P( A) 

2 1
2 1
2 1
 ; P ( B )   ; P (C )  
4 2
4 2
4 2

1
 P( A).P( B)
4
1
A.C  {1}  P( A.C )   P( A).P(C )
4
1
B.C  {1}  P( B.C )   P( B).P(C )
4
1
1
A.B.C  {1}  P( A.B.C )   P( A).P( B).P(C ) 
4
8

Vậy ba biến cố A, B, C độc lập từng đôi nhưng không độc lập toàn phần.

Ta có: A.B  {1}  P( A.B) 

Ví dụ 1.17: Cho hai hộp bi có hai loại bi: bi xanh và bi trắng cân đối và đồng chất, biết hộp I
có 20 bi, trong đó có 7 bi xanh; hộp II có 30 bi trong đó có 5 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp 1 bi.
Tính xác suất
a) Hai bi lấy ra cùng màu.
b) Hai bi lấy ra khác màu.
Giải
Gọi X1 , X2 là biến cố lấy được bi xanh từ hộp I, II
T1 , T2 là biến cố lấy được bi trắng từ hộp I, II
a) Gọi A là biến cố hai bi lấy ra cùng màu.
Ta có : A = X1X2 + T1T2
 P(A) = P(X1X2 + T1T2) = P(X1X2) + P(T1T2) (Do X1X2 và T1T2 xung khắc)
= P(X1)P(X2) + P(T1)P(T2) (Do X1 , X2 độc lập và T1 , T2 cũng độc lập)
7 5 13 25 3

x 
x
20 30 20 30 5
b) Gọi B là biến cố hai bi lấy ra khác màu.
Ta có: B = X1T2 + X2T2


Tương tự, P(B) = P(X1)P(T2) + P(X2)P(T1) =

2
5

1.3.3. Công thức xác suất đầy đủ - công thức Bayes
1.3.3.1. Hệ biến cố đầy đủ
Hệ biến cố {A1 , A2 ,…, An} được gọi là hệ biến cố đầy đủ nếu chúng thỏa mãn hai yêu cầu
sau:
i) Ai  Aj   ; i, j  1, n (xung khắc từng đôi)
i j

ii)

n

A  A A
i 1

i

1

2

 ...  An   (đầy đủ)

Chú ý: Cho A là 1 biến cố bất kỳ trong không gian mẫu .
Ta có A  A   và A  A    Hệ 2 biến cố { A, A} là hệ biến cố đầy đủ.
- 14 -


Chương 1: Xác suất và các công thức tính xác suất
1.3.3.2. Công thức xác suất đầy đủ
Cho { Ai }i 1, n là hệ biến cố đầy đủ và B là 1 biến cố bất kỳ trong không gian mẫu .

Khi đó, ta có
n

P( B)   P( Ai ) P( B | Ai )  P( A1 ).P( B | A1 )  P ( A2 ).P( B | A2 )  ...  P( An ).P( B | An )
i 1

Chứng minh:
Vì { Ai }i 1, n là hệ biến cố đầy đủ nên Ai  Aj   ; i, j  1, n và
i j

n

A  A A
i 1

i

1

2

 ...  An  

Khi đó: B  B.  B( A1  A2  ...  An )  BA1  BA2  ...  BAn
x .k

 P( B )  P( BA1  BA2  ...  BAn )  P( BA1 )  P( BA2 )  ...  P( BAn )
 P( A1 ) P( B | A1 )  P( A2 ) P( B | A2 )  ...  ...P ( An ) P( B | An )
n

  P ( Ai ) P ( B | Ai )
i 1

Chú ý: Cho 2 biến cố bất kỳ A, B trong không gian mẫu .
Ta có, hệ { A, A} là hệ biến cố đầy đủ.
Khi đó P ( B )  P ( A) P ( B | A)  P( A) P( B | A)
1.3.3.3. Công thức Bayes
Cho là hệ biến cố đầy đủ và B là 1 biến cố bất kỳ trong không gian mẫu , với P(B) > 0.
Khi đó, ta có
P( Ak | B) 

P( Ak B) P( Ak ) P( B | Ak )
P( A ) P( B | Ak )

 n k
P( B)
P( B)
 P( Ai ) P( B | Ai )
i 1

Chú ý: Xác suất P( Ak | B) được gọi là xác suất hậu nghiệm, còn xác suất P  Ai  được gọi
là xác suất tiên nghiệm.
Ví dụ 1.18 : Trong một kỳ thi có 100 thí sinh, trong đó có 60 nữ và 40 nam. Kết quả có 40 thí
sinh trúng tuyển, trong đó có 22 nam và 18 nữ.
a) Lấy ngẫu nhiên 1 túi hồ sơ trong 100 thí sinh trên. Tính xác suất túi hồ sơ đó trúng tuyển ?
b) Giả sử lấy được túi hồ sơ trúng tuyển. Tính xác suất túi hồ sơ đó của nữ ?
Giải
a) Gọi A biến cố lấy được túi hồ sơ của nam. Khi đó, A là biến cố lấy được túi hồ sơ của nữ.
B là biến cố lấy được túi hồ sơ trúng tuyển.
Ta thấy, {A, A } là hệ biến cố đầy đủ.

Áp dụng công thức xác suất đầy đủ cho hai biến cố A và B ta có
P ( B)  P( A) P( B | A)  P( A) P( B | A) 

60 22 40 18
x 
x
 0, 4
100 60 100 40

- 15 -