Bài giảng xác suất và thống kê

1 | P a g e


NGUYỄN VĂN ĐẮC




BÀI GIẢNG TOÁN 5

XÁC SUẤT & THỐNG KÊ










2 | P a g e


Giới thiệu môn học

Lý thuyết xác suất ra vào nửa cuối thế kỷ thứ 17 ở nước Pháp, nó là bộ phận của toán học nghiên cứu
các quy luật của hiện tượng ngẫu nhiên. Hơn 300 năm tồn tại và phát triển, đến nay lý thuyết này đã có
nội dung vô cùng phong phú, được áp dụng trong nhiều ngành khoa học cũng như trong cuộc sống đời
thường. Thống kê toán học(TKTH) là khoa học về các phương pháp toán học để xử lí các kết quả thực
nghiệm hoặc các dữ liệu thống kê nhằm rút ra các kết luận khoa học và thực tiễn. Để có được những

phán đoán chính xác, TKTH phải dựa vào lí thuyết xác suất.

Mục đích của môn học Xác suất & thống kê trong chương trình đào tạo của các trường kỹ thuật là
trang bị cho kỹ sư tương lai những khái niệm và kết quả cơ bản của lý thuyết xác suất & thống kê toán
học, để giúp người học tiếp thu các môn học có liên quan và cách thức thu thập xử lý số liệu trong quá
trình công tác sau này.
Nội dung gồm 8 chương
Chương I Biến cố và xác suất của biến cố
Chương II Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất
Chương III Kỳ vọng toán
Chương IV Một số phân phối xác suất thường gặp
Chương V Mẫu ngẫu nhiên và phân phối của một số thống kê cơ bản
Chương VI Ước lượng tham số
Chương VII Kiểm định giả thiết
Chương VIII Hồi quy và tương quan tuyến tính

3 | P a g e




Tài liệu tham khảo chính

[1] Ronald E. Walpole, Raymond H.Myers và Sharon L.Myers, Xác suất và thống kê
dành cho kỹ sư và nhà khoa học(Bản dịch lần 1 của Bộ môn ĐS-XS&TK ĐHTL).
[2] Morris H. DeGroot, Mark J. Schervish, Probability and Statistics(Third edition).
[3] Đặng Hùng Thắng, Mở đầu về lí thuyết xác suất và các ứng dụng,Nhà XBGD,1997.
[4] Trần Mạnh Tuấn, Xác suất & Thống kê lý thuyết và thực hành tính toán, Nhà xuất
bản ĐHQGHN, 2004.

4 | P a g e




NGUYỄN VĂN ĐẮC




BÀI GIẢNG TOÁN 5
TUẦN 1

5 | P a g e


BIẾN CỐ
VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ



1.1 Phép thử và không gian mẫu
Ta đã biết trong toán học có những khái niệm cơ bản không được định nghĩa, chẳng hạn như điểm,
đường thẳng, mặt phẳng, tập hợp. Phép thử ngẫu nhiên là một khái niệm kiểu như vậy, các hành động
mà các kết quả của nó không thể dự đoán trước đều được gọi chung là phép thử ngẫu nhiên, gọi tắt là
phép thử (do ta không quan tâm đến những hành động có thể dự đoán trước được kết quả).
Tuy không đoán được kết quả của phép thử nhưng ta có thể liệt kê được các kết quả của nó.
Định nghĩa 1.1
Tập hợp gồm tất cả các kết quả của phép thử được gọi là không gian mẫu(sample space) và ký
hiệu bởi S hoặc .
Mỗi phần tử trong không gian mẫu được gọi là một kết quả của phép thử hoặc là một điểm mẫu. Do
định nghĩa như vậy nên khi trình bày không gian mẫu ta dùng cách trình bày của tập hợp.

Ví dụ 1.1 Tung một đồng xu. Không gian mẫu là
 ={S, N},
S biểu thị cho kết quả mặt sấp xuất hiện, N biểu thị cho kết quả mặt ngửa xuất hiện.

Ví dụ 1.2 Lấy ngẫu nhiên hai số x, y trong [0, 2]. Không gian mẫu là
S = { (x, y) | 0 ≤ x ≤ 2 và 0 ≤ y ≤ 2}.

Ví dụ 1.3 Tung một con xúc xắc.
Nếu ta quan tâm đến số chấm xuất hiện thì không gian mẫu là
S
1
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Nếu ta quan tâm đến số chẵn chấm hay số lẻ chấm xuất hiện thì không gian mẫu là
S
2
= {C, L}.
Qua Ví dụ 1.3 ta thấy rằng có thể có nhiều không gian mẫu để mô tả kết quả của một phép thử, tuy
nhiên nếu ta biết mỗi kết quả trong S
1
xuất hiện thì suy ra được kết quả nào trong S
2
xuất hiện, ngược
lại thì không được. Người ta thường dùng không gian mẫu “giàu thông tin” nhất để mô tả các kết quả
của phép thử.
Trong các Ví dụ trên, ta dễ dàng xác định được không gian mẫu. Đôi khi ta gặp tình huống khó khăn
hơn. Khi đó có thể dùng sơ đồ cây để xác định không gian mẫu, Ví dụ sau sẽ minh họa cho cách này.
Ví dụ 1.4 Tung một đồng xu, nếu mặt ngửa xuất hiện ta tung đồng xu đó lần thứ hai còn mặt sấp
xuất hiện ta tung một con xúc xắc. Hãy xác định không gian mẫu?
6 | P a g e

Sơ đồ cây cho kết quả của phép thử là
Tung lần 1 Tung lần 2 Điểm mẫu
N NN
N
S NS
1 S 1
2 S 2

S 3 S 3
4 S 4
5 S 5
6 S 6
Như vậy không gian mẫu là
S = {NN, NS, S 1, S 2, S 3, S 4, S 5, S 6}.
1.2 Biến cố và các phép toán biến cố
Với mỗi phép thử cụ thể, ta có thể quan tâm đến một sự kiện nào đó gồm một hoặc một số kết quả.
Chẳng hạn, trong một trò chơi may rủi như sau: Gieo hai đồng xu, nếu hai mặt ngửa xuất hiện thì người
chơi được 5000 đồng ngược lại thì người chơi mất 1000 đồng. Lúc này, không gian mẫu là
 ={SS, NN, SN, NS}.
Sự kiện mà ta quan tâm gồm “hai mặt ngửa xuất hiện” = {NN}
và “không có hai mặt ngửa xuất hiện” ={NN, SN, NS}. Mỗi sự kiện trên
đã được đồng nhất với một tập con của không gian mẫu, người ta gọi là các biến cố. Tổng quát, ta có
định nghĩa sau

Định nghĩa 1.2
Mỗi tập con của không gian mẫu được gọi là một biến cố.

Dùng các chữ cái in hoa như A, B, C, A
1
, A
2
,… để ký hiệu cho biến cố.
Đặc biệt, sự kiện không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử thì được đồng nhất với tập rỗng nên
ký hiệu bởi  và gọi là biến cố không, còn sự kiện chắc chắn sẽ xảy ra khi thực hiện phép thử thì được
ký hiệu bởi S và gọi là biến cố chắc chắn.
Mỗi điểm mẫu cũng là một biến cố, gọi là biến cố sơ cấp.

Trong lý thuyết tập hợp ta đã biết các khái niệm tập con, hai tập hợp bằng nhau, phần bù và các phép

toán hợp hai tập, giao hai tập. Tương ứng , ta có các khái niệm và phép toán biến cố trong lý thuyết xác
suất như sau
Định nghĩa 1.3
Cho A và B là hai biến cố của một phép thử với không gian mẫu là S.
+ A  B thì ta nói biến cố A kéo theo biến cố B.
+ A = B thì ta nói A tương đương với B.

+ Phần bù của A trong S được gọi là biến cố đối của A, ký hiệu là A
’
.
7 | P a g e

+ Hợp của A và B, ký hiệu A  B hoặc bởi A+B, là biến cố gồm các điểm mẫu hoặc thuộc A hoặc
thuộc B. Tương tự, ta có thể định nghĩa hợp của nhiều biến cố.
+ Giao của A và B, ký hiệu A  B hoặc bởi AB, là biến cố gồm các điểm mẫu thuộc cả A và B. Đặc
biệt, khi A  B =

, ta gọi A và B là hai biến cố xung khắc. Tương tự, ta có thể định nghĩa giao của
nhiều biến cố.

Ví dụ 1.5 Gieo một đồng xu hai lần.

Không gian mẫu là  = {SS, SN, NS, NN}.
Đặt A = {SS, SN, NS}, B = {NN}, C = {SN, NS, NN}.
a) Biến cố nào kéo theo biến cố nào? Biến cố nào tương đương với biến cố “có ít nhất một lần xuất
hiện mặt ngửa”?
b) Tìm biến cố đối của B?
c) Hãy phát biểu bằng lời biến cố giao của A và B. Hai biến cố A và B có xung khắc?
d) Xác định biến cố A  B.
Giải

a) Vì B  C nên B kéo theo C.
b) Do  \B = A nên biến cố B’ = A.
c) A  B ={SN, NS} = “một lần xấp và một lần ngửa xuất hiện”. Vì A  B ≠  nên A và B không
xung khắc.
d) A  B =  .

Nhận xét
+ Biến cố A kéo theo biến cố B tức là A xảy ra thì B xảy ra.
+ A = B tức là A xảy ra khi và chỉ khi B xảy ra.
+ A’ là biến cố đối của A khi mà thực hiện phép thử thì chắc chắn là A hoặc A’ xảy ra nhưng không
thể xảy ra đồng thời.
+ A  B là biến cố xảy ra khi và chỉ khi A hoặc B xảy ra.
+ A  B là biến cố xảy ra khi và chỉ khi cả A và B đều xảy ra.

Ví dụ 1.6
Ba xạ thủ A, B, C bắn mỗi người một viên đạn vào một mục tiêu. Gọi A, B, C lần lượt là các biến cố
“ xạ thủ A bắn trúng”, “xạ thủ B bắn trúng”, “xạ thủ C bắn trúng”.
i) Hãy mô tả bằng lời các biến cố sau
ABC, A’B’C’, A  B  C.
ii) Xét các biến cố sau
D = “ Có ít nhất hai xạ thủ bắn trúng” E = “Có nhiều nhất một xạ thủ bắn trúng”
F = “Chỉ có một xạ thủ bắn trúng” G = “chỉ có xạ thủ C bắn trúng”.
Hãy biểu diễn các biến cố này theo các biến cố A, B, C.